Высшая математика для экономистов Н.Ш.Кремер 2010
Система линейных однородных уравнений 51, 52
———— ,исследование 51, 52
———— ,общее решение 52
———— ,свойства решений 52
— нормальных уравнений 428, 439
Скалярное произведение векторов 66, 76
———,свойства 76
———,экономический смысл 76 Скалярный квадрат вектора 67 Сложение векторов 64
—комплексных чисел 443
—матриц 12
Сложная функция 133
Собственный вектор линейного оператора (матрицы) 84
Собственное значение линейного оператора (матрицы) 82, 83
Сочетания, число сочетаний из п пот 49
Способы задания функции 127 Средние издержки 207, 242 Средний доход 197 Стационарная точка 221, 416 Степенной ряд 381—399
——биномиальный 389
——, интервал сходимости 382
——, необходимое и достаточное условие сходимости 387
——, область сходимости 381—386
——, применение в приближен ных вычислениях 391—394,398, 399
——, радиус сходимости 382—383
——, свойства 386
Строго монотонная функция 128 Сумма векторов 64, 69
—линейных операторов 80
—матриц 12, 13
—ряда 358, 359, 375
Суперпозиция функций 133 Сходимость ряда358
—— ,свойства 361, 362
Темп изменения функции 190 Теорема Абеля 381, 382
—Больцано—Коши167
—Вейерштрасса 166
—Крамера 41, 42
—Кронекера—Капелли48
—Лагранжа212, 213
—Лапласа 21, 22
—Римана 375
—Ролля 211, 212
—Ферма 210, 211
——, экономический смысл 242
— о единственности представления вектора линейного пространства 72, 73
——зависимости между матрица ми оператора в разных базисах 81
——законе инерции квадратичных форм 89
——матрице оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов 84, 85
——множестве первообразных 255
——неизменности ранга матрицы при элементарных преобразо ваниях 31
——перпендикулярности градиен та линии уровня 414
——погружении дискретного ар гумента в непрерывный 376
——приведении квадратичной формы к каноническому виду
88
———производнойинтеграла по верхнему пределу295—297
— обратной функции 187, 188
studfiles.net
Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов [PDF]
Учебник. — 3-е изд. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. — 479 с. — (Золотой фонд российских учебников). — ISBN 978-5-238-00991-9.Коллектив авторов (под ред. проф. H.Ш. Кремера): проф. Н.Ш. Кремер, доц. Б.А. Путко, доц. И.М. Тришин, доц. М.Н. Фридман.)Эта книга — не только учебник, но и краткое руководство к решению задач по основам высшей математики. Излагаемые в достаточно краткой форме с необходимыми обоснованиями основные положения учебного материала сопровождаются большим количеством задач, приводимых с решениями и для самостоятельной работы. Там, где это возможно, раскрывается экономический смысл математических понятий, приводятся простейшие приложения высшей математики в экономике (балансовые модели, предельный анализ, эластичность функций, производственные функции, модели динамики и т.п.).Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностямСодержание
Предисловие.
Введение.
Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии.
Матрицы и определители.
Основные сведения о матрицах.
Операции над матрицами.
Определители квадратных матриц.
Свойства определителей.
Обратная матрица.
Ранг матрицы.
Системы линейных уравнений.
Основные понятия и определения.
Система n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера.
Метод Гаусса.
Система m линейных уравнений с n переменными.
Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.
Решение задач.
Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).
Элементы матричного анализа.
Векторы на плоскости и в пространстве.
n -мерный вектор и векторное пространство.
Размерность и базис векторного пространства.
Переход к новому базису.
Евклидово пространство.
Линейные операторы.
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Квадратичные формы.
Линейная модель обмена.
Уравнение линии.
Уравнение линии на плоскости.
Уравнение прямой.
Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
Окружность и эллипс.
Гипербола и парабола.
Решение задач.
Понятие об уравнении плоскости и прямой в пространстве.Введение в анализ.
Функция.
Понятие множества.
Понятие функции. Основные свойства функций.
Основные элементарные функции.
Элементарные функции. Классификация функций. Преобразование графиков.
Применение функций в экономике. Интерполирование функций.
Решение задач.
Пределы и непрерывность.
Предел числовой последовательности.
Предел функции в бесконечности и в точке.
Бесконечно малые величины.
Бесконечно большие величины.
Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела.
Замечательные пределы. Задача о непрерывном начислении процентов.
Непрерывность функции.
Решение задач. Дифференциальное исчисление.
Производная.
Задачи, приводящиеся к понятию производной.
Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
Схема вычисления производной. Основные правила дифференцирования.
Производная сложной и обратной функций.
Производные основных элементарных функций. Понятие о производных высших порядков.
Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике.
Решение задач.
Приложения производной.
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Правило Лопиталя.
Возрастание и убывание функций.
Экстремум функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Выпуклость функции. Точки перегиба.
Асимптоты графика функции.
Общая схема исследования функций и построения их графиков.
Решение задач.
Приложение производной в экономической теории.
Дифференциал функции.
Понятие дифференциала функции.
Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Понятие о дифференциалах высших порядков. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения.
Неопределенный интеграл.
Первообразная функция и неопределенный интеграл.
Метод замены переменной.
Метод интегрирования по частям.
Интегрирование простейших рациональных дробей.
Интегрирование некоторых видов иррациональностей.
Интегрирование тригонометрических функций.
Решение задач.
Об интегралах, «не берущихся» в элементарных функциях.
Определенный интеграл.
Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл.
Свойства определенного интеграла.
Определенный интеграл как функция верхнего предела.
Формула Ньютона—Лейбница.
Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
Геометрические приложения определенного интеграла.
Несобственные интегралы.
Приближенное вычисление определенных интегралов.
Использование понятия определенного интеграла в экономике.
Решение задач.
Дифференциальные уравнения.
Основные понятия.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения.
Элементы качественного анализа дифференциальных уравнений первого порядка.
Неполные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике. Ряды.
Числовые ряды.
Основные понятия. Сходимость ряда.
Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.
Ряды с положительными членами.
Ряды с членами произвольного знака.
Решение задач.
Степенные ряды.
Область сходимости степенного ряда.
Применение рядов в приближенных вычислениях.
Решение задач. Функции нескольких переменных.
Функции нескольких переменных.
Основные понятия.
Предел и непрерывность.
Частные производные.
Дифференциал функции.
Производная по направлению. Градиент.
Экстремум функции нескольких переменных.
Наибольшее и наименьшее значения функции.
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов.
Понятие двойного интеграла.
Функции нескольких переменных в экономической теории.
Решение задач.
Комплексные числа.
Арифметические операции над комплексными числами. Комплексная плоскость.
Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.Литература.
Ответы к упражнениям, размещённым в конце каждой главы.
Алфавитно-предметный указатель.
www.twirpx.com
Высшая математика для экономистов — Кремер Н.Ш.
Автор: Кремер Н.Ш.
Описание: Учебник «Высшая математика для экономистов» написан в соответствии с требованиями государственных общеобразовательных стандартов в области математики для специалистов с высшим образованием по экономическим специальностям. Он соответствует Примерной программе дисциплины «Математика», утвержденной Минобразованием РФ, и включает следующие разделы: «Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии», «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения», «Ряды», «Функции нескольких переменных». При написании курса высшей математики для экономических вузов авторы руководствовались принципом повышения уровня фундаментальной математической подготовки студентов с усилением ее прикладной экономической направленности. При введении основных понятий отдавалось предпочтение классическому подходу: так, например, понятие непрерывности функции рассматривается после понятия предела, определенный интеграл определяется как предел интегральной суммы и т.п. Всюду, где это возможно, даются геометрический и экономический смысл математических понятий (например, производной, интеграла и т.д.), приводятся математические формулировки ряда экономических законов (закона убывающей доходности, принципа убывающей предельной полезности, условия оптимальности выпуска продукции), рассматриваются простейшие приложения высшей математики в экономике (балансовые модели, предельный анализ, эластичность функции, производственные функции, модели экономической динамики и т.п.). Такие приложения рассчитаны на уровень подготовки студентов 1 курса и почти не требуют дополнительной (экономической) информации.Такое построение книги потребовало сделать и изложение теоретического материала более кратким, отказаться без существенного ущерба от малозначащих, громоздких или повторяющихся по своим идеям доказательств утверждений, отличающихся от ранее проведенных лишь техническими деталями. Вместе с тем авторы стремились к более тщательной проработке ведущих понятий и доказательств положений курса. Для лучшего усвоения учебного материала приводятся учебные алгоритмы (схемы) решения определенного круга задач.
Задачи с решениями (в том числе с экономическим содержанием) рассматриваются на протяжении всего изложения учебного материала. Более сложные, комплексные, а также дополнительные задачи с решениями приводятся в большинстве глав в последнем (или предпоследнем) параграфе «Решение задач». А задачи для самостоятельной работы даются в конце каждой главы в рубрике «Упражнения» (нумерация задач единая — начинается в основном тексте главы и продолжается в этой рубрике). Ответы задач приведены в конце книги.
Во второе издание включена новая глава «Комплексные числа», что, в частности, позволило более полно изложить раздел «Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения». В главу «Функции нескольких переменных» дополнительно включен параграф «Условный экстремум». Изложенный в нем метод множителей Лагранжа имеет важное значение в решении оптимизационных задач. Существенно расширен учебный материал глав 5, 7, 12, 15, касающийся простейших приложений высшей математики в экономике, в частности, рассмотрены элементы предельного анализа и модели экономической динамики.
В третьем издании исправлены замеченные опечатки и неточности.
Авторы выражают большую благодарность профессорам А.С. Солодовникову и В.З. Партону за рецензирование рукописи, а также студентке ВЗФЭИ М.Л. Лифшиц за помощь в выявлении опечаток первого издания.
Учебник «Высшая математика для экономистов» предназначен для студентов и аспирантов экономических вузов, экономистов и лиц, занимающихся самообразованием.
Содержание учебника
«Высшая математика для экономистов»
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
- Основные сведения о матрицах
- Операции над матрицами
- Определители квадратных матриц
- Свойства определителей
- Обратная матрица
- Ранг матрицы
- Основные понятия и определения
- Система n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера
- Метод Гаусса
- Система m линейных уравнений с п переменными
- Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
- Решение задач
- Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ)
- Векторы на плоскости и в пространстве
- n-мерный вектор и векторное пространство
- Размерность и базис векторного пространства
- Переход к новому базису
- Евклидово пространство
- Линейные операторы
- Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
- Квадратичные формы
- Линейная модель обмена
- Уравнение линии на плоскости
- Уравнение прямой
- Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой
- Окружность и эллипс
- Гипербола и парабола
- Решение задач
- Понятие об уравнении плоскости и прямой в пространстве
ФУНКЦИЯ
- Понятие множества
- Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки
- Понятие функции. Основные свойства функций
- Основные элементарные функции
- Элементарные функции. Классификация функций. Преобразование графиков
- Применение функций в экономике. Интерполирование функций
- Решение задач
- Предел числовой последовательности
- Предел функции в бесконечности и в точке
- Бесконечно малые величины
- Бесконечно большие величины
- Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела
- Замечательные пределы. Задача о непрерывном начислении процентов
- Непрерывность функции
- Решение задач
ПРОИЗВОДНАЯ
- Задачи, приводящиеся к понятию производной
- Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- Схема вычисления производной. Основные правила дифференцирования
- Производная сложной и обратной функций
- Производные основных элементарных функций. Понятие о производных высших порядков
- Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике
- Решение задач
- Основные теоремы дифференциального исчисления
- Правило Лопиталя
- Возрастание и убывание функций
- Экстремум функции
- Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- Выпуклость функции. Точки перегиба
- Асимптоты графика функции
- Общая схема исследования функций и построения их графиков
- Решение задач
- Приложение производной в экономической теории
- Понятие дифференциала функции
- Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- Понятие о дифференциалах высших порядков
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- Первообразная функция и неопределенный интеграл
- Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций
- Метод замены переменной
- Метод интегрирования по частям
- Интегрирование простейших рациональных дробей
- Интегрирование некоторых видов иррациональностей
- Интегрирование тригонометрических функций
- Решение задач
- Об интегралах, «неберущихся» в элементарных функциях
- Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл
- Свойства определенного интеграла
- Определенный интеграл как функция верхнего предела
- Формула Ньютона—Лейбница
- Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле
- Геометрические приложения определенного интеграла
- Несобственные интегралы
- Приближенное вычисление определенных интегралов
- Использование понятия определенного интеграла в экономике
- Решение задач
- Основные понятия
- Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения
- Элементы качественного анализа дифференциальных уравнений первого порядка
- Неполные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
- Основные понятия. Сходимость ряда
- Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд
- Ряды с положительными членами
- Ряды с членами произвольного знака
- Решение задач
- Область сходимости степенного ряда
- Ряд Маклорена
- Применение рядов в приближенных вычислениях
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- Основные понятия
- Предел и непрерывность
- Частные производные
- Дифференциал функции
- Производная по направлению. Градиент
- Экстремум функции нескольких переменных
- Наибольшее и наименьшее значения функции
- Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
- Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов
- Понятие двойного интеграла
- Функции нескольких переменных в экономической теории
- Решение задач
- Арифметические операции над комплексными числами. Комплексная плоскость
- Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
скачать учебник: Высшая математика для экономистов — Кремер Н.Ш.
institutiones.com
Высшая математика для экономистов Н.Ш.Кремер 2010
— бесконечный 124 Полином 133
Полуось гиперболы действительная 109
——мнимая 109
— эллипса 107 Правило Лопиталя 215—218
—многоугольника 64
—параллелепипеда 64
—параллелограмма 64
—Сарруса 17, 18
—треугольника 64
—треугольников 17, 18
Предел 143-146,155-161,167— 175
— функции в бесконечности 145, 147
———,геометрический смысл 146
———П р иX — > — оо, ПрИX — » +00
147
——в точке147—149
———— ,геометрический смысл 147, 148
——двух переменных 407, 408
——односторонний слева при
х->XQ 148
———справаприх ->XQ + 0 148
— числовой последовательности 143-145
———,геометрический смысл 145
Пределы, раскрытие неопределен ностей 168—175,236—237
Предельная величина 196
—производительность 196
—норма замещения ресурса 437, 438
—выручка 196
—полезность 196, 435
Предельные издержки 196, 242, 243 Предельный анализ 196
— доход 196, 197, 240, 241
—продукт 196 Преобразование 78
—графиков 134, 135
Признаки существования предела 157, 158
Признак сходимости 362
——Даламбера 367-369,377
——знакопеременного ряда 373, 374
——интегральный 369—371
——Лейбница 371—373,378
———,оценка остатка знакочере дующегося ряда 373
——необходимый 362, 363, 376, 378
———идостаточный 361, 362
——сравнения364—365,376, 379
———предельный364, 365, 375
Произведение вектора на число 63, 69
—линейного оператора на число 80
—линейных операторов 80
—матриц 12—14
—матрицы на число 11, 12 Производная 181—207
—второго порядка 196
,механический смысл 196
—в экономике 196—201,205, 207
———,закон убывающей доход ности 242, 243
———,——полезности243
———,условие оптимальности выпуска продукции 242
———,— наиболее экономично го производства 242
—третьего, п -го порядка 196—,геометрический смысл 181
—логарифмическая 191, 192
—логарифмической функции 190 —,механический смысл 181
studfiles.net
решебник кремер высшая математика для экономистов
гдз алгебра 7 класс с.a.теляковского
ГДЗ по Алгебре за 7 класс: Макарычев Ю. Н. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К. И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского 18-е изд. 7111633662709 Я буду называть такие блоки многострочными. Хотя
Подробнеегдз алгебра мордкович часть 2
Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс. базовый уровень. Часть 2. Задачник / А. Г. Мордкович, Л. О. Денищева, Т. А. Корешкова, Т. Г. 0589647113 готовые домашние задания, гдз по алгебре,
Подробнеевиленкин математика 5 класс гдз жохов
Так что эти браки никогда ничего больше и не означали, как можно показать с помощью не совсем тривиальных вычислений, экранирует индикатор,. 7339895649 5 класс. ГДЗ по математике для Математика. 5 класс.
Подробнеегдз подготовка к экзамену 9 кл алгебра
Для любого учащегося экзамен это стресс и поэтому подготовка к. а вот ответы на билеты 9 класс по выбранному предмету ему необходимо подготовить самостоятельно.. Алгебра. Контрольные работы. 9 класс. Мордкович.
Подробнеерешебник задач по физике, иродов
13 дек 2010. akak.ru Как научиться легко решать задачи по физике. Инструкция подойдет для всех, кто не решал задачи Иродова. Объясню метод,. 5888087129 Решебники задачника по общей физике. И.Е.Иродов 1979г.
Подробнеегдз природа 5 класс сухова строганов
Рабочая тетрадь. Природоведение. Природа. Неживая и живая. 5 класс. Название: Рабочая тетрадь. Природоведение. Природа. Неживая и живая. 665996154 Природоведение. 5 класс. ID 3477934. Автор: Т. С. Сухова,
Подробнеевсеобщая история 11 класс загладин гдз
Карта сайта. Решебник по всеобщей истории н.в. загладин 11 класс. Не упускай ни секунды времени и собирай бонусы. Книга будет полезна всем. 2515455491582 Всеобщая история загладин 10 класс решебник — Коллекция
ПодробнееСугоняев геометрия 10 класс скачать
Сугоняев геометрия 10 класс скачать >>> Сугоняев геометрия 10 класс скачать Сугоняев геометрия 10 класс скачать Моро, Решебник по математике для 4 класса Петерсон можно скачать бесплатно. Мне или решенное,или
Подробнееdocplayer.ru
| Год выпуска: 2007
Автор: Кремер Н.Ш. Жанр: Высшая математика, Экономика Издательство: «ЮНИТИ-ДАНА» Формат: PDF Качество: Отсканированные страницы Количество страниц: 484 Описание: Практикум «Высшая математика для экономистов» содержит около 2700 задач (с решениями и для самостоятельной работы), в том числе задачи с экономическим содержанием. Существенное отличие его от других изданий — наличие наряду с традиционными контрольными заданиями (63 варианта, более 400 задач) тестовых заданий (28 тестов, более 400 тестовых заданий). Это позволяет достаточно эффективно использовать пособие в процессе аудиторной и самостоятельной работы студентов, при проведении контрольных работ, собеседований, зачетов и экзаменов (в частности, письменных), тестировании (в том числе компьютерном) по вузовскому общему курсу математики. В книгу «Высшая математика для экономистов» дополнительно включены задачи для повторения, рекомендуемые для экспресс-подготовки студентов и учебно-тренировочные тесты для экспресс-проверки их знаний.Учебное пособие «Высшая математика для экономистов» предназначено для студентов и бакалавров экономических специальностей вузов, а также магистров этих специальностей, преподавателей и лиц, занимающихся самообразованием. Содержание учебного пособия «Высшая математика для экономистов» Линейная алгебра (с элементами аналитической геометрии)
скачать учебное пособие: Высшая математика для экономистов — Кремер Н.Ш. — Практикум
|
institutiones.com
Высшая математика для экономистов Н.Ш.Кремер 2010
Глава 8
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Прежде чем перейти к наиболее важным приложениям про изводной при исследовании функций и построении их графи ков, рассмотрим несколько основных теорем.
8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке X функция у =f (х) достигает наибольшего или наименьшего значе ния во внутренней точке х0 этого промежутка, то производная
функции в этой точке равна нулю, т.е. /'(х 0) = 0 .
□Пусть функция у =f{x) дифференцируема на промежутке
Хи в точкех0 е Х принимает наименьшее значение (рис.8 .1).
Тогда / ( х0 +Ах) > /( х0), если
дс0 + Дх €X и, следовательно, вели
чина Ay —f ( x 0+ Дх) —/( х0 ) > 0 при достаточно малых Дх независимо от
Ау знака Дх. Отсюда — > 0 при Дх > 0
Дх
^ < | 0 | при | Дх < 0. | Переходя | к |
|
| ||
Дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пределу при Дх | 0+ | (справа) и при |
|
| |||||
Дх -»0—(слева),получим | lim | Ду |
|
|
| ||||
— > 0 |
|
| |||||||
|
|
|
|
| д*->о+Дх |
|
|
| |
и lim | Av |
|
|
|
|
|
|
|
|
— < 0 . |
|
|
|
|
|
|
| ||
Дх~>0- Дх |
|
|
|
|
|
|
| х0, | |
По условию функция у =/(х) дифференцируема в точке | |||||||||
следовательно, ее предел при Дх | 0 не должен зависеть от спо | ||||||||
соба | стремления | Дх ->0 | (справа или | слева), | т.е. | ||||
lim — = | lim | — ,откуда следует, чтоf'(x 0) =0 . |
| ||||||
Ах—>0+Дх | Дх—>0-Ах |
|
|
|
|
|
| ||
Аналогично рассматривается случай, когда функция /(.х) принимает в точкех 0 наибольшее значение. ■
Геометрический смысл теоремы Ферма очевиден: в т о ч к е
наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри про межутка Ху касательная к графику функции параллельна оси абс цисс.
Теорема Ферма может быть использована для доказательства так называемых теорем о среднем, к рассмотрению которыхмы переходим.
Теорема Ролля. Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следую щим условиям:
1) непрерывна на отрезке[<а, Ь];
2 ) дифференцируема на интервале(а, Ь)\
3) на концах отрезка принимает равные значения, т.е.
№=f(b).
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая
точка | § е (а, b), в которой производная функции равна | нулю: |
/'($ ) = о. |
| |
□ | На основании теоремы Вейерштрасса (см. § 6.7) | функция, |
непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего М и наименьшегот значений. Если оба эти значения достигают ся на концах отрезка, то по условию они равны (т.е.т = М), а это значит, что функция тождественно постоянна на отрезке[а, Ь]. Тогда производная равна нулю во всех точках этого от резка. Если же хотя бы одно из этих значений — максимальное или минимальное — достигается внутри отрезка (т.е.т < М), то производная в соответствующей точке равна нулю в силу теоремы Ферма. ■
Отметим г е о м е т р и ч е с к и й
с м ы с л | теоремы | Ролля | (см. |
рис. 8 .2 ): | найдется | хотя бы | одна |
точка, в которой касательная к гра фику функции будет параллельна оси абсцисс, в этой точке производная и будет равна нулю (заметим, что на
рис. 8.2 таких точек две: | ^ | и £,2 )• |
Если /(а ) = / ( b) = 0, | то | теорему |
Ролля можно сформулировать так: между двумя последователь ными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.
Следует отметить, что все условия теоремы Ролля существен ны и при невыполнении хотя бы одного из них заключение тео ремы может оказаться неверным. Так, для функций, приведен ных на рис. 8.3, нарушено только одно условие: на рис. 8.3а — непрерывность на отрезке [а, Ь], на рис. 8.36 — дифференцируемость на интервале(а, Ь), на рис. 8.3в — равенство значенийf(a )= f(b ) .
В результате не существует такой точки 4 е (о, Ь), в которой
/’й )= о .
\ т
а)
Рис. 8.3
Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа. Теорема Лагранжа. Пусть функция у =f(x) удовлетворяет сле
дующим условиям:
1) непрерывна на отрезке [а, b];
2 ) дифференцируема на интервале (а, Ь).
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка \ е (а, Ь), в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке,т.е.
/ ‘© = ;т — т | (8.1) |
Ь -а |
|
□ Введем новую функцию g (х) следующим образом: | |
g (х) = /( * ) -т — т | (х — а ) . |
Ь -а |
|
Функция g (х) удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она непрерывна на отрезке[а, Ь\, дифференцируема на интервале (а,Ь) и принимает на его концах равные значения:
g(a) = /(а ),
8(b) = т — m ~ f ( a \ b — a ) = f(a). Ь — а
ИЛИ £'($) = / ‘( 4 ) — ^ Ь] | = 0, откуда/’^)= | . ■ |
о — а |
| о — а |
Заключение (8 .1) теоремы Лагранжа может быть записано и в
виде: |
|
т — т = Г Ш Ь ~ а ) . | (8.2) |
Выясним м е х а н и ч е с к и й и г е о м е т р и ч е с к и й | |
с м ы с л теоремы Лагранжа. |
|
Приращение f(b) —f(a) — это изменение функции на отрез
ке [а, b\, ^—/(£) _ Средняя скорость изменения функции на
Ь — а
этом отрезке; значения же производной в точке — это «мгно венная» скорость изменения функции. Таким образом, теорема утверждает: существует хотя бы одна точка внутри отрезка, та кая, что скорость изменения функции в ней равна средней скоро сти изменения функции на этом отрезке.
Геометрическая интерпрета ция теоремы Лагранжа приведена на рис. 8.4.
Если перемещать прямую АВ параллельно начальному положе нию,найдется хотя бы одна точка %€(а, Ь), в которой касательная к графику f(x) и хорда АВ, проведен ная через концы дуги АВ, параллель ны (ибо в соответствии с (4.5) уг ловой коэффициент секущей
,f ( b ) ~ f(a )
k | J | я | 1ГЯ Г.Я ТР.ТТК — |
ной — к =/'(£))• С л е д с т в и е .Если производная функции / (х)равна нулю на
некотором промежутке X, то функция тождественно постоянна на этом промежутке.
□Возьмем на рассматриваемом промежутке X отрезок[а, х].
Согласно | теореме | Лагранжа | /(х ) —f(a)— f'(^)(x — а),где |
а < %< х. | По условию /'( £ ) = | 0» следовательно, /(х) —f (a) = О, | |
т.е. / (х) = / | (а) = const. | ■ |
|
8.2. Правило Лопиталя
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или беско нечно больших функций равен пределу отношения их производных {конечному или бесконечному), если последний существует в ука занном смысле.
Итак, если имеется неопределенность вида — или— ,то
|
| |_ О J | L°°J |
| н т 2 М = В т т | ( 8 3 ) | |
| Х~>Х0 g(x) | Х->Х0(x) |
|
□ | (jt—>оо) | (*->оо) |
|
Рассмотрим доказательство теоремы для неопределенности | |||
вида | при х |
|
|
Для простоты будем предполагать, что функции Дх) и g(x), а также их производные непрерывны в точке х0, причем lim / (х) =
|
|
|
| х~*х0 |
= / ( х 0) = О п | lim g(x) = g(jcb)= 0 . |
| ||
| х->х0 |
|
|
|
о | у fix ) | у | f i x ) — /(х 0) | . |
В этом случае lim | = lim | —■- | ||
| х-УХоg ( x ) | х->х0g ( x ) -g(x0) |
| |
Применяя теорему Лагранжа для функций Дх) и g(x) на от резке [JC, х0], получим
| ишЖ | = и т Л М ^ з 1 | = ит1 Ш , |
| х->х0gix) | Х — У Х 0 fe2)(х — х0 ) | х i x q (%2 ) |
где X < | < х0 , X <1,2 | < хо ■ |
|
При | х -»х0 в силу непрерывности производныхf'(x) иg'(x) | ||
имеем /'( £ |) -> f i x 0 ) и g'(%2)->£'(*<))• Используя теорему о
пределе частного двух функций, получаем равенство (8.3). ■ З а м е ч а н и е . Обращаем внимание, что в правой части
формулы (8.3) берется отношение производных, а не производ ная отношения.
£> Пример 8.1. Найти: |
|
|
|
a) lim — ; б) | lim — ; в) | lim logа х |
|
JC—>ооех | х—>ооа х | х >00хк |
|
Р е ш е н и е. а) Имеем неопределенность вида | . Приме- | ||
няя правило Лопиталя, получим:
| = | lim X | ) | = | lim — = 0 . |
| x■—>00ex | x — >00( e x |
| x —>00ex | |
б) Имеем также неопределенность вида | Применим пра | ||||
|
|
|
|
| 00 |
вило Лопиталя к раз, еслик — целое, и | [£] + 1 раз, если к — | ||||
нецелое (где [£] — целая часть числа к): |
|
| |||
хК | kxk~x | = lim | k (k — \)xk~2 _ | ||
lim — = | = lim |
| ax In2 a | ||
х—>ооQx | *->°оа х Inа | x | >oo | ||
| = lim | ax lnfA+1 a |
|
| |
| X->oo |
|
| ||
При каждом применении правила Лопиталя степень числите | |||||
ля будет уменьшаться на единицу и через | [£] + 1 раз станет от | ||||
рицательной, т.е. числитель обратится в бесконечно малую ве личину (если к — не целое число; еслик — целое, то в постоян
ную величину). | Знаменатель | же будет оставаться бесконечно | |||
|
|
|
| х^ | = 0. |
большой величиной. Таким образом, lim — | |||||
|
|
|
| *—>о°а |
|
|
|
|
| 1 |
|
в) lim •oga * | 00 | =lim (1°g^ | )f — | lim | lim \ |
x—>oox* | 00 | *->oo(хкУ |
| *->ookxk 1 | kinax^>coxk |
Правило Лопиталя дает возможность сравнения бесконечно больших величин: степенная функция хп— бесконечно большая более высокого порядка, чем логарифмическая logflх , а показа
тельная ах — бесконечно большая более высокого порядка, чем
степенная | хп; это означает, что | хп | г | аХ | ||
lim | = оо, | lim — = оо. | ||||
|
| *->ооlog„ х | х —>оохп | |||
[> Пример 8.2. Найти: |
|
|
|
|
| |
| р Х | _1_ р — х_ | 2 |
|
|
|
| a) lim—————; б) limxlnx. |
| ||||
| jc-»0 |
| х->0 |
|
| |
Р е ш е н и е. а) | .. | (ех +е~х — 2 ) |
| ех-р-х | ||
,. | ех +е~х — 2 |
| ||||
lim————— | — lim——— | ———lim- |
| |||
jc—>0 | X2 | —>0 | (*2 | у | —>0 | 2.x |
дс |
|
| JC | |||
Неопределенность вида | по-прежнемусохраняется. При- | |||||
меним правило Лопиталя еще раз:
е х _ е — х | = lim | (е х _ е — х у | ех +е~х |
lim———- | ——=lim — | ||
х—>о2 .x | х—>о | (2 х) | х—>02 |
б) Имеем неопределенность вида[О-оо]. Переписывая данное выражение в виде
lim (xlnx) = [0-оо] | = lim | 1 | , | получим неопределенность | ||
х->0+ |
| JC—>0+ |
|
|
| |
вида оо | . Применяя правило Лопиталя, получим |
| ||||
оо |
|
|
|
|
|
|
| 1пх | = lim — | X | _ | . ► | |
| lim ——= |
| = Иш(-дг)=0 | |||
| х->0+1 | х->0+1 | х—>0 |
| ||
| X |
|
| X1 |
| |
Правило Лопиталя является эффективным методом раскрытия не определенностей. Однако применение его не всегда приводит к цели.
О Пример 8.3. Найти: |
|
|
. .. | yjx +l | x + sinx |
а) lim | — ; б) | lim ——:— . |
х->дал/х- 1 | х-уоох—sinх | |
Р е ш е н и е. а) Если применить правило Лопиталя, то получим
|
| 1 |
|
yjx +l | = и ш | ^ ± 1 . | К т ^ |
lim ,—— | |||
*->°°y/x-l | X—>00 | 1 | x->ooyjx+l |
2 yfx^i
т.е. числитель и знаменатель просто меняются местами; неопре деленность же сохраняется. Если применить правило Лопиталя вторично, то функция под знаком предела примет первоначаль ный вид. Таким образом, применение этого правила в данном случае не позволяет раскрыть неопределенность. В то же время легко установить, что
lim | = iim | + i |
* — l. | ||
х->°0VX- 1 |
|
|
| ‘ | Я |
б) Если применить правило Лопиталя, т.е.
x-х»x-sinx | —lim————(x + sinx)’ = | hm 1 + cosx |
*->»(x — sin x ) ‘ | лг->а>1 — COSX |
то можно сделать ошибочный вывод о том, что предел данной
функции не существует, так как не существует | lim c o s x . | |||||
|
|
|
|
|
| X—>00 |
| I | • | , | s in x |
|
|
u | 1 | ——- |
|
| ||
x + s m x |
| x | , |
| ||
На самом деле lim ——;— | = lim ——=1 |
| ||||
| x >oox — sinX | x >°oJ | sin X |
|
| |
|
|
|
| X |
|
|
так как lim | —11-=0 (см. пример 6.8в). ► |
|
| |||
Х -ЮО | X |
|
|
|
|
|
8.3. Возрастание и убывание функций | ||||||
Напомним (см. § 5.3), что функция у = fix) называется воз | ||||||
растающей | (убывающей) | на | промежутке | X, | если для любых | |
X], х2 еХ, х2>х, верно неравенство / ( х2 ) > /( xt ) ( / ( х2) < / ( х ,)).
Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка X, то она возрастает на этом проме
жутке. |
|
|
|
□ | Рассмотрим два значения х, и | х2 на данном промежутке | |
X. Пусть х2 > х ,, х ,, х2 еX. Докажем, что / ( х2) > /( х,). |
| ||
Для | функции /(х) на отрезке [х ,, х2 ] | выполняются условия | |
теоремы Лагранжа, поэтому |
|
| |
| f ( x 2) — f ( x l )=f'(S,)(x2- x l ), | (8.4) | |
где х, < 4 <х2, т.е. £ принадлежит промежутку, на котором про изводная положительна, откуда следует, что /'(4) >0 и правая часть равенства (8.3) положительна. Отсюда / ( х 2)—/( х , ) > О и
f ( x 2) > f ( x l ). я
Аналогично доказывается другая теорема.
Теорема (достаточное условие убывания функции). Если произ водная дифференцируемой функции отрицательна внутри некото рого промежутка X, то она убывает на этом промежутке.
Геометрическая интерпретация условия монотонности функ ции приведена на рис. 8.5.
Если касательные к кривой в некотором промежутке направ лены под острыми углами к оси абсцисс (рис. 8.5а), то функция возрастает, если под тупыми (рис. 8.56), то убывает.
Рис. 8.5 [> Пример 8.4. Найти интервалы монотонности функции
у = х2 —4х+ 3.
Р е ш е н и е . Имеем у’ = 2х — 4. Очевидноу’ > 0 прих > 2 иу’ <0 прих < 2, т.е. функция убывает на интервале(—оо, 2 ) и возрастает на интервале (2 ,+оо), где х0 =2 — абсцисса вершины
параболы. ►
Заметим, что необходимое условие монотонности более сла бое. Если функция возрастает (убывает) на некотором проме жутке X, то можно лишь утверждать, чтопроизводная неотри
цательна (неположительна) на этом | промежутке: f | (х) > О | |
(/'(х ) < 0 ), х еX, | т.е. в отдельных точках производная | моно | |
тонной функции может равняться нулю. |
|
| |
t> Пример 8.5. Найти интервалы монотонности функции у = х3 | |||
Р е ш е н и е . | Найдем производную | у’ = Зх2 Очевидно, что | |
у’ > 0 при хф 0. | При х = 0 производная обращается | в нуль. | |
Функция же монотонно возрастает на всей числовой оси (см. рис. 5.5). ►
В определенном смысле материал этого параграфа наиболее ва жен для решения задачи исследования функций и построения их графиков. Мы выделим наиболее важные, «узловые», точки функ ции, нахождение которых во многом определяет структуру графи ка. Это точки экстремума — максимума и минимума функции.
Определение 1. Точках0 называется точкой максимума функ ции/ (х), если в некоторой окрестности точких0 выполняется неравенствоf(x)< /( х0 ) (см. рис. 8 .6 ).
Определение 2. Точках, называется точкой минимума функ ции/ (jc), если в некоторой окрестности точких, выполняется
неравенство f(x) >/ ( х ,) (см. рис. 8.6).
Значения функции в точках х0
и х, называются соответственно
максимумом и минимумом функции.
Максимум и минимум функции объединяются общим названием
экстремума функции.
Экстремум функции часто на зывают локальным экстремумом,
подчеркивая тот факт, что поня тие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью
точки х0. Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может случиться, что минимум
в одной | точке больше | максимума в другой, | например на |
рис. 8.6 | / тш(х2)> /max(*<))• | Наличие максимума | (или миниму |
ма) в отдельной точке промежутка X вовсе не означает, что в этой точке функция / (х) принимает наибольшее (наименьшее) значение на этом промежутке (или, как говорят, имеетглобаль ный максимум (минимум)).
Важность точек экстремума иллюстрируется следующим при мером (см. рис. 8.7).
studfiles.net