Теория вероятности хотя бы одно событие – —

Вероятность появления хотя бы одного события. Задачи с решениями. |

Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий А1, А2,…, Аn, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Пример 1

  Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов равны соответственно 0,05 и 0,08. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

Решение. 

  Пусть событие А — «устройство не работает», В1 — «отказал первый элемент», В2 — « отказал второй элемент».

  Событие А соответствует тому, что может отказать один из «цементов либо оба элемента. События
В1 и В2  независимы в совокупности, поэтому:

q1=1-0,05=0,95,   q2=1-0,08=0,92

 P(A)=1-q1*q2=1-0,95*0,92=1-0,874=0,126

 

Пример 2

  Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы, Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых равны соответственно: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.

Решение. 

  События А — «мост разрушен» и

— «ни одна бомба не попала в цель» противоположны, поэтому

Введем события:

В1— «первая бомба не попала в цель», Р( В1 ) = 1-0,3 = 0,7; 

В2 — «вторая бомба не попала в Цель». Р(В2) = 1 — 0,4 = 0,6; 

В3 — «третья бомба не попала в цель», Р(В3) = 1 — 0,6 = 0,4; 

В4— «четвертая бомба не попала в цель». Р(В4) = 1-0,7 = 0,3.

События  В1, В2,  В3 и В4  независимы, поэтому

Пример 3

  Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, причем каждый должен сделать по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятность того, что стрелки получат приз.

Решение. 

  Пусть событие А — «стрелки получат приз». Для получения приза достаточно, чтобы хотя бы один из четырех выстрелов был успешным. Вероятность попадание в цель р=0,3, а вероятность промаха q=1- р =1-0,3=0,7. Поэтому

  P(A)=1-q4=1-0,74=1-0,2401=0,76

www.matematicus.ru

20. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОЯВЛЕНИЯ ХОТЯ БЫ ОДНОГО СОБЫТИЯ

В жизни, производстве часто возникают такие ситуации, когда нужно вычислить вероятность появления хотя бы одного события из некоторого набора возможных событий. Например, если по цели был сделан залп из нескольких орудий, то интерес представляет вероятность того, что цель будет поражена, т. е. что будет хотя бы одно попадание.

Два несовместных события A и называются противоположными, если при эксперименте одно из них обязательно произойдет. Иначе, для противоположных событий справедливы равенства:

, .

Вероятности противоположных событий связаны соотношением

(18.1)

Вероятность появления хотя бы одного из событий A1, A2,…, An равна разности между единицей и вероятности совместного появления противоположных событий:

. (18.2)

Если события A1, A2,…, An независимы и их вероятности одинаковы, т. е. и , то

. (18.3)

Пример 18.1. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1=0,8, p2=0,7, p3=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий.

Решение. Поскольку вероятности попаданий независимы и q1=1–p1=0,2, q2=1–p2=0,3, q3=1–p3=0,1, то искомая вероятность равна

P(A) = 1–q1q2q3 = 1–0,006 = 0,994.

Пример 18.2. Уличный торговец предлагает прохожим иллюстрированную книгу. Из предыдущего опыта ему известно, что в среднем один из 65 прохожих, которым он предлагает книгу, покупают ее. В течение некоторого промежутка времени он предложил книгу 20 прохожим. Чему равна вероятность того, что он продаст им хотя бы одну книгу?

Решение. Пусть Ai – событие того, что i-й прохожий купит книгу. Вероятность этого события , а противоположного события . Тогда вероятность того, что хотя бы один из 20 прохожих купят книгу, будет равна

.

Пример 18.3. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в цель, равна p=0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Решение. Вероятность попадания хотя бы один раз при n выстрелах равна:

P(A) = 1 – qn,

Где q=1–p. Поскольку P(A)³0,9, то

1 – qn ³ 0,9 Þ qn £ 0,1 Þ n lg q £ lg0,1 Þ

.

Таким образом, чтобы хотя бы один раз попасть в цель с вероятностью не менее 0,9, стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.

Упражнения

18.1. Отдел маркетинга фирмы проводит опрос для выяснения мнений потребителей по определенному типу продуктов. Известно, что в местности, где проводятся исследования, 10% населения являются потребителями интересующего фирму продукта и могут дать ему квалифицированную оценку. Компания случайным образом отбирает 10 человек из всего населения. Чему равна вероятность того, что, по крайней мере, один человек из них может квалифицированно оценить продукт?

Ответ. .

18.2. Пакеты акций, имеющихся на рынке ценных бумаг, могут дать доход владельцу с вероятностью 0,5 (для каждого пакета). Сколько пакетов акций различных фирм нужно приобрести, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,96875, можно было ожидать доход хотя бы по одному пакету акций?

Ответ. Из уравнения получаем, что не менее 5 пакетов.

18.3. Для рыночного исследования необходимо проведение интервью с людьми, которые добираются на работу общественным транспортом. В районе, где проводится исследование, 75% людей добираются на работу общественным транспортом. Если три человека согласны дать интервью, то чему равна вероятность того, что, по крайней мере, один из них добирается на работу общественным транспортом?

Ответ. .

18.4. Модельер, разрабатывающий новую коллекцию одежды к весеннему сезону, создает модели в зеленой, черной и красной цветовой гамме. Вероятность того, что зеленый цвет будет в моде весной, модельер оценивает в 0,3, что черный – в 0,2, а вероятность того, что будет моден красный цвет – в 0,15. Предполагая, что цвета выбираются независимо друг от друга, оцените вероятность того, что цветовое решение коллекции будет удачным хотя бы по одному из выбранных цветов?

Ответ. P=1 – 0,7×0,8×0,85 = 0,524

18.5. Предположим, что для одной торпеды попасть в цель равна 0,7. Какова вероятность того, что три торпеды потопят корабль, если для потопления корабля достаточно одного попадания в цель?

Ответ. .


< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Вероятность появления хотя бы одного события

 

Пусть в результате испытания могутпоявиться п событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2, …, Ап, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

Доказательство. Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А1, А2, …, Ап, События А и (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:

P(A)+P( )=1.

Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим

P(A)=1— P( )=1-P()P()…P( ),

или

P

(A)=1 — q1q2 … qn.

Частный случай. Если события А1, А2, …, Ап, имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

P(A)=1-qn. (**)

Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р1 = 0,8; р1= О,7; р3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А)при одном залпе из всех орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий независит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события А1(попадание первого орудия), А2(попадание второго орудия) и А3(попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям А1, А2, А3, (т. е. вероятности промахов), соответственно равны:

q1=1-p1= 10,8 = 0,2; q2=1-p2= 10,7 = 0,3;

q3=13= 10,9 = 0,1.

Искомая вероятность

Р (A) = 1 — q1q2q3= 1 — 0,2• 0,3• 0,1 = 0,994.

Пример 2. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).

Решение. События «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

p+q=1

Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна

q=1-p=10,9=0,1.

Искомая вероятность

Р (А) = 1 — q4 = 10,14= 0,9999.

Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.

Пример 3. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Решение. Обозначим через А событие «при п выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы един раз». События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т.д., независимы в совокупности, поэтому применима формула (**)

Р (А) =1 — qn.

Приняв во внимание, что, по условию, Р(A) 0,9, р = 0,4 (следовательно, q=10,4= 0,6), получим

10,6n0,9; отсюда0,6n0,1.

Прологарифмируем это неравенство по основанию 10:

nlgO,6 lgO,l.

Отсюда, учитывая, что lgO,6 < 0, имеем

n lgO,l/lgO,6= —1/1,7782=—1/(0,2218) = 4,5.

Итак, п 5, т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.

Пример 4. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых в совокупности испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события одна и та же).

Решение. Так как рассматриваемые события независимы в совокупности, то применима формула (**)

P(A)=1-qn.

По условию, Р(A) = 0,936; п = 3. Следовательно,

0,936=1— q3, или q3= 1—0,936 = 0,064.

Отсюда q= = 0,4.

Искомая вероятность

р= 1-q= 10,4 = 0,6.

Задачи

1. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает в мишень, равна р=0,9. Стрелок произвел 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела дали попадание.

Отв.0,729.

2.Брошены монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий: «появился «герб», «появилось 6 очков».

Отв. 1/12.

3.В двух ящиках находятся детали: в первом—10 (из них 3 стандартных), во втором—15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

Отв. 0,12.

4.В студии телевидения 3 телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна р = 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера (событие А).

Отв. 0,936.

5.Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей (событие А)?

Отв. 91/216.

6.Предприятие изготовляет 95% изделий стандартных, причем из них 86% — первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие, изготовленное на этом предприятии, окажется первого сорта.

Отв. 0,817.

7.Монета бросается до тех пор, пока 2 раза подряд она не выпадет одной и той же стороной. Найти вероятности следующих событий: а) опыт окончится до шестого бросания; б) потребуется четное число бросаний.

Отв. а) 15/16; б) 2/3.

8.Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех — вторая цифра. Предполагается, что все 20 возможных исходов равновероятны. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) в первый раз; б) во второй раз; в) в оба раза.

Отв. а) 3/5; б) 3/5; в) 3/10.

9. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в десятку, равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8 он попал в десятку хотя бы один раз?

Отв. n 2.

10.Три электрические лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в сети превысит номинальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.

Отв. 0,936.

11.Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что вероятность появления события в обоих испытаниях одна и та же).

Отв. 0,5.

12. Три команды А1, А23, спортивного общества А состязаются соответственно с тремя командами общества В. Вероятности того, что команды общества А выиграют матчи у команд общества В, таковы: при встрече A1с В10,8; А2с В2— 0,4; А3с В30,4. Для победы необходимо выиграть не менее двух матчей из трех (ничьи во внимание не принимаются). Победа какого из обществ вероятнее?

Отв. Общества А (РA = 0,544 > 1/2).

13. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, а вторым стрелком—0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.

Отв. 0,44.

14. Из последовательности чисел 1, 2, …, п наудачу одно за другим выбираются два числа. Найти вероятность того, что одно из них меньше целого положительного числа k, а другое больше k, где 1 < k < п.

Отв. [2[k — 1)(n — k)]/[n(n— 1)].

Указание. Сделать допущения: а) первое число <k, а второе > k; б) первое число > k, а второе < k.

15. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1. Найти вероятность того, что: а) из трех проверенных изделий только одно окажется нестандартным; б) нестандартным окажется только четвертое по порядку проверенное изделие.

Отв. а) 0,243; б) 0,0729.

 

Глава четвертая




infopedia.su

Тема 4. Теория вероятностей. Формула Байеса, вероятность появления хотя бы одного события

 

1. В первой урне 3 белых и 7 чёрных шаров. Во второй урне 6 белых и 4 чёрных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот шар окажется белым, равна…

-a. Р=0,5;

-b. Р=0,9;

+c. Р=0,45;

-d. Р=0,15.

 

 

2. Имеются две одинаковые на вид урны. В первой урне находятся один белый и два чёрных шара. Во второй урне — два белых и два чёрных шара. Из наудачу взятой урны взяли один шар. Тогда вероятность того, что этот шар окажется белым равна …

-a. ;

+b. ;

-c. ;

-d. .

 

3. Имеются две одинаковые на вид урны. В первой урне находятся три красных и один чёрный шар. Во второй – два красных и один чёрный шар. Из наудачу взятой урны взяли один шар. Тогда вероятность того, что этот шар красный равна …

-a. ;

+b. ;

-c. ;

-d. .

4. Имеются две одинаковые на вид урны. В первой урне находятся два белых и один чёрный шар. Во второй урне – семь белых и семь чёрных шаров. Из наудачу взятой урны взяли один шар. Тогда вероятность того, что этот шар белый равна …

-a. ;

-b. ;

-c. ;

+d. .

 

 

5. В первом ящике 7 красных и 11 синих шаров, во втором – 5 красных и 9 синих. Из произвольного ящика достают один шар. Вероятность того, что он синий, равна…

-a. ;

-b. ;

+c. ;

-d. .

 

 

6. Несовместные события ,  и  не образуют полную группу, если их вероятности равны …

+a. ;

-b. ;

-c. .

 

 

7. Несовместные события ,  и  не образуют полную группу, если их вероятности равны …

+a. ;

-b. ;

-c. .

8. Несовместные события ,  и  не образуют полную группу, если их вероятности равны …

-a. ;

+b. ;

-c. .

 

 

9. Несовместные события ,  и  не образуют полную группу, если их вероятности равны …

-a. ;

-b. ;

+c. .

 

 

10. Несовместные события ,  и  не образуют полную группу, если их вероятности равны …

-a. ;

+b. ;

-c. .

 

 

11. Несовместные события ,  и  не образуют полную группу, если их вероятности равны …

-a. ;

+b. ;

-c. .

 

 

12. Несовместные события ,  и  не образуют полную группу, если их вероятности равны …

-a. ;

-b. ;

+c. .

13. Несовместные события ,  и  не образуют полную группу, если их вероятности равны …

-a. ;

-b. ;

+c. .

 

14. Несовместные события ,  и  не образуют полную группу, если их вероятности равны …

+a. ;

-b. ;

-c. .

 

15. Несовместные события ,  и  не образуют полную группу, если их вероятности равны …

+a. ;

-b. ;

-c. .

 

 

Тема 5. Теория вероятностей. Основные законы распределения дискретных случайных величин. Формула Бернулли

 

 

1. Пусть X – дискретная случайная величина, заданная законом распределения вероятностей:

Тогда математическое ожидание этой случайной величины равно…

-a. 1,5;

-b. 2,2;

-c. 2;

+d. 0,8.

 

2. Дан закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х:

Х 1 2 3 4
Р 0,2 0,3 0,4 а

Тогда значение a равно…

-a. – 0,7;

-b. 0,7;

-c. 0,2;

+d. 0,1.

3. Дан закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х:

Х 1 2 3 4
Р 0,2 0,3 a 0,1

Тогда значение a равно…

-a. – 0,6;

-b. 0,3;

+c. 0,4;

-d. 0,6.

 

4. Дан закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х:

Х 1 2 3 4
Р 0,2 a 0,3 0,2

Тогда значение a равно…

-a. 0,2;

+b. 0,3;

-c. – 0,7;

-d. 0,7.

 

5. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

Тогда математическое ожидание случайной величины Y=3X равно…

-a. 5,3;

-b. 9;

-c. 7,5;

+d. 6,9.

 

6. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

Тогда математическое ожидание случайной величины Y=6X равно…

-a. 8,9;

-b. 24;

-c. 18,6;

+d. 17,4.

 

7. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

Тогда математическое ожидание случайной величины Y=4X равно…

-a. 5,1;

-b. 5,2;

+c. 4,4;

-d. 4.

 

8. Вероятность появления события А в 20 независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, равна 0,54. Тогда математическое ожидание числа появлений этого события равно…

-a. 4,97;

-b. 9,20;

-c. 10,26;

+d. 10,8.

9. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей

Хi -1 0 1 3
Рi 0,2 0,3 0,1 0,4

Тогда значение интегральной функции распределения вероятностей F(2) равно …

+a. 0,6;

-b. 1;

-c. 0,4;

-d. 0,5.

 

studopedia.net

ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ НАСТУПЛЕНИЯ ХОТЯ БЫ ОДНОГО СОБЫТИЯ ИЗ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ

Поиск Лекций

Пусть А и В два события. Тогда

Р (А +В) = Р(А) +Р(В) — Р(АВ) (3.1)
Для несовместных событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
В случае трех событий А,В, С

Р(А +В+С) =Р(А) +Р(В) +Р(С) – Р(АВ) – Р(ВС) – Р(СА) + Р(АВС) (3.2)

Для попарно несовместных событий А,В,С Р(А+В+С)=Р(А)+ Р(В)+ Р(С).

Для двух событий А и В (Р(В)>0) вероятность наступления события А при условии, что произошло событие В, определяется равенством

(3.3)

Для событий справедливо соотношение, называемое формулой умножения событий:

(3.4)

Два события А и В называются независимыми, если выполняется равенство

(3.5)

События называются попарно независимыми, если для любых двух событий Аi и Аj выполняется равенство

(3.6)

т.е. Аi и Аj независимы (i¹j).

События взаимонезависимы, или независимы в совокупности, если для любых целых k и таких, что , справедливо равенство

(3.7)

 

ЗАДАЧИ

1. Монету подбросили три раза. Событие А — первый раз выпал герб. Событие В — число выпавших гербов больше числа выпавших цифр. Найти вероятность этих событий и проверить независимы ли они.

2. В группе 20 студентов, из них 15 человек получают стипендию. На дежурство по жребию отобрали двух студентов. Событие А — оба получают стипендию, В — первый из отобранных получает стипендию. Определить, зависимы ли события А и В и найти их вероятности.

3. В урне 10 белых и 5 черных шаров. Вытаскивают 3 шара случайно и без возвращения. Какова вероятность того, что они все одного цвета ? Какова вероятность того, что первый шар белый ? Зависимы ли события ?

4. События А и В несовместны, Р(А)¹0, Р(В)¹0. Зависимы ли данные
события ?

5. Студент знает 10 из 30 вопросов программы. Используя теорему умножения вероятностей, определить вероятность того; что из трех предложенных ему экзаменатором вопросов студент знает а) все три вопроса; б) хотя бы один вопрос.

6. На одиннадцати карточках написано слово «производная». По одной выбирают четыре карточки. Какова вероятность того, что в порядке выхода можно прочитать слово «овод» ?

7. В коробке 9 новых теннисных мячей. Для игры берут три новых мяча. После игры их возвращают обратно. При выборе мячей новые от бывших в игре не отличаются. Какова вероятность того, что после трех игр в коробке не останется новых мячей?

8. В новогодней лотерее 20 билетов, из которых 10 выигрышных. Студент купил два билета какова вероятность того, что оба выиграют? Хотя бы один выиграет?

9. Два пеленгатора с целью обнаружить радиостанцию осуществляют независимо одновременную разведку сигналов этой станции с различных направлений на установленной ранее частоте. Определить вероятность удачного исхода разведки одновременно с двух направлений, если вероятность определения пеленга с одного направления равна 0,6 и с другого 0,7 ?

10. Вероятность того, что в электроцепи напряжение превысит номинальное значение равна 0,9. При повышенном напряжении вероятность отказа прибора равна 0,8. Определить вероятность отказа вследствие повышения напряжения.

11. При браковке деталей обнаружено, что первый дефект присутствует в среднем в двух деталях из каждых 25. В случае его отсутствия, второй присутствует в трех деталях из каждых 50. Какова вероятность взять бракованную деталь?

12. Вероятность занятости первой линии связи 0,3 , второй — 0,6 , третьей — 0,2. Какова вероятность того, что все три линии свободны?

13. На заводе три цеха. Вероятность того, что первый цех выполнит месячный план — 0,9 , второй — 0,8 , третий — 0,95. Завод выполнит план, если план выполнят хотя бы два цеха. Какова вероятность того, что завод выполнит план?

14. Два стрелка стреляют по мишеням по одному разу. Вероятность того, что попадет первый стрелок — 0,9 , второй — 0,6. Второй стрелок получает приз, если его результат не хуже, чем у первого. Какова вероятность того, что он получит приз ?

15. В цехе имеются два станка, вероятность занятости каждого из них равна 0,7. Какова вероятность, что один занят, а другой нет?

16. В блоке, содержащем 24 лампы, отказала одна лампа. Неисправность отыскивается путем поочередной проверки. Найти вероятность того, что неисправность будет устранена не более, чем при первых трех попытках.

17. Электрическая цепь между точками А и В составлена по схеме, изображенной на рисунке. Различные элементы цепи выходят из строя независимо один от другого. Вероятности выхода элементов из строя за время Т следующие:

Элемент K1 K2 Л1 Л2

Вероятность 0,1 0,2 0,4 0,5

Определить вероятность прерывания питания за указанный промежуток времени.

 

Рисунок 3

 

18. Доказать, что если Р(А) + Р(В) > 1, то А и В совместны.

19. Доказать, что если Р(А/В)>Р(А), то и Р(В/А) > Р(В).

20. Доказать, что если А и В независимы, то и , В, и , независимы.

21. Доказать, что если Р(А+В)=1–Р( ) ×Р( ), то события А и В независимы.

22. В коробке 6 ламп, из которых 4 бракованных. Некто наугад берет лампочку, ввинчивает в патрон и включает ток. Если лампа горит, то испытания прекращаются. Если лампа не горит, то она выбрасывается и испытывается следующая и т.д. Какова вероятность того, что будет проведено не более трех испытаний ?

23. В партии из 10 изделий содержится 5 бракованных. Для проверки контролер берет наугад одно изделие из партии и проверяет его качество. Если изделие оказывается бракованным, дальнейшие испытания прекращаются, а партия задерживается. Если изделие окажется стандартным, то контролер берет следующее изделие и т.д. Какова вероятность того, что будет проверено не более трех изделий.

24. Двое игроков бросают монету два раза каждый. Какова вероятность того, что у обоих игроков выпадет одинаковое число гербов ?

25. Производится стрельба по некоторой цели, вероятность попадания в которую при каждом выстреле равна 0,6 . Стрельба прекращается при первом попадании в цель. Найти вероятность того, что будет произведено не более четырех выстрелов.

26. Вероятность того, что разговор можно вести по каждому из трех каналов связи, соответственно равна 0,8 ; 0,7 ; 0,8 . Какова вероятность того, что разговор состоится ?

27. В комплекте имеется 12 телефонных аппаратов, среди которых 3 бракованных. Какова вероятность, что среди двух взятых аппаратов хотя бы один небракованный?

28. Вероятность соединения при телефонном вызове . Какова вероятность, что соединение произойдет только при третьем вызове?

29. Вероятность появления поломок на каждой из трех соединительных линий равна 0,2 . Какова вероятность, что хотя бы одна линия исправна ?

30. На предприятии три телефона. Вероятности занятости их соответственно равны 0,6 ; 0,4 ; 0,5 . Какова вероятность, что хотя бы один из них свободен ?

31. Два пеленгатора независимо друг от друга пеленгуют объект. Первый имеет вероятность успеха 0,3 , второй — 0,4 . Какова вероятность, что объект будет запеленгован ?

32. По радиолинии передается сигнал в виде последовательности пяти импульсов. Вероятность искажения каждого импульса равна 0,1. Искажения отдельных импульсов независимы. Найти вероятность того, что передаваемый сигнал будет искажен.

33. Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, причем каждый делает по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятность того, что приз будет получен.

34. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при трех выстрелах равна 0,936. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

 

4 ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И БАЙЕСА

 

Пусть даны события образующие полную группу попарно несовместимых событий, и некоторое событие А. Его вероятность может быть найдена по формуле полной вероятности

(4.1)

При выполнении этих же условий для любого справедлива формула Байеса

(4.2)

События часто называют гипотезами. Формула Байеса позволяет найти апостериорную, (послеопытную) вероятность гипотезы, если наступление события А считать результатом опыта. Вероятности называются априорными (доопытными).

ЗАДАЧИ

1. Кинескопы для цветных телевизоров производят три завода. Годовой выпуск кинескопов на П и III заводах одинаков, а первый завод производит на 50% меньше продукции, чем второй. В течение гарантийного срока не выходит из строя в среднем 50%, 60% и 70% кинескопов соответственно I, П, III заводов. Найти вероятность того, что кинескоп наугад приобретенного телевизора выйдет из строя до конца гарантийного срока.

2. Имеется три партии деталей, причем в первой — 2% брака, во второй -3% брака, в третьей — 4% брака. Какова вероятность взять бракованную деталь, если из выбранной наугад партии берется одна деталь ?

 

3. На трех автоматических линиях изготавливаются одинаковые детали. Первая линии дает 20%, вторая 40% всей продукции. Вероятность получения бракованной продукции на каждой линии соответственно равны 2%, 3% и 5%. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется небракованной.

4. Известно, что 90% выпускаемой заводом продукции отвечает стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной 95% стандартной и 2% нестандартной продукции. Определить вероятность того, что наудачу взятое изделие будет признано пригодным.

5. Имеются две партии одинаковых изделий по 10 и 15 штук. В первой партии 5 бракованных изделий, а во второй – 6. Наудачу взятое изделие из первой партии переложено во вторую, после чего из второй партии выбираются два изделия. Определить вероятность извлечения бракованных изделий из второй партии.

6. В трех аудиториях три группы абитуриентов. В 1-й – 39 человек, во 2-й –56, в 3-й – 46, причем в первой 4 медалиста, во второй – 3, в последней – 9. Экзаменатору по жребию досталась одна из аудиторий. Какова вероятность того, что случайно выбранный им абитуриент окажется медалистом ?

7. В ящике 10 новых теннисных мячей и 5 старых. Для первой игры берут случайно выбранный мяч, после игры возвращают. Для второй игры берут два мяча. Какова вероятность того, что они новые (не бывшие в употреблении)?

8. В университете среди выпускников 6 студентов получают именные стипендии, 120 студентов –«обычные» стипендии и 320 студентов стипендии не получают. Известно, что среди имеющих именные стипендии диплом с отличием получают 90%, среди имеющих «обычные» стипендии – 60%, среди остальных – 45%. Какова вероятность того, что наудачу выбранный студент получит диплом с отличием?

9. На одной из позиций импульсного кода с равными вероятностями передаются «единица» (импульс) и «ноль» (отсутствие импульса). Определить полную вероятность искажения помехами этой позиции, если вероятность преобразования «единицы» в «ноль» помехой равна 0,04 , а вероятность преобразования «ноля» в «единицу» равна 0,2.

10. Имеется два ящика с изделиями: в первом ящике 4 бракованных и 2 стандартных, во втором ящике 6 бракованных и 4 стандартных. Из первого ящика во второй наугад перекладывают два изделия, а затем из второго извлекают два изделия. Найти вероятность того, что оба извлеченных изделия будут стандартными.

11. В первом ящике содержится 5 изделий, из них 3 стандартных; во втором ящике 20 изделий, из них 15 стандартных. Из каждого ящика наугад извлекают по одному изделию, а затем из этих двух изделий взяли одно. Найти вероятность того, что взяли стандартное изделие.

12. В ящике находится 10 теннисных мячей, из которых 5 новых. Для каждой игры наугад берут два мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры, новые.

13. В урну, содержащую 3 шара, опущен белый шар. Какова вероятность извлечения одновременно из этой урны двух белых шаров, если все предположения о первоначальном числе белых шаров в урне равновероятны?

14. Вероятности подключения абонента к каждой из трех АТС соответственно равны . Вероятность соединения с абонентом подключения к первой АТС – , ко второй – , к третьей – ;

а) Какова вероятность соединения?

б) Соединение произошло. Какова вероятность, что соединение произошло через вторую АТС?

15. Радиолампа, поставленная в телевизор, может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями Р1= Р3= 0,25, Р2= 0,5. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, для этих партий равны соответственно 0,1 ; 0,2 ; 0,4.

а) Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов;

б) Какова вероятность, что лампа принадлежит первой партии, если известно, что она проработала заданное количество часов?

16. Первая АТС работает 10 часов в сутки, вторая — 14. Вероятность соединения в случае работы первой АТС – 0,8 , в случае работы второй – 0,6 . Какова вероятность соединения ?

17. В урне 10 белых и 20 черных шаров. Подбрасывают игральную кость и добавляют в урну столько белых шаров, сколько выпало очков. Затем шары перемешивают и извлекают один. Он оказался белый. Какова вероятность того, что на игральной кости выпало 3 очка?

18. Два стрелка независимо друг от друга стреляют в цель, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания первого стрелка в цель 0,8 , второго — 0,4 . После стрельбы в мишени была обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что она принадлежит первому стрелку ?

19. По цифровому каналу передаются символы «О» и «I», причем доля передаваемых нулей вдвое больше, чем единиц. Вероятность искажения символа «О» равна 0,06 , вероятность искажения «I» – 0,09. Найти вероятность искажения символа при передаче по этому каналу.

20. Прибор состоит из двух блоков, причем для функционирования прибора необходима исправная работа обоих блоков. Вероятность исправной работы первого блока в течение суток 0,8, второго — 0.7 . После испытаний прибора в течение суток было обнаружено, что прибор вышел из строя. Найти вероятность того, что первый узел исправен.

21. Изготовленные приборы сначала проверяет контролер в цехе, затем ОТК. Вероятность обнаружения неисправности контролером 0,8 , в ОТК-0,95. Известно, что прибор бракованный. Какова вероятность того, что неисправность обнаружит ОТК? Неисправность обнаружена. Какова вероятность, что ее обнаружил контролер?

22. Линия связи предназначена для передачи символов «О» и «I». При передаче символ с вероятностью 0,2 искажается (заменяется на противоположный). Для повышения надежности связи каждый из поступающих символов передается три раза («О» соответствует 000, «I» -III). Вместо переданной последовательности была принята 010. Какова вероятность, что был передан сигнал «О»?

23. В группе из 9 стрелков 5 отличных, 2 хороших, 2 удовлетворительных. Вероятность попадания в цель отличным стрелком равна 0,9 , хорошим – 0,7, удовлетворительным – 0,6. Наугад вызывается стрелок. Определить вероятность того, что вызванный стрелок попадет в цель.

24. В цехе работает 20 станков: 10 марки «I», 6 марки «П» и 4 марки «Ш» Вероятность произвести деталь отличного качества на станках марки «I» равна 0,9, «II» –0,8 и «III» – 0,7. Какой процент отличных деталей выпускает цех? Произвольно взятая деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность, что она выполнена на станке марки «Ш»?

25. Радиолампы производятся на двух заводах. Первый поставляет 70%, второй -30% всей продукции. Из 100 ламп первого завода в среднем 80 стандартных, а из 100 ламп второго завода в среднем 60 стандартных. Какова вероятность, что произвольно взятая лампа будет стандартной? Произвольно взятая лампа оказалась стандартной. Какова вероятность, что она сделана на втором заводе?

26. Брак продукции завода вследствие первого дефекта составляет 8%. Причем среди бракованной продукции второй дефект составляет 4%, а в свободной от первого дефекта продукции второй дефект встречается в 2% случаев. Каков процент второго дефекта во всей продукции?

27. Имеется два комплекта одинаковых изделий по 12 и 10 штук. В каждом комплекте одно изделие бракованное. Наудачу взятое изделие из первого комплекта переложено во второй. После этого из второго комплекта наудачу вынимают изделие. Определить вероятность того, что оно бракованное.

 

5 СХЕМА БЕРНУЛЛИ

Пусть проводятся независимых испытаний, в каждом из которых может быть два исхода, условно называемых «успех» и «неудача». Вероятность наступления «успеха» в каждом испытании одинакова и обозначается р, вероятность наступления «неудачи» q =1 – р. Вероятность наступления k (0 < k <n) успехов при n испытаниях обозначается через . Справедлива формула Бернулли

, (5.1)

где число сочетаний из n no k:

При изменении k от 0 до n величина принимает максимальное значение при некотором k = m. Величина m может быть найдена из неравенства

(Если выполняются оба неравенства для двух целых m1 и m2, то ).

Обозначим через вероятность того, что число «успехов» k при n испытаниях не меньше k1 и не больше k2 , т.е. Тогда из (5.1) следует

(5.2)

Для вероятности хотя бы одного «успеха» можно использовать более простую формулу

(5.3)

В приложениях часто возникает задача определения числа испытаний n, необходимого для того, чтобы вероятность наступления хотя бы одного успеха была не меньше некоторой заданной величины g (0<g<1). Величина n удовлетворяет неравенству:

(5.4)

 

ЗАДАЧИ

1. Станок-автомат выпускает 30% деталей высшего сорта. Найти вероятность того, что из шести случайно отобранных деталей будет: а) 4 высшего сорта; б) хотя бы 4 высшего сорта.

2. В институте 40% студентов имеют спортивный разряд. Какова вероятность того, что среди 5 случайно отобранных студентов разрядников будет: а) не меньше 3; б) меньше 3.

3. Вероятность того, что телевизор проработает гарантийный срок без поломки, равна 0,8. Закупили 4 телевизора. Какова вероятность того, что:

а) три телевизора не проработают гарантийный сроки; б) не менее двух проработают гарантийный срок.

4. Вероятность попадания в цель 0,7. Сделано 8 выстрелов. Какова вероятность того, что оказалось: а) пять попаданий; б) пять или шесть попаданий.

5. Вероятность того, что на один лотерейный билет выпадет выигрыш, равна 0,2. Куплено 5 билетов. Найти вероятность того, что: а) выиграют два билета; б) выиграют хотя бы три билета; в) не выиграют три билета.

6. По линии связи передают знаки 0 и 1. При передаче происходят ошибки, в результате которых с вероятностью 0,1 знак меняется на противоположный. Какова вероятность того, что при передаче сообщения из 5 знаков произойдет не более одной ошибки?

7. По каналу связи передается сообщение с помощью кода, состоящего из двух знаков. Вероятность появления первого знака 0,8. Всего передано 5 знаков. Найти вероятность того, что первый знак появится: а) два раза; б) два или три раза; в) не менее двух раз.

8. Вероятность правильного приема радиосигнала при каждой передаче равна 0,8. Найти вероятность того, что при шестикратной передаче сигнал будет принят: а) четыре раза; б) не менее четырех раз.

9. На заводе радиолампы выпускают два равномощных цеха, причем первый цех выпускает 10% ламп высшего сорта, второй -20%. Далее радиолампы раскладываются в коробки по четыре штуки. Найти вероятность того, что в коробке будет одна лампа высшего сорта, если известно, что:

а) лампы по коробкам раскладывают прямо в цехах; б) лампы поступают на склад, перемешиваются и только потом раскладываются по коробкам.

10. Что более вероятно выиграть у равносильного противника:

а) три партии из четырех или хотя бы три из пяти;

б) три партии из четырех или пять из восьми; в) не менее трех из четырех или не менее пять из восьми?

11. При выпуске интегральных схем на некотором предприятии доля

брака достигает 50%. Найти:

а) вероятность того, что из трех схем хотя бы одна бракованная;

б) сколько схем должно быть в случайно отобранной партии для того, чтобы с вероятностью 0,99 в ней оказалась хотя бы одна небракованная схема.

12. Известно, что вероятность выиграть хотя бы по одному лотерейному билету из трех равна 0,271. Какова вероятность выиграть по всем трем билетам.

13. Лампа сгорает раньше установленного срока в среднем в двух случаях из шести. В помещении установлены 6 ламп. Каково наиболее вероятное число ламп, которые выйдут из строя раньше срока? Какова вероятность этого?

14. На АТС поступают микросхемы, выпускаемые двумя предприятиями: 1-е поставляет вдвое больше схем, чем 2-е. На 1-ом 10% брака, на 2-м – 20% брака. В партии из трех изделий два бракованных. Какова вероятность того, что партия выпущена 1-м предприятием?

 


Рекомендуемые страницы:

poisk-ru.ru

Теоремы сложения и умножения вероятностей, вероятность появления хотябы одного события

Дело в том, что любая стратегия управления будет строиться на базе определенных представлений о вероятности событий в системе — и на первых шагах эти вероятности будут взяты «из головы» или в лучшем случае из опыта управления другими системами. Но по мере «жизни» системы нельзя упускать из виду возможность «коррекции» управления — использования всего накапливаемого опыта.

4.3 Схемы случайных событий и законы распределения случайных величин

Большую роль в теории и практике системного анализа играют некоторые стандартные распределения непрерывных и дискретных СВ.

Эти распределения иногда называют «теоретическими», поскольку для них разработаны методы расчета всех показателей распределения, зафиксированы связи между ними, построены алгоритмы расчета и т. п.

Таких, классических законов распределений достаточно много, хотя «штат» их за последние 30..50 лет практически не пополнился. Необходимость знакомства с этими распределениями для специалистов вашего профиля объясняется тем, что все они соответствуют некоторым «теоретическим» схемам случайных (большей частью — элементарных) событий.

Как уже отмечалось, наличие больших массивов взаимосвязанных событий и обилие случайных величин в системах экономики приводит к трудностям априорной оценки законов распределений этих событий или величин. Пусть, к примеру, мы каким-то образом установили математическое ожидание спроса некоторого товара. Но этого мало — надо хотя бы оценить степень колебания этого спроса, ответить на вопрос — а какова вероятность того, что он будет лежать в таких-то пределах? Вот если бы установить факт принадлежности данной случайной величины к такому классическому распределению как т. н. нормальное, то тогда задача оценки диапазона, доверия к нему (доверительных интервалов) была бы решена безо всяких проблем.

Доказано, например, что с вероятностью более 95% случайная величина X с нормальным законом распределения лежит в диапазоне — математическое ожидание Mx плюс/минус три среднеквадратичных отклонения SX.

Так вот — все дело в том к какой из схем случайных событий классического образца ближе всего схема функционирования элементов вашей большой системы. Простой пример — надо оценить показатели оплаты за услуги предоставления времени на междугородние переговоры — например, найти вероятность того, что за 1 минуту осуществляется ровно N переговоров, если заранее известно среднее число поступающих в минуту заказов. Оказывается, что схема таких случайных событий прекрасно укладывается в т. н. распределение Пуассона для дискретных случайных величин. Этому распределению подчинены почти все дискретные величины, связанные с так называемыми «редкими» событиями.

Далеко не всегда математическая оболочка классического закона распределения достаточно проста. Напротив — чаще всего это сложный математический аппарат со своими, специфическими приемами. Но дело не в этом, тем более при «повальной» компьютеризации всех областей деятельности человека. Разумеется, нет необходимости знать в деталях свойства всех или хоть какой-то части классических распределений — достаточно иметь в виду саму возможность воспользоваться ими.

Таким образом, при системном подходе к решению той или иной задачи управления (в том числе и экономического) надо очень взвешено отнестись к выбору элементов системы или отдельных системных операций. Не всегда «укрупнение показателей» обеспечит логическую стройность структуры системы — надо понимать, что заметить близость схемы событий в данной системе к схеме классической чаще всего удается на самом «элементарном» уровне системного анализа.

Завершая вопрос о распределении случайных величин обратим внимание на еще одно важное обстоятельство: даже если нам достаточно одного единственного показателя — математического ожидания данной случайной величины, то и в этом случае возникает вопрос о надежности данных об этом показателя.

В самом деле, пусть нам дано т. н. выборочное распределение случайной величины X (например — ежедневной выручки в $) в виде 100 наблюдений за этой величиной. Пусть мы рассчитали среднее Mx и оно составило $125 при колебаниях от $50 до $200. Попутно мы нашли SX, равное $5. Теперь уместен вопрос: а насколько правдоподобным будет утверждение о том, что в последующие дни выручка составит точно $125? Или будет лежать в интервале $120..$130? Или окажется более некоторой суммы — например, $90?

Вопросы такого типа чрезвычайно остры — если это всего лишь элемент некоторой экономической системы (один из многих), то выводы на финише системного анализа, их достоверность, конечно же, зависят от ответов на такие вопросы.

Что же говорит теория, отвечая на эти вопросы? С одной стороны очень много, но в некоторых случаях — почти ничего. Так, если у вас есть уверенность в том, что «теоретическое» распределение данной случайной величины относится к некоторому классическому (т. е. полностью описанному в теории) типу, то можно получить достаточно много полезного.

С помощью теории можно найти доверительные интервалы для данной случайной величины. Если, например, уже доказано (точнее — принята гипотеза) о нормальном распределении, то зная среднеквадратичное отклонение можно с уверенностью в 5% считать, что окажется вне диапазона (Mx — 3·Sx)……(Mx+3·Sx) или в нашем примере выручка с вероятностью 0.05 будет <$90 или >$140. Надо смириться со своеобразностью теоретического вывода — утверждается не тот факт, что выручка составит от 90 до 140 (с вероятностью 95%), а только то, что сказано выше.

Если у нас нет теоретических оснований принять какое либо классическое распределение в качестве подходящего для нашей СВ, то и здесь теория окажет нам услугу — позволит проверить гипотезу о таком распределении на основании имеющихся у нас данных. Правда — исчерпывающего ответа «Да» или «Нет» ждать нечего. Можно лишь получить вероятность ошибиться, отбросив верную гипотезу (ошибка 1 рода) или вероятность ошибиться приняв ложную (ошибка 2 рода).

Даже такие «обтекаемые» теоретические выводы в сильной степени зависят от объема выборки (количества наблюдений), а также от «чистоты эксперимента» — условий его проведения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая математические модели массовых случайных явлений. В теории вероятностей используются результаты и методы многих областей математики (комбинаторики, математического анализа, алгебры, логики и т. п.). Однако теория вероятностей обладает некоторым своеобразием, поскольку она очень тесно связана с различными приложениями, причем приложения эти не столь привычны, как, например, приложения алгебры или дифференциальных уравнений. Задачи теории вероятностей также необычны и часто имеют нематематическую постановку. Это в первую очередь объясняется тем, что зарождение теории вероятностей связано с комбинаторными задачами азартных игр. Азартные игры трудно считать серьезным занятием. Но именно они привели к задачам, которые не укладывались в рамки существовавших математических соотношений и стимулировали тем самым поиск новых понятий, подходов и идей.

Подобно другим математическим наукам, теория вероятностей развивалась из потребностей практики и представляла собой прикладную дисциплину. В связи с этим ее понятия и выводы имели характерные черты тех областей знаний, в которых они были получены. Лишь постепенно выкристаллизовалось то общее, что присуще вероятностным схемам, независимо от области их приложения и что позволило превратить теорию вероятностей в надежный, точный и эффективный метод познания.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 1998.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1972, 1977.

3. Ежова Л.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Основы математики для экономистов. Вып. 9: Учеб. Пособие. – Иркутск: Изд-во ИГЭА, 2000.

4. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1991.

5. Теория вероятностей: Учебное пособие / Ежова Л.Н., Абдуллин Р.З., Калашникова Л.С., Никулина С.И., Леонова О.В.. – Иркутск: изд-во ИГЭА. – 1996.

6. Анализ и диагностика финансово-хозяйственной деятельности предприятия. Табурчак П.П., Викуленко А.Е., Овчинникова Л.А. и др.: Учеб. пособие для вузов / Под ред. П.П. Табурчака, В.М. Туина и М.С Сапрыкина. — Ростов н/Д: Феникс, 2002.

7. Баканов М.И., Шеремет А.Д. Теория экономического анализа: Учебник. — 4- изд., доп. и перераб. — М.: Финансы и статистика, 2001.

8. Бамина О.Э., Спирин А.А. Общая теория статистики. Изд-во Финансы и статистика, 2005. ― 440 с.

9. Бочаров.В.Б. Финансовый анализ. — СПб: Питер, 2004. — 240 с.

10. Гинсбург А.И. Экономический анализ. — Спб.: Питер, 2003. — 480 с.

11. Ефимова М.Р., Румянцев В.Н., Петрова Е.В. Общая теория статистики. Учебник. ― М.: Инфра-М, 2005, с. 94.

12. Завьялова З.М. Теория экономического анализа. Курс лекций. — М.: Финансы и статистика, 2002.

mirznanii.com

Основные формулы теория вероятностей Операции над событиями


Глава 3. Основные формулы теория вероятностей
§ 1. Операции над событиями.

Суммой двух событий А и В называется событие АВ (А+В), заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из событий А или В (либо событие А, либо событие В либо А и В одновременно).

Произведением (или пересечением)двух событий А и В называется событие АВ (АВ), состоящее в одновременном появлении и события А и события В.

Вероятность суммы двух событий вычисляется по формуле (теорема сложения)

.

События А12,…,Ак образуют полную группу событий, если в результате испытания непременно произойдет одно из них , т.е. .

События А и В называются несовместными (непересекающимися), если они не могут произойти одновременно АВ=. Если события несовместны, то

Р(АВ) = 0 и Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Задача 1. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?

Решение. Событие A={вынуты пуговицы одного цвета} можно представить в виде суммы , где события и означают выборку пуговиц красного и синего цвета соответственно. Вероятность вытащить две красные пуговицы равна, а вероятность вытащить две синие пуговицы . Так как события и не могут произойти одновременно, то в силу теоремы сложения

§ 2. Условная вероятность и теорема умножения.

Помимо обычной (безусловной) вероятности можно рассматривать так называемую условную вероятность, вычисляемую при условии, что событие B произошло. Такую вероятность (вероятность А при условии В) обозначают Р(А|В) и вычисляют с помощью одной из двух формул:


Из этой формулы вытекает формула для вероятности произведения двух событий (теорема умножения)

.

Формула умножения для трех событий:

.

Задача 2. В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – мальчик, если известно, что в семье есть дети обоего пола?

Решение. Пусть А={старший ребенок – мальчик}, B={в семье есть дети обоего пола}. Будем считать, что рождения мальчика и рождение девочки – равновероятные события. Если рождение мальчика обозначить буквой М, а рождение девочки – Д, то пространство всех элементарных исходов состоит из четырех пар: . В этом пространстве лишь два исхода (МД и ДМ) отвечают событию B. Событие AB означает, что в семье есть дети обоего пола и старший ребенок – мальчик, это значит, что второй (младший) ребенок – девочка. Этому событию AB отвечает один исход – МД. Таким образом, |AB|=1, |B|=2 и


Задача 3. Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, берет и проверяет детали одну за другой, пока нему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали.

Решение. Событие А={мастер проверил ровно две детали} означает, что при такой проверке первая деталь оказалась нестандартной, а вторая – стандартная. Значит, , где ={ первая деталь оказалась нестандартной } и ={вторая деталь – стандартная}. Очевидно, что вероятность кроме того, (так как перед взятием второй детали у мастера осталось 9 деталей, из которых только 2 нестандартные и 7 стандартных). По теореме умножения

§ 3. Независимость событий.

Событие А не зависит от В, если появление события В не меняет значения вероятности события А, т.е. условная вероятность равна безусловной: Р(А/В) = Р(А). Аналогично определяется независимость события B от A. Оказывается, что свойство независимости на самом деле симметрично относительно событий A и B, и потому определение независимости двух событий принимает более простой вид:

два события A и B независимы, если справедливо равенство

Р(АВ) = Р(А)  Р(В).

Это равенство можно использовать также как удобный критерий независимости при практической проверке независимости двух событий.
Задача 4. В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

Решение. Событие A={хотя бы из одного ящика вынут белый шар} можно представить в виде суммы , где события и означают выборку одного белого шара из первого и второго ящика соответственно. Вероятность вытащить белый шар из первого ящика равна, а вероятность вытащить белый шар из второго ящика . Кроме того, в силу независимости и имеем: . По теореме сложения получаем:

.
§ 4. Формула полной вероятности.

Пусть событие А может быть реализовано только при условии появления одного из событий Hi, i = 1,…, n. Предположим, что события Hi несовместны, образуют полную группу (т.е. в результате испытания непременно произойдет одно из них) и вероятности их до опыта известны.. Такие события Hiназываются гипотезами. Тогда вероятность события А можно вычислить с помощью формулы полной вероятности:

.

Задача 5. Три экзаменатора принимают экзамен по некоторому предмету у группы в 30 человек, причем первый опрашивает 6 студентов, второй — 3 студента, а третий — 21 студентов (выбор студентов производится случайным образом из списка). Отношение трех экзаменаторов к слабо подготовившимся различное: шансы таких студентов сдать экзамен у первого преподавателя равны 40%, у второго — только 10%, зато у третьего — 70%. Найти вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен.

Решение. Обозначим через – гипотезы, состоящие в том, что слабо подготовившийся студент отвечал первому, второму и третьему экзаменатору соответственно. По условию задачи

, , .

Пусть событие A={слабо подготовившийся студент сдал экзамен}. Тогда снова в силу условия задачи

, , .

По формуле полной вероятности получаем:

.

Для решения задач такое типа удобно использовать так называемое «дерево» вероятностей. Из формулы полной вероятности следует, что для вычисления вероятности события А необходимо осуществить перебор всех путей, ведущих к результирующему событию А; вычислить и расставить на соответствующих путях вероятности Р(Нi) того, что движение будет происходить по данному пути, и вероятности Р(А/ Нi) того, что на данном пути будет достигнуто конечное событие А. Затем вероятности, стоящие на одном пути, перемножаются, а результаты, полученные для различных путей, складываются.

Каждое из условий может в свою очередь делиться на несколько дополнительных условий или гипотез, т.е. на каждом этапе оно допускает неограниченное число ветвлений схемы, поэтому в решении задач удобнее пользоваться не самой формулой полной вероятности, а графической схемой полной вероятности, которую называют «деревом» вероятностей.

§ 5. Формулы Байеса.

Предположим теперь другую ситуацию: пусть теперь известно, что событие A произошло. Это знание влияет на нашу оценку вероятностей гипотез Нk, т.е. на вероятность того, что событие A произошло именно путем Нk. Эти условные вероятности (т.е. при условии, что событие А произошло), вычисляются с помощью формулы Байеса:

.

Отметим, что в знаменателе этой формулы записана ничто иное как вероятность Р(А), вычисленная по формуле полной вероятности.
Задача 6. (см. задачу 4) Известно, что студент сдавал экзамен, но получил «неуд». Кому из трех преподавателей вероятнее всего он отвечал?

Решение. Вероятность получить «неуд» равна . Требуется вычислить условные вероятности . По формулам Байеса получаем:

,

и аналогично,

,

Отсюда следует, что вероятнее всего слабо подготовившийся студент сдавал экзамен третьему экзаменатору.

Задачи для самостоятельного решения


  1. Рабочий обслуживает три независимо работающих станка. Событие Аi={ i-ый станок в течении часа потребует наладки}, Р(Аi)=0,2, i=1,2,3. Выразить события: а) ровно два станка потребуют наладки; б) не более двух потребуют наладки; в) хотя бы один потребует наладки. Найти вероятность события в).

  2. Стрелок делает три выстрела, при этом он поражает цель с вероятностью 0,6 при одном выстреле. Событие Аi={ i-ая пуля попала в цель }, i=1,2,3. Выразить события: а) было хотя бы одно попадание; б) ровно одно попадание; в) не менее двух попаданий. Найти вероятность события в).

  3. В коробке 4 детали. Мастер извлекает детали до тех пор, пока не вытащит годную. Событие = { i-ая извлеченная деталь является годной }, Выразить события, состоящие в том, что мастер сделал а) ровно одно извлечение; б) ровно 2 извлечения; в) не менее двух извлечений. Найти вероятность б).

  4. Пусть А,В,С – три произвольных события. Найти выражение для событий, состоящих в том, что: а) произошли все три события; б) произошло хотя бы одно из событий; в) произошли хотя бы два события; г) произошли два и только два события; д) произошло ровно одно событие; е) ни одно событие не произошло; ж) произошло не более двух событий.

  5. Прибор состоит из трех блоков первого типа и четырех блоков второго типа. Событие Аi ={исправен i-ый блок первого типа}, i=1,2,3, Вj = {исправен j-ый блок второго типа}, j=1,2,3,4. Прибор работает, если исправны хотя бы один блок первого типа и не менее трех блоков второго типа. Найти выражение для события С, которое соответствует работающему состоянию прибора.

  6. В пакете с леденцами лежит 4 красных, 5 желтых и 6 зеленых конфет. Найти вероятность наудачу вынуть подряд 3 конфеты одного цвета.

  7. В партии из 20 изделий 4 бракованных. Найти вероятность того, что в выборке из 5 изделий не более одного бракованного.

  8. В лифт 9-этажного дома на первом этаже входят 6 человек. Для каждого человека равновероятен выход на любом из 8 этажей. Известно, что все вышли на разных этажах. При этом условии найти вероятность, что на первых трех этажах вышли два человека.

  9. Три пассажира садятся в поезд, случайно выбирая любой из 6 вагонов. Какова вероятность, что хотя бы один из них сядет в первый вагон, если известно, что они сели в разные вагоны?

  10. В ящике 12 красных , 8 зеленых и 10 синих шаров .Наудачу вынимаются два шара. Какова вероятность, что вынутые шары разного цвета, если известно, что не вынут синий шар?

  11. Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность, что во всех ящиках разное число шаров при условии, что все они не пустые.

  12. Двое шахматистов равной силы играют 4 партии. Найти вероятность, что победил первый, если известно, что каждый выиграл хоть один раз.

  13. В лифт на цокольном этаже входят 5 человек. Считая для каждого человека равновероятном выход на любом из 9 этажей, найти вероятность того, что двое из них выйдут на одном этаже, а остальные на разных.

  14. Известно, что 5-значный номер телефона имеет все цифры разные. Какова вероятность при этом условии, что среди них ровно четная (0 считаем четной цифрой и телефонный номер может начинаться с нуля).

  15. Пять человек случайным образом (независимо друг от друга) выбирают любой из 7 вагонов поезда. Известно, что некоторые 2 вагона остались пустыми. Какова вероятность при этом условии, что все сели в различные вагоны, в том числе в первый и во второй?

  16. В урне 5 белых и 10 черных шаров. Извлечены 6 шаров (с возвращением). Известно, что среди них есть белые шары. При этом условии найти вероятность того, что среди них будут также не менее двух черных шаров.

  17. Семь пассажиров случайным образом выбирают один из 9 вагонов поезда. Известно, что они сели в разные вагоны, при этом условии найти вероятность того, что в первых трех вагонах поезда будут ехать два человека.

  18. Распределяются 5 шаров по трем ящикам. Известно, что нет пустых ящиков. При этом условии найти вероятность, что в первом ящике лежит один шар.

  19. В четырех группах учится 100 человек (по 25 человек в каждой). На олимпиаду отобрано 5 человек. Какова вероятность, что среди них будут представители всех классов?

  20. Сколько раз надо бросить игральную кость, чтобы на 95% быть уверенным в том, что хотя бы при одном бросании появится «шестерка»?

  21. Известно, что в пятизначном номере телефона все цифры разные. Найти вероятность того, что среди них есть цифры 1 и 2.

  22. Бросают три кубика. Какова вероятность того, что хотя бы на одном из них выпадет «шестерка», если известно, что на всех кубиках выпали разные грани?

  23. Фирма участвует в 4 проектах, каждый из которых может закончиться неудачей с веростностью 0,1. В случае неудачи одного проекта вероятность разорения фирмы равна 20%, двух – 50%, трех – 70%, четырех – 90%. Найти вероятность разорения фирмы.

  24. Два аудитора проверяют 10 фирм (по 5 фирм каждый), у двух из которых имеются нарушения. Вероятность обнаружения нарушений первым аудитором равна 80%, вторым – 90%. Найти вероятность, что обе фирмы-нарушители будут выявлены.

  25. В первой урне лежат один белый и три черных шара, а во второй урне – 2 белых и 1 черный шар. Из первой урны во вторую перекладывается не глядя один шар, а затем один шар перекладывается из второй урны в первую. После этого из первой урны вынули один шар. Найти вероятность, что он белый.

  26. В прибор входит комплект из двух независимых деталей, вероятность для которых выйти из строя в течение года соответственно равна 0,1 и 0,2. Если детали исправны, то прибор работает в течение года с вероятностью 0,99. Если выходит из строя только первая деталь, то прибор работает с вероятностью 0,7, а если только вторая – то с вероятностью 0,8. Если выходят из строя обе детали, прибор будет работать с вероятностью 0,1. Какова вероятность, что прибор будет работать в течение года?

  27. Электроэнергия поступает в город через три электролинии, каждая из которых может быть отключена с вероятностью 0,1. Если отключена одна электролиния, город испытывает недостаток электроэнергии с вероятностью 0,8. Если отключены три электролинии, недостаток электроэнергии ощущается с вероятностью 0,5. Если же отключены все три электролинии, то недостаток электроэнергии есть с вероятностью 1. В случае, когда работают все электролинии, недостатка энергии нет. Какова вероятность, что в день проверки город испытывает недостаток электроэнергии?

  28. Фирма нарушает закон с вероятностью 0,25. Аудитор обнаруживает нарушения с вероятностью 0,75. Проведенная им проверка не выявила нарушений. Найти вероятность, что они на самом деле есть.

  29. Изделие имеет скрытые дефекты с вероятностью 0,2. В течение года выходит из строя 75% изделий со скрытыми дефектами и 15% изделий без дефектов. Найти вероятность, что изделие имело скрытые дефекты, если оно вышло из строя в течение года.

  30. Из урны, где было 4 белых и 6 черных шаров, потерян один шар неизвестного цвета. После этого из урны извлечены (без возвращения) два шара, оказавшиеся белыми. При этом условии найти вероятность, что потерян был черный шар.

  31. Производственный брак составляет 4%. Каждое изделие равновероятным образом поступает к одному из двух контролеров, первый из которых обнаруживает брак с вероятностью 0,92, второй – 0,98. Какова вероятность, что признанное годным изделие является бракованным.

  32. В центральную бухгалтерию корпорации поступили пачки накладных для проверки и обработки. 90% пачек были признаны удовлетворительными: они содержали 1% неправильно оформленных накладных. Остальные 10% накладных были признаны неудовлетворительными, т.к. они содержали 5% неправильно оформленных накладных. Какова вероятность того, что взятая наугад накладная оказалась неправильно оформленной? (р1=0,1; р2=0,014)

  33. Известно, что проверяемая фирма может уйти от налогов с вероятностью 40% и выбрать для этого одну из трех схем (равновероятно). Найти вероятность, что фирма уходит от налогов по третьей схеме, если по первым двум схемам нарушений не обнаружено.

  34. Стрелок А поражает мишень с вероятностью 0,6., стрелок Б — с вероятностью 0,5 и стрелок В – с вероятностью 0,4. Стрелки дали залп по мишени, и две пули попали в цель. Что вероятнее: попал стрелок В в мишень или нет?

  35. Имеются три партии по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15 и 10. Из наудачу выбранной партии извлечена деталь, оказавшейся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наугад извлекают деталь, которая оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.

topuch.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.