Функция непрерывная это – Лекция 14. Непрерывность функции

Содержание

Непрерывная функция — это… Что такое Непрерывная функция?

Эта статья — о непрерывной числовой функции. О непрерывных отображениях в различных разделах математики см. непрерывное отображение.

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.

Определения

ε-δ определение

Пусть и .

Функция непрерывна в точке , если для любого существует такое, что для любого

Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция класса и пишут: или, подробнее, .

Точки разрыва

Если условие, входящее в определение непрерывности функции в некоторой точке, нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если — значение функции в точке , то предел такой функции (если он существует) не совпадает с . На языке окрестностей условие разрывности функции в точке получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки области значений функции , что как бы мы близко не подходили к точке области определения функции , всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки .

Устранимые точки разрыва

Если предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке:

тогда точка называется точкой устранимого разрыва функции (в комплексном анализе — устранимая особая точка).

Если «поправить» функцию в точке устранимого разрыва и положить , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется

доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.

Точки разрыва первого и второго рода

Если предел функции в данной точке отсутствует (и функцию нельзя доопределить до непрерывной), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:

если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода;
если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.

Свойства

Локальные

Глобальные

Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.

Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
Областью значений функции , непрерывной на отрезке , является отрезок где минимум и максимум берутся по отрезку .
Если функция непрерывна на отрезке и то существует точка в которой .
Если функция непрерывна на отрезке и число удовлетворяет неравенству или неравенству то существует точка в которой .
Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами и .
Если функции и непрерывны на отрезке , причем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Примеры

Элементарные функции

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.

Функция с устранимым разрывом

Функция задаваемая формулой

непрерывна в любой точке Точка является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

Функция знака

Функция

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в каждой точке .

Точка является точкой разрыва первого рода, причём

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Ступенчатая функция

Ступенчатая функция, определяемая как

является всюду непрерывной, кроме точки , где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, данная функция является примером

непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

Функция Дирихле

Функция

называется функцией Дирихле. По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел. Эта функция является всюду разрывной функцией, поскольку на каждом интервале существуют как рациональные, так и иррациональные числа.

Функция Римана

Функция

называется функцией Римана.

Эта функция является непрерывной всюду в множестве иррациональных чисел (), поскольку предел функции в каждой точке равен нулю.

Вариации и обобщения

Равномерная непрерывность

Функция называется равномерно непрерывной на , если для любого существует такое, для любых двух точек и таких, что выполняется .

Каждая равномерно непрерывная на множестве функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.

Полунепрерывность

Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху:

Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:

В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:

если , то будем считать такую функцию полунепрерывной снизу в точке ;
если , то будем считать такую функцию полунепрерывной сверху в точке .

Односторонняя непрерывность

Функция называется односторонне непрерывной слева (справа) в каждой точке её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство: ()

Непрерывность почти всюду

На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная мера Лебега. Если функция такова, что она непрерывна всюду на , кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется

непрерывной почти всюду.

В том случае, когда множество точек разрыва функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману).

Литература

Зорич В. А. Математический анализ, часть I. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.

dic.academic.ru

НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ — это… Что такое НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ?

— одно из основных понятий математического анализа.

Пусть действительная функция f определена на нек-ром подмножестве Едействительных чисел , т. е. . Функция f наз. непрерывной в точке (или, подробнее, непрерывной в точке по множеству Е), если для любого числа существует такое число , что для всех точек , удовлетворяющих условию выполняется неравенство

Если обозначить

соответственно и -окрестности точек и , то данное определение можно перефразировать следующим образом: функция f наз. непрерывной в точке если для любой -окрестности точки существует такая -окрестность точки , что

Используя понятие предела, можно сказать, что функция /непрерывна в точке х ₀, если в этой точке существует ее предел по множеству Еи этот предел равен :

Это равносильно тому, что

где т. е. бесконечно малому приращению аргумента в точке х ₀ соответствует бесконечно малое приращение функции.

В терминах предела последовательности определение Н. ф. в точке : функция fнепрерывна в точке , если для любой последовательности точек

имеет место

Все приведенные определения Н. ф. в точке эквивалентны между собой.

Если функция f непрерывна в точке по множеству (соответственно по множеству ), то функция наз. непрерывной справа (слева) в точке

Все основные элементарные функции являются непрерывными во всех точках их областей определения. Важным свойством Н. ф. является замкнутость класса непрерывных функций относительно арифметич. операций и операции композиции функций. Более точно, если действительные функции , непрерывны в точке , то их сумма и произведение , а при и частное (заведомо определенное в пересечении нек-рой окрестности точки х ₀ с множеством Е)непрерывны в точке х ₀. Если, как и выше, функция непрерывна в точке а функция такова, что и, следовательно, имеет смысл композиция , причем существует такое и функция непрерывна в точке t₀, то композиция также непрерывна в точке t₀. Таким образом, в этом случае

т. е. в этом смысле операция предельного перехода перестановочна с операцией взятия Н. ф. Из перечисленных свойств Н. ф. следует, что не только основные, но и любые элементарные функции непрерывны в области их определения. Сохраняется свойстве непрерывности и при равномерном предельном переходе: если последовательность функций равномерно сходится на множестве Еи каждая функция непрерывна в точке то и предельная функция непрерывна в этой точке.

Если функция непрерывна в каждой точке множества Е, то она наз. непрерывной на множестве Е. Если и функция f непрерывна в точке х ₀, то сужение функции f на множестве Е’ также непрерывно при . (Обратное, вообще говоря, неверно. Напр., сужение Дирихле функции как на множестве рациональных, так и иррациональных точек непрерывно, а сама функция Дирихле разрывна во всех точках.

Важный класс действительных Н. ф. одного переменного образуют функции, непрерывные на отрезках. Они обладают следующими свойствами.

Первая теорема Вейерштрасса: функция, непрерывная на отрезке, ограничена на нем.

Вторая теорема Вейерштрасса: функция, непрерывная на отрезке, принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

Теорема Коши о промежуточных значениях: функция, непрерывная на отрезке, принимает на нем любое значение, заключенное между значениями, к-рые она принимает на концах отрезка.

Теорема об обратной функции: если функция непрерывна и строго монотонна на отрезке, то у нее существует однозначная обратная функция, к-рая также определена на нек-ром отрезке, строго монотонна и непрерывна на нем.

Теорема Кантора о равномерной непрерывности: функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.

Всякая функция, непрерывная на отрезке, может быть равномерно сколь угодно точно приближена алгебраич. многочленом, а всякая функция f, непрерывная на отрезке и такая, что может быть равномерно сколь угодно точно приближена тригонометрич. полиномами (см. Вейерштрасса теорема о приближении функций).

Понятие Н. ф. обобщается на более общие виды функций, прежде всего на функции многих переменных. Сформулированное выше определение Н. ф. формально сохраняется, если под Епонимать подмножество и-мерного евклидова пространства , под — расстояние в этом пространстве между точками и , под — -окрестность в точки а под

понимать предел последовательности точек в пространстве . Функция , многих переменных непрерывная в точке наз. также непрерывной в этой точке по совокупности переменных в отличие от функций многих переменных, непрерывных по отдельным переменным. Функция наз. непрерывной в точке х ₀, напр., п о переменной х ₁, если в точке непрерывно сужение функции f на множестве

т. е. в точке непрерывна функция одного переменного . Функция , может быть непрерывной в точке хпо каждому переменному но может не быть непрерывной в этой точке по совокупности переменных. Определение Н. ф. непосредственно переносится на комплекснозначные функции. Следует лишь в данном выше определении под понимать абсолютную величину комплексного числа , а под

— предел в комплексной плоскости.

Все эти определения являются частным случаем более общего понятия Н. ф. f, областью определения которой является некоторое топологическое пространство Xи значения которой принадлежат некоторому топологическому пространству Y (см. Непрерывное отображение).

На непрерывные отображения топологич. пространств переносятся многие свойства действительных Н. ф. одного переменного. Обобщение упомянутых выше теорем Вейерштрасса: непрерывный образ бикомпактного топологич. пространства в хаусдорфовом топологич. пространстве является бикомпактом. Обобщение теоремы Коши о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции: непрерывный образ в топологич. пространстве связного топологич. пространства также связен. Обобщение теоремы о функции, обратной к непрерывной строго монотонной функции: взаимно однозначное непрерывное отображение бикомпакта на топологич. хаусдорфово пространство есть гомеоморфизм. Обобщение теоремы о пределе равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций: если -равномерно сходящаяся последовательность непрерывных в точке отображений топологич. пространства Xв метрич. пространство Y, то предельное отображение также непрерывно в точке x₀.

Обобщением теоремы Вейерштрасса о приближении функций непрерывных на отрезке многочленами является Вейерштрасса— Стоуна теорема.

Лит.:[1] Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [2] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [3] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1-2, М., 1975; [4] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971. Л. Д. Кудрявцев,

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

dic.academic.ru

Непрерывная функция — Википедия

ε-δ определение[править]

Пусть и .

Функция непрерывна в точке , если для любого существует такое, что для любого

Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция класса и пишут: или, подробнее, .

Комментарии[править]

Если условие, входящее в определение непрерывности функции, в некоторой точке нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если — значение функции в точке , то предел такой функции (если он существует) не совпадает с . На языке окрестностей условие разрывности функции в точке получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки области значений функции , что как бы мы близко не подходили к точке области определения функции , всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки .

Классификация точек разрыва в R¹[править]

Классификация разрывов функций зависит от того, как устроены множества X и Y. Здесь приведена классификация для простейшего случая — . Таким же образом классифицируют и особые точки (точки, где функция не определена). Стоит заметить, что классификация в различается от автора к автору.

Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:

если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода. К точкам разрыва первого рода относят устранимые разрывы и скачки.
если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода. К точкам разрыва второго рода относят полюса и точки существенного разрыва.

Устранимый разрыв

Разрыв типа «скачок»

Особая точка типа «полюс». Если доопределить функцию для x=2 — получится разрыв «полюс».

Точка существенного разрыва

Устранимая точка разрыва[править]

Если предел функции существует и конечен, но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:

то точка называется точкой устранимого разрыва функции (в комплексном анализе — устранимая особая точка).

Если «поправить» функцию в точке устранимого разрыва и положить , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.

Точка разрыва «скачок»[править]

Разрыв «скачок» возникает, если

Точка разрыва «полюс»[править]

Разрыв «полюс» возникает, если один из односторонних пределов бесконечен.

или .^{[источник не указан 895 дней]}

Точка существенного разрыва[править]

В точке существенного разрыва один из односторонних пределов вообще отсутствует.

Классификация изолированных особых точек в Rⁿ, n>1[править]

Для функций и нет нужды работать с точками разрыва, зато часто приходится работать с особыми точками (точками, где функция не определена). Классификация сходная.

Если , то это устранимая особая точка (аналогично функции действительного аргумента).
Полюс определяется как . В многомерных пространствах, если модуль числа растёт, считается, что , каким путём бы он ни рос.^{[источник не указан 895 дней]}
Если предел вообще не существует, это существенная особая точка.

Понятие «скачок» отсутствует. То, что в считается скачком, в пространствах бóльших размерностей — существенная особая точка.

Локальные[править]

Глобальные[править]

Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
Областью значений функции , непрерывной на отрезке , является отрезок где минимум и максимум берутся по отрезку .
Если функция непрерывна на отрезке и то существует точка в которой .
Если функция непрерывна на отрезке и число удовлетворяет неравенству или неравенству то существует точка в которой .
Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область её значений является отрезком с концами и .
Если функции и непрерывны на отрезке , причем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Элементарные функции[править]

Функция с устранимым разрывом[править]

Функция задаваемая формулой

непрерывна в любой точке Точка является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

Функция знака[править]

Функция

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в каждой точке .

Точка является точкой разрыва первого рода, причём

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Ступенчатая функция[править]

Ступенчатая функция, определяемая как

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

Функция Дирихле[править]

Функция

Функция Римана[править]

Функция

называется функцией Римана или функцией Томае (англ.).

Вариации и обобщения[править]

Равномерная непрерывность[править]

Функция называется равномерно непрерывной на , если для любого существует такое, что для любых двух точек и таких, что , выполняется .

Полунепрерывность[править]

Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху:

Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:

В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:

если , то будем считать такую функцию полунепрерывной снизу в точке ;
если , то будем считать такую функцию полунепрерывной сверху в точке .

Односторонняя непрерывность[править]

Функция называется односторонне непрерывной слева (справа) в каждой точке её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство:

Непрерывность почти всюду[править]

Зорич В. А. Математический анализ, часть I. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.

wp.wiki-wiki.ru

Непрерывная функция

Непрерывная функция представляет собой функцию без «скачков», то есть такую, для которой выполняется условие: малым изменениям аргумента следуют малые изменения соответствующих значений функции. График подобной функции представляет из себя плавную или непрерывную кривую.

Непрерывность в точке, предельной для некоторого множества, можно определить с помощью понятия предела, а именно: функция должна иметь в этой точке предел, который равен ее значению в предельной точке.

При нарушении этих условий в некоторой точке, говорят, что функция в данной точке терпит разрыв, то есть ее непрерывность нарушается. На языке пределов точку разрыва можно описать как несовпадение значения функции в разрывной точке с пределом функции (если он существует).

Точка разрыва может быть устранимой, для этого необходимо существование предела функции, но несовпадающего с его значением в заданной точке. В этом случае ее в этой точке можно «поправить», то есть доопределить до непрерывности.
Совсем иная картина складывается, если предела функции в заданной точке не существует. Возможно два варианта точек разрыва:

первого рода – имеются и конечны оба из односторонних пределов, и значение одного из них или обоих не совпадают со значением функции в заданной точке;
второго рода, когда не существует один или оба из односторонних пределов или их значения бесконечны.

Свойства непрерывных функций

Функция, полученная в результат арифметических действий, а также суперпозиции непрерывных функций на их области определения также является непрерывной.
Если дана непрерывная функция, которая положительна в некоторой точке, то всегда можно найти достаточно малую ее окрестность, на которой она сохранит свой знак.
Аналогично, если ее значения в двух точках A и B равны, соответственно, a и b, причем a отлично от b, то для промежуточных точек она примет все значения из промежутка (a ; b). Отсюда можно сделать интересное заключение: если дать растянутой резинке сжаться так, чтобы она не провисала (оставалась прямолинейной), то одна из ее точек останется неподвижной. А геометрически это означает, что существует прямая, проходящая через любую промежуточную точку между A и B, которая пересекает график функции.

Отметим некоторые из непрерывных (на области их определения) элементарных функций:

постоянная;
рациональная;
тригонометрические.

Между двумя фундаментальными понятиями в математике — непрерывностью и дифференцируемостью — существует неразрывная связь. Достаточно только вспомнить, что для дифференцируемости функции необходимо, чтобы это была непрерывная функция.

Если же функция в некоторой точке дифференцируема, то там она непрерывна. Однако совсем не обязательно, чтобы и ее производная была непрерывной.

Функция, имеющая на некотором множестве непрерывную производную, принадлежит отдельному классу гладких функций. Иначе говоря, это – непрерывно дифференцируемая функция. Если же производная имеет ограниченное количество точек разрыва (только первого рода), то подобную функцию называют кусочно гладкой.

Еще одним важным понятием математического анализа является равномерная непрерывность функции, то есть ее способность быть в любой точке своей области определения одинаково непрерывной. Таким образом, это свойство, которое рассматривается на множестве точек, а не в какой-либо отдельно взятой.

Если же зафиксировать точку, то получится не что иное, как определение непрерывности, то есть из наличия равномерной непрерывности вытекает, что перед нами непрерывная функция. Вообще говоря, обратное утверждение неверно. Однако согласно теореме Кантора, если функция непрерывна на компакте, то есть на замкнутом промежутке, то она на нем равномерно непрерывна.

fb.ru

Непрерывные функции — это… Что такое Непрерывные функции?

Непреры́вное отображе́ние или непрерывная функция — это такое отображение, у которого небольшие изменения аргумента приводят к небольшим изменениям значения отображения.

Это понятие определятся немного по-разному в различных разделах математики; наиболее общее определение используется в общей топологии.