Скалярные произведения векторов – свойства, примеры вычисления, физический смысл

Скалярное, векторное и смешанное произведение

векторы. ДЕЙСТВИЯ НАД векторами. Скалярное,

 ВЕКТОРНОЕ, СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

 1. Векторы, Действия над векторами.

Основные определения.

Определение 1. Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром.

(Масса тела, объем, время и т.д.)

Определение 2. Величина, характеризуемая числовым значением и направлением, называется векторной или вектором.

(Перемещение, сила, скорость и т.д.)

Обозначения: ,или,.

 Геометрический вектор – это направленный отрезок.

Для вектора – точкаА – начало, точка В – конец вектора.

Определение 3. Модуль вектора – это длина отрезка AB.

Определение 4. Вектор, модуль которого равен нулю, называется нулевым, обозначается .

Определение 5. Векторы, расположенные на параллельных прямых или на одной прямой называются коллинеарными. Если два коллинеарных вектора имеют одинаковое направление, то они называются сонаправленными.

Определение 6. Два вектора считаются равными, если они сонаправлены и равны по модулю.

Действия над векторами.

1) Сложение векторов.

Опр. 6. Суммой двух векторов иявляется диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки их приложения

(правило параллелограмма).

 Рис.1. 

Опр. 7. Суммой трех векторов ,,называется диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах(правило параллелепипеда).

Опр. 8. Если А, В, С – произвольные точки, то +=(правило треугольника).

 рис.2 

 Свойства сложения.

1^о. +=+(переместительный закон).

2^о. + (+) = (+) += (+) +(сочетательный закон).

3^о.  + (–) +.

2) Вычитание векторов.

Опр. 9. Под разностью векторов ипонимают вектор =  – такой, что+ = .

В параллелограмме – это другая

диагональ СД (см.рис.1).

3) Умножение вектора на число.

Опр. 10. Произведением вектора на скалярk называется вектор

= k = k,

имеющий длину ka, и направление, которого:

1.     совпадает с направлением вектора , еслиk > 0;

2.     противоположно направлению вектора , еслиk < 0;

3.     произвольно, если k = 0.

Свойства умножения вектора на число.

1^о. (k + l)=k + l.

 k(+) =k + k.

2^o. k

(l) = (kl).

3^o. 1 = , (–1) = – , 0 = .

Свойства векторов.

Опр. 11. Два вектора иназываютсяколлинеарными, если они расположены на параллельных прямых или на одной прямой.

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Теорема 1. Два ненулевых вектора иколлинеарны,  когда они пропорциональны т.е.

= k, k – скаляр.

Опр. 12. Три вектора ,,называютсякомпланарными, если они параллельны некоторой плоскости или лежат в ней.

Теорема 2. Три ненулевых вектора ,,компланарны,  когда один из них является линейной комбинацией двух других, т.е.

= k + l, k ,l – скаляры.

Проекция вектора на ось.

Теорема 3. Проекция вектора на ось (направленная прямая)l равна произведению длины вектора на косинус угла между направлением вектора и направлением оси, т.е.  = a  cos ,  = (,l).

  рис.3.

 2. Координаты вектора

Опр. 13. Проекции вектора на координатные осиОх, Оу, Оz называются координатами вектора. Обозначение: a_x, a_y, a_z.

Длина вектора: 

Пример: Вычислить длину вектора .

 Решение:

 Расстояние между точками

и вычисляется по формуле:.

 Пример: Найти расстояние между точками М (2,3,-1) и К (4,5,2).

Действия над векторами в координатной форме.

Даны векторы =a_x, a_y, a_z и =b_x, b_y, b_z.

1.     ( )=a_x  b_x, a_y  b_y, a_z  b_z.

2.     =a_x, a_y, a_z, где  – скаляр.

 Скалярное произведение векторов.

Определение: Под скалярным произведением двух векторов и

понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. =,  — угол между векторами и . 

 Свойства скалярного произведения:

1.     =

2.     (+) =

3.    

4.    

5.     , где   – скаляры.

6.     два вектора перпендикулярны (ортогональны), если  .

7.     тогда и только тогда, когда .

Скалярное произведение в координатной форме имеет вид: , где  и .

Пример: Найти скалярное произведение векторов и

Решение:

 Векторное проведение векторов.

Определение: Под векторным произведением двух векторов ипонимается вектор,для которого:

-модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. , гдеугол между векторамии

-этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т.е.

-если векторы  неколлинеарны, то они образуют правую тройку векторов.

 Свойства векторного произведения:

1.При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т.е.

2.Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е.

3.Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е.

4.Для любых трех векторов   справедливо равенство

5.Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов и:

 Векторное произведение в координатной форме.

 Если известны координаты векторов  и ,то их векторное произведение находится по формуле:

  .

 Тогда из определения векторного произведения следует, что площадь параллелограмма, построенного на векторах и, вычисляется по формуле:

Пример: Вычислить площадь треугольника с вершинами (1;-1;2),(5;-6;2),(1;3;-1).

Решение: .

, , тогда площадь треугольника АВС будет вычисляться следующим образом:

,

 Смешанное произведение векторов.

Определение: Смешанным (векторно-скалярным) произведением векторов  называется число, определяемое по формуле: .

 Свойства смешанного произведения:

1.Смешанное произведение не меняется при циклической  перестановке его сомножителей, т.е. .

2.При перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е. .

3.Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов : =0.

4.Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку, т.е. .

 Если известны координаты векторов , то смешанное произведение находится по формуле:

Пример: Вычислить смешанное произведение векторов .

Решение: 

 3. Базис системы векторов.

 Определение. Под системой векторов понимают несколько векторов, принадлежащих одному и тому же пространству R.

Замечание. Если система состоит из конечного числа векторов, то их обозначают одной и той же буквой с разными индексами.

Пример.

Определение. Любой вектор вида =называется линейной комбинацией векторов . Числа

 — коэффициентами линейной комбинации.

Пример. .

Определение. Если вектор   является линейной комбинацией векторов , то говорят, что вектор  линейно выражается через векторы .

Определение. Система векторов называется линейно-независимой, если ни один вектор системы не может быть как линейная комбинация остальных векторов. В противном случае систему называют линейно-зависимой.

Пример. Система векторов линейно-зависима, т. к. вектор.

Определение базиса. Система векторов образует базис, если:

1) она линейно-независима,

2) любой вектор пространства через нее линейно выражается.

Пример 1. Базис пространства :.

 2. В системе векторов базисом являются векторы:, т.к.линейно выражается через векторы.

Замечание. Чтобы найти базис данной системы векторов необходимо:

1)     записать координаты векторов в матрицу,

2)    с помощью элементарных преобразований привести матрицу к треугольному виду,

3)     ненулевые строки матрицы будут являться базисом системы,

4)    количество векторов в базисе равно рангу матрицы. 

studfiles.net

12. Скалярное произведение векторов, свойства, приложения.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и:где- угол между векторамии; еслилибо, тоИз определения скалярного произведения следует, чтогде, например,есть величина проекции векторана направление вектора.

Скалярный квадрат вектора:

Свойства скалярного произведения:

теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения:

Угол между векторами:

Оценка угла между векторами: в формулезнак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение > 0, если угол между векторами острый, и < 0, если угол между векторами тупой.

Проекция вектора на направление, определяемое единичным вектором:,

условие ортогональности[2] (перпендикулярности) векторови:

Площадь параллелограмма, натянутого на два вектораи, равна

Скалярное произведение в координатах

Если то

Угол между векторами

13. Векторное произведение векторов

Векторное произведение векторов.

Векторным произведением вектора на векторв пространственазывается вектор, удовлетворяющий следующим требованиям:

длина вектора равна произведению длин векторовина синус угламежду ними:;

вектор ортогонален каждому из векторови;

вектор направлен так, что тройка векторовявляется правой.

14.Смешанное произведение векторов

Сме́шанное произведе́ние векторов— скалярное произведение векторана векторное произведение векторови:

.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами .

Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторови:

Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторови, взятому со знаком «минус»:

В частности,

Если любые два вектора параллельны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение равное нулю.

Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда образованного векторамии; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

15.Прямая линия на плоскости, её общее уравнение и его исследование.

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Оxy.

Теорема.

Всякое уравнение первой степени вида , где А, В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и любая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задается уравнением видапри некотором наборе значений A, B и C.

Докажемсначала, что уравнение видазадает прямую на плоскости.

Пусть координаты точки удовлетворяют уравнению, то есть,. Вычтем из левой и правой частей уравнениясоответственно левую и правую части равенства, при этом получаем уравнение вида, которое эквивалентно.

Уравнение представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторови. То есть, множество всех точекопределяет в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, перпендикулярную направлению вектора. Если бы это было не так, то векторыине были бы перпендикулярными и равенствоне выполнялось бы.

Таким образом, уравнение задает прямую линию в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости, следовательно, эквивалентное ему уравнение видазадает эту же прямую. На этом первая часть теоремы доказана.

Теперь докажем, что всякая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости определяется уравнением первой степени вида .

Пусть в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задана прямая a, проходящая через точку,- нормальный вектор прямойa, и пусть- плавающая точка этой прямой. Тогда векторыиперпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, то есть,. Полученное равенство можно переписать в виде. Если принять, то получим уравнение, которое соответствует прямойa.

На этом доказательство теоремы завершено.

studfiles.net

Скалярное произведение векторов

7.8.3Скалярное произведение в физике

Подчеркнём ещё раз, что скалярное произведение это не вектор, а скаляр. Иными словами, в физике скалярное произведение есть число, обладающее размерностью. Размерность скалярного произведения равно произведению размерностей векторов-сомножителей.

Из определения работы формулы (7.18) мы видим теперь, что работа есть скалярное произведение векторов силы и перемещения:

Если тело движется равномерно и прямолинейно, то есть с постоянной скоростью ~v, то ~s = ~vt. Подставляя это в формулу (7.25), получим:

Благодаря ассоциативности (7.23) при умножении на скаляр нам всё равно, в каком порядке

перемножаются эти множители. Удобно воспринять формулу (7.26) как~ и поделить

A = (F ~v)t

обе части на t. Получим формулу для мощности:

	A			~	~v:
P =		t		= F
				~	~	. Эти силы совершают соответственно
Далее, пусть на тело действуют две силы: F1					и F2
работы:
~	~s;			A2	~		~s:
A1 = F1					= F2

			~
Какую работу совершает равнодействующая F этих сил? Пользуемся дистрибутивностью ска-
лярного произведения(7.24):
~	~	~	~	~	~s = A1 + A2:
A = F	~s = (F1	+ F2) ~s = F1		~s + F2

Вывод: работа равнодействующей силы равна сумме работ каждой из сил в отдельности. Иными словами, приложенные к телу силы складываются векторно, а их работы алгебраически5.

7.8.4Вычисление скалярного произведения в координатах

Если на плоскости или в пространстве имеется прямоугольная система координат, то возникает замечательно простая формула для нахождения скалярного произведения векторов через их координаты.

1. Плоскость. Предположим, что на плоскости задана прямоугольная система координат

(как показано на рис. 7.31). Векторы~ и~ единичные векторы координатных осей.

OXY i j

Векторы ~a	~	ax	и ay	проекции
	и b расположены на этой плоскости. Пусть, как обычно,
				~	~
вектора ~a на координатные оси (или, что то же самое, координаты вектора ~a в базисе i,					j).

Аналогичный смысл имеют обозначения bx и by.

Скалярное произведение векторов и ~, расположенных на плоскости, вычисляется

Теорема. ~a b

через их координаты следующим образом:

~	(7.27)
~a b = axbx + ayby:

Для доказательства используем формулу (7.14) разложения вектора по базису:

~ ~ ~ ~ ~

~a = axi + ayj; b = bxi + byj:

5Проявление этого факта мы встречаем в электростатике: напряжённости полей, создаваемых в данной точке разными зарядами, складываются векторно, а потенциалы этих полей алгебраически.

studfiles.net

Скалярное произведение Википедия

Скаля́рное произведе́ние (иногда внутреннее произведение) — операция над двумя векторами, результатом которой является число (когда рассматриваются векторы, числа часто называют скалярами), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Обычно используется одно из следующих обозначений:

⟨a,b⟩{\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle },

(a,b){\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )},

a⋅b{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} },

или (обозначение Дирака, часто применяемое в квантовой механике для векторов состояния):

⟨a|b⟩{\displaystyle \langle a|b\rangle }.

Обычно предполагается, что скалярное произведение положительно определено, то есть

⟨a,a⟩>0{\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle >0} для всех a≠0{\displaystyle a\not =0}.

Если этого не предполагать, то произведение называется индефинитным или неопределенным.

Определение[ | ]

Скалярным произведением в векторном пространстве L{\displaystyle \mathbb {L} } над полем C{\displaystyle \mathbb {C} }

ru-wiki.ru