Знаки косинуса и синуса и тангенса: знаки синуса и косинуса

Пример

. 0013

Решение: Синус 146º = Sin (90º + 56º) = Поскольку синус лежит от 0º до 90º, следовательно, Знак будет положительным.

Вопрос 2: Cos 455º

Решение: Cos (360 º + 95º) = Cos (90º + 5º) = Cos 5º

Из приведенного выше решения ясно, что знак положительный.

Вопрос 3: Тан 573º

Решение: Тан (360 º + 213 º ) = Тан (180 º + 33 3 0 9)0012 º

Следовательно, Tan 573º положительный

Пожалуйста, поделитесь

Свернуть

Содержание

Теорема Пифагора

Определение правила CAST

Оценка алгебраического представления правила CAST

Правило CAST — это специальное правило, часто используемое в качестве аббревиатуры для запоминания в тригонометрии. По сути, «CAST» означает КОСИНУС-ВСЕ-СИНУС, ТАНГЕНТ. Начиная с четвертого квадранта и двигаясь против часовой стрелки, правило CAST покажет нам, какие тригонометрические отношения (косинус, синус и тангенс) всегда положительны в указанных квадрантах. 92 \end{equation}

Где c — гипотенуза (или самая длинная сторона прямоугольного треугольника), а a и b — произвольно две другие стороны.

Геометрически следующая диаграмма иллюстрирует теорему Пифагора:

Где площадь c-квадрата равна площади a-квадрата плюс b-квадрат для любого прямоугольного треугольника.

Тем не менее, это свойство будет важно, когда мы будем определять правило CAST.

Помните, что при определении единичной окружности мы вписали прямоугольные треугольники, определяемые частью оси x и некоторым лучом, S и перпендикулярной линией от окончания S к оси x? Создание нами этой перпендикулярной линии от конца луча S к оси x означает, что мы, по существу, сформировали прямоугольные треугольники. Следовательно, мы можем эффективно использовать теорему Пифагора для определения правила CAST. Давайте сначала посмотрим на треугольники, которые мы сделали в квадранте 1:9. 0005

Мы замечаем, что в квадранте 1 наши значения x ограничены от 0 до ∞, в то время как наши значения y также ограничены от 0 до ∞. Точнее, значения x нашего единичного круга ограничены от 0 до 1, в то время как наши значения y также ограничены от 0 до 1.

Таким образом, для квадранта 1 мы говорим, что:

(2)

\begin{align} 0 < x_{Q1} < 1 \quad , \quad 0 < y_{Q1} < 1 \end{align}

Но мы знаем, что:

(3)

\begin{align} x = cos(\theta) \quad , \quad y = sin(\theta) \end{align}

Таким образом, мы можем получить неравенство:

(4)

\begin{align} 0 < cos(\theta)_{Q1} < 1 \quad , \quad 0 < sin(\theta)_{Q1} < 1 \end{align}

По сути, мы знаем что в квадранте 1 cos Θ и sin Θ положительны в квадрантах 1, поскольку их значения должны быть между 0 и 1, когда мы строим вписанный треугольник в квадранте 1.

Однако мы знаем, что:

(5)

\begin{align} tan(\theta) = \frac{sin(\theta)}{cos(\theta)} \end{align}

Но так как cosΘ и sinΘ оба положительны в квадранте 1, то tanΘ также должен быть положительным, поскольку tanΘ можно выразить через cosΘ и sinΘ, таким образом, мы получаем:

(6)

\begin{align} 0 < tan(\theta)_{Q1} < 1 \end{align}

Теперь рассмотрим треугольники, построенные в квадранте 2:

Заметим, что угол, вписанный в квадрант 2, значения x ограничены между -∞ и 0, а значения y ограничены между 0 и ∞. Точнее, для нашего единичного круга значения x ограничены от -1 до 0, а значения y ограничены от 0 до ∞. Отсюда получаем:

(7)

\begin{align} -1 < x_{Q2} < 0 \quad , \quad 0 < y_{Q2} < 1 \end{align}

(8)

\begin{align} -1 < cos(\theta)_{Q2} < 0 \quad , \quad 0 < sin(\theta)_{Q2} < 1 \end{align}

Или точнее cosΘ будет отрицательным, а sinΘ будет положительным в квадранте 2. Однако мы знаем, что tanΘ представлен в терминах cosΘ и sinΘ. С точки зрения только положительных/отрицательных знаков мы получаем:

(9)

\begin{align} tan(\theta) = \frac{sin(\theta)}{cos(\theta)} \end{align}

(10)

\begin{align} tan(\theta) = \frac{+}{-} \end{align}

Или, точнее, tanΘ всегда будет отрицательным в квадранте 2.

Теперь давайте посмотрим на квадрант 3 на следующей диаграмме ниже:

Мы знаем, что когда построенный треугольник находится в квадранте 3, то значения x ограничены от -∞ до 0, а значения y ограничены от -∞ до 0. Точнее, для нашего единичного круга значения x ограничены от -1 до 0, а значения y ограничены от -1 до 0. Таким образом, мы получаем:

(11)

\begin{align} -1 < x_{Q3} < 0 \quad , \quad -1 < y_{Q3} < 0 \end{align}

(12)

\begin{align} -1 < cos(\theta)_{Q3} < 0 \quad , \quad -1 < sin(\theta)_{Q3} < 0 \end{align}

(13)

\begin{align} tan(\theta) = \frac{-}{-} \end{align}

Таким образом, мы получаем, что cosΘ и sinΘ всегда будут отрицательными при построении в квадранте 3, а tanΘ всегда будет положительный, потому что отрицательное, деленное на отрицательное, является положительным.

Мы не будем проходить через квадрант 4, однако процедура аналогична процедуре для квадрантов 1, 2 и 3, которую мы вывели выше. В таблице ниже приведены знаки (положительные или отрицательные) для косинуса, синуса и тангенса:

Из этой диаграммы мы можем определить, что cosΘ положителен в квадрантах 1 и 4, sinΘ положителен в квадрантах 1 и 2, а tanΘ положителен в квадрантах 1 и 3.