Вычисление и сравнение логарифмов – Приемы и методы сравнения логарифмов

Приемы и методы сравнения логарифмов

Разделы: Математика


Сравнение значений логарифмов или значения логарифма с некоторым числом встречается в школьной практике решения задач не только как самостоятельная задача. Сравнивать логарифмы приходится, например, при решении уравнений и неравенств. Материалы статьи (задачи и их решения) располагаются по принципу “от простого к сложному” и могут быть использованы для подготовки и проведения урока (уроков) по данной теме, а также на факультативных занятиях. Количество рассматриваемых задач на уроке зависит от уровня класса, его профильного направления. В классах с углубленным изучением математики этот материал может быть использован для двухчасового урока-лекции.

1. (Устно.) Какие из функций являются возрастающими, а какие убывающими:

Замечание.

Это упражнение является подготовительным.

2. (Устно.) Сравните с нулем:


Замечание. При решении упражнения № 2 можно использовать как свойства логарифмической функции с привлечением графика логарифмической функции, так и следующее полезное свойство:

если положительные числа a и b лежат на числовой прямой правее 1 или левее 1 (то есть a>1 и b>1 или 0<a<1 и 0<b<1), то logab > 0 ;
если положительные числа a и b лежат на числовой прямой по разные стороны от 1(то есть 0<a<1<b или 0<b<1<a), то logab < 0
[4].

Покажем использование этого свойства при решении № 2(а).

Так как

Так как функция y = log7t возрастает на R+, 10 > 7, то log710 > log

77, то есть log710 > 1. Таким образом, положительные числа sin3 и log710 лежат по разные стороны от 1. Следовательно, logsin3log710 < 0.

3. (Устно.) Найдите ошибку в рассуждениях:

. Функция y = lgt возрастает на R+, тогда ,

Разделим обе части последнего неравенства на . Получим, что 2 > 3.

Решение.

Положительные числа и 10 (основание логарифма) лежат по разные стороны от 1. Значит, < 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.

4. (Устно.) Сравните числа:

Замечание. При решении упражнений № 4(a–c) используем свойство монотонности логарифмической функции. При решении № 4(d) используем свойство:

если c > a >1, то при b>1 справедливо неравенство logab > logcb.

Решение 4(d).

Так как 1 < 5 < 7 и 13 > 1, то log513 > log713.

5. Сравните числа log26 и 2.

Решение.

Первый способ (использование монотонности логарифмической функции).

2 = log24;

Функция y = log2t возрастает на R+, 6 > 4. Значит, log26 > log24  и log25 > 2.

Второй способ (составление разности).

Составим разность .

6. Сравните числа и -1.

Решение.

-1 = ;

Функция y =   убывает на R+, 3 < 5. Значит, >  и

> -1.

7. Сравните числа и 3log826.

Решение.

Функция y = log2t возрастает на R+, 25 < 26. Значит, log225 < log226  и .

Решение.

Первый способ.

Умножим обе части неравенства на 3: 

Функция y = log 5t возрастает на R+ , 27 > 25. Значит,

Второй способ.

Составим разность
. Отсюда .

9. Сравните числа log426 и log617.

Решение.

Оценим логарифмы, учитывая, что функции y = log4t и y = log6t возрастающие на

R+:

Решение.

Учитывая, что функции   убывающие на R+, имеем:

. Значит,

Замечание. Предложенный метод сравнения называют методом “вставки” или методом “разделения” (мы нашли число 4, разделяющее данные два числа).

11. Сравните числа log23 и  log35.

Решение.

Заметим, что оба логарифма больше 1, но меньше 2.

Первый способ. Попробуем применить метод “разделения”. Сравним логарифмы с числом .

Второй способ (умножение на натуральное число).

Замечание 1. Суть методаумножения на натуральное число” в том, что мы ищем натуральное число k, при умножении на которое сравниваемых чисел

a и b получают такие числа ka и kb, что между ними находится хотя бы одно целое число.

Замечание 2. Реализация вышеописанного метода бывает весьма трудоемка, если сравниваемые числа очень близки друг к другу.
В этом случае можно попробовать сравнение методом “вычитания единицы”. Покажем его на следующем примере.

12. Сравните числа log78 и log67.

Решение.

Первый способ (вычитание единицы).

Вычтем из сравниваемых чисел по 1.

В первом неравенстве мы воспользовались тем, что

если c > a > 1, то при b > 1 справедливо неравенство logab > logcb.

Во втором неравенстве – монотонностью функции y = loga

x.

Замечание. Вычитать из сравниваемых чисел можно любое натуральное число n. При этом часто бывает достаточно взять n = 1.

Второй способ (применение неравенства Коши).

13. Сравните числа log2472 и log1218.

Решение.

14. Сравните числа log2080 и log80640.

Решение.

Решение.

Пусть log25 = x . Заметим, что x > 0.

Получаем неравенство .

Найдем множество решений неравенства , удовлетворяющих условию x > 0.

Возведем обе части неравенства

в квадрат (при x > 0 обе части неравенства положительны). Имеем 9x2 < 9x + 28.

Множеством решений последнего неравенства является промежуток .

Учитывая, что x > 0, получаем: .

Ответ: неравенство верно.

Практикум по решению задач.

1. Сравните числа:

2. Расположите в порядке возрастания числа:

3. Решите неравенство 44 – 2·24+1 – 3 < 0. Является ли число √2 решением данного неравенства? (Ответ: (–∞; log23); число √2 является решением данного неравенства.)

Заключение.

Методов сравнения логарифмов много. Цель уроков по данной теме – научить ориентироваться в многообразии методов, выбирать и применять наиболее рациональный способ решения в каждой конкретной ситуации.

В классах с углубленным изучением математики материал по данной теме может быть изложен в форме лекции. Такая форма учебной деятельности предполагает, что материал лекции должен быть тщательно отобран, проработан, выстроен в определенной логической последовательности. Записи, которые делает учитель на доске, должны быть продуманными, математически точными.

Закрепление лекционного материала, отработку навыков по решению задач целесообразно проводить на уроках-практикумах. Цель практикума – не только закрепить и проверить полученные знания, но и пополнить их. Поэтому задания должны содержать задачи разного уровня, от самых простых задач до задач повышенной сложности. Учитель на таких практикумах выступает в роли консультанта.

Литература.

  1. Галицкий М.Л. и др.Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: Метод. рекомендации и дидактические материалы: Пособие для учителя.– М.: Просвещение, 1986.
  2. Зив Б.Г., Гольдич В.А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – СПб.: “ЧеРо-на-Неве”, 2003.
  3. Литвиненко В.Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия.: Учебное издание. – М.: Просвещение, 1990.
  4. Рязановский А.Р. Алгебра и начала анализа:500 способов и методов решения задач по математике для школьников и поступающих в вузы. – М.: Дрофа, 2001.
  5. Садовничий Ю.В. Математика. Конкурсные задачи по алгебре с решениями. Часть 4. Логарифмические уравнения, неравенства, системы. Учебное пособие.-3-е изд., стер.-М.:Издательский отдел УНЦДО, 2003.
  6. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И.Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред.шк.– М.: Просвещение, 1991.

15.05.2011

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Сравнение логарифмов

Ни для кого не секрет, что с помощью применения логарифмов мы упрощаем довольно много сложных алгебраических операций и не только. Логарифмы дают возможность заменять более сложные операции умножения на операции сложения, деление на вычитание. Согласитесь, ведь это намного проще. Если уже быть совсем точными, то логарифм заданного числа – это показатель степени, в которую нужно возвести другое, также заданное число, чтобы получить данное. На первый взгляд все запутано и непонятно, но это только на первый, на самом деле, все до нельзя просто. Для того, чтобы закреплять знания о логарифмах (да и не только о них), конечно же, рекомендовано после прочтения теории выполнять самостоятельные практические упражнения, это не только поможет усвоить материал, но и выявить все недочеты.

Но вернемся к логарифмам, а точнее к их сравнению. Разумеется, вам в голову может прийти вопрос: «что такое сравнение логарифмов? и как это делается?».

Зачем мы сравниваем логарифмы? Ответ достаточно прост. При решении неравенств и уравнений, довольно часто возникает вопрос, когда нужно определить принадлежность корня области допустимых значений или же сделать соотношение решений двух или более неравенств на числовой прямой, а решение, при этом, выражается иррациональным числом, которое, в свою очередь, записано с помощью логарифма. Вот тут-то нам и необходимо сравнение этих логарифмов.

Существуют несколько способов сравнения логарифмов. Какой из них использовать зависит, в первую очередь, от того, одинаковые основания у логарифмов или нет. Если первый вариант, то тут выход один – использовать монотонность логарифмических функций.

Если числа равные, но основания разные, то тут можно пойти несколькими путями:

  1. Графический способ
  2. Сравнение логарифмов через переход к одному основанию
  3. Метод оценки
  4. введение промежуточного числа
  5. Алгебраические методы, которые, в свою очередь делятся еще на несколько.

Например: log[2,x]>log[4,x]

Сравнение логарифмов

Если 0  
1
 
2
, то
log  
a
x  
1
> log  
a
x  
2
— знак неравенства меняется
Если a > 1 и 0  
1
 
2
, то
log  
a
x  
1
 
a
x  
2
— знак неравенства не меняется
Если 1 1, то log  
a
x > log  
b
x
Если 0 1, то log  
a
x > log  
b
x

mateshka.ru

Практическая работа по математике на тему «ВЫЧИСЛЕНИЕ И СРАВНЕНИЕ ЛОГАРИФМОВ»

Математика 1 курс 234 часа

Шаповалова Н.В.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Тема работы: ВЫЧИСЛЕНИЕ И СРАВНЕНИЕ ЛОГАРИФМОВ.

Тип занятия: практическое занятие.

Цели работы:

  • Образовательная – закрепить понятие логарифма, научить применять свойства логарифмов при решении логарифмических выражений;

  • Развивающая — содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать; формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;

  • Воспитательная — вырабатывать самостоятельность при работе на уроке; способствовать формированию максимальной работоспособности.

Организационный момент: дежурные, отсутствующие.

Ход работы:

Основная часть урока

Повторение лекционного материала

Задачи этапа: повторить пройденный материал, необходимый для выполнения практической работы.

Рассмотрим действие обратное действию возведения в степень – нахождение логарифма

Вопрос: в какую степень надо возвести число 3, чтобы получить 243?

Ответ на этот вопрос дает действие нахождения логарифма

Говорится так: «логарифм по основанию 3 от числа 243». Тройка (маленькая и пишется чуть ниже) называется «основанием логарифма», а число 243 так и называют «числом». 

Найти логарифм – это значит найти показатель степени, в которую надо возвести основание логарифма, чтобы получить стоящее под логарифмом число.

Определения

Логарифмом числа b по основанию a называется такое число, обозначаемое , что . Т.е. .

a – основание логорифма,

Десятичный логарифм: .

Натуральный логарифм: , где e=2,71828…

Функция, заданная формулой , где , называется логарифмической

Основные логарифмические тождества.

Примеры

Закрепление нового материала:

Задачи этапа: научить применять практические приемы решения показательных уравнений

Практические задания:

Задание на дом: невыполненные задания завершить и сдать на следующее занятие.

Вопросы:

  1. Определение логарифма.

  2. Виды логарифмов.

  3. Что такое основание логарифма, что оно показывает?

  4. Как задается логарифмическая функция?

  5. Перечислите основные логарифмические свойства.

infourok.ru

§3. Логарифм числа. Свойства логарифмов. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс: уроки, тесты, задания.

1. Определение логарифма (основание — целое число)

Сложность: лёгкое

1
2. Определение логарифма (основание — дробь)

Сложность: лёгкое

1
3. Вычисление десятичного логарифма

Сложность: лёгкое

1
4. Вычисление логарифма, десятичные дроби

Сложность: лёгкое

1
5. Вычисление логарифма, обычные дроби

Сложность: лёгкое

1
6. Логарифм произведения

Сложность: лёгкое

2
7. Логарифм частного

Сложность: лёгкое

2
8. Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию

Сложность: лёгкое

2
9. Сумма логарифмов, логарифм степени

Сложность: лёгкое

3
10. Применение свойств логарифмов, сумма логарифмов

Сложность: лёгкое

1
11. Применение свойств логарифмов, разность и сумма логарифмов

Сложность: лёгкое

3
12. Формула перехода логарифма к новому основанию

Сложность: лёгкое

1
13. Числовое значение выражения (сумма)

Сложность: лёгкое

3
14. Значение выражения (целые числа)

Сложность: лёгкое

3
15. Числовое значение выражения (разность)

Сложность: лёгкое

3
16. Основное логарифмическое тождество (сложение)

Сложность: среднее

3
17. Основное логарифмическое тождество (вычитание)

Сложность: среднее

3
18. Основное логарифмическое тождество (произведение)

Сложность: среднее

3
19. Основное логарифмическое тождество (основание — дробь)

Сложность: среднее

4
20. Основное логарифмическое тождество (произведение степеней)

Сложность: среднее

3
21. Основное логарифмическое тождество (основание — натуральное число)

Сложность: среднее

4
22. Основное логарифмическое тождество (логарифм степени)

Сложность: среднее

4
23. Свойства логарифмов (степени и произведения)

Сложность: среднее

4
24. Свойства логарифмов (степени и частного)

Сложность: среднее

4
25. Логарифм степени (произведение)

Сложность: среднее

3
26. Логарифм степени (частное)

Сложность: среднее

5
27. Свойства логарифмов (степень основания, основное логарифмическое тождество)

Сложность: среднее

7
28. Основное тождество логарифмов

Сложность: среднее

2
29. Формула перехода к другому основанию, основаное логарифмическое тождество

Сложность: среднее

4
30. Логарифм произведения (сумма кубов)

Сложность: среднее

3
31. Неизвестное под знаком логарифма

Сложность: среднее

2
32. Неизвестное основание логарифма (целое число)

Сложность: среднее

2
33. Неизвестное основание логарифма (обыкновенная дробь)

Сложность: среднее

3
34. Определение логарифма (неизвестный показатель степени)

Сложность: сложное

4
35. Свойства логарифмов

Сложность: сложное

7
36. Формула перехода к новому основанию (метод подстановки)

Сложность: сложное

7
37. Логарифм произведения (тригонометрическое выражение)

Сложность: сложное

7
38. Логарифм произведения

Сложность: сложное

5
39. Логарифм произведения

Сложность: сложное

5
40. Область допустимых значений логарифма

Сложность: сложное

4
41. Определение логарифма (неизвестный показатель степени)

Сложность: сложное

4
42. Определение логарифма (неизвестное основание)

Сложность: сложное

6

www.yaklass.ru

Логарифмы. Единые государственные экзамены, ЕГЭ по математике: уроки, тесты, задания.

1. Вычисление десятичного логарифма

Сложность: лёгкое

1
2. Вычисление логарифма

Сложность: лёгкое

1
3. Вычисление логарифма

Сложность: лёгкое

1
4. Применение свойств логарифмов

Сложность: лёгкое

1
5. Применение свойств логарифмов

Сложность: лёгкое

3
6. Формула перехода логарифма к новому основанию

Сложность: лёгкое

1
7. Использование основного тождества логарифмов

Сложность: среднее

2
8. Сравнение логарифмов

Сложность: лёгкое

1
9. Нахождение области определения логарифма

Сложность: среднее

1
10. Нахождение области определения логарифма

Сложность: среднее

2
11. Определение основания логарифма

Сложность: среднее

2
12. Логарифмическое уравнение,определение логарифма

Сложность: лёгкое

1
13. Логарифмическое уравнение,определение логарифма

Сложность: лёгкое

3
14. Логарифмическое уравнение(неизвестно основание)

Сложность: среднее

4
15. Логарифмическое уравнение(произведение равно 0)

Сложность: среднее

2
16. Логарифмическое уравнение (свойства логарифмов)

Сложность: среднее

4
17. Логарифмическое уравнение (свойства логарифмов)

Сложность: среднее

3
18. Логарифмическое уравнение (логарифм в квадрате)

Сложность: среднее

3
19. Логарифмическое уравнение (новая переменная)

Сложность: среднее

4
20. Логарифмическое уравнение (новая переменная)

Сложность: среднее

5
21. Логарифмическое уравнение (разлож. на множит.)

Сложность: среднее

5
22. Логарифмическое уравнение с тригонометрией

Сложность: сложное

7
23. Логарифмическое уравнение (графический способ)

Сложность: сложное

3
24. Логарифмическое неравенство(основание меньше 1)

Сложность: лёгкое

1
25. Логарифмическое неравенство (квадратичное)

Сложность: среднее

2
26. Логарифмическое неравенство (квадратичное)

Сложность: среднее

2
27. «Ц-Уровень» Логарифмическое неравенство

Сложность: сложное

1

www.yaklass.ru

Вычисление значения логарифмического выражения

В этой статье вы познакомитесь со всеми типами логарифмических выражений из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

16 видео помогут вам понять как использовать свойства логарифмов при упрощении логарифмических выражений.

Вы можете попытаться решить каждый пример самостоятельно, и затем свериться с ответом. А можете сначала посмотреть видео с решением аналогичного задания.

Пример 1.  Найти значение выражения:

Посмотреть ответ:

показать

Ответ: 6

Видеорешение аналогичного задания:

 

Пример 2.  Найти значение выражения: Посмотреть ответ:

показать

Ответ: 30

Видеорешение аналогичного задания:

 

Пример 3.  Найти значение выражения: Посмотреть ответ:

показать

Ответ: 0,125

Видеорешение аналогичного задания:

 

Пример 4.  Найти значение выражения: Посмотреть ответ:

показать

Ответ: 1,5

Видеорешение аналогичного задания:

 

Пример 5.  Найти значение выражения: Посмотреть ответ:

показать

Ответ: 3

Видеорешение аналогичного задания:

 

Пример 6.  Найти значение выражения:

Посмотреть ответ:

показать

Ответ: 3

Видеорешение аналогичного задания:

 

Пример 7.  Найти значение выражения:Посмотреть ответ:

показать

Ответ: 0,75

Видеорешение аналогичного задания:

 

Пример 8.  Найти значение выражения:Посмотреть ответ:

показать

Ответ: 216

Видеорешение аналогичного задания:

 

Пример 9.  Найти значение выражения:
Посмотреть ответ:

показать

Ответ: 1

Видеорешение аналогичного задания:

 

Пример 10.  Найти значение выражения:Посмотреть ответ:

показать

Ответ: 0,75

Видеорешение аналогичного задания:

 

Пример 11. Найти значение выражения:Посмотреть ответ:

показать

Ответ: 1

Видеорешение аналогичного задания:

 

Пример 12.  Найти значение выражения:Посмотреть ответ:

показать

Ответ: 3

Видеорешение аналогичного задания:

 

Пример 13.  Найти значение выражения:Посмотреть ответ:

показать

Ответ: -2

Видеорешение аналогичного задания:

 

Пример 14.  Найти значение выражения:Посмотреть ответ:

показать

Ответ: 0,5625

Видеорешение аналогичного задания:

 

Пример 15.  Найти значение выражения:Посмотреть ответ:

показать

Ответ: -0,2

Видеорешение аналогичного задания:

 

Пример 16.  Найти значение выражения:

Посмотреть ответ:

показать

Ответ: 25

Видеорешение аналогичного задания:

 

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.


ege-ok.ru

Логарифмы. Логарифмические формулы. Свойства логарифмов

Факт 1.
\(\bullet\) Логарифм по основанию \(a\) от \(b\) – это число \(t\), которое показывает, в какую степень нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\).
Ограничения: числа \(a\) и \(b\) такие, что \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\).
\[\Large{{\color{blue}{\log_a{b}=t\quad\Leftrightarrow\quad a^t=b }}}\]
Т.к. мы имеем право возводить в любую степень, то \(t\in \mathbb{R}\).
Таким образом, верно основное логарифмическое тождество \[{\Large{a^{\log_ab}=b}}\]
\(\bullet\) Справедливы следующие формулы: \[{\large{\begin{array}{|ll|l|} \hline \qquad \qquad \qquad \qquad {\small{\text{Формулы}}} && \qquad \qquad{\small{\text{Ограничения}}}\\ &&\\ \hline \textbf{(1)} \log_a1=0&&a>0, a\ne 1\\ &&\\ \textbf{(2)} \log_aa=1 &&a>0, a\ne 1\\ &&\\ \textbf{(3)} \log_{a}{b^m}=m\log_a|b|&(m — {\small{\text{четн.}}})&a>0, a\ne 1, b\ne 0\\ &&\\ \textbf{(4)}\log_{a}{b^m}=m\log_ab& (m — {\small{\text{нечетн.}}})&a>0, a\ne 1, b>0\\ &&\\ \textbf{(5)} \log_{a^n}{b}=\frac 1n\log_{|a|}b&(n — {\small{\text{четн.}}})&a\ne 0, a\ne 1, b>0\\ &&\\ \textbf{(6)}\log_{a^n}b=\frac1n\log_ab&(n — {\small{\text{нечетн.}}})&a>0, a\ne 1, b>0\\ &&\\ \textbf{(7)} \log_a{bc}=\log_a|b|+\log_a|c|&&a>0, a\ne 1, bc\ne 0\\ &&\\ \textbf{(8)} \log_a{\dfrac bc}=\log_a|b|-\log_a|c|&&a>0, a\ne 1,bc\ne 0 \\ &&\\ \textbf{(9)} a^{\log_ab}=b &&a>0, a\ne 1, b>0\\ &&\\ \textbf{(10)}c^{\log_ab}=b^{\log_ac}&&a>0, a\ne 1, b>0, c>0\\ &&\\ \textbf{(11)} \log_ab\cdot \log_bc=\log_ac && a>0, a\ne 1,b>0, b\ne 1, c>0\\ &&\\ \textbf{(11′}) \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}&&a>0, a\ne 1,b>0, b\ne 1, c>0\\ &&\\ &&\\ {\small{\text{ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:}}}&& \\ \textbf{(12)} \log_ab\cdot \log_ba=1 && a>0, a\ne 1, b>0, b\ne 1\\ &&\\ \textbf{(12′}) \log_ab=\dfrac1{\log_ba}&&a>0, a\ne 1, b>0, b\ne 1\\ &&\\ \hline \end{array}}}\]

Заметим, что при выполнении ограничений данные формулы верны в обе стороны!

 

shkolkovo.net

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.