Интеграл sin x * x
Задание.
Вычислить интеграл sin x * x.
Решение.
Для вычисления интегралов, у которых в роли подынтегральной функции стоит произведение двух функций (как в данном случае функции синус и х) часто используется метод интегрирования по частям.
Применим данный метод для вычисления данного интеграла:
Сделаем следующую замену:
Теперь можем вычислить остальные компоненты, необходимые для применения метода:
Полученные выражения подставляем в формулу для нахождения значения интеграла с помощью метода интегрирования по частям:
Минус можно вынести из-под знака интеграла:
Так как интеграл от косинуса равен синусу, а также нужно не забыть о неопределенном постоянном числе, получим:
Ответ. .
Этим же методом (интегрирование по частям) можно решать также интегралы вида .
Заданный интеграл также можно вычислить с помощью разложения функции в ряд Тейлора. Этот способ несколько дольше, но, на мой взгляд, проще в вычислениях, особенно если есть трудности с интегралами, а значение найти нужно.
ru.solverbook.com
∫ Найти интеграл от y = f(x) = 1/sin(x) dx (1 делить на синус от (х))
Дан интеграл:
/ | | 1 | ------ dx | sin(x) | /
Подинтегральная функция
Домножим числитель и знаменатель на
получим
1 sin(x)
------ = -------
sin(x) 2
sin (x)Т.к.
то
2 2 sin (x) = 1 - cos (x)
преобразуем знаменатель
sin(x) sin(x) ------- = ----------- 2 2 sin (x) 1 - cos (x)
сделаем замену
тогда интеграл
/ | | sin(x) | ----------- dx | 2 = | 1 - cos (x) | /
/ | | sin(x) | ----------- dx | 2 = | 1 - cos (x) | /
Т.к. du = -dx*sin(x)
/ | | -1 | ------ du | 2 | 1 - u | /
Перепишем подинтегральную функцию
/ 1 1 \
-|----- + -----|
-1 \1 - u 1 + u/
------ = -----------------
2 2
1 - u тогда
/ /
| |
| 1 | 1
| ----- du | ----- du
/ | 1 + u | 1 - u
| | |
| -1 / / =
| ------ du = - ----------- - -----------
| 2 2 2
| 1 - u
|
/
= log(-1 + u)/2 - log(1 + u)/2
делаем обратную замену
Ответ
/ | | 1 log(-1 + cos(x)) log(1 + cos(x)) | ------ dx = ---------------- - --------------- + C0 | sin(x) 2 2 | /
где C0 — это постоянная, не зависящая от x
www.kontrolnaya-rabota.ru
Примеры решений интегралов от sin x cos x или e x по частям
Формула интегрирования по частям
При решении примеров этого раздела, используется формула интегрирования по частям:
;
.
Подробнее >>>
Примеры интегралов, содержащих произведение многочлена и sin x, cos x или ex
Вот примеры таких интегралов:
, , .
Для интегрирования подобных интегралов, многочлен обозначают через u, а оставшуюся часть – через v dx. Далее применяют формулу интегрирования по частям.
Ниже дается подробное решение этих примеров.
Примеры решения интегралов
Пример с экспонентой, е в степени х
Определить интеграл:
.
Решение
Введем экспоненту под знак дифференциала:
e – x dx = – e – x d(–x) = – d(e – x).
Интегрируем по частям.
здесь
.
Оставшийся интеграл также интегрируем по частям.
.
.
.
Окончательно имеем:
.
Ответ
.
Пример определения интеграла с синусом
Вычислить интеграл:
.
Решение
Введем синус под знак дифференциала:
Интегрируем по частям.
здесь u = x2, v = cos(2x+3), du = (x2)′ dx
Оставшийся интеграл также интегрируем по частям. Для этого вводим косинус под знак дифференциала.
здесь u = x, v = sin(2x+3), du = dx
Окончательно имеем:
Ответ
.
Пример произведения многочлена и косинуса
Вычислить интеграл:
.
Решение
Введем косинус под знак дифференциала:
Интегрируем по частям.
здесь u = x2 + 3x + 5, v = sin 2x, du = (x2 + 3x + 5)′ dx
Вводим синус под знак дифференциала:
Тогда
Последний интеграл интегрируем по частям
здесь u = x, v = cos 2x, du = dx
Окончательно имеем:
.
Ответ
.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано:
1cov-edu.ru
интеграл (x-1) sinx dx помогите срочно интеграл (x-1) sinx dx
Символьно или численно?
<a rel=»nofollow» href=»http://mobile.dudamobile.com/site/mathelp?url=http://www.mathelp.spb.ru/book1/integral.htm&utm_referrer=http://yandex.ru/search/touch/?text=Интеграл+(x-1)sin+x+dx&clid=1771195&lr=4″ target=»_blank»>http://mobile.dudamobile.com/site/mathelp?url=http://www.mathelp.spb.ru/book1/integral.htm&utm_referrer=http://yandex.ru/search/touch/?text=%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB+%28x-1%29sin+x+dx&clid=1771195&lr=4</a> Есть подобные задания
<img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/47858537_e3db385cc11470eeda283341f30239ca_800.jpg» data-lsrc=»//otvet.imgsmail.ru/download/47858537_e3db385cc11470eeda283341f30239ca_120x120.jpg» data-big=»1″>
touch.otvet.mail.ruИнтеграл (sin x – cos x) dx
Задание.
Вычислить интеграл (sin x — cos x) dx.
Решение.
Вычисление интегралов обратно нахождению производной функции. Если у Вас не было проблем с вычислением производных, то и с интегралами разберетесь.
Итак, запишем интеграл:
Под знаком интеграла (другими словами интегральная функция) стоит разность двух независящих друг от друга функций. В таком случае полезно вспомнить некоторые свойства интеграла, которые и помогут нам вычислить его значение.
Итак, подобно к производной от разности двух функций, интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций. То есть, если взять какие-то две произвольные функции
Согласно этому свойству распишем заданный интеграл:
Получили разность двух простых интегралов, значение которых можно найти с помощью таблицы интегралов. Используя таблицу найдем каждый интеграл по отдельности и получим:
С — это произвольная постоянная, которую необходимо добавлять при вычислении интегралов, так как производная от постоянного числа равна нулю, поэтому неизвестно, какое число может быть в результате вычисления интеграла.
Ответ. .
ru.solverbook.com