Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках а1 а2 а3 а4 – Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках А1, А2, » СтудИзба

Объем тетраэдра — формулы, примеры расчета, калькулятор

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC. В результате получим треугольники ADC, CDB, ABD. Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками  ABC, ADC, CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC.
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Таким образом, тетраэдр – это простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника.

Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем  любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

,

где

  • S – площадь любой грани,
  • H – высота, опущенная на эту грань

Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется

правильным.
Свойства правильного тетраэдра:

  • Все грани равны.
  • Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
  • Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
  • Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a. DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD.
Высота BM равна BM и равна
Рассмотрим треугольник BDM, где DH, являющаяся  высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

, где
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим

Вынесем 1/2a. Получим



Применим формулу разность квадратов

После небольших преобразований получим


Объем  любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
,
где ,

Подставив эти значения, получим

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

где a –ребро тетраэдра

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра

Из вершины   проведем векторы , , .
Для нахождения координат каждого  из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим


 Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула

2mb.ru

9 Аналитическая геометрия

Задача 1. Написать разложение вектора по векторам

Задача 2. Коллинеарны ли векторы и, построенные по векторам

и?

векторы иколлинеарны.

Задача 3. Найти косинус угла между векторами и.

Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

и.

Задача 5. Компланарны ли векторы ,и.

векторы ,ине компланарны.

Задача 6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины

на грань.

Задача 7. Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки.

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки

Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно вектору.

Т.к. вектор искомой плоскости, то его можно взять в качестве вектора нормали, следовательно

Задача 9. Найти угол между плоскостями.

Задача 10. Найти координаты точки

, равноудаленной от точеки.

по условию

Отсюда,

Задача 11. Пусть -коэффициент гомотетии с центром в начале координат. Верно ли, что точкапринадлежит образу плоскости?

При преобразовании подобия с центром в начале координат плоскость

переходит в плоскость.

Таким образом, точка не принадлежит образу плоскости.

Задача 12. Написать канонические уравнения прямой.

Найдем координаты одной из точек, через которые проходит прямая .

Зададим координате значение.

Итак, получается точка с координатами

Уравнение прямой

Задача 13. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

Подставим в уравнение плоскости

Таким образом, координаты искомой точки

Задача 14. Найти точку , симметричную точкеотносительно прямой.

Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

— координаты точки пересечения.

Отсюда,

Следовательно, — искомая точка.

studfiles.net

Объём тетраэдра

Из основной формулы для объёма тетраэдра

(1),

 

где S – площадь любой грани, а H – опущенная на нее высота, можно вывести еще целый ряд формул, выражающих объём через различные элементы тетраэдра. Приведем эти формулы для тетраэдра ABCD

(2) ,

где ∠(AD,ABC) – угол между ребром AD и плоскостью грани ABC;

(3) ,

где ∠(ABC,ABD) – угол между гранями ABC и ABD;

(4) ,

где |AB,CD| – расстояние между противоположными ребрами AB и CD, ∠(AB,CD) – угол между этими ребрами.

 

Формулы (2)–(4) можно использовать для нахождения величин углов между прямыми и плоскостями; особенно полезна формула (4), с помощью которой можно находить расстояние между скрещивающимися прямыми AB иCD.

Формулы (2) и (3) аналогичны формуле S = (1/2)absin C для площади треугольника. Формуле S = rp аналогична формула

(5) ,

где r – радиус вписанной сферы тетраэдра, Σ – его полная поверхность (сумма площадей всех граней). Имеется и красивая формула, связывающая объём тетраэдра с радиусом R его описанной сферы (формула Крелле):

(6) ,

где Δ – площадь треугольника, стороны которого численно равны произведениям противоположных ребер (AB×CD, AC×BD,AD×BC). Из формулы (2) и теоремы косинусов для трехгранных углов (см. Сферическая тригонометрия) можно вывести формулу, аналогичную формуле Герона для треугольников:

(7) ,

где α, β, γ – плоские углы BDC, CDA, ADB при вершине D, δ = (α+β+γ)/2 – их полусумма.

Наконец, приведем векторную формулу:

(8) ,

где внутри модуля стоит смешанное произведение векторов. С помощью этой формулы можно вычислять объём тетраэдра, зная координаты его вершин.

 

school-collection.edu.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.