Как вычислить вероятность формула – Теория вероятностей — Youclever.org

Содержание

Вероятность возникновения некоторого числа событий при проведении нескольких испытаний. Испытания Бернулли.

Предположим у нас есть ящик с 5-ю шарами четыре белых и один черный. Каждый раз мы берем один шар из ящика и возвращаем его обратно. Как определить какова вероятность того, что за 10 повторений мы 2 раза достанем черный шар?
Подобные задачи легко решаются, при помощи формулы Бернулли, определяющей вероятность того, что в n независимых испытаниях будет ровно k раз наблюдаться событие, вероятность которого = p.
Формула имеет вид:

где p — вероятность возникновения события, — количество сочетаний n по k.
Подробности — сразу за калькулятором.

Вероятность возникновения k событий в n испытаниях

Вероятность возникновения события

Количество независимых испытаний

Количество событий в проведенных испытаниях

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Сохранить share extension

Вероятность получения черного шара только в первых k испытаниях из n возможных равна:
это всего лишь одна из возможных комбинаций. Согласно формулам комбинаторики всего возможно сочетаний n по к см. Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания.

Количество возникновения событий получения черного шара k это случайная величина, определяемая биноминальным законом распределения см: Биномиальное распределение. Функция плотности вероятности, кумулятивная функция распределения, математическое ожидание и дисперсия

planetcalc.ru

Формулы для вычисления вероятностей

Пусть пространство элементарных событий состоит из элементарных событий Е12,…,Еn.

Ω= Е12+…+Еn

Р(Е1)+P(Е2)+… +P(Еn)=1

Рассмотрим некоторое событие А= Еk1k2+…+Еkm

По теореме сложения получаем:

Р(А)= Р(Е

k1)+P(Еk2)+… +P(Еkm)

Р(Е1)=P(Е2)=… =P(Еn)=

(классическая формула для определения вероятности)

Формула полной вероятности

Событие А может наступить лишь при одном из условий Н12,…,Нn, тогда:

(1)

Доказательство:

А= АН1+АН2+…+АНn

Используя аксиому сложения получаем формулу (1)

Формула Байеса (формула гипотез)

Пусть событие А может наступить лишь при условии наступления одного из событий Н12,…,Нn, причем эти события образуют полную систему. Так как заранее неизвестно какое из этих событий наступит, эти события называют

гипотезами.

P(AHk)=P(A)P(Hk/A)

P(HkA)=P(Hk)P(A/ Hk)

P(A)P(Hk/A)=P(Hk)P(A/ Hk)

P(Hk/A)=αP(Hk)k=1,2,…,n

Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат опыта, а именно умножая априорную вероятностьP(Hk) на α получаем уточненную апостериорную вероятность того, что событие А произошло.

Формула Бернулли.

Пусть произошло nнезависимых опытов в каждом из которых может наступить некоторое событие А, причем оно наступит с вероятностью Р(А)=р и не наступит с вероятностью Р(

)=q, причемp+q=1.

Мы хотим узнать вероятность, что это событие произошло kраз.

Так как из nиспытаний вkэто событие наступило, то в (n-k) испытаний – нет.

Тогда по теореме умножения вероятностей независимых событий получаем:

Случайные величины.

Случайной величиной Х называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий для данного опыта, случайные величины задаются каким либо законом распределения ее вероятности.

Опыт состоит в подбрасывании монеты три раза: (1-герб, 0-цифра)

Е1=[0,0,0] Е2=[0,0,1] Е3=[0,1,0] Е4=[0,1,1]

Е5=[1,0,0] Е6=[1,0,1] Е7=[1,1,0] Е8=[1,1,1]

Х=Х(Ек) – число выпадающих гербов

Еi

Е1

Е2

Е3

Е4

Е5

Е6

Е7

Е8

X

0

1

1

2

1

2

2

3

Х=Х(Ai)

А11А2= Е2+ Е3+ Е5А3= Е4+ Е6+ Е7А49

Ai

А1

А2

А3

А4

Х

0

1

2

3

По теореме о сложении вероятностей несовместных событий:

Р(Х=0)=Р(А1)=1/8

Р(Х=1)=Р(А2)=3/8

Р(Х=2)=Р(А3)=3/8

Р(Х=3)=Р(А4)=1/8

Общий случай:

Пусть х12,…,хm– совокупность всех возможных значений некоторой величины Х, тогда закон распределения этой случайной величины записывается следующим образом:

Х

х1

х2

Хm

рi

p1

p2

pm

(1)
Pi=P(X=xi)

(X=x1), (X=x2)… (X=xm) –эти события образуют полную систему

(2) —условие нормировкидля дискретной случайной величины

Функция распределения

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), заданная на -∞≤х≤∞ и равная вероятности того, что случайная величина Х в результате опыта примет какое-либо значение меньшее чем х.

F(x)=P(X<x) (3)

Свойства функции распределения:

  1. 0≤F(x)≤1, -∞≤х≤∞ так какF(x)=P

  2. F(-∞)=0, так как{X<-∞}=θ

  3. F(∞)=1, так как{X<∞}=Ω

  4. F(x`)≤ F(x«), x`≤x«

Доказательство:

{X<x«}={X<x`}{ x`≤X<x«}

P(X<x«)=P(X<x`)+P( x`≤X<x«)

F(x«)-F(x`)=P( x`≤X<x«)≥0

F(x«)-F(x`)≥0 (4) (неубывающая функция)

x`=a x«=b

P(a≤X<b)= F(b)-F(a) (5)

Вероятность того, что в результате опыта Х примет какое-либо значение из промежутка [a,b) равна приращению функции распределения на концах этого промежутка.

(6)

Функция распределения для дискретной случайной величины является кусочно-постоянной (ступенчатой) со скачками в точках х12,…,хmи эти скачки равны Р12,…,Рm

В точке разрыва функция принимает значения слева

F(xi)=F(xi-0)

Случайная величина называется непрерывной, если функция распределения есть непрерывная функция.

(7)

studfiles.net

Формулы для вычисления вероятности событий

1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)

Предположим, что некоторый эксперимент можно проводить неоднократно при одних и тех же условиях. Пусть этот опыт производится n раз, т. е. проводится последовательность из n испытаний.

Определение. Последовательность n испытаний называют взаимно независимой, если любое событие, связанное с данным испытанием, не зависит от любых событий, относящихся к остальным испытаниям.

Допустим, что некоторое событие A может произойти с вероятностью p в результате одного испытания или не произойти с вероятностью q=1p.

Определение. Последовательность из n испытаний образует схему Бернулли, если выполняются следующие условия:

  1. последовательность

    n испытаний взаимно независима,

2) вероятность события A не изменяется от испытания к испытанию и не зависит от результата в других испытаниях.

Событие A называют “ успехом” испытания, а противоположное событие — “неудачей”. Рассмотрим событие

={ в n испытаниях произошло ровно m “успехов”}.

Для вычисления вероятности этого события справедлива формула Бернулли

p() = , m = 1, 2, …, n , (1.6)

где — число сочетаний из n элементов по

m :

= =.

Пример 1.16. Три раза подбрасывают кубик. Найти:

а) вероятность того, что 6 очков выпадет два раза;

б) вероятность того, что число шестерок не появится более двух раз.

Решение. “Успехом” испытания будем считать выпадение на кубике грани с изображением 6 очков.

а) Общее число испытаний – n =3, число “успехов” – m = 2. Вероятность “успеха” — p=, а вероятность “неудачи” — q= 1 — =. Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что результате трехразового бросания кубика два раза выпадет сторона с шестью очками, будет равна

.

б) Обозначим через А событие, которое заключается в том, что грань с числом очков 6 появится не более двух раз. Тогда событие можно представить в виде суммы трех несовместных событий А= ,

где В30 – событие, когда интересующая грань ни разу не появится,

В31 — событие, когда интересующая грань появится один раз,

В32 — событие, когда интересующая грань появится два раза.

По формуле Бернулли (1.6) найдем

p(А) = р () = p()=++=

=.

1.3.2. Условная вероятность события

Условная вероятность отражает влияние одного события на вероятность другого. Изменение условий, в которых проводится эксперимент, также влияет

на вероятность появления интересующего события.

Определение. Пусть A и B – некоторые события, и вероятность p(B)>0.

Условной вероятностью события A при условии, что “событие B уже произошло” называется отношение вероятности произведения данных событий к вероятности события, которое произошло раньше, чем событие, вероятность которого требуется найти. Условная вероятность обозначается как p(AB). Тогда по определению

p (A B) = . (1.7)

Пример 1.17. Подбрасывают два кубика. Пространство элементарных событий состоит из упорядоченных пар чисел

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

В примере 1.16 было установлено, что событие A ={число очков на первом кубике > 4} и событие C ={сумма очков равна 8} зависимы. Составим отношение

.

Это отношение можно интерпретировать следующим образом. Допустим, что о результате первого бросания известно, что число очков на первом кубике > 4. Отсюда следует, что бросание второго кубика может привести к одному из 12 исходов, составляющих событие A:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

При этом событию C могут соответствовать только два из них (5,3) (6,2). В этом случае вероятность события C будет равна . Таким образом, информация о наступлении событияA оказала влияние на вероятность события C.

      1. Вероятность произведения событий

Теорема умножения

Вероятность произведения событий A1 A2 An определяется формулой

p(A1 A2 An) = p(A1) p(A2 A1))p(An A1A2An-1). (1.8)

Для произведения двух событий отсюда следует, что

p(AB) = p(A B) p{B) = p(B A) p{A). (1.9)

Пример 1.18. В партии из 25 изделий 5 изделий бракованных. Последовательно наугад выбирают 3 изделия. Определить вероятность того, что все выбранные изделия бракованные.

Решение. Обозначим события:

A1 = {первое изделие бракованное},

A2 = {второе изделие бракованное},

A3 = {третье изделие бракованное},

A = {все изделия бракованные}.

Событие А есть произведение трех событий A = A1 A2 A3 .

Из теоремы умножения (1.6) получим

p(A) = р( A1 A2 A3 ) =p(A1) p(A2 A1))p(A3 A1A2).

Классическое определение вероятности позволяет найти p(A1) – это отношение числа бракованных изделий к общему количеству изделий:

p(A1)=;

p(A2)это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия одного, к общему числу оставшихся изделий:

p(A2 A1))=;

p(A3 ) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия двух бракованных, к общему числу оставшихся изделий:

p(A3 A1A2)=.

Тогда вероятность события A будет равна

p(A) ==.

studfiles.net

Вычисление вероятности

1. Задача 1. В урне четыре белых и пять черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что один из этих шаров — белый, а другой — черный.

Решение.

Обозначим через А событие, состоящее в том, что один из этих шаров — белый, а другой — черный.

Вероятность события А найдем используя условную вероятность.

= 0,278 – вероятность того, что первый шар белый. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности. – вероятность того, что второй шар чнрный. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности.

Ответ: 0,278.

2. Задача 2. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

Решение.

Пусть событие

состоит в том, что сигнал пройдет с входа на выход. ,

где

– событие, состоящие в том, что i-ый элемент находится в рабочем состоянии.

Т.к. события

— независимые совместные события.

Ответ: 0,994.

3. Задача 3. На трех автоматических станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что 30% продукции производится первым станком, 25% — вторым и 45% — третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99 , на втором — 0,988 и на третьем — 0,98. Изготовленные в течение дня на трех станках нерассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.

Решение. Событие А состоит в том, что что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.

Гипотезы Н1 , Н2 , Н3 .

– деталь изготовлена на первом станке; – деталь изготовлена на втором станке; – деталь изготовлена на третьем станке;

Гипотезы Нi образуют полную группу событий.

Воспользуемся формулой полной вероятности:

– полная вероятность. =; =; =; =; =0,45; =;

Тогда

. = 0,015.

Ответ: 0,0,015.

4. Задача 4. Игральную кость подбрасывают 12 раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений 6?

Решение.

Найдем

– наиболее вероятное число выпадений 6.

Наивероятнейшее число

определяют из двойного неравенства: ;
– вероятность появления события в каждом из независимых испытаний. – вероятность того, что при одном испытании выпадет 6 (по формуле классической вероятности). . – по условию. ;

Так как

– целое число, то наивероятнейшее число звонков равно .

Ответ: 2.

5. Задача 5. Дискретная случайная величина

может принимать одно из пяти фиксированных значений , , , , с вероятностями , , , , соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины . Рассчитать и построить график функции распределения.

Решение.

Таблица 1.

Найдем числовые характеристики данного распределения.

Математическое ожидание

= 4,25

Дисперсию определим по формуле:

. = 24,55.

Тогда

Найдем функцию распределения случайной величины.

.

Построим график этой функции

6. Задача 6. Случайная величина

задана плотностью вероятности

Определить константу

, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины , а также вероятность ее попадания в интервал [0;]

Решение.

Коэффициент

найдем используя свойство функции плотности распределения: . Так как функция плотности распределения принимает отличные от нуля значения на интервале , то .

Вычислим определенный интеграл:

.

Следовательно,

, .

Математическое ожидание

найдем по формуле:

mirznanii.com

Формулы для вычисления вероятности событий

1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)

Предположим, что некоторый эксперимент можно проводить неоднократно при одних и тех же условиях. Пусть этот опыт производится n раз, т. е. проводится последовательность из n испытаний.

Определение. Последовательность n испытаний называют взаимно независимой, если любое событие, связанное с данным испытанием, не зависит от любых событий, относящихся к остальным испытаниям.

Допустим, что некоторое событие A может произойти с вероятностью p в результате одного испытания или не произойти с вероятностью q=1p.

Определение. Последовательность из n испытаний образует схему Бернулли, если выполняются следующие условия:

  1. последовательность n испытаний взаимно независима;

2) вероятность события A не изменяется от испытания к испытанию и не зависит от результата в других испытаниях.

Событие A называют “ успехом” испытания, а противоположное событие — “неудачей”. Рассмотрим событие

={ в n испытаниях произошло ровно m “успехов”}.

Для вычисления вероятности этого события справедлива формула Бернулли

p() = , m = 1, 2, …, n , (1.6)

где — число сочетаний из n элементов по m :

= =.

Пример 1.16. Три раза подбрасывают кубик. Найти:

а) вероятность того, что 6 очков выпадет два раза;

б) вероятность того, что число шестерок не появится более двух раз.

Решение. “Успехом” испытания будем считать выпадение на кубике грани с изображением 6 очков.

а) Общее число испытаний – n =3, число “успехов” – m = 2. Вероятность “успеха” — p=, а вероятность “неудачи” — q= 1 — =. Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что результате трехразового бросания кубика два раза выпадет сторона с шестью очками, будет равна

.

б) Обозначим через А событие, которое заключается в том, что грань с числом очков 6 появится не более двух раз. Тогда событие можно представить в виде суммы трех несовместных событий А= ,

где В30 – событие, когда интересующая грань ни разу не появится,

В31 — событие, когда интересующая грань появится один раз,

В32 — событие, когда интересующая грань появится два раза.

По формуле Бернулли (1.6) найдем

p(А) = р () = p()=++=

=.

1.3.2. Условная вероятность события

Условная вероятность отражает влияние одного события на вероятность другого. Изменение условий, в которых проводится эксперимент, также влияет

на вероятность появления интересующего события.

Определение. Пусть A и B – некоторые события, и вероятность p(B)>0.

Условной вероятностью события A при условии, что “событие B уже произошло” называется отношение вероятности произведения данных событий к вероятности события, которое произошло раньше, чем событие, вероятность которого требуется найти. Условная вероятность обозначается как p(AB). Тогда по определению

p (A B) = . (1.7)

Пример 1.17. Подбрасывают два кубика. Пространство элементарных событий состоит из упорядоченных пар чисел

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

В примере 1.16 было установлено, что событие A ={число очков на первом кубике > 4} и событие C ={сумма очков равна 8} зависимы. Составим отношение

.

Это отношение можно интерпретировать следующим образом. Допустим, что о результате первого бросания известно, что число очков на первом кубике > 4. Отсюда следует, что бросание второго кубика может привести к одному из 12 исходов, составляющих событие A:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

При этом событию C могут соответствовать только два из них (5,3) (6,2). В этом случае вероятность события C будет равна . Таким образом, информация о наступлении событияA оказала влияние на вероятность события C.

      1. Вероятность произведения событий

Теорема умножения

Вероятность произведения событий A1 A2 An определяется формулой

p(A1 A2 An) = p(A1) p(A2 A1))p(An A1A2An-1). (1.8)

Для произведения двух событий отсюда следует, что

p(AB) = p(A B) p{B) = p(B A) p{A). (1.9)

Пример 1.18. В партии из 25 изделий 5 изделий бракованных. Последовательно наугад выбирают 3 изделия. Определить вероятность того, что все выбранные изделия бракованные.

Решение. Обозначим события:

A1 = {первое изделие бракованное},

A2 = {второе изделие бракованное},

A3 = {третье изделие бракованное},

A = {все изделия бракованные}.

Событие А есть произведение трех событий A = A1 A2 A3 .

Из теоремы умножения (1.6) получим

p(A) = р( A1 A2 A3 ) =p(A1) p(A2 A1))p(A3 A1A2).

Классическое определение вероятности позволяет найти p(A1) – это отношение числа бракованных изделий к общему количеству изделий:

p(A1)=;

p(A2)это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия одного, к общему числу оставшихся изделий:

p(A2 A1))=;

p(A3 ) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия двух бракованных, к общему числу оставшихся изделий:

p(A3 A1A2)=.

Тогда вероятность события A будет равна

p(A) ==.

studfiles.net

Как рассчитать вероятность события в ставках?

Выбор правильной ставки зависит не только от интуиции, спортивных знаний, букмекерских коэффициентов, но и от коэффициента вероятности события. Возможность рассчитать подобный показатель в беттинге является залогом успеха в прогнозировании предстоящего события, на который предполагается осуществление ставки.
В букмекерских конторах существует три вида коэффициентов (подробней в статье «Что такое коэффициент в ставках на спорт»), от разновидности которых зависит, как рассчитать вероятность события игроку.

Десятичные коэффициенты

Расчет вероятности события в таком случае происходит по формуле: 1/коэф.соб. = в.и, где коэф.соб. – коэффициент события, а в.и – вероятность исхода. Например, берем коэффициент события 1,80 при ставке в один доллар, совершая математическое действие по формуле, игрок получает, что вероятность исхода события по версии букмекера 0,55 процента.

Дробные коэффициенты

При использовании дробных коэффициентов формула расчета вероятности будет другая. Так при коэффициенте 7/2, где первая цифра означает возможный размер чистой прибыли, а вторая размер необходимой ставки, для получения этой прибыли, уравнение будет выглядеть следующим образом: зн.коэф/ на сумму зн.коэф и чс.коэф = в.и. Здесь зн.коэф – знаменатель коэффициента, чс.коэф – числитель коэффициента, в.и – вероятность исхода. Таким образом, для дробного коэффициента 7/2 уравнение выглядит как 2 / (7+2) = 2 / 9 = 0.22, следовательно, 0,22 процента вероятность исхода события по версии букмекерской конторы.

Американские коэффициенты

Американские коэффициенты мало популярны у игроков и, как правило, используются исключительно в США, обладая сложной и запутанной структурой. Для ответа на вопрос: «Как посчитать вероятность события таким способом?», нужно знать, что подобные коэффициенты могут быть отрицательными и положительными.

Коэффициент со знаком «-», например -150, показывает, что игроку для получения чистой прибыли в 100 долларов необходимо совершить ставку в 150 долларов. Вероятность события рассчитывается исходя из формулы, где нужно разделить отрицательный коэффициент на сумму отрицательного коэффициента и 100. Выглядит это на примере ставки -150, так (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0.6, где 0,6 умножается на 100 и исход вероятности события составляет 60 процентов. Эта же формула подходит и для положительных американских коэффициентов.

betrating.ru

Что такое условная вероятность и как ее правильно рассчитывать?

Нередко в жизни мы сталкиваемся с тем, что нужно оценить шансы наступления какого-либо события. Стоит ли покупать лотерейный билет или нет, каков будет пол третьего ребенка в семье, будет ли завтра ясная погода или снова пойдет дождь – таких примеров можно привести бесчисленное множество. В самом простом случае следует разделить число благоприятных исходов на общее число событий. Если в лотерее 10 билетов выигрышных, а всего их 50, то шансы получить приз равны 10/50 = 0,2, то есть 20 против 100. А как поступать в том случае, если есть несколько событий, и они тесно связаны между собой? В этом случае нас будет интересовать уже не простая, а условная вероятность. Что это за величина и как ее можно посчитать – об этом как раз и будет рассказано в нашей статье.

Понятие

Условная вероятность – это шансы наступления определенного события при условии, что другое связанное с ним событие уже произошло. Рассмотрим простой пример с бросанием монетки. Если жеребьевки еще не было, то шансы выпадения орла или решки будут одинаковыми. Но если раз пять подряд монетка ложилась гербом вверх, то согласитесь ожидать 6-го, 7-го, а тем более 10-го повторения такого исхода будет нелогично. С каждым повторным разом выпадения орла, шансы появления решки растут и рано или поздно она-таки выпадет.

Формула условной вероятности

Давайте теперь разберемся с тем, как эта величина рассчитывается. Обозначим первое событие через В, а второе через А. Если шансы наступления В отличны от нуля, то тогда будет справедливым следующее равенство:

Р (А|В) = Р (АВ) / Р (В), где:

  • Р (А|В) – условная вероятность итога А;
  • Р (АВ) – вероятность совместного появления событий А и В;
  • Р (В) – вероятность события В.

Слегка преобразовав данное соотношение получим Р (АВ) = Р(А|В) * Р (В). А если применить метод индукции, то можно вывести формулу произведения и использовать ее при произвольном числе событий:

Р (А1, А2, А3,…Ап) = Р (А12…Ап)*Р(А23…Ап) * Р (А34…Ап)… Р (Ап-1п) * Р (Ап).

Практика

Чтобы было легче разобраться с тем, как рассчитывается условная вероятность события, рассмотрим парочку примеров. Предположим имеется ваза, в которой находятся 8 шоколадных конфет и 7 мятных. По размерам они одинаковы и наугад последовательно вытаскиваются две из них. Какие будут шансы того, что обе из них окажутся шоколадными? Введем обозначения. Пусть итог А означает, что первая конфета шоколадная, итог В – вторая конфета шоколадная. Тогда получится следующее:

Р (А) = Р (В) = 8 / 15,

Р (А|В) = Р (В|А) = 7 / 14 = 1/2,

Р (АВ) = 8 /15 х 1/2 = 4/15 ≈ 0,27

Рассмотрим еще один случай. Предположим, есть двухдетная семья и нам известно, что, по крайней мере, один ребенок является девочкой.

Какова условная вероятность того, что мальчиков у этих родителей пока нет? Как и в предыдущем случае, начнем с обозначений. Пусть Р (В) – вероятность того, что в семье есть хотя бы одна девочка, Р (А|В) – вероятность того, что второй ребенок тоже девочка, Р (АВ) – шансы того, что в семье две девочки. Теперь произведем расчёты. Всего может быть 4 разных комбинаций пола детей и при этом лишь в одном случае (когда в семье два мальчика), девочки среди детей не будет. Поэтому вероятность Р (В) = 3/4, а Р (АВ) = 1/4. Тогда следуя нашей формуле получим:

Р (А|В) = 1/4 : 3/4 = 1/3.

Интерпретировать результат можно так: если бы нам не было б известно о поле одного из детей, то шансы двух девочек были бы 25 против 100. Но поскольку мы знаем, что один ребенок девочка, вероятность того, что в семье мальчиков нет, возрастает до одной третьей.

fb.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.