Сочетательное свойство сложения векторов – .

Свойства сложения векторов » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru

п.8. Свойства сложения векторов.

1. Сложение векторов подчиняется закону ассоциативности, т.е.  верно равенство:

                                       (1)

Доказательство. Воспользуемся правилом треугольника сложения векторов. Пусть  , . Тогда . Отложим вектор  от точки С и обозначим его конец буквой D, так что .

   Тогда по правилу треугольника . С другой стороны, отложим вектор   и , ч.т.д. См. также рис. 9.

            А                                                  В

 

                            D                                                  С

                                            рис. 9.

2. Существует нулевой элемент относительно сложения векторов, т.е. нулевой вектор:

          верны равенства .

3. Для любого вектора  существует противоположный ему вектор , такой, что .

4. Сложение векторов подчиняется закону коммутативности, т.е.  верно равенство:

               .

   Последнее свойство сразу же следует из правила параллелограмма сложения векторов.

   Таким образом, мы видим, что множество всех векторов  относительно операции сложения является абелевой группой, очевидно, бесконечной.

Возможно найдутся ответы здесь:

fxdx.ru

Свойства векторов

Предварительные сведения

Перед тем как вводить свойства векторов, введем, непосредственно, понятие вектора, а также понятия их сложения, умножения на число и их равенства.

Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок. Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу — его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ — (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Чтобы ввести определение равенства двух векторов, сначала нужно разобраться с такими понятиями, как коллинеарность, сонаправленность, противоположная направленность двух векторов, а также длину вектора.

Определение 3

Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).

Определение 4

Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:

  1. Эти векторы коллинеарны.
  2. Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).

Обозначение: $\overline{a}↑↑\overline{b}$

Определение 5

Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:

  1. Эти векторы коллинеарны.
  2. Если они направлены в разные стороны (рис. 4).

Обозначение: $\overline{a}↑↓\overline{d}$

Определение 6

Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|\overline{a}|$

Перейдем к определению равенства двух векторов

Определение 7

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:

  1. Они сонаправлены;
  2. Их длины равны (рис. 5).

Осталось ввести понятие сложения векторов, а также их умножения на число.

Определение 8

Суммой векторов $\overline{a+b}$ будем называть вектор $\overline{c}=\overline{AC}$, который построен следующим образом: От произвольной точки A отложем $\overline{AB}=\overline{a}$, далее от точки $B$ отложем $\overline{BC}=\overline{b}$ и соединим точку $A$ c точкой $C$ (рис. 6).

Определение 9

Произведением вектора $\overline{a}$ на $k∈R$ будем называть вектор $\overline{b}$ который будет удовлетворять условиям:

  1. $|\overline{b}|=|k||\overline{a}|$;
  2. $\overline{a}↑↑\overline{b}$ при $k≥0$ и, $\overline{a}↑↓\overline{b}$ при $k

Свойства сложения векторов

Введем свойства сложения для трех векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$:

  1. Коммутативность сложения векторов:

    $\overline{α}+\overline{β}=\overline{β}+\overline{α}$

  2. Ассоциативность трех векторов по сложению:

    $(\overline{α}+\overline{β})+\overline{γ}=\overline{α}+(\overline{β}+\overline{γ})$

  3. Сложение с нулевым вектором:

    $\overline{α}+\overline{0}=\overline{α}$

  4. Сложение противоположных векторов

    $\overline{α}+(\overline{-α})=\overline{0}$

Все эти свойства можно легко проверить с помощью построений таких векторов с помощью определения 8. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, а в третьем и четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.

Свойства умножения вектора на число

Введем свойства умножения для двух векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и чисел $a$ и $b$.

  1. $a(\overline{α}+\overline{β})=a\overline{α}+a\overline{β}$
  2. $\overline{α}(a+b)=\overline{α}a+\overline{α}b$
  3. $(ab)\overline{α}=a(b\overline{α})=b(a\overline{α})$
  4. $1\cdot \overline{α}=\overline{α}$

Все эти свойства можно легко проверить с использованием определений 8 и 9. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, в третьем сравнением всех векторов, входящих в равенство, и в четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.

Пример задачи

Пример 1

Провести сложение векторов

$2\overline{AB}+(2\overline{BC}+3\overline{AC})$

Решение.

Используя свойство сложения 2, получим:

$2\overline{AB}+(2\overline{BC}+3\overline{AC})=(2\overline{AB}+2\overline{BC})+3\overline{AC}$

Используя свойство умножения на число 1, получим:

$(2\overline{AB}+2\overline{BC})+3\overline{AC}=2(\overline{AB}+\overline{BC})+3\overline{AC}=2\overline{BC}+3\overline{AC}=5\overline{AC}$

Ответ: $5\overline{AC}$.

spravochnick.ru

Сложение векторов

Откладывание вектора от данной точки

Для того, чтобы ввести сумму векторов, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.

Определение 1

Если точка $A$ начала какого-либо вектора $\overrightarrow{a}$, то говорят, что вектор $\overrightarrow{a}$ отложен от точки $A$ (рис. 1).

Рисунок 1. $\overrightarrow{a}$ отложенный от точки $A$

Введем следующую теорему:

Теорема 1

От любой точки $K$ можно отложить вектор $\overrightarrow{a}$ и притом только один.

Доказательство.

Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:

  1. Вектор $\overrightarrow{a}$ — нулевой.

    В этом случае, очевидно, что искомый вектор — вектор $\overrightarrow{KK}$.

  2. Вектор $\overrightarrow{a}$ — ненулевой.

Обозначим точкой $A$ начало вектора $\overrightarrow{a}$, а точкой $B$ — конец вектора $\overrightarrow{a}$. Проведем через точку $K$ прямую $b$ параллельную вектору $\overrightarrow{a}$. Отложим на этой прямой отрезки $\left|KL\right|=|AB|$ и $\left|KM\right|=|AB|$. Рассмотрим векторы $\overrightarrow{KL}$ и $\overrightarrow{KM}$. Из этих двух векторов искомым будет тот, который будет сонаправлен с вектором $\overrightarrow{a}$ (рис. 2)

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».

Теорема доказана.

Сложение векторов. Правило треугольника

Пусть нам даны векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.

Определение 2

Суммой векторов $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ называется вектор $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AC}$, построенный следующим образом: От произвольной точки $A$ отклабывается вектор $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, затем от полученной точки $B$ откладывается вектор $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$ и соединяют точку $A$ c точкой $C$ (рис. 3).

Рисунок 3. Сумма векторов

Замечание 1

Иначе, определение 2, еще называют правилом треугольника для сложения двух векторов.

Из этого правила следует несколько свойств сложения двух векторов:

  1. Для любого вектора $\overrightarrow{a}$ выполняется равенство

    \[\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}\]
  2. Для любых произвольных точек $A,\ B\ и\ C$ выполняется равенство

    \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\]

Замечание 2

Аналогично правилу треугольника можно строить сумму любого количества векторов. Такое правило сложения называется правилом многоугольника.

Правило параллелограмма

Помимо правила треугольника для сложения двух векторов, есть еще правило параллелограмма для сложения двух векторов. Сформулируем и докажем для начала следующую теорему.

Теорема 2

Для любых треух векторов $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}\ и\ \overrightarrow{c}$ справедливы следующие два закона:

  1. Переместительный закон:
\[\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\]
  1. Сочетательный закон:
\[\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\]

Доказательство.

Переместительный закон:

  1. Пусть векторы $\overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b}$ не коллинеарны.

    Возьмем произвольную точку $A$ и построим от нее (на одном рисунке) суммы $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\ и\ \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$. Получим следующий рисунок (рис 4).

    Рисунок 4. Иллюстрация переместительного закона

    Очевидно, что $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, а $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$

    Следовательно, $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$.

  2. Пусть векторы $\overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b}$ коллинеарны.

    Тогда выполнение переместительно закона будет очевидно вытекать из равенства длин $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|и\ |\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}|$.

Сочетательный закон:

Построим следующий рисунок: Отложим от произвольной точки $A$ вектор $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, от полученной точки $B$ — вектор $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$ и от точки $C$ — вектор $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{c}$ (Рис. 5).

Рисунок 5. Иллюстрация сочетательного закона

Из свойства правила треугольника $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, получим:

Следовательно, $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$.

Теорема доказана.

Из этой теоремы мы теперь можем выделить правило параллелограмма для суммы двух неколлинеарных векторов: чтобы сложить два неколлинеарных вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, нужно отложить от произвольной точки $A$ векторы $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ и построить параллелограмм $ABCD$. Тогда $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}$.

Пример задачи на сложение векторов

Пример 1

Дан четырехугольник $ABCD$. Доказать, что $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$

Рисунок 6.

Доказательство.

Воспользуемся свойством правила треугольника $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, получим:

\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\]

ч. т. д.

spravochnick.ru

Свойства векторов, с примерами

Если концы вектора заданы своими координатами в пространстве , то координаты вектора

   

   

Вектор называется единичным, если его длина равна единице. Вектор называется нулевым, если его длина равна нулю.

Векторы и называются коллинеарными, если они или лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Операция сложения векторов обладает такими свойствами

Если векторы и заданы своими координатами, то сумма/разность этих векторов

   

Также скалярное произведение векторов можно вычислить как произведение модулей векторов на косинус угла между ними:

   

Свойства скалярного произведения

Векторным произведением векторов и называется вектор (или ) такой, что:

1) вектор ортогонален векторам и :

   

2) векторы и образуют правую тройку;

3) модуль векторного произведения равен площади параллелограмма построенного на векторах и :

   

Если векторы и заданы своими координатами, то векторное произведение находится по формуле:

   

Свойства векторного произведения

  1. , если векторы и коллинеарные

Свойства смешанного произведения

  1. Смешанное произведение равно нулю, если векторы и – компланарны
  2. Модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов и равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах
  3. Смешанное произведение векторов и , заданных своими координатами, равно значению определителя, составленного из координат этих векторов:

       

  4. Если тройка векторов и правая, то смешанное произведение , если левая, то

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Свойства сложения векторов

Докажем теорему о свойствах сложения векторов.
Доказательство. 1. Если векторы и имеют координаты {x1; y1} и {x2; y2}, то вектор + имеет координаты {x1 + x2; y1 + y2}. Такие же координаты имеет вектор + . Следовательно, + = + .

2. Если векторы , и имеют координаты {x1; y1}, {x2; y2} и {x3; y3}, то вектор ( + ) + имеет координаты

{(x1 + x2) + x3; (y1 + y2) + y3}, т. е. {x1 + x2 + x3; y1 + y2 + y3}.

Такие же координаты имеет вектор + ( + ). Следовательно, ( + ) + = + ( + ). Теорема доказана.

Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Рассмотрим еще один способ обоснования справедливости равенства 1 для неколлинеарных векторов и .

Обратимся к рисунку 60, на котором от точки A отложены векторы = и = и построен параллелограмм ABCD. По правилу треугольника = + = + и = + = + . Следовательно, + = + .

Это доказательство дает нам еще один способ построения суммы двух неколлинеарных векторов и , который называется правилом параллелограмма: нужно отложить от какой-нибудь точки A векторы = и = и построить параллелограмм ABCD (см. рис. 60). Тогда вектор будет равен + . Это правило часто используется в физике, например при сложении двух сил.

Замечание. Из доказанной теоремы следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. На рисунке 61 показано построение суммы трех векторов: от произвольной точки A отложен вектор = , от точки B отложен вектор = , а от точки C отложен вектор = . В результате получился вектор , равный
+ +

Аналогичным образом можно построить сумму четырех, пяти, шести (рис. 62) и вообще любого числа векторов. Такой способ построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника.

Правило многоугольника можно сформулировать и так: если A1, A2, …, An — произвольные точки плоскости, то

Подчеркнем, что это равенство справедливо для любых точек A1, A2, …, An, в частности, в том случае, когда некоторые из них совпадают. Например, если точка A1 совпадает с точкой An, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.

mthm.ru

Свойства сложения векторов.

Пространство геометрических векторов,

Как пример линейного пространства

 

1о. Направленные отрезки.

Рассмотрим в пространстве две точки А и В. Они определяют отрезок АВ.

Определение 1.Отрезок АВ называется направленным, если его концы А и В упорядочены; если при этом первой является точка А, а второй – точка В, то А – начало отрезка, а В – его конец.

Направленный отрезок обозначается AB (а также или ). На чертеже направленный отрезок снабжен стрелкой на конце(см. рис.1)

Определение 2.Длиной направленного отрезка называется длина отрезка АВ.

 
 

Рис.1. Направленный отрезок АВ.

Определение 3.Направленные отрезки и называются сонаправленными (обозначается ), если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону.

Направленные отрезки и называют противоположно направленными (пишут ), если они лежат на параллельных прямых и направлены в разные стороны.

Направленные отрезки и называются противоположными.

Каждую точку А пространства можно рассматривать как направленный отрезок с совпадающим началом и концом. Этот отрезок обозначается и называется нулевым направленным отрезком. Его длина считается равной нулю, а направление не определено.

Определение 4.Два направленных отрезка и считаются эквивалентными, если они сонаправлены и имеют равные длины. (Обозначают ).

Эквивалентность является отношением эквивалентности в множестве всех направленных отрезков, т.к. из определения эквивалентности следует:

1) отрезок эквивалентен сам себе;

2) если эквивалентен , то эквивалентен ;

3) если эквивалентен и эквивалентен , то эквивалентен .

Так как эквивалентность направленных отрезков является отношением эквивалентности, то множество всех направленных отрезков пространства разбивается на непересекающиеся классы – классы эквивалентности. Классы эквивалентности образуют фактор-множество множества всех направленных отрезков пространства.

Определение 5.Множество всех эквивалентных направленных отрезков называется вектором (или свободным вектором).



Замечание. Напомним, что в средней школе вектор характеризует параллельный перенос.

Направление эквивалентных направленных отрезков называется направлением вектора, а их длина – длиной вектора.

Таким образом, любой направленный отрезок однозначно определяет вектор, а вектор – это класс эквивалентных направленных отрезков.

Поэтому часто пишут вектор , .

Определение 6.Вектор a такой, что называется единичным вектором или ортом. Множество нулевых отрезков называется нулевым вектором ; Его длина равна нулю, а направление не определено.

Определение 7.Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными. Обозначают .

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Очевидно, что прямые, на которых лежат представители классов коллинеарных векторов, параллельны.

Определение 8.Три и более векторов называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости.

Для определенности любую тройку векторов, содержащую нулевой вектор, считают компланарной.

Пусть даны два вектора a и b. Из произвольной точки O пространства отложим и . Тогда есть направленный отрезок и значит, определяет вектор.

Покажем, что введенная операция сложения векторов корректно определена, т.е. вектор не зависит от выбора точки O. Для этого выберем другую точку . Пусть , . Тогда – параллелограмм; аналогично, – параллелограмм – параллелограмм , то есть они определяют один и тот же вектор.

Определение 9.Вектор называется суммой векторов и . Пишут: .

Способ сложения векторов, изложенный выше, называется правилом треугольника. Можно также использовать правило параллелограмма.

Свойства сложения векторов.

1. .

2. .

3. , так как .

4. Для каждого вектора вектор, называемый вектором, противоположным , такой, что . Доказательство свойств может быть проиллюстрировано рис.2

 

 
 

а) б)

 

Рис.2. Свойства сложения векторов: а) коммутативность, б) ассоциативность

 

Если , то через обозначим . Тогда .

Определение 10.Произведением вектора на число R, называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) векторы и сонаправлены, если и противоположно направлены, если ;

2) .

Произведение вектора на число 0 есть нулевой вектор. Пишут .

stydopedia.ru

Свойства сложения векторов.

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Геометрические векторы

 

1о. Направленные отрезки. Векторы и операции над векторами.

Рассмотрим в пространстве две точки А и В. Они определяют отрезок АВ.

Определение 1.Отрезок АВ называется направленным, если его концы А и В упорядочены; если при этом первой является точка А, а второй – точка В, то А – начало отрезка, а В – его конец.

Направленный отрезок обозначается AB (а также  или ). На чертеже направленный отрезок снабжен стрелкой на конце (см. рис.1.1).

Определение 2.Длиной  направленного отрезка  называется длина отрезка АВ.

           Рис.1.1. Направленный отрезок АВ.

Определение 3.Направленные отрезки  и  называются сонаправленными (обозначается ), если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону.

Направленные отрезки  и  называют противоположно направленными (пишут ), если они лежат на параллельных прямых и направлены в разные стороны.

Направленные отрезки  и  называются противоположными.

Каждую точку А пространства можно рассматривать как направленный отрезок с совпадающим началом и концом. Этот отрезок обозначается  и называется нулевым направленным отрезком. Его длина считается равной нулю, а направление не определено.

Определение 4.Два направленных отрезка  и  считаются эквивалентными, если они сонаправлены и имеют равные длины. (Обозначают ).

Эквивалентность является отношением эквивалентности в множестве всех направленных отрезков, т.к. из определения эквивалентности следует:

1) отрезок  эквивалентен сам себе;

2) если  эквивалентен , то  эквивалентен ;

3) если  эквивалентен  и  эквивалентен , то  эквивалентен .

Так как эквивалентность направленных отрезков является отношением эквивалентности, то множество всех направленных отрезков пространства разбивается на непересекающиеся классы – классы эквивалентности. Классы эквивалентности образуют фактор-множество множества всех направленных отрезков пространства.

Определение 5.Множество всех эквивалентных направленных отрезков называется вектором (или свободным вектором).

Направление эквивалентных направленных отрезков называется направлением вектора, а их длина – длиной вектора.

Таким образом, любой направленный отрезок однозначно определяет вектор, а вектор – это класс эквивалентных направленных отрезков.

Поэтому часто пишут вектор , .

Определение 6.Вектор a такой, что , называется единичным вектором или ортом. Множество нулевых отрезков называется нулевым вектором ; его длина равна нулю, а направление не определено.

Определение 7.Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными. Обозначают .

            Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Очевидно, что прямые, на которых лежат представители классов коллинеарных векторов, параллельны.

Определение 8.Три и более векторов называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости.

Для определенности любую тройку векторов, содержащую нулевой вектор, считают компланарной.

Пусть даны два вектора a и b. Из произвольной точки O пространства отложим  и . Тогда  есть направленный отрезок и значит, определяет вектор.

Покажем, что введенная операция сложения векторов корректно определена, т.е. вектор  не зависит от выбора точки O. Для этого выберем другую точку . Пусть , . Тогда  – параллелограмм; аналогично,  – параллелограмм  – параллелограмм , то есть они определяют один и тот же вектор.

Определение 9.Вектор  называется суммой векторов  и . Пишут: .

Способ сложения векторов, изложенный выше, называется правилом треугольника. Можно также использовать правило параллелограмма.

Свойства сложения векторов.

1. .

2. .

3. , так как .

4. Для каждого вектора  вектор, называемый вектором, противоположным , такой, что .

Доказательство свойств может быть проиллюстрировано рис.1.2.

а)                                         б)

 

Рис.1.2. Свойства сложения векторов: а) коммутативность, б) ассоциативность

 

Если , то через  обозначим . Тогда .

Определение 10.Произведением вектора  на число R, называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) векторы  и  сонаправлены, если  и противоположно направлены, если ;

2) .

Произведение вектора на число 0 есть нулевой вектор. Пишут .



stydopedya.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.