Системы линейных неравенств | Алгебра
Системы линейных неравенств с одной переменной с помощью тождественных преобразований сводятся к системе из простейших неравенств.
Рассмотрим на примерах, как решить систему линейных неравенств.
Чтобы решить систему, нужно решить каждое из составляющих её неравенств. Только решение принято записывать не по отдельности, а вместе, объединяя их фигурной скобкой.
В каждом из неравенств системы неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:
После упрощения обе части неравенства надо разделить на число, стоящее перед иксом. Первое неравенство делим на положительное число, поэтому знак неравенства не изменяется. Второе неравенство делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства надо изменить на противоположный:
Решение неравенств отмечаем на числовых прямых:
В ответ записываем пересечение решений, то есть ту часть, где штриховка есть на обеих прямых.
Ответ: x∈[-2;1).
В первом неравенстве избавимся от дроби. Для этого обе части умножим почленно на наименьший общий знаменатель 2. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется.
Во втором неравенстве раскрываем скобки. Произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений. В правой части — квадрат разности двух выражений.
Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком и упрощаем:
Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. В первом неравенстве делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный. Во втором — делим на положительное число, знак неравенства не изменяется:
Оба неравенства со знаком «меньше» (не существенно, что один знак — строго «меньше», другой — нестрогий, «меньше либо равно»). Можем не отмечать оба решения, а воспользоваться правилом «меньше меньшего, больше большего«. Меньшим является 1, следовательно, система сводится к неравенству
Отмечаем его решение на числовой прямой:
Ответ: x∈(-∞;1].
Раскрываем скобки. В первом неравенстве — произведение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности. Оно равно сумме кубов этих выражений.
Во втором — произведение суммы и разности двух выражений, что равно разности квадратов. Поскольку здесь перед скобками стоит знак «минус», лучше их раскрытие провести в два этапа: сначала воспользоваться формулой, а уже потом раскрывать скобки, меняя знак каждого слагаемого на противоположный.
Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:
Далее обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
Оба знака «больше». Используя правило «больше большего», сводим систему неравенств к одному неравенству. Большее из двух чисел 5, следоветельно,
Решение неравенства отмечаем на числовой прямой и записываем ответ:
Ответ: x∈(5;∞).
Поскольку в алгебре системы линейных неравенств встречается не только в качестве самостоятельных заданий, но и в ходе решения разного рода уравнений, неравенств и т.д., важно вовремя усвоить эту тему.
В следующий раз мы рассмотрим примеры решения систем линейных неравенств в частных случаях, когда одно из неравенств не имеет решений либо его решением является любое число.
www.algebraclass.ru
Системы линейных неравенств с одной переменной
Предварительные навыкиПримеры решения систем линейных неравенств с одной переменной
Несколько линейных неравенств, удовлетворяющих одним и тем же решениям, образуют систему.
Рассмотрим простейший пример. Система состоит из двух неравенств, которые уже решены.
Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 4. Решениями второго неравенства являются все числа, которые меньше 9.
Изобразим множество решений каждого неравенства на координатной прямой и запишем ответы к ним в виде числовых промежутков:
Но дело в том, что неравенства x > 4 и x < 9 соединены знаком системы, а значит зависимы друг от друга. Им не дозволяется раскидываться решениями, как захочется. Наша задача указать решения, которые одновременно будут удовлетворять и первому неравенству и второму.
Говоря по-простому, нужно указать числа, которые больше 4, но меньше 9. Очевидно, что речь идет о числах, находящихся в промежутке от 4 до 9.
Значит решениями системы являются числа от 4 до 9. Границы 4 и 9 не включаются во множество решений системы, поскольку неравенства x > 4 и x < 9 строгие. Ответ можно записать в виде числового промежутка:
x ∈ ( 4 ; 9 )
Также, нужно изобразить множество решений системы на координатной прямой.
Для системы линейных неравенств решение на координатной прямой изображают так:
Сначала указывают границы обоих неравенств:
На верхней области отмечают множество решений первого неравенства x > 4
На нижней области отмечают множество решений второго неравенства x < 9
Нас интересует область, которая отмечена штрихами с обеих сторон. В этой области и располагаются решения системы . Видно, что эта область располагается в промежутке от 4 до 9. Для наглядности выделим эту область красным цветом:
Для проверки можно взять любое число из этого промежутка и подставить его в исходную систему . Возьмем, например, число 6
Видим, что решение 6 удовлетворяет обоим неравенствам. Возьмём ещё какое-нибудь число из промежутка (4; 9), например, число 8
Видим, что решение 8 удовлетворяет обоим неравенствам.
Исходя из рассмотренного примера, можно сформировать правило для решения системы линейных неравенств:
Чтобы решить систему линейных неравенств, нужно по отдельности решить каждое неравенство, и указать в виде числового промежутка множество решений, удовлетворяющих каждому неравенству.
Пример 2. Решить систему неравенств
Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 17. Решениями второго неравенства являются все числа, которые больше 12.
Решениями же обоих неравенств являются все числа, которые больше 17.
Изобразим множество решений системы на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.
Для начала отметим на координатной прямой границы обоих неравенств:
На верхней области отметим множество решений первого неравенства x > 17
На нижней области отметим множество решений второго неравенства
Нас интересует область, которая отмечена штрихами с обеих сторон. В этой области и располагаются решения системы . Видно, что эта область располагается в промежутке от 17 до плюс бесконечности. Запишем ответ в виде числового промежутка:
x ∈ ( 17 ; +∞ )
Пример 3. Решить систему неравенств
Решим каждое неравенство по отдельности. Делать это можно внутри системы. Если испытываете затруднения при решении каждого неравенства, обязательно изучите предыдущий урок
Получили систему . На этом решение завершается. Осталось изобразить множество решений системы на координатной прямой и записать ответ в виде числового промежутка.
Как и в прошлом примере, сначала нужно отметить границы обоих неравенств, затем отметить множество решений каждого неравенства (x > 6 и x > 3). Область координатной прямой, отмеченная с обеих сторон, будет промежутком, в котором располагается множество решений системы
x ∈ ( 6 ; + ∞ )
Пример 4. Решить систему неравенств
Решим каждое неравенство по отдельности:
Изобразим множество решений системы на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 5. Решить неравенство
Решим каждое неравенство по отдельности:
Изобразим множество решений системы на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Когда решений нет
Если неравенства, входящие в систему, не имеют общих решений, то говорят, что система не имеет решений.
Пример 1. Решить неравенство
Решим каждое неравенство по отдельности:
Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 7, включая число 7. Решениями второго неравенства являются все числа, которые меньше −3, включая число −3.
Видим, что у данных неравенств нет общих решений. Увидеть это наглядно позволит координатная прямая. Отметим на ней множество решений каждого неравенства:
На координатной прямой нет областей, которые отмечены штрихами с обеих сторон. Это говорит о том, что неравенства y ≥ 7 и y ≤ −3 не имеют общих решений. Значит не имеет решений система
А если не имеет решений приведённая равносильная система , то не имеет решений и исходная система
Ответ: решений нет.
Пример 2. Решить систему неравенств
Решим каждое неравенство по отдельности:
Изобразим множество решений неравенств x ≤ −3 и x ≥ 9 на координатной прямой:
Видим, что на координатной прямой нет областей, которые отмечены штрихами с обеих сторон. Значит неравенства x ≤ −3 и x ≥ 9 не имеют общих решений. А значит не имеет решений система
А если не имеет решений приведённая равносильная система , то не имеет решений и исходная система
Ответ: решений нет.
Пример 3. Решить систему неравенств
Решим каждое неравенство по отдельности:
Получили неравенства 0 < −0,2 и a > 5. Первое неравенство не является верным и не имеет решений. Решением второго неравенство a > 5 являются все числа, которые больше 5. Но поскольку первое неравенство не будет верным ни при каком a, то можно сделать вывод, что у неравенств нет общих решений. А значит не имеет решений исходная система
Ответ: решений нет.
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Решите неравенство:
Решение:
Задание 2. Решите неравенство:
Задание 3. Решите неравенство:
Задание 4. Решите неравенство:
Задание 5. Решите неравенство:
Задание 6. Решите неравенство:
Задание 7. Решите неравенство:
Задание 8. Решите неравенство:
Решение:
Решений нет
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Навигация по записям
spacemath.xyz
2.2.5 Системы линейных неравенств
Видеоурок: Решаем систему линейных неравенств
Лекция: Системы линейных неравенств
Системы неравенств — это несколько неравенств, объединенных системой, которые имеют одинаковые решения для некоторой переменной.
Решить систему неравенств — это значит найти такое решение или совокупность решений, которые будут удовлетворять всем неравенствам системы.
Линейные неравенства могут быть строгими — это определяется знаком неравенства: <, >. Линейные неравенство нестрогие, если в них имеется следующий знак неравенства: ≥, ≤.
Если мы рассматриваем линейное уравнение, мы знаем, что на плоскости мы имеем право начертить прямую. Решением такого уравнения будет точка пересечения прямой с осью ОХ.
Когда речь заходит о линейных неравенствах, это значит, что на плоскости мы имеем некоторое решение, которое находится в некотором диапазоне относительно построенной прямой. При рассмотрении систем линейных неравенств мы получаем две прямые на плоскости, которые ограничивают некоторый диапазон, в котором находятся все решения, удовлетворяющие неравенства.
Все мы знаем, что координатную плоскость делят на четверти. Давайте рассмотри решения некоторых простейших систем линейных неравенств:
1.
Решением первого неравенства будет первая и четвертая четверть. Решением второго — первая и вторая. Не сложно заметить, что первая четверть является решением первого и второго неравенства. Это значит, что решением данной системы будут все пары чисел, которые находятся в первой четверти.
Аналогично данному решению можно рассмотреть следующие системы:
2.
Решением первого неравенства будет вторая и третья четверть. Решением второго — первая и вторая. Не сложно заметить, что вторая четверть является решением первого и второго неравенства. Это значит, что решением данной системы будут все пары чисел, которые находятся во второй четверти.
3.
Решением первого неравенства будет вторая и третья четверть. Решением второго — третья и четвертая. Не сложно заметить, что первая четверть является решением первого и второго неравенства. Это значит, что решением данной системы будут все пары чисел, которые находятся в третьей четверти.
4.
Решением первого неравенства будет первая и четвертая четверть. Решением второго — третья и четвертая. Не сложно заметить, что четвертая четверть является решением первого и второго неравенства. Это значит, что решением данной системы будут все пары чисел, которые находятся в четвертой четверти.
Так же существуют случаи, когда системы неравенств будут несовместными, то есть неравенства не будут иметь общих решений.
cknow.ru
Системы неравенств, решению систем линейных неравенств
Понятие системы и ее розвязків
Определение: Если ставится задача найти все общие развязки двух (или более) неравенств с одной или несколькими переменными, то говорят, что надо розвязати систему неравенств.
Определение: Розвязком системы — такое значение переменной или такой упорядоченный набор значений зміниих, что удовлетворяет сразу всем неравенствам системы, то есть розвязком системы двух или более неравенств с неизвестными называется такое упорядоченное множество множество чисел, при подстановке которых в систему вместо неизвестных все неравенства превращаются в верные числовые равенства.
Определение: Розвязати систему уравнений — найти все ее развязки или доказать, что их нет.
Если система не имеет решения, то она несовместима.
Пример систем неравенств
— система трех уравнений с двумя переменными
Пара то есть — один из розвязків системы
Схема решению систем неравенств с одной переменной
- Розвязуємо каждое неравенство отдельно.
- Найти все совместные развязки данных неравенств.
Схема решению систем неравенств с несколькими переменными
- Розвязуємо систему неравенств, как систему уравнений, поменяв, на некоторое время, знак неравенства на знак равенства.
- Поменять знак обратно и найти общие развязки данных неравенств.
Примеры решению систем уравнений
Решению графическим методом
Пример 1
Розвяжіть уравнения:
Решения:
Строим графики
Построив графики увидим, что графики пересекаются в точке
Ответ:
Решению методом подстановки
Пример 2
Розвяжіть уравнения:
Решения:
Из первого уравнения выражаем А полученное выражение подставляем во второе уравнение системы:
Полученное значение подставляем в выражение
Ответ:
Решению методом добавления
Пример 3
Розвяжіть уравнения:
Решения:
Должны избавиться от переменной Умножаем почленно первое уравнение системы на 3, а второе – на 2.
Добавляем почленно уравнение и получаем:
Находим значение из первого уравнения системы:
Ответ:
Замечание: В методе добавления можно умножать не только на положительные числа, а и на отрицательные.
Каким способом розвязувати систему уравнений решать только Вам.
cubens.com
36. Решение систем линейных неравенств
Решение систем линейных неравенств
Определение 1. Совокупность точек пространства Rn, координаты которых удовлетворяют уравнению а1х1+ а2х2+…+anxn = b, называется (n — 1)-мерной гиперплоскостью в n-мерном пространстве.
Теорема 1. Гиперплоскость делит все пространство на два полупространства. Полупространство является выпуклым множеством.
Пересечение конечного числа полупространств является выпуклым множеством.
Теорема 2. Решением линейного неравенства с n неизвестными
а1х1+ а2х2+…+anxn b
является одно из полупространств, на которые все пространство делит гиперплоскость
а1х1+ а2х2+…+anxn = b.
Рассмотрим систему из m линейных неравенств с n неизвестными.
Решением каждого неравенства системы является некоторое полупространство. Решением системы будет являться пересечение всех полупространств. Это множество будет замкнутым и выпуклым.
Решение систем линейных неравенств
с двумя переменными
Пусть дана система из m линейных неравенств с двумя переменными.
Решением каждого неравенства будет являться одна из полуплоскостей, на которые всю плоскость разбивает соответствующая прямая. Решением системы будет являться пересечение этих полуплоскостей. Данная задача может быть решена графически на плоскости Х10Х2.
37. Представление выпуклого многогранника
Определение 1. Замкнутое выпуклое ограниченное множество в Rn, имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклым n-мерным многогранником.
Определение 2. Замкнутое выпуклое неограниченное множество в Rn , имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклой многогранной областью.
Определение 3. Множество А Rn называется ограниченным, если найдется n-мерный шар, содержащий это множество.
Определение 4. Выпуклой линейной комбинацией точек называется выражение, гдеti, .
Теорема (теорема о представлении выпуклого многогранника). Любую точку выпуклого многогранника можно представить в виде выпуклой линейной комбинации его угловых точек.
38. Область допустимых решений системы уравнений и неравенств.
Пусть дана система из m линейных уравнений и неравенств с n неизвестными.
Определение 1. Точка Rn называется возможным решением системы, если ее координаты удовлетворяют уравнениям и неравенствам системы. Совокупность всех возможных решений называется областью возможных решений (ОВР) системы.
Определение 2. Возможное решение, координаты которого неотрицательны, называется допустимым решением системы. Множество всех допустимых решений называется областью допустимых решений (ОДР) системы.
Теорема 1. ОДР является замкнутым, выпуклым, ограниченным (или неограниченным) подмножеством вRn.
Теорема 2. Допустимое решение системы является опорным тогда и только тогда, когда эта точка являетсяугловой точкой ОДР.
Теорема 3 (теорема о представлении ОДР). Если ОДР — ограниченное множество, то любое допустимое решение можно представить в виде выпуклой линейной комбинации угловых точек ОДР (в виде выпуклой линейной комбинации опорных решений системы).
Теорема 4 (теорема о существовании опорного решения системы). Если система имеет хотя бы одно допустимое решение (ОДР), то среди допустимых решений существует хотя бы одно опорное решение.
studfiles.net
Методы решения систем линейных неравенств
ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ
Кафедра математики и финансовых приложений
Курсовая работа
на тему:
«Методы решения систем линейных неравенств»
Выполнил студент группы МЭК 1-2
Чанкин Пётр Алексеевич
Научный руководитель:
Профессор Александр Самуилович Солодовников
Москва 2002г
Вступление.. 2
Графический метод.. 3
Симплекс-метод.. 6
Метод искусственного базиса.. 8
Принцип двойственности.. 10
Список использованной литературы… 12
Отдельные свойства систем линейных неравенств рассматривались еще в первой половине 19 века в связи с некоторыми задачами аналитической механики. Систематическое же изучение систем линейных неравенств началось в самом конце 19 века, однако о теории линейных неравенств стало возможным говорить лишь в конце двадцатых годов 20 века, когда уже накопилось достаточное количество связанных с ними результатов.
Сейчас теория конечных систем линейных неравенств может рассматриваться как ветвь линейной алгебры, выросшая из неё при дополнительном требовании упорядоченности поля коэффициентов.
Линейные неравенства имеют особо важное значение для экономистов, т.к именно при помощи линейных неравенств можно смоделировать производственные процессы и найти наиболее выгодные планы производства, транспортировки, размещения ресурсов и т. д.
В данной работе будут изложены основные методы решения линейных неравенств, применительно к конкретным задачам.
Графический метод заключается в построении множества допустимых решений ЗЛП, и нахождении в данном множестве точки, соответствующей max/min целевой функции.
В связи с ограниченными возможностями наглядного графического представления данный метод применяется только для систем линейных неравенств с двумя неизвестными и систем, которые могут быть приведены к данному виду.
Для того чтобы наглядно продемонстрировать графический метод, решим следующую задачу:
- На первом этапе надо построить область допустимых решений. Для данного примера удобнее всего выбрать X2 за абсциссу, а X1 за ординату и записать неравенства в следующем виде:
Так как
и графики и область допустимых решении находятся в первой четверти.Для того чтобы найти граничные точки решаем уравнения (1)=(2), (1)=(3) и (2)=(3).
Как видно из иллюстрации многогранник ABCDEобразует область допустимых решений.
Если область допустимых решений не является замкнутой, то либо max(f)=+ ∞, либо min(f)= -∞.
- Теперь можно перейти к непосредственному нахождению максимума функции f.
Поочерёдно подставляя координаты вершин многогранника в функцию f и сравнивать значения, находим что
f(C)=f(4;1)=19 – максимум функции.
Такой подход вполне выгоден при малом количестве вершин. Но данная процедура может затянуться если вершин довольно много.
В таком случае удобнее рассмотреть линию уровня вида f=a. При монотонном увеличении числа aот -∞ до +∞ прямые f=aсмещаются по вектору нормали[1] . Если при таком перемещении линии уровня существует некоторая точка X– первая общая точка области допустимых решений (многогранник ABCDE) и линии уровня, то f(X)- минимум fна множестве ABCDE. Если X- последняя точка пересечения линии уровня и множества ABCDE то f(X)- максимум на множестве допустимых решений. Если при а→-∞ прямая f=aпересекает множество допустимых решений, то min(f)= -∞. Если это происходит при а→+∞, то
max(f)=+∞.
В нашем примере прямая f=aпересевает область ABCDEв точке С(4;1). Поскольку это последняя точка пересечения, max(f)=f(C)=f(4;1)=19.
Реальные задачи линейного программирования содержат очень большое число ограничений и неизвестных и выполняются на ЭВМ. Симплекс-метод – наиболее общий алгоритм, использующийся для решения таких задач. Суть метода заключается в том, что после некоторого числа специальных симплекс- преобразований ЗЛП, приведенная к специальному виду, разрешается. Для того, чтобы продемонстрировать симплекс-метод в действии решим, с попутными комментариями следующую задачу:
- Для того, чтобы приступить к решению ЗЛП симплекс методом, надо привести ЗЛП к специальному виду и заполнить симплекс таблицу.
Система (4) – естественные ограничения и в таблицу не вписываются. Уравнения (1), (2), (3) образуют область допустимых решений. Выражение (5) – целевая функция. Свободные члены в системе ограничений и области допустимых решений должны быть неотрицательны.
В данном примере X3, X4, X5 – базисные неизвестные. Их надо выразить через свободные неизвестные и произвести их замену в целевой функции.
Теперь можно приступить к заполнению симплекс-таблицы:
В первом столбце данной таблицы обозначены базисные неизвестные, в последнем – значения свободных неизвестных, в остальных – коэффициенты при неизвестных.
- Для того чтобы найти максимум функции fнадо с помощью преобразований методом Гаусса сделать так, чтобы все коэффициенты при неизвестных в последней строке были неотрицательными (для нахождения минимума, сделать так, чтобы все коэффициенты были меньше или равны нулю).
Для этого выбираем столбец с отрицательным коэффициентом в последней строке[2] (столбец 3) и составляем для положительных элементов данного столбца отношения свободный член/коэффициент (1/1; 2/1)[3] . Из данных отношений выбираем наименьшее и помечаем соответствующую строку[4] .
Нами выбран элемент в ячейке (3;3). Теперь с помощью метода Гаусса обнуляем другие коэффициенты в данном столбце, это приводит к смене базиса и мы на один шаг приближаемся к оптимальному решению.
Как видно из таблицы теперь все коэффициенты в последней строке больше либо равны нулю. Это означает, что нами найдено оптимальное значение. Свободные неизвестные равны нулю, значению базисных неизвестных и максимуму функции f соответствует значения свободных неизвестных.
Метод искусственного базиса
Если после подготовки ЗЛП к специальному виду для решения симплекс методом, не в каждой строке системы ограничений есть базисная переменная (входящая в данную строку с коэффициентом 1, а в остальные строки с коэффициентом 0), то для решения данной ЗЛП надо воспользоваться методом искусственного базиса.
Суть метода довольно проста:
- К строкам, в которых отсутствует базисная переменная добавляется по одной искусственной базисной переменной.
- Новая задача решается Симплекс-методом, причем все искусственные базисные переменные должны стать свободными (выйти из базиса) и их сумма должна равняться нулю, в обратном случае в данной системе невозможно выделить допустимый базис.
Рассмотрим следующий пример:
min(f)-?
- В первом уравнении нет базисных неизвестных. Введём искусственную базисную неизвестную Y1 и заполним первую симплекс-таблицу
Для того, чтобы избавится от искусственной базисной неизвестной нам предстоит решить вспомогательную задачу:
F=Y1→min
Выражая базисную неизвестную Y1 через свободные получаем:
F+4X1+X2=4 →minВыбираем элемент в ячейке (3;2) и делаем шаг.
min(f)=0, все коэффициенты в последней строке меньше или равны нулю, следовательно мы перешли к новому естественному базису. Теперь можно решать основную задачу.
mirznanii.com
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра
Линейные уравнения
Линейным уравнением относительно переменной x называется уравнение первой степени
где k и b – произвольные вещественные числа.
В случае уравнение (1) имеет единственное решение при любом значении b :
В случае, когда уравнение (1) решений не имеет.
В случае, когда k = 0, b = 0, решением уравнения (1) является любое число
Линейные неравенства
Линейным неравенством относительно переменной x называется неравенство, принадлежащее к одному из следующих типов:
где k и b – произвольные вещественные числа.
Решая линейные, да и не только линейные, неравенства, следует помнить, что
| при умножении или делении неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется, |
а
| при умножении или делении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. |
В соответствии с этим решение линейных неравенств, в зависимости от значений коэффициентов k и b, представлено в следующей Таблице 1.
Таблица 1. – Решение неравенств первой степени (линейных неравенств)
| k > 0 Знак неравенства сохраняется |
Неравенство: Решение неравенства: |
Неравенство: kx + b > 0 Решение неравенства: |
Неравенство: Решение неравенства: |
Неравенство: kx + b < 0 Решение неравенства: |
| k = 0, b < 0 |
Неравенство: Решение неравенства: |
Неравенство: kx + b > 0 Решение неравенства: |
Неравенство: Решение неравенства: |
Неравенство: kx + b < 0 Решение неравенства: |
| k = 0, b = 0 |
Неравенство: Решение неравенства: |
Неравенство: kx + b > 0 Решение неравенства: |
Неравенство: Решение неравенства: |
Неравенство: kx + b < 0 Решение неравенства: |
| k = 0, b > 0 |
Неравенство: Решение неравенства: |
Неравенство: kx + b > 0 Решение неравенства: |
Неравенство: Решение неравенства: |
Неравенство: kx + b < 0 Решение неравенства: |
| k < 0 Знак неравенства меняется на противоположный |
Неравенство: Решение неравенства: |
Неравенство: kx + b > 0 Решение неравенства: |
Неравенство: Решение неравенства: |
Неравенство: kx + b < 0 Решение неравенства: |
Системы линейных неравенств
Рассмотрим решение систем линейных неравенств на примерах.
Пример 1. Решить систему неравенств
Решение. Решим каждое из неравенств системы:
Изобразив на одной координатной прямой (рис. 1) оба точечных множества, составляющих последнюю систему, получаем ответ примера.
Рис.1
Ответ:
Пример 2. Решить систему неравенств
Решение. Решим каждое из неравенств системы:
Изобразив на одной координатной прямой (рис. 2) оба точечных множества, составляющих последнюю систему, получаем ответ примера.
Рис.2
Ответ:
Пример 3. Решить систему неравенств
Решение. Решим каждое из неравенств системы:
Изобразив на одной координатной прямой (рис. 3) оба точечных множества, составляющих последнюю систему, получаем ответ примера
Рис.3
Ответ:
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10 |
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
www.resolventa.ru