Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц
Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц
Теорема 19.1Собственными числами матрицы являются корни уравнения
и только они.
Доказательство. Пусть столбец— собственный вектор матрицыс собственным числом. Тогда, по определению,. Это равенство можно переписать в виде. Так как для единичной матрицывыполнено, то. По свойству матричного умноженияи предыдущее равенство принимает вид
(19.4) |
Допустим, что определитель матрицы отличен от нуля,. Тогда у этой матрицы существует обратная. Из равенства (19.4) получим, что, что противоречит определению собственного вектора. Значит, предположение, что, неверно, то есть все собственные числа должны являться корнями уравнения.
Пусть — корень уравнения. Тогда базисный минор матрицыне может совпадать с определителем матрицы и поэтому,— порядок матрицы. Уравнение (19.4) является матричной записью однородной системы линейных уравнений с неизвестными, являющимися элементами матрицы-столбца. Потеореме 15.3число решений в фундаментальной системе решений равно, что больше нуля. Таким образом, система (19.4) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то есть числусоответствует хотя бы один собственный вектор матрицы.
Определитель является многочленом степениот переменного, так как при вычислении определителя никаких арифметических действий кроме сложения, вычитания и умножения выполнять не приходится.
Определение 19.5Матрицаназывается характеристической матрицей матрицы, многочленназывается характеристическим многочленом матрицы, уравнениеназывается характеристическим уравнением матрицы.
Пример 19.10Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы
Решение.Составляем характеристическую матрицу:
Находим характеристический многочлен
Решим характеристическое уравнение
Подбором находим, что один корень уравнения равен . Есть теорема, которая говорит, что если числоявляется корнем многочлена, то многочленделится на разность, то есть, где— многочлен. В соответствии с этой теоремой многочлендолжен делиться на. Выделим в характеристическом многочлене этот множитель:
Находим корни трехчлена . Они равныи 3. Таким образом,
— корень кратности 2 17.7 b,— простой корень. Итак, собственные числа матрицыравны,. Найдем соответствующие им собственные векторы.
Пусть , тогда для собственного вектораполучаем матричное уравнение
что соответствует системе уравнений
Решаем ее методом Гаусса (раздел «Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)»). Выписываем расширенную матрицу системы
Первую строку, умноженную на числа иприбавляем соответственно ко второй и третьей строкам
Меняем местами вторую и третью строки
Возвращаемся к системе уравнений
Базисный минор матрицы находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальня система содержит только одно решение. Переменныеиоставляем в левой части, а переменноепереносим в правую часть
Полагаем , находим,. Итак, собственному числусоответствует собственный вектор.
Пусть , тогда для собственного вектораполучаем матричное уравнение
что соответствует системе уравнений
Решаем ее методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу
Первую строку умножаем на числа 2 и 3 и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам
Вторую строку умножаем на и прибавляем к третьей
Возвращаемся к системе уравнений
Базисный минор матрицы находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальная система содержит только одно решение. Переменныеиоставляем в левой части, а переменноепереносим в правую часть
Полагаем , находим,. Итак, собственному числусоответствует собственный вектор. Чтобы избавиться от дроби, умножим собственный вектор на 2, получим собственный вектор с тем же самым собственным числом. В итоге собственному числусоответствует собственный вектор.
Ответ:
studfiles.net
Как найти собственные векторы и собственные значения для матриц
Автор КакПросто!
При рассмотрении данного вопроса следует запомнить, что все используемые объекты – это векторы, причем n-мерные. При их записи не используются никакие отличительные признаки, соответствующие классическим векторам.
Статьи по теме:
Инструкция
Число k называют собственным значением (числом) матрицы А, если существует вектор х такой, что Ax=kx. (1)При этом вектор х называется собственным вектором матрицы А, соответствующим числу k.В пространстве R^n (см. рис.1) матрица А имеет вид как на рисунке. Необходимо поставить задачу нахождения собственных чисел и векторов матрицы А. Пусть собственный вектор x задан координатами. В матричной форме он запишется матрицей-столбцом, который для удобства следует представить транспонированной строкой. X=(x1,x2,…,xn)^T.Исходя из (1), Aх-kх=0 или Aх-kEх=0, где E – единичная матрица (единицы расположены на главное диагонали, все остальное элементы – нули). Тогда (А-kE)х=0. (2) Выражение (2) является системой линейных однородных алгебраических уравнений, которая имеет ненулевое решение (собственный вектор). Поэтому главный определитель системы (2) равен нулю, то есть |А-kE|=0. (3) Последнее равенство относительно собственного значения k называется характеристическим уравнением матрицы А и в развернутом виде имеет вид (см. рис.2).Это алгебраическое уравнение n-й степени. Действительные корни характеристического уравнения являются собственными числами (значениями) матрицы А.
Подставляя корень k характеристического уравнения в систему (2), получают однородную систему линейных уравнений с вырожденной матрицей (ее определитель равен нулю). Каждое ненулевое решение этой системы представляет собой собственный вектор матрицы А, соответствующий данному собственному числу k (то есть корню характеристического уравнения).
Пример. Найти собственные значения и векторы матрицы А (см. рис 3).Решение. Характеристическое уравнение представлено на рис. 3. Раскройте определитель и найдите собственные числа матрицы, которые являются корнями данного уравнения (3-k)(-1-k)-5=0, (k-3)(k+1)-5=0, k^2-2k-8=0.Его корни k1=4, k2=-2
а) Собственные векторы, соответствующие k1=4, находятся, через решение системы (A-4kE)х=0. При этом требуется всего одно ее уравнение, так как определитель системы заведомо равен нулю. Если положить х=(x1, x2)^T, то первое уравнение системы (1-4)x1+x2=0, -3×1+x2=0. Если предположить, что х1=1 (только не ноль), то х2=3. Так как ненулевых решений у однородной системы с вырожденной матрицей сколь угодно много, то все множество собственных векторов, соответствующих первому собственному числу х =С1(1, 3), C1=const.
б) Найдите собственные векторы, соответствующие k2=-2. При решении системы (A+2kE)х=0, ее первое уравнение (3+2)х1+х2=0, 5х1+х2=0.Если положить х1=1, то х2=-5. Соответственные собственные векторы х =С2(1, 3), C2=const. Общее множество всех собственных векторов заданной матрицы: х =С1(1, 3)+ С2(1, 3).
www.kakprosto.ru
1.5. Собственные числа и собственные векторы матрицы
Число называется Собственным числом матрицы ,
Если существует ненулевой вектор такой, что
.
При этом вектор называется Собственным вектором матрицы , соответствующим собственному числу .
Характеристическим уравнением матрицы называется уравнение
. (10)
Корни этого уравнения являются собственными числами матрицы А.
Рассмотрим систему уравнений
,
В которой принимает одно из значений . Определитель этой системы в силу (10) равен нулю. Следовательно, система определяет с точностью до постоянного множителя собственный вектор , соответствующий данному собственному числу.
Задание 5. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
.
Решение.
Составим характеристическое уравнение матрицы А.,
Или. Корни этого уравнения Являются собственными числами матрицы А.
Для отыскания собственных векторов матрицы А используем систему уравнений
(11)
Полагая в ней поочередно .
1. Пусть . Тогда система (11) примет вид:
Или
. (12)
Полученную систему решим методом Гаусса. Расширенная матрица Системы (12) имеет вид:
.
Приведем матрицу к трапециевидному виду с помощью элементарных преобразований. Для этого умножим элементы первой строки матрицы на (-3) и сложим с соответствующими элементами второй строки. Получим матрицу
,
Которая является расширенной матрицей системы
.
Следовательно, , то есть система имеет бесчисленное множество решений, определяемых равенством .
Таким образом, собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числу , является ненулевой вектор, определяемый совокупностью чисел , где
2. Пусть . Тогда система (11) примет вид:
. (13)
Решим систему (13) методом Гаусса.
Расширенная матрица системы (13) имеет вид:
.
Приведем матрицу к трапециевидному виду с помощью элементарных преобразований. Для этого, сначала переставим первую строку матрицы Со второй строкой. Получим:
.
Теперь умножим элементы первой строки матрицы на 2 и сложим с соответствующими элементами второй строки. Затем умножим элементы первой строки матрицы на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьей строки. В результате получим:
.
Далее, сложим элементы второй строки матрицы с соответствующими элементами третьей строки. Получим матрицу:
,
Которая является расширенной матрицей системы
.
Следовательно, , то есть система имеет бесконечное множество решений, определяемых равенством .
Таким образом, собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числу , является ненулевой вектор, определяемый совокупностью чисел , где T — любое число, отличное от нуля.
3) Пусть. Тогда система (11) примет вид:
(14)
Решим систему (14) методом Гаусса. Расширенная матрица системы (14) имеет вид:
.
Приведем матрицу к трапециевидному виду с помощью элементарных преобразований. Сначала поменяем первую строку матрицы со второй строкой. Получим:
.
Умножим теперь элементы первой строки матрицы на 5 и сложим с соответствующими элементами второй строки. Затем умножим элементы первой строки матрицы на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьей строки. В результате получим:
.
Далее, сложим элементы второй строки матрицы соответственно с элементами третьей строки. Тогда получим матрицу:
,
Которая является расширенной матрицей системы
.
Следовательно, , то есть система имеет бесчисленное множество решений, определяемых равенством .
Таким образом, собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числу , является ненулевой вектор, определяемый совокупностью чисел , где T — любое число, отличное от нуля.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
matica.org.ua
4. Собственные числа и собственные векторы матрицы
|
|
|
|
| F Tran | sf |
| |||
|
|
|
| D |
|
|
| |||
|
| Y | P |
|
|
|
| or | e | |
B | Y |
|
|
|
|
|
|
| m | |
|
|
|
|
|
| buy | r | |||
|
|
|
|
|
|
| 2 | |||
|
|
|
|
|
|
|
| 0 | ||
|
|
|
|
|
|
| to |
|
| . |
|
|
|
|
|
| here |
|
|
| |
|
|
|
| Click |
|
|
|
| ||
w |
|
|
|
|
| m | ||||
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
| w | w. |
|
|
|
| o | ||
|
|
|
|
|
|
| . |
| ||
|
|
|
|
| A BBYY | c |
| |||
|
|
|
|
|
|
| ||||
если существует ненулевой вектор X такой, что
A × X= l × X.
|
|
|
|
| F Tran | sf |
| |||
|
|
|
| D |
|
|
| |||
|
| Y | P |
|
|
|
| or | e | |
B | Y |
|
|
|
|
|
|
| m | |
|
|
|
|
|
| buy | r | |||
|
|
|
|
|
|
| 2 | |||
|
|
|
|
|
|
|
| 0 | ||
|
|
|
|
|
|
| to |
|
| . |
|
|
|
|
|
| here |
|
|
| |
|
|
|
| Click |
|
|
|
| ||
w |
|
|
|
|
| m | ||||
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
| w | w. |
|
|
|
| o | ||
|
|
|
|
|
|
| . |
| ||
|
|
|
|
| A B BYY | c |
| |||
|
|
|
|
|
|
| ||||
При этом вектор X называетсясобственным вектором матрицыA ,
соответствующим собственному числу l .
Характеристическим уравнением матрицы A называется уравнение
a11- l | a12 | a13 | = 0 . | (10) |
a21 | a22- l | a23 | ||
a31 | a32 | a33- l |
|
|
Корни l1 , l2 , l3 этого уравнения являются собственными числами матрицыА.
Рассмотрим систему уравнений
ì(a11- l)x1+ a12x2+ a13x3= 0 ïía21 x1 + (a22 — l)x2 + a23 x3 = 0 , ïîa31 x1 + a32 x2 + (a33 — l)x3 = 0
в которой l принимает одно из значенийl1 , l2 , l3 . Определитель этой системы в силу (10) равен нулю. Следовательно, система определяет с точностью до постоянного множителя собственный вектор(x1 , x2 , x3 ),
соответствующий данному собственному числу.
?Задание 5. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
|
| æ1 | 1 | 3 | ö |
|
|
|
|
| ç | 5 | 1 | ÷ |
|
|
|
| A = ç1 | ÷ . |
|
| ||||
|
| ç |
| 1 | ÷ |
|
|
|
|
| è3 1 | ø |
|
|
| ||
Решение. Составим характеристическое уравнение матрицыА. | ||||||||
| 1 — l | 1 |
| 3 |
| = 0 , |
|
|
|
|
|
|
| ||||
| 1 | 5 — l |
| 1 |
|
|
| |
| 3 | 1 | 1 — l |
|
|
| ||
или l3 — 7l2 + 36 = 0 . Корни этого уравненияl = -2, l | 2 | = 3, l = 6 являются | ||||||
|
|
|
|
| 1 |
| 3 | |
собственными числами матрицы А.
Для отыскания собственных векторов матрицы А используем систему уравнений
(x1, x2 , x3 )= (x1,-x1, x1 ).
|
|
|
|
| F Tran | sf |
| |||
|
|
|
| D |
|
|
| |||
|
| Y | P |
|
|
|
| or | e | |
B | Y |
|
|
|
|
|
|
| m | |
|
|
|
|
|
| buy | r | |||
|
|
|
|
|
|
| 2 | |||
|
|
|
|
|
|
|
| 0 | ||
|
|
|
|
|
|
| to |
|
| . |
|
|
|
|
|
| here |
|
|
| |
|
|
|
| Click |
|
|
|
| ||
w |
|
|
|
|
| m | ||||
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
| w | w. |
|
|
|
| o | ||
|
|
|
|
|
|
| . |
| ||
|
|
|
|
| A BBYY | c |
| |||
|
|
|
|
|
|
| ||||
ìx | + 2x | + x | = 0 | . | |
í | 1 | 2 | 3 | = 0 | |
î |
| 5×2+ 5×3 |
| ||
|
|
|
|
| F Tran | sf |
| |||
|
|
|
| D |
|
|
| |||
|
| Y | P |
|
|
|
| or | e | |
B | Y |
|
|
|
|
|
|
| m | |
|
|
|
|
|
| buy | r | |||
|
|
|
|
|
|
| 2 | |||
|
|
|
|
|
|
|
| 0 | ||
|
|
|
|
|
|
| to |
|
| . |
|
|
|
|
|
| here |
|
|
| |
|
|
|
| Click |
|
|
|
| ||
w |
|
|
|
|
| m | ||||
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
| w | w. |
|
|
|
| o | ||
|
|
|
|
|
|
| . |
| ||
|
|
|
|
| A B BYY | c |
| |||
|
|
|
|
|
|
| ||||
Следовательно, x2 = -x3 , x1 = x3 , то есть система имеет бесконечное множество решений, определяемых равенством
Таким образом, собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числуl2 = 3 , является ненулевой вектор, определяемый совокупностью чисел(x1, x2 , x3 )= (t,-t,t )= (1,-1,1)×t ,гдеt — любое число, отличное от нуля.
3) Пустьl = l3 = 6 . Тогда система (11) примет вид:
ì- 5×1 +x2 +3×3 =0
ï
í x1- x2+ x3= 0 (14) ïî 3×1+ x2- 5×3= 0
Решим систему (14) методом Гаусса. Расширенная матрица системы (14)
имеет вид :
æ | — 5 | 1 | 3 | 0 | ö | |||
ç |
|
|
|
| ÷ | |||
| A | = ç 1 | -1 | 1 | 0 | ÷ . | ||
ç | 3 | 1 | — 5 | 0 | ÷ | |||
è | ø | |||||||
|
|
|
| |||||
Приведем матрицу A к трапециевидному виду с помощью элементарных преобразований. Сначала поменяем первую строку матрицыA со второй строкой. Получим :
æ | 1 | -1 | 1 | 0 | ö | |
ç |
|
|
|
| ÷ | |
A1 = ç-5 1 | 3 | 0÷. | ||||
ç | 3 | 1 | — 5 | 0 | ÷ | |
è | ø | |||||
|
|
|
| |||
Умножим теперь элементы первой строки матрицы A1 на 5 и сложим с соответствующими элементами второй строки. Затем умножим элементы первой строки матрицыA1 на(-3)и сложим с соответствующими элементами третьей строки. В результате получим :
æ | 1 | -1 | 1 | 0 | ö | |
ç |
|
|
|
| ÷ | |
A2 = ç0 -4 8 | 0÷. | |||||
ç | 0 | 4 | — 8 | 0 | ÷ | |
è | ø | |||||
|
|
|
| |||
(x1 , x2 , x3 )= (x1,2×1, x1 ).
|
|
|
|
| F Tran | sf |
| |||
|
|
|
| D |
|
|
| |||
|
| Y | P |
|
|
|
| or | e | |
B | Y |
|
|
|
|
|
|
| m | |
|
|
|
|
|
| buy | r | |||
|
|
|
|
|
|
| 2 | |||
|
|
|
|
|
|
|
| 0 | ||
|
|
|
|
|
|
| to |
|
| . |
|
|
|
|
|
| here |
|
|
| |
|
|
|
| Click |
|
|
|
| ||
w |
|
|
|
|
| m | ||||
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
| w | w. |
|
|
|
| o | ||
|
|
|
|
|
|
| . |
| ||
|
|
|
|
| A BBYY | c |
| |||
|
|
|
|
|
|
| ||||
Далее, сложим элементы второй строки матрицы A2 соответственно с элементами третьей строки. Тогда получим матрицу:
|
|
|
|
| F Tran | sf |
| |||
|
|
|
| D |
|
|
| |||
|
| Y | P |
|
|
|
| or | e | |
B | Y |
|
|
|
|
|
|
| m | |
|
|
|
|
|
| buy | r | |||
|
|
|
|
|
|
| 2 | |||
|
|
|
|
|
|
|
| 0 | ||
|
|
|
|
|
|
| to |
|
| . |
|
|
|
|
|
| here |
|
|
| |
|
|
|
| Click |
|
|
|
| ||
w |
|
|
|
|
| m | ||||
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
| w | w. |
|
|
|
| o | ||
|
|
|
|
|
|
| . |
| ||
|
|
|
|
| A B BYY | c |
| |||
|
|
|
|
|
|
| ||||
~ | æ | 1 | -1 | 1 | 0 | ö |
ç |
| — 4 | 8 | 0 | ÷ | |
A = ç0 | ÷ , | |||||
| ç | 0 | 0 | 0 | 0 | ÷ |
| è | ø | ||||
|
|
|
|
| ||
которая является расширенной матрицей системы
ìíx1- x2+ x3= 0 . î- 4×2 + 8×3 = 0
Следовательно, x2 = 2×3 , x1 = x3 , то есть система имеет бесчисленное множество решений, определяемых равенством
Таким образом, собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числуl = 6 , является ненулевой вектор, определяемый совокупностью чисел(x1, x2 , x3 )= (t,2t,t )= (1,2,1)×t , гдеt — любое число, отличное от нуля.
studfiles.net