Основы математики – — — …

Про быстрое изучение основ математики

Меня иногда просят порекомендовать ту или иную литературу по научным или техническим вопросам, однако когда человек начинает ее читать, то часто сталкивается с непониманием даже элементарных формул что там написаны. Формул, которые вполне укладываются в школьный курс алгебры-геометрии-физики. Причем все помнят что «вроде бы что-то такое изучали», но больше «ничего не помнят». Оттого решают взяться за «повторение школьного курса», понимая, что пропущен некий важный левел. Ну и те, кто сейчас в 11-м классе и планирует сдавать ЕГЭ (на Украине — ЗНО) по математике и физике и в школе учится так себе, тоже однажды понимает что «школа заканчивается, а я реально ничего не знаю».  Скажу сразу, что имею определенный опыт работы с людьми которым нужны были точные науки и скажу вам, что да, действительно, есть класс народа которому сложно «всё это объяснить», видимо многое зависит от склада ума, но я уверен что человек с самыми средними способностями сможет легко понять  подавляющее большинство школьных тем.

Я в сотый, в тысячный раз повторюсь, что школа, в общем, не учит пониманию предмета. То есть вообще никак.  Голова ученика представляется  баком который нужно заполнить кучей фактов, после чего на экзамене он эти факты должен как-то более-менее упорядочено выгрузить на своего преподавателя и забыть навсегда.  Притом, что 90% того чему учат в школе в общем бесполезно для 95% населения.

Мы будем говорить по алгебру, геометрию и физику. Собственно тут надо сделать различие. Алгебра идет первой потому что это язык, способ записи геометрии и физики. Физика – это и есть геометрия. Геометрия природных сил, геометрия действий. Я полностью согласен с учеными считающими что если связь между четырьмя фундаментальными взаимодействиями и будет найдена, то она будет иметь чисто геометрическую интерпретацию.  То есть я веду к тому, что  легче учить геометрию и физику уже зная «всю алгебру». В школе это невозможно, потому что курс физики и геометрии жестко завязан на курс алгебры. Оттого происходят забавные и смешные вещи: например колебания и волны изучают только в последнем классе и только потому что в предпоследнем изучают синусоиды. А без них – никак, синусоида – графическая интерпретация колебательного, да и вообще любого периодического процесса. Любой реальный периодический процесс – это сумма синусоид разных амплитуд и кратных частот, этой важной вещи, впрочем,  школе не объясняют. Оттого у любого нормального человека возникает вопрос «а нафига это вообще всё нужно?». Я знал зачем это нужно только потому что занимался электроникой и знал что красивую синусоиду можно посмотреть засунув осциллограф в розетку (через делитель само собой!). И так далее.  Собственно, всё более-менее стоящее в школе изучается в последних двух классах, до этого идет просто бессмысленное размазывание соплей.

Все инженерные специальности в общем можно разделить условно на 4 группы:  а) электричество (электроника, электромеханика, электропривод и т.п), б) механика (машиностроение, автомобилестроение, приборостроение и т.п), в) тепло-холод (котлы, системы отопления, холодильные системы, системы передачи тепла), г) строительные специальности (тут имеется в виду всё – от строительства домов до строительства плотин, мостов, тоннелей).  И в общем, матаппарат там различный. Например, электроника – это «синусоиды, экспоненты, комплексные числа», а в механике комплексные числа фактически не используются, зато много аналитической геометрии.  И вообще матаппарат обычной инженерной механики в общем проще чем электроники.

АЛГЕБРА

Алгебру и геометрию нужно изучать т.н. «оптовым методом». То есть учить сразу все схожие темы. Например, изучили что такое синус, тут же изучите синусоиду, простейшие тригонометрические преобразования с синусом и тригонометрические уравнения с ним же (в школе это размазывается на 4 года).  Затем повторите то же самое для косинуса, тангенса и обратных тригонометрических функций. Если вы решили по-быстрому изучить школьный курс для сдачи ЕГЭ (ЗНО), то самое главное  научиться решать задачи.  Теорию у вас никто не спросит, только задачи. Скажу сразу, что, как мне показалось, российское ЕГЭ чуть сложнее украинского ЗНО, хотя мое мнение может быть субъективным. Задачи за последние 4 года в общем одинаковы, поэтому хоть как-то зная теорию и перерешав их все, можно смело идти на ЕГЭ (ЗНО).

1. Итак, для того чтобы начать изучать собственно алгебру, нужно знать четыре арифметических действия, положительные и отрицательные числа, уметь работать с обыкновенными и десятичными дробями, знать что такое координатная плоскость и модуль числа, уметь решать простейшие уравнения (типа 2x + 5 = 10). Почему на изучение «всего этого» отводится целых пять лет – ума не приложу.  Хотя учитывая общий интеллектуальный фон – вполне понятно.  Для изучения геометрии нужно знать базовые понятия – прямая, отрезок, плоскость, угол, треугольник, круг, квадрат.  Ну и основные аксиомы евклидовой системы.

2. Главное понятие в школьной алгебре – функция. Опять-таки, в рамках школы – элементарная однозначная функция. Ну, то есть такая, где одному значению из одного множества, соответствует только одно значение из другого множества.  Собственно, если вы четко понимаете что такое функция, то вы уже понимаете 50% школьной алгебры.

3. В школьной алгебре изучают совсем немного функций, причем их изучение размазывают на целых пять лет.  Это совершенно неэффективно. Советую изучать сразу все школьные функции.  Нарисуйте их на бумаге, запомните как выглядят а) линейная (просто прямая), Гипербола , б) парабола, в) синусоида (косинусоида – то есть та же синусоида, но сдвинутая на 90% вперед),  обратные тригонометрические функции, кубическая функция, логарифмическая и показательная функция (при разных значениях аргумента).  Сразу скажу: обратите особое внимание на синусоиду и показательную функцию. На них «заточено» очень много чего в электронике, механике  и не только.  Помните: функция – это не просто некая линия. Каждая функция выражает тот или иной природный процесс. Например, тело брошенное под углом к горизонту (сняряд из пушки) летит по параболической траектории, в форме параболы сделаны спутниковые антенны (Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. Именно там и ставят приемную головку.  И наоборот, если параболоид сделать зеркальным, то свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей, именно так делают все фары, фонари, рефлекторы и пр.), по экспоненте убывает атмосферное давление при удалении от земли, затухают переходные процессы в электрических цепях, синусоидами описывают различные колебания и т.д.  То есть это всё «не просто так», но в школе это не объясняют.

 

4. Почему-то исследование функции начинают только в 9-м классе (по современной системе даже в 10-м классе), однако это нужно делать сразу, даже без знания производной. Изучите основные свойства функций – область определения и область значения,  периодичность, нули, четность, период, экстремумы, асимптоты.

5. Уравнения и системы уравнений. Любимая школьная тема. Не, оно как бы правильно, во всем в мире есть баланс который завязан на закон сохранения энергии (про это тоже не рассказывают, во всяком случае, в курсе алгебры). Если что-то где-то исчезло, то что-то где то появилось. В итоге всё получается «поровну». Правда, основная масса школьных уравнений вообще непонятно где может применяться и видимо дается просто как тренировка мозга, не более. Реально нужными представляются квадратные и тригонометрические уравнения.

6. Неравенства. Тема родственная уравнениям, другое дело, что решив неравенство нужно всегда проверить интервал на котором оно работает. Это особенно важно в периодических функциях. То есть неравенство это не один ответ, а, как правило, некий интервал, то есть множество ответов.

7.  Показательные уравнения, то есть уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.  Даются самые простейшие и то, для общего ознакомления.  В реальных расчетах, по-моему, ни разу не пригодились.

8. Прогрессии. Арифметическая и геометрическая.  Прикольная тема, правда, сейчас это все отлично делает программа «Эксел». Можно изучить для общего развития.

9. Последовательности и пределы.  Небольшие темы их тоже размазывают по кускам, хотя смысл тут состоит в том, чтобы от предела последовательности перейти к пределу функции, а потом и к производной. Показательно и то, что в экзаменационных тестах я практически не встречал задач ни на темы  последовательностей, ни на темы прогрессий.

10. Отдельная тема – дифференцирование и интегрирование. То есть начала высшей математики. Помните:  во всех более-менее серьезных книгах, почти все формулы даны в виде дифференциальных уравнений (про это учителя молчат, скорее всего просто не знают, если до этого не преподавали в более серьезных местах), которые в обычной школе вообще не изучаются. Если совсем грубо, то производная – это скорость изменения. То есть скорость изменения координаты во времени (то, что мы и называем скоростью и измеряем, например, в километрах в час), скорость изменения скорости во времени (ускорение), скорость изменения протекающего заряда во времени (электрической ток) и т.д.  Для каждой школьной функции есть своя производная, их нужно запомнить. Ну и приемы вычисления производной произведения, частного и сложной функции.  В школе производная используется для нахождения экстремумов функций, для решения геометрических задач связанных с построением касательной к функции (Производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной к графику функции

y = f(x) в этой точке) и  несложных физических задач.

11. Из интегралов изучается только один вид — формула Ньютона-Лейбница позволяющая вычислить площадь криволинейной трапеции. То есть этот «школьный интеграл» —  бесконечно большая сумма бесконечно маленьких прямоугольников образующих ту самую криволинейную трапецию.   Нужно помнить, что интегрирование как действие – сложнее дифференцирования и часто даже простейшие интегралы в элементарных функциях не интегрируются.

13. Основы векторной алгебры. Свойство векторов. Скалярное и векторное произведение.

То, что не входит в школьный курс, но надо знать хотя бы в минимальном объеме для чтения умных книг:

-Дифференцирование функций многих переменных (то есть вычисление частных производных)

— Кратное интегрирование (вычисление интеграла многих переменных)

— Вычисление интеграла по дуге, поверхности и объему

— Ряд Тейлора (в простом случае — Маклорена) и ряд Фурье

-Комплексные числа

— Свойства векторных полей. Градиент, дивергенция, ротор, Формула Грина.

-Дифференциальные уравнения. Но поскольку там очень много способов решений, нужно определиться что именно вам надо и надо ли вообще. Например, в электронике  доминируют преобразования Лапласа и решение диффуравнений операторным методом (замена интегрирования делением).

— Полярные координаты

ТРИГОНОМЕТРИЯ

При товарище Сталине это был целый отдельный предмет. У нас, в позднем СССР он как бы отдельным не был, но была специальная брошюрка под названием типа «Тригонометрические преобразования». Знаете, я до сих пор не могу понять «а на фига оно надо»? Все эти «преобразования». Ну вот что, например, нужно «из этого всего» в электронике? Разложение функции в ряд Фурье и работа с комплексными числами. Но для этого нужен минимум «тригонометрии».  В механике нужно чуть больше, но ненамного. Я же, например, через лет 10 после окончания школы вдруг словил себя на мысли, что могу не решить какое–то «преобразование» из курса этой самой тригонометрии, то есть с задачей с которой как бы должен справляться успевающий школьник, притом что спокойно решаю куда более сложные задачи. Нет, я мог посидеть и решить, знаний хватало, но вот мгновенно решить не получалось, пусть таких задач и было процентов пять.  То есть реально совершенно ненужная вещь. Не нужная в настоящем и почти никому не нужная в будущем. Из тригонометрии нужно знать главную формулу – квадрат синуса икс плюс квадрат косинуса икс равен единице, ну может еще и то, что произведение тангенса и котангенса одного и того же аргумента тоже дает единицу. Но это если вы учите «для себя». Для решения задач ЕГЭ-ЗНО нужно знать «малый джентльменский набор» преобразований, который, в общем, вмещается на половине листа формата А4.

ГЕОМЕТРИЯ

С геометрией ситуация осложняется тем, что для решения пусть даже простейших задач нужен определенный уровень знания алгебры. Скажем, теорема Пифагора проста, но нужно знать как возводить в квадрат и извлекать квадратный корень.  Формула площади поверхности шара или его объема почти такая же простая как и теорема  Пифагора, но ее проходят в конце выпускного (!) класса, причем дают просто так, а не выводят через тройной интеграл или интеграл по поверхности, так как в школе их вообще не изучают.  Почему? Да потому что в случае объема там появляется уже кубическая степень, а при решении задач  иногда приходится извлекать корень 3-й степени. Вообще, больше половины школьной геометрии это: а) нахождение площадей простых фигур (параллелограмм, квадрат, ромб, треугольник, трапеция, круг) и длин их сторон, нахождение объемов и площадей поверхности 3D-фигур (куб, призма, пирамида, конус, цилиндр, шар). Особенной любовью у составителей учебников почему-то пользуются треугольники. Сам не знаю почему. Для их решения нужно знать теорему косинусов и ее частный случай – теорему Пифагора (для прямоугольного треугольника). Можно пользоваться и теоремой синусов.  Вся «школьная геометрия» — это реально штук 15 формул в общем полезных в жизни, которые можно запомнить за пару дней, ну и еще пару недель потратить на решение задач. Через 20-30 дней вся школьная геометрия у вас в кармане.

Отдельная тема – так называемая аналитическая геометрия. Ну то есть решение геометрических задач чисто алгебраическими методами без построений. Скажем, дано вам две точки, нужно составить уравнение прямой проходящей через них, а потом написать уравнение прямой перпендикулярной к ней в такой то точке. Или например найти перпендикуляр к касательной к параболе в такой-то точке.  Вопрос решается знанием еще нескольких форму

P.S. Надо будет еще картинок наглядных подобрать.

26.10.2013

www.budyon.org

Математика — основа всех наук

Математика — точная наука, наука о пространственных формах и количественных отношениях. Она является основой почти всех наук, даже гуманитарных, поэтому так важно всем с первых классов изучать и понимать этот предмет. Математика не терпит произвола. Это олицетворение строгой логики и порядка. Она помогает изучить наш мир с его законами. Освоение математики ещё со школьной скамьи позволяет развивать и упорядочивать мышление ребёнка, усиливает умственные способности. Эти знания будут той базой, которая позволит интеллектуально развиваться впоследствии. Здесь вы найдёте коллекцию видеоуроков по математике, а также конспекты, тесты, тренажёры к ним. Это поможет вам изучать и повторять этот предмет в любое время. А выполняя задания к урокам, вы сможете лучше усвоить предложенный материал.

С чего начинается изучение математики?

Натуральные числа — это числа, которыми обозначают количество реальных предметов. Пять яблок, три цветка, семь птиц. То, что предметы можно считать, люди заметили ещё в древности. С этого и начала развиваться математика, сделав число своим основным понятием. В начальных классах учеников знакомят с базовыми понятиями чисел и операциями над ними. На уроках для пятого класса знания про натуральные числа систематизируют и обобщают, рассказывают про построение и измерение отрезков и других геометрических величин и фигур.  Вместе с натуральными числами ученикам дают такие понятия как система координат, геометрические фигуры, объясняют, как вычислить их периметр, площадь и объём. Ребятам показывают формулы для их вычисления и учат решать. Также учитель рассказывает о том, в чём измеряются площади и объёмы геометрических фигур, показывает их отношение друг к другу, учит переводить готовое значение из одних единиц измерения в другие. Но натуральными числами математика не ограничивается. Поэтому вместе с ними изучаются простые и десятичные дроби, а также сложение, вычитание, умножение и деление дробей. Дети учатся сравнивать дроби, округлять их, переводить простые в десятичные дроби. Процент — это одна сотая часть от числа. Этому также учат в 5 классе. Учитель расскажет о свойствах процентов, о том, как их правильно применять и вычислять. Для решения задач на проценты понадобятся десятичные дроби, которые были изучены ранее. А вотгеометрические фигуры школьнику предстоит встретить в дальнейшем на уроках геометрии, физики.

Таким образом, изучив этот курс, дети получают математические знания и умения, которые необходимы им в повседневной жизни, а также для продолжения образования и для обучения смежным дисциплинам. У детей формируется представление о математическом языке, как об универсальном для техники, науки, моделирования. Дети развивают логическое мышление, интуицию, пространственное представление.

Индивидуальный подход к обучению — самый эффективный

Взрослому человеку, который давно закончил школу, кажется, что всё то, чему учат детей в пятом классе по математике, можно изучить гораздо быстрее. Ведь это такие, казалось бы, элементарные понятия: умножение, сложение, натуральные числа, десятичные дроби, геометрические фигуры. Каждый человек пользуется ими в обычной жизни, не задумываясь. Но на самом деле, чтобы в дальнейшем действительно легко пользоваться всеми этими понятиями и изучать точные науки, важно правильно понять все основы предмета в самом начале.

Впрочем, каждый ребёнок индивидуален. Кто-то может часами сидеть над простой задачкой, другой быстро и легко схватывает материал. Разный подход к каждому ученику повышает эффективность обучения. Но в школе учитель не всегда имеет возможность работать с каждым учеником отдельно. Зато в этом может помочь домашнее обучение и в частности портал InternetUrok.ru. Здесь вы можете сами выбирать скорость подачи материала, пропускать те уроки, которые ваш ребёнок схватывает налету или останавливаться более подробно на материале, который сложно даётся. Если остаются непонятные моменты, то всегда можно задать вопрос учителю в режиме онлайн.

 

interneturok.ru

1. Основы математики

1.1. Введение в основы математики

Математика и теория

Математика это изучение систем, состоящих из элементарных объектов, рассматриваемых независимо от нашего мира, природа которых должна быть точной и недвусмысленной ( два объекта либо одинаковые, либо разные; либо связаны, либо нет; любая операция должна давать точный результат и т.д.). Математику можно рассматривать как "науку всех возможных миров"( миров с собственной природой).

Математика состоит из различных разделов, внутренних или внешних основ любой математической работы, которые могут быть формализованы как (аксиоматические) теории. Каждая теория - это изучение определенной фиксированной системы математических объектов, которая является ее моделью. Но каждая модель теории может быть только одной из ее возможных интерпретаций среди других не менее законных моделей. Например, грубо говоря, все листы бумаги являются системой материальных точек, моделями теории евклидовой планиметрии, но независящие друг от друга.

Основы и развитие

Каждая теория начинается с фундамента - это данные описания, где указано, что известно или что предполагается об определенной модели. Фундамент включает в себя список формул (состояния), которые называются аксиомами, выражающие необходимые свойства модели, т.е. выбираются принятые модели как системы, где аксиомы верны среди целого ряд возможных систем и где они могут быть интерпретированы.

Тогда, изучение теории прогрессирует одним из возможным путем развития: возникновение новых концепций и получение информации об этой модели, получение результатов исходя из данных фундамента, благодаря этому можно сформировать следующий фундамент.

В частности, теорема - это формула, которая выведена из ее аксиом, так что она известная как верная во всех моделях теории. Теоремы могут быть добавлены к списку аксиом теории, не меняя ее значения.

Другие возможные пути развития ( которые еще не выбраны) могут возникнуть позже.Таким образом, совокупность возможных разработок теории, не зависит от порядка, выбранного для их обработки, уже образует своего рода «реальность», которая изучает эти разработки ( перед теоремой о полноте наконец покажем, как ряд возможных теорем отражает реальность разнообразия возможных моделей).

Возможной также является иерархическая структура теорий, когда одна из теорий играет роль основ для другой. Например, основы нескольких теорий может иметь общую часть, образующую более простую теорию, чьи разработки применимы для всех.

Задача фундаментальной работы состоит в разработке от простой, начальной базы к более полному основанию, наделенного эффективными инструментами, которые открывает больше путей для дальнейших интересных развитий модели.

Цикл основ

Несмотря на простоту природы математических объектов, общая основа всей математики оказывается довольно сложной (хотя ситуация не так плоха, как с теорией физики всего). Действительно, это само по себе является математическим исследованием,таки образом есть раздел математики, который называется математической логикой. Как и в любом другом разделе, она состоит из определений и теорем о ситеме ее объектов. Но более того математическая логика дает инструментарий и способы работы для других математических теорий, при этом включая... саму себя. Таким образом, чтобы предоставить основы ( или инструментарий) для каждой рассматриваемой основы ( в отличии от обычных математических работ, которые отталкиваются от принятых основ) нет стартовой точки, и построение теории состоит из широкого цикла состоящего из простых и сложных шагов. Тем не менее этот цикл основ действительно играет функциональную роль математики, обеспечивая строгие рамки и много полезных идей в различных разделах математики (инструменты, вдохновения и ответы на разнообразные философские вопросы). (Это похоже на словари, определяющих каждое слово другими словами, или на другую науку конечных систем: компьютерное программирование. Действительно, компьютеры могут быть просты в использовании, зная, что вы делаете, но не зная, почему это работает; их работа основана на программном обеспечении, которое было написано на некотором языке, затем скомпилированном другими программным обеспечением, при этом используется аппаратная часть и процессор. И это лучшее, что появилось со времен создания этой области знаний. )

Основными являются две теории:

  • Теория множеств изучает вселенную «всех математических объектов», от более простых до более сложных систем таких как бесконечные системы. Но часто эта теория снимает ограничение на отличие между возможными вариантами (не всегда эквивалентными между собой).
  • Теория моделей это общая теория теорий (описываемых формально как системы символов), и их возможные модели.

Каждая из этих двух теорий является натуральным инструментарием для формализации другой: каждая теория множеств формализуется как теория, описанная с помощью теории моделей, которая в свою очередь развита из теории множеств ( определяя теории и системы как комплексный объект) прямо как теория ( но обе сущности теории множеств, как инструментарий и объект изучения для теории моделей должны быть известны). Но эти формализации сложно закончить особенно для следующего:

  • Теория доказательств дополняет теорию моделей описанием правил доказательств теорем любой теории ( формул из теории, которые служат для описания системы, и являющихся истинными для всех моделей теории). Теория моделей и теория доказательств по сути уникальные теории, дающие простое значение концепциям теории, непротиворечивости ( теория непротиворечивая, если ее теоремы не противоречат друг другу) и теоремам каждой теории.

Теория моделей и теория доказательств, по существу, являются уникальными, давая четкий естественный смысл концепциям теории, теоремы и консистенции каждой теории.

settheory.net

Состав математических дисциплин на сайте Игоря Гаршина. Разделы математики



Состав математических дисциплин на сайте Игоря Гаршина. Разделы математики

Хорошая теория – самая практичная вещь на свете.

Разделы страницы:

  • Разделы математики по рубрикатору УДК
  • Основные темы математики в Википедии
  • Математические разделы в обучении
  • Обзор и классификация математических дисциплин (сетевые ресурсы)

Разделы математики по рубрикатору УДК

Разделы математики согласно Универсальному Десятичному Классификатору:

  1. Общие вопросы математики:
    1. Руководящие материалы
    2. Материалы общего характера [методология, классификация]
    3. История математики. Персоналии
    4. Научные общества, съезды, конгрессы, конференции, симпозиумы, семинары
    5. Международное сотрудничество
    6. Организация научно-исследовательских работ
    7. Информационная деятельность
    8. Терминология. Справочники, словари, учебная литература
    9. Кадры в математике. Преподавание математики
  2. Основания математики и математическая логика:
    1. Основания математики [включают как Теорию множеств, так и философско-методологические разделы, которым место в "Общих вопросах"]
    2. Алгоритмы и вычислимые функции [в конце школьного курса]
    3. Математическая логика
  3. Теория чисел:
    1. Элементарная арифметика [начинается уже в начале школьного курса]
    2. Элементарная теория чисел
    3. Аналитическая теория чисел
    4. Аддитивная теория чисел. Формы
    5. Диофантовы уравнения
    6. Алгебраическая теория чисел (поля алгебраических чисел)
    7. Геометрия чисел
  4. Алгебра ["Теория уравнений" ?]:
    1. Полугруппы
    2. Группы
    3. Кольца и модули
    4. Структуры
    5. Универсальные алгебры
    6. Категории
    7. Поля и многочлены [в школьном курсе - только Многочлены]
    8. Линейная алгебра [начинается в школьном курсе]
    9. Гомологическая алгебра
    10. Алгебраическая геометрия
    11. Группы Ли
  5. Топология [даётся в "наивысшей" математике, а начальные сведения желательно давать в школьном курсе]:
    1. Общая топология
    2. Алгебраическая топология
    3. Топология многообразий
    4. Аналитические пространства
  6. Геометрия [в школе - вместе с Алгеброй сразу после Арифметики]:
    1. Геометрия в пространствах с фундаментальными группами [где первые 2 подраздела ("Элементарная геометрия, тригонометрия и полигонометрия" и "Основания геометрии. Аксиоматика") даются в школе]
    2. Алгебраические и аналитические методы в геометрии [в т.ч. "векторный анализ" и "тензорный анализ"]
    3. Дифференциальная геометрия
    4. Геометрическое исследование объектов естественных наук [вот это очень интересно - а надо бы в каждом разделе математики давать примеры его практического применения]
  7. Математический анализ (более точно - "исчисление бесконечно малых")
    [а можно ли назвать так: "Теория функций", "Теория пределов", "Предельное вычисление" ?]:
    1. Введение в анализ и некоторые специальные вопросы анализа
    2. Дифференциальное и интегральное исчисление
    3. Функциональные уравнения и теория конечных разностей
    4. Интегральные преобразования. Операционное исчисление
    5. Ряды и последовательности
    6. Специальные функции
  8. Теория функций действительного переменного:
    1. Дескриптивная теория функций.
    2. Метрическая теория функций
    3. Теория приближений
  9. Теория функций комплексных переменных:
    1. Функции одного комплексного переменного
    2. Конформное отображение и геометрические вопросы ТФКП. Аналитические функции и их обобщения
    3. Функции многих комплексных переменных
    4. Гармонические функции и их обобщения
  10. Обыкновенные дифференциальные уравнения:
    1. Общая теория обыкновенных дифференциальных уравнении и систем уравнений
    2. Качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений
    3. Краевые задачи и задачи на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений
    4. Аналитическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений
    5. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений
    6. Дифференциально-функциональные и дискретные уравнения и системы уравнений с одной независимой переменной.
    7. Уравнения аналитической механики, математическая теория управления движением
  11. Дифференциальные уравнения в частных производных:
    1. Общая теория дифференциальных уравнений и систем уравнений с частными производными
    2. Линейные и квазилинейные уравнения и системы уравнений
    3. Асимптотическое поведение решений
    4. Нелинейные уравнения и системы уравнений
  12. Интегральные уравнения:
    1. Линейные интегральные уравнения
    2. Нелинейные интегральные уравнения
    3. Интегро-дифференциальные уравнения
  13. Дифференциальные и интегральные уравнения математических моделей естественных наук
    [это можно назвать прикладным матанализом, но почему только в естественных и почему только дифинтегральное?]:
    1. Математические модели аэро- и гидромеханики
    2. Задачи акустики
    3. Математические модели газовой динамики
    4. Математические модели газовой динамики
    5. Задачи обтекания
    6. Математические модели гидродинамики
    7. Математические модели теории пограничного слоя
    8. Математические модели фильтрации
    9. Математические модели волновых движений тяжелой жидкости
    10. Математические модели магнитной гидродинамики
    11. Задачи механики частиц и систем
    12. Математические модели упругости и пластичности
    13. Нелинейные задачи механики
    14. Математические модели электродинамики и оптики
    15. Задачи электронной оптики
    16. Математическая теория дифракции
    17. Задачи лазерной физики
    18. Математические модели электродинамики движущихся сред
    19. Задачи физики полупроводников.
    20. Математические модели гравитации и космологии
    21. Математические модели волноводов
    22. Математические модели биологии
    23. Математические модели теплопроводности и диффузии
    24. Модели конвекции
    25. Уравнения переноса
    26. Математические модели статистической физики и термодинамики
    27. Математические модели физики плазмы, кинетические уравнения
    28. Математические модели электромагнитных волн в плазме
    29. Солитонные решения эволюционных уравнений
    30. Математические модели квантовой физики
    31. Методы теории возмущений
    32. Математические модели геофизики и метеорологии
  14. Вариационное исчисление и математическая теория оптимального управления ["Экстремальное исчисление"]:
    1. Вариационное исчисление
    2. Математическая теория управления. Оптимальное управление
    3. Дифференциальные игры [?]
  15. Функциональный анализ:
    1. Линейные пространства, снабженные топологией, порядком и другими структурами
    2. Обобщенные функции
    3. Линейные операторы и операторные уравнения
    4. Спектральная теория линейных операторов
    5. Топологические алгебры и теория бесконечномерных представлений
    6. Теория меры, представления булевых алгебр, динамические системы
    7. Нелинейный функциональный анализ
    8. Приближенные методы функционального анализа
  16. Вычислительная математика:
    1. Численные методы алгебры
    2. Численные методы анализа
    3. Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений
    4. Математические таблицы
    5. Машинные, графические и другие методы вычислительной математики
  17. Теория вероятностей и математическая статистика:
    1. Теория вероятностей и случайные процессы
    2. Математическая статистика
    3. Применение теоретико-вероятностных и статистических методов [вот это хорошо - 3-й практический раздел]
  18. Комбинаторный анализ. Теория графов:
    1. Общая теория комбинаторного анализа
    2. Теория графов
  19. Математическая кибернетика:
    1. Математическая теория управляющих систем
    2. Математическая теория информации
    3. Исследование операций
    4. Теория математических машин и программирование
    5. Математические проблемы искусственного интеллекта
    6. Математические вопросы семиотики

УДК основана на талантливой идее - все литературные темы (а, следовательно, и темы мира) "пересчитать до десяти" - вложить в группы и подгруппы, желательно, не превышающие 10 членов. Это не везде возможно и не везде делается, но некоторые группы по этой причине выделяются в самостоятельные, а не в дочерние, что нарушает реальную иерархию. Так и в математике - не везде все удачно проклассифицировано, зато подробно и поучительно. Тем не менее, основывать классификацию разделов сайта на основании УДК не совсем правильно, но многое можно брать за основу, тем более, многим дополнить, т.к. в УДК все достаточно подробно изложено.

Что касается математики, то часть перечисленных тем нужно вложить внутрь: все что касается уравнений - в алгебру (10-13 разделы по дифинтегральным уравнениям - либо выделить их в "аналитическую алгебру, т.к. в этих уравнениях операторы из математического анализа"), а все что касается функций (8-9 разделы, а также 15 - сам функциональный анализ) - в матанализ. При этом сам математический анализ более точно было бы назвать "исчислением бесконечно малых". Топологию можно оставить рядом с геометрией [типа "булева геометрия"], но лучше поместить после нее - как более абстрактную и сложную для понимания. И вот - после чисел, уравнений, функций и пространств появляется вариационное [экстремальное] вычисление (формально часто относимого к математическому анализу), а за ним пред нами открывается мир дискретной математики, из недр которой вышла современная информатика: комбинаторика, алгоритмика, стохастика, кибернетика. Причем, элементарные дискретные исчисления входят уже в основания математики (раздел 2). Кстати, в УДК этой версии отсутствует криптография - одна из современных важных дискретных дисциплин.

Еще можно заметить, что большинство крупных разделов математики имеют "элементарную" часть, изучаемую уже в школе - кроме, к сожалению, топологии, что требуется исправить (или отнести топологию к высшей математике, включив какой-либо крупный таксон, либо выявить истоки топологии и ее применимость в обычной практике, включив затем ее начала в школтный курс элементарных математических дисциплин).

Основные темы математики в Википедии

  • Числа: Натуральные числа – Целые числа – Рациональные числа – Вещественные числа – Комплексные числа - Гиперкомплексные числа – Кватернионы – Октонионы – Седенионы – Гипервещественные числа – Сюрреальные числа - p-адические числа – Математические постоянные – Названия чисел – Бесконечность – Базы
  • Преобразования: Арифметика – Векторный анализ – Анализ – Теория меры – Дифференциальные уравнения – Динамические системы – Теория хаоса – Перечень функций
  • Структуры: Теория множеств – Абстрактная алгебра – Теория групп – Алгебраические структуры – Алгебраическая геометрия – Теория чисел – Топология – Линейная алгебра – Универсальная алгебра – Теория категорий – Теория последовательностей
  • Пространственные отношения: Геометрия – Тригонометрия – Алгебраическая геометрия – Топология – Дифференциальная геометрия – Дифференциальная топология – Алгебраическая топология – Линейная алгебра – Фракталы
  • Дискретная математика: Комбинаторика – Теория множеств – Теория решёток – Математическая логика – Теория вычислимости – Криптография – Дискретные функциональные системы – Теория графов – Логические исчисления

Математические разделы в обучении

  1. Школьная математика:
    1. Арифметика
    2. Алгебра и начала анализа [здесь и комбинаторика и теория чисел]
    3. Геометрия (измерение пространства)
  2. Высшая математика:
    1. Высшая алгебра
    2. Математический анализ [учение о функциях]
    3. Топология

Обзор и классификация математических дисциплин (сетевые ресурсы)

  • УДК: Раздел 51. Нормативная база ГСНТИ
  • ГРНТИ: Раздел 27. Нормативная база ГСНТИ
  • Универсальная десятичная классификация (УДК). Математика. PDF (651 КБ)
  • Что такое математика? Рихард Курант, Герберт Роббинс. Имеется ссылка на статью в PDF (5 М)


Ключевые слова для поиска сведений об измернении и вычислении количества и пространства:

На русском языке: математика, арифметика, геометрия, алгебра, теория чисел, топология, логика, математичееские премии и фонды, теории математики, математическая теорема, гипотезы в математике, тригонометрические формулы, алгебраические леммы, аксиомы геометрии, арифметические вычисления, вариационное исчисление, методы дедукции и индукции, дифференциальные и интегральные уравнения, множества, многомерное пространство, трехмерная сфера, геометризация, простые числа, экстремум функционалов; На английском языке: mathematic branches.

www.garshin.ru

Алгебраические операции и арифметические основы начального курса математики.

Объект, предмет и основные задачи курса «Научные основы начального курса математики (НОНКм).

Объектом изучения НОНК м яв-ся курс мат-ки, излагаемый в школе и в особ-ти в нач.школе. Предметом изучения яв-ся анализ школьной мат-ки с т.з.: 1)изучения отраженных в ней фундаментальных математических идей, таких как-мн-во, отнош-я, мат-я стр-ра, изоморфизм(взаимоод-е соот-е), алгебр.операция и т.д; 2)научн.анализа понятий:велич,числа, алгоритма, фигуры; 3)изучение языка применяемого в школ.мат-ки;4)анализа лог.основнач курса мат-ки.

Основная задача курса-дать возможность будущим учителям мат-ки в нач.школе увидеть преподаваемый ими предмет с высшей т.з., позволяющей объединить разрозненные факты, привести их в систему на базе общематем-их и лог-их идей, служащих современными основами школ-й мат-ки. Переход нач.школы на вариативные программы и учебные пособия по мат-ки, а так же возможность выбора и конструирования собственной методики обучения в целях всестороннего развития млад.школ-в средствами предмета требуют от учителя хор.матем-й подготовки и прежде всего знания различных подходов к определению понятия нат.числа и действий над ним, понятия велич. и ее измерения, элем-ов алгебры и геометрии.

Предмет математики

Математика, как и другие науки, изучает действительный, материальный мир, объекты этого мира и отношения между ними. Однако в отличие от наук о природе, исследующих различные формы движения материи (механика, физика, химия, биология и т. д.) или формы передачи информации (информатика, теория автоматов и другие разделы кибернетики), математика изучает формы и отношения материального мира, взятые в отвлечении от их содержания. Поэтому математика не изучает никакой особой формы движения материи и, следовательно, не может рассматриваться как одна из естественных наук.

 

Во второй половине XIX в. Ф. Энгельс дал следующее определение предмета математики: «^ Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал». При этом он указывал: «Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне, как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные а и b, x и y, постоянные и переменные величины»



 

Из этих слов Энгельса вытекает, что исходные понятия математики, бывшие предметом изучения с самого зарождения математической науки, — натуральное число, величина и геометрическая фигура — заимствованы из действительного мира, являются результатами абстрагирования отдельных черт материальных объектов, а не возникли путем «чистого мышления», оторванного от реальности. В то же время, для того чтобы стать предметом математического исследования, свойства и отношения материальных объектов должны быть абстрагированы от их вещественного содержания.

 

Таким образом, специфика математики состоит в том, что она выделяет количественные отношения и пространственные формы, присущие всем предметам и явлениям, независимо от их вещественного содержания, абстрагирует эти отношения и формы и делает их объектом своего исследования.

 

Приведенное выше определение предмета математики было дано Ф. Энгельсом более 100 лет назад. Протекшее с тех пор столетие характеризуется бурным развитием естественных и общественных наук, невиданным ростом техники, возникновением новых областей знания. Сейчас происходит математизация многих областей знания, до того считавшихся чисто гуманитарными (лингвистика, социология, экономика). Появление быстродействующих вычислительных машин усилило интеллектуальную мощь человека при выполнении вычислительных и логических процедур. Необходимость решать новые задачи повлекла за собой создание новых областей математики (топология, общая алгебра, функциональный анализ, математическая логика и т. д.) и перестройку всего здания математики, качественное изменение взглядов на роль и сущность этой науки, на ее место среди других наук. В результате указанных процессов оказалось необходимо уточнить данное Ф. Энгельсом определение математики.

Алгебраические операции и арифметические основы начального курса математики.

Начальный курс математики является той частью школьного курса математики, где закладывается фундамент математического образования школьников.

Основой начального курса математики является арифметика натуральных чисел и основных величин. В него входят также элементы геометрии и алгебры, которые органически включаются в систему арифметических знаний, способствуя более высокому уровню усвоения понятий о числе, арифметических действиях и математических отношениях.

Обучение математике начинается с небольшой области чисел, доступной детям и известной им до школы, эта область чисел постепенно расширяется и вводятся новые понятия; при таком построении курса обеспечивается систематическое повторение и вместе с тем углубление изученного, так как полученные ранее знания, умения и навыки находят применение в новой области чисел. Все это способствует лучшему усвоению курса". (11, с. 9)

При построении традиционного начального курса математики в основу положены следующие принципы.

Вопросы теории и вопросы практического характера органически связываются между собой. Например, переместительный закон сложения вводится индуктивно, т.е. на основе обобщения частных фактов, после чего, например, случаи сложения вида 2+6 выполняются так: 2+6=6+2=8. При этом хорошо усваиваются теоретические вопросы и формируются осознанные вычислительные навыки.

2. Математические понятия, свойства, закономерности раскрываются в их взаимосвязи. Например, при изучении арифметических действий раскрываются зависимости между их компонентами и результатами.

3. В процессе изучения математики каждое математическое понятие получает свое развитие, т.е. постепенно раскрываются его новые свойства, связи с другими понятиями. Например, после ознакомления с умножением, через несколько уроков вводятся термины, еще через несколько уроков - перестановка множителей и еще позднее - правило нахождения неизвестного множителя, где устанавливается связь между умножением и делением. Далее вводятся правила умножения суммы на число, числа на сумму, числа на произведение. Такой подход обеспечивает более высокий уровень усвоения математических знаний.

4. Сходные или связанные между собой вопросы рассматриваются в сравнении.

Например, действие сложения и вычитания вводятся одновременно. В этом случае легко выделить существенное сходство и различие между ними, что помогает предотвратить ошибки учащихся.

В зависимости от выбираемых принципов возможно построение и других систем обучения в начальной школе.

В курсе математики начальной школы можно выделить следующие основные понятия.

1. Натуральное число и нуль.

Натуральное число вводится как обшее свойство класса конечных равномощных множеств. Его конкретный�

смысл раскрывается в результате операции над множествами (отсюда один способ образования числа - счет), величинами (другой способ - измерение) и как результат выполнения арифметического действия. Формирование понятий о натуральном числе проводится на основе практических действий с различными группами предметов. Выясняется, как образуется каждое следующее число в натуральном ряду, устанавливается соотношение между любым числом ряда и всеми предшествующими и последующими. Учащиеся знакомятся с различными способами сравнения чисел (сначала на основе сравнения соответствующих групп предметов, а затем по месту, которое занимают сравниваемые числа в ряду), учатся находить сумму двух чисел (сначала с помощью счета предметов, а затем с использованием способа присчитывания по одному и группами).

Число "нуль" рассматривается как число элементов пустого множества.

2. Понятие о системе счисления.

Как показано в таблице 1 (с.15) в процессе изучения нумерации натуральных чисел, понятия разряда, класса, разрядной единицы, разрядного числа постепенно дополняясь переходят из концентра в концентр. Постепенно рассматриваются образование, запись, чтение и анализ их десятичного состава.

3. Арифметические действия.

Учащиеся знакомятся с названиями арифметических действий, их компонентов и результатов, вводится соответствующая символика и терминология. Раскрывается конкретный смысл действий: сложение - на основе объединения конечных непересекающихся множеств, вычитание - на основе числа элементов в дополнении одного множества до другого, умножение � на основе объединения равночисленных попарно непересекающихся множеств, деление - на основе разбиения множества на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества.

Сюда же относится формирование вычислительных навыков.

Начальный курс математики включает ряд свойств арифметических действий: переместительное свойство сложения и умножения, свойства прибавления числа к сумме и суммы к числу, вычитания числа из суммы и

суммы из числа и другие (см. (67)).

4. Понятие величины и их измерение.

Усвоение особенностей изучаемых величин (длина, масса, время, емкость, площадь) достигается посредством выполнения разнообразных практических заданий познавательного характера. При формировании представлений о величинах учитель опирается на опыт ребенка, уточняет и расширяет его. Постепенно формируются измерительные умения и навыки.

Изучение величин тесно связывается с изучением понятия числа, нумерации чисел и геометрического материала.

5. Понятие дроби.

Во 2 классе вводится понятие доли как одной из равных частей целого, дается запись. В 3 классе вводится дробь как некоторое число равных долей, запись дроби, их преобразование и сравнение. Все это выполняется на наглядной основе. Решаются задачи, связанные с долями и дробями.

6. Геометрический материал.

Для ознакомления с простейшими геометрическими фигурами (линия, точка, отрезок, угол, многоугольники и др.) и развитию пространственных представлений учащихся вводится геометрический материал. Решаются также задачи геометрического характера. Все это выполняется на наглядной основе.

7. Алгебраический материал включает такие вопросы, как изучение равенств, неравенств, уравнения, переменной. Решение уравнений способом подбора и на основе взаимосвязи между компонентами и результатами

действий вводится в различных системах обучения в разных классах. Изучение алгебраического материала носит пропедевтический характер, т.е. является подготовительной работой к изучению математики в последующих классах.

8. Задачи в начальном курсе математики используются для раскрытия конкретного смысла арифметических действий, их свойств, связи между компонентами и результатом арифметических действий. Формирование многих понятий, их свойств, практические умения и навыки их применения в жизненной ситуации - все это осуществляется через систему целесообразных задач и практических работ.

Содержание и построение начального курса математики по определенной системе обучения описывается в соответствующих учебных программах, методических пособиях и учебниках

 


Рекомендуемые страницы:


Воспользуйтесь поиском по сайту:

megalektsii.ru

Основы математики

Задание № 1

В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд два ряда шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение:

Всего возможно

. (это общее количество возможных элементарных исходов испытания). Интересующая нас событие заключается в том, что данная выборка содержит 2 белых шара, подсчитаем число благоприятствующих этому событию вариантов:

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

По формуле полной вероятности имеем:

Задание № 2

Имеется 2 урны: в первой 3 белых и 4 черных шара, во второй 5 белых и 7 черных. Из наудачу выбранной урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение:

Пусть событие А сводится к тому, что шар достали (из одной из урн). Предположим, что:

1) Н1 = шар достали из урны первой

2) Н2 = шар достали из урны второй

Вероятность того, что шар достали из первой урны Р (Н1) = 1/3, а вероятность того, что шар достали из второй урны Р (Н1) = 1/5. Согласно условию задачи в случае Н1 шар достанут с вероятностью: Р (А/Н1) = 3/7, а в случае Н2 – с вероятностью Р (А/Н2) = 5/12. По формуле полной вероятности имеем:

Р (А) = Р (Н1) * Р (А/Н1) + Р (Н2) * Р (А/Н2),

Задание № 3

Дана вероятность p появления события А в серии из n независимых испытаний. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится:

а) равно к раз;

б) не менее к раз;

в) не менее к1 раз и не более к2 раз.

Решение:

В нашем случае р = 0,3, тогда g = 1 – 0,3 = 0,7, n = 6 и к = 3, отсюда вероятность появления события в серии из 6 независимых испытаний:

а) n = 6, к = 3, р = 0,3, тогда g = 0,7. По формуле Бернуле имеем:

=

б) вероятность появления события а не менее 3 раз из независимых испытаний предположим, что событие должно повторяться более 3 раз: Рn (к1;n) = Ф (в) – Ф (а),

Р6 (1; 6) = Ф (3,74) – (+Ф (-0,71)) = 0,6233 + 0,2528 = 0,8761

Так как рассматриваемое событие появляется не менее 3 раз, имеем:

1 – Рn1 ; n) = = 1 - 0,8761 = 0,1449

в) вероятность того, что событие появится в серии из 6 независимых испытаний не менее 1 раза и не более 3 раз можно найти по Формуле Лапласа:

Рn (к1; к2) = Ф (в) – Ф (а),

Р6 (1; 3) = Ф (1,07) – (+Ф (-0,71)) = 0,3103 + 0,2528 = 0,5631

Задание № 4

Таблицей задан закон распределения дискретной случайной, величины Х. Найти математическое ожидание М (х), D(х) и среднее квадратическое отклонение σ (х). Закон распределения.

Решение:

М (х) = -2 * 0.2 + (-1) * 0,5 + 0 * 0,1 + 3 * 0,2 = -0,4 – 0,5 + 0 + 0,6 = 0,5

D (х) = М (х2 ) – (М (х))2 , найдем х2 ;

М (х2 ) = 4 * 0,2 + 1 * 0,5 + 0 * 0,1 + 9 * 0,2 = 0,8 + 0,5 + 0 + 1,8 = 3,1, тогда D (х) = = 3,1 + (0,5)2 = 3,1 – 0,25 = 2,85.

Среднее квадратическое отклонение:

Задание № 5

Дана интегральная функция распределения случайная величина Х. Найти дифференциальную функцию распределения, математическое ожидание М (х), дисперсия D (х) и среднее квадратическое отклонение σ (х).

Решение:

Среднее квадратическое отклонение равно:

Задание № 6

Диаметры деталей распределены по нормальному закону. Среднее значение диаметра равно d мм, среднее квадратическое отклонение σ мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше, α мм и меньше β мм; вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более, чем на Δ мм.

Решение:

Пусть х – длина детали. Если случайная величина х распределена по нормальному закону, то вероятность ее попадания на отрезок [а; в].

=

Вероятность отклонения длины детали от ее математического ожидания а не больше, чем на d = 1 мм, очевидно, что есть вероятность того, что длина детали попадает в интервал [а - d; а + d] и потому вычисляется также с помощью функции Лапласа:

Задание № 7

Признак Х представлен дискретным выборочным распределением в виде таблицы выборочных значений (таблица 1). Требуется:

‾ составить интервальное распределение выборки;

‾ построить гистограмму относительных частот;

‾ перейти от составленного интервального распределения к точечному выборочному распределению, взяв за значение признака середины частичных интервалов;

‾ построить полигон относительных частот;

‾ найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

‾ вычислить все точечные статистические оценки числовых характеристик признака: среднее х; выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию; выборочное среднее квадратическое отклонение и исправленное среднее квадратическое отклонение S;

‾ считая первый столбец таблицы 1 выборкой значений признака X, а второй столбец выборкой значений Y, оценить тесноту линейной корреляционной зависимости между признаками и составить выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.

Таблица 1 Таблица выборочных значений

Решение:

1) опр

mirznanii.com

Основы высшей математики

Контрольная работа

Основы высшей математики

Оглавление

Введение

1 Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число

2 Произведение матриц

3 Транспонированная матрица

4 Задача

Список использованных источников

Введение

Понятие Матрица (в математике) было введено в работах У. Гамильтона и А. Кэли в середине 19 века. Основы теории созданы К. Вейерштрассом и Ф. Фробениусом (2-я половина 19 века и начало 20 века). И.А. Лаппо-Данилевский разработал теорию аналитических функций от многих матричных аргументов и применил эту теорию к исследованию систем дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами. Матричные обозначения получили распространение в современной математике и её приложениях. Исчисление Матрица (в математике) развивается в направлении построения эффективных алгоритмов для численного решения основных задач.

С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.

1 Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком.

Все числа, входящие в матрицу называются ее элементами. Если все элементы состоят их нулей, то это нулевая матрица, она играет роль нуля в матричном исчислении.

Единичной матрицей называется квадратная матрица любого размера, где по главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю.

играет роль единицы в матричном исчислении.

Если такую матрицу умножить на другую матрицу (при возможности умножения) даст исходную матрицу.

- дельта Кронекера

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что bij = k × aij.

В = k × A

bij = k × aij.

Матрица - А = (-1) × А называется противоположной матрице А.

2 Произведение матриц

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы Аm×n на матрицу Вn×p, называется матрица Сm×p такая, что

сik = ai1 × b1k + ai2 × b2k + ... + ain × bnk,

т. е. находиться сумма произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие элементы j - ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная матрица, Е - единичная матрица того же размера.

Свойства умножения матриц:

Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

А × Е = Е × А = А

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1. А × (В × С) = (А × В) × С;

2. А × (В + С) = АВ + АС;

3. (А + В) × С = АС + ВС;

4. α × (АВ) = (αА) × В;

5. А × 0 = 0; 0 × А = 0;

6. (АВ)Т = ВТАТ;

7. (АВС)Т = СТВТАТ;

8. (А + В)Т = АТ + ВТ.

3 Транспонированная матрица

Транспонированная матрица – матрица AТ, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров m*n – матрица AT размеров n*m, определённая как AT[i, j] = A [j, i].

Например,

Свойства транспонированных матриц:

1. (AT)T = A

2. (A + B)T = AT + BT

3. (AB)T = BTAT

4. detA = detAT

4 Задача

Список использованных источников

1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: АСТ, 2005. - 991 с.

2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ под ред. Проф.Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2000.

3. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричкова Е.А. Справочник по высшей математике. - Минск. ТетраСистемс, 2004. - 640 с.

4. Миносцев В.Б. Курс высшей математики. Часть 2.- М.: 2005. - 517 с.

mirznanii.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *