Собственные числа и вектора матриц. Методы их нахождения
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Пусть число $\lambda$ и вектор $x\in L, x\neq 0$ таковы, что $$Ax=\lambda x.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)$$ Тогда число $\lambda$ называется собственным числом линейного оператора $A,$ а вектор $x$ собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу $\lambda.$
В конечномерном пространстве $L_n$ векторное равенство (1) эквивалентно матричному равенству $$(A-\lambda E)X=0,\,\,\,\, X\neq 0.\qquad\qquad\quad\quad (2)$$
Отсюда следует, что число $\lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда детерминант $det(A-\lambda E)=0,$ т. е. $\lambda$ есть корень многочлена $p(\lambda)=det(A-\lambda E),$ называемого характеристическим многочленом оператора $A.$ Столбец координат $X$ любого собственного вектора соответствующего собственному числу $\lambda$ есть нетривиальное решение однородной системы (2).
Найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.
4.134. $A=\begin{pmatrix}2&-1&2\\5&-3&3\\-1&0&-2\end{pmatrix}.$
Решение.
Найдем собственные вектора заданного линейного оператора. Число $\lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда $det(A-\lambda E)=0.$ Запишем характеристическое уравнение:
$$A-\lambda E=\begin{pmatrix}2&-1&2\\5&-3&3\\-1&0&-2\end{pmatrix}-\lambda\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=$$ $$=\begin{pmatrix}2-\lambda&-1&2\\5&-3-\lambda&3\\-1&0&-2-\lambda\end{pmatrix}.$$
$$det(A-\lambda E)=\begin{vmatrix}2-\lambda&-1&2\\5&-3-\lambda&3\\-1&0&-2-\lambda\end{vmatrix}=$$ $$=(2-\lambda)(-3-\lambda)(-2-\lambda)+3+2(-3-\lambda)+5(-2-\lambda)=$$ $$=-\lambda^3-3\lambda^2+4\lambda+12+3-6-2\lambda-10-5\lambda=-\lambda^3-3\lambda^2-3\lambda-1=0.$$
Решим найденное уравнение, чтобы найти собственные числа.
$$\lambda^3+3\lambda^2+3\lambda+1=(\lambda^3+1)+3\lambda(\lambda+1)=$$ $$=(\lambda+1)(\lambda^2-\lambda+1)+3\lambda(\lambda+1)=(\lambda+1)(\lambda^2-\lambda+1+3\lambda)=$$ $$=(\lambda+1)(\lambda^2+2\lambda+1)=(\lambda+1)^3=0\Rightarrow \lambda=-1.$$
Собственный вектор для собственного числа $\lambda=-1$ найдем из системы $$(A-\lambda E)X=0, X\neq 0, \Rightarrow (A+E)X=0, X\neq 0$$
$$(A+E)X=\begin{pmatrix}2+1&-1&2\\5&-3+1&3\\-1&0&-2+1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=$$ $$=\begin{pmatrix}3x_1-x_2+2x_3\\5x_1-2x_2+3x_3\\-x_1-x_3\end{pmatrix}=0.$$
Решим однородную систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{lcl}3x_1-x_2+2x_3=0\\ 5x_1-2x_2+3x_3=0\\-x_1-x_3=0\end{array}\right.$$
Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin{pmatrix}3&-1&2\\5&-2&3\\-1&0&-1\end{pmatrix}$ методом окаймляющих миноров:
Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin{vmatrix}3&-1\\5&-2\end{vmatrix}=-6+5=-1\neq 0.$
Рассмотрим окаймляющий минор третьего порядка: $\begin{vmatrix}3&-1&2\\5&-2&3\\-1&0&-1\end{vmatrix}=6+3-4-5=0;$
Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.
Выберем в качестве базисного минор $M=\begin{vmatrix}3&-1\\5&-2\end{vmatrix}=-1\neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$\left\{\begin{array}{lcl}3x_1-x_2+2с=0\\ 5x_1-2x_2+3с=0\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}3x_1-x_2=-2c\\5x_1-2x_2=-3c\end{array}\right.$$
По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$
$\Delta=\begin{vmatrix}3&-1\\5&-2\end{vmatrix}=-6+5=-1;$
$\Delta_1=\begin{vmatrix}-2c&-1\\-3c&-2\end{vmatrix}=4c-3c=c;$
$\Delta_2=\begin{vmatrix}3&-2c\\5&-3c\end{vmatrix}=-9c+10c=c;$
$x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{c}{-1}=-c;$ $x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{c}{-1}=-c.$
Таким образом, общее решение системы $X(c)=\begin{pmatrix}-c\\-c\\c\end{pmatrix}.$
Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}.$
С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде $X(c)=cE.$
Ответ: $\lambda=-1;$ $X=c\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}, c\neq 0.${jumi[*3]}
4.143. $A=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&1&-2\\1&-1&0\end{pmatrix}.$
Решение.
Найдем собственные вектора заданного линейного оператора. Число $\lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда $det(A-\lambda E)=0.$ Запишем характеристическое уравнение:
$$A-\lambda E=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&1&-2\\1&-1&0\end{pmatrix}-\lambda\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=$$ $$=\begin{pmatrix}-\lambda&-1&0\\1&1-\lambda&-2\\1&-1&-\lambda\end{pmatrix}.$$
$$det(A-\lambda E)=\begin{vmatrix}-\lambda&-1&0\\1&1-\lambda&-2\\1&-1&-\lambda\end{vmatrix}=$$ $$=-\lambda(1-\lambda)(-\lambda)+2-\lambda+2\lambda=$$ $$=-\lambda^3+\lambda^2+\lambda+2=0.$$
Решим найденное уравнение, чтобы найти собственные числа.
$$-\lambda^3+\lambda^2+\lambda+2=(\lambda-2)(-\lambda^2-\lambda-1)=0\Rightarrow \lambda=2.$$
Собственный вектор для собственного числа $\lambda=2$ найдем из системы $$(A-\lambda E)X=0, X\neq 0, \Rightarrow (A-2E)X=0, X\neq 0$$
$$(A-2E)X=\begin{pmatrix}-2&-1&0\\1&-1&-2\\1&-1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=$$ $$=\begin{pmatrix}-2x_1-x_2\\x_1-x_2-2x_3\\x_1-x_2-2x_3\end{pmatrix}=0.$$
Решим однородную систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{lcl}-2x_1-x_2=0\\ x_1-x_2-2x_3=0\\x_1-x_2-2x_3=0\end{array}\right.$$
Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin{pmatrix}-2&-1&0\\1&-1&-2\\1&-1&-2\end{pmatrix}$ методом окаймляющих миноров:
Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin{vmatrix}-2&-1\\1&-1\end{vmatrix}=2+1=3\neq 0.$
Рассмотрим окаймляющий минор третьего порядка: $\begin{vmatrix}-2&-1&0\\1&-1&-2\\1&-1&-2\end{vmatrix}=0;$
Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.
Выберем в качестве базисного минор $M=\begin{vmatrix}-2&-1\\1&-1\end{vmatrix}=3\neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$\left\{\begin{array}{lcl}-2x_1-x_2=0\\ x_1-x_2-2с=0\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}-2x_1-x_2=0\\x_1-x_2=2c\end{array}\right.$$
По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$
$\Delta=\begin{vmatrix}-2&-1\\1&-1\end{vmatrix}=2+1=3;$
$\Delta_1=\begin{vmatrix}0&-1\\2c&-1\end{vmatrix}=2c;$
$\Delta_2=\begin{vmatrix}-2&0\\1&2c\end{vmatrix}=-4c;$
$x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{2c}{3};$ $x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{-4c}{3}.$
Таким образом, общее решение системы $X(c)=\begin{pmatrix}\frac{2c}{3}\\-\frac{4c}{3}\\c\end{pmatrix}.$
Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\-\frac{4}{3}\\1\end{pmatrix}.$
С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде $X(c)=cE.$ Переобозначив постоянную, $\alpha=3c,$ получаем собственный вектор $X=\alpha\begin{pmatrix}2\\-4\\3\end{pmatrix}, \alpha\neq 0.$
Ответ: $\lambda=2;$ $X=\alpha\begin{pmatrix}2\\-4\\3\end{pmatrix}, \alpha\neq 0.$
Домашнее задание.
Найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.
4.135. $A=\begin{pmatrix}0&1&0\\-4&4&0\\-2&1&2\end{pmatrix}.$
Ответ: $\lambda=2;$ $X=c_1\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}, $c_1$ и $ c_2$ не равны одновременно нулю.
4.142. $A=\begin{pmatrix}1&-3&1\\3&-3&-1\\3&-5&1\end{pmatrix}.$
Ответ: $\lambda_1=-1,$ $X(\lambda_1)=c\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix};$ $\lambda_2=2,$ $X(\lambda_2)=c\begin{pmatrix}4\\1\\7\end{pmatrix};$ $\lambda_3=-2,$ $X(\lambda_3)=c\begin{pmatrix}2\\3\\3\end{pmatrix}, c\neq 0.$
{jumi[*4]}
mathportal.net
Собственные числа и векторы. Контрольные онлайн
Собственные числа и векторы
Найти собственные значения и собственные векторы
линейного оператора, заданного в базисе
матрицей .
Решение
Ненулевой вектор называется собственным вектором, а число -соответствующим вектору собственным значением оператора , если или .
Для заданной матрицы последнее матричное уравнение
примет вид или
Этому матричному уравнению соответствует однородная линейная система уравнений
Для того, чтобы однородная система имела ненулевые решения необходимо, чтобы её определитель был равен нулю.
Уравнение называют
характеристическим уравнением.
, ,
Таким образом, собственными значениями линейного оператора, заданного матрицей (собственными значениями матрицы ), являются , , .
Найдем собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям, то есть векторы .
Для получим систему уравнений для нахождения координат первого собственного вектора
Полагая , получим координаты первого собственного вектора .
При , получим .
Для получим систему уравнений для нахождения координат второго собственного вектора
Полагая , получим координаты второго собственного вектора .
При , получим .
Для получим систему уравнений для нахождения координат третьего собственного вектора
www.matem96.ru
Характеристическое уравнение онлайн
www.matcabi.net позволяет найти характеристическое уравнение для матрицы онлайн. Сайт производит вычисление характеристического уравнения для матрицы онлайн. За неколько секунд сервер выдаст правильное решение. Характеристическим уравнение для матрицы будет являться алгебраическое выражение, найденное по правилу вычисления определителя матрицы — как сумма произведений соответствующих элементов матрицы, при этом по главной диагонали будут стоять разницы значений диагональных элементов и переменной. При вычислении характеристического уравнения для матрицы онлайн, каждый элемент матрицы будет перемножаться с соответствующими другими элементами матрицы. Найти характеристическое уравнение для матрицы в режиме онлайн можно только для квадратной матрицы. Операция нахождения характеристического уравнения для матрицы онлайн сводится к вычислению алгебраической суммы произведения элементов матрицы как результат от нахождения определителя матрицы, только с целью определения характеристического уравнения для матрицы онлайн. Данная операция занимает особое место в теории матриц, позволяет найти собственные числа и векторы, используя корни характеристического уравнения матрицы. Задача по нахождению характеристического уравнения для матрицы онлайн заключается в перемножении элементов матрицы с последующим суммированием этих произведений по определенному правилу. www.matcabi.net находит характеристическое уравнение для матрицы заданной размерности в режиме онлайн. Вычисление характеристического уравнения для матрицы онлайн при заданной её размерности — это нахождение многочлена с числовыми или символьными коэффициентами, найденного по правилу вычисления определителя матрицы — как сумма произведений соответствующих элементов матрицы, только с целью определения характеристического уравнения для матрицы онлайн. Нахождение полинома относительно переменной для квадратной матрицы, как определение характеристического уравнения для матрицы, распространено в теории матриц. Значение корней многочлена характеристического уравнения для матрицы онлайн используется для определения собственных векторов и собственных чисел для матрицы. При этом, если определитель матрицы будет равен нулю, то характеристическое уравнение матрицы все равно будет существовать, в отличии от обратной матрицы. Для того, чтобы вычислить характеристическое уравнение для матрицы или найти сразу для нескольких матриц характеристические уравнения, необходимо затратить не мало времени и усилий, в то время как наш сервер в считанные секунды найдет характеристическое уравнение для матрицы онлайн. При этом ответ по нахождению характеристического уравнения для матрицы онлайн будет правильным и с достаточной точностью, даже если числа при нахождении характеристического уравнения для матрицы онлайн будут иррациональными. На сайте www.matcabi.net допускаются символьные записи в элементах матриц, то есть характеристическое уравнение для матрицы онлайн может быть представлено в общем символьном виде при вычислении характеристического уравнения матрицы онлайн. Полезно проверить ответ, полученный при решении задачи по нахождению характеристического уравнения для матрицы онлайн, используя сайт www.matcabi.net. При совершении операции вычисления полинома — характеристического уравнения матрицы, необходимо быть внимательным и предельно сосредоточенным при решении данной задачи. В свою очередь наш сайт поможет Вам проверить своё решение на тему характеристическое уравнение матрицы онлайн. Если у Вас нет времени на долгие проверки решенных задач, то www.matcabi.net безусловно будет являться удобным инструментом для проверки при нахождении и вычислении характеристического уравнения для матрицы онлайн.
www.matcabi.net
Собственные числа и собственные векторы матрицы — Мегаобучалка
Число называется собственным числом матрицы ,
если существует ненулевой вектор такой, что
.
При этом вектор называется собственным вектором матрицы , соответствующим собственному числу .
Характеристическим уравнением матрицы называется уравнение
. (10)
Корни этого уравнения являются собственными числами матрицы А.
Рассмотрим систему уравнений
,
в которой принимает одно из значений . Определитель этой системы в силу (10) равен нулю. Следовательно, система определяет с точностью до постоянного множителя собственный вектор , соответствующий данному собственному числу.
Задание 5. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
.
Решение. Составим характеристическое уравнение матрицы А.
,
или . Корни этого уравнения являются собственными числами матрицы А.
Для отыскания собственных векторов матрицы А используем систему уравнений
(11)
полагая в ней поочередно .
1. Пусть . Тогда система (11) примет вид:
или
. (12)
Полученную систему решим методом Гаусса. Расширенная матрица системы (12) имеет вид:
.
Приведем матрицу к трапециевидному виду с помощью элементарных преобразований. Для этого умножим элементы первой строки матрицы на (-3) и сложим с соответствующими элементами второй строки. Получим матрицу
,
которая является расширенной матрицей системы
.
Следовательно, , то есть система имеет бесчисленное множество решений, определяемых равенством .
Таким образом, собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числу , является ненулевой вектор, определяемый совокупностью чисел , где
2. Пусть . Тогда система (11) примет вид:
. (13)
Решим систему (13) методом Гаусса.
Расширенная матрица системы (13) имеет вид:
.
Приведем матрицу к трапециевидному виду с помощью элементарных преобразований. Для этого, сначала переставим первую строку матрицы со второй строкой. Получим:
.
Теперь умножим элементы первой строки матрицы на 2 и сложим с соответствующими элементами второй строки. Затем умножим элементы первой строки матрицы на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьей строки. В результате получим:
.
Далее, сложим элементы второй строки матрицы с соответствующими элементами третьей строки. Получим матрицу:
,
которая является расширенной матрицей системы
.
Следовательно, , то есть система имеет бесконечное множество решений, определяемых равенством .
Таким образом, собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числу , является ненулевой вектор, определяемый совокупностью чисел , где t — любое число, отличное от нуля.
3) Пусть . Тогда система (11) примет вид:
(14)
Решим систему (14) методом Гаусса. Расширенная матрица системы (14) имеет вид:
.
Приведем матрицу к трапециевидному виду с помощью элементарных преобразований. Сначала поменяем первую строку матрицы со второй строкой. Получим:
.
Умножим теперь элементы первой строки матрицы на 5 и сложим с соответствующими элементами второй строки. Затем умножим элементы первой строки матрицы на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьей строки. В результате получим:
.
Далее, сложим элементы второй строки матрицы соответственно с элементами третьей строки. Тогда получим матрицу:
,
которая является расширенной матрицей системы
.
Следовательно, , то есть система имеет бесчисленное множество решений, определяемых равенством .
Таким образом, собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числу , является ненулевой вектор, определяемый совокупностью чисел , где t — любое число, отличное от нуля.
megaobuchalka.ru
Собственные векторы и собственные числа матрицы
Поиск ЛекцийСправочный материал.
Упорядоченная система n действительных чисел называется n-мерным вектором. Обозначение: или . Числа называются компонентами вектора.
Множество всех n-мерных векторов с действительными компонентами, рассматриваемая с определёнными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется n-мерным векторным пространством .
Число называется собственным значением (собственным числом) матрицы А порядка n, если существует такой ненулевой вектор , что выполняется равенство . При этом вектор называется собственным вектором матрицы A. Данное в определении уравнение можно переписать в виде . Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, то есть . Это уравнение называется характеристическим уравнением матрицы A.
Пример. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы .
Решение. Найдём собственные числа матрицы. Для этого составим характеристическое уравнение: или
, корни которого являются собственными чисоами матрицы.
Найдём собственный вектор, соответствующий собственному числу . Для этого значение подставляем в уравнение . Откуда получаем или Одно из уравнений системы можно отбросить и получаем . Система имеет бесконечное множество решений. Придадим переменной значение , тогда . Таким образом собственный вектор матрицы, соответствующий собственному числу имеет вид: .
Найдём собственный вектор, соответствующий собственному числу . Для этого значение подставляем в уравнение . Откуда получаем или или Одно из уравнений системы можно отбросить и получаем . Система имеет бесконечное множество решений. Придадим переменной значение , тогда . Таким образом собственный вектор матрицы, соответствующий собственному числу имеет вид: .
ЗАДАЧА 5.
1. Умножение матрицы на число. Чтобы умножить матрицу на число, нужно все элементы матрицы умножить на это число.
2. Сложение и вычитание матриц. Эти операции определяются только для матриц одинаковой размерности.
Суммой (разностью)матриц и , обозначаемой ( ) называется матрица , элементы которой ( ).
Например. Найти линейную операцию ,
если , .
Итак, согласно первому и второму пунктам:
3. Умножение матриц. Эта операция не относится к линейной.
Произведениемматрици называется матрица (проще записывается ), элементы которой
,
где , — элементы матриц и — соответственно.
Отсюда следует, что произведение существует только в случае, когда первый множитель имеет число столбцов, равное числу строк второго множителя .
Далее, число строк матрицы равно числу строк , а число столбцов – числу столбцов .
Из существования произведенияне следует существования произведения .Как правило, . Если , то матрицы и называются перестановочными (или коммутирующими). Известно, что всегда .
Например. Даны матрицы и . Найти и .
( выполняется, так как число столбцов равно числу строк )
( выполняется, так как число столбцов равно числу строк )
Вопросы к экзамену (зачету) по «Высшей математике»:
- Комплексные числа
- Арифметические действия над комплексными числами
1. Модуль и аргумент, тригонометрическая форма комплексного числа
2. Возведение в степень комплексного числа и извлечение комплексного корня
3. Многочлены. Разложение многочлена на множители. Основная теорема алгебры
4. Комплексные корни многочлена. Разложение многочлена на множители
5. Системы линейных алгебраических уравнений, основные понятия
6. Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса
7. Решение СЛАУ: краткий обзор методов
8. Понятие вектора. Линейная зависимость векторов. Ранг системы векторов
9. Понятие вектора. Базис и разложение вектора по базису
10. Фундаментальный набор решений однородной СЛАУ
11. Понятие вектора. Скалярное произведение двух векторов, его свойства
12. Понятие вектора. Скалярное произведение, длина вектора, угол между векторами
13. Понятие вектора. Векторное произведение двух векторов, его свойства
14. Понятие вектора. Векторное произведение двух векторов, приложения к решению геометрических задач
15. Понятие вектора. Смешанное произведение трех векторов, его свойства
16. Понятие вектора. Смешанное произведение трех векторов, приложения к решению геометрических задач
17. Понятие вектора в N-мерном пространстве. Ортогональный базис
18. Понятие матрицы. Действия над матрицами
19. Понятие матрицы. Арифметические действия над матрицами, транспонирование
20. Понятие матрицы. Умножение матриц, возведение матрицы в степень
21. Понятие матрицы. Нахождение обратной матрицы
22. Определители N-го порядка и их вычисление
23. Вычисление определителей второго и третьего порядка
24. Свойства определителей
25. Понятие матрицы. Ранг матрицы
26. Понятие матрицы. Матричные уравнения
27. Системы линейных алгебраических уравнений. Решение СЛАУ методом обратной матрицы
28. Системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера
29. Матрица перехода от одного базиса к другому
30. Линейные операторы
31. Матрица линейного оператора
32. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к другому базису
33. Собственные значения и собственные векторы матрицы
34. Понятие квадратичной формы, основные определения
35. Матрица квадратичной формы
36. Ранг квадратичной формы
37. Приведение квадратичной формы к нормальному виду
38. Знакоопределенность квадратичной формы
Рекомендуемые страницы:
Поиск по сайту
poisk-ru.ru