Tg a формула – Тангенс угла — tg(A) | Формулы и расчеты онлайн

alexxlab / / Школьная жизнь

Содержание

Тригонометрические формулы. Основные тригонометрические тождества. Тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества

  • sin² α + cos² α = 1
  • tg α · ctg α = 1
  • tg α = sin α ÷ cos α
  • ctg α = cos α ÷ sin α
  • 1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
  • 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α

Формулы сложения

  • sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α
  • sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α
  • cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β
  • cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β
  • tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 — tg α · tg β)
  • tg (α — β) = (tg α — tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)
  • ctg (α + β) = (ctg α · ctg β — 1) ÷ (ctg β + ctg α)
  • ctg (α — β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β — ctg α)

Формулы двойного угла

  • cos 2α = cos² α — sin² α
  • cos 2α = 2cos² α — 1
  • cos 2α = 1 — 2sin² α
  • sin 2α = 2sin α · cos α
  • tg 2α = (2tg α) ÷ (1 — tg² α)
  • ctg 2α = (ctg² α — 1) ÷ (2ctg α)

Формулы тройного угла

  • sin 3α = 3sin α — 4sin³ α
  • cos 3α = 4cos³ α — 3cos α
  • tg 3α = (3tg α — tg³ α) ÷ (1 — 3tg² α)
  • ctg 3α = (3ctg α — ctg³ α) ÷ (1 — 3ctg² α)

Формулы понижения степени

  • sin² α = (1 — cos 2α) ÷ 2
  • sin³ α = (3sin α — sin 3α) ÷ 4
  • cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
  • cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
  • sin² α · cos² α = (1 — cos 4α) ÷ 8
  • sin³ α · cos³ α = (3sin 2α — sin 6α) ÷ 32

Переход от произведения к сумме

  • sin α · cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α — β))
  • sin α · sin β = ½ (cos (α — β) — cos (α + β))
  • cos α · cos β = ½ (cos (α — β) + cos (α + β))

Переход от суммы к произведению

Другие заметки по алгебре и геометрии

edu.glavsprav.ru

Основные формулы тригонометрии

Основное тригонометрическое тождество, синус суммы и разности, косинус суммы и разности. Основные формулы тригонометрии.

Тригонометрические выражения – это выражения, в котором переменная содержится под знаком тригонометрических функций. Их всего четыре:

  • Синус \( \displaystyle sin\left( x \right) \)
  • Косинус \( \displaystyle cos\left( x \right) \)
  • Тангенс \( \displaystyle tg\left( x \right) \)
  • Котангенс \( \displaystyle ctg\left( x \right) \)

Существует два способа решения тригонометрических уравнений:

Первый способ — с использованием формул.

\( \displaystyle A \)\( \displaystyle a \)\( \displaystyle -1 \)\( \displaystyle 0 \)\( \displaystyle 1 \)
\( \displaystyle \sin x=A \)\( \displaystyle {{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \alpha +\pi n \)\( \displaystyle -\dfrac{\pi }{2}+2\pi n \)\( \displaystyle \pi n \)\( \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+2\pi n \)
\( \displaystyle \cos x=A \)\( \displaystyle \pm \arccos \alpha +2\pi n \)\( \displaystyle \pi +2\pi n \)\( \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+\pi n \)\( \displaystyle 2\pi n \)
\( \displaystyle tgx=A \)\( \displaystyle arctg\alpha +\pi n \)\( \displaystyle -\dfrac{\pi }{4}+\pi n \)\( \displaystyle \pi n \)\( \displaystyle \dfrac{\pi }{4}+\pi n \)
\( \displaystyle ctgx=A \)\( \displaystyle arcctg\alpha +\pi n \)\( \displaystyle \dfrac{3\pi }{4}+\pi n \)\( \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+\pi n \)\( \displaystyle \dfrac{\pi }{4}+\pi n \)

Второй способ — через тригонометрическую окружность.

Тригонометрическая окружность позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.

Основные формулы Тригонометрии:

Основное тригонометрическое тождество (нужно его помнить, даже если тебя разбудили среди ночи и спросили!)

\[ \displaystyle si{{n}^{2}}a+co{{s}^{2}}a=1 \]

Выражение тангенса через синус и косинус (по сути альтернативное определение тангенса)

\[ \displaystyle tg\ \alpha =\dfrac{sin\ \alpha }{cos\ \alpha } \]

Выражение котангенса через синус и косинус или через тангенс (по сути альтернативное определение котангенса)

\[ \displaystyle ctg\ \alpha =\dfrac{cos\ \alpha }{sin\ \alpha }=\dfrac{1}{tg\ \alpha } \]

Синус суммы и разности:

\[ \displaystyle \sin \left( \alpha \pm \beta \right)=sin\alpha \cdot cos\beta \pm cos\alpha \cdot sin\beta \]

Косинус суммы и разности:

\[ \displaystyle \cos \left( \alpha \pm \beta \right)=cos\alpha \cdot cos\beta \mp sin\alpha \cdot sin\beta \]

Тангенс суммы и разности:

\[ \displaystyle tg\left( \alpha \pm \beta \right)=\dfrac{tg\alpha \pm tg\beta }{1\mp tg\alpha \cdot tg\beta } \]

Формулы понижения степени:

Данная группа формул позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному.

\[ \displaystyle si{{n}^{2}}\alpha =\dfrac{1-cos2\alpha }{2} \]

\[ \displaystyle co{{s}^{2}}\alpha =\dfrac{1+cos2\alpha }{2} \]

\[ \displaystyle si{{n}^{3}}\alpha =\dfrac{3sin\alpha -sin3\alpha }{4} \]

\[ \displaystyle co{{s}^{3}}a=\dfrac{3cosa+cos3a}{4} \]

\[ \displaystyle t{{g}^{2}}\alpha =\dfrac{1-cos2\alpha }{1+cos2\alpha },\alpha \ne \dfrac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z \]

\[ \displaystyle si{{n}^{3}}\alpha =\dfrac{3sin\alpha -sin3\alpha }{4} \]

\[ \displaystyle co{{s}^{3}}a=\dfrac{3cosa+cos3a}{4} \]

Из данных формул можно в частности вывести формулы тройного угла:

\[ \displaystyle sin3\alpha =3sin\alpha -4si{{n}^{3}}\alpha \]

\[ \displaystyle cos3a=4co{{s}^{3}}a-3cosa \]

\[ \displaystyle tg3\alpha =\dfrac{3tg\alpha -t{{g}^{3}}\alpha }{1-3t{{g}^{2}}\alpha } \]

\[ \displaystyle ctg3\alpha =\dfrac{3ctg\alpha -ct{{g}^{3}}\alpha }{1-3ct{{g}^{2}}\alpha } \]

Формулы преобразования суммы функций

Данная группа формул позволяет преобразовать произведение в сумму и сумму в произведение.

\[ \displaystyle sin\alpha \pm sin\beta =2sin\dfrac{\alpha \pm \beta }{2}cos\dfrac{\alpha \mp \beta }{2} \]

\[ \displaystyle cos\alpha +cos\beta =2cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}cos\dfrac{\alpha -\beta }{2} \]

\[ \displaystyle cos\alpha -cos\beta =-2sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}sin\dfrac{\alpha -\beta }{2} \]

\[ \displaystyle tg\alpha \pm tg\beta =\dfrac{\text{sin}\left( \alpha \pm \beta \right)}{cos\alpha cos\beta } \]

\[ \displaystyle ctg\alpha \pm ctg\beta =\dfrac{\text{sin}\left( \beta \pm \alpha \right)}{sin\alpha sin\beta } \]

Формулы преобразования произведений функций

\[ \displaystyle sin\alpha sin\beta =\dfrac{\cos \left( \alpha -\beta \right)-\text{cos}\left( \alpha +\beta \right)}{2} \]

\[ \displaystyle sin\alpha cos\beta =\dfrac{\sin \left( \alpha +\beta \right)+\text{sin}\left( \alpha -\beta \right)}{2} \]

\[ \displaystyle cos\alpha cos\beta =\dfrac{\cos \left( \alpha -\beta \right)+\text{cos}\left( \alpha +\beta \right)}{2} \]

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!