Что такое двойной факториал: Двойной факториал числа — расчет онлайн и формула

Двойной факториал | это… Что такое Двойной факториал?

Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел до n включительно:

.

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Эта функция часто используется в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Иногда словом «факториал» неформально называют восклицательный знак.

Содержание 1 Свойства 1.1 Комбинаторное определение 1.2 Связь с гамма-функцией 1.3 Формула Стирлинга 1.4 Разложение на простые числа 1.5 Другие свойства 2 Обобщения 2.1 Двойной факториал 2.2 Убывающий факториал 2.3 Возрастающий факториал 2.4 Праймориал или примориал 2.5 Суперфакториалы 2.6 Субфакториал 3 Ссылки 4 См. также

Свойства

Комбинаторное определение

В комбинаторике факториал определяется как количество перестановок множества из n элементов. Например, элементы множества {A,B,C,D} можно линейно упорядочить 4!=24 способами:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Связь с гамма-функцией

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

n! = Γ(n + 1)

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел. Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).

Во многих случаях для приближенного значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые в степени

Таким образом,

,

где произведение берется по всем простым числам.

Другие свойства

• x!² > x^x > x! > = x, при x>1

Обобщения

Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность что и n. Таким образом,

По определению полагают 0!! = 1.

Убывающий факториал

Убывающим факториалом (или неполным факториалом) называется выражение

Убывающий факториал дает число размещений из n по k.

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал

Примориал (англ. Primorial) числа n обозначается n# и определяется как произведение простых чисел, не превышающих n. Например,

Последовательность праймориалов начинается так:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, … (последовательность A002110 в OEIS)

Суперфакториалы

Основная статья: Большие числа

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению суперфакториал четырёх равен (поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное)

В общем

Последовательность суперфакториалов начинается (с n = 0) с

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, … (последовательность A000178 в OEIS)

Идея была обобщена в 2000 Генри Боттомли (англ. ), что привело к гиперфакториалам (англ. Super-duper-factorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Первые члены (с n = 0) равны:

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, … (последовательность A055462 в OEIS)

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, где m-уровневый факториал n — произведение первых n (m − 1)-уровневых факториалов, то есть

где для n > 0 и .

Субфакториал

Основная статья: Субфакториал

Субфакториал определяется как количество беспорядков порядка , то есть перестановок -элементного множества без неподвижных точек.

Ссылки

• Онлайн Калькулятор Факториалов

См. также

• Факторион

Двойной факториал | это… Что такое Двойной факториал?

Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел до n включительно:

.

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Эта функция часто используется в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Иногда словом «факториал» неформально называют восклицательный знак.

Содержание 1 Свойства 1.1 Комбинаторное определение 1.2 Связь с гамма-функцией 1.3 Формула Стирлинга 1.4 Разложение на простые числа 1.5 Другие свойства 2 Обобщения 2.1 Двойной факториал 2.2 Убывающий факториал 2.3 Возрастающий факториал 2.4 Праймориал или примориал 2.5 Суперфакториалы 2.6 Субфакториал 3 Ссылки 4 См. также

Свойства

Комбинаторное определение

В комбинаторике факториал определяется как количество перестановок множества из n элементов. Например, элементы множества {A,B,C,D} можно линейно упорядочить 4!=24 способами:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Связь с гамма-функцией

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

n! = Γ(n + 1)

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).

Во многих случаях для приближенного значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые в степени

Таким образом,

,

где произведение берется по всем простым числам.

Другие свойства

• x!² > x^x > x! > = x, при x>1

Обобщения

Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность что и n. Таким образом,

По определению полагают 0!! = 1.

Убывающий факториал

Убывающим факториалом (или неполным факториалом) называется выражение

Убывающий факториал дает число размещений из n по k.

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал

Примориал (англ. Primorial) числа n обозначается n# и определяется как произведение простых чисел, не превышающих

n. Например,

Последовательность праймориалов начинается так:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, … (последовательность A002110 в OEIS)

Суперфакториалы

Основная статья: Большие числа

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению суперфакториал четырёх равен (поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное)

В общем

Последовательность суперфакториалов начинается (с n = 0) с

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, … (последовательность A000178 в OEIS)

Идея была обобщена в 2000 Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ.

Super-duper-factorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Первые члены (с n = 0) равны:

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, … (последовательность A055462 в OEIS)

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, где m-уровневый факториал n — произведение первых n (m − 1)-уровневых факториалов, то есть

где для n > 0 и .

Субфакториал

Основная статья: Субфакториал

Субфакториал определяется как количество беспорядков порядка , то есть перестановок -элементного множества без неподвижных точек.

Ссылки

• Онлайн Калькулятор Факториалов

См. также

• Факторион

двойных факториалов и мультифакториалов | Brilliant Math & Science Wiki

Для любого неотрицательного целого числа n,n,n мы находим, что

n!n!!=(n−1)!! или   n!=(n−1)!!×n!!.\dfrac{n!}{n!!}=(n-1)!! ~~\text{ или }~~ n!=(n-1)!!×n!!.n!!n!​=(n−1)!! или   n!=(n−1)!!×n!!.

У нас есть следующие 2 случая:

• Если nnn равно нечетному , n!n!!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1n×(n−2)×(n−4)×⋯ 5×3×1.\dfrac{n!}{n!!}=\dfrac{n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 3\times 2\times 1} {n\times (n-2)\times (n-4)\times \cdots 5\times 3\times 1}.n!!n!​=n×(n−2)×(n−4)× ⋯5×3×1n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1​. Так как все нечетные числа n,n−2,n−4,…,5,3n, n-2, n-4, \ldots , 5, 3n,n−2,n−4,…,5,3 получают отменяется, остается уравнение n!n!!=(n−1)!!.\dfrac{n!}{n!!}=(n-1)!!.n!!n!​=( n−1)!!.
• Если nnn равно даже , n!n!!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1n×(n−2)×(n−4)×⋯× 4×2. \dfrac{n!}{n!!}=\dfrac{n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 3\times 2\times 1}{n \times (n-2)\times (n-4)\times \cdots \times 4\times 2}.n!!n!​=n×(n−2)×(n−4)×⋯×4 ×2n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1​. Так как все четные числа n,n−2,n−4,…,4,2n, n-2, n-4, \ldots , 4, 2n,n−2,n−4,…,4,2 получают отменяется, остается уравнение n!n!!=(n−1)!!.\dfrac{n!}{n!!}=(n-1)!!.n!!n!​=( n−1)!!.

Комбинируя оба случая, мы находим, что для любое неотрицательное целое число nnn, n!n!!=(n−1)!!. □\dfrac{n!}{n!!}=(n-1)!!. \ _\ квадрат!!n!​=(n−1)!!. □​

Предположим, что n!!n!!n!! определяется следующим образом:

n!!={n×(n−2)×⋯×5×3×1, если n нечетно;n×(n−2)×⋯×6×4×2, если n четно; 1если n=0,−1. п!! = \begin{cases} n \times (n-2) \times \cdots \times 5 \times 3 \times 1 &\text{if } n \text{ нечетно}; \\ n \times (n-2) \times \cdots \times 6 \times 4 \times 2 &\text{если} n \text{четно}; \\ 1 &\text{if } n = 0, — 1. \\ \end{cases} n!!=⎩⎪⎨⎪⎧​n×(n−2)×⋯×5×3×1n×(n− 2)×⋯×6×4×21​если n нечетно;если n четно;если n=0,−1. ​

Тогда что такое

9!6!!÷9!!6!?\color{#D61F06}{\dfrac{9!}{6!!}} \div \color{#20A900}{\dfrac{ 9!!}{6!}}?6!!9!​÷6!9!!​?

Для любого неотрицательного целого числа n,n,n мы находим, что

(2n+1)!(2n)!!=(2n+1)!!.\dfrac{(2n+1)!}{(2n)!!}=(2n+1)!!.(2n) !!(2n+1)!​=(2n+1)!!.

Здесь нет необходимости рассматривать два отдельных случая, поскольку не имеет значения, четное или нечетное число nnn.

Мы можем расширить LHS как

(2n+1)×(2n)×(2n−1)×⋯×3×2×1(2n)×(2n−2)×(2n−4)×⋯×4×2.\dfrac{( 2n+1)\times (2n)\times (2n-1)\times \cdots \times 3\times 2\times 1}{(2n)\times (2n-2)\times (2n-4)\times \cdots \times 4\times 2}.(2n)×(2n−2)×(2n−4)×⋯×4×2(2n+1)×(2n)×(2n−1)×⋯×3 ×2×1​.

Так как все четные числа 2n,2n−2,2n−4,…,4,22n, 2n-2, 2n-4, \ldots, 4, 22n,2n−2,2n−4,…,4,2 отменить, мы остаемся с уравнением

(2n+1)!(2n)!!=(2n+1)!!. □\dfrac{(2n+1)!}{(2n)!!}=(2n+1)!!. \ _\квадрат(2n)!!(2n+1)!​=(2n+1)!!. □​

Вычислите 9!9!!\frac {9!}{9!!}9!!9!​.

---

Так как n!n!!=(n−1)!!\frac {n!}{n!!}=(n-1)!!n!!n!​=(n−1)!!, подставив значения, получим

9!9!!=(9−1)!!=8!!=8×6×4×2=384. □\begin{выровнено} \dfrac{9!}{9!!}&=(9-1)!!\\ &=8!!\\ &=8×6×4×2\\ &=384. \ _\площадь \end{align}9!!9!​=(9−1)!!=8!!=8×6×4×2=384. □​​

Вычислите (3!)!3!!\frac {(3!)!}{3!!}3!!(3!)!​.

---

У нас есть

(3!)!3!!=(3×2×1)!3×1=6!3=6×5×4×3×2×13=7203=240. □\begin{выровнено} \dfrac {(3!)!}{3!!} &=\dfrac {(3×2×1)!}{3×1}\\ &=\dfrac {6!}{3}\\ &=\dfrac {6×5×4×3×2×1}{3}\\ &=\dfrac {720}{3}\\ &=240. \ _\площадь \end{выровнено}3!!(3!)!​=3×1(3×2×1)!​=36!​=36×5×4×3×2×1​=3720​=240 . □​​

9!8!!÷7!6!!= ?\Large{\color{#20A900}{\dfrac{9!}{8!!}}} \div {\color{#EC7300}{\ dfrac{7!}{6!!}}} = \, ? 8!!9!​÷6!!7!​=?

Обозначение:

n!!={n×(n−2)×⋯×5×3×1, если n нечетно;n×(n−2)×⋯×6×4×2, если n четно ;1если n=0,−1. п!! = \begin{cases} n \times (n-2) \times \cdots \times 5 \times 3 \times 1 && \text{if } n \text{ нечетно;} \\ n \times (n-2) \times \cdots \times 6 \times 4 \times 2 && \text{если } n \text{ четно;} \\ 1 && \text{if } n = 0, — 1. \\ \end{cases} n!!=⎩⎪⎨⎪⎧​n×(n−2)×⋯×5×3×1n×(n− 2)×⋯×6×4×21​​если n нечетно;если n четно;если n=0,−1.​

---

Попробуйте первую часть здесь!

Для любого неотрицательного целого числа nnn мы находим, что

(2n−1)!(2n−2)!!=(2n−1)!!.\dfrac{(2n-1)!}{(2n-2)!!}=(2n-1)!! .(2n−2)!!(2n−1)!​=(2n−1)!!.

Опять же, здесь нет необходимости рассматривать два отдельных случая. Мы можем расширить LHS как

(2n−1)×(2n−2)×(2n−3)×⋯×3×2×1(2n−2)×(2n−4)×⋯×4×2.\dfrac{(2n- 1)\раз (2n-2)\раз (2n-3)\раз \cdots \раз 3\раз 2\раз 1}{(2n-2)\раз (2n-4)\раз \cdots \раз 4 \times 2}.(2n−2)×(2n−4)×⋯×4×2(2n−1)×(2n−2)×(2n−3)×⋯×3×2×1​.

Поскольку все четные числа 2n−2,2n−4,…,4,22n-2, 2n-4, \ldots , 4, 22n−2,2n−4,…,4,2 сокращаются, остается с уравнением

(2n−1)!(2n−2)!!=(2n−1)!!. □\dfrac{(2n-1)!}{(2n-2)!!}=(2n-1)!!. \ _\квадрат(2n−2)!!(2n−1)!​=(2n−1)!!. □​

Вычислите 9!8!!\frac{9!}{8!!}8!!9!​.

---

У нас есть

9!8!!=(2×5−1)!(2×5−2)!!=(2×5−1)!!=9!!=9×7×5×3×1=945 . □ \begin{выровнено} \дфрак { 9! } {8!!} &= \dfrac{ (2 \times 5 — 1) ! } { (2 \ раз 5 — 2 ) !! } \\ &= (2 \times 5 — 1 )!! \\ &= 9!! \\ &= 9 \× 7 \× 5 \× 3 \× 1 \\ &= 945. \ _\квадрат \end{выровнено} 8!!9!​=(2×5−2)!!(2×5−1)!​=(2×5−1)!!=9!!=9×7× 5×3×1=945. □​​

двойной факториал в nLab

Пропустить навигационные ссылки | Домашняя страница | Все страницы | Последние версии | Обсудить эту страницу |

Содержание

Контекст

Арифметика

Теория чисел

• арифметика

• арифметическая геометрия, арифметическая топология

• высшая арифметическая геометрия, E-∞ арифметическая геометрия

число

• натуральное число, целое число, рациональное число, действительное число, иррациональное число, комплексное число, кватернион, октонион, адическое число, кардинальное число, порядковое число, сюрреалистическое число

арифметика

• Арифметика Пеано, арифметика второго порядка

• трансфинитная арифметика, количественная арифметика, порядковая арифметика

• простое поле, p-адическое целое, p-адическое рациональное число, p-адическое комплексное число

арифметическая геометрия , аналогия функционального поля

• арифметическая схема

  • арифметическая кривая, эллиптическая кривая

  • арифметический род

• арифметика теория Черна-Саймонса

• арифметическая группа Чоу

• Топология Вейля для арифметических схем

• абсолютные когомологии

• Гипотеза Вейля о числах Тамагавы

• Абсолютная геометрия Боргера

• Теория Ивасавы-Тейта

  • арифметический реактивный космический

• адельная интеграция

• штука

• Фробениоид

Геометрия Аракелова

• арифметическая теорема Римана-Роха

• дифференциально-алгебраическая К-теория

Комбинаторика

Комбинаторика

Перечислительная комбинаторика

Теория графов

Переписывание

Базовые структуры 5 линейный

4

90 двоичный код

• хордовая диаграмма
• комбинаторная конструкция
• график
• Латинский квадрат
• матроид
• раздел
• перестановка
• перемешивание
• дерево
• Диаграмма Юнга

Производящие функции

• комбинаторные виды
• генерирующая функция
• силовая серия

Методы доказательства

• биективное доказательство
• Инверсия Лагранжа
• Инверсия Мёбиуса
  • Полином порядка
  • дзета-полином
• Теорема перечисления Полиа

Комбинаторные тождества

• биномиальная теорема
• Каталонский номер
• Тождество Чу-Вандермонде

Многогранники

• ассоциаэдр

категория: комбинаторика

• Определение
• Комбинаторная интерпретация
• Моменты стандартного распределения Гаусса
• Ссылки

Определение

Для nn натурального числа двойной факториал (2n+1)!!(2n+1)!! определяется как произведение (2n+1)(2n−1)…1(2n+1)(2n-1)\ldots 1. Альтернативно, с точки зрения обычного факториала, 9н н!.

Двойные факториалы имеют ряд приложений в перечислительной комбинаторике. Они особенно склонны появляться при работе с биномиальными коэффициентами

(xn)=x(x−1)…(x−n+1)n!\binom{x}{n} = \frac{x(x-1) )\ldots (x-n+1)}{n!}

в случае x=1/2x = 1/2 или x=−1/2x = -1/2, или при работе со средними биномиальными коэффициентами ( 2nn)\binom{2n}{n} или при работе со значениями гамма-функции в полуцелых числах.

Согласно приведенной ниже комбинаторной интерпретации, экспоненциальная производящая функция последовательности ana_n определяется как a2n=(2n−1)!!a_{2n} = (2n-1)!! и a2n+1=0a_{2n+1} = 0 равно 92/2}\; d x

для четных полиномов pp с последующими приложениями в квантовой механике, например, для расчетов квантового гармонического осциллятора. См. раздел ниже, посвященный моментам гауссовых распределений.

Комбинаторная интерпретация

Двойные факториалы (2n−1)!!(2n-1)!! подсчитать количество инволюций без неподвижных точек на множестве из 2n2n элементов, или количество разбиений множества (2n)(2n)-элементов на множества из 22 элементов, или количество классов изоморфизма корневых хордовых диаграмм с nn хордами .