X sinx интеграл – Интеграл от x*sinx*dx

Интеграл sin x * x

Задание.
Вычислить интеграл sin x * x.

Решение.
Для вычисления интегралов, у которых в роли подынтегральной функции стоит произведение двух функций (как в данном случае функции синус и х) часто используется метод интегрирования по частям.
Применим данный метод для вычисления данного интеграла:

   

Сделаем следующую замену:

   

   

Теперь можем вычислить остальные компоненты, необходимые для применения метода:

   

   

Полученные выражения подставляем в формулу для нахождения значения интеграла с помощью метода интегрирования по частям:

   

Минус можно вынести из-под знака интеграла:

   

Так как интеграл от косинуса равен синусу, а также нужно не забыть о неопределенном постоянном числе, получим:

   

Ответ. .

Этим же методом (интегрирование по частям) можно решать также интегралы вида .

Обратите внимание, что переменной dv удобнее всего присваивать значение того выражения, от которого проще вычислить интеграл с целью получить значение переменной v.
Заданный интеграл также можно вычислить с помощью разложения функции в ряд Тейлора. Этот способ несколько дольше, но, на мой взгляд, проще в вычислениях, особенно если есть трудности с интегралами, а значение найти нужно.

ru.solverbook.com

∫ Найти интеграл от y = f(x) = 1/sin(x) dx (1 делить на синус от (х))

Дан интеграл:

  /         
 |          
 |   1      
 | ------ dx
 | sin(x)   
 |          
/           

Подинтегральная функция

Домножим числитель и знаменатель на

получим

  1       sin(x)
------ = -------
sin(x)      2   
         sin (x)

Т.к.

то

   2             2   
sin (x) = 1 - cos (x)

преобразуем знаменатель

 sin(x)      sin(x)  
------- = -----------
   2             2   
sin (x)   1 - cos (x)

сделаем замену

тогда интеграл

  /                
 |                 
 |    sin(x)       
 | ----------- dx  
 |        2       =
 | 1 - cos (x)     
 |                 
/                  
  
  /                
 |                 
 |    sin(x)       
 | ----------- dx  
 |        2       =
 | 1 - cos (x)     
 |                 
/                  
  

Т.к. du = -dx*sin(x)

  /         
 |          
 |  -1      
 | ------ du
 |      2   
 | 1 - u    
 |          
/           

Перепишем подинтегральную функцию

          /  1       1  \ 
         -|----- + -----| 
 -1       \1 - u   1 + u/ 
------ = -----------------
     2           2        
1 - u                     

тогда

                   /             /          
                  |             |           
                  |   1         |   1       
                  | ----- du    | ----- du  
  /               | 1 + u       | 1 - u     
 |                |             |           
 |  -1           /             /           =
 | ------ du = - ----------- - -----------  
 |      2             2             2       
 | 1 - u                                    
 |                                          
/                                           
  
= log(-1 + u)/2 - log(1 + u)/2

делаем обратную замену

Ответ

  /                                                   
 |                                                    
 |   1         log(-1 + cos(x))   log(1 + cos(x))     
 | ------ dx = ---------------- - --------------- + C0
 | sin(x)             2                  2            
 |                                                    
/                                                     

где C0 — это постоянная, не зависящая от x

www.kontrolnaya-rabota.ru

Примеры решений интегралов от sin x cos x или e x по частям

Формула интегрирования по частям

При решении примеров этого раздела, используется формула интегрирования по частям:
;
.
Подробнее >>>

Примеры интегралов, содержащих произведение многочлена и sin x, cos x или ex

Вот примеры таких интегралов:
,   ,   .

Для интегрирования подобных интегралов, многочлен обозначают через u, а оставшуюся часть – через v dx. Далее применяют формулу интегрирования по частям.

Ниже дается подробное решение этих примеров.

Примеры решения интегралов

Пример с экспонентой, е в степени х

Определить интеграл:
.

Решение

Введем экспоненту под знак дифференциала:
e – x dx = – e – x d(–x) = – d(e – x).

Интегрируем по частям.

здесь
.
Оставшийся интеграл также интегрируем по частям.
.
.
.
Окончательно имеем:
.

Ответ

.

Пример определения интеграла с синусом

Вычислить интеграл:
.

Решение

Введем синус под знак дифференциала:

Интегрируем по частям.

здесь u = x2, v = cos(2x+3), du = (x2)′ dx

Оставшийся интеграл также интегрируем по частям. Для этого вводим косинус под знак дифференциала.


здесь u = x, v = sin(2x+3), du = dx

Окончательно имеем:

Ответ

.

Пример произведения многочлена и косинуса

Вычислить интеграл:
.

Решение

Введем косинус под знак дифференциала:

Интегрируем по частям.

здесь u = x2 + 3x + 5, v = sin 2x, du = (x2 + 3x + 5)′ dx

Вводим синус под знак дифференциала:

Тогда

Последний интеграл интегрируем по частям

здесь u = x, v = cos 2x, du = dx

Окончательно имеем:
.

Ответ

.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

1cov-edu.ru

интеграл (x-1) sinx dx помогите срочно интеграл (x-1) sinx dx

Символьно или численно?

<a rel=»nofollow» href=»http://mobile.dudamobile.com/site/mathelp?url=http://www.mathelp.spb.ru/book1/integral.htm&amp;utm_referrer=http://yandex.ru/search/touch/?text=Интеграл+(x-1)sin+x+dx&amp;clid=1771195&amp;lr=4″ target=»_blank»>http://mobile.dudamobile.com/site/mathelp?url=http://www.mathelp.spb.ru/book1/integral.htm&amp;utm_referrer=http://yandex.ru/search/touch/?text=%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB+%28x-1%29sin+x+dx&amp;clid=1771195&amp;lr=4</a> Есть подобные задания

<img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/47858537_e3db385cc11470eeda283341f30239ca_800.jpg» data-lsrc=»//otvet.imgsmail.ru/download/47858537_e3db385cc11470eeda283341f30239ca_120x120.jpg» data-big=»1″>

touch.otvet.mail.ru

Интеграл (sin x – cos x) dx

Задание.
Вычислить интеграл (sin x — cos x) dx.

Решение.
Вычисление интегралов обратно нахождению производной функции. Если у Вас не было проблем с вычислением производных, то и с интегралами разберетесь.
Итак, запишем интеграл:

   

Под знаком интеграла (другими словами интегральная функция) стоит разность двух независящих друг от друга функций. В таком случае полезно вспомнить некоторые свойства интеграла, которые и помогут нам вычислить его значение.
Итак, подобно к производной от разности двух функций, интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций. То есть, если взять какие-то две произвольные функции

g(x) и h(x), то данное свойство можно записать таким образом:

   

Согласно этому свойству распишем заданный интеграл:

   

Получили разность двух простых интегралов, значение которых можно найти с помощью таблицы интегралов. Используя таблицу найдем каждый интеграл по отдельности и получим:

   

С — это произвольная постоянная, которую необходимо добавлять при вычислении интегралов, так как производная от постоянного числа равна нулю, поэтому неизвестно, какое число может быть в результате вычисления интеграла.

Ответ. .

ru.solverbook.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.