Решение тригонометрических неравенств онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ
Рассмотрим пример решения тригонометрического неравенства онлайн на сайте Контрольная Работа РУ.
Этот сайт даёт полное решение тригонометрического неравенства.
Плюс для некоторых неравенств есть решение, изображённое на графике.
Итак, рассмотрим пример:
Требуется решить тригонометрическое неравенство cos(x/4-pi/3) > 1/2 и найти x, при которых выполняется это неравенство.
Для этого переходим на страницу
>>неравенства онлайн<<и нажимаем Решить неравенство!
.
Получаем ответ 8*pi*n<x<1/3*(24*pi*n+8*pi), где n принадлежит N.
А также следующее подробное решение:
Дано неравенство: $$\cos{\left (\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} \right )} > \frac{1}{2}$$ Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние: $$\cos{\left (\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} \right )} = \frac{1}{2}$$ Решаем:
Дано уравнение $$\cos{\left (\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} \right )} = \frac{1}{2}$$ — это простейшее тригонометрическое ур-ние.
Перенесём $$\frac{\pi}{6}$$ в правую часть ур-ния с противоположным знаком, итого: $$\frac{x}{4} = 2 \pi n$$ $$\frac{x}{4} = 2 \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$ Разделим обе части полученного ур-ния на $$\frac{1}{4}$$ $$x_{1} = 8 \pi n$$ $$x_{2} = 8 \pi n + \frac{8 \pi}{3}$$ $$x_{1} = 8 \pi n$$ $$x_{2} = 8 \pi n + \frac{8 \pi}{3}$$ Данные корни $$x_{1} = 8 \pi n$$ $$x_{2} = 8 \pi n + \frac{8 \pi}{3}$$ являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки: $$x_{0} < x_{1}$$ Возьмём например точку $$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$ = $$8 \pi n + — \frac{1}{10}$$ = $$8 \pi n — \frac{1}{10}$$ подставляем в выражение $$\cos{\left (\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} \right )} > \frac{1}{2}$$
/8*pi*n - 1/10 pi\ cos|------------- - --| > 1/2 | 1 1| \ 4 3 / /1 pi \ cos|-- + -- - 2*pi*n| > 1/2 \40 3 /
Тогда $$x < 8 \pi n$$ не выполняется, значит одно из решений нашего неравенства будет при: $$x > 8 \pi n \wedge x < 8 \pi n + \frac{8 \pi}{3}$$
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x1 x2
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решение линейных неравенств: онлайн калькулятор
Неравенство – это числовое соотношение, иллюстрирующее величину чисел относительно друг друга. Неравенства широко используются при поиске величин в прикладных науках. Наш калькулятор поможет вам разобраться с такой непростой темой, как решение линейных неравенств.
Что такое неравенство
Неравные соотношения в реальной жизни соотносятся с постоянным сравнением различных объектов: выше или ниже, дальше или ближе, тяжелее или легче. Интуитивно или зрительно мы можем понять, что один объект больше, выше или тяжелее другого, однако фактически речь всегда идет о сравнении чисел, которые характеризуют соответствующие величины. Сравнивать объекты можно по любому признаку и в любом случае мы можем составить числовое неравенство.
Если неизвестные величины при конкретных условиях равны, то для их численного определения мы составляем уравнение. Если же нет, то вместо знака «равно» мы можем указать любое другое соотношение между этими величинами. Два числа или математических объекта могут быть больше «>», меньше «<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.
Знаки неравенств в их современном виде придумал британский математик Томас Гарриот, который в 1631 году выпустил книгу о неравных соотношениях. Знаки больше «>» и меньше «<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.
Решение неравенств
Неравенства, как и уравнения, бывают разных типов. Линейные, квадратные, логарифмические или показательные неравные соотношения развязываются различными методами. Однако вне зависимости от метода, любое неравенство вначале требуется привести к стандартному виду. Для этого используются тождественные преобразования, идентичные видоизменениям равенств.
Тождественные преобразования неравенств
Такие трансформации выражений очень похожи на привидение уравнений, однако они имеют нюансы, которые важно учитывать при развязывании неравенств.
Первое тождественное преобразование идентично аналогичной операции с равенствами. К обеим сторонам неравного соотношения можно прибавить или отнять одно и то же число или выражение с неизвестным иксом, при этом знак неравенства останется прежним. Чаще всего этот метод применяется в упрощенной форме как перенос членов выражения через знак неравенства со сменой знака числа на противоположный. Имеется в виду смена знака самого члена, то есть +R при переносе через любой знак неравенства изменится на – R и наоборот.
Второе преобразование имеет два пункта:
- Обе стороны неравного соотношения разрешается умножить или разделить на одно и то же положительное число. Знак самого неравенства при этом не изменится.
- Обе стороны неравенства разрешается разделить или умножить на одно и то же отрицательное число. Знак самого неравенства изменится на противоположный.
Второе тождественное преобразование неравенств имеет серьезные различия с видоизменением уравнений. Во-первых, при умножении/делении на отрицательное число знак неравного выражения всегда изменяется на обратный. Во-вторых, разделить или умножить части отношения разрешается только на число, а не на любое выражение, содержащее неизвестное. Дело в том, что мы не можем точно знать, число больше или меньше нуля скрывается за неизвестным, поэтому второе тождественное преобразование применяется к неравенствам исключительно с числами. Рассмотрим эти правила на примерах.
Примеры развязывания неравенств
В заданиях по алгебре встречаются самые разные задания на тему неравенств. Пусть нам дано выражение:
6x − 3(4x + 1) > 6.
Для начала раскроем скобки и перенесем все неизвестные влево, а все числа – вправо.
6x − 12x > 6 + 3
−6x > 9
Нам требуется поделить обе части выражения на −6, поэтому при нахождении неизвестного икса знак неравенства изменится на противоположный.
x < −9/6
x < −1,5
При решении этого неравенства мы использовали оба тождественных преобразования: перенесли все числа справа от знака и разделили обе стороны соотношения на отрицательное число.
Наша программа представляет собой калькулятор решения числовых неравенств, которые не содержат неизвестных. В программу заложены следующие теоремы для соотношений трех чисел:
- если A < B то A–C< B–C;
- если A > B, то A–C > B–C.
Вместо вычитания членов A–C вы можете указать любое арифметическое действие: сложение, умножение или деление. Таким образом, калькулятор автоматически представит неравенства сумм, разностей, произведений или дробей.
Заключение
В реальной жизни неравенства встречаются также часто, как и уравнения. Естественно, что в быту знания о разрешении неравенств могут и не понадобиться. Однако в прикладных науках неравенства и их системы находят широкое применение. К примеру, различные исследования проблем глобальной экономики сводятся к составлению и развязыванию систем линейных или квадратных неравенств, а некоторые неравные отношения служат однозначным способом доказательства существования определенных объектов. Пользуйтесь нашими программами для решения линейных неравенств или проверки собственных выкладок.
bbf.ru
Переходные неравенства: онлайн калькулятор
Понятие неравенство связано со сравнением двух числовых объектов или алгебраических выражений. Смысл неравенства познается вместе со смыслом таких определений как больше или меньше, выше или ниже, дороже или дешевле, дальше или ближе, холоднее или теплее.
Определение неравенства
Два любых числа или алгебраических выражения, которые соединены знаками отношения «больше» (>), «меньше» (<), «больше либо равно» (≥), «меньше либо равно» (≤) или «неравно» (≠), образуют неравенства. Знаки неравенства в их сегодняшнем виде предложил английский математик Томас Гарриот, который работал над развязыванием систем неравенств и опубликовал свои труды в печати. Обозначения «>» и «<» приглянулись не только математикам, но и книгопечатникам, так как знаки представляли собой просто перевернутую на 90 градусов литеру V.
Существует два фундаментальных класса неравенств. Неравные выражения со знаками «больше» и «меньше» считаются строгими и записываются как:
5 > 3 или 34 < 56
Нестрогие неравенства — это соотношения со знаком равно, которые обычно используются в буквенных неравенствах, когда значение одного аргумента неизвестно. Например, в выражении:
x + 3 ≥ 4,
при x = 1 неравенство тождественно и выглядит как 4 = 4, а при всех x > 1 выражение также тождественно и принимает выражения 5 > 4, 6 > 4 и так далее.
При решении неравенств с неизвестными строгие и нестрогие знаки крайне важны при определении области допустимых значений функции. Например, если x > 3, то это означает, что он хоть на одну миллиардную долю, но больше 3, следовательно, тройка никогда не входит в область допустимых значений. При нестрогом неравенстве x≥3 включает в диапазон решений собственно тройку и все, что больше нее.
Виды неравенств
Выражения вида a > b и c > d называются неравенствами одинакового смысла. Такое название выражения получили из-за одинаковых знаков. Если же выражения выглядят как a > b и c < d, то такие числовые объекты считаются неравенствами противоположного смысла. К примеру, два выражения x > 3 и y > 4 считаются неравенствами одного смысла, а вот x > 3 и y < 5 — противоположного.
Буквенные неравенства противоположного смысла могут объединяться в двойные. Например, если x > 3 и x < 5, то такое выражение можно переписать как двойное неравенство 3 < x < 5. Это означает, что аргумент функции лежит строго в пределах от 3 до 5.
Свойства неравенств
Неравенства обладают несколькими полезными свойствами. Рассмотрим подробнее.
Свойство №1
Если a > b, то a + c > b + c. Если к обеим сторонам неравного соотношения прибавить одно и то же число или алгебраическое выражение, то знак неравенства не изменится.
Пример
Пусть есть выражение 10 > 5. Добавим к каждой части по 5. Получим 15 > 10, что верно. Добавим к каждой части по отрицательному числу, например, по — 2. Получим 8 > 3, и вновь верно. Точно также можно добавлять неизвестные аргументы и целые полиномы.
Свойство №2
Если a > b и n > 0, то a×n > b×n. Если обе части неравного соотношения умножить на одно и то же положительное число, то знак останется прежним.
Пример
Вновь посмотрим на числовое соотношение 10 > 5. Примем n = 2 и умножим обе части выражения на n. Получим 20 > 10. Очевидно, что все сходится.
Свойство №3
Если a < b и n < 0, то a × n > b × n. Если обе стороны неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Пример
Пусть у нас есть неравенство 10 > 5 и n = -2. Умножим обе части на минус 2 и получим, что -20 < -10. С отрицательными числами не всегда очевидно, ведь даже при сравнении температуры мы говорим, что мороз «увеличился», в то время как показатели на градуснике уменьшились. Тем не менее минус 20 явно меньше минус 10.
Свойство №4
Если a > b и b > c, то верно выражение a > c. Такое выражение называется переходным неравенством, и наш калькулятор работает именно с такими числовыми объектами. Задаваясь значениями переменных a, b, c мы можем составить переходное неравенство, которое соответствует свойству всех числовых соотношений.
Пример
Допустим есть выражение 10 > 5 и 5 > 3. В этом случае a = 10, b = 5, c = 3. Согласно четвертому свойству в результате получится, что a > c или 10 > 3. Вполне логично.
Наша программа представляет собой калькулятор, определяющий соотношения чисел в качестве переходного неравенства. Для работы с онлайн-инструментом требуется ввести значения a, b и c, после чего программа решит, составляют ли введенные значения переходное неравенство или нет.
Заключение
Неравные числовые или буквенные соотношения и их системы широко используются в самых разных прикладных науках. Например, изучение проблем макроэкономики осуществляется путем составления и решения систем нелинейных неравенств. Классические неравенства используются в высшей математике: неравенство Коши применяется при сравнении площадей, а неравенство Бернулли — для сравнения иррациональных чисел. Кроме того, существуют неравенства, которые являются однозначным способом доказательства существования некоторых объектов. Используйте наши инструменты для работы с переходными неравенствами.
bbf.ru