Решите неравенство 3^x+3^2-x
Дано неравенство:$$- x + 3^{x} + 9 Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- x + 3^{x} + 9 = 10$$
Решаем:
$$x_{1} = -1 — \frac{1}{\log{\left (3 \right )}} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{1}{3} \log{\left (3 \right )} \right )}$$
$$x_{1} = -1 — \frac{1}{\log{\left (3 \right )}} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{1}{3} \log{\left (3 \right )} \right )}$$
Данные корни
$$x_{1} = -1 — \frac{1}{\log{\left (3 \right )}} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{1}{3} \log{\left (3 \right )} \right )}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
/-log(3) \
LambertW|--------|
\ 3 / 1
-1 - ------------------ - --
1 10
log (3) =
$$- \frac{11}{10} — \frac{1}{\log{\left (3 \right )}} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{1}{3} \log{\left (3 \right )} \right )}$$
подставляем в выражение
$$- x + 3^{x} + 9
/-log(3) \ LambertW|--------| \ 3 / 1 -1 - ------------------ - -- /-log(3) \ 1 10 LambertW|--------| log (3) \ 3 / 1 3 + 9 - -1 - ------------------ - -- /-log(3) \ LambertW|--------| 11 \ 3 / /-log(3) \ - -- - ------------------ LambertW|--------|
но/-log(3) \ LambertW|--------| 11 \ 3 / /-log(3) \ - -- - ------------------ LambertW|--------| > 10 101 10 log(3) \ 3 / --- + 3 + ------------------ 10 log(3)
Тогда
$$x не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > -1 - \frac{1}{\log{\left (3 \right )}} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{1}{3} \log{\left (3 \right )} \right )}$$_____ / -------ο------- x1
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство x3-x2+x-1/x+8
Дано неравенство:$$x + — x_{2} + x_{3} — \frac{1}{x} + 8 \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x + — x_{2} + x_{3} — \frac{1}{x} + 8 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$x + — x_{2} + x_{3} — \frac{1}{x} + 8 = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
и x
получим:
$$x \left(x + — x_{2} + x_{3} — \frac{1}{x} + 8\right) = 0 x$$
$$x^{2} — x x_{2} + x x_{3} + 8 x — 1 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = — x_{2} + x_{3} + 8$$
$$c = -1$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(8 + x3 - x2)^2 - 4 * (1) * (-1) = 4 + (8 + x3 - x2)^2
Уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = \frac{x_{2}}{2} — \frac{x_{3}}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\left(- x_{2} + x_{3} + 8\right)^{2} + 4} — 4$$
$$x_{2} = \frac{x_{2}}{2} — \frac{x_{3}}{2} — \frac{1}{2} \sqrt{\left(- x_{2} + x_{3} + 8\right)^{2} + 4} — 4$$
$$x_{1} = \frac{x_{2}}{2} — \frac{x_{3}}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\left(- x_{2} + x_{3} + 8\right)^{2} + 4} — 4$$
$$x_{2} = \frac{x_{2}}{2} — \frac{x_{3}}{2} — \frac{1}{2} \sqrt{\left(- x_{2} + x_{3} + 8\right)^{2} + 4} — 4$$
$$x_{1} = \frac{x_{2}}{2} — \frac{x_{3}}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\left(- x_{2} + x_{3} + 8\right)^{2} + 4} — 4$$
$$x_{2} = \frac{x_{2}}{2} — \frac{x_{3}}{2} — \frac{1}{2} \sqrt{\left(- x_{2} + x_{3} + 8\right)^{2} + 4} — 4$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{x_{2}}{2} — \frac{x_{3}}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\left(- x_{2} + x_{3} + 8\right)^{2} + 4} — 4$$
$$x_{2} = \frac{x_{2}}{2} — \frac{x_{3}}{2} — \frac{1}{2} \sqrt{\left(- x_{2} + x_{3} + 8\right)^{2} + 4} — 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
____________________
/ 2
x2 \/ 4 + (8 + x3 - x2) x3 1
-4 + -- + ----------------------- - -- - --
2 2 2 10=
$$\frac{x_{2}}{2} — \frac{x_{3}}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\left(- x_{2} + x_{3} + 8\right)^{2} + 4} — \frac{41}{10}$$
подставляем в выражение
$$x + — x_{2} + x_{3} — \frac{1}{x} + 8 \leq 0$$
____________________
/ 2
x2 \/ 4 + (8 + x3 - x2) x3 1 1
x3 - x2 + -4 + -- + ----------------------- - -- - -- - ------------------------------------------- + 8 ____________________
/ 2
39 x3 \/ 4 + (8 + x3 - x2) 1 x2
-- + -- + ----------------------- - ---------------------------------------- - --
10 2 2 ____________________ 2
Тогда
$$x \leq \frac{x_{2}}{2} - \frac{x_{3}}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\left(- x_{2} + x_{3} + 8\right)^{2} + 4} - 4$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq \frac{x_{2}}{2} - \frac{x_{3}}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\left(- x_{2} + x_{3} + 8\right)^{2} + 4} - 4 \wedge x \leq \frac{x_{2}}{2} - \frac{x_{3}}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{\left(- x_{2} + x_{3} + 8\right)^{2} + 4} - 4$$ _____
/ \
-------•-------•-------
x1 x2www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство |x^2-3|
Дано неравенство:$$\left|{x^{2} — 3}\right| Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x^{2} — 3}\right| = 2$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение «>= 0» или «решаем получившиеся ур-ния.
1.
$$x^{2} — 3 \geq 0$$
или
$$\left(x \leq — \sqrt{3} \wedge -\infty получаем ур-ние
$$x^{2} — 3 — 2 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x^{2} — 5 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = — \sqrt{5}$$
$$x_{2} = \sqrt{5}$$
2.
$$x^{2} — 3 или
$$- \sqrt{3} получаем ур-ние
$$- x^{2} + 3 — 2 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- x^{2} + 1 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = -1$$
$$x_{4} = 1$$
$$x_{1} = — \sqrt{5}$$
$$x_{2} = \sqrt{5}$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{4} = 1$$
$$x_{1} = — \sqrt{5}$$
$$x_{2} = \sqrt{5}$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{4} = 1$$
Данные корни
$$x_{1} = — \sqrt{5}$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{4} = 1$$
$$x_{2} = \sqrt{5}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
___ 1
- \/ 5 - --
10=
$$- \sqrt{5} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x^{2} — 3}\right|
| 2 |
|/ ___ 1 \ |
||- \/ 5 - --| - 3| 2
/1 ___\
-3 + |-- + \/ 5 |
но 2
/1 ___\
-3 + |-- + \/ 5 | > 2
\10 /
Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \sqrt{5} \wedge x _____ _____
/ \ / \
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
x1 x3 x4 x2
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > - \sqrt{5} \wedge x $$x > 1 \wedge x Быстрый ответ[LaTeX]
/ / ___\ / ___ \\ Or\And\1 < x, x < \/ 5 /, And\-\/ 5 < x, x < -1//
$$\left(1
Быстрый ответ 2[LaTeX]
___ ___ (-\/ 5 , -1) U (1, \/ 5 )
$$x \in \left(- \sqrt{5}, -1\right) \cup \left(1, \sqrt{5}\right)$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство 2*x^2
Дано неравенство:$$2 x^{2} Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 x^{2} = 3$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.
Уравнение превратится из
$$2 x^{2} = 3$$
в
$$2 x^{2} — 3 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 0$$
$$c = -3$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (2) * (-3) = 24
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{\sqrt{6}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{\sqrt{6}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{\sqrt{6}}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = — \frac{\sqrt{6}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
___
\/ 6 1
- ----- - --
2 10=
$$- \frac{\sqrt{6}}{2} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$2 x^{2}
2 / ___ \ | \/ 6 1 | 2*|- ----- - --|2 / ___\ | 1 \/ 6 |
но2 / ___\ | 1 \/ 6 | > 3 2*|- -- - -----| \ 10 2 /
Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \frac{\sqrt{6}}{2} \wedge x_____ / \ -------ο-------ο------- x2 x1
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство x^2+3*x
Дано неравенство:$$x^{2} + 3 x Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} + 3 x = 8$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.
Уравнение превратится из
$$x^{2} + 3 x = 8$$
в
$$x^{2} + 3 x — 8 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 3$$
$$c = -8$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(3)^2 - 4 * (1) * (-8) = 41
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = — \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{41}}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{\sqrt{41}}{2} — \frac{3}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{41}}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{\sqrt{41}}{2} — \frac{3}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{41}}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{\sqrt{41}}{2} — \frac{3}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = — \frac{\sqrt{41}}{2} — \frac{3}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{41}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
____ 3 \/ 41 1 - - - ------ - -- 2 2 10
=
$$- \frac{\sqrt{41}}{2} — \frac{8}{5}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} + 3 x
2
/ ____ \ / ____ \
| 3 \/ 41 1 | | 3 \/ 41 1 |
|- - - ------ - --| + 3*|- - - ------ - --| 2
/ ____\ ____
24 | 8 \/ 41 | 3*\/ 41
но 2
/ ____\ ____
24 | 8 \/ 41 | 3*\/ 41 > 8
- -- + |- - - ------| - --------
5 \ 5 2 / 2
Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \frac{\sqrt{41}}{2} - \frac{3}{2} \wedge x _____
/ \
-------ο-------ο-------
x2 x1www.kontrolnaya-rabota.ru