Как в математике находить вероятность в математике формула: Теория вероятностей на ЕГЭ по математике. Формулы, теория, решения

Относительная частота и статистическая вероятность. Основные формулы и типовые задачи

Высшая математика / Справочник по теории вероятностей

21.05.201525.11.2015

Относительная частота и статистическая вероятность. Основные формулы и решения типовых задач
Относительная частота (частость) события А определяется равенством

где n — общее число проведенных испытаний; m — число испытаний, в которых событие А наступило (иначе — частота события А).
При статистическом определении за вероятность события принимают его относительную частоту, найденную по результатам большого числа испытаний.
Задача №1. При определении всхожести партии семян взяли пробу из 1000 единиц. Из отобранных семян не взошло 90. Какова относительная частота появления всхожего семени?
Решение. Обозначим событие: А — отобрано всхожее семя. Найдем относительную частоту события А, применив формулу (5). Общее число проведенных испытаний n = 1000. Число испытаний, в которых событие А наступило, равно m = 1000 — 90 = 910.
Относительная частота события А равна
Задача №2. Для проведения исследований на некотором поле взяли случайную выборку из 200 колосьев пшеницы. Относительная частота (частость) колосьев, имеющих по 12 колосков в колосе, оказалась равной 0,123, а по 18 колосков — 0,05. Найти для этой выборки частоты колосьев, имущих по 12 и по 18 колосков.
Решение. Рассмотрим события: A — взят колос, имеющий 12 колосков; В — взят колос, имеющий 18 колосков.
Найдем частоты и событий А и В применив формулу (5).
Обозначим через относительную частоту события A, а через относительную частоту события В. Так как число проведенных испытаний n = 200, то
Задача №3. Многолетними наблюдениями установлено, что в некоторой области ежегодно в среднем в тридцати хозяйствах из каждых ста среднегодовой удой молока от одной коровы составляет 4 100 — 4 300 кг. Какова вероятность того, что в текущем году в одном из хозяйств этой области, отобранном случайным образом, будет получен такой среднегодовой удой?
Решение. Обозначим событие: А — в текущем году в хозяйстве области, отобранном случайным образом, среднегодовой удой молока от одной коровы составит 4 100 — 4 300 кг.
Вероятность события А найдем, воспользовавшись ее статистическим определением.
Располагая статистическими данными, найдем, что относительная частота хозяйств области, в которых ежегодно имеют указанный средне-годовой удой молока от одной коровы, равна 0,3. Так как эти данные получены в результате проведения большого числа наблюдений, выполняемых в течение многих лет, то можно принять, что вероятность события А равна Р(А) = 0,3.

ТегиКакова вероятностьнайти вероятностьОтносительная частотарешение задач по теории вероятностейстатистическая вероятность

Решение задач с монетами — презентация онлайн

Однотипные задачи под номерами одного цвета.
Чтобы увидеть решение задачи, кликните по тексту.
Чтобы увидеть ответ к задаче, кликните по кнопке:
Вероятностью события А называется отношение
числа благоприятных для него исходов испытания к
числу всех равновозможных исходов.
где m — число исходов, благоприятствующих
осуществлению события,
а n — число всех возможных исходов.
Вероятность достоверного события равна единице.
Вероятность невозможного события равна нулю.
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
Формула сложения вероятностей совместных событий:
P(A U B) =P(A) + P(B) – P(A∩B)
5. Вероятность появления одного из двух несовместных
событий равна сумме вероятностей этих событий.
P(A U B) =P(A) + P(B)
6. Вероятность произведения независимых событий А и В
(наступают одновременно)вычисляется по формуле:
P(A∩B) = P(A) ∙ P(B).
7. Формула умножения вероятностей:
P(A∩B) = P(A) ∙ P(B/A),
где P(B/A) – условная вероятность события В,
при условии, что событие А наступило.
1.
2.
3.
4.
8. Формула Бернулли – формула вероятности k успехов в
серии из n испытаний
P( A) Сnk p k q n k ,
где С nk – число сочетаний,
р – вероятность успеха,
q = 1 – р – вероятность неудачи.
При подбрасывании симметричной монеты, когда р = q = ½ ,
формула Бернулли принимает вид:
P( A)
Сnk
2
n
.
Например, вероятность выпадения орла дважды в трех
испытаниях:
С32
3
8
23
P( A)
.
1. Большинство задач можно решить
с помощью классической формулы
вероятности:
2. Задачи с монетами ( и игральной костью) при небольшом
количестве подбрасываний удобно решать методом перебора
комбинаций.
Метод перебора комбинаций:
– выписываем все возможные комбинации орлов и решек.
Например, ОО,ОР,РО, РР. Число таких комбинаций – n;
– среди полученных комбинаций выделяем те, которые
требуются по условию задачи (благоприятные исходы),– m;
– вероятность находим по формуле:
3. При решении задач с монетами число всех возможных
исходов можно посчитать по формуле
Аналогично при бросании кубика
4. Комбинаторный метод решения можно применять
при подсчете количества исходов с помощью формул
комбинаторики.
21.В случайном эксперименте симметричную монету бросают
дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно
один раз.
Решение
Ответ: 0,5
I способ (метод перебора комбинаций)
Монету бросают 2 раза.
Обозначения: О – выпадение орла, Р – выпадение
решки, {О Р}- выпадение орла в первом броске,
решки – во втором.
n = 4 – число всех возможных исходов:
m = 2 – число благоприятных исходов
(выпадение орла ровно один раз)
{О О}
{О Р}
{Р О}
{Р Р}
Р
О
II способ
(дерево возможных вариантов)
m=4
О
Р
О
n=2
Р
IIIспособ
Р(С) = Р(АUВ) = Р(А) + Р(В),
где событие С – орел выпал в двух испытаниях ровно 1 раз;
событие А – орел выпал в первом испытании и не выпал во
втором; событие В – орел выпал во втором испытании и не
выпал в первом;
р = ½– вероятность выпадения орла в одном испытании,
q =1 – ½ = ½ – вероятность не выпадения орла (выпадения
решки).
IVспособ
По формуле Бернулли
P( A) Сnk p k q n k
Сnk
P( A) 2n
вероятность одного успеха (к=1)
в двух испытаниях (n=2), если
р = ½ – вероятность выпадения орла в одном испытании,
q =1 – ½ = ½ – вероятность не выпадения орла (выпадения
решки).
1 1 2 1
2
P( A) С р q
Или по второй
формуле:
0,5.
2!
1 1
1!( 2 1)! 2 2
P( A)
С21
22
1
2
24 0,5.
Ответ: 0,5
22. Перед началом матча по футболу судья бросает монету,
чтобы определить, какая из команд будет первой владеть
мячом. Команда «Меркурий» играет по очереди с командами
«Марс», «Юпитер», «Уран». Найти вероятность того, что
во всех матчах право владеть мячом получит команда
«Меркурий».
Ответ: 0,125
Решение
I способ (перебора комбинаций)
{О О О}
Монету бросают 3 раза.
{Р О О}
Для команды «Меркурий»
{О Р О}
возможные исходы в трех бросках →
{О О Р}
n = 8 – число всех возможных исходов;
{Р Р О}
m = 1 – число благоприятных
{Р О Р}
исходов (выпадение орла в трех
{О Р Р}
бросках).
{Р Р Р}
II способ
По формуле Бернулли вероятность трех успехов (к = 3)
в трех испытаниях (n = 3):
P( A) Сnk p k q n k С33 р3q3 3 3!(33 ! 3)! ( 12 )3 ( 12 )0 18 0,125
III способ
Применим правило умножения вероятностей независимых
событий.
Вероятность выпадения орла в каждом случае равна ½.
Значит, вероятность того, что орел выпадет все три раза,
равна:
Ответ: 0,125
23. Перед началом матча по футболу судья бросает монету,
чтобы определить, какая из команд будет первой владеть
мячом. Команда «Байкал» играет по очереди с командами
«Амур», «Енисей», «Иртыш». Найти вероятность того, что
команда «Байкал» будет первой владеть мячом только в игре с
«Амуром».
Ответ: 0,125
Решение
{О О О}
Монету бросают 3 раза.
{Р О О}
Для команды «Байкал»
{О Р О}
возможные исходы в трех бросках →
{О О Р}
n = 8 – число всех возможных исходов;
{Р Р О}
{Р О Р}
m = 1 – число благоприятных исходов
{О Р Р}
(выпадение орла в первой игре).
{Р Р Р}
Ответ: 0,125
24. У Пети в кармане лежат шесть монет: четыре монеты
по рублю и две монеты по два рубля. Петя, не глядя,
переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите
вероятность того, что теперь две двухрублевые монеты
лежат в одном кармане.
Ответ: 0,4
Решение
Iспособ (метод перебора вариантов):
{123} {234}
{124} {235}
Пронумеруем монеты: рублевые – 1, 2, 3, 4;
двухрублевые – 5, 6.
{125} {236}
n = 20 – число всех исходов
{126} {245}
Взять три монеты можно так:
{134} {246}
(числа в порядке возрастания,
чтобы не пропустить комбинацию) →
{135} {256}
m = 8 – число благоприятных исходов
{136} {345}
(комбинации, в которых монеты 5 и 6
{145} {346}
(двухрублевые) не взяты или взяты обе)
{146} {356}
{156} {456}
IIспособ (комбинаторный):
Р(С) = Р(А) + Р(В), где событие С – двухрублевые монеты
лежат в одном кармане;
событие А – двухрублевые монеты остались в кармане, а
переложил рублевые;
событие В – переложил обе двухрублевые монеты и одну
рублевую;
события А и В несовместные.
С43
Р( А) С 3 0,2
Р( В)
6
С41С22
С63
0,2
Р(С ) 0,2 0,2 0,4
III способ (непосредственного вычисления вероятности):
Монеты окажутся в одном кармане, если переложены три
рублевые или две рублевые и одна двухрублевая монета.
Переложить их последовательно можно четырьмя
способами (обозначения: рублевая – 1, двухрублевая – 2) :
111
Р1 64 53 24
122
Р2 64 52 14 151
221
Р3 62 15 44 151
212
Р4 62 54 14 151
1
5
Р Р1 Р2 Р3 Р4 15 151 151 151 156 0,4
Ответ: 0,4
25. У Пети в кармане лежат шесть монет: четыре монеты
по рублю и две монеты по два рубля. Петя, не глядя,
переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите
вероятность того, что теперь две двухрублевые монеты
лежат в разных карманах.
Ответ: 0,6
Решение
{123} {234}
Iспособ (метод перебора вариантов):
{124} {235}
Пронумеруем монеты: рублевые – 1, 2, 3, 4;
двухрублевые – 5, 6.
{125} {236}
n = 20 – число всех исходов
{126} {245}
Взять три монеты можно так:
{134} {246}
(числа в порядке возрастания,
чтобы не пропустить комбинацию) →
{135} {256}
m = 12 – число благоприятных исходов
{136} {345}
(комбинации, в которых монеты 5 и 6
{145} {346}
(двухрублевые) взяты по одной)
{146} {356}
{156} {456}
IIспособ (комбинаторный)
Событие А — переложили две рублевые монеты и одну
двухрублевую.
2 1
Р( А)
С4 С2
С63
0,6
III способ
Монеты окажутся в разных карманах, если переложены
две рублевые и одна двухрублевая монета.
Переложить их последовательно можно тремя способами:,
112
Р1 64 53 24 15 0,2
121
Р2 64 52 34 15 0,2
211
Р3 62 54 34 15 0,2
Р Р1 Р2 Р3 0,2 0,2 0,2 0,6 Ответ: 0,6
26. Найти вероятность того, что произведение трех
последних цифр случайно выбранного телефонного номера
четно .
Решение
Ответ: 0,875
I способ
II способ
m = (5 ∙ 5 ∙ 5)∙ 3 + (5 ∙ 5 ∙ 5)∙ 3 + (5 ∙ 5 ∙ 5) = 875
(5 ∙ 5 ∙ 5)∙ 3 – количество исходов, когда одна цифра четная, а
две другие нечетные (для каждой цифры исходов – 5,
вариантов расположения – 3).
(5 ∙ 5 ∙ 5)∙ 3 – количество исходов, когда две цифры четные, а
одна – нечетная,
5 ∙ 5 ∙ 5 – количество исходов, когда все три цифры – четные.
n = 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1000 – количество всех исходов ( для каждой
цифры – 10)
III способ
IV способ
Выбор четной или нечетной цифры можно сравнить
с выпадением орла или решки при подбрасывании монеты
несколько раз с такой же вероятностью. Тогда выбор трех
нечетных цифр аналогичен выпадению трех решек в трех
испытаниях
Ответ: 0,875
21. В случайном эксперименте симметричную монету бросают
дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один
раз.
0,5
22. Перед началом матча по футболу судья бросает монету, чтобы
определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда
«Меркурий» играет по очереди с командами «Марс», «Юпитер», «Уран».
Найти вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом
получит команда «Меркурий».
0,125
23. Перед началом матча по футболу судья бросает монету, чтобы
определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда
«Байкал» играет по очереди с командами «Амур», «Енисей», «Иртыш».
Найти вероятность того, что команда «Байкал» будет первой владеть
мячом только в игре с «Амуром».
0,125
24. У Пети в кармане лежат шесть монет: четыре монеты по рублю
и две монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то три
монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что теперь две
двухрублевые монеты лежат в одном кармане.
25. У Пети в кармане лежат шесть монет: четыре монеты по рублю
и две монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то три
монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что теперь две
двухрублевые монеты лежат в разных карманах.
26. Найти вероятность того, что произведение трех последних
цифр случайно выбранного телефонного номера четно.
0,4
0,6
0,875
Источники:
:
1. И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко Рабочая тетрадь
ЕГЭ 2012 Математика .Задача В10
2. Первое сентября. Математика, январь, март 2012
3. ЕГЭ 3000 задач с ответами. Математика.
Все задания группы В. Закрытый сегмент / А.Л. Семенов,
И.В. Ященко, и др. /– Издательство «Экзамен», 2012.
4. http://mathege.ru Открытый банк заданий по
математике
5. http://www.postupivuz.ru
6. http://alexlarin.com
7. http://www.berdov.com
8. http://www.youtube.com

Исчисление II — Вероятность

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 8.5: Вероятность

В последнем приложении интегралов, которое мы рассмотрим, мы рассмотрим вероятность. Перед тем, как перейти к приложениям, нам нужно разобраться с парой определений.

Предположим, мы хотим узнать возраст человека, рост человека, количество времени, проведенное в очереди, или, может быть, срок службы батареи. Каждая из этих величин имеет значения, которые будут варьироваться в интервале действительных чисел. Из-за этого они называются непрерывными случайными величинами . Непрерывные случайные величины часто представляются \(X\).

Каждая непрерывная случайная величина \(X\) имеет функцию плотности вероятности , \(f\left( x \right)\). Функции плотности вероятности удовлетворяют следующим условиям. 93}}}{{5000}}\left( {10 — x} \right)\) для \(0 \le x \le 10\) и \(f\left( x \right) = 0\) для все остальные значения \(x\). Ответьте на каждый из следующих вопросов об этой функции.

1. Покажите, что \(f\left( x \right)\) является функцией плотности вероятности.
2. Найти \(P\left( {1 \le X \le 4} \right)\)
3. Найти \(P\left( {x \ge 6} \right)\)

Показать все решения Скрыть все решения

9{10}\\ & = 1\конец{выравнивание*}\]

Обратите внимание на изменение пределов интеграла. Функция отлична от нуля только в этих диапазонах, поэтому интеграл можно свести только к интервалу, где функция не равна нулю.

b Найдите \(P\left( {1 \le X \le 4} \right)\) Показать решение

В этом случае нам нужно вычислить следующий интеграл.

\[\begin{align*}P\left( {1 \le X \le 4} \right) & = \int_{{\,1}}^{{\,4}}{{\frac{{{ x^3}}}{{5000}}\left( {10 — x} \right)\,dx}}\\ & = \left. {10 }\\ & = 0,66304\конец{выравнивание*}\] 9{ — \,\frac{t}{{10}}}}}&{{\mbox{if }}t \ge 0}\end{массив}} \right.\]

1. Убедитесь, что это действительно функция плотности вероятности.
2. Определите вероятность того, что человек будет стоять в очереди не менее 6 минут.
3. Определите среднее время ожидания в очереди.

Показать все решения Скрыть все решения

a Убедитесь, что это действительно функция плотности вероятности. Показать решение 9{ — \,\frac{u}{{10}}}}} \right) = 10\end{align*}\]

Итак, среднее время ожидания составляет 10 минут.

Математика, 7 класс, Выборки и вероятности, Расчет вероятности как отношения

Обзор

Учащиеся начинают формировать свое понимание вероятности. Они знакомятся с понятием вероятности как меры правдоподобия и с тем, как вычислить вероятность как отношение. Термины, обсуждаемые (невозможно, определенно и т. д.) в Уроке 1, имеют числовые значения.

• Учащиеся будут думать о вероятности как об отношении; его можно записать в виде дроби, десятичной дроби или процента в диапазоне от 0 до 1.
• Учащиеся будут думать о соотношении и пропорции, чтобы предсказать результаты.

• Определить вероятность как меру вероятности и отношение благоприятных исходов к общему числу исходов события.
• Прогнозирование результатов на основе теоретической вероятности с использованием соотношения и пропорции.

Предложите учащимся просмотреть видео и обсудить вопросы с партнером. Во время следующей части открытия состоится обсуждение в классе.

ELL: при показе видео следите за тем, чтобы ELL следовали смыслу того, что показано. При необходимости поставьте видео на паузу и позвольте им задать уточняющие вопросы. Кроме того, задавайте вопросы, чтобы проверить понимание того, что они смотрят.

Открытие

Посмотреть видео о Колесе.

• Как вы думаете, у кого больше шансов на победу? Откуда вы знаете?
• Обдумайте ситуацию, а затем обсудите свои идеи с партнером.

ВИДЕО: Колесо

Предложите учащимся прочитать и обсудить объяснение вероятности с партнером, прежде чем вести обсуждение всем классом. Попросите студентов подумать о реальных примерах, связанных с вероятностью.

Предложите учащимся рассмотреть ситуацию с подбрасыванием монеты. Возможны два равновероятных исхода этого события: монета упадет решкой вверх или решкой вверх. Мы можем рассчитать вероятность того, что монета выпадет один на один, потому что:

P(орел)=количество способов, которыми может произойти событие,все возможные равновероятные исходы=12=0,5=50%

Обсудите другие примеры из реальной жизни и то, как вы можете рассчитать вероятность этих событий (например, правильное угадывание месяца чей-то день рождения).

Вернитесь к видео, убедившись, что обсуждены следующие моменты:

• У первого ученика (Джек) есть четыре способа выиграть (5, 10, 15 и 20) из 20 способов вращения.
• У второй ученицы (Софи) есть пять способов выиграть (4, 8, 12, 16 и 20) из 20 способов вращения.
• Вероятность — это мера правдоподобия, представляющая собой отношение благоприятных исходов (вещь или вещи, которые мы хотели бы получить, например, число, кратное пяти) к общему числу равновероятных исходов (20 способов раскрутить спиннер). Это также называется
  теоретической вероятностью .
• Существует 420 или 15 шансов, что победит первый ученик (Джек), и 520 или 15 шансов, что победит второй ученик (Софи). Это вероятности каждого события.
• Если мы крутим спиннер один раз, у второй ученицы (Софи) больше шансов на победу, но не обязательно.
• Если мы крутим спиннер 100 раз, мы можем предсказать, что первый ученик (Джек) выиграет 15⋅100=20 раз, а второй ученик (Софи) выиграет 15⋅100=20 раз.
• Если счетчик выпадает на 20, выигрывают оба. Однако их нужно будет снова крутить.

 

Открытие

Обсудите следующее со своими одноклассниками.

В повседневной жизни люди часто думают о том, может ли что-то произойти в будущем. Многие решения основаны на шансах или вероятности того, что конкретное событие может произойти или не произойти.

Вероятность изучает события, на результаты которых влияет случайность. Вероятность события выражается как отношение, которое можно использовать для прогнозирования вероятности наступления события. Отношения вероятностей — это значения в диапазоне от 0 до 1. Отношения вероятностей могут быть представлены дробями, десятичными знаками или процентами. Если вероятность события равна 0, то оно невозможно. Если вероятность события равна 1, то оно достоверно.

Теоретическая вероятность конкретного события A представляет собой отношение числа возможных случаев A к числу всех возможных исходов.

Это представлено формулой вероятности:

P ( A ) = an

где

• a это общее число возможных случаев 90 7

• 8 900 results

Вероятность — это число от 0 до 1, используемое для количественной оценки вероятности процессов с неопределенными результатами (таких как подбрасывание монеты, случайный выбор человека из группы людей или бросание мяча в цель).

 

Обсудить математическую миссию. Учащиеся находят вероятность событий.

Открытие

Найти вероятность событий.

Учащиеся обсуждают, какие значения следует присвоить параметрам «Невозможно», «Определенно» и «В равной степени маловероятно», прежде чем учащиеся отметят события на линии вероятности в раздаточном материале «Распределение вероятностей». Затем учащиеся индивидуально работают над оставшимися проблемами, но они могут обсудить это с партнером.

ELL: Это хорошая возможность для студентов поделиться идеями с другими, работая совместно. Это взаимодействие помогает учащимся развивать свой второй язык.

Дайте учащимся возможность подумать о том, как следует обозначать отметки на линии правдоподобия.

Спросите учащихся:

• Какие значения следует присвоить невозможным, определенным и равновероятным и маловероятным?
• Какое значение следует присвоить промежуточной отметке между «Невозможно» и «Вероятно как маловероятно»?
• Какое значение следует присвоить промежуточной отметке между «равновероятно», «маловероятно» и «определенно»?

Дайте учащимся несколько минут, чтобы определить вероятность каждого события. Учащиеся обсудят свои рассуждения в разделе «Пути мышления».

Рабочее время

В раздаточном материале «Распределение вероятностей» показана линия вероятности, похожая на ту, которую вы использовали на прошлом уроке.

• Как должны быть обозначены отметки «Невозможно», «Конечно» и «Вероятно как маловероятно»?
• На линии вероятности присвойте вероятность этим событиям от 0 до 1.
  Отметьте каждое из этих событий на линии.
  • Завтра будет дождь.
  • Вы отправите сообщение сегодня.
  • Из всех учеников вашей школы вы будете выбраны случайным образом и выиграете приз.

РАЗДАТОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ: Назначение вероятностей

Учащиеся должны работать индивидуально.

Математическая практика 1: Разбираться в задачах и настойчиво решать их.

• Учащиеся только начинают заниматься вероятностными задачами. На предыдущем уроке обсуждение было сосредоточено на общих наблюдениях за знакомыми ситуациями. На этом уроке учащиеся должны начать математически представлять вероятностные эксперименты. Они должны разобраться в этих проблемах и понять, как к ним подходить.

Математическая практика 6: Следите за точностью.

• Учащиеся должны понимать и объяснять отношение и то, что представляют числитель и знаменатель. Они также начинают применять термины вероятности.

Студент не понимает проблему.

• Что такое формула вероятности?
• Что представляет формула?

Учащийся неправильно представляет соотношение.

• Сколькими способами можно выбросить 3?
• Каким должен быть числитель дроби?
• Сколько возможных исходов будет, если вы подбросите числовой кубик?
• Каким должен быть знаменатель дроби?

• Для этой задачи учащиеся могут применить формулу вероятности, представленную в открытии: P ( A ) = an где P ( A ) = вероятность выпадения 3, a = 1 (количество возможных вариантов выпадения 3),
  n = 6 (сумма возможных равновероятных исходов при броске числового куба) и P (выпадение a 3) = 16,

Рабочее время

• Какова вероятность этого события: выпадения 3 на числовом кубике, на котором есть числа 1−6?

• Пока учащиеся готовят свои презентации, ищите учащихся, которые могут объяснить, что представляет собой соотношение. Ищите учащихся, которые могут обсудить свой ответ на задачу.

Возможные ответы

• Ответы будут разными. Возможный ответ: Очень маловероятно, что в этом году в мой дом ударит молния, поэтому вероятность будет очень низкой.
• Один из способов подсчитать это — посмотреть, сколько домов в моем районе было поражено молнией в прошлом году. Тогда я могу вычислить:

P(в мой дом ударила молния)=количество домов, пораженных молниейколичество домов в моем районе

 

Рабочее время

Подготовьте презентацию, в которой обобщается способ выражения вероятности события в виде отношения.

• Какова вероятность того, что в этом году в ваш дом ударит молния?
• Как можно рассчитать вероятность?

Начните с обсуждения результатов вероятностей, которые учащиеся приписали к линии правдоподобия. Выберите нескольких учащихся, которым они расскажут о задаче числового куба. Предложите учащимся, решившим задачу-вызов, представить свои ответы.

SWD: Учащимся с ограниченными возможностями может быть сложно следить за обсуждением и одновременно делать заметки во время части урока, посвященной способам мышления. Создавайте шаблонные заметки/вопросы на основе ответов некоторых учащихся. Используйте в качестве справки и поддержки во время части урока, посвященной способам мышления.

Вопросы по линиям вероятности:

• Было ли сложнее определить вероятность одних событий по сравнению с другими? (Некоторые события не поддаются удобным отношениям, предварительному просмотру событий без теоретической вероятности, а только с экспериментальной вероятностью, полученной с течением времени.)
• Как вы определили вероятность каждого события на линии? (Соотношения можно определить несколькими способами, но они должны быть сопоставлены с местом других событий.)

Вопросы, которые следует задать во время презентации числового куба:

• Сколько было благоприятных исходов?
• Сколько всего было результатов?

Вопросы, которые следует задать учащимся, пока они объясняют свои рассуждения о проблеме-вызове:

• Если вероятность того, что в ваш дом ударит молния в этом году, составляет 1 из 200, где это будет на линии вероятности?
• Если трудно применить формулу вероятности, каковы другие способы определения вероятности?

Performance Task

Делайте заметки о расчете вероятностей.

Подсказка:

В присутствии одноклассников задайте такие вопросы, как:

• Было ли труднее определить вероятность одних событий, чем других?
• Для каких событий известно общее количество исходов?
• Как вы определили вероятность каждого события на линии?

Ученики будут работать над задачами индивидуально, но они могут обсудить их с партнером. Предложите учащимся использовать инструмент линии правдоподобия, если он полезен.

Учащиеся вычислят вероятность некоторых обычных экспериментов. Они должны увидеть, что в некоторых случаях соотношения могут быть упрощены. Пока учащиеся работают над прогнозированием результатов для 120 испытаний, ищите учащихся, которые используют отношения (дроби, десятичные числа или проценты), и тех, кто оценивает (возможно, думает о соотношениях или о том, что может произойти на самом деле).

Предсказание результатов для 120 испытаний преднамеренно неоднозначно, так что некоторые студенты могут подумать об использовании отношений (думая о том, что теоретически произойдет), в то время как другие будут думать о том, что может произойти на самом деле. Этот аспект вероятности представляет собой интересную дискуссию и будет определен в следующем уроке.

ELL: Поощряйте ELL использовать свои разговорные навыки английского языка в классе. В то же время разрешайте использовать родной язык для разъяснения понятий во время работы с партнером. Новым ELL могут быть полезны партнеры, говорящие на том же языке, что и они.

Математическая практика 1: Разбираться в задачах и настойчиво решать их.

• Учащиеся знакомятся с формулой вероятности и начинают ее применять. Они должны понимать, какие компоненты в задаче соответствуют числителю и знаменателю, чтобы правильно применить формулу.

Учащийся неправильно представляет событие на линии правдоподобия.

• Событие ближе к 0 или 1?
• Событие справа или слева от 12?

Учащийся неправильно представляет соотношения.

• Если числитель равен 1, а знаменатель увеличивается, увеличивается или уменьшается дробь?
• Если числитель дроби увеличивается, становится ли дробь больше или меньше?
• По мере приближения числа в числителе к числу в знаменателе дробь становится больше или меньше?
• Какой коэффициент будет равен 1352?
• Какой коэффициент будет равен 412?

• P (счетчик приземляется на красный) = 14
  P (счетчик приземляется на красный) также может быть представлен в виде процентов и десятичных чисел: P (счетчик приземляется на красный) = 25% = 0,25
• P (начертание ромба) =1352 =14
  P (начертание ромба) также можно представить в виде процентов и десятичной дроби:
  P (начертание ромба) = 25% = 0,25
• P (монета выпадает орлом) = 12
  P (монета выпадает орлом) также может быть представлена ​​в виде процентов и десятичной дроби:
  P (монета падает решкой) = 50% = 0,5
• P (вытащенный шарик синий) =46+4+2
  P (вытащенный шарик синий) также может быть представлен в виде процентов или десятичная дробь:
  P (нарисованный шарик синего цвета) = 0,3¯
   
• P (счетчик приземляется на красное). Для эксперимента, повторенного 120 раз, спиннер, скорее всего, приземлится на красное 120 ⋅ 0,25 = 30 раз. (Ответы на эту часть будут разными.)
  P (рисунок ромба). Для эксперимента, повторенного 120 раз, бриллиант, вероятно, будет выбран 120 ⋅ 0,25 = 30 раз. (Ответы на эту часть будут разными.)
  P (монета падает орлом). Для эксперимента, повторенного 120 раз, монета, скорее всего, упадет орлом 120 ⋅ 0,5 = 60 раз. (Ответы на эту часть могут быть разными.)
  P (нарисованный шарик синего цвета). Для эксперимента, повторенного 120 раз, синий шарик, скорее всего, будет нарисован 120 ⋅ 13 = 40 раз. (Ответы на эту часть могут быть разными.)

Рабочее время

• Какова теоретическая вероятность следующих событий?
  • Спиннер приземляется на красный цвет на четырехсекционном счетчике с секциями одинакового размера и разного цвета
  • Вытягивание ромба из обычной колоды игральных карт из 52 карт
  • Подбрасывание монеты и выпадение орла
  • Вытягивание синего шарика из мешка с 6 красными, 4 синими и 2 зелеными шариками
• Для каждого из событий, перечисленных ранее, как вы думаете, сколько раз это событие произойдет, если вы повторите эксперимент 120 раз?

Вероятность — это мера правдоподобия.