Sin х 2 1 – Решите уравнение sin(x)=-1/2 (синус от (х) равно минус 1 делить на 2)

Содержание

Решите неравенство sin(x)^2

Дано неравенство:
$$\sin^{2}{\left (x \right )} \leq \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
$$\sin^{2}{\left (x \right )} — \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = — \frac{1}{2}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c =

(0)^2 - 4 * (1) * (-1/2) = 2

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$w_{2} = — \frac{\sqrt{2}}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{4}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = — \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:

$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=

  pi   1 
- -- - --
  4    10

=
$$- \frac{\pi}{4} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin^{2}{\left (x \right )} \leq \frac{1}{2}$$

   2/  pi   1 \       
sin |- -- - --|    2/1    pi\       
sin |-- + --| 
но   2/1    pi\       
sin |-- + --| >= 1/2
    \10   4 /       

Тогда
$$x \leq - \frac{\pi}{4}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \frac{\pi}{4} \wedge x \leq \frac{\pi}{4}$$         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------•-------•-------•-------•-------
       x1      x2      x3      x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq - \frac{\pi}{4} \wedge x \leq \frac{\pi}{4}$$
$$x \geq \frac{3 \pi}{4} \wedge x \leq \frac{5 \pi}{4}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

sin(x)^2*1/(sin(90-x)^2) если x=-2 (упростите выражение)

Дано

$$\frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (- x + 90 \right )}}$$

Подстановка условия

$$\frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (- x + 90 \right )}}$$

sin((-2))^2/sin(90 — (-2))^2

$$\frac{\sin^{2}{\left ((-2) \right )}}{\sin^{2}{\left (- (-2) + 90 \right )}}$$

sin(-2)^2/sin(90 — (-2))^2

$$\frac{\sin^{2}{\left (-2 \right )}}{\sin^{2}{\left (- -2 + 90 \right )}}$$

$$\frac{\sin^{2}{\left (2 \right )}}{\sin^{2}{\left (92 \right )}}$$

Степени