Чему равна площадь фигуры: Как найти площадь геометрических фигур?boeffblog.ru

Содержание

Как найти площадь геометрических фигур?boeffblog.ru

Что такое площадь?

Площадь – характеристика замкнутой геометрической фигуры (круг, квадрат, треугольник и т.д.), которая показывает ее размер. Площадь измеряется в квадратных сантиметрах, метрах и т.д. Обозначается буквой S (square).

 



Как найти площадь треугольника?

1. Самая известная формула площади треугольника по стороне и высоте:

 


S =\displaystyle \bf{\frac{1}{2}} a · h


где a – длина основания, h  – высота треугольника, проведенная к основанию.

\displaystyle \bf{\frac{1}{2}}

Причем, основание не обязательно должно находиться снизу. Так тоже сойдет. \displaystyle \bf{\frac{1}{2}}

Если треугольник тупоугольный, то высота опускается на продолжение основания:

\displaystyle \bf{\frac{1}{2}}

Если треугольник прямоугольный, то основанием и высотой являются его катеты:

\displaystyle \bf{\frac{1}{2}}

 

2. Другая формула, которая является не менее полезной, но которую почему-то всегда забывают:


S =  \displaystyle \bf{\frac{1}{2}}   a · b · sinα  


где a и – две стороны треугольника,  sinα  – синус угла между этими сторонами.

 \displaystyle \bf{\frac{1}{2}}  \displaystyle \bf{\frac{1}{2}}

Главное условие – угол берется между двумя известными сторонами.

3. Формула площади по трем сторонам (формула Герона):


S =  \displaystyle \bf{\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}

 


где ab и с – стороны треугольника, а р – полупериметр. p = (a + b + c)/2.

 \displaystyle \bf{\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}

4. Формула площади треугольника через радиус описанной окружности:


S =  \displaystyle \bf{\frac{a \cdot b \cdot c}{4R}}  


где ab и с – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности.

 \displaystyle \bf{\frac{a \cdot b \cdot c}{4R}}

5. Формула площади треугольника через радиус вписанной окружности:


S =p · r


где р – полупериметр треугольника, а r – радиус вписанной окружности.

 \displaystyle \bf{\frac{a \cdot b \cdot c}{4R}}


Как найти площадь прямоугольника?

1. Площадь прямоугольника находится довольно-таки просто:


S = a · b


 \displaystyle \bf{\frac{a \cdot b \cdot c}{4R}}

Никаких подвохов.


Как найти площадь квадрата?

1. Так как квадрат является прямоугольником, у которого все стороны равны, то к нему применяется такая же формула:


S = a · a = a2


 \displaystyle \bf{\frac{a \cdot b \cdot c}{4R}}

 

2. Также площадь квадрата можно найти через его диагональ:


S =  \displaystyle \bf{\frac{1}{2}}   d2


 

 \displaystyle \bf{\frac{1}{2}}


Как найти площадь параллелограмма?

1. Площадь параллелограмма находится по формуле:


S = a · h


 \displaystyle \bf{\frac{1}{2}}

Это связано с тем, что если от него отрезать прямоугольный треугольник справа и приставить его слева, получится прямоугольник:

 \displaystyle \bf{\frac{1}{2}}

 

 

2. Также площадь параллелограмма можно найти через угол между двумя сторонами:


S = a · b · sinα


 \displaystyle \bf{\frac{1}{2}}

 


Как найти площадь ромба?

Ромб по своей сути является параллелограммом, у которого все стороны равны. Поэтому для него применяются те же формулы площади.

 

1. Площадь ромба через высоту:


S = a · h


 \displaystyle \bf{\frac{1}{2}}

2. Площадь ромба через угол между сторонами:


S = a · a sinα = a· sinα


 \displaystyle \bf{\frac{1}{2}}

3. Площадь ромба через диагонали:


S =  \displaystyle \bf{\frac{1}{2}}

  d1 · d2


 \displaystyle \bf{\frac{1}{2}}


Как найти площадь трапеции?

1. Площадь трапеции находится по следующей формуле:


S =  \displaystyle \bf{\frac{a + b}{2}}   · h 


 \displaystyle \bf{\frac{a + b}{2}}


Как найти площадь круга?

1. Площадь круга можно найти через радиус:


S = π

 r


 \displaystyle \bf{\frac{a + b}{2}}

2. Площадь круга можно найти через диаметр:


S = πd2/4


 \displaystyle \bf{\frac{a + b}{2}}

Формулы площадей всех основных фигур

1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

b — верхнее основание

a — нижнее основание

c — равные боковые стороны

α — угол при нижнем основании

 

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны

 

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

 

 

2. Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности

Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности

R — радиус вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности

O — центр вписанной окружности

H — высота трапеции

α, β — углы трапеции

 

Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности, (S):

Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобокую трапецию:

площадь для вписанной окружности в равнобокую трапецию

 

 

3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

d — диагональ трапеции

α, β — углы между диагоналями

 

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

 

 

4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию

m — средняя линия трапеции

c — боковая сторона

α, β — углы при основании

 

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию

 

 

5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

b — верхнее основание

a — нижнее основание

h — высота трапеции

 

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

 

Площади фигур — Математические этюды

Пло­щадь квад­ра­та рав­на квад­ра­ту дли­ны его сто­ро­ны. Лег­ко по­счи­тать пло­щадь фигу­ры, раз­би­ва­ю­щей­ся на несколь­ко квад­ра­тов. А че­му рав­на пло­щадь фигу­ры, огра­ни­чен­ной про­из­воль­ной кри­вой?

На­ло­жим на изу­ча­е­мую фигу­ру квад­рат­ную сет­ку.

По­кра­сим в жёл­тый цвет квад­ра­ты, ко­то­рые хо­тя бы ча­стич­но пе­ре­се­ка­ют­ся с фигу­рой. Чтобы зри­тель­но уви­деть и под­счи­тать пло­щадь, за­ни­ма­е­мую жёл­ты­ми квад­ра­та­ми, сло­жим из них пря­мо­уголь­ник. Оче­вид­но, что ве­ли­чи­на, ко­то­рую мы хо­тим на­звать пло­ща­дью изу­ча­е­мой фигу­ры, мень­ше пло­ща­ди это­го жёл­то­го пря­мо­уголь­ни­ка.

В си­ний цвет по­кра­сим те квад­ра­ты, ко­то­рые пол­но­стью ле­жат внут­ри на­шей фигу­ры. Та­ких квад­ра­тов на­бра­лось, ко­неч­но, мень­ше, чем жёл­тых.  Вы­ло­жим и из них пря­мо­уголь­ник. Пло­щадь на­шей фигу­ры боль­ше пло­ща­ди это­го си­не­го пря­мо­уголь­ни­ка.

Итак, то, что мы хо­тим на­звать пло­ща­дью изу­ча­е­мой фигу­ры, боль­ше пло­ща­ди си­не­го пря­мо­уголь­ни­ка и мень­ше пло­ща­ди жёл­то­го. Но пло­ща­ди этих двух пря­мо­уголь­ни­ков силь­но раз­ли­ча­ют­ся, и по­ка мы пло­хо пред­став­ля­ем, ка­ко­ва же ис­ко­мая пло­щадь.

Для то­го чтобы по­лу­чить бо­лее точ­ные ниж­нюю и верх­нюю гра­ни­цы ис­ко­мой ве­ли­чи­ны, рас­смот­рим се­точ­ку из бо­лее ма­лень­ких квад­ра­тов. По­вто­рим преды­ду­щие дей­ствия. В жёл­тый по­кра­сим те квад­ра­ты, ко­то­рые хо­тя бы ча­стью пе­ре­се­ка­ют­ся с фигу­рой. В си­ний — те, ко­то­рые пол­но­стью ле­жат внут­ри фигу­ры. Сно­ва пло­щадь фигу­ры боль­ше пло­ща­ди си­не­го пря­мо­уголь­ни­ка и мень­ше пло­ща­ди жёл­то­го. Но в этот раз, взяв бо­лее мел­кую сет­ку, мы по­лу­чи­ли бо­лее точ­ные гра­ни­цы.

Рас­смат­ри­вая ещё бо­лее мел­кую сет­ку, мы по­лу­чим еще бо­лее точ­ные верх­нюю и ниж­нюю гра­ни­цы пло­ща­ди изу­ча­е­мой фигу­ры.

Бу­дем про­дол­жать умень­шать ячей­ки сет­ки, де­лая их всё мель­че и мель­че так, чтобы сто­ро­на квад­ра­ти­ков, из ко­то­рых она со­став­ле­на, стре­ми­лась к ну­лю. Аб­стра­ги­ро­вав­шись от ре­аль­но­сти, в ма­те­ма­ти­че­ской мо­де­ли счи­та­ет­ся, что де­лать квад­ра­ти­ки мож­но сколь угод­но ма­лень­ко­го раз­ме­ра. То­гда, как го­во­рят, в пре­де­ле, жёл­тый и си­ний мно­го­уголь­ни­ки ока­жут­ся рав­ны­ми. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ник, со­став­лен­ный из по­ло­ви­нок си­не­го и жел­то­го пря­мо­уголь­ни­ков (мож­но бы­ло рас­смот­реть и лю­бой из них).

Пло­ща­дью изу­ча­е­мой фигу­ры по опре­де­ле­нию на­зы­ва­ет­ся пло­щадь дву­цвет­но­го пря­мо­уголь­ни­ка.

В жиз­ни бы­ва­ют слу­чаи, ко­гда необ­хо­ди­мо при­бли­жён­но опре­де­лить пло­щадь фигу­ры. При этом по­счи­тан­ная пло­щадь долж­на от­ли­чать­ся от на­сто­я­щей не боль­ше чем на неко­то­рую за­дан­ную ве­ли­чи­ну. Для ре­ше­ния этой за­да­чи необ­хо­ди­мо взять сет­ку из та­ких квад­ра­ти­ков, чтобы раз­ни­ца меж­ду пло­ща­дя­ми жёл­то­го и си­не­го пря­мо­уголь­ни­ков не пре­вос­хо­ди­ла удво­ен­ной за­дан­ной ве­ли­чи­ны по­греш­но­сти. То­гда за пло­щадь изу­ча­е­мой фигу­ры нуж­но взять чис­ло, рав­ное сум­ме пло­ща­дей жёл­то­го и си­не­го пря­мо­уголь­ни­ков, по­де­лён­ной по­по­лам.

Формулы геометрии. Площади фигур. — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Чтобы решить задачи по геометрии, надо знать формулы — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем.

Для начала выучим формулы площадей фигур. Мы специально собрали их в удобную таблицу. Распечатайте, выучите и применяйте!


Конечно, не все формулы по геометрии есть в нашей таблице. Например, для решения задач по геометрии и стереометрии во второй части профильного ЕГЭ по математике применяются и другие формулы площади треугольника. О них мы обязательно расскажем.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ.

1. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Slider

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

Ответ: .

2. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

12,5

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Ответ: .

3. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

2

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в  раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в  раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: .

Читайте также о задачах на тему «Координаты и векторы». Для их решения вспомните, что такое абсцисса точки (это ее координата по ) и что такое ордината (координата по ). Пригодятся также такие понятия, как координаты вектора и длина вектора (она находится по теореме Пифагора), синус и косинус угла, угловой коэффициент прямой, уравнение прямой, а также сумма, разность и скалярное произведение векторов, угол между векторами.

Урок 3: Площадь — 100urokov.ru

План урока:

Понятие площади многоугольника

Свойство аддитивности площади

Площадь квадрата

Соотношение между единицами измерения площадей

Площадь прямоугольника

 

Понятие площади многоугольника

Понятие площади уже знакомо нам из младших классов и повседневной жизни. Эта величина, которая, грубо говоря, характеризует размер плоских фигур. Она показывает, какую часть плоскости занимает та или иная фигура. Исторически понятие площади многоугольника считалось неопределяемым, так же как понятия точка, прямая, плоскость и т. д. Основная же задача геометров (а именно так называют математиков, специализирующихся на геометрии) сводилась к измерению площади.

Как известно, для проведения любых измерений должна существовать некоторая единица измерения. Так, массу измеряют в килограммах, длину – в метрах и т. д. При этом единицы измерения разных величин могут быть связаны друг с другом. С практической точки зрения удобно принять в качестве единицы измерения площади квадрат, сторона которого равна 1 метру. Принимается, что площадь такого квадрата равна 1 квадратному метру (обозначается символом м2):

1 ploshad

Аналогично можно определить такие величины, как квадратный сантиметр (см2), квадратный километр (км2), квадратный миллиметр (мм2) и т.д.:

2 ploshad

Как мы знаем, иногда в задачах единицу измерения длины не указывают вовсе. Например, говорят, что сторона квадрата равна единице. В таких случаях и площадь является безразмерной величиной. Принимается, что площадь квадрата со стороной, равной единице, также равна единице. Такой квадрат называется единичным.

3 ploshad

Общепринято, что площадь фигуры обозначается буквой S.

 

Свойство аддитивности площади

Предположим, что нам надо найти площадь прямоугольника со сторонами 2 и 1. Его можно разбить на два квадрата со стороной 1, то есть на два единичных квадрата:

4 ploshad

Этот прямоугольник занимает на плоскости в два раза больше места, чем единичный квадрат, поэтому логично считать, что его площадь равна 2. В данном случае мы разбили многоугольник на две фигуры, площадь каждой из которых нам была известна. Далее мы сложили площади известные нам площади и получили площадь прямоугольника.

В общем случае справедливо утверждение, что площадь всякой фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она может быть составлена. Это свойство называют аддитивностью площади:

5 ploshad

Площадь – не единственная величина, обладающая свойством аддитивности. Например, длина любого отрезка равна сумме длин отрезков, из которых он состоит. В классической физике считается, что масса сложного тела равна сумме масс тел, составляющих его. Аддитивность можно считать основным свойством площади.

Свойство аддитивности подсказывает нам, как измерять площадь произвольных многоугольников. Достаточно разбить такой многоугольник на несколько фигур, чья площадь нам известна, и сложить их площади.

 

Задание. Найдите площадь фигуры, показанной на рисунке. Длина стороны одной клеточки равна единице.

6 ploshad

Решение. Каждая клеточка является, по сути, единичным квадратом, чья площадь равна 1. Можно видеть, что нарисованная фигура состоит 11 таких квадратов:

7 ploshad

В силу свойства аддитивности площадь фигуры равна сумме площадей этих квадратов:

8 ploshad

 

Если две фигуры можно разбить на одинаковые фигуры, то их называют равносоставленными фигурами. Покажем пример равносоставленных фигур, которые состоят из двух половинок круга:

9 ploshad

Довольно очевидно, что равносоставленные фигуры имеют равную площадь. Также очевидно, что любые две равные фигуры являются равносоставленными, а потому их площади тоже равны.

10 ploshad

Важно понимать разницу между равными и равносоставленными фигурами. Фигуры равны, если их можно наложить друг на друга, и при этом они полностью совпадут. Равносоставленные же фигуры могут и не накладываться друг на друга.

Ещё одно важное понятие – равновеликие фигуры. Так называют фигуры, чьи площади равны. Мы уже сказали, что любые две равносоставленные фигуры имеют одинаковую площадь, то есть являются равновеликими. Верно ли обратное? Всякие ли равновеликие фигуры являются равносоставленными? Оказывается, что нет. Можно нарисовать окружность и квадрат, имеющие равные площади, но разбить их на одинаковые фигуры не получится:

11 ploshad

С помощью равных и равновеликих фигур можно находить площади фигур, которые невозможно разбить на единичные квадраты.

 

Задание. Найдите площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны единице.

Решение. Достроим такой прямоугольник до единичного квадрата. В результате гипотенуза треугольника окажется диагональю квадрата:

12 ploshad

Получили, что единичный квадрат состоит из двух равных треугольников, чью площадь нам и надо найти. Обозначим площадь треугольника как S. Тогда справедливо равенство

13 ploshad

 

Итак, зная свойства площади фигур, мы попытаемся дать этому понятию определение. Можно сказать, что площадь – это число, характеризующее плоскую фигуру и имеющее следующие свойства:

  • площадь квадрата со стороной 1 равна единице:
  • равносоставленные фигуры имеют равную площадь.

Такого описания вполне достаточно, чтобы вывести все формулы для нахождения площади многоугольников.

 

Площадь квадрата

Из младших классов известно, что для вычисления площади квадрата достаточно умножить его сторону саму на себя. Докажем это строго, используя лишь свойства площадей.

Попробуем вычислить площадь квадрата, если известна его сторона. Если она равна 2, то квадрат можно разбить на четыре единичных квадрата, а если она равна 3, то квадрат можно разделить уже на девять единичных квадратов:

14 ploshad

Тогда площадь квадрата со стороной 2 равна 4, а со стороной 3 уже равна 9. В общем случае квадрат со стороной n (где n– натуральное число) можно разбить nединичных квадратов, поэтому его площадь будет равна n2.

Но что делать в случае, если сторона квадрата – это не целое, а дробное число? Пусть оно равно некоторой дроби 1/m, например, 1/2 или 1/3. Тогда поступим наоборот – разделим сам единичный квадрат на несколько частей. Получится почти такая же картина:

15 ploshad

В общем случае единичный квадрат можно разбить на mквадратов со стороной 1/m. Тогда площадь каждого из таких квадратов (обозначим ее как S)может быть найдена из уравнения:

16 ploshad

Снова получили, что площадь квадрата в точности равна его стороне, возведенной во вторую степень.

Наконец, рассмотрим случай, когда сторона квадрата равна произвольной дроби, например, 5/3. Возьмем квадраты со стороной 1/3 и построим из них квадрат, поставив 5 квадратов в ряд. Тогда его сторона как раз будет равна 5/3:

17 ploshad

Площадь каждого маленького квадратика будет равна 1/9, а всего таких квадратиков 5х5 = 25. Тогда площадь большого квадрата может быть найдена так:

18 ploshad

В общем случае, когда дробь имеет вид n/m, где m и n– натуральные числа, площадь квадрата будет равна величине

19 ploshad

Получили, что если сторона квадрата – произвольное рациональное число, то его площадь в точности равна квадрату этой стороны. Конечно, возможна ситуация, когда сторона квадрата – это иррациональное число. Тогда осуществить подобное построение не получится. Здесь помогут значительно более сложные рассуждения, основанные на методе «от противного».

Предположим, что есть некоторое иррациональное число I, такое, что площадь квадрата (S) со стороной I НЕ равна величине I2. Для определенности будем считать, что I2<S (случай, когда I2>S, рассматривается абсолютно аналогично). Однако тогда, извлекая корень из обеих частей неравенства, можно записать, что

20 ploshad

Далее построим два квадрата, стороны которых имеют длины I и R, и совместим их друг с другом:

21 ploshad

Так как мы выбрали число R так, чтобы оно было больше I, то квадрат со стороной I является лишь частью квадрата со стороной R.Но часть меньше целого, значит, площадь квадрата со стороной I (а она равна S) должна быть меньше, чем площадь квадрата со стороной R (она равна R2):

22 ploshad

из которого следует противоположный вывод – величина R2 меньше, чем S. Полученное противоречие показывает, что исходная утверждение, согласно которому площадь квадрата со стороной I НЕ равна I2, является ошибочным. А значит, площадь квадрата всегда равна его стороне, умноженной на саму себя.

23 ploshad

 

Задание. Найдите площадь квадрата, если его сторона равна

24 ploshad

 

Задание. Площадь квадрата равна 25. Найдите длину его стороны.

Решение. Пусть сторона квадрата обозначается буквой х (как неизвестная величина). Тогда условие, согласно которому его площадь равна 25, можно переписать в виде уравнения:

25 ploshad

Его простейшее квадратное уравнение, для его решения надо просто извлечь квадратный корень из правой части:

26 ploshad

 

Примечание. Строго говоря, записанное уравнение имеет ещё один корень – это число (– 5). Однако его можно отбросить, так как длина отрезка не может быть отрицательным числом. В более сложных геометрических задачах отрицательные корни также отбрасывают.

 

Задание. Численно площадь квадрата равна периметру квадрата (с учетом того, что площадь измеряется в см2, а периметр – в см). Вычислите его площадь.

Решение. Снова обозначим сторону квадрата как х, тогда площадь (S)и периметр (Р) будут вычисляться по формулам:

27 ploshad

По условию эти величины численно равны, поэтому должно выполняться равенство, являющееся уравнением:

28 ploshad

Естественно, сторона квадрата не может быть равна нулю, поэтому нас устраивает только ответ х = 4. Тогда и площадь, и периметр будут равны 16.

Ответ: 16 см2.

 

Обратите внимание, что ответ задачи зависит от единицы измерения. Если использовать миллиметры, то сторона квадрата окажется равной 40 мм, периметр будет равен 160 мм, а площадь составит 1600 мм2. Именно поэтому в условии задачи сказано, что площадь и периметр равны численно. «По-настоящему» равными бывают только величины, измеряемые в одинаковых единицах измерения.

 

Соотношение между единицами измерения площадей

Площадь измеряется в «квадратных» величинах: м2, см2, км2 и т.д. Как связаны эти единицы измерения? Для ответа на этот вопрос построим квадрат со стороной 1 см и разобьем каждую его сторону на отрезки длиной 1 мм. Естественно, что таких отрезков будет 10, ведь, в 1 см равен 10 мм. Далее разобьем большой квадрат на маленькие, их число будет равно 102 = 100:

29 ploshad

Площадь большого квадрата равна 1 см2, а площадь маленьких составляет 1 мм2. Так как большой квадрат состоит из 100 маленьких, мы можем записать:

30 ploshad

Существуют специальные единицы измерения площади, известные как ар (обозначается сокращением а) и гектар (сокращение га). Первый представляет собой квадрат со стороной 10 м, а второй – со стороной 100 м. Верны следующие соотношения:

31 ploshad

В частности, если стороны квадратов отличаются в 10 раз, то их площади отличаются уже в 100 раз. Отсюда вытекает быстрый метод перевода единиц площади. Пусть надо перевести 1 квадратный километр в квадратные дециметры. Сначала мы считаем, во сколько раз километр длиннее дециметра:

32 ploshad

 

Задание. Площадь окружности равна 24 см2. Выразите эту величину в мм2 и м2.

Решение. Миллиметр в 10 раз меньше сантиметра, а потому 1 см2 равен 100 мм2:

33 ploshad

 

Площадь прямоугольника

Ещё из младшей школы известно, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Докажем этот факт, используя только свойства площади и выведенную нами ранее формулу площади квадрата.

Возьмем произвольный прямоугольник со сторонами a и b. Далее достроим его до квадрата со стороной (а + b):

34 ploshad

С одной стороны, площадь большого квадрата (со стороной а + b) равна величине (а + b)2. С другой стороны, он состоит из 4 фигур, а потому его площадь равна сумме

35 ploshad

Итак, мы доказали следующее утверждение:

36 ploshad

 

Задание. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 5 и 8 см?

Решение. Просто перемножаем эти числа:

37 ploshad

 

Задание. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке:

38 ploshad

Решение. Необходимо разбить фигуры на несколько прямоугольников:

39 ploshad

Далее считаем площадь каждого отдельного прямоугольника:

40 ploshad

 

Задание. Полкомнаты необходимо покрыть паркетом. Длина и ширина комнаты равны 6 и 5,5 метрам, а каждая дощечка паркета имеет габариты 30х5 см. Сколько дощечек паркета необходимо купить для ремонта?

Решение. В таких задачах прежде всего следует все длины выразить в одних единицах измерения. Перепишем габариты комнаты:

41 ploshad

Важно убедиться, что пол можно полностью покрыть целым числом дощечек, не используя какие-либо дощечки наполовину. Для этого габариты дощечки должны быть кратны габаритам комнаты. Это условие соблюдается:

42 ploshad

Получается, что для покрытия пола дощечки необходимо разместить их в 20 рядов, в каждом из которых будет 110 досок. Тогда общее количество досок будет равно

43 ploshad

 

Задание. Площадь прямоугольника равна 64, а одна из его сторон имеет длину 16. Найдите вторую сторону прямоугольника.

Решение. Запишем формулу площади прямоугольника:

44 ploshad

 

Задание. Найдите стороны прямоугольника, если площадь равна 500, а одна из сторон в 5 раз больше другой стороны.

Решение. Обозначим меньшую сторону переменной х. Тогда большая сторона будет в 5 раз больше, то есть она равна 5х. Площадь прямоугольника будет вычисляться как произведение этих чисел

45 ploshad

Мы получили два значения х, 10 и (– 10). Естественно, длина отрезка не может выражаться отрицательным числом, поэтому нам подходит только значение 10. Это длина меньшей стороны. Большая же сторона в 5 раз длиннее, то есть ее длина равна

46 ploshad

 

Задание. Одна сторона прямоугольника длиннее другой на 5 см, а площадь прямоугольника равна 150 см2. Вычислите обе стороны прямоугольника.

Решение. Снова обозначим длину меньшей стороны буквой х, тогда большая сторона будет иметь длину х + 5 см. По условию произведение этих сторон равно 150:

47 ploshad

Это обычное квадратное уравнение, решаемое с помощью:

48 ploshad

Снова получили два корня, из которых только один является положительным. Итак, меньшая сторона равна 10 см. Тогда большая сторона буде равна

49 ploshad

 

Задание. Периметр прямоугольника равен 16 см, а площадь составляет 15 см2. Каковы стороны этого прямоугольника?

Решение. Обозначим смежные стороны буквами и b. Тогда и две другие стороны также будут равны а и b. Так как периметр (его обозначают буквой Р) по определению является суммой длин всех сторон, то для прямоугольника он будет равен:

50 ploshad

Если сюда вместо S подставить 15, а вместо а выражение 8 – b, то получим такое уравнение:

51 ploshad

Оба полученных корня являются положительными числами, то есть устраивают нас. Зная b, легко найдем и a:

52 ploshad

В первом случае получается, что стороны равны 3 и 5 см. Во втором случае получились те же числа, только в другом порядке: 5 и 3 см. То есть эти два ответа, по сути, идентичны друг другу.

Ответ: 5 см; 3 см.

 

Формулы площадей 📐 всех фигур

Площадь треугольника

Прямоугольного



Равностороннего треугольника

21.png

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника

22.png

S = a2/2

Площадь треугольника через синус

22.png

Площадь треугольника через косинус

24.png Для нахождения площади треугольника нужно знать все стороны.  По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны равен:
Следовательно:
Далее используем формулу Герона:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности

27.png

Произвольного треугольника

24.png Формула Герона

Площадь треугольника через высоту

27.png

Площадь треугольника через полупериметр

24.png Формула Герона
является полупериметром.

Площадь тупоугольного треугольника

27.png

S = ah/2

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности

27.png

S = p×r

где p — полупериметр:

Площадь параллелограмма

Через синус

Через стороны и углы
29.png

S = a×b×sin(α) =  a×b×sin(β)

Через диагонали и угол между ними
29.png

Формула площади прямоугольника

31.png

S = a×b

Площадь квадрата

31.png

S = a2


Площадь четырехугольника

Выпуклого четырехугольника

32.png 32.png
где

Площадь многоугольника

34.png

S = S1 + S2 + S3 + S4

Правильного многоугольника

34.png
где n — количество сторон многоугольника.

Площадь ромба

35.png


Площадь многогранника

38.png

Площадь пятиугольника

38.png 38.png 38.png

Площадь закрашенного сектора

38.png

Площадь круга

41.png

S = πr2

Площадь трапеции

Через основания и высоту

41.png

Через высоту и среднюю линию

42.png

S = hm

Через четыре стороны

42.png 42.png

Через диагонали и угол между ними

42.png 42.png

Через основания и два угла

42.png
Формула вычисления площади для всех геометрических фигур

Стандартное обозначение площади — S

Площадь

Пусть длина стороны квадрата равна a, тогда формул квадрата:

S = a ⋅ a = a2

Прямоугльник

Пусть длины сторон прямоугольника равны a и b

S = a ⋅ b

Параллелограмм

Пусть длины сторон параллелограмма равны a и b и ha это высота на сторону a, и hb это высота на сторону b
Формула площади параллелограмма:

S = a ⋅ ha = b ⋅ hb

Трапеция

Допустим, что длины параллельных сторон трапеции имеют длину a и b и расстояние между двумя основами s h(the trapezoid altitude). Тогда формула площади:

$S = \frac{(a + b)\cdot h}{2}$

Площадь круга

$P = \pi\cdot r^2$

$\pi=3,14$

Площадь прямоугольного треугольника

$S=\frac{a \cdot b}{2}$

$S=\frac{c \cdot h_c}{2}$

Площадь треугольника — калькулятор
Стороны треугольника:
Треугольник

ABC — треугольник

длина его сторон: a, b, c и длина его высот: ha, hb и hc.

S = ½(a ⋅ ha) = ½(b ⋅ hb) = ½(c ⋅ hc)

S = ½(ab ⋅ sinC) = ½(ac ⋅ sinB) = ½(bc ⋅ sinA)

p = ½(a + b + c)

S = √p(p — a)(p — b)(p — c) — формула Герона

$S = R^2\sin(A) \cdot \sin(B) \cdot \sin(C) = \frac{abc}{4R}$

где R — радиус описанной окружности
Площадь параллелограмма(ромба)

$S = AB\cdot DE = BC \cdot DF$
$S = AB \cdot AD \sin \alpha$
$S = \frac12 AC \cdot BD \sin \gamma$

Площадь выпуклого четырехугольника

$S = \frac12 AC \cdot BD \sin \varphi $

Площадь правильного многоугольника

$S = \frac14 n\cdot a^2\cdot \text{ctg}(\frac{\pi}{n})$

n — число ребер(вершин).
$\pi=3,14159265359$

90000 Area of ​​Circle, Triangle, Square, Rectangle, Parallelogram, Trapezium, Ellipse and Sector 90001 90002 90003 Area is the size of a surface! 90004 Learn more about Area, or try the Area Calculator. 90005 90006 90002 90006 90009 Example: What is the area of ​​this rectangle? 90010 90011 90006 90002 The formula is: 90006 90011 Area = w × h 90004 w = width 90004 h = height 90006 90002 We know 90020 w = 5 90021 and 90020 h = 3 90021, so: 90006 90011 Area = 5 × 3 = 90020 15 90021 90006 90009 Example: What is the area of ​​this circle? 90010 90011 90006 90011 Radius = r = 3 90006 90035 90036 90037 Area 90038 90039 90038 90039 = π × r 90042 2 90043 90038 90045 90036 90039 90038 90039 90038 90039 = π × 3 90042 2 90043 90038 90045 90036 90039 90038 90039 90038 90039 = π × (3 × 3) 90038 90045 90036 90039 90038 90039 90038 90039 = 3.14159 … × 9 90038 90045 90036 90039 90038 90039 90038 90039 = 90020 28.27 90021 (to 2 decimal places) 90038 90045 90082 90009 Example: What is the area of ​​this triangle? 90010 90011 90006 90011 Height = h = 12 90006 90011 Base = b = 20 90006 90011 Area = ½ × b × h = ½ × 20 × 12 = 90020 120 90021 90006 90002 90006 90002 A harder example: 90006 90009 Example: Sam cuts grass at $ 0.10 per square meter 90010 90009 How much does Sam earn cutting this area: 90010 90011 90006 90002 Let’s break the area into two parts: 90006 90002 90006 90002 Part A is a square: 90006 90002 Area of ​​A = a 90042 2 90043 = 20m × 20m = 400m 90042 2 90043 90006 90002 Part B is a triangle.Viewed sideways it has a base of 20m and a height of 14m. 90006 90002 Area of ​​B = ½b × h = ½ × 20m × 14m = 140m 90042 2 90043 90006 90002 So the total area is: 90006 90002 Area = Area of ​​A + Area of ​​B = 400m 90042 2 90043 + 140m 90042 2 90043 = 540m 90042 2 90043 90006 90002 90006 90002 Sam earns $ 0.10 per square meter 90006 90002 Sam earns = $ 0.10 × 540m 90042 2 90043 = $ 54 90006 90002 90006 90002 90006 .90000 What is Area? 90001 90002 90003 Area is the size of a surface! 90004 90005 90006 Example: 90007 90008 These shapes all have the same area of ​​9: 90005 90002 90005 90008 90005 90008 90005 90008 It helps to imagine 90017 how much paint 90018 would cover the shape. 90005 90020 Area of ​​Simple Shapes 90021 90008 There are special formulas for certain shapes: 90005 90006 Example: What is the area of ​​this rectangle? 90007 90002 90005 90008 The formula is: 90005 90002 Area = w × h 90031 w = width 90031 h = height 90005 90008 The width is 5, and the height is 3, so we know 90017 w = 5 90018 and 90017 h = 3 90018: 90005 90002 Area = 5 × 3 = 90017 15 90018 90005 90008 Learn more at Area of ​​Plane Shapes.90005 90020 Area by Counting Squares 90021 90008 We can also put the shape on a grid and count the number of squares: 90005 90002 90031 The rectangle has an area of ​​90017 15 90018 90005 90002 Example: When each square is 90017 1 meter 90018 on a side, then the area is 90017 15 m 90059 2 90060 90018 (15 square meters) 90005 90020 Square Meter vs Meter Square 90021 90008 The basic unit of area in the metric system is the 90017 square meter 90018, which is a square that has 1 meter on each side: 90005 90008 90031 1 square meter 90005 90008 Be careful to say «square meters» not «meters squared»: 90005 90008 90005 90008 There are also «square mm», «square cm» etc, learn more at Metric Area.90005 90008 90005 90020 Approximate Area by Counting Squares 90021 90008 Sometimes the squares do not match the shape exactly, but we can get an «approximate» answer. 90005 90084 One way is: 90085 90086 90087 90017 more 90018 than half a square counts as 90017 1 90018 90092 90087 90017 less 90018 than half a square counts as 90017 0 90018 90092 90099 90008 Like this: 90005 90002 90031 This pentagon has an area of ​​90017 approximately 17 90018 90005 90084 90085 90084 Or we can count one square when the 90017 areas seem to add up 90018.90085 90008 Example: Here the area marked «90017 4 90018» seems equal to about 1 whole square (also for «90017 8 90018»): 90005 90002 90031 This circle has an area of ​​90017 approximately 14 90018 90005 90084 90085 90084 But using a formula (when possible) is best: 90085 90006 Example: The circle has a radius of 2.1 meters: 90007 90002 90005 90008 The formula is: 90005 90002 Area = π × r 90059 2 90060 90005 90008 Where: 90005 90008 The radius is 90017 2.1m 90018, so: 90005 90008 Area = 3.1416 … × (2.1m) 90059 2 90060 90005 90008 = 3.1416 … × (2.1m × 2.1m) 90005 90008 = 13.854 … m 90059 2 90060 90005 90008 So the circle has an area of ​​90017 13.85 square meters 90018 (to 2 decimal places) 90005 90020 Area of ​​Difficult Shapes 90021 90008 We can sometimes break a shape up into two or more simpler shapes: 90005 90006 Example: What is the area of ​​this Shape? 90007 90002 90005 90008 Let’s break the area into two parts: 90005 90008 90005 90008 Part A is a square: 90005 90008 Area of ​​A = a 90059 2 90060 = 20m × 20m = 400m 90059 2 90060 90005 90008 Part B is a triangle.Viewed sideways it has a base of 20m and a height of 14m. 90005 90008 Area of ​​B = ½b × h = ½ × 20m × 14m = 140m 90059 2 90060 90005 90008 So the total area is: 90005 90008 Area = Area of ​​A + Area of ​​B 90005 90008 Area = 400m 90059 2 90060 + 140m 90059 2 90060 90005 90008 Area = 540m 90059 2 90060 90005 90020 Area by Adding Up Triangles 90021 90008 We can also break up a shape into triangles: 90005 90002 90005 90002 90005 90008 Then measure the base (90017 b 90018) and height (90017 h 90018) of each triangle: 90005 90002 90005 90002 90005 90008 Then calculate each area (Using Area = ½b × h) and add them all up.90005 90008 90005 90008 90005 90020 Area by Coordinates 90021 90008 When we know the coordinates of each corner point we can use the Area of ​​Irregular Polygons method. 90005 90008 There is an Area of ​​a Polygon by Drawing Tool that can help too. 90005 90008 90005 90008 90005 .90000 What is the effect of the change on the area of ​​the figure? 90001 90002 Say that the diagonals of the rhombus are 90003 m 90004 and 90003 n 90004. The area of ​​the rhombus is A. Now the formula is A = (90003 m * n 90004) / 2. We want to multiply both m and n by 8, so we have A = (8m * 8n) / 2. Do the arithmetic, and you have A = 64 (90003 m * n 90004) / 2, but the formula that is being multiplied by 64 is the original area, so what happens is, the area of ​​the new rhombus is the the area of the old rhombus, times 64.2) * A 90013 90002 90013 90002 Remember, bold 90011 A 90012 means new area. Non-bold A means old area. 90013 90002 90013 90002 A = b * h is the formula for the area of ​​the rectangle. b is base, and h is height. We multiply b by 4 and h by 7. So 90011 A = 90012 (4b * 7h) = 28 (b * h) = 28 * A 90013 90002 90013 90002 A = nsa / 2 where n is the number of a polygon’s sides (in this case, 8), s is the side length, a is the apothem. It’s done the same way the rectangle problem was done. 90011 A = 90012 3 * A 90013 90002 90013 90002 With the last one, maybe draw a picture.2 = A / 16. 90013 90002 90013 90002 I hope you enjoyed this. Maybe we can meet in person sometime. 90013 .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.