Непрерывность и дискретность в математике
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
НЕПРЕРЫВНОСТЬ И
ДИСКРЕТНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ
o
o
o
o
Телина Екатерина
Сливински Диана
Тареев Максим
Краснов Никита
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСКРЕТНОСТИ
Дискре́тность (от лат. discretus — разделённый, прерывистый) — свойство,
противопоставляемое непрерывности, прерывистость. Синонимы к слову дискретный:
корпускулярный, отдельный, прерывистый, раздельный и т.
Дискретность — всеобщее свойство материи. Так, дискретным называют процесс,
изменяющийся между несколькими различными стабильными состояниями, например,
процесс перемещения стрелки в механических часах. Дискретные системы (объекты)
рассматриваются как состоящие из чётко отграниченных (логически или физически)
элементов; также дискретными иногда называют и сами элементы дискретной системы
на уровне её рассмотрения.
ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ
oДискретная математика — дискретным называется счётное множество,
эта концепция также важна в комбинаторике и теории вероятностей.
oОбщая топология — дискретным называется множество, состоящее
лишь из изолированных точек.
oЭлектротехника — дискретный означает «имеющий раздельные
электронные компоненты», например, отдельные резисторы и
транзисторы. Это противопоставляется интегральным микросхемам.
oТеория информации и обработка сигналов — дискретный сигнал.
НЕПРЕРЫВНАЯ И ДИСКРЕТНАЯ
ИНФОРМАЦИЯ
Информация о различных природных явлениях и технологических процессах
воспринимается человеком (при помощи органов чувств и/или различной
измерительной аппаратуры) в виде каких-либо полей.
С математической точкизрения такие поля представляют собой функции , где t – время, x – точка, в которой
измеряется поле, y – величина поля в этой точке. При измерениях поля в
фиксированной точке x=a функция вырождается в функцию времени , которую
можно изобразить в виде графика. В большинстве случаев все скалярные величины,
входящие в соотношение (т.е. t, y и координаты точки x), могут принимать
непрерывный ряд значений, измеряемых вещественными числами.
Под непрерывностью здесь понимается то, что рассматриваемые величины могут
изменяться сколь угодно мелкими шагами. Поэтому представленную таким образом
используется термин аналоговая информация.
НЕПРЕРЫВНАЯ И ДИСКРЕТНАЯ
ИНФОРМАЦИЯ
Если применительно к той же самой информации о поле установить минимальные
шаги изменения всех характеризующих ее скалярных величин, то получим так
называемое дискретное представление информации, или по-другому, говорят –
дискретная информация.
Т. к. точность измерений (как и человеческого восприятия)всегда ограничена, то, даже имея дело с непрерывной информацией, человек
воспринимает ее в дискретном виде. Однако, любая непрерывная информация
может быть аппроксимирована дискретной информацией с любой степенью
точности. Поэтому можно говорить об универсальности дискретной формы
представления информации.
Результаты измерения любых скалярных величин представляются в конечном итоге в
числовом виде. И т.к. при заданной точности измерений эти числа представимы в
виде конечных наборов цифр (с запятой или без нее), то дискретную форму
представления информации часто отождествляют с цифровой информацией.
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!<3
English Русский Правила
Дискретная математика.
33
Дискретная
математика – это часть математики,
занимающаяся изучением свойств структур
дискретного характера. Эти структуры
возникают как в самой математике, так
и в ее приложениях, в том числе в экономике,
кибернетике и т.
д. Дискретность –
антипод непрерывности. Дискретное – раздельное, состоящее из разрозненных
частей.
Использование классической или дискретной математики как аппарата исследования связано с характером задач, которые рассматривает исследователь, какую модель он рассматривает дискретную или непрерывную. Например, конечное по количеству – всегда дискретно. Методы дискретной математики характеризуются необходимостью отказа от основополагающих понятий классической математики, таких как предел, производная, интеграл и т.д.
Множества.
Состав объектов исследования может быть представлен в виде дискретного множества. Множество – основное понятие в теории множеств, которое вводится без определения.
Основные понятия.
Множество состоит из элементов. Принадлежность
элемента a множеству М обозначается a M, непринадлежность – aM.
Множество A называется подмножеством
П римеры
В В В 1. Множество студентов ВВФ МТУСИ.
2. Множество задач в контрольной работе.
А 3. Множество натуральных чисел.
4. Множество натуральных чисел, не превосходящих 100.
Некоторые множества имеют стандартные обозначения.
N – множество всех натуральных чисел;
Z – множество всех целых чисел;
Q – множество всех рациональных чисел;
R – множество всех действительных чисел;
C – множество всех комплексных чисел;
B = {0, 1}, это множество называется булевым отрезком.
Пусть Р – некоторое свойство, которым может обладать или не обладать элемент множества А (a A). Тогда через { a A │P(a)} обозначается множество всех элементов, обладающих свойством Р.
П р и м е р . М = {n N │n/2 N, n ≤ 100} – множество четных чисел, не превышающих 100.
Или по другому
М = { x │P(x)} − множество М, состоящее из элементов x, обладающих свойством Р.
Операции над множествами.
Объединением множеств A и B (A B)
называется множество, состоящее из всех
тех элементов. которые принадлежат хотя
бы одному из множеств А или В.
Разностью множеств A и B (A \ B) называется множество всех тех и только тех элементов множества А, которые не содержатся в В.
Если при решении данной задачи рассматриваются только подмножества некоторого множества U, то множество U называется универсумом (универсальным множеством).
Дополнением множества А (обозначается называется множество U \ A .
Пересечением множеств A и B (A
A A B
А В A \ B A B
Геометрическое
представление множеств называется диаграммой Венна.
П р и м е р 1. Пусть U = {1, 2, 3, 4), A = {1, 3, 4}, B = {2, 3}, C = {1, 4}. Тогда,
П р и м е р 2 . Пусть U ={a, b, c, d, e}. A ={a, b}, B = {a, c, d}, C = {b, c, d, e}. Тогда
A (B C) = {a, b} ({a, c, d} {b, c, d, e}) = {a, b} {a, b, c, d, e}= {a, b}.
Почему важна дискретная математика
Большинство учебных программ по математике в средних и старших классах следуют четко определенному пути:
Предварительная алгебра → Алгебра 1 → Геометрия → Алгебра 2 → Тригонометрия / Предварительное исчисление → Исчисление
Другие средние и старшие школы предпочитают «интегрированный» учебный план, в котором элементы алгебры, геометрии и тригонометрии смешиваются вместе в течение трех- или четырехлетнего цикла.
Однако в обоих этих подходах, как правило, не уделяется много внимания дискретной математике .0006: такие темы, как комбинаторика, вероятность, теория чисел, теория множеств, логика, алгоритмы и теория графов. Поскольку дискретная математика не занимает видного места на «высоких ставках» в средних или старших классах средней школы в большинстве штатов, а также потому, что она также не занимает видного места на вступительных экзаменах в колледжи, таких как SAT, ее часто упускают из виду.
Однако в последние годы дискретная математика приобретает все большее значение по ряду причин. И вот почему:
Дискретная математика необходима для обучения математике в колледже и не только.
Дискретная математика вместе с исчислением и абстрактной алгеброй является одним из основных компонентов математики на уровне бакалавриата. Учащиеся, изучившие значительный объем дискретной математики до поступления в колледж, получат значительное преимущество при прохождении математических курсов на уровне бакалавриата.
Дискретная математика — это математика вычислений.
Математика современной информатики почти полностью построена на дискретной математике, в частности на комбинаторике и теории графов. Это означает, что для изучения основных алгоритмов, используемых программистами, учащимся потребуется солидная подготовка по этим предметам. Действительно, в большинстве университетов курс дискретной математики на уровне бакалавриата является обязательной частью получения степени в области компьютерных наук.
Дискретная математика очень похожа на математику «реального мира».
Многие ученики жалуются на традиционную школьную математику — алгебру, геометрию, тригонометрию и т. п. — на . Для чего это нужно? Несколько абстрактный характер этих предметов часто отталкивает учащихся. Напротив, дискретная математика, в частности счет и вероятность, позволяет учащимся — даже на уровне средней школы — очень быстро исследовать нетривиальные проблемы «реального мира», которые являются сложными и интересными.
Дискретная математика фигурирует на большинстве математических олимпиад средней и старшей школы.
Известные математические соревнования, такие как MATHCOUNTS (на уровне средней школы) и American Mathematics Competitions (на уровне старшей школы), включают дискретные математические вопросы в качестве значительной части своих соревнований. В более сложных школьных соревнованиях, таких как AIME, количество дискретной математики еще больше. Учащиеся, не имеющие дискретного математического образования, окажутся в значительном невыгодном положении в этих конкурсах. На самом деле, один известный тренер по MATHCOUNTS говорит нам, что почти 50% своего времени подготовки он проводит со своими учениками, изучая темы счета и вероятности из-за их важности в соревнованиях по MATHCOUNTS.
Дискретная математика учит математическим рассуждениям и методам доказательства.
Алгебре часто преподают как набор формул и алгоритмов для запоминания учащимися (например, квадратичная формула, решение систем линейных уравнений путем подстановки и т.
д.), а геометрию часто преподают как набор определение > теорема > доказательство упражнений, которые часто выполняются наизусть (например, печально известное «доказательство в две колонки»). Хотя предмет, который преподается, несомненно, важен, материал (по крайней мере, на вводном уровне) не поддается серьезному математическому мышлению. Напротив, с дискретной математикой учащиеся будут мыслить гибко и творчески прямо из коробки. Формул для запоминания относительно немного; скорее, есть ряд фундаментальных концепций , которые нужно освоить и применять разными способами.
Дискретная математика — это весело.
Многим учащимся, особенно способным и целеустремленным, алгебра, геометрия и даже математический анализ кажутся скучными и скучными. Редко это случается с большинством дискретных математических тем. Когда мы спрашиваем студентов, какая у них любимая тема, большинство отвечает либо «комбинаторика», либо «теория чисел». (Когда мы спрашиваем их, какая у них самая нелюбимая тема, подавляющим большинством ответов является «геометрия».
) Проще говоря, большинство учащихся находят дискретную математику более увлекательной, чем алгебру или геометрию.
Мы настоятельно рекомендуем, чтобы учащиеся, прежде чем перейти к изучению геометрии, уделили некоторое время изучению элементарной дискретной математики, в частности счету, теории вероятностей и теории чисел. Учащиеся могут начать изучать дискретную математику, изучив наши учебники «Введение в счет и теорию вероятностей» и «Введение в теорию чисел» или записавшись на наши вводные занятия по счету и теории чисел, имея очень небольшой опыт работы с алгеброй.
Хотите узнать больше по этой теме? См. нашу статью «Не попадитесь в ловушку исчисления», в которой обсуждаются подводные камни слишком быстрого и/или недостаточно подготовленного подхода к исчислению.
| Семинар по дискретной математике | |||||||||||||||||||
| Дискретная математика — это быстрорастущая и все более широко используемая область математики, имеющая множество практических и актуальных приложений.
Дискретная математика оживит математические концепции для ваших учеников. Это отличный инструмент для улучшения мышления и навыков решения проблем, который подходит для учащихся всех уровней и способностей. Учителя обнаружили, что дискретная математика предлагает способ мотивировать немотивированных учеников и в то же время бросать вызов талантливым ученикам. Поскольку многие дискретные математические задачи просто сформулированы и имеют мало математических предварительные условия, они могут быть легко вводится на уровне средней школы. ПРИМЕР: Линейное программированиеМинимизируйте C = 3x + 2y на данном допустимом поставил. Студенты потратили много времени на построение линий не видя, как это может быть полезно. Линейное программирование — мощный инструмент для нахождение оптимального значения линейной функции на некотором допустимом множестве. Допустимый набор получается путем решения системы линейных неравенства. Решения можно найти графически, так что даже студенты, которые не изучаемые системы уравнений могут решать эти проблемы. ПРИМЕР: Систематический список и подсчетЗдесь 45 существ. Сколько из них рыбы? Систематический перечень и подсчет имеют решающее значение
аналитические способности, которые играют фундаментальную роль
роль во многих областях математики, в
особая вероятность. ПРИМЕР: Сколько возможностей?Комбинации и перестановки могут варьироваться от простых до очень сложных. проблемы, а используемые понятия имеют отношение к повседневной жизни. Проблемы и методы решения могут настолько различаться, что эти математические идеи могут быть использованы с учениками от начальной школы до средняя школа. Даже младшие школьники с ограниченными навыками чтения могут решать задачи с сочетаниями небольшого количества предметов. Например, учитывая, что у одноклассника две рубашки и три пары брюк, ученики могут определить, что существует шесть возможных нарядов. Они могут рассуждать о эту проблему и даже вытягивать разные варианты. Учащимся более старшего возраста могут помочь более продвинутые стратегии решения. для решения более сложных задач, таких как:
ПРИМЕР: Какая пиццерия находится ближе всего?Диаграммы Вороного позволяют учащимся и учителям изучить технику который используется в различных приложениях, и в то же время используя навыки критического мышления и геометрические понятия. Эти типы диаграмм позволяют отображать области в заданной области. пространство, наиболее близкое к той или иной заданной точке. За Например, если в вашем городе 17 магазинов мороженого одинакового качества. город, диаграмма Вороного может показать вам, какой из них ближе всего к каждому район города. Этот пример показан на картинке ниже. Этот метод используется в биологии, химии, геологии, лесном хозяйстве и
больше, а также в планировании и размещении ресурсов. | ||||||||||||||||||
Много
нюансы подсчета, которые часто упускают
на начальных курсах. Одна из наших целей —
пролить свет на эту тему, изучив множество
примерами и использованием различных
стили обучения.
