Точки разрыва функции это – Точки разрыва функции и их виды

Как найти точки разрыва функции

Если в условиях задачи не были даны координаты проверяемого отрезка, то процесс решения делится на несколько этапов. Для начала нужно найти область определенных значений, с которой в дальнейшем пойдет работа. После это вычисляются односторонние пределы функции. Полученные результаты необходимо будет сравнить, чтобы однозначно определить род и характеристику разрыва.

Рассмотрим более подробно каждый из этих моментов на примере нахождения нужных нам точек у конкретного примера f (y)=(y² — 25)/(y — 5):

1. Областью определения называют множество значений, в котором существует функция. Здесь не нужны никакие сложные вычисления, достаточно взять лишь знаменатель. Если y=5, то он будет (5−5)=0 и, как всем известно, делить на него нельзя. Таким образом, получаем область допустимых y ∈ (-∞; 5) ∪ (5; +∞) и предполагаем, что наша y = 5 является точкой разрыва.
2. Вычисление односторонних пределов. Это самая сложная для учеников часть, т. к. пределы не всегда бывают удобными для вычисления, да не все на них «собаку съели». Но в этом случае функцию можно значительно упростить еще до начала вычисления: f (y) = (y ²-25)/(y — 5) = ((y-5)(y+5)) /(y — 5) = y+5. Никогда не пренебрегайте такой возможностью, если она есть. Заметим, что новая функция непрерывна при любом численном значении, т. ч. по всем математическим правилам пределы будут равны: lim (y + 5) = 5 + 5 = 10.
3. Проверяя совпадение результатов, мы выяснили, что левый и правый предел функции в точке y=5 одинаковые. Но вместе с тем функция f(y) не может быть определена в этой координате, иначе ее знаменатель обращается в ноль, что невозможно по условиям. Следовательно, она действительно является разрывом, а именно: устранимым и первого рода.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как исследовать непрерывность функции.

13. Классификация точек разрыва функции одной переменной

Точка аназываетсяточкой разрыва функции, если в этой точке нарушается условие непрерывности, т.е. или 1)не определена в точкеа, или 2)существует, но не равен, или 3)не существует.

Определение 13.1.Точка разрываафункцииназываетсяточкой разрыва первого рода этой функции, если в этой точке существуют оба односторонних предела

Разность называетсяскачкомфункциив точкеа. В случае устранимого разрыва скачок равен нулю. Если же разрыв первого рода неустраним, то скачок отличен от нуля. В случае точки устранимого разрыва пределв этой точке существует, но либо не равен, либов точкеа не определена. Если же в точке разрыва первого рода разрыв неустраним, то в этой точке предел

Определение 13.2.Точка разрываафункции называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример.1). Точках=0является точкой разрыва, так как в этой точке функция не определена. В силу первого замечательного предела. Отсюда по теореме 5.2. в точкех=0функция имеет оба односторонних предела, равных между собой. Значит,х=0есть точка устранимого разрыва. Этот разрыв можно устранить, если функциюв точкех=0доопределить, положив

Рис. 13.1

2) .

Вычислим односторонние пределы этой функции в точке :,. Обаодносторонних предела существуют, значит х=0 есть точка разрыва первого рода. Так как пределы неравны, то устранить разрыв нельзя (см. рис.13.2)

Рис. 13.2

Рис. 13.3

3 ). Поскольку в точкех=0оба односторонних предела не существуют, точках=0является точкой разрыва второго рода (см. рис.13.3).

studfiles.net

Классификация точек разрыва — ПриМат

 Определение:

Точки в которых функция не является непрерывной называется точкой разрыва.

Классификация точек разрыва.

Определение:

Если существует конечный предел справа 

 и,

причём  то точка  называется точкой устранимого разрыва.(название устранимый, оправдывает себя), его можно устранить изменив значение функций в точке .

Пример

1) 

точка 0-точка устранимого разрыва.

2)  

 точка устранимого разрыва.

Определение:

Если существуют конечные односторонние пределы

  и   , то точка  называется точкой разрыва первого рода.

Примеры

1)

2)

Определение:

Точка  называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода и точкой устранимого разрыва, то есть если хотя бы один из сторонних пределов либо не существует, либо бесконечен.

Пример

точка разрыва второго рода.

Рекомендации

 Учебники :

• Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1, Глава 1, § 5, Тема 5.1 «Точки непрерывности и точки разрыва функции» стр.84-87;
•  Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций»  стр.146-167 ;
• Ильин В.А.,Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть1, Глава 4, § 8  «Классификация точек разрыва функции» стр.143-145.

Сборники задач:

• Демидович Б.П. «Сборник упражнений по амтематическому анализу» 13-еиздание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
• Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции»  стр.50-58.

«Разрывность функции»

Лимит времени: 0

Информация

Тест расчитан на людей которые внимательно изучили разделы: «Точки разрыва монотонной функции» и «Классификация точек разрыва», и следовали всем рекомендациям

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   Количество баллов: 8

   Как классифицируются точки разрыва?

   Правильно
   

   Неправильно
   

2. Задание 2 из 5

   Количество баллов: 6

   Доказательство теоремы о разрыве монотонной функции легко следует из …

   Правильно
   

   Неправильно
   

3. Задание 3 из 5

   Количество баллов: 6

   Закончите выражение!

   Правильно
   

   Неправильно
   

4. Задание 4 из 5

   Количество баллов: 6

   Соотнесите функции с их названиями!

   • $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{ } x\in \mathbb{Q}\\ 0, & \text{ } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{q}, & \text{ } x=\frac{p}{q} ,p\in \mathbb{Z}, q\in \mathbb{N}\\ 0, & \text{ } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & \text{ } x\neq 0 \\ 0, & \text{ } x= 0 \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{ } x\geq 0,x\in \mathbb{R}\\ 0, & \text{ } x
   • $$f(x)=\begin{cases}-1, & \text{ } x 0 \end{cases}$$

   • Функция Дирихле

   • Функция Римана

   • Функция с устранимым разрывом

   • Ступенчатая функция

   • Функция знака

   Правильно
   

   Неправильно
   

5. Задание 5 из 5

   Количество баллов: 6

   Если существуют конечные односторонние пределы и ,то точка …

   Правильно
   

   Неправильно
   

Таблица лучших: «Разрывность функции»

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

Поделиться ссылкой:

Похожее

ib.mazurok.com

Классификация точек разрыва функций

1. Устранимый разрыв.

Точка а называется точкой устранимого разрыва функции , если предел функции в этой точке существует, но в точке а функциялибо не определена, либо ее значениене равно пределу в этой точке

2. Разрыв первого рода.

Точка а называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

3. Разрыв второго рода.

Точка а называется точкой разрыва второго рода функции Точка а называется точкой устранимого разрыва функции , если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

25. Производная: определение, механический и геометрический смысл. Уравне-ние касательной к кривой.

Определение производной

Пусть функция определена на некотором промежутке Х. Придадим значению аргумента в точке произвольное приращение так, чтобы точка также принадлежала Х. Тогда соответствующее приращение функции составит .

Опр. Производной функции в точкеназывается предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при(если этот предел существует).

Если в некоторой точке предел бесконечен, то говорят, что в этой точке функция имеет бесконечную производную. Если функция имеет производную в каждой точке множества Х, то производнаятакже является функцией от аргумента х, определенной на Х.

Геометрический смысл производной

Для выяснения геометрического смысла производной нам понадобится определение касательной к графику функции в данной точке.

Опр. Касательной к графику функции в точке М называется предельное положение секущей МN, когда точка N стремится к точке М по кривой.

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку , имеет вид

Угловой коэффициент секущей равен

Тогда угловой коэффициент касательной равен

Отсюда следует наглядный вывод о том, что . В этом и состоитгеометрический смысл производной.

• отсюда,  v ( t₀ ) = x’ ( t₀ ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит  механический смысл производной.Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:  a = v’ ( t ).

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:

26. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементар-ных функций.

Правила дифференцирования.

1. Производная постоянной равна нулю

.

2. Производная аргумента равна единице.

.

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций.

.

1. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

.

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например

.

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

Производные основных элементар-ных функций.

1. (C)” = 0, где C = const

2. (x^a)” = ax^a-1, где a не равно 0

3. (a^x)” = a^xln a, где a > 0

4. (e^x)” = e^x

5. (log_a^x)” =1/x ln_a, где a > 0

6. (ln x)” =1/x

7. (sin x)” = cos x

8. (cos x)” = — sin x

9. (tg x)” =1/cos²x

10. (ctg x)” = -1/sin²x

11. (arcsin x)” = 1/~1-x²

12. (arccos x)’ = -1/~1-x²

13. (arctg x)” =1/1+x²

14. (arcctg x)” = -1/1+x²

27. Производная сложной функции. Производные высших порядков. 

studfiles.net

§8. Точки разрыва и их классификация.

Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х₀, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х₀является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной справа.

х₀

Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной слева.

х₀

Определение.Точка х₀называетсяточкой разрыва функцииf(x), если f(x) не определена в точке х₀или не является непрерывной в этой точке.

Определение.Точка х₀называетсяточкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функцияf(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х₀, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.

Определение.Точка х₀называетсяточкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функцияf(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Пример.Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837г)

не является непрерывной в любой точке х₀.

Пример.Функцияf(x) = имеет в точке х₀= 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.

.

Пример.f(x) =

Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел , т.е. в точке х = 0 функция имеет точку разрыва 1 – го рода. Это – устранимая точка разрыва, т.к. если доопределить функцию:

График этой функции:

Пример.f(x) = =

y

1

0 x

-1

Эта функция также обозначается sign(x) – знак х. В точке х = 0 функция не определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва – 1 – го рода. Если доопределить функцию в точке х = 0, положивf(0) = 1, то функция будет непрерывна справа, если положитьf(0) = -1, то функция будет непрерывной слева, если положитьf(x) равное какому- либо числу, отличному от 1 или –1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа, но во всех случаях тем не менее будет иметь в точке х = 0 разрыв 1 – го рода. В этом примере точка разрыва 1 – го рода не является устранимой.

Таким образом, для того, чтобы точка разрыва 1 – го рода была устранимой, необходимо, чтобы односторонние пределы справа и слева были конечны и равны, а функция была бы в этой точке не определена.

§9. Непрерывность функции на интервале и на отрезке.

Определение.Функцияf(x) называетсянепрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).

При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Свойство 1:(Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a,b] выполняется условие –M£f(x)£M.

Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х₀, ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок [a,b] на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке х₀, то образуется некоторая окрестность точки х₀.

Свойство 2:Функция, непрерывная на отрезке [a,b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

Т.е. существуют такие значения х₁и х₂, чтоf(x₁) =m,f(x₂) =M, причем

m£f(x)£M

Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например – f(x) =sinx).

Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.

Свойство 3:(Вторая теорема Больцано – Коши). Функция, непрерывная на отрезке [a,b], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.

Свойство 4:Если функцияf(x) непрерывна в точке х = х₀, то существует некоторая окрестность точки х₀, в которой функция сохраняет знак.

Свойство 5:(Первая теорема Больцано (1781-1848) – Коши). Если функцияf(x)- непрерывная на отрезке [a,b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, гдеf(x) = 0.

Т.е. если sign(f(a)) ¹ sign(f(b)), то $ х₀: f(x₀) = 0.

Определение.Функцияf(x) называетсяравномерно непрерывнойна отрезке [a,b], если для любогоe>0 существуетD>0 такое, что для любых точек х₁Î[a,b] иx₂Î[a,b] таких, что

ïх₂– х₁ï<D

верно неравенство ïf(x₂) –f(x₁)ï<e

Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого eсуществует своеD, не зависящее от х, а при “обычной” непрерывностиDзависит отeи х.

Свойство 6:Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918)- немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.

(Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)

Пример.

Функция непрерывна на интервале (0, а), но не является на нем равномерно непрерывной, т.к. существует такое числоD>0 такое, что существуют значения х₁и х₂такие, чтоïf(x₁) –f(x₂)ï>e,e- любое число при условии, что х₁и х₂близки к нулю.

Свойство 7:Если функцияf(x) определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция х =g(y) тоже однозначна, монотонна и непрерывна.

Пример.Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = -1 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

у

3

2

-4 -1 0 1 х

Пример.Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = 0 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

у

2

1

-p-p/2 0 1x

studfiles.net

5.9. Непрерывность функции. Точки разрыва

● Точка является точкой непрерывности функции если существуют конечные пределы справа и слева, и эти пределы равны значению функции в этой точке, т. е.

Если же хотя бы одно равенство нарушено, тогда точка являетсяточкой разрыва функции.

● Функция называетсянепрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Замечание. Все элементарные функции непрерывны в области опреде-ления.

Классификация точек разрыва

●

Рис. 29, а

●

Рис. 29, б

Итак, если существуют односторонние пределы функции в точке, но, то–точка разрыва I рода.

●

Рис. 29, в

5.10. Асимптоты

Прямая L называется асимптотой кривой , если расстояние от точкикривой до прямойL стремится к нулю при неограниченном удалении указанной точки по кривой от начала координат (т. е. при стремлении к бесконечности хотя бы одной из координат точки данной кривой).

Прямаяявляетсявертикальной асимптотой кривой , если.

Прямая является наклонной асимптотой кривой , если существуют пределы:

.

Следствия.

1. Если , то прямаяявляется горизонтальной асимптотой кривой.

2. Если илине существуют (равны), то нет наклонной асимптоты у кривой.

6. Дифференциальное исчисление функции одной и двух переменных

6.1. Правила дифференцирования

Если функции идифференцируемы в точкех, а то

1) 2)3)4)5)

6) 7)где8)

9) 10) Еслиито

11) 12)

6.2. Таблица производных

studfiles.net