Y 1 x 2 функция – Mathway | Популярные задачи

y = x^3 + x^2 – x – 1 полное исследование функции и построение графика

Задание.
Выполнить полное исследование функции y = x^3 + x^2 — x – 1 и построение графика.

Решение.

1. Функция определяется для любых значений аргумента х, поэтому ее область определения от —\pi до +\pi.
2. Точки, в которых функция пересекается с координатными осями.

Ось Ох: при у = 0 нужно решить уравнение:

   

Преобразуем данное выражение, вынеся из двух первых слагаемых множитель х в квадрате, а из вторых двух слагаемых — минус:

   

Общий множитель выносим за скобки:

   

Решим полученное уравнение, разбив его на два более простых:
или

   

   

Получили две точки пересечения (—1; 0) и (1; 0).
Ось Оу:  при х = 0. Подставим это значение в уравнение функции:

   

1. Определим четность функции:

   

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

1. Степенные функции непериодичны.
2. Вычислим промежутки возрастания или убывания, а также точки экстремумов:

   

Найдем критические точки:

   

   

   

   

Рассмотрим поведение производной функции на трех полученных промежутках:
От —\pi до—1:
— функция возрастающая
От —1 до 1/3:
— функция убывает
От 1/3 до +\pi:
— функция возрастает
Получаем в точке —1 — точку максимума, а в точке 1/3 — точку минимума.
Найдем координату у этих точек:

   

   

1. Вычислим промежутки выпуклости или вогнутости и точку ее перегиба:

   

   

   

Рассмотрим знак 2-й производной на промежутках:
От —\pi до —1/3:
— функция выпукла вверх
От —1/3 до +\pi:
— функция выпукла вниз
Найдем координаты точки перегиба:

   

1. Функция не имеет точек разрыва.
2. Строим график функции.

ru.solverbook.com

повторение. 11 класс. Алгебра. Показательная функция.

data-ad-client=»ca-pub-8602906481123293″
data-ad-slot=»8834522701″
data-ad-format=»auto»>

• Функцию вида y=a^x, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.
• Область определения показательной функции: D (y)=R – множество всех действительных чисел.
• Область значений показательной функции: E (y)=R₊ — множество всех положительных чисел.
• Показательная функция  y=a^x возрастает при a>1.
• Показательная функция  y=a^x убывает при 0<a<1.

Справедливы все свойства степенной функции:

• а⁰=1  Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
•  а¹=а  Любое число в первой степени равно самому себе.
•  a^x∙a^y=a^x+y   При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
•  a^x:a^y=a^{x- y}  При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
• (a
  ^x)^y=a^xy   При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают
•  (a∙b)^x=a^x∙b^y   При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.
• (a/b)^x=a^x/b^y  При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.
•   а^-х=1/a^x
•  (a/b)^-x=(b/a)^x.

Примеры

.

1) Построить график функции y=2^x. Найдем значения функции

при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

x=0, y=2⁰=1;                   Точка А.

x=1, y=2¹=2;                   Точка В.

x=2, y=2²=4;                   Точка С.

x=3, y=2³=8;                   Точка D.              

x=-1, y=2^-1=¹/₂=0,5;       Точка K.

x=-2, y=2^-2=¹/₄=0,25;     Точка M.

x=-3, y=2^-3=¹/₈=0,125;   Точка

N.

Большему  значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y=2^x возрастает на всей области определения D (y)=R, так как основание функции 2>1.

2) Построить график функции y=(¹/₂)^x. Найдем значения функции

при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

x=0, y=(½)⁰=1;                  Точка A.

x=1, y=(½)¹=½=0,5;          Точка B.

x=2, y=(½)²=¼=0,25;        Точка C.

x=3, y=(½)³=1/8=0,125;    Точка D.

x=-1, y=(½)^-1=2¹=2;          Точка K.

x=-2, y=(½)^-2=2²=4;          Точка M.

x=-3, y=(½)^-3=2

3=8;          Точка N.

 

Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция y=(¹/₂)^x убывает на всей своей области определения: D (y)=R, так как основание функции  0<(¹/₂)<1.

3) В одной координатной плоскости построить графики функций: 

y=2^x, y=3^x, y=5^x, y=10^x. Сделать выводы.

График функции у=2^х мы уже строили, графики остальных функций строим аналогично, причем, достаточно будет найти значения функций при х=0 и при х=±1.

Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R

), при этом значение у всегда будет больше нуля  (E (y)=R₊).

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем больше основание а (если a>1) показательной функции у=а^х, тем ближе расположена кривая к оси Оу.

Все  данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

 

4) В одной координатной плоскости построить графики функций:

y=(¹/₂)^x, y=(¹/₃)^x, y=(¹/₅)^x, y=(¹/₁₀)^x. Сделать выводы.

Смотрите построение графика функции y=(

1/₂)^x выше, графики остальных функций строим аналогично, вычислив их значения при х=0 и при х=±1.

Переменная х может принимать любое значение: D (y)=R, при этом область значений функции: E (y)=R₊.

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю.

Чем меньше основание а (при 0<a<1) показательной функции у=а^х, тем ближе расположена кривая к оси Оу.

Все  эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Решить графически уравнения:

1) 3^x

=4-x.

В одной координатной плоскости построим графики функций: у=3^х и у=4-х.

 

Графики пересеклись в точке А(1; 3).

 

Ответ: 1.

 

 

 

 

2) 0,5^х=х+3.

 

В одной координатной плоскости строим графики функций: у=0,5^х

(y=(¹/₂)^x )

 и у=х+3.

Графики пересеклись в точке В(-1; 2).

Ответ: -1.

 

 

Найти область значений функции: 1) y=-2^x; 2) y=(¹/₃)^x+1; 3) y=3^x+1-5.

Решение.

 1) y=-2^x 

Область значений показательной функции y=2^x – все положительные числа, т.е.

0<2^x<+∞. Значит, умножая каждую часть двойного неравенства на (-1), получаем:

— ∞<-2^x<0.

Ответ: Е(у)=(-∞; 0).

 2) y=(¹/₃)^x+1;

0<(¹/₃)^x<+∞, тогда, прибавляя ко всем частям двойного неравенства число 1, получаем:

0+1<(¹/₃)^x+1<+∞+1;

1<(¹/₃)^x+1<+∞.

Ответ: Е(у)=(1; +∞).

 3) y=3^x+1-5.

Запишем функцию в виде: у=3^х∙3-5.

0<3^x<+∞;   умножаем все части двойного неравенства на 3:

0∙3<3^x∙3<(+∞)∙3;

0<3^x∙3<+∞;  из всех частей двойного неравенства вычитаем 5:

0-5<3^x∙3-5<+∞-5;

— 5<3^x∙3-5<+∞.

Ответ: Е(у)=(-5; +∞).

Смотрите Карту сайта, и Вы найдете нужные Вам темы!

 

Запись имеет метки: Показательная функция

www.mathematics-repetition.com

Постройте график функции y=2x-1. Постройте график функции y=2x-1.

возьми значения х=0, 2, например. Вычисли У и построй по точкам.

дай майл помогу

У = 0 ; Х = 1/2. Х = 0; У = -1. Через две точки прямую провести сможешь?

<img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/e29db612970195dc8839ed3d7f6e89cb_i-710.jpg» >

Как построить график данной функции? Графиком данной функции y=kx+b является прямая, в твоем случае это y=2x-1 здесь k=2, а b=-1. Подставляем цифры вместо x: их значения могут быть любыми, так как ооф (-беск; +беск) . Например, поставь вместо х 0 и 2, этого достаточно, поскольку для построения прямой нужно всего две точки. Отмечаем их на координатной плоскости и проводим прямую. Это и будет график данной функции.

touch.otvet.mail.ru