Решить уравнение неполное квадратное: 404 — HTTP not found —

Шаг 1: Введите квадратичную функцию в терминах х.

Шаг 2: Выберите команду, относящуюся к функции f (x), которую вы ввели выше.

Решение уравнений является центральной темой алгебры.Все полученные навыки в конечном итоге приводят к способности решать уравнения и упрощать решения. В предыдущих главах мы решили уравнения первой степени. Теперь у вас есть необходимые навыки для решения уравнений второй степени, которые известны как квадратные уравнения .

КВАДРАТИКА, РЕШЕННАЯ ФАКТОРИНГОМ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите квадратное уравнение.
2. Поместите квадратное уравнение в стандартную форму.
3. Решите квадратное уравнение с помощью факторинга.

Квадратичное уравнение — это полиномиальное уравнение, которое содержит вторую, но не более высокую степень переменной.

Стандартной формой квадратного уравнения является ax ² + bx + c = 0, когда a ≠ 0 и a, b и c являются действительными числами.

Все квадратные уравнения могут быть представлены в стандартной форме, и любое уравнение, которое может быть представлено в стандартной форме, является квадратным уравнением. Другими словами, стандартная форма представляет все квадратные уравнения.

Решение уравнения уравнения иногда называют корнем уравнения .

Важная теорема, которая не может быть доказана на уровне этого текста, гласит: «Каждое полиномиальное уравнение степени n имеет ровно n корней». Использование этого факта говорит нам, что квадратные уравнения всегда будут иметь два решения. Возможно, что оба решения равны.

Простейший метод решения квадратиков — это факторинг. Этот метод не всегда можно использовать, потому что не все многочлены являются факториальными, но он используется всякий раз, когда возможен факторинг.

Метод решения с помощью факторинга основан на простой теореме.

Если AB = 0, то либо A = 0, либо B = 0.

Мы не будем пытаться доказать эту теорему, а внимательно отметим ее формулировку. Мы никогда не можем умножить два числа и получить ответ ноль, если хотя бы одно из чисел не равно нулю. Конечно, оба числа могут быть нулевыми, поскольку (0) (0) = 0.

Решение Шаг 1 Приведите уравнение в стандартную форму.

Шаг 2 Фактор полностью.

Шаг 3 Установите каждый фактор равным нулю и решите для х. Поскольку мы имеем (x — 6) (x + 1) = 0, мы знаем, что x — 6 = 0 или x + 1 = 0, и в этом случае x = 6 или x = — 1.

Шаг 4 Проверьте решение в исходном уравнении.Если x = 6, то x ² — 5x = 6 становится

Следовательно, x = 6 является решением. Если x = — 1, то x ² — 5x = 6 становится

Следовательно, — 1 является решением.

Решения могут быть обозначены либо написанием x = 6 и x = — 1, либо с помощью набора обозначений и написания {6, — 1}, что мы читаем «набор решений для x равен 6 и — 1.«В этом тексте мы будем использовать набор обозначений.

Опять же, проверка решений гарантирует, что вы не допустили ошибку при решении уравнения. также называют корнями уравнения.

Проверьте решения в исходном уравнении.

НЕПОЛНАЯ КВАДРАТИКА

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите неполное квадратное уравнение.
2. Решить неполное квадратное уравнение.

Если, когда уравнение помещено в стандартную форму ax ² + bx + c = 0, либо b = 0, либо c = 0, уравнение представляет собой неполный квадратичный .

Пример 1

5x ² — 10 = 0 — неполный квадратик, так как средний член отсутствует и, следовательно, b = 0.

Когда вы встречаете неполный квадратик с c — 0 (третий член отсутствует), он все еще может быть решен с помощью факторинга.

Обратите внимание, что если термин c отсутствует, вы всегда можете выделить x из других терминов.Это означает, что во всех таких уравнениях ноль будет одним из решений.
Неполная квадратика с отсутствующим термином b должна быть решена другим методом, поскольку факторинг будет возможен только в особых случаях.

Пример 3 Решите для х, если х ² — 12 = 0.

Решение Поскольку x ² — 12 не имеет общего множителя и не является разностью квадратов, его нельзя разложить на рациональные факторы. Но из предыдущих наблюдений мы имеем следующую теорему.

Используя эту теорему, мы имеем

Проверьте эти решения.

Обратите внимание, что в этом примере мы имеем квадрат числа, равного отрицательному числу. Это никогда не может быть правдой в реальной системе счисления, и поэтому у нас нет реального решения.

ЗАПОЛНЕНИЕ ПЛОЩАДИ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите идеальный квадратный трином.
2. Завершите третий член, чтобы сделать идеальный квадратный трином.
3. Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Из вашего опыта в факторинге вы уже понимаете, что не все многочлены являются факториальными. Следовательно, нам нужен метод решения квадратиков, который не является факторизованным. Необходимый метод называется «завершение квадрата».

Сначала давайте рассмотрим значение «идеального квадратного тринома». Когда мы возводим в квадрат бином, мы получаем идеальный квадратный трином. Общая форма (a + b) ² = ² + 2ab + b ² .

Из общего вида и этих примеров можно сделать следующие наблюдения относительно идеального квадратного тринома.

1. Два из трех слагаемых являются идеальными квадратами. 4x ² и 9 в первом примере, 25x ² и 16 во втором примере и ² и b ² в общем виде.
   

   Другими словами, первое и третье слагаемые являются идеальными квадратами.

2. Другой термин — это либо плюс, либо минус в два раза больше, чем произведение квадратных корней двух других терминов.

Термин -7 сразу говорит, что это не может быть идеальный квадратный трином. Задача при заполнении квадрата состоит в том, чтобы найти число, заменяющее -7 так, чтобы был идеальный квадрат.

Рассмотрим эту проблему: заполните пробел, чтобы «x ² + 6x + _______» было идеальным квадратным триномом. Из двух условий для идеального квадратного тринома мы знаем, что бланк должен содержать идеальный квадрат, и что 6x должно быть в два раза больше квадратного корня из x ² и числа в бланке.Поскольку x уже присутствует в 6x и является квадратным корнем из x ² , то число 6 должно быть в два раза больше квадратного корня из числа, которое мы помещаем в пробел. Другими словами, если мы сначала возьмем половину 6, а затем возведем в квадрат этот результат, мы получим необходимое число для пробела.

Следовательно, x ² + 6x + 9 — идеальный квадратный трином.

Теперь давайте рассмотрим, как мы можем использовать завершение квадрата для решения квадратных уравнений.

Пример 5 Решите x ² + 6x — 7 = 0, заполнив квадрат.

Решение Сначала мы заметим, что термин -7 должен быть заменен, если мы хотим получить идеальный квадратный трином, поэтому мы перепишем уравнение, оставив пробел для нужного числа.

На этом этапе будьте осторожны, чтобы не нарушать какие-либо правила алгебры.Например, обратите внимание, что вторая форма пришла от добавления +7 к обеим сторонам уравнения. Никогда не добавляйте что-либо в одну сторону, не добавляя то же самое в другую.

Теперь мы найдем половину 6 = 3 и 3 ² = 9, чтобы дать нам номер для пробела. Опять же, если мы поместим 9 в пробел, мы также должны добавить 9 с правой стороны.

Теперь вычислим идеальный квадратный трином, который дает

Пример 6 Решите 2x ² + 12x — 4 = 0, заполнив квадрат.

Решение Эта проблема приносит еще одну трудность.Первый член, 2x ^{, 2} , не является идеальным квадратом.
Мы исправим это, разделив все члены уравнения на 2 и получим

Теперь мы добавим 2 к обеим сторонам, давая

Опять же, это более кратко.

Пример 7 Решите 3x ² + 7x — 9 = 0, заполнив квадрат.

Solution Шаг 1 Разделите все условия на 3.

Шаг 2 Перепишите уравнение, оставив пробел для термина, необходимого для завершения квадрата.

Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента x и добавьте к обеим сторонам.

Шаг 4 Фактор завершенного квадрата.

Факторинг никогда не должен быть проблемой, так как мы знаем, что у нас есть идеальный квадратный трином, что означает, что мы находим квадратные корни первого и третьего членов и используем знак среднего.

Если вы столкнулись с какими-либо трудностями, вам следует ознакомиться с арифметикой, связанной с добавлением чисел справа.
Теперь у нас

Шаг 5 Возьмите квадратный корень с каждой стороны уравнения.

Шаг 6 Решите для х (два значения).

нельзя упростить. Мы могли бы также написать решение этой проблемы в более сжатой форме как

Выполните шаги в предыдущем вычислении, а затем обратите внимание на последний ин. Какой вывод, когда квадрат величины равен отрицательному числу? «Нет реального решения.»

В итоге, чтобы решить квадратное уравнение, заполнив квадрат, следуйте этому пошаговому методу.

Шаг 1 Если коэффициент x2 не равен 1, разделите все члены на этот коэффициент.
Шаг 2 Перепишите уравнение в виде x2 + bx + _______ = c + _______.
Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента x и добавьте эту величину к обеим сторонам уравнения.
Шаг 4 Разложите полученный квадрат и сложите числа в правой части уравнения.
Шаг 5 Найдите квадратный корень с каждой стороны уравнения.
Шаг 6 Решите для х и упростить.
Если шаг 5 невозможен, то уравнение не имеет реального решения.

КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМУЛА

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Решите общее квадратное уравнение, заполнив квадрат.
2. Решите любое квадратное уравнение, используя квадратную формулу.
3. Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Стандартной формой квадратного уравнения является ax ² + bx + c = 0. Это означает, что каждое квадратное уравнение может быть представлено в этой форме. В некотором смысле, то топор ² + bx + c = 0 представляет все квадратичные значения. Если вы можете решить это уравнение, у вас будет решение для всех квадратных уравнений.

Решим общее квадратное уравнение методом заполнения квадрата.

Мы должны добавить с каждой стороны.

Эта форма называется квадратичной формулой и представляет собой решение всех квадратных уравнений.

Чтобы использовать квадратную формулу, вы должны указать a, b и c.Для этого данное уравнение всегда должно быть в стандартной форме.

Не каждое квадратное уравнение будет иметь

.

Завершение площади

« Завершение квадрата » — вот где мы …

… возьмите квадратное уравнение , например:		и превратить это в это:
топор 2 + bx + c = 0		a (x + d ) 2 + e = 0

Для тех из вас, кто торопится, я могу сказать вам, что: d = b 2a

и: e = c — b ² 4a

Но если у вас есть время, позвольте мне показать вам, как « завершить квадрат » самостоятельно.

Завершение площади

Скажем, у нас есть простое выражение, например x ² + bx. Наличие x в одном выражении может усложнить жизнь. Что мы можем сделать?

Хорошо, с небольшим вдохновением от Geometry мы можем преобразовать это, как это:

Как видите, x ² + bx можно переставить почти в квадрат …

.. и мы можем завершить квадрат с (б / 2) ²

В алгебре это выглядит так:

x 2 + bx	+ (б / 2) 2	=	(х + б / 2) 2
	«Завершить площадь»

Итак, добавив (b / 2) ² , мы можем завершить квадрат.

А (х + b / 2) ² имеет х только на , что проще в использовании .

Сохранение баланса

Теперь … мы не можем просто добавить (b / 2) ² без вычитая это тоже! В противном случае вся стоимость меняется.

Итак, давайте посмотрим, как это сделать правильно на примере:

Начать с:
	(в данном случае «b» равно 6)
Завершить площадь:
	Также вычитают новый срок
Упростите это, и мы сделали.

Результат:

x ² + 6x + 7 = (x + 3) ² — 2

И теперь х появляется только один раз, и наша работа выполнена!

Быстрый подход

Вот быстрый способ получить ответ. Вам может понравиться этот метод.

Сначала подумайте о желаемом результате: (x + d) ² + e

После расширения (x + d) ² получаем: x ² + 2dx + d ² + e

Теперь посмотрим, сможем ли мы превратить наш пример в эту форму, чтобы обнаружить д и е

Пример: попробуйте вписать x ² + 6x + 7 в x ² + 2dx + d ² + e

Теперь мы можем «форсировать» ответ:

• Мы знаем, что 6x должно закончиться как 2dx, поэтому d должно быть 3
• Далее мы видим, что 7 должно стать d ² + e = 9 + e, поэтому e должно быть -2

И мы получаем тот же результат (х + 3) ² — 2, что и выше!

Теперь давайте рассмотрим полезное приложение: решение квадратичных уравнений…

Решение общих квадратичных уравнений путем заполнения квадрата

Мы можем заполнить квадрат до , решить с помощью квадратичного уравнения (найти, где оно равно нулю).

Но общее квадратное уравнение может иметь коэффициент a перед x ² :

топор ² + bx + c = 0

Но с этим легко справиться … сначала разделите все уравнение на «а», а затем продолжайте:

x ² + (б / у) х + с / а = 0

Шаги

Теперь мы можем решить квадратное уравнение в 5 шагов:

• Шаг 1 Разделите все члены на и (коэффициент x ² ).
  
• Шаг 2 Переместите числовой член ( c / a ) в правую часть уравнения.
  
• Шаг 3 Заполните квадрат в левой части уравнения и уравновесите его, добавив то же значение в правую часть уравнения.

Теперь у нас есть нечто, похожее на (x + p) ² = q, которое можно решить довольно легко:

• Шаг 4 Возьмите квадратный корень с обеих сторон уравнения.

• Шаг 5 Вычтите число, которое остается в левой части уравнения, чтобы найти x .

Примеры

ОК, некоторые примеры помогут!

Пример 1: Решить x ² + 4x + 1 = 0

Шаг 1 В этом примере можно пропустить , поскольку коэффициент x ² равен 1

Шаг 2 Переместите числовой член в правую часть уравнения:

x ² + 4x = -1

Шаг 3 Заполните квадрат в левой части уравнения и выровняйте его, добавив то же число в правую часть уравнения.

(б / 2) ² = (4/2) ² = 2 ² = 4

x ² + 4x + 4 = -1 + 4

(х + 2) ² = 3

Шаг 4 Возьмите квадратный корень с обеих сторон уравнения:

x + 2 = ± √3 = ± 1,73 (до 2 десятичных знаков)

Шаг 5 Вычтите 2 с обеих сторон:

х = ± 1,73 — 2 = -3.73 или -0,27

А вот интересная и полезная вещь. В конце шага 3 мы получили уравнение: (х + 2) 2 = 3 Это дает нам вершину (точку поворота) x 2 + 4x + 1: (-2, -3)

Пример 2: Решить 5x ² — 4x — 2 = 0

Шаг 1 Разделите все условия на 5

x ² — 0.8x — 0,4 = 0

Шаг 2 Переместите числовой член в правую часть уравнения:

x ² — 0,8x = 0,4

Шаг 3 Заполните квадрат в левой части уравнения и выровняйте его, добавив то же число в правую часть уравнения:

(б / 2) ² = (0,8 / 2) ² = 0,4 ² = 0,16

x ² — 0.8x + 0,16 = 0,4 + 0,16

(х — 0,4) ² = 0,56

Шаг 4 Возьмите квадратный корень с обеих сторон уравнения:

x — 0,4 = ± √0,56 = ± 0,748 (до 3 десятичных знаков)

Шаг 5 Вычтите (-0,4) с обеих сторон (другими словами, добавьте 0,4):

х = ± 0,748 + 0,4 = -0,348 или 1,148

Почему «Завершить площадь»?

Зачем заполнять квадрат, если мы можем просто использовать квадратную формулу для решения квадратного уравнения?

Хорошо, одна из причин приведена выше, когда новая форма не только показывает нам вершину, но и облегчает ее решение.

Бывают также случаи, когда форма топор ² + bx + c может быть частью вопроса большего размера , и перестановка его в a (x + d ) ² + e дает решение проще, потому что x появляется только один раз.

Например, «x» может быть функцией (например, cos (z) ), и перестановка может открыть путь к лучшему решению.

Кроме того, завершение квадрата — это первый шаг в выводе квадратичной формулы

Просто подумайте об этом как о другом инструменте в вашем наборе математики.

Сноска: Значения «d» и «e»

Как я получил значения d и e из верхней части страницы?

И вы заметите, что у нас есть:

a (x + d) ² + e = 0

где: d = b 2а

и: е = с — b ² 4а

Так же, как в верхней части страницы!

,

Завершение квадрата: решение квадратичных уравнений

Purplemath

Некоторые квадратики довольно просто решить, потому что они имеют форму «что-то с квадратом x равно некоторому числу», и затем вы берете квадратный корень с обеих сторон.

Примером может быть:

MathHelp.ком

К сожалению, большинство квадратиков не имеют такого квадратного сечения. Для вашего среднего ежедневного квадратика вы сначала должны использовать технику «завершения квадрата», чтобы переставить квадратик в аккуратный (квадратная часть) равный (число) формат, показанный выше.Например:

• Найти x -цепи y = 4 x ² — 2 x — 5.

Прежде всего, помните, что обнаружение x-перехватов означает установку y равной нулю и решение для значений x , поэтому этот вопрос действительно просит вас: «Решить 4 x ² — 2 x — 5 = 0 «.

Теперь давайте начнем процесс завершения квадрата. Для начала у нас есть исходное уравнение (или, если нам нужно было сначала решить для «= 0» форму уравнения «равно нулю»). В этом случае нас попросили перехватить x квадратичной функции, что означало, что мы установили функцию равной нулю. Так что мы в порядке. Наша отправная точка — это уравнение:

Теперь, вопреки всему, что мы узнали раньше, мы собираемся переместить константу (то есть число , а не с переменной) на другую сторону знака «равно»:

При решении путем заполнения квадрата мы хотим, чтобы x ² были сами по себе, поэтому нам нужно разделить на то, что умножается на этот термин.В этом случае у нас есть 4, умноженное на x ² , поэтому нам нужно разделить на 4, чтобы избавиться от этого. Наш результат:

Теперь мы собираемся поработать на стороне. Если посмотреть на квадратик выше, у нас есть член x ² и член x с левой стороны. Мы собираемся работать с коэффициентом члена x . В нашем настоящем случае это значение вместе со знаком равно

.

числовой коэффициент: –1/2.

Чтобы создать наш законченный квадрат, нам нужно разделить этот числовой коэффициент на 2 (или, что то же самое, умножить его на половину). В нашем случае мы получаем:

производное значение: (1/2) (- 1/2) = –1/4

Теперь возведем это производное значение в квадрат. (Конечно, это даст нам положительное число в результате.)

квадрат производного значения: (-1/4) ² = 1/16

Хорошо; Теперь мы вернемся к последнему шагу перед нашей диверсией:

… и мы добавим, что «+1/16» по обе стороны уравнения:

x ² — (1/2) x + 1/16 = 5/4 + 1/16

Мы можем упростить строго числовые данные с правой стороны:

x ² — (1/2) x + 1/16 = 21/16

На данный момент мы готовы перейти к форме завершенного квадрата, потому что, добавив +1/16 к каждой из сторон, мы переставили левую сторону в квадрат, который является идеальным квадратом.Другими словами, мы можем преобразовать эту левую часть в хороший, аккуратный бином в квадрате. Но как?

Самый простой способ — вернуться к значению, которое мы получили после деления на два (или, что то же самое, умножения на половину), и использовать это значение, вместе со знаком , для формирования квадратного бинома. Другими словами, в этом случае мы получаем:

ууу! Завершено-квадратная форма! Теперь мы можем получить квадратный корень с любой стороны (помня «плюс-минус» на строго числовой стороне):

кв.м. [( x — (1/4)) ² ] = ± кв.м. [21/16]

x — (1/4) = ± sqrt [21/16]

Теперь мы можем решить для значений переменной:

«плюс-минус» означает, что у нас есть два решения :

Решения также могут быть записаны в округленной форме или округлено до некоторого разумного числа десятичных знаков (например, двух).

---

Возможно, вам понадобятся округленные формы для «реальных» ответов на словесные задачи и для построения графиков. Например, для вышеупомянутого упражнения намного проще построить график перехвата при x = -0,9, чем попытаться построить график в форме квадратного корня с «минусом» в середине. Но (предупреждение!) В большинстве других случаев вы должны считать , что ответ должен быть в «точной» форме, со всеми квадратными корнями.

Когда вы заполняете квадрат, будьте внимательны со знаком числового коэффициента на x , когда вы умножаете этот коэффициент на половину. Если вы потеряете знак этого термина, вы можете получить неправильный ответ в конце концов, потому что вы забудете, какой знак идет в скобках в форме заполненного квадрата.

Кроме того, не будьте неряшливыми и подождите, пока знак плюс / минус не дойдет до самого конца. На ваших тестах у вас не будет ответов в ответ, чтобы «напомнить» вам, что вы «имели в виду» использовать плюс-минус, и вы, скорее всего, забудете поставить плюс-минус в ответе.Кроме того, нет никаких причин, чтобы ставить галочку на своего инструктора, делая что-то не так, когда это так просто сделать правильно.

На той же ноте, убедитесь, что вы рисуете знак квадратного корня, если необходимо, когда вы квадратный корень обе стороны. Не ждите, пока ответ в конце книги «напомнит» вам, что вы «хотели» поместить туда символ квадратного корня.

Если вы привыкнете быть неряшливым, вы только навредите себе!

---

• Решите x ² + 6 x — 7 = 0, заполнив квадрат.

Я сделаю ту же процедуру, что и в первом упражнении, в том же порядке. (Учебный совет: всегда работая с этими проблемами одинаково, вы сможете запомнить шаги при прохождении тестов.)

Сначала я запишу уравнение, которое они мне дали.

Я перемещаю постоянное слагаемое (свободное число) на другую сторону от «равно».

Первый член уже умножен только на 1, поэтому мне не нужно делить что-либо. Итак, этот шаг сделан.

Теперь я возьму бумажку и проведу вычисления. Во-первых, коэффициент «линейного» члена (т. Е. Члена с x , а не члена x ² ), со знаком , равен:

числовой коэффициент: +6

Я умножу это на 1/2:

производное значение: (+6) (1/2) = +3

Мой следующий шаг — возвести в квадрат это производное значение:

квадрат производного значения: (+3) ² = 9

Теперь я возвращаюсь к своему уравнению и добавляю это квадратное значение к любой из сторон:

Я упросту строго числовые данные с правой стороны:

А теперь я преобразую левую часть в форму готового квадрата, используя производное значение (которое я обвел в своей работе, чтобы не потерять его), а также его знак:

Теперь, когда левая часть имеет форму завершенного квадрата, я могу квадратный корень с каждой стороны, помня поставить знак «плюс-минус» на строго числовой стороне:

кв.м. [( x + 3) ² ] = ± кв.м. [16]

x + 3 = ± 4

..и тогда я решу для моих двух решений:

x = –3 ± 4

= –3 — 4, –3 + 4

= –7, 1

Тогда мой ответ:

---

Пожалуйста, найдите время, чтобы проработать два вышеупомянутых упражнения для себя, убедившись, что вы четко понимаете каждый шаг, как эти шаги работают вместе и как я пришел к перечисленным ответам.А затем найдите время, чтобы практиковать дополнительные упражнения из вашей книги. С практикой этот процесс может стать довольно простым, особенно если вы будете осторожны, выполняя одни и те же шаги в одном и том же порядке. Да, «в реальной жизни» вы бы использовали Квадратичную формулу или свой калькулятор, но вы должны ожидать, по крайней мере, один вопрос в следующем тесте (и, возможно, в финале), где вам необходимо показать шаги для завершения квадрата.

---

Партнерская

---

Примечание: поскольку решения для второго упражнения выше были целыми числами, это говорит о том, что мы могли бы решить это с помощью факторинга.

x ² + 6 x — 7 = 0

( x -1) ( x + 7) = 0

x — 1 = 0, x + 7 = 0

x = 1, x = — 7

---

Предупреждение. Если вы не согласны с тем, что не помните, что нужно ставить плюс / минус, как только вы получите квадратный корень с обеих сторон, то это пример типа упражнения, в котором вы столкнетесь с проблемами.Вы напишете свой ответ для второго упражнения выше как « x = –3 + 4 = 1» и не будете знать, как они получили « x = –7», потому что у вас не будет квадратного корня символ «напоминать» вам, что вы «имели в виду» поставить плюс / минус. Другими словами, если вы неаккуратны, эти более простых проблем с смущают вас!

На следующей странице мы сделаем еще один пример, а затем покажем, как квадратичная формула может быть получена из процедуры завершения квадрата…

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/sqrquad.htm

,

No related posts.