Значения тригонометрических функций основных углов
Найдём значения тригонометрических функций для углов в 30°, 45° и 60°.
1) Для угла в 30°
Возьмём прямоугольный треугольник с острым углом в 30°. Обозначим длину гипотенузы АВ через с и выразим длины катетов.
ВС = с/2, как катет, лежащий против угла в 30°.
Катет АС найдём по теореме Пифагора.
$$ AC = \sqrt{AB^2 — BC^2} = \sqrt{c^2 — \frac{c^2}{4}} = \sqrt{\frac{3c^2}{4}} = \frac{c\sqrt3}{2} $$Тогда
sin30o = \( \frac{BC}{AB}=\frac{\frac{c}{2}}{c}=\frac{1}{2}=0,5 \)
tg30o = \( \frac{BC}{AC}=\frac{\frac{c}{2}}{\frac{c\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\approx 0,5774 \)
cos30o= \( \frac{AC}{AB}=\frac{\frac{c\sqrt3}{2}}{c}=\frac{\sqrt3}{2}\approx 0,8660 \)
2) Для угла в 45°.
Возьмём прямоугольный треугольник с острыми углами по 45°.
Обозначим длину гипотенузы AB через c и выразим длины катетов. АС = BC, следовательно, по теореме Пифагора
AB2 = 2BC2, откуда
$$ BC^2 = \frac{AB^2}{2} = \frac{2AB^2}{4} = \frac{2c^2}{4} $$
Значит, \(BC = \sqrt{\frac{2c^2}{4}} = \frac{c\sqrt2}{2}\), одновременно и \(AC = \frac{c\sqrt2}{2}\)
sin 45° = \( \frac{BC}{AB} = \frac{\frac{c\sqrt2}{2}}{c} = \frac{\sqrt2}{2} \approx 0,7071 \)
tg 45°= \( \frac{BC}{AC} = 1 \)
cos 45°= \( \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt2}{2} \approx 0,7071 \)
3) Для угла в 60°
Значения тригонометрических функций для угла в 60° можно найти из того же треугольника, из которого нашли значения тригонометрических функций для угла в 30°, так как если ∠A = 30°, то ∠В = 60°.
Тогда
sin 60° = \( \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt3}{2} \approx 0,8660 \)
tg 60° = \( \frac{AC}{BC} = \sqrt3 \approx 1,7321 \)
cos 60° = \( \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2} = 0,5\)
Таблица значений тригонометрических функций для углов в 30°, 45° и 60°.
|
УГОЛ |
СИНУС |
КОСИНУС |
ТАНГЕНС |
|
30о |
\( \frac{1}{2}=0,5 \) |
\( \frac{\sqrt3}{2}\approx 0,8660 \) |
\( \frac{\sqrt3}{3}\approx 0,5774 \) |
|
45о |
\( \frac{\sqrt2}{2}\approx 0,7071 \) |
\( \frac{\sqrt2}{2}\approx 0,7071 \) |
1 |
|
60о |
\( \frac{\sqrt3}{2}\approx 0,8660 \) |
\( \frac{1}{2}=0,5 \) |
\( \sqrt3 \approx 1,7321 \) |
Рассматривая эту таблицу, можно заметить, что синус и тангенс острого угла возрастают при увеличении угла, а косинус при увеличении угла убывает.
При уменьшении угла синус и тангенс убывают, а кoсинус возрастает.
Тригонометрические функции дополнительных углов
Дополнительными углами называются два угла, которые в сумме составляют 90°. Такими углами, в частности, являются острые углы прямоугольного треугольника.
Углы А и В в прямоугольном треугольнике ACB являются дополнительными углами, так как
∠A + ∠B = 90°; ∠A = 90° — ∠B; ∠В = 90° — ∠A
Рассмотрим соотношения между тригонометрическими функциями дополнительных углов.
1) \( sinA = \frac{a}{c}; cosB = \frac{a}{c} \), т. e. синус данного угла равен косинусу дополнительного угла.
2) \( cosA = \frac{b}{c}; sinB = \frac{b}{c} \), т.е. косинус данного угла равен синусу дополнительного угла.
3) \( tgA = \frac{a}{b}; ctgB = \frac{a}{b} \), т.е. тангенс данного угла равен котангенсу дополнительного угла.
4) \( ctgA = \frac{b}{a}; tgB = \frac{b}{a} \), т.e. котангенс данного угла равен тангенсу дополнительного угла.
Знание соотношений между тригонометрическими функциями дополнительных углов важно для понимания устройства тригонометрических таблиц.
razdupli.ru
Значение тригонометрических функций
Кому-то тригонометрия покажется слишком мудреной – сплошные синусы и косинусы. Но стоит в ней поглубже разобраться и все становится проще простого, некоторым она даже понравится.
Так с чего же начать? А начнем мы с того, что науке этой не одна сотня лет, двадцать веков люди колдуют над ней. В переводе с латыни на современный лад тригонометрия означает решение треугольников или выведение всех его сторон, углов и прочих элементов на основании имеющихся данных. Само слово «тригонометрия» созвучно уже c хорошо знакомой всем геометрией. Оказывается они похожи не только на слух, но и напрямую связаны. Но, все по порядку…
Тригонометрические функции
Для наглядности изобразим прямоугольный треугольник, в котором стороны обозначим а, в, с и выберем один из острых углов – х:
В прямоугольном треугольнике, как вы помните, стороны, образующие прямой угол, называются катетами, в нашем случае это а и в, третья сторона с – это гипотенуза.
Так вот, еще в древности люди заметили любопытную вещь. Проследим их действия. Сперва измерим сторону в, допустим она будет 4см. Теперь а – пусть ее длина 3см. Ну а теперь разделим длины сторон а и в, т.е. возьмем их отношение и получим а/в = 3/4.
Если хотите, сделайте наоборот, разделите в на а — особой роли это не играет. Получаем 4/3. Можно и в разделить на с, но тогда надо точно знать длину гипотенузы. В общем, подойдет любой вариант.
Теперь возьмем и увеличим наш треугольник, но только так, чтобы угол х не менялся и треугольник оставался прямоугольным. Изменившиеся стороны а, в и с обозначим соответственно m, n, k.
Стороны треугольника изменились, а вот их отношения – нет!
Было а/в = 3/4, получилось m/n = 6/8 = 3/4. Это же справедливо и для других сторон. Можно свободно изменять длину сторон в прямоугольном треугольнике — уменьшать, увеличивать, но обязательно оставлять неизменным угол х – отношения сторон не изменятся. Вот такую вот закономерность и заметили древние математики. Любопытно, не правда ли?
Но как только мы затронем угол х, сразу все отношения сторон меняются. И это имеет большое значение.
Таким образом, в прямоугольном треугольнике при неизменном угле отношения сторон не зависят от длин этих сторон, но резко становятся зависимы от этого самого угла!
Вот здесь нам предстоит первое знакомство.
Синусом угла хназывается отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе:
sin x = а/с
Косинусом угла хназывается отношение прилежащего (ближнего) катета к гипотенузе:
cos x= в/с
Тангенсом угла хназывается отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему:
tg x = а/в
Котангенсом угла хназывается отношение прилежащего (ближнего) катета к противолежащему:
ctg x = в/а
Чтобы легче было запомнить, отметим для себя, что в тангенсе и котангенсе заложены отношения катетов, а в синусе и косинусе еще и гипотенуза появляется.
Как видите – ничего сложного. Все эти непонятные синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы – это просто некоторые безразмерные числа. Для каждого угла – свои.
Кстати, может вы заметили – мы не трогали отношения гипотенузы к катетам, потому как в школьной программе они не рассматриваются и мы не станем, хотя называются они не менее мудрено — секанс и косеканс.
Если собрать в кучу все наши синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы мы получим так называемые тригонометрические функции.
Каждое из определений всех тригонометрических функций надо знать назубок, потому что они понадобятся нам в дальнейшем для решения разного рода задач.
И еще один немаловажный момент — угол и его тригонометрические функции крепко-накрепко связаны друг с другом. Это значит, что каждому углу соответствуют свои синус и косинус, и почти каждому — свой тангенс и котангенс. Принято считать, что если у нас есть угол, то его синус, косинус, тангенс и котангенс автоматически становятся известны! Это же утверждение выполняется и в обратном порядке — дан синус, косинус или еще какая-нибудь тригонометрическая функция – значит, известен и угол. Для каждого угла создали специальные таблицы, в которых разложены его тригонометрические функции. Называются они — таблицы Брадиса, причем составлены они еще до появления компьютеров, и даже калькуляторов.
Знать тригонометрические функции всех углов совсем необязательно, да и вряд ли кому по силам, а вот для определенных запомнить все же придется.
Рассмотрим первый пример.
Из условий задачи дан только рисунок:
И больше ничего. Требуется найти длину короткого катета ВС.
Все-таки кое-какую информацию все же еще можно выудить. Сетка явно нам для чего-то дана, вот к ней и привяжемся. Как видим – гипотенуза занимает 8клеток.
Вот здесь вспоминаем магическое заклинание «мне известен угол – значит мне известны его тригонометрические функции». Но какую из них выбрать? Нам надо найти прилежащий катет. Вспоминаем, в каком из определений он упоминается. Конечно же – косинус. Вот его то и будем использовать. Итак, исходя из определения косинуса:
Cos602 = ВС/AC
Примем АС длиной в 8 клеток, получим:
Cos600=ВС/8 = 1/2 (это одно из табличных значений, которые надо знать)
Получаем ВС = 4.
Как видим все очень просто. До поры, до времени…
А что, если наш угол х (смотрим рисунок выше) сделать тупым? Сразу пропадут и катеты, и гипотенуза. Откуда брать синус? Если бы выход из этого положения не был бы найден, мы так и продолжали бы сидеть в средневековье и не узнали бы всех прелестей радио и телевидения, не существовало бы понятия интернет, да что там говорить – сидели бы при факелах и свечках – электричества-то тоже бы не было. А все потому, в основе всех этих благ цивилизации лежат уже знакомые нам тригонометрических функции. Но мы с вами общаемся, значит предки все-таки постарались. Как же им это удалось? Значение тригонометрических функций понимаешь только тогда, когда погружаешься в тонкости той или иной области нашей жизни. Если сказать на молодежном сленге – математика «рулит»!
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
reshit.ru
Значения тригонометрических функций некоторых углов [wiki.eduVdom.com]
Теорема 1. Для любого острого угла α $$ \bf{
\sin (90° — \alpha) = \cos \alpha
\\ \cos (90° — \alpha) = \sin \alpha
} $$
Доказательство. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с острым углом α при вершине А (см. рис.1).
Рис.1
Тогда острый угол при вершине В равен 90° — α. Согласно определению $$ \sin (90° — \alpha ) = \frac{AC}{AB} \\ \cos (90° — \alpha) = \frac{BC}{AB} $$ или , с учетом формул (1) и (2), $$ \sin (90° — \alpha) = \cos \alpha \\ \cos (90° — \alpha) = \sin \alpha $$ Теорема доказана.
Пример 1. Найти значения sin 45°, cos 45° и tg 45°.
Решение. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник (рис.2).
Равнобедренный прямоугольный треугольник
Рис.2
В нем каждый острый угол равен 45°. Пусть его катеты равны а. По теореме Пифагора его гипотенуза равна $ a\sqrt{2} $. Теперь по определению имеем: $$ \sin 45° = \frac{a}{a \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \cos 45° = \frac{a}{a \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ {\rm tg}\, 45° = \frac{a}{a} = 1 $$
Пример 2. Найти значения sin 30°, cos 30° и tg 30°.
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого один из острых углов равен 30° (рис.3).
Прямоугольный треугольник с углом 30°
Рис.3
Пусть его гипотенуза равна с. Так как катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы (пример 3) и, значит (с учетом примера 1) $$ \cos 30° = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ {\rm tg}\, 30° = \frac{ \sqrt{3} }{3} $$
Пример 3. Найти значения sin 60° и tg 60°.
Решение. Согласно установленной выше теореме имеем: $$ \sin 60° = \sin (90° — 30°) = \cos 30° = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \cos 60° = \cos (90° — 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2} $$ Отсюда $$ {\rm tg}\, 60° = \frac{ \sin 60° }{ \cos 60° } = \frac{ \sqrt{3} \bullet 2 }{ 2 \bullet 1 } = \sqrt{3} $$
www.wiki.eduvdom.com
Как определять тригонометрические значения некоторых углов самостоятельно
Разделы: Математика
Как известно, cos 30o=, значит легко найти по формуле половинного угла sin15o= = = ; cos15o==.
Определить тригонометрические значения некоторых других углов нам поможет равнобедренный ABC с углом при вершине 36o.
Итак, < ABC = 36o, значит < BAC = < BCA = 72o.
Проведем биссектрису CD из < BCA в ABC. < ACD = 36o, значит < ADC = 180o— (< ACD + < BAC) = 72o. Получено: < ADC = < DAC = 72o, поэтому ACD - равнобедренный AC=CD.
В BDC < DBC = < DCB = 36o, поэтому BDC - равнобедренный BD=CD. Следовательно, AC=CD=BD.
Очевидно, что углы ACD и ABC равны друг другу, значит, ACD подобен ABC.
Выразим AC через AB.
Решим квадратное уравнение относительно AB.
Очевидно, рассматривается только один корень, так как второй корень будет отрицательным.
Итак, получим
AB = = , то есть =
Если провести высоту BK в ABC, то получим:
= = sin < ABK = sin 18 = = .
Не трудно теперь найти cos 18o;
cos 18o = = = .
Зная sin 18o, cos 18o, sin 15o, cos 15o можно с помощью формул тригонометрических значений суммы и разности углов можно получить:
sin 3o= sin (18o— 15o) = sin 18ocos 15o - sin 15ocos 18oили cos 33o = cos (18o+ 15o) = cos 18ocos 15o- sin 18osin15o.
Можно так же вычислить tg и ctg этих углов. Здесь у учащихся открываются большие возможности, широкое поле деятельности.
Можно находить тригонометрические значения углов 48o = 45o + 3o или 42o = 45o - 3o, можно через формулы двойного угла найти тригонометрические значения угла в 6o, например sin6o = 2 sin 3ocos 3o и т. д.
С помощью формулы приведения ясно, что можно найти cos72o = sin18o= и т.д.
В качестве домашнего задания можно предложить учащимся упорядочить полученные данные и составить свою таблицу для некоторых углов.
Это будет служить заодно повторением основных тригонометрических формул.
21.01.2008
Поделиться страницей:urok.1sept.ru