Двойные углы – Формулы двойного угла в тригонометрии

Двойные, тройные и половинные углы

тождество, в обеих частях которого стоят выражения относительно sin α и cos α: надо только выразить всюду sin α и cos α через tg(α/2), после чего, если обозначить tg(α/2) через t, получится алгебраическое тождество с одной переменной t, проверка которого может потребовать времени, но не изобретательности. Точно так же любое тригонометрическое уравнение, в котором левая и правая части выражены через sin x и cos x, сводится с помощью этих формул к алгебраическому уравнению относительно tg(x/2) (впрочем, для решения уравнений в «школьном» смысле эта подстановка мало что дает, поскольку при этом, как правило, получаются алгебраические уравнения высокой степени).

Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного угла, называются «формулами универсальной подстановки».

На формулы универсальной подстановки можно посмотреть и еще с одной стороны. Рассмотрим нашу старую знакомую — окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Уравнение этой окружности x2 +y2 = 1 можно рассматривать как рецепт проверки, принадлежит ли окружности данная точка: «подставь ее координаты (x; y) в уравнение; точка будет лежать на окружности, если при этом получится верное равенство». После того, как мы определили функции синус и косинус, появляется возможность описать окружность, что называется, параметрически, а именно задать координаты всех ее точек формулами: «точки окружности — это точки с координатами (cos α; sin α) для всевозможных чисел α». Если теперь выразить cos α и sin α через t = tg(α/2), то точки окружности окажутся заданными с помощью формул, не использующих тригонометрии: точки окружности с уравнением x2 + y2 = 1 —

это точки с координатами

1

− t2

;

2t

 

для всевозможных t.1 Как

1

+ t2

1 + t2

 

говорят, координаты точек окружности задаются с помощью «рацио-

 

 

 

 

 

 

 

нальных функций» от t (рациональная функция — это функция, для вычисления значения которой достаточно четырех действий арифметики и возведения в целую степень).

Представим теперь, что кривая задается не уравнением x2+y2 = 1, акаким-тодругим алгебраическим уравнением. Спрашивается, можно ли

1Строго говоря, эти формулы задают все точки окружности, кроме (−1; 0). Мы не будем обращать внимания, если конечное число точек формулой не охватывается.

studfiles.net

Формулы двойного угла: тождества и примеры

 

Формулы сложения позволяют выразить sin(2*a), cos(2*a) и tg(a) через тригонометрические функции угла a.

1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) – sin(a)*sin(b).

2. sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b).

3. tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1–tg(a)*tg(b)).

Положим в этих формулах a = b. В результате получим следующие тождества:

1. sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a).

2. cos(2*a) = (cos(a))2 – (sin(a))2.

3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a))2).

Данные тождества получили название формул двойного угла. Рассмотрим несколько примеров применения формул двойного угла.

Пример 1. Найти значение sin(2*a), зная, что cos(a) = -0,8 и a — угол 3 четверти. Решение:

Сначала вычислим sin(a). Так как угол а третья четверть, то синус в третей четверти будет отрицательным:

sin(a) = -v(1-(cos(a))2) = -v(1-0,64) = -v0,36 = -0,6.

По формуле синуса двойного угла имеем:

sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*(-0,6)*(-0,8) = 0,96.

Ответ: sin(2*a) = 0,96.

Пример 2. Упростить выражение sin(a)*(cos(a))3 – (sin(a))3*cos(a). Решение:

Вынесем за скобки sin(a)*cos(a). Получим:

sin(a)*(cos(a))3 – (sin(a))3*cos(a) = sin(a)*cos(a)*( cos(a))2 – (sin(a))2).

Теперь воспользуемся формулами двойного угла:

= (1/2)*(2*sin(a)*cos(a))*cos(2*a) = (1/2)*sin(2*a)*sin(2*a) = (1/4)*sin(4*a).

Ответ: sin(a)*(cos(a))3 – (sin(a))3*cos(a) = (1/4)*sin(4*a).

Используя формулы двойного угла можно получить следующие выражения

1 — cos(2*a) = 2*(sin(a))2,

1 + cos(2*a) = 2*(cos(a))2.

Иногда при решении примеров бывает очень удобно использовать эти формулы. Рассмотрим следующий пример:

Пример 3. Упростить выражение (1-cos(a))/(1+cos(a)). Решение:

Применим формулы, записанные выше, для выражений (1-cos(a)) и (1+cos(a)). Для этого прежде представим угол а в виде следующего произведения 2*(a/2).

В результате преобразований получаем:

(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2))2)/(2*(cos(a/2))2),

Используя определение тангенса имеем:

(2*(sin(a/2))2)/(2*(cos(a/2))2)= (tg(a/2))2.

Ответ: (1-cos(a))/(1+cos(a) )= (tg(a/2))2

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Формулы сложения основных тригонометрических функций
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspЭлектронный учебник по физике: все темы школьной программы

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Тригонометрические формулы двойного углаФормулы по геометрии

Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого угол ACB прямой.

a, b – катеты прямоугольного треугольника

c – гипотенуза прямоугольного треугольника

α – угол треугольника, противолежащий стороне a

A, B, C – вершины треугольника

 

Синус двойного угла sin (2α) равен:

 

 

Косинус двойного угла cos (2α) равен:

 

 

 

 

 

 

 

Тангенс двойного угла tg (2α) равен:

 

 

 

Котангенс двойного угла ctg (2α) равен:

 

Все формулы по теме Тригонометрические формулы двойного угла:

formylu.ru

Тангенс двойного угла, формула и примеры

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Формула для тангенса двойного угла имеет вид:

   

Вывод формулы тангенса двойного угла

Ее можно получить, используя формулу для тангенса суммы углов

   

положив в ней . Действительно,

   

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Упростить выражение

   

Решение Приведем заданную разность к общему знаменателю:

   

т.е.

   

Ответ
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Котангенс двойного угла, формула и примеры

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Формула для
котангенса двойного угла

   

Вывод формулы котангенса двойного угла

Ее можно получить, используя формулу для котангенса суммы углов

   

положив в ней . Действительно,

   

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2
Задание Упростить выражение

   

Решение Воспользуемся формулами

   

Преобразуем заданное выражение к виду

   

Ответ
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.