Вертикальные треугольники – как докозать что вертикальные треугольники равны

Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

Треугольник как магический символ

Треугольник является одной из первых геометрических фигур, которая стала использоваться в орнаментах древних народов. В Древнем Египте он был прямоугольным и являлся воплощением триады духовной воли, любви и высшего разума человека.

Треугольник — символ триединой природы вселенной: Небо, Земля, Человек; отец, мать, дитя; человек как тело, душа и дух; мистическое число три; тройка, первая из плоских фигур. Отсюда символ поверхности вообще. Поверхность состоит из треугольников (Платон).

Равносторонний треугольник символизирует завершение.

На Древнем Востоке почитали треугольник как символ природы всего сущего. Треугольник с вершиной, соединенной с такой же геометрической фигурой, аптеки использовали в качестве эмблемы временного цикла.

Герменевтической традиции известно множество видов треугольников, имеющих различные толкования.

Янтра Тары

Треугольник, обращенный вершиной вниз, является лунным и имеет символику женского начала, матки, воды, холода, природы, тела, йони, шакти. Символизирует Великую Мать как родительницу. Горизонтальная линия — это земля; ее цвет — белый. В символике горы и пещеры гора — это мужской, обращенный вверх треугольник, а пещера — треугольник женский, обращенный вершиной вниз. Во многих янтрах богинь в середине помещен треугольник вершиной вниз с точкой.

Треугольник, обращенный вершиной вверх, является солнечным и имеет символику жизни, огня, пламени, жара (отсюда горизонтальная линия, символизирующая воздух), мужское начало, лингам, шакта, духовный мир; это также троица любви, истины и мудрости. Означает королевское величие и имеет в качестве символа красный цвет.

Гексаграмма. При его наложении на описанный выше знак женского начала мы получим индуистскую эмблему объединения созидающего и порождающего начал — гексаграмму.

В индийской традиции такой символ толковался также и как знак любви богов ко всему земному. В Европе же данная геометрическая фигура была известна как звезда Давида.

Треугольник, вписанный в окружность, олицетворяет собой мир форм, заключенный в круге вечности. Плутарх, описывая эту геометрическую фигуру, называл пространство, ограниченное сторонами треугольника, равниной истины, на которой расположены образы всего, что было и будет. Треугольники могут выступать и в качестве лунного символа, тогда они располагаются горизонтально и соприкасаются своими вершинами. Общая точка этих треугольников символически обозначает смерть и новолуние.

В буддийской традиции два смыкающихся треугольника олицетворяют чистое пламя и Три Драгоценности Будды.

Троица и треугольник

Начиная с ранних христиан треугольник был символом Святой Троицы. Равносторонний треугольник толковался как равенство и единая божественная сущность Бога Отца, Бога Сына и Духа Святого. Иногда этот символ составляли из трех переплетенных между собой рыб. Символ Троицы по католической традиции составлялся из трех малых треугольников, вписанных в один большой с кругами на вершинах. Три этих круга означают триединство, но каждый круг независим и совершенен сам по себе. Эта схема иллюстрировала принцип триединства и вместе с тем индивидуальности каждого составляющего Святой Троицы.

Печать Соломона

Печать Соломона — другое название звезды Давида, образованной наложением друг на друга двух треугольников, т.е. гексаграммы. По преданию, царь Соломон с помощью этого знака управлял духами, заключенными в медный сосуд. Считается, что печать Соломона является мощным амулетом, способным защитить своего обладателя от влияния злых духов.

Треугольник Кеплера

В начале XVII в. знаменитый астроном Кеплер составил диаграмму соединения планет Сатурна и Юпитера. Так в астрономии называют расположение планет, при котором для земного наблюдателя эклиптические долготы равны нулю, а сами небесные тела находятся близко друг к другу или даже перекрываются. Кеплер представил это явление в виде треугольника, который вращается по зодиакальному кругу, совершая полный оборот за 2400 лет.

Треугольник в античной архитектуре

В античной традиции треугольник, обращенный вершиной вверх, символизировал стремление материи к духу. Поэтому фронтоны древнегреческих храмов в самой глубокой древности делали треугольными и всячески украшали. В отличие от поздних, более северных европейских построек наличие двускатной крыши не было вызвано климатическими условиями. В Древней Греции был теплый климат и снега зимой не было.

Треугольники на сосудах

В эпоху неолита у ранних земледельческих народов треугольники в орнаментах символизировали воздух, землю и огонь. Они — одни из самых древних символов, связанных с сельскохозяйственными работами, природой и ее календарными циклами.

Созвездие Треугольника

Точное происхождение названия этого созвездия неизвестно. Свое название оно получило на Древнем Востоке, его знали и использовали в навигации финикийские мореходы. Для них оно символизировало священный камень пирамидальной формы. Треугольник входил в число 48 классических созвездий античности. Древние греки считали, что это — перенесенная на небо дельта Нила, что указывает на египетские корни названия созвездия. Уже в Новое время на звездном небе были выделены созвездия Южного Треугольника и Наугольника.

Глаз в треугольнике

Символ, графически представляющий собой вписанный в треугольник глаз, называемый «глазом провидения» или «всевидящим оком», появился в Европе в XVII веке. Считается, что он восходит к солярному глазу Гора древних египтян. Этот знак получил широкое распространение в барочной архитектуре, украшая фронтоны роскошных католических костелов. В XIX веке он появился и на православных храмах, например, на фронтоне Казанского собора в Санкт-Петербурге. Христианство рассматривало его как символ Святой Троицы. Одновременно этот символ использовался и масонами, которые трактовали его как символ абсолюта, просвещения и высшего знания. У масонов «глаз провидения» располагается над стулом мастера ложи, чтобы таким образом напоминать о всепроникающей во все тайны мудрости Творца.

Треугольник в круге означает мир форм, заключенный в круге вечности. Область внутри такого треугольника есть общий центр их всех и именуется Равниной Истины, на которой находятся причина, формы и образы всего, что было и что будет; они пребывают там в покое, который не может быть нарушен, и Вечность окружает их; и отсюда время, как струя фонтана, стекает вниз в миры (Плутарх).

Три соединенных треугольника обозначают ненарушимое единство трех лиц Троицы.

Двойной треугольник, шестиконечная звезда, Печать Соломона, Могун Давид, говорит о том, что каждая истинная аналогия должна быть употребима обратно, что вверху, то и внизу. Это союз противоположностей, мужского и женского, положительного и отрицательного, причем верхний треугольник белый, а нижний черный, огонь и вода, эволюция и инволюция, взаимопроникновение, все является образом другого, гермафродит, совершенное равновесие взаимодополняющих сил, андрогинное проявление божества, человек, всматривающийся в свою собственную природу, двойственные силы творения, синтез всех стихий, при обращенном вверх треугольнике как небесном символе, и обращенном вниз — как символе земном, а вместе — символ человека, как объединяющего эти два мира. Как Печать Соломона это изображение Сохраняющего; оно дает духовную власть над материей и является повелителем джиннов.

Два треугольника, лежащие горизонтально и соприкасающиеся вершинам, — это лунный символ, растущая и убывающая Луна, вечное возвращение, смерть и жизнь, умирание и воскрешение. Точка соприкосновения — это новолуние и смерть. У алхимиков два треугольника — сущность и субстанция, forma и materia, дух и душа, сера и ртуть, стабильное и изменчивое, духовная сила и телесное существование.

Треугольники, символизирующие стихии, таковы:

огонь (обращенный вершиной вверх),
воду (обращенный вершиной вниз),
воздух (обращенный усеченной вершиной вверх),
землю (обращенный усеченной вершиной вниз).

У китайцев треугольник с подвешенными мечами символизирует восстановление.

У христиан равносторонний треугольник или треугольник, образованный тремя пересекающимися кругами, символизирует Троицу в единении и равенстве трех составляющих ее лиц. Треугольное сияние — атрибут Бога-Отца.

У египтян треугольник символизирует Триаду. Они сравнивают вертикальную сторону (прямоугольного треугольника) с мужчиной, горизонтальную — с женщиной, а гипотенузу — с их потомком: Озирис как начало, Изида как середина или хранилище и Гор как завершение (Плутарх). Рука Египтян — это союз огня и воды, мужчины и женщины. Фигура из трех двойных треугольников, окруженная концентрическими кругами, символизирует Кхуй, Страну Духов.

У греков дельта символизирует дверь жизни, женское начало, плодородие.

У индийцев обращенные вершинами вверх и вниз треугольники — это шакта и шакти, лингам и йони, Шива и его Шакти.

У пифагорейцев равносторонний треугольник символизирует Афину как богиню мудрости.

Ацтеки использовали изображение треугольника с вершиной наверху, соединенного с перевернутым треугольником, в качестве символа временного цикла, о Треугольник в сочетании с крестом образует алхимический знак Серы. В перевернутом виде он означает завершенное Великое Делание.

Равносторонний треугольник, символизирующий, по древнееврейской традиции, совершенство, у христиан означает Троицу — Отца, Сына и Святого Духа.

У масонов треугольник символизирует Тройственность космоса, а его стороны — Свет, Тьму и Время (основание).

Увиденный во сне треугольник символизирует материнское лоно космоса.

В Древнем Китае треугольник является «символом женского начала», однако не играет значительной роли в умозрительных рассуждениях. В тибетском тантризме комбинация двух равносторонних треугольников в виде гексаграммы представляет собой «проникновение в женственное мужского огня».

Символический знак «Сердце Хрунгнира» из трех переплетенных треугольников. Времена викингов. Остров Готланд .

В иудаизме и христианстве треугольник — знак Бога. Бог христианской Троицы иногда представлен глазом внутри треугольника или фигурой с треугольным нимбом. Алхимики использовали треугольники с вершинами, направленными вверх и вниз, в качестве знаков огня и воды. В более общем смысле линейные треугольники или композиции, имеющие форму треугольника, могут обозначать триады богов или другие тройственные понятия.

Магический треугольник христианских теософов есть знаменитая «абракадабра», которому они приписывали необыкновенные свойства. Употребляясь в качестве магической формулы, это слово обычно вписывалось в или выстраивалась как перевернутый треугольник .

Сань цзяо фу, или «Треугольное Заклинание», представляет собой листок бумаги, на котором написаны заклинания, сложенный в форме треугольника.

Амулеты гностиков были разнообразны по форме: треугольные, прямоугольные, огонь — Теджас — красный — зеленый — треугольник.

Символы союза — все парные оппозиции, совершенный круг, пересекающиеся круги, двойной треугольник, андрогин, деревья с перевившимися ветвями, рог единорога, инь-ян, лингам и йони.

Важную роль в архитектуре играет геометрическая символика космоса: все круглые формы выражают идею неба, квадрат — это земля, треугольник- символизирует взаимодействие между землей и небом.

Готическая архитектура имеет в своей основе треугольник — символ Троицы. Пламенеющая готическая арка — задает тему огня и развивает апокалиптическую тему.

Источник

shuwany.rs

Треугольники

Задача

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K.

Найти площадь параллелограмма, если BC=19,  а расстояние от точки K до стороны AB равно 10.

Дано: ABCD — параллелограмм,

AK, BK — биссектрисы углов BAD и ABC,

AK∩BK=K, KF⊥AB,

KF=10, BC=19

Найти: S_ABCD

Читать далее

Задача

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8.

Найти стороны треугольника ABC.

Дано: ΔABC,

AD — медиана, BE — биссектриса,

AD=BE=8, AD⊥BE

Найти: AB, BC, AC

Читать далее

Задача

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно16 и 34, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB.Найти площадь трапеции.

Дано: ABCD — трапеция, AD || BC, BC=2,

AB=16, CD=34, DF — биссектриса ∠ADC, F — середина AB

Найти: S_ABCD

Решение:

Читать далее

Задача

На стороне BC остроугольного треугольника ABC (AB≠BC) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=49, MD=42, H — точка пересечения высот треугольника ABC.

Найти AH.

Читать далее

Задача

В треугольнике ABC известны длины сторон AB=28, AC=56,  точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найти CD.

Читать далее

Задача

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5:4, считая от точки B. Найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=12.

Решение:

Пусть биссектриса угла A пересекает высоту BD треугольника ABC в точке F.

По условию, BF:FD=5:4.

Рассмотрим треугольник ABD, ∠ADB=90°.

Читать далее

Задача

Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=5 и MB=10. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найти CD.

Дано: ΔABC вписан в окр.(O;R),

CM — биссектриса ∠ACB, CD — касательная к окр.(O;R),

AM=5, MB=10, CD∩AB=D

Найти: CD

Читать далее

www.treugolniki.ru

Треугольник, все про треугольники

Определение треугольника

В любом треугольнике три угла и три стороны.

Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

Виды треугольников

Треугольники бывают

Треугольник называется

Основные линии треугольника

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектрисой угла треугольника называется луч, исходящий из вершины треугольника и делящий его пополам.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или ее продолжение).

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника и параллельный третьей стороне.

В любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность.

Два треугольника называются равными, если у них равны соответствующие стороны и соответствующие углы.

Признаки равенства треугольников

I признак (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

II признак (по стороне и прилежащим углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

III признак (по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подробнее про признаки равенства треугольников читайте по ссылке.

Признаки подобия треугольников

Треугольники называются подобными, если их стороны пропорциональны.

I признак. Если два угла одного треугольника раны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

II признак. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

III признак. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Подробнее про признаки подобия треугольников читайте по ссылке.

Теоремы треугольников

Для любого треугольника справедливы следующие теоремы.

Подробнее про теорему косинусов читайте по ссылке.

Подробнее про теорему синусов читайте по ссылке.

Примеры решения задач

ru.solverbook.com