Что такое полупериметр параллелограмма – Полупериметр параллелограмма равен 26 см а сумма 22 см . Найдите стороны параллелограмма ??

Периметр и площадь параллелограмма

Параллелограммом называют четырехугольник у которого противоположные стороны параллельны между собой. Основные задачи в школе по данной теме заключаются в вычислении площади параллелограмма, его периметра, высоты, диагоналей. Указанные величины и формулы для их вычисления будут приведены ниже.

Свойства параллелограмма

Противоположные стороны параллелограмма как и противоположные углы равны между собой:
AB=CD, BC=AD,

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся на две равные части:

АО=OC, OB=OD.

Углы прилегающие к любой стороне (соседние углы) в сумме равны 180 градусов.


Каждая из диагоналей параллелограмма делит его на два одинаковые по площади и геометрическими размерами треугольники.

Еще одно замечательное свойство которое часто применяют при решении задач состоит в том, что сумма квадратов диагоналей в параллелограмме равна сумме квадратов всех сторон:

AC^2+BD^2=2*(AB^2+BC^2).

Основные признаки параллелограммов:

1. Четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны является параллелограммом.
2. Четырехугольник с равными противоположными сторонами является параллелограммом.
3. Четырехугольник с равными и параллельными противоположными сторонами является параллелограммом.
4. Если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам то это параллелограмм.
5. Четырехугольник у которого противоположные углы попарно равны является параллелограммом

Биссектрисы параллелограмма

Биссектрисы противоположных углов в параллелограмме могут быть параллельными или совпадать.

Биссектрисы соседних углов ( прилегающие к одной стороне ) пересекаются под прямым углом (перпендикулярные).

Высота параллелограмма

Высота параллелограмма — это отрезок который проведен с угла перпендикулярно к основанию. Из этого следует что из каждого угла можно провести две высоты.

Формула площади параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту проведенную к ней. Формула площади следующая

Вторая формула не менее популярная при вычислениях и определяется так: площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон на синус угла между ними

На основе приведенных формул Вы будете знать как вычислить площадь параллелограмма.

Периметр параллелограмма

Формула для вычисления периметру параллелограмма имеет вид

то есть периметр равен удвоенному значению суммы сторон. Задачи на параллелограмм будут рассмотрены в соседних материалах, а пока изучайте формулы. Большинство задач по вычислению сторон, диагоналей параллелограмма достаточно просты и сводятся к знанию теоремы синусов и теоремы Пифагора.

Посмотреть материалы:

yukhym.com

Параллелограмм

Развернуть структуру обучения Свернуть структуру обучения
  • Описание курса
  • Аксиомы планиметрии
  • Точки, отрезки и прямые
  • Угол. Углы на плоскости
  • Площадь геометрической фигуры
  • Окружность. Уравнение окружности
  • Треугольник (Трикутник)
  • Четырехугольник
  • Тригонометрия
    • Тангенс и его свойства
    • Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике
    • Тригонометрический круг
    • Радианы и градусы. Радiани i градуси
    • Таблица значений тригонометрических функций
      • Синус, ко синус, тангенс угла 15 градусов (sin 15 cos 15 tg 15)
      • Синус, косинус и тангенс угла 30 градусов (sin cos tg 30) — таблица значений
      • Синус, косинус, тангенс угла 45 градусов (sin 45, cos 45, tg 45)
      • Синус, косинус, тангенс угла 30 и 60 градусов (sin cos tg 30 и 60)
      • Синус, косинус, тангенс угла 105 градусов (sin 105 cos 105 tg 105)
      • Синус, ко синус, тангенс угла 120 градусов (sin 120 cos 120 tg 120)
    • Тригонометрические тождества и преобразования
  • Многоугольники

Параллелограмм  — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Как выглядит параллелограмм

  

На приведенном рисунке параллелограмм обозначен синими линиями.

Элементы параллелограмма, указанные на рисунке:
ABCD — параллелограмм, у которого противолежащие стороны попарно параллельны ( AB параллельна CD, а BC параллельна AD)
BH — высота параллелограмма, опущенная из точки B на основание AD (на рисунке обозначена красным цветом)
AC и BD — диагонали параллелограмма.

Свойства параллелограмма

  • Противоположные стороны параллелограмма равны
  • Противоположные углы параллелограмма равны
  • Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма
  • Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. (см. формулу ниже)
  • Сумма всех углов равна 360°
  • Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей и делятся этой точкой пополам
  • Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон (см. формулу ниже)


Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:
  • Противоположные стороны попарно равны
  • Противоположные стороны попарно параллельны и равны
  • Противоположные углы попарно равны
  • Диагонали делятся в точке их пересечения пополам
  • Сумма соседних углов равна 180 градусов
  • Две стороны равны и параллельны

Как найти площадь параллелограмма


Формулы нахождения площади параллелограмма приведены ниже:

 
То есть:

  1. Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону
  2. Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними. Как видно из чертежа, произведение b sin α равно высоте, опущенной на другую сторону, что в итоге дает нам предыдущую формулу
  3. Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними
  4. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними 
  5. Площадь параллелограмма также можно найти через формулу Герона, рассмотрев одну из диагоналей как треугольник и вычислив удвоенную площадь этого треугольника
  6. Для нахождения полупериметра треугольника из предыдущей формулы мы используем две стороны параллелограмма и его диагональ. Поскольку каждая диагональ разбивает его на два равных треугольника, то не имеет значения, какую из диагоналей мы выберем

Как найти стороны параллелограмма



Стороны параллелограмма можно найти через:
  • Размеры диагоналей и угол между ними (формулы 1 и 2) 
  • Через длины диагоналей и одну из сторон можно найти вторую (формулы 3 и 4)
  • Через высоту, опущенную на сторону и угол между сторонами (формулы 5 и 6)
  • Через площадь и высоту, опущенную на заданную сторону, можно найти величину этой стороны (Формулы 7 и 8)

Как найти диагонали параллелограмма



  • Диагональ параллелограмма можно найти через длины его сторон и косинус угла между ними (Формулы 1-4)
  • Также диагональ может быть найдена через длины сторон и размер второй диагонали (Формулы 5-6)
  • Диагональ может быть найдена из площади, длины второй диагоналями и угла между ними (Формулы 7-8)

Как найти периметр параллелограмма



Периметр параллелограмма может быть найден:
  • через его стороны (Формула 1)
  • через одну из сторон и длину двух диагоналей (Формулы 2 и 3)
  • через сторону, высоту и угол между сторонами (Формулы 4-6)
Задачи с решениями про параллелограмм смотрите в уроках ниже:
Содержание главы:

 Трапеция, описанная вокруг окружности | Описание курса | Параллелограмм. Задачи про площадь и стороны 

   

profmeter.com.ua

Параллелограмм, свойства параллелограмма | Формулы с примерами

Определение

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

AB || CD, BC || AD, ABCD — параллелограмм.

свойства параллелограмма

Свойство 1

Противолежащие стороны параллелограмма равны:

Свойство 2

Противлежащие углы параллелограмма равны:

Свойство 3
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам: Свойство 4

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: если AB = CD = a, BC = AD = b, AC = d1, BD = d2, то:

Правило
! Утверждения, обратные утверждениям, сформулированным в свойствах 1-3, являются признаками параллелограмма. Например, если противолежащие стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

formula-xyz.ru

Параллелограмм — Википедия

Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

  • Противоположные стороны параллелограмма равны.
  • Противоположные углы параллелограмма равны.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
  • Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:
    .
  • Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
  • Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
  • Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC, и  — длины диагоналей; тогда
Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника:
учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей
. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
  • Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Признаки параллелограмма[править]

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

  1. Две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: .
  2. Все противоположные углы попарно равны: .
  3. Все противоположные стороны попарно равны: ..
  4. Все противоположные стороны попарно параллельны: .
  5. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: .
  6. Сумма соседних углов равна 180 градусов: .
  7. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру.
  8. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника:

Площадь параллелограмма[править]

Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:

, где  — сторона,  — высота, проведенная к этой стороне.

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними:

, где и  — стороны, а  — угол между сторонами a и b.

www.wikiznanie.ru

Параллелограмм. Свойства параллелограмма.

Параллелограмм это геометрическая фигура с четырьмя сторонами, где противоположные стороны  параллельны между собой. Эти противоположные стороны являются равными, поэтому весьма легко рассчитать периметр параллелограмма. Противоположные стороны параллелограмма также принято считать основанием параллелограмма.

Формула периметра параллелограмма:

P = 2(a+b), где P это периметр, а b и a это стороны параллелограмма. Можно, конечно же, и упрощенно все это рассчитать, просто суммировать все стороны параллелограмма и получить в итоге размер периметра.

Особенные свойства параллелограмма:

— противоположные углы всегда равны;

— противоположные стороны всегда равны и параллельны;

— пересекающие диагонали параллелограмма в точке пересечения определяют половину стороны параллелограмма;

— сумма углов, которые являются прилежащими к одной стороне всегда  180 градусов;

центр симметрии параллелограмма это точка пересечения биссектрис;

— сумма всех углов параллелограмма 360 градусов;

— удвоенная сумма квадрата смежных сторон параллелограмма равна сумме квадратов диагоналей;

Как определить, что четырехугольник является параллелограммом?

Для того чтобы это сделать необходимо запомнить признаки параллелограмма:

  • Это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.
  • Это четырехугольная фигура, у которой две стороны параллельны и равны одновременно.
  • Это четырехугольник, чьи биссектрисы разделяют точно пополам стороны параллелограмма в точке пересечения.

Формула площади параллелограмма:

S=a * h, где h это высота, а при этом является той стороной на которой была проведена высота.

Кроме этого, также есть более сложные формулы определения элементов параллелограмма, в том случае, когда известны одни элементы, а другие нет. В таких случаях, как правило, используются более сложные формулы. Если вам с ними трудно разобраться, поможет частный репетитор по математике.



Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

reshit.ru

Параллелограмм — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Свойства[ | ]

Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам. Противоположные углы параллелограмма равны, а сумма соседних равна 180°.
  • Противолежащие стороны параллелограмма равны.
  • Противолежащие углы параллелограмма равны.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
  • Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:
    |AO|=|OC|,|BO|=|OD|{\displaystyle \left|AO\right|=\left|OC\right|,\left|BO\right|=\left|OD\right|}.
  • Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
  • Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника.
  • Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
  • Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC, d1{\displaystyle d_{1}} и d2{\displaystyle d_{2}} — длины диагоналей; тогда
    d12+d22=2(a2+b2).{\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2}).}
Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.

encyclopaedia.bid

Периметр параллелограмма | Треугольники

Что называется периметром параллелограмма? Как найти периметр параллелограмма?

Определение

Периметром параллелограмма называется сумма длин всех его сторон.

Например, периметр параллелограмма ABCD равен

сумме длин сторон AB, BC, CD и AD.

Но так как противоположные стороны параллелограмма равны, чтобы найти периметр параллелограмма, нужно сумму длин его не противоположных сторон умножить на два.

Таким образом,

формула периметра параллелограмма:

   

 

Задача.

Периметр параллелограмма равен 38 см. Найти стороны параллелограмма, если одна из них на 5 см длиннее другой.

Рисунок — выше.

Дано: ABCD — параллелограмм, AD на 5 см больше AB,

   

Найти: AB, AD.

Решение:

Пусть AB=x см, тогда AD=(x+5) см.

   

что по условию равно 38 см. Составляем уравнение:

   

   

   

   

   

Значит, AB=7 см, AD= 7+5=12 см.

Ответ: 7 см, 12 см.

 

www.treugolniki.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.