Обозначение действительных чисел в математике: Множество действительных чисел — урок. Алгебра, 8 класс.

Содержание

Вещественное число | это… Что такое Вещественное число?

Веще́ственное, или действи́тельное число [1] — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений [2].

Числовая прямая

Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами.

Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число.

Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел.

Понятие вещественного числа прошло долгий путь становления. Ещё в Древней Греции в школе Пифагора, которая в основу всего ставила целые числа и их отношения, было открыто существование несоизмеримых величин (несоизмеримость стороны и диагонали квадрата), то есть в современной терминологии — чисел, не являющихся рациональными. Вслед за этим Евдоксом Книдским была предпринята попытка построить общую теорию числа, включавшую несоизмеримые величины. После этого, на протяжении более двух тысяч лет, никто не ощущал необходимости в точном определении понятия вещественного числа, несмотря на постепенное расширение этого понятия[3]. Лишь во второй половине XIX века, когда развитие математического анализа потребовало перестройки его основ на новом, более высоком уровне строгости, в работах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда, Г. Кантора, Э. Гейне, Ш. Мере

[3] была создана строгая теория вещественных чисел.

С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.

Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — R («полужирное R»), или (англ. blackboard bold «R») от лат. realis — действительный.

Содержание

  • 1 История становления понятия вещественного числа
    • 1.1 Наивная теория вещественных чисел
    • 1.2 Создание строгой теории
  • 2 Конструктивные способы определения вещественного числа
    • 2.1 Теория фундаментальных последовательностей Кантора
    • 2.2 Теория бесконечных десятичных дробей
    • 2.3 Теория сечений в области рациональных чисел
  • 3 Аксиоматический подход
    • 3.1 Аксиоматика вещественных чисел
      • 3. 1.1 Аксиомы поля
      • 3.1.2 Аксиомы порядка
      • 3.1.3 Аксиомы непрерывности
    • 3.2 Непротиворечивость и категоричность аксиоматики
    • 3.3 Другие системы аксиом вещественных чисел
  • 4 Свойства
    • 4.1 Связь с рациональными числами
    • 4.2 Теоретико-множественные свойства
  • 5 Обобщение вещественных чисел
  • 6 Прикладные применения
  • 7 См. также
  • 8 Примечания
  • 9 Литература
    • 9.1 Использованная литература
    • 9.2 Рекомендуемая литература

История становления понятия вещественного числа

Наивная теория вещественных чисел

Первая развитая числовая система, построенная в Древней Греции, включала только натуральные числа и их отношения (пропорции, в современном понимании — рациональные числа). Однако вскоре выяснилось, что для целей геометрии и астрономии этого недостаточно: например, отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны не может быть представлено ни натуральным, ни рациональным числом[4].

Для выхода из положения Евдокс Книдский ввёл, в дополнение к числам, более широкое понятие геометрической величины, то есть длины отрезка, площади или объёма. Теория Евдокса дошла до нас в изложении Евклида («Начала», книга V). По существу, теория Евдокса — это геометрическая модель вещественных чисел. С современной точки зрения, число при таком подходе есть отношение двух однородных величин — например, исследуемой и единичного эталона. Следует, однако, подчеркнуть, что Евдокс остался верен прежней традиции — он не рассматривал такое отношение как число; из-за этого в «Началах» многие теоремы о свойствах чисел затем заново доказываются для величин. Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чисел по своим принципам чрезвычайно похожа на изложение Евдокса. Однако модель Евдокса неполна во многих отношениях — например, она не содержит аксиомы непрерывности, нет общей теории арифметических операций для величин или их отношений и др.

[5]

Ситуация начала меняться в первые века н.  э. Уже Диофант Александрийский, вопреки прежним традициям, рассматривает дроби так же, как и натуральные числа, а в IV книге своей «Арифметики» даже пишет об одном результате: «Число оказывается не рациональным»[6]. После гибели античной науки на передний план выдвинулись индийские и исламские математики, для которых любой результат измерения или вычисления считался числом. Эти взгляды постепенно взяли верх и в средневековой Европе

[7], где поначалу разделяли рациональные и иррациональные (буквально: неразумные) числа (их называли также мнимыми, абсурдными, глухими и т. п.). Полное уравнение в правах иррациональных чисел связано с трудами Симона Стевина (конец XVI века), который провозгласил[6]:

Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью.

Он же, с некоторыми оговорками, легализовал отрицательные числа, а также развил теорию и символику десятичных дробей, которые с этого момента начинают вытеснять неудобные шестидесятеричные.

Спустя столетие Ньютон в своей «Универсальной арифметике» (1707) даёт классическое определение (вещественного) числа как отношения результата измерения к единичному эталону[8]:

Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу.

Долгое время это прикладное определение считалось достаточным, так что практически важные свойства вещественных чисел и функций не доказывались, а считались интуитивно очевидными (из геометрических или кинематических соображений). Например, считался самоочевидным тот факт, что непрерывная кривая, точки которой расположены по разные стороны от некоторой прямой, пересекает эту прямую. Строгое определение понятия непрерывности также отсутствовало

[9]. Как следствие, немало теорем содержали ошибки, нечёткие или чрезмерно широкие формулировки.

Даже после того, как Коши разработал достаточно строгий фундамент анализа, положение не изменилось, поскольку теории вещественных чисел, на которую обязан был опираться анализ, не существовало. Из-за этого Коши сделал немало ошибок, положившись на интуицию там, где она приводила к неверным выводам: например, он полагал, что сумма ряда из непрерывных функций всегда непрерывна.

Создание строгой теории

Первую попытку заполнить пробел в основаниях математики сделал Бернард Больцано в своей статье «Чисто аналитическое доказательство теоремы, что между любыми двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит по меньшей мере один действительный корень уравнения» (1817). В этой пионерской работе ещё нет целостной системы вещественных чисел, но уже приводится современное определение непрерывности и показывается, что на этой основе теорема, упомянутая в заглавии, может быть строго доказана[10]. В более поздней работе[11] Больцано даёт набросок общей теории вещественных чисел, по идеям близкой к канторовской теории множеств[12], но эта его работа осталась неопубликованной при жизни автора и увидела свет только в 1851 году. Взгляды Больцано значительно опередили своё время и не привлекли внимания математической общественности.

Современная теория вещественных чисел была построена во второй половине XIX века, в первую очередь трудами Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора. Они предложили различные, но эквивалентные подходы к теории этой важнейшей математической структуры и окончательно отделили это понятие от геометрии и механики.

Конструктивные способы определения вещественного числа

Основная статья: Конструктивные способы определения вещественного числа

При конструктивном определении понятия вещественного числа, на основе известных математических объектов (например, множества рациональных чисел ), которые принимают заданными, строят новые объекты, которые, в определённом смысле, отражают наше интуитивное понимание о понятии вещественного числа. Существенным отличием между вещественными числами и этими построенными объектами является то, что первые, в отличие от вторых, понимаются нами лишь интуитивно и пока не являются строго определённым математическим понятием.

Эти объекты и объявляют вещественными числами. Для них вводят основные арифметические операции, определяют отношение порядка и доказывают их свойства.

Исторически первыми строгими определениями вещественного числа были именно конструктивные определения. В 1872 году были опубликованы одновременно три работы: теория фундаментальных последовательностей Кантора, теория Вейерштрасса (в современном варианте — теория бесконечных десятичных дробей) и теория сечений в области рациональных чисел Дедекинда[3][13].

Теория фундаментальных последовательностей Кантора

См. также: Теория фундаментальных последовательностей Кантора

В данном подходе вещественное число рассматривается как предел последовательности рациональных чисел. Чтобы последовательность рациональных чисел сходилась, на неё накладывается условие Коши:

Смысл этого условия заключается в том, что члены последовательности, начиная с некоторого номера будут лежать сколь угодно близко друг от друга. Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, называются

фундаментальными.

Вещественное число, определяемое фундаментальной последовательностью рациональных чисел , обозначим .

Два вещественных числа

и ,

определённые соответственно фундаментальными последовательностями и , называются равными, если

Если даны два вещественных числа и , то их суммой и произведением называются числа, определённые соответственно суммой и произведением последовательностей и :

Отношение порядка на множестве вещественных чисел устанавливается посредством соглашения, в соответствии с которым число по определению больше числа , то есть , если

Способ построения множества вещественных чисел с помощью фундаментальных последовательностей рациональных чисел является частным случаем конструкции

пополнения произвольного метрического пространства. Как и в общем случае, полученное в результате пополнения множество вещественных чисел само уже является полным, то есть содержит пределы всех фундаментальных последовательностей своих элементов.

Теория бесконечных десятичных дробей

См. также: Теория бесконечных десятичных дробей

Вещественное число определяется как бесконечная десятичная дробь, то есть выражение вида

где  есть один из символов или , называемый знаком числа,  — целое неотрицательное число,  — последовательность десятичных знаков, то есть элементов числового множества .

Бесконечная десятичная дробь интерпретируется как такое число, которое на числовой прямой лежит между рациональными точками вида

и для всех

Сравнение вещественных чисел в форме бесконечных десятичных дробей производится поразрядно. Например, пусть даны два неотрицательных числа

Если , то ; если то . В случае равенства переходят к сравнению следующего разряда. И так далее. Если , то после конечного числа шагов встретится первый разряд , такой что . Если , то ; если то .

Однако, при этом следует учитывать, что число . Поэтому если запись одного из сравниваемых чисел, начиная с некоторого разряда, представляет собой периодическую десятичную дробь, у которой в периоде стоит 9, то её следует заменить на эквивалентную запись, с нулём в периоде.

Арифметические операции над бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение[14] соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел и называется вещественное число , удовлетворяющее следующему условию:

Аналогично определяет операция умножения бесконечных десятичных дробей.

Теория сечений в области рациональных чисел

См. также: Теория сечений в области рациональных чисел

В подходе Дедекинда вещественные числа определяются с помощью сечений в множестве рациональных чисел.

Сечением в множестве рациональных чисел называется всякое разбиение совокупности всех рациональных чисел на два непустых класса — нижний и верхний , так что каждое число из нижнего класса строго меньше всякого числа из верхнего:

Если существует число , которое является максимальным в нижнем классе, либо минимальным в верхнем классе, то это число разделяет множества и : числа нижнего и верхнего классов лежат по разные стороны от . Говорят также, что рациональное число производит данное сечение множества рациональных чисел.

Если же в нижнем классе сечения нет максимального элемента, а в верхнем — минимального, то не существует никакого рационального числа, которое разделяло бы множества и . В этом случае по определению полагают, что данное сечение определяет некоторое иррациональное число , которое находится между нижним и верхним классами, и тем самым производит данное сечение. Иначе говоря, для всякого сечения, не производимого никаким рациональным числом, вводят новый объект — иррациональное число, которое по определению больше всякого числа из нижнего класса и меньше всякого числа из верхнего класса:

Объединение всех рациональных и всех иррациональных чисел называют множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными числами.

Арифметические операции над вещественными числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел и называется вещественное число , удовлетворяющее следующему условию:

Аксиоматический подход

Построить множество вещественных чисел можно разными способами. В теории Кантора вещественные числа — классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел, в теории Вейерштрасса — бесконечные десятичные дроби, в теории Дедекинда — сечения в области рациональных чисел. Во всех этих подходах в результате мы получаем некоторое множество объектов (вещественных чисел), обладающих определёнными свойствами: их можно складывать, умножать, сравнивать между собой. Более того, коль скоро установлены свойства этих объектов, мы можем больше не апеллировать к тем конкретным конструкциям, с помощью которых они были построены.

В математике важна не конкретная природа объектов, а лишь математические соотношения, существующие между ними.

Для человека, который исследует математическое понятие количество элементов, безразлично, о чём говорить — о трёх яблоках или о трёх камнях, и их съедобность или несъедобность значения не имеет. В процессе отвлечения от несущественных признаков, то есть абстрагирования (лат. abstractio — отвлечение), он приходит к тому общему, что есть у трёх яблок и трёх камней — количеству элементов. Так возникает абстрактное понятие натурального числа. С этой точки зрения три яблока и три камня — две конкретные реализации, модели абстрактного понятия «число три».

Точно так же классы фундаментальных последовательностей рациональных чисел, бесконечные десятичные дроби, сечения в области рациональных чисел являются лишь конкретными реализациями, моделями вещественного числа. А само понятие вещественного числа определяется существующими для него математическими соотношениями. Коль скоро они установлены, определено и понятие вещественного числа.

Здесь уместно привести знаменитое высказывание Д. Гильберта, основоположника системного аксиоматического метода в математике, который, имея в виду аксиоматизацию геометрии, как-то заметил:

Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках.

Давид Гильберт[15]

Аксиоматика вещественных чисел

Множество называется множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел:

Аксиомы поля

На множестве определено отображение (операция сложения)

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из некоторый элемент из того же множества , называемый суммой и ( эквивалентная запись элемента множества ).

Также, на множестве определено отображение (операция умножения)

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из некоторый элемент , называемый произведением и .

При этом имеют место следующие свойства.

Коммутативность сложения. Для любых
Ассоциативность сложения. Для любых
Существование нуля. Существует элемент , называемый нулём, такой, что для любого
Существование противоположного элемента. Для любого существует элемент , называемый противоположным к , такой, что
Коммутативность умножения. Для любых
Ассоциативность умножения. Для любых
Существование единицы. Существует элемент , называемый единицей, такой, что для любого
Существование обратного элемента. Для любого существует элемент , обозначаемый также и называемый обратным к , такой, что
Дистрибутивный закон умножения относительно сложения. Для любых
Нетривиальность поля. Единица и ноль — различные элементы :

Аксиомы порядка

Между элементами определено отношение , то есть для любой упорядоченной пары элементов из установлено, выполняется соотношение или нет. При этом имеют место следующие свойства.

Рефлексивность. Для любого

Антисимметричность. Для любых

Транзитивность. Для любых

Линейная упорядоченность. Для любых

Связь сложения и порядка. Для любых

Связь умножения и порядка. Для любых

Аксиомы непрерывности
Каковы бы ни были непустые множества и , такие что для любых двух элементов и выполняется неравенство , существует такое число , что для всех и имеет место соотношение

Этих аксиом достаточно чтобы строго вывести все известные свойства вещественных чисел[16].

На языке современной алгебры аксиомы первой группы означают, что множество является полем. Аксиомы второй группы — что множество является линейно упорядоченным множеством ( — ), причём отношение порядка согласовано со структурой поля  — . Множества, удовлетворяющие аксиомам первой и второй группы, называются упорядоченными полями. Наконец, последняя группа, состоящая из одной аксиомы, утверждает, что множество вещественных чисел обладает свойством непрерывности, которое также называют полнотой. Резюмируя, можно дать эквивалентное определение множества вещественных чисел.

Определение. Множеством вещественных чисел называется непрерывное упорядоченное поле.

Непротиворечивость и категоричность аксиоматики

Другие системы аксиом вещественных чисел

Существуют и другие способы аксиоматизации вещественных чисел. Например, вместо аксиомы непрерывности можно использовать любое другое эквивалентное ей условие, или группу условий. Например, в системе аксиом, предложенной Гильбертом, аксиомы групп и , по существу, те же, что и в приведённые выше, а вместо аксиомы используются следующие два условия:

Аксиома Архимеда. Пусть [17] и . Тогда элемент можно повторить слагаемым столько раз, чтобы образовавшаяся в результате сумма превзошла :

Аксиома полноты (в смысле Гильберта). Систему невозможно расширить ни до какой системы , так чтобы при сохранении прежних соотношений между элементами , для выполнялись бы все аксиомы —, .

Таким образом, можно дать следующее эквивалентное определение:

Определение. Множество вещественных чисел есть максимальное архимедово упорядоченное поле

В качестве другого примера аксиоматизации вещественных чисел можно привести аксиоматику Тарского (англ.), состоящую всего из 8 аксиом.

Свойства

Связь с рациональными числами

Очевидно, что на числовой прямой рациональные числа располагаются вперемешку с вещественными, причём множество вещественных чисел в известном смысле «плотнее» множества рациональных. Возникает закономерный вопрос, насколько часто на числовой прямой попадаются рациональные и вещественные числа и можно ли одни числа приблизить другими. Ответ на этот вопрос дают три леммы, основанные, в основном, на аксиоме Архимеда.[18]

Лемма 1. Для любого вещественного числа и любого наперёд взятого положительного рационального расстояния найдётся пара рациональных чисел, отстоящих друг от друга менее, чем на это расстояние, таких что вещественное число лежит на отрезке между этими рациональными числами.

Эта лемма говорит о том, что любое вещественное число можно с заданной точностью с двух сторон приблизить рациональными числами.

Лемма 2. Между любыми двумя различными вещественными числами содержится рациональное число.

Очевидным следствием из этой леммы является тот факт, что между любыми двумя несовпадающими вещественными числами содержится целое бесконечное множество рациональных. Кроме того, ещё более очевидно, что между любыми двумя различными рациональными числами содержится вещественное.

Лемма 3. Приближение вещественного числа рациональными, описанное в лемме 1, идентифицирует вещественное число единственным образом.

Эти леммы прежде всего говорят о том, что множество вещественных чисел не такое «плотное» по сравнению с множеством рациональных чисел, как может показаться. Особенно ярко это иллюстрирует лемма 2. Все три леммы активно используются для доказательства различных теорем, связанных с операциями сложения и умножения вещественных чисел.

Теоретико-множественные свойства

Изначально вещественные числа были естественным обобщением рациональных, но у них впервые было обнаружено свойство несчётности, которое говорит о том, что множество вещественных чисел нельзя занумеровать, т. е. не существует биекции между множествами вещественных и натуральных чисел. Чтобы показать несчётность всего множества вещественных чисел, достаточно показать несчётность интервала .[18]

Пусть все числа указанного промежутка уже занумерованы некоторым образом. Тогда их можно выписать в следующем виде:

Здесь  — -я цифра -ого числа. Очевидно, что все числа указанного вида действительно принадлежат рассматриваемому промежутку, если только в каждом числе не все цифры сразу являются нулями или девятками.

Далее предлагается рассмотреть следующее число:

Пусть каждая цифра этого числа удовлетворяет следующим трём свойствам:

Такое число действительно существует на указанном промежутке, так как оно является вещественным, не совпадает ни с нулём, ни с единицей, а десятичных цифр достаточно, чтобы третье свойство выполнялось. Кроме этого, интересно тем фактом, что оно не совпадает ни с одним из чисел , выписанных выше, ведь иначе -я цифра числа совпала бы с -ой цифрой числа . Пришли к противоречию, заключающемуся в том, что как бы числа рассматриваемого промежутка ни были занумерованы, всё равно найдётся число из этого же промежутка, которому не присвоен номер. [18]

Это свидетельствует о том, что множество вещественных чисел не является счётным. Его мощность называется мощностью континуума.

Обобщение вещественных чисел

Поле вещественных чисел постоянно служило в математике источником обобщений, причём в различных практически важных направлениях. Непосредственно к полю примыкают следующие варианты обобщённых числовых систем.

  1. Комплексные числа. Особенно плодотворны в алгебре и анализе.
  2. Интервальные числа. Используются преимущественно в теории приближённых вычислений и в теории вероятностей.
  3. Нестандартный анализ, который добавляет к вещественным числам бесконечно малые и бесконечно большие числа (разных порядков).

Прикладные применения

Математическая модель вещественных чисел повсеместно применяется в науке и технике для измерения непрерывно меняющихся величин. Однако это не главное её применение, потому что реально измеренные величины всегда имеют конечное число десятичных знаков, то есть являются рациональными числами. Основное назначение этой модели — служить базой для аналитических методов исследования. Огромный успех этих методов за последние три века показал, что модель вещественных чисел в большинстве случаев достаточно адекватно отражает структуру непрерывных физических величин.

Сказанное, конечно, не означает, что вещественная числовая прямая есть точный образ реальной непрерывной величины. Например, современной науке пока не известно, дискретны ли пространство и время или делимы неограниченно; однако даже во втором случае модель вещественных чисел для этих величин должна рассматриваться как приближённая, поскольку понятия точки пространства и момента времени представляют собой идеализации, не имеющие реального аналога. Этот фундаментальный вопрос широко обсуждается в науке, начиная с апорий Зенона. Приближённой эта модель является и в применении к величинам, которые в классической физике рассматривались как непрерывные, но в действительности оказались дискретными (квантуемыми).

См.

также
  • Непрерывность множества действительных чисел
  • Теория чисел
  • Десятичный разделитель
  • Комплексное число
  • Прямая Александрова (англ.)
  • Прямая Суслина (англ.)

Примечания

  1. Названия вещественное число и действительное число равнозначны. Исторически в Московской математической школе использовали термин действительное число, а в Ленинградской — вещественное число. В качестве примера можно привести две классические работы:
    • Лузин, Н. Н. Теория функций действительного переменного. (Московская школа)
    • Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. (Ленинградская школа)
    В современных университетских учебниках употребляются оба термина:
    • Зорич В. А. Математический анализ. (МГУ, мехмат) — действительное число
    • Ильин В. А., Позняк В. Г. Основы математического анализа. (МГУ, физфак) — вещественное число
    • Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. (МФТИ) — действительное число
    • Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. (СПбГУ) — вещественное число
  2. См. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — Т. 1. — С. 35-36., а также Бурбаки Н. Очерки по истории математики. — С. 146.
  3. 1 2 3 Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. — С. 287-289.
  4. Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 147.
  5. История математики. — Т. I. — С. 96-101.
  6. 1 2 Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 150-151.
  7. История математики. — Т. I. — С. 190-191, 304-305.
  8. История математики. — Т. II. — С. 35.
  9. Бурбаки Н. . Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 154.
  10. Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1977. — С. 171-178. — 224 с.
  11. Бернард Больцано.Парадоксы бесконечного.
  12. Рыхлик Карел. Теория вещественных чисел в рукописном наследии Больцано // ИМИ, 1958. № 11. С. 515—532.
  13. Рыбников К. А. История математики. — Т. 2. — С. 196.
  14. Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида
  15. Рид К. Гильберт. — С. 79.
  16. См. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — Т. 1.
  17. 1 2 3 В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 44 — 45, 63 — 64. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

Литература

Использованная литература

  • Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. — М.: УЧПЕДГИЗ, 1938.
  • Бурбаки Н. Очерки по истории математики / пер. с франц. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963.
  • Гильберт Д. Основания геометрии = Grundlagen der Geometrie / пер. с 7-го немецкого издания И. С. Градштейна под ред. П. К. Рашевского. — М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948.
  • Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. — Пер. с франц. — М.: МИР, 1986. — 432 с.
  • Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа = Stetigkeit und irrationale Zahlen.  — 4-е исправленное издание. — Одесса: Mathesis, 1923. — 44 с.
  • Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. — 4-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — XVI+664 с. — ISBN 5-94057-056-9
  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 648 с. — ISBN 5-9221-0536-1
  • История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. В трех томах / под ред. Юшкевича. — М.: НАУКА, 1970. — Т. 1.
  • Кантор Г. Труды по теории множеств / под ред. А. Н. Колмогоров, Ф. А. Медведев, А. П. Юшкевич,. — М.: НАУКА, 1985. — (Классики науки).
  • А. Н. Колмогоров К обоснованию теории вещественных чисел // УМН. — 1946. — В. 1(11). — Т. 1. — С. 217–219.
  • Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1
  • Рид К. Гильберт / пер. с англ. И. В. Долгачева под ред. Р. В. Гамкрелидзе. — М.: НАУКА, 1977.
  • Рыбников К. А. История математики. — М.: Издательство Московского университета, 1963. — Т. 2.
  • Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа. — 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 672 с. — ISBN 5-9221-0008-4
  • Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 1. — 416 с. — ISBN 5-9221-0196-X

Рекомендуемая литература

Тем, кто интересуется историей становления понятия вещественного числа, можно порекомендовать следующие две книги:

  • Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики.
  • История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.
  • Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
  • Том 2 Математика XVII столетия. (1970)
  • Том 3 Математика XVIII столетия. (1972)

Прекрасное подробное изложение теории построения вещественных чисел с помощью фундаментальных последовательностей, а также теории построения вещественных чисел с помощью сечений в области рациональных чисел можно найти в следующей:

  • Арнольд И. В. Теоретическая арифметика.

Желающим познакомиться с оригинальным ходом мысли самого Р. Дедекинда можно порекомендовать ту самую брошюру, в которой в 1872 году Дедекинд изложил свою теорию вещественного числа. Эта книжка на сегодняшний день остаётся одним из самых лучших и доступных изложений предмета. Имеется русский перевод:

  • Дедекинд, Р. Непрерывность и иррациональные числа = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4-е исправленное издание. — Одесса: Mathesis, 1923. — 44 с.

Также прекрасное изложение теории Дедекинда имеется в классическом учебнике

  • Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. — 7-е изд. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 1. — 416 с. — ISBN 5-9221-0196-X

Построение теории вещественного числа с помощью бесконечных десятичных дробей можно найти в книгах

  • Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа.
  • Ильин В. А., Познак Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I.

Аксиоматическое изложение теории вещественного числа можно найти в книгах

  • Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: Дрофа, 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1
  • Зорич, В. А. Математический анализ. Часть I. — Изд. 4-е, испр. — М.: «МЦНМО», 2002. — 657 с. — ISBN 5-94057-056-9

Сущность аксиоматического метода и его сравнение с конструктивным подходом изложены Д. Гильбертом на нескольких страницах в Дополнении VI. О понятии числа в следующем издании классической работы

  • Гильберт Д. Основания геометрии = Grundlagen der Geometrie.  — пер. с 7-го немецкого издания И. С. Градштейна под ред. П. К. Рашевского. — М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948.
Натуральные числа
Целые числа
Рациональные числа
Вещественные числа
Комплексные числа
Кватернионы

Действительные числа

Приложение 1

Середенкова Н. С. МБОУ СОШ №16 г. Камышин

8 класс

Систематизировать и обобщить известные учащимся сведения о рациональных числах; дать представление об истории возникновения понятия «Число», об истории возникновения иррациональных чисел, дать целостное представление о множестве действительных чисел.

Кодоскоп, математическая газета «Число – это все», рисунки.

  1. Как вы думаете, могла ли отдельная личность, пусть даже очень одаренная и сильная, совершить открытие числа?

  2. Что стимулировало появление чисел натуральных?

  3. Какие практические нужды привели к необходимости использования дробных чисел?

  4. Как обозначается множество натуральных, целых, рациональных чисел?

  5. Как обозначается рациональное число с помощью цифр?

  6. Как было установлено существование отрезков, длины которых выражаются иррациональными числами?

  7. Какие последствия для науки имело открытие таких отрезков?

  8. О каких числах, кроме действительных, вы слышали?

Литература.

    • Детская энциклопедия

    • Глейзер «История математики в средней школе

    • Энциклопедический словарь юного математика»

    • Выгодский «Справочник по элементарной математике»

    • Колосов А.А. «Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах»

    Организационный момент.

    Изучение нового материала (лекция учителя – 30 минут). Число – одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Понятие числа зародилось в глубокой древности. На протяжении веков оно подвергалось расширению и обобщению. Но прежде чем говорить о числах, коснемся истории вопроса о цифрах, потому что цифры, это условные знаки для обозначения чисел.

    Первыми записями чисел можно считать зарубки на деревянных бирках или костях, а позднее – черточка. Но большое число изображать таким способом было неудобно. В Древнем Египте около 5000 лет назад стали обозначать число 10 иероглифом  (возможно, это символ дуги, которую ставили над десятком чёрточек), число 100 — знаком  (это символ измерительной верёвки) и т.д. Из таких цифр составляли десятичную запись любого числа, например число 124 обозначали так: , народы (вавилоняне, ассирийцы) жившие в Междуречье Тигра и Евфрата от второго тысячелетия до н.э. до начала нашей эры использовали два клинописных знака – прямой клин  — 1, и лежащий клин  — 10. например число 23 выглядело так:

        . У разных народов было свое обозначение чисел. Например, у славян число 10000 называлось «тьмой», отсюда и выражение «тьма народу», т.е. много. Число 100000 – «легион», 1000000 – «леодр».

    Из Древнего Рима до нас дошли цифры: I -1, V-5, Х – 10, С – 100, Д – 500,

    М – 1000, и т.д. Более подробно с нумерациями разных народов нас познакомят ребята на последующих уроках.

    Никто не знает, когда впервые появились счет и число. Но уже несколько тысяч лет назад люди собирали плоды, ягоды, охотились на диких животных, ловили рыбу, делали каменные топоры и ножи. Им надо было знать, хватит ли добычи до следующей охоты, много ли поймано рыбы. Так люди сталкивались с вопросами, которые сейчас решаются с помощью числа и счета.

    Результатом счета явились числа 1,2,3, …. – которые впоследствии стали называться натуральными.

    В давние времена натуральный ряд чисел был очень коротким. Сначала люди овладели счетом в пределах нескольких первых десятков. У многих народов число 40 было пределом счета. Выражение «Сорок сороков» означало в старину число, превосходящее всякое воображение. Тот же смысл слово 40 в ряде русских пословиц и поговорок. «И один глаз да зарок, не надо и сорок», «Сидела сорок лет, высидела сорок реп». Укреплению в сознании людей идеи бесконечности натурального ряда содействовали задачи, подобные той, что поставил Архимед более двух тысяч лет назад. В своем сочинении «Псалмит» он решает вопрос об исчислении песчинок в размерах вселенной. На разных языках первые числа натурального ряда произносятся по-разному. Например, на татарском языке:

    1 – Бер

    2 – ике

    3 — еч

    4 – дурт

    5 – бишь

    6 – алты

    7 – жиде

    8 – сигез

    9 – тугыз

    10- ун

    На казахском языке попросили ребят просчитать до 10.

    Ещё в древности люди научились выполнять над натуральными числами различные операции6 +,-, :, х. выполняли такие операции, как вычитание и деление, т.е. обратные операции для сложения и умножения. Люди пришли к тому, что эти операции не всегда выполнимы — искать результат этих действий среди чисел натурального ряда, например 5-8, 4:7, не расширяя понятия о числе. Это первая причина расширения числа. Но была и другая причина. Этой второй причиной оказался процесс измерения величины, который, как и процесс счета, возник очень давно. Этот процесс и заставил человека ввести дробные числа.

    Во второй половине 18 века дается определение дробного числа: это отношение одной величины к другой того же рода, принятой за единицу. Долгое время дроби не назывались числами. Наши обыкновенные дроби широко употреблялись древними греками и индийцами.

    Правила действия над дробями, изложенные индийским ученым Брамагуптой (8 век н.э.) лишь немногим отличаются от наших. Наряду с обыкновенными дробями использовались и десятичные дроби. Их ввел выдающийся самаркандский учёный Гияседдин Джемшир-ал-Каши (14-15 век н.э.) в Европе десятичные дроби были введены в практику голландским купцом и выдающимся инженером – ученым Симоном Стевином. Позднее, из необходимости решать уравнения люди пришли к введению отрицательных чисел, целых и дробных.

    Итак! Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел. Множество целых чисел – это: натуральные числа, противоположные им числа и нуль.

    Обозначение:

    N — множество натуральных чисел

    Z — множество целых чисел

    Q — множество рациональных чисел.

    Є — знак принадлежности. Например 2 Є N, -5 Є N, 2/3 Є Q.

    Рациональное число можно представить в виде дроби

    , где m – целое число, n – натуральное число.

    «Рациональное число» произошло от латинского слова ratio, что в переводе означает «отношение» (частное).

    Всякое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби:

    2/5 = 0,4; 23/20 = 1,15; -1/40= — 0,025; 8/37 = 0,216216216

    Деление на 37 никогда не закончится, поэтому получающаяся дробь называется бесконечной.

    Заметим, что в частном, в одном и том же порядке повторяются три цифры: 2,1,6. бесконечные десятичные дроби такого вида называются периодическими и записываются так: 8/37=0,(216).

    Всякое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Верно и обратное утверждение.

    Прошло очень много времени после открытия дробей, пока ум человеческий обнаружил в процессе измерения величин существование иных чисел, кроме целых и дробных.

    История проникновения этих новых чисел в математику тесно связана с открытием несоизмеримых отрезков принадлежит греческому философу и математику Пифагору и его школе (6 век до н.э.) рассмотрим задачу, которую решали пифагорийцы.

    Требуется точно определить длину диагонали АС квадрата АВСD, сторона которого равна 1 м.

    Решение. Построим на диагонали единичного квадрата новый квадрат АСЕF. Площадь его равна удвоенной площади квадрата АВСD. Если АС = х, то хАСЕF2 = 2 (S АСЕF = 2 S АВСD, S АВСD = 1)

    Но никакое целое число и никакая дробь не могут удовлетворить этому уравнению, т. е. длину диагонали нельзя выразить никаким известным до сего времени числом.

    Поэтому возникла необходимость введения новых чисел, которые назвали иррациональными числами.

    Итак! Иррациональные числа, это числа представляющие длины отрезков, несоизмеримых с единицей масштаба (т.е. отрезков, длины которых нельзя выразить ни целым ни дробным числом).

    Ребята! Эта задача привела в величайшее смущение Пифагора и всех его учеников. В Греции в то время существовало много различных философских школ. Но ни в одной из них математика не занимала такого почетного места как в школе, основанной Пифагором. В основе философии пифагорийцев лежит понятие о числе как основе мира и всего миропонимания.

    «Все в природе, — говорили они, — измеряется, все подчиняется числу, в числе – сущность всех вещей; познать мир, его строение, его закономерность – это значит познать управляющие им числа… . Можно видеть природу и властную силу числа во всех человеческих занятиях, во всех искусствах, ремеслах, музыке. Число – это всё. Не материя, а число – начало и основа вещей».

    Конечно, мы не можем согласиться с последним утверждением. Мы знаем, что не число есть основа вещей. Но несомненно, что число играет исключительную роль в науке о природе, в деле подчинения ее сил человеку.

    И вот пифагорийцы, положившие в основу своей философии число как результат измерения и соотношения между величинами открывают существование несоизмеримых отрезков. «Все может быть измерено, — говорили они». И вдруг, реальный прямоугольный отрезок – диагональ квадрата со стороной равной единице, лишен числового образа! Это противоречило самой сущности их философии и вносило диссонанс в ту гармонию, которую видели пифагорийцы в окружающем мире. Трудно представить себе изумление и ту растерянность, которые охватили их. Открытие несоизмеримых отрезков было настолько неожиданным, что Пифагор запретил разглашать его, боясь, что основа его философии будет поколебима. И когда один из его учеников выдал тайну, то он был изгнан из союза пифагорийцев. Но истину не скроешь. Так случилось и здесь. Союз пифагорийцев распался. Члены союза расселялись по всей Греции и обучая математике постепенно передали окружающим свои знания и тайны. И среди них – тайну открытия несоизмеримых отрезков.

    Из несоизмеримости диагонали и стороны квадрата вытекает, что если принять сторону квадрата за единицу измерения, то результат измерения диагонали этой единицей не может быть выражен ни целым, ни дробным числом. Следовательно, среди известных нам чисел нет числа, выражающего длину диагонали квадрата со стороной 1. но диагональ такого квадрата реально существует и вопрос о длине этой диагонали имеет смысл независимо от того, соизмерим отрезок с выбранной единицей измерения или нет. Поэтому должно реально существовать и число, выражающее длину диагонали. Но оно должно быть числом иной природы, выходящее за пределы рациональных чисел. Их и назвали иррациональными.

    Таким образом! Для измерения длин отрезков одних рациональных чисел оказалось недостаточно. Не нужно думать, иррациональные числа могут появиться только при измерении длин отрезков. Измерение любой величины может привести к иррациональному числу. Как же записываются иррациональные числа с помощью цифр?

    Они изображаются в виде бесконечной десятичной дроби. Это дробь не может быть периодической, т.к. тогда она могла бы быть превращена в обыкновенную дробь и диагональ квадрата оказалась бы соизмерима с его стороной.

    Итак! Иррациональное число – это число, выраженное бесконечной десятичной непериодической дробью. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел R. Примером иррационального числа есть п = 3,1414…. О сравнении действительных чисел вы прочитаете самостоятельно в п.10

    Закрепление.

    Группа 1

    Группа 2

    Группа 3

    Группа 4

    № 253

    № 254

    №255

    № 256

    № 271

    № 270

    № 276

    № 273

    Домашнее задание.

    П.9-10, № 260, 257, 272.

    Подготовить сообщения по следующим темам:

    • Цифры – условные знаки для обозначения чисел. История их развития.

    • История возникновения натурального числа.

    • Из истории дробей.

    • Об ученом Пифагоре.

    • Об ученом Джемшир-ал-Каши.

    • Системы нумераций некоторых народов.

    Ребята! Я хотела обратить ваше внимание на этот рисунок, который поможет вам запомнить все, что мы с вами сегодня узнали. На рисунке ученик всеми силами пытается «уложить» диагональ квадрата на координатную ось, в которой за единицу измерения принята длина стороны квадрата. Усилия ученика безрезультатны, поскольку упрямая диагональ никак не хочет измеряться таким способом. Она предпочитает выражать свою длину (точно!) не десятичной дробью (при данной единице), а особым числом 2.

    стр. 7 из 7

    Презентация по математике к занятию «Действительные числа. Множество действительных, рациональных и иррациональных чисел. Множество действительных чисел можно описать как множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей. Все конечные и бесконечные

    Презентация к занятию «Действительные числа. Множество действительных, рациональных и иррациональных чисел»

    Цель: вспомнить основные понятия, связанные с действительными числами.

    1 слайд

    Тема: Множества чисел

    Работу подготовила

    Преподаватель ГБПОУ «Ржевский колледж»

    Сергеева Т.А.

    2 слайд.

    «Числа управляют миром», – говорили пифагорейцы. Но числа дают возможность человеку управлять миром, и в этом нас убеждает весь ход развития науки и техники наших дней.

    (А. Дородницын)

    3 слайд.

    Вспомним основные понятия, связанные с действительными числами.

    Какие множества чисел вы знаете?

    4 слайд.

    Натуральные числа – числа, которые используются для счета предметов: 1,2,3,4,5……

    Обозначают множество натуральных чисел буквой N

    Например: «5 принадлежит множеству натуральных чисел» при этом записывают –

    5 слайд

    Натуральные числа , которые делятся на 1 и на само себя (например, 2, 3, 5, 7, 11) называют простыми числами .

    Все остальные числа называются составными и могут быть разложены на простые множители (например,)

    Любое натуральное число в десятичной системе счисления записывается с помощью цифр

    (на пример)

    6 слайд

    Пример

    Число, т.е. число состоит из1 тысячи, 2 сотен, 3 десятков и 7 единиц

    Значит если а — цифра тысяч, b –цифра сотен, d- цифра десятков и c- цифра единиц то имеем а 1000+b 100+c 10+d.

    7 слайд

    Натуральные числа, противоположные им числа и число нуль составляют множество целых чисел.

    Обозначают множество целых чисел буквой Z.

    Например: «-5 принадлежит множеству целых» при этом записывают –

    8 слайд

    Дробные числа вида (где n-натуральное число, m-целое число), десятичные дроби (0,1; 3,5) и целые (положительные и отрицательные) вместе составляют множество рациональных чисел.

    Обозначают множество рациональных чисел буквойQ.

    Например: «-4,3 принадлежит рациональных целых» при этом записывают

    9 слайд

    Дробные числа вида, десятичные дроби (0,1; 3,5) и целые (положительные и отрицательные) вместе составляют множество рациональных чисел.

    Любое рациональное число можно представить в виде дроби простой дроби, (где n-натуральное число, m-целое число)

    Например:

    Любое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

    Например:

    10 слайд

    Множество рациональных чисел объединяет в себе целые числа и дробные, а множество действительных чисел включает в себя рациональные и иррациональные числа. Отсюда вытекает определение действительных чисел.

    Определение: Действительные числа — это множество рациональных и иррациональных чисел.

    11 слайд

    Историческая справка

    12 слайд

    Множество действительных чисел называют также числовой прямой .

    Каждой точке координатной прямой соответствует некоторое действительное число, и каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой.

    13 слайд

    Домашнее задание.

    Слайд 2

    Числовые множества.

    Слайд 3

    Множество натуральных чисел.

    Натуральные числа-это числа счета. N={1,2,…n,…}. Заметим, что множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения и умножения, т.е. сложение и умножение выполняются всегда, а вычитание и деление в общем случае не выполняются

    Слайд 4

    Множество целых чисел.

    Введем в рассмотрение новые числа: 1) число 0 (ноль), 2) число (-n), противоположное натуральному n. При этом полагаем: n+(-n)=(-n)+n=0, -(-n)=n. Тогда множество целых чисел можно записать так: Z ={…,-n,…-2,-1,0,1,2,…,n,…}. Заметим также, что: Это множество замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения, т.е. Из множества целых чисел выделим два подмножества: 1) множество четных чисел 2) множество несетных чисел

    Слайд 5

    Деление с остатком.

    В общем случае действие деления в множестве целых чисел не выполняется, но известно, что деление с остатком можно выполнить всегда, кроме деления на 0. Определение деления с остатком. Говорят, что целое число m делится на целое число n с остатком, если найдутся два числа q и p, такие что: (*) Хорошо известен алгоритм деления с остатком. Замечание: если r=0, то будем говорить, что m делится нацело на n. m=nq+r, где 0≤r

    Слайд 6

    ПРИМЕРЫ:

    Разделить с остатком m на n. 1). m=190, n=3 190 3 18 6 3 10 9 1 q=63, r=1, 1 q=2, r=3 (3 q=-4, r=1 -15=4*(-4)+1 4). M=6, n=13 По формуле(*): 6=13q+r =>q=0, r=6 6=13*0+6

    Слайд 7

    Множество рациональных чисел.

    Множество рациональных чисел можно представить в виде: В частности, Таким образом, Множество рациональных чисел замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения и деления (кроме случая деления на 0).

    Слайд 8

    Но в множестве рациональных чисел нельзя, например, измерить гипотенузу прямоугольного треугольника с катетам. По теореме Пифагора гипотенуза будет равна.Но число не будет рациональным, так как ни для каких mи n. Нельзя решить уравнение. Нельзя измерить длину окружности и т.д. Заметим, что всякое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

    Слайд 9

    Множество иррациональных чисел.

    Числа, которые представляются бесконечной непериодической дробью, будем называть иррациональными. Множество иррациональных чисел обозначим Для иррациональных чисел нет единой формы обозначения. Отметим два иррациональных числа, которые обозначаются буквами – это числа и е.

    Слайд 10

    Число «пи»

    Отношение длины окружности к диаметру есть величина постоянная, равная числу d

    Слайд 11

    Число е.

    Если рассмотреть числовую последовательность: с общим членом последовательности то с ростом п значения будут возрастать, но никогда не будет больше 3. Это означает, что последовательность ограничена. Такая последовательность имеет предел, который равен числу е.

    Слайд 12

    Известно, что мощность иррациональных чисел больше мощности рациональных, т.е. Иррациональных чисел «больше», чем рациональных. Кроме того, как бы ни были близки два рациональных числа, между ними всегда есть иррациональное, т.е. Примеры иррациональных чисел: (золотое сечение) и т.д.

    Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

    Действительные числа 02.09.13

    Текст Числовые множества Обозначение Название множества N Множество натуральных чисел Z Множество целых чисел Q=m/n Множество рациональных чисел I=R/Q Множество иррациональных чисел R Множество вещественных чисел

    Множество натуральных чисел Натуральные числа — это числа счета. N={1,2,…n,…}. Заметим, что множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения и умножения, т.е. сложение и умножение выполняются всегда, а вычитание и деление в общем случае не выполняются

    Множество целых чисел. Введем в рассмотрение новые числа: 1) число 0 (ноль), 2) число (- n), противоположное натуральному n. При этом полагаем: n+(-n)=(-n)+n=0, -(-n)=n. Тогда множество целых чисел можно записать так: Z ={…,-n,…-2,-1,0,1,2,…,n,…}. Заметим также, что: Это множество замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения, т.е. Из множества целых чисел выделим два подмножества: 1) множество четных чисел 2) множество нечетных чисел

    Множество рациональных чисел. Множество рациональных чисел можно представить в виде: В частности, Таким образом, Множество рациональных чисел замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения и деления (кроме случая деления на 0).

    Но в множестве рациональных чисел нельзя, например, измерить гипотенузу прямоугольного треугольника с катетам. По теореме Пифагора гипотенуза будет равна.Но число не будет рациональным, так как ни для каких m и n . Нельзя решить уравнение. Нельзя измерить длину окружности и т.д. Заметим, что всякое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

    Множество иррациональных чисел. Числа, которые представляются бесконечной непериодической дробью, будем называть иррациональными. Множество иррациональных чисел обозначим I . Для иррациональных чисел нет единой формы обозначения. Отметим два иррациональных числа, которые обозначаются буквами – это числа и е.

    Число «пи» Отношение длины окружности к диаметру есть величина постоянная, равная числу d

    Число е. Если рассмотреть числовую последовательность: с общим членом последовательности то с ростом п значения будут возрастать, но никогда не будет больше 3. Это означает, что последовательность ограничена. Такая последовательность имеет предел, который равен числу е.

    Известно, что мощность иррациональных чисел больше мощности рациональных, т. е. Иррациональных чисел «больше», чем рациональных. Кроме того, как бы ни были близки два рациональных числа, между ними всегда есть иррациональное, т.е.

    Множество вещественных (действительных) чисел. Множество вещественных чисел – это объединение множества рациональных чисел. Вывод:

    Определение модуля вещественного числа Пусть на числовой оси точка А имеет координату а. Расстояние от точки начала отсчета О до точки А называется модулем вещественного числа а и обозначается | a | . | a | = | OA | R’ a a A A O 2) Раскрытие модуля происходит по правилу:

    Например: Замечание. Определение модуля можно расширить: Пример. Раскрыть знак модуля. где f (x)  функция аргумента x

    Основные свойства модуля 1) 2) 3) 4) 5) 6)

    Решение примеров с использованием свойств модуля Пример 1. Вычислить Пример 2. Раскрыть знак модуля Пример 3. Вычислить 1) 2) 3)

    Цель: Систематизировать знания о натуральных, целых, рациональных числах, периодических дробях. Учить записывать бесконечную десятичную дробь в виде обыкновенной, формировать навык выполнения действий с десятичными и обыкновенными дробями. Иметь понятие об иррациональных числах, множестве действительных чисел. Иметь понятие об иррациональных числах, множестве действительных чисел. Учить выполнять вычисления с иррациональными выражениями, сравнивать числовые значения иррациональных выражений.

    Числа не управляют миром, но они показывают, как управлять им. Числа не управляют миром, но они показывают, как управлять им. И. Гёте. И. Гёте. Числа не управляют миром, но они показывают, как управлять им. Числа не управляют миром, но они показывают, как управлять им. И. Гёте. И. Гёте. натуральными. N Naturalis Для счета предметов используются числа, которые называются натуральными. Для обозначения множества натуральных чисел употребляется буква N -первая буква латинского слова Naturalis, «естественный», «натуральный» Какие числа называются натуральными? Как обозначается множество натуральных чисел?

    Рациональных чисел QQuotient Множество чисел, которое можно представить в виде называется множеством рациональных чисел и обозначается — Q первой буквой французского слова Quotient — «отношение». целых Zahl Натуральные числа, числа им противоположные и число нуль, образуют множество целых чисел, которое обозначается Z — первой буквой немецкого слова Zahl — «число». Какие числа называются целыми? Как обозначается множество целых чисел? Какие числа называются рациональными? Как обозначается множество рациональных чисел?


    Натуральные числа Числа, им противоположные Целые 0




    Сумма, произведение, разность Сумма, произведение, разность и частное частное рациональных чисел есть рациональное число рациональное. Сумма, произведение, разность Сумма, произведение, разность и частное частное рациональных чисел есть рациональное число рациональное. Рациональные числа rрациональное r — рациональное




    Найдите период в записи чисел и запишите каждое число кратко: 0,55555….4,133333…3, …7, ….3, …3,727272…21, …


    0, Пусть х = 0,4666… 10 х = 4,666… 10 х =4,666… 100 х = 46,666… 100 х – 10 х = 46,666…- 4, х= 42





    РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ

    ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

     

    РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ

     

    Понятие числа принадлежит к фундаментальным, основным понятиям современной математики. С помощью числа человек познаёт количественные отношения реального мира. Понятие числа возникло из практической деятельности людей.

    Существуют историческая и логическая схемы развития понятия числа.

    Исторически за натуральными числами возникают положительные дробные числа, затем отрицательные, иррациональные, мнимые числа и вместе с ними комплексные и гиперкомплексные числа (кватернионы).

    Если обозначить множество натуральных чисел и нуль N0, Q+— множество положительных дробных (рациональных) чисел, Q – множество всех рациональных чисел (дробных как положительных так и отрицательных), R – множество действительных чисел, С – множество комплексных чисел, то историческую схему развития понятия числа можно представить в виде N0ÌQ+ÌQÌRÌС ® гиперкомплексные числа и кватернионы.

    При этом каждое расширение имеющегося класса чисел происходило либо под влиянием практики, либо внутренних потребностей самой математики, связанных с необходимостью введения новых чисел для обеспечения выполнимости операций.


    Логическая схема развития понятия числа предполагает рассмотрение числовых систем в такой последовательности: натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа (NÌZÌQÌRÌС).

    При этом потребность расширения имеющегося класса чисел обосновывается необходимостью выполнимости операций.

    РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА В ШКОЛЕ

    В установившейся школьной практике используется историческая последовательность развития понятия числа. Однако в результате экспериментального исследования возможностей реализации в школе логической схемы развития понятия числа были получены положительные результаты.

    Ниже представлена последовательность изучения числовых систем в современной школе.

    Натуральные числа (1 – 5 классы).

    Рациональные числа:

    положительные дробные числа, представленные обыкновенными и десятичными дробями (5, 6 классы), положительные и отрицательные дробные числа (6 класс).

    Действительные числа (8 класс).

    При изучении каждой из числовых систем обосновывается необходимость введения новых чисел, рассматриваются формы их записи, изображение точками координатного луча или прямой, сравнение, правила (алгоритмы) выполнения операций сложения, вычитания, умножения и деления, законы сложения и умножения.

    ИЗУЧЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

    Натуральные числа изучаются в 5 и 6 классах.

    Основная цель: обобщить и систематизировать знания учащихся о натуральных числах, полученные в начальной школе, развить вычислительные умения и навыки.

    Содержание учебного материала:

    5 класс.

    1. Обозначение натуральных чисел.

    2. Изображение натуральных чисел точками координатного луча.

    3. Сравнение натуральных чисел.

    4. Сложение натуральных чисел. Переместительное и сочетательное свойства сложения натуральных чисел.

    5. Вычитание натуральных чисел.

    6.Умножение натуральных чисел. Переместительное и сочетательное свойства умножения натуральных чисел.

    7. Деление натуральных чисел, в том числе, деление с остатком.

    6 класс.

    8. Делители и кратные.

    9. Признаки делимости натуральных чисел на 10, 5 и 2; на 3 и 9.

    10. Простые и составные числа.

    11. Разложение натурального числа на простые множители.

    12.Наибольший общий делитель (НОД). Взаимно простые числа.

    13. Наименьшее общее кратное (НОК).

    МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

     

    Вводятся натуральные числа как числа для счёта предметов.

    . . . . . . .

    Остаётся заполнить подготовленные места цифрами. Обучение записи чисел может сопровождаться вопросами: какой старший класс и высший разряд содержит данное число, сколько цифр потребовалось для записи числа, какие классы и разряды отсутствуют в данном числе.

     

    АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ

    Изучение каждого действия над натуральными числами предполагает установить:

    1)смысл действия;

    2) название компонентов и результата;

    3) правило (алгоритм) его выполнения;

    4) способы проверки результата;

    5) зависимость между компонентами и результатом;

    6) зависимость изменения результата в зависимости от изменения компонентов;

    7) результаты действия с 0 и 1;

    8) законы (свойства) действия;

    9) приёмы устного выполнения действия.

    В качестве примера рассмотрим умножение натуральных чисел.

    1)Смысл действия: умножить число т на натуральное число п – значит найти сумму п слагаемых, каждое из которых равно т.

    2)Название компонентов и результата: множители, произведение.

    3)Правило (алгоритм) его выполнения: умножение “в столбик”.

    4)Способы проверки результата: выполнение обратного действия — разделить произведение на один из множителей, чтобы получить другой множитель (после изучения деления).

    5) Множитель равен произведению, делённому на другой множитель.

    6) Если один из множителей увеличить (уменьшить) в несколько раз, то и произведение увеличится (уменьшится) во столько же раз.

    7) т× 0=0, т× 1=т.

    8) Переместительный, сочетательный, распределительный относительно сложения и вычитания.

    9) Приемы, основанные на законах действий.

    Отметим, что сложение натуральных чисел вводится аксиоматически, то есть посредством задач, которые интуитивно решаются сложением. Вычитание и деление как действие, обратное сложению и умножению соответственно. Так, делением называется действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель.

    Отметим, что наиболее трудным для учащихся является действие деление. Ученики допускают ошибки, беря цифру в частном, которая меньше требуемой, либо пропуская нуль в частном.

    Для предупреждения ошибок первого типа необходимо приучить сравнивать полученный остаток с делителем, а избежать пропуск нуля в частном может помочь приём с точками. Например, при делении 317984:523.

    317984 ∟523

    3138 608

    4184 . . .

     

    При изучении действий над натуральными числами следует формировать прочные навыки их выполнения, так как эти действия составляют основу вычислительных алгоритмов в других числовых системах.

     

    ЗАКОНЫ (СВОЙСТВА) АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ

    В справедливости законов сложения и умножения учащиеся убеждаются, решая целесообразно подобранные задачи. Примеры таких задач приведены при описании метода обобщения (см. общую методику). Они должны знать формулировки законов, уметь записывать их в буквенной форме и знать, что изученные ими законы находят применение

    · для обоснования правил арифметических действий: сложения и умножения “в столбик”;

    · для рационализации вычислений;

    · для упрощения выражений.

    Приведём примеры.

    №1.

    276+652=(2×100+7×10+6)+(6×100+5×10+2)= (2×100+6×100)+(7×10+5×10)+(6+2)=

    =(2+6)×100+(7+5)×10+(6+2).

    + 652

    №2.

    43×12=(10+2)×43=(2+10)×43=43×2+10×43.

    ´ 12

    43

     

     

    №3.

    Найдите значение выражения (х+342)+129 при х=371.

    №4. Упростите запись выражения 38+5а+75+6а.

    ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

     

    РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ

     

    Понятие числа принадлежит к фундаментальным, основным понятиям современной математики. С помощью числа человек познаёт количественные отношения реального мира. Понятие числа возникло из практической деятельности людей.

    Существуют историческая и логическая схемы развития понятия числа.

    Исторически за натуральными числами возникают положительные дробные числа, затем отрицательные, иррациональные, мнимые числа и вместе с ними комплексные и гиперкомплексные числа (кватернионы).

    Если обозначить множество натуральных чисел и нуль N0, Q+— множество положительных дробных (рациональных) чисел, Q – множество всех рациональных чисел (дробных как положительных так и отрицательных), R – множество действительных чисел, С – множество комплексных чисел, то историческую схему развития понятия числа можно представить в виде N0ÌQ+ÌQÌRÌС ® гиперкомплексные числа и кватернионы.

    При этом каждое расширение имеющегося класса чисел происходило либо под влиянием практики, либо внутренних потребностей самой математики, связанных с необходимостью введения новых чисел для обеспечения выполнимости операций.

    Логическая схема развития понятия числа предполагает рассмотрение числовых систем в такой последовательности: натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа (NÌZÌQÌRÌС).

    При этом потребность расширения имеющегося класса чисел обосновывается необходимостью выполнимости операций.

    как сложить все натуральные числа и получить -1/12?

    Вопрос ученому: — Я слышал, что сумма всех натуральных чисел равна −1/12. Это какой-то фокус, или это правда?

    Ответ пресс-службы МФТИ — Да, такой результат можно получить при помощи приема, называемого разложением функции в ряд.

    Вопрос, заданный читателем, достаточно сложный, и потому мы отвечаем на него не обычным для рубрики «Вопрос ученому» текстом на несколько абзацев, а некоторым сильно упрощенным подобием математической статьи.

    В научных статьях по математике, где требуется доказать некоторую сложную теорему, рассказ разбивается на несколько частей, и в них могут поочередно доказываться разные вспомогательные утверждения. Мы предполагаем, что читатели знакомы с курсом математики в пределах девяти классов, поэтому заранее просим прощения у тех, кому рассказ покажется слишком простым — выпускники могут сразу обратиться к http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation.

    Сумма всего

    Начнем с разговора о том, как можно сложить все натуральные числа. Натуральные числа — это числа, которые используются для счета цельных предметов — они все целые и неотрицательные. Именно натуральные числа учат дети в первую очередь: 1, 2, 3 и так далее. Сумма всех натуральных чисел будет выражением вида 1+2+3+… = и так до бесконечности.

    Ряд натуральных чисел бесконечен, это легко доказать: ведь к сколь угодно большому числу всегда можно прибавить единицу. Или даже умножить это число само на себя, а то и вычислить его факториал — понятно, что получится еще большая величина, которая тоже будет натуральным числом.

    Детально все операции с бесконечно большими величинами разбираются в курсе математического анализа, но сейчас для того, чтобы нас поняли еще не сдавшие данный курс, мы несколько упростим суть. Скажем, что бесконечность, к которой прибавили единицу, бесконечность, которую возвели в квадрат или факториал от бесконечности — это все тоже бесконечность. Можно считать, что бесконечность — это такой особый математический объект.

    И по всем правилам математического анализа в рамках первого семестра сумма 1+2+3+…+бесконечность — тоже бесконечна. Это легко понять из предыдущего абзаца: если к бесконечности что-то прибавить, она все равно будет бесконечностью.

    Однако в 1913 году блестящий индийский математик-самоучка Сриниваса Рамануджан Айенгор придумал способ сложить натуральные числа несколько иным образом. Несмотря на то, что Рамануджан не получал специального образования, его знания не были ограничены сегодняшним школьным курсом — математик знал про существование формулы Эйлера-Маклорена. Так как она играет важную роль в дальнейшем повествовании, о ней придется тоже рассказать подробнее.

    Формула Эйлера-Маклорена

    Для начала запишем эту формулу:

    Как можно видеть, она достаточно сложна. Часть читателей может пропустить этот раздел целиком, часть может прочитать соответствующие учебники или хотя бы статью в Википедии, а для оставшихся мы дадим краткий комментарий. Ключевую роль в формуле играет произвольная функция f(x), которая может быть почти чем угодно, лишь бы у нее нашлось достаточное число производных. Для тех, кто не знаком с этим математическим понятием (и все же решился прочитать написанное тут!), скажем еще проще — график функции не должен быть линией, которая резко ломается в какой-либо точке.

    Производная функции, если предельно упростить ее смысл, является величиной, которая показывает то, насколько быстро растет или убывает функция. С геометрической точки зрения производная есть тангенс угла наклона касательной к графику.

    Слева в формуле стоит сумма вида «значение f(x) в точке m + значение f(x) в точке m+1 + значение f(x) в точке m+2 и так до точки m+n». При этом числа m и n — натуральные, это надо подчеркнуть особо.

    Справа же мы видим несколько слагаемых, и они кажутся весьма громоздкими. Первое (заканчивается на dx) — это интеграл функции от точки m до точки n. Рискуя навлечь на себя гнев всей кафедры математики за примитивность подхода к интегралам, скажем, что это площадь под кривой f(x) на графике от m до n; интегралы очень широко используются в самых разных науках.

    На графике «по горизонтальной оси — время, по вертикальной — скорость» интеграл, то есть площадь под кривой, будет равен пройденному пути. На графике «ежемесячные платежи по вертикали, по горизонтали время» интегралом будет сумма, пришедшая на счет за все время.

    Второе слагаемое, обозначенное как B1(f(n) + f(m)), — это так называемое число Бернулли.

    Третье слагаемое — сумма от чисел Бернулли (B2k), поделенных на факториал удвоенного значения числа k и умноженных на разность производных функции f(x) в точках n и m. Причем, что еще сильнее усложняет дело, тут не просто производная, а производная 2k-1 порядка. То есть все третье слагаемое выглядит так:

    Число Бернулли B2 («2» так как в формуле стоит 2k, и мы начинаем складывать с k=1) делим на факториал 2 (это пока просто двойка) и умножаем на разность производных первого порядка (2k-1 при k=1) функции f(x) в точках n и m

    +

    Число Бернулли B4 («4» так как в формуле стоит 2k, а k теперь равно 2) делим на факториал 4 (1×2х3×4=24) и умножаем на разность производных третьего порядка (2k-1 при k=2) функции f(x) в точках n и m

    +

    Число Бернулли B6 (см. выше) делим на факториал 6 (1×2х3×4х5×6=720) и умножаем на разность производных пятого порядка (2k-1 при k=3) функции f(x) в точках n и m

    +

    Суммирование продолжается вплоть до k=p. Числа k и p получаются некоторыми произвольными величинами, которые мы можем выбирать по-разному, вместе с m и n — натуральными числами, которыми ограничен рассматриваемый нами участок с функцией f(x). То есть в формуле целых четыре параметра, и это вкупе с произвольностью функции f(x) открывает большой простор для исследований.

    Оставшееся скромное R, увы, тут не константа, а тоже довольно громоздкая конструкция, выражаемая через уже упомянутые выше числа Бернулли. Теперь самое время пояснить, что это такое, откуда взялось и почему вообще математики стали рассматривать столь сложные выражения.

    Числа Бернулли и разложения в ряд

    В математическом анализе есть такое ключевое понятие как разложение в ряд. Это значит, что можно взять какую-то функцию и написать ее не напрямую (например y = sin(x^2) + 1/ln(x) + 3x), а в виде бесконечной суммы множества однотипных слагаемых. Например, многие функции можно представить как сумму степенных функций, умноженных на некоторые коэффициенты — то есть сложной формы график сведется к комбинации линейной, квадратичной, кубической… и так далее — кривых.

    В теории обработки электрических сигналов огромную роль играет так называемый ряд Фурье — любую кривую можно разложить в ряд из синусов и косинусов разного периода; такое разложение необходимо для преобразования сигнала с микрофона в последовательность нулей и единиц внутри, скажем, электронной схемы мобильного телефона. Разложения в ряд также позволяют рассматривать неэлементарные функции, а ряд важнейших физических уравнений при решении дает именно выражения в виде ряда, а не в виде какой-то конечной комбинации функций.

    В XVII столетии математики стали вплотную заниматься теорией рядов. Несколько позже это позволило физикам эффективно рассчитывать процессы нагрева различных объектов и решать еще множество иных задач, которые мы здесь рассматривать не будем. 6 + … например) и получил числа, при помощи которых можно разложить в упомянутый выше степенной ряд другие функции — например, tg(x). Хотя, казалось бы, тангенс не очень-то похож хоть на параболу, хоть на какую угодно степенную функцию!

    Полиномы Бернулли позже нашли свое применение не только в уравнениях матфизики, но и в теории вероятностей. Это, в общем-то, предсказуемо (ведь ряд физических процессов — вроде броуновского движения или распада ядер — как раз и обусловлен разного рода случайностями), но все равно заслуживает отдельного упоминания.

    -1/12

    Громоздкая формула Эйлера-Маклорена использовалась математиками для разных целей. Так как в ней, с одной стороны, стоит сумма значений функций в определенных точках, а с другой — есть и интегралы, и разложения в ряд, при помощи этой формулы можно (в зависимости от того, что нам известно) как взять сложный интеграл, так и определить сумму ряда.

    Сриниваса Рамануджан придумал этой формуле иное применение. Он ее немного модифицировал и получил такое выражение:

    В качестве функции f(x) он рассмотрел просто x — пусть f(x) = x, это вполне правомерное допущение. Но для этой функции первая производная равна просто единице, а вторая и все последующие — нулю: если все аккуратно подставить в указанное выше выражение и определить соответствующие числа Бернулли, то как раз и получится −1/12.

    Это, разумеется, было воспринято самим индийским математиком как нечто из ряда вон выходящее. Поскольку он был не просто самоучкой, а талантливым самоучкой, он не стал всем рассказывать про поправшее основы математики открытие, а вместо этого написал письмо Годфри Харди, признанному эксперту в области как теории чисел, так и математического анализа. Письмо, кстати, содержало приписку, что Харди, вероятно, захочет указать автору на ближайшую психиатрическую лечебницу: однако итогом, конечно, стала не лечебница, а совместная работа.

    Парадокс

    Суммируя все сказанное выше, получим следующее: сумма всех натуральных чисел получается равной −1/12 при использовании специальной формулы, которая позволяет разложить произвольную функцию в некоторый ряд с коэффициентами, называемыми числами Бернулли. Однако это не значит, что 1+2+3+4 оказывается больше, чем 1+2+3+… и так до бесконечности. В данном случае мы имеем дело с парадоксом, который обусловлен тем, что разложение в ряд — это своего рода приближение и упрощение.

    Можно привести пример намного более простого и наглядного математического парадокса, связанного с выражением чего-то одного через что-то другое. Возьмем лист бумаги в клеточку и нарисуем ступенчатую линию с шириной и высотой ступеньки в одну клетку. Длина такой линии, очевидно, равна удвоенному числу клеток — а вот длина спрямляющей «лесенку» диагонали равна числу клеток, умноженному на корень из двух. Если сделать лесенку очень мелкой, она все равно будет той же длины и практически не отличимая от диагонали ломаная линия окажется в корень из двух раз больше той самой диагонали! Как видите, для парадоксальных примеров писать длинные сложные формулы вовсе не обязательно.

    Формула Эйлера-Маклорена, если не вдаваться в дебри математического анализа, является таким же приближением, как и ломаная линия вместо прямой. 120 степени раз. Это одна из нерешенных задач современной физики; тут явно просвечивает пробел в наших знаниях о Вселенной. Или же проблема — в отсутствии подходящих математических методов для описания окружающего мира. Физики-теоретики совместно с математиками пытаются найти такие способы описать физические процессы, при которых не будет возникать расходящихся (уходящих в бесконечность) рядов, но это далеко не самая простая задача.

    Пронумеровать все действительные числа на отрезке [0,1] / Хабр

    В качестве доказательства несчетности действительных чисел во всех учебниках по теории множеств приводится так называемый диагональный метод Кантора (подробнее можно ознакомиться в книге «Что такое математика?», авторы Курант, Роббинс, §4. Математический анализ бесконечного. 2. Счетность множества рациональных чисел и несчетность
    континуума.). Данный метод доказывает несчетность подмножества действительных чисел, принадлежащих диапазону [0,1]. Однако, если присмотреться к доказательству, становится ясно, что оно не учитывает экспоненциальный рост возможных вариантов с каждым увеличиеним порядкового номера в десятичной дроби.

    Кантор рассуждает следующим образом (но только в отношении бесконечных десятичных дробей): расположем десятичные дроби произвольным образом в виде списка, далее пронумеруем их и рассмотрим диагональ. Если к каждой цифре на диагонали прибавить 1, то мы получим число, которого нет в данном списке. Вот как раз таки этот момент на интуитивном уровне вызывает сомнение.

    Недостаток диагонального метода

    Для того, чтобы понять о чем речь, давайте попробуем рассмотреть идею диагонального метода на следующем примере. Рассмотрим конечные дроби вида: 0,a1a2a3a4a5, сформируем из них список так, чтобы получился квадрат размером 5*5, как это показано на рисунке ниже:

    Применим метод Кантора, и действительно, числа 0,22226 нет в данном квадрате. Но, оно есть в прямоугольнике 5*n5, где 5 – количество знаков после запятой, а n – количество цифр в используемой системе исчисления (в данном примере, n=10). Это объясняется тем, что количество комбинаций всех возможных дробей, длина которых составляет 5 знаков после запятой, равно n5.

    Устремляя размер квадрата до бесконечности, получаем то, что называется диагональным методом Кантора. Но в бесконечность нужно устремлять не квадрат, а прямоугольник, размером m*nm, где m – количество позиций после запятой, m —> ∞.

    Идея моего подхода

    Чтобы пронумеровать все действительные числа, принадлежащие диапазону [0, 1], их надо располагать в виде экспоненциально растущего дерева. Рассмотрим десятичные дроби, записанные в двоичной системе. Пусть k – количество знаков после запятой, n – размер алфавита системы счисления. Тогда количество возможных вариантов дробей начиная с k=1 и до ∞ будет функцией от k, это видно на рисунке ниже:

    Назовем каждую строку в вышеприведенной таблице – уровнем. Таким образом k – это и номер уровня, и количество знаков после запятой одновременно.

    Введем два порядковых номера:

    • общий счетчик (C, Counter), используется для последовательной нумерации всех чисел из диапазона [0,1];
    • счетчик уровня (L, per Level counter), используется для нумерации чисел на каждом уровне отделььно, обнуляется при переходе на следующий уровень. Для первого уровня L примет значения 1 и 2, для второго — 1, 2, 3 и 4 и т.д.

    Изобразим все двоичные десятичные дроби в виде в виде двоичного дерева, как в таблице ниже:

    Каждая отдельная цифра в позиции десятичного числа располагается в отдельной ячейке. Напротив каждой такой цифры записываем 2 индекса C и L следующим образом: NCL, где N – значение цифры.

    Cтановится очевидно, что С и L – это функции от k и цифр самого числа N: С = fC(k; N), L = fL(k; N). Также становится очевидно, что мы можем пронумеровать все числа из диапазона [0,1], т. к. мы последовательно проходим по каждому уровню и последовательно нумеруем все возможные комбинации на данном уровне.

    Осталось вывести аналитическую зависимость для счетчиков C = fC(N) и L = fL(k;N).

    Для удобства обозначим L(k;N) как Lk.
    Будем считать, что L0 — 1 = 0.

    Если внимательно изучить таблицу, то вырисовывается следующая закономерность:
    Lk = (Lk-1 — 1)*S + N + 1,
    где k >= 1, N – текущая цифра в дроби, S = |{0,1}| = 2 – размер алфавита двоичной системы счисления. Запись |A| означает мощность множества A, для конечного множества – это количество элементов в нем.

    Очевидно, что C содержит сумму всех комбинаций для всех предыдущих уровней плюс L числа для текущего уровня, т.е. C(N) = Σi∈[1,k-1]2i + L(k; N).

    Примеры

    Рассмотрим произвольное число 0,0101. Его порядковый номер C(0,0101) = 21 + 22 + 23 + L4 = 2 + 4 + 8 + 6 = 20.

    Расчеты:

    L1 = (L0-1)*2 + 0 + 1 = 0*2 + 0 + 1 = 1
    L2 = (L1 — 1)*2 + 1 + 1 = (1 — 1)*2 + 1 + 1 = 2
    L3 = (L2 — 1)*2 + 0 + 1 = (2 — 1)*2 + 0 + 1 = 3
    L4 = (L3 — 1)*2 + 1 + 1 = (3 — 1)*2 + 1 + 1 = 6

    Визуализация:

    Рассмотрим произвольное число 0,1001. Его порядковый номер C(0,1001) = 21 + 22 + 23 + L4 = 2 + 4 + 8 + 10 = 24.
    L1 = (L0 — 1)*2 + 1 + 1 = 0*2 + 1 + 1 = 2
    L2 = (L1 — 1)*2 + 0 + 1 = (1 — 1)*2 + 0 + 1 = 3
    L3 = (L2 — 1)*2 + 0 + 1 = (2 — 1)*2 + 0 + 1 = 5
    L4 = (L3 — 1)*2 + 1 + 1 = (3 — 1)*2 + 1 + 1 = 10

    Визуализация:

    Выводы

    Таким образом мы получили алгоритм, который последовательно нумерует абсолютно все действительные числа из диапазона [0,1], при этом, если взять произвольную десятичную дробь произвольной длины, то мы можем вычислить ее уникальный прядковый номер.

    P.S. Если предложенный мной алгоритм имеет ошибку, которую я, в силу своей невнимательности, не вижу – большая просьба написать об этом в комментариях.

    P.P.S Если же ошибки нет – то получается, что |[0,1]| = |N|! Т.е. ВСЕ действительные числа из диапазона [0,1] можно пронумеровать!

    20011 — Переменные, константы и действительные числа

    Введение: соединение вашего обучения

    Математику обычно называют универсальным языком. С огромной популярностью социальных сетей это становится все более очевидным. Вы не можете общаться с другими людьми из разных слоев общества без общего языка математики, управляющего вашим интернет-соединением, перемещающими спутники или переводящими слова.

    Кроме того, люди не могут составить карту Земли со смартфонов без программистов, которые генерируют математические алгоритмы для обеспечения этой технологии. Если вы решите сделать карьеру в области информационных технологий, будь то безопасность, сетевые технологии, мобильные приложения или геопространственные технологии, вам потребуется определенный уровень математических знаний.

    В этом уроке вы узнаете, как упорядочиваются действительные числа, сколько категорий чисел существует, и математические символы, которые позволяют вам быстро сравнивать или классифицировать числа.

    Фокусировка вашего обучения

    Цели урока

    К концу этого урока вы должны уметь:

    1. Различать переменные и константы.
    2. Классифицируйте числа по соответствующим наборам/подмножествам.
    3. Заказать реальные числа.

    Презентация

    Переменные и константы

    Основное различие между алгеброй и арифметикой заключается в использовании символов. В алгебре символы (обычно буквы) используются для представления чисел. Чтобы решать математические задачи, вы должны знать, что такое переменные и константы. Вот введение в термины переменные и константы.

    Переменная — это буква или символ, используемый в качестве заполнителя для неизвестного значения .

    Что такое переменная?

    Константа может быть буквой или символом, представляющим фиксированное число .

    Что такое константа?

    Посмотрите на два примера ситуаций, в которых буквы заменяются цифрами.

    Пример 1

    Предположим, что учащийся изучает три предмета, связанных с технологиями.

    • Каждый класс может сдавать не более одного экзамена в неделю.
    • Таким образом, в любой недельный период учащийся может сдать 0, 1, 2 или 3 экзамена по трем предметам.
    • В алгебре буква X может обозначать количество экзаменов, которые учащийся может сдать в течение одной недели.
    • Буква X является переменной, так как может представлять любое из чисел: 0, 1, 2, 3.

    Пример 2

    Предположим, вы должны указать общее количество программ, используемых в компьютерном классе в течение весеннего семестра вашего колледжа.

    • Поскольку вы не знаете этот номер наизусть, вы решаете представить его (хотя бы временно) буквой S .
    • Позже вы составляете список доступных программ и суммируете их общее количество. Вы обнаружите, что в общей сложности используется семь компьютерных программ.
    • Буква S , обозначающая это число, равна 7.
    • Поскольку S не может представлять никаких других значений, значение S является постоянным.

    Посмотрите следующие видеоролики о переменных и константах. Вы увидите дополнительные примеры, которые помогут вам лучше понять эти новые концепции.

    Математический видео-инструментарий

    Переменные и константы

    Переменные, выражения и уравнения

     

    Вещественные числа

    Перед изучением действительных чисел и аспектов, из которых состоят действительные числа, вы сначала узнаете о прямой числовой прямой.

    Изучение математики требует использования нескольких наборов чисел. Строка действительных чисел позволяет визуально отображать (графически) интересующие вас числа.

    Линия состоит из бесконечного множества точек. Каждой точке можно присвоить уникальный номер, а каждому номеру можно присвоить конкретную точку.

    Следующие слова используются для описания точек на прямой с действительными числами.

    Координата

    Число, связанное с точкой на числовой прямой, называется координатой точки.

    График

    Точка на числовой прямой, связанная с определенным числом, называется графиком этого числа.

     

    Как построить прямую числовую линию?

    Вот три шага, которые нужно выполнить, чтобы создать прямую числовую линию.

    1. Проведите горизонтальную линию.
    1. Отметить исходную точку.
    2. Выберите любую точку на линии и обозначьте ее 0. Эта точка называется началом координат.

    1. Выберите удобную длину. Начиная с 0, отметьте эту длину в обоих направлениях, следя за тем, чтобы длины были примерно одного размера.

    Теперь, когда вы создали числовую прямую, пришло время посмотреть, как определяются точки на числовой прямой.

    Вещественные числа

    Вещественное число — это любое число, являющееся координатой точки на прямой с действительными числами.

     

    Положительные числа, отрицательные числа

    Вещественные числа, графики которых расположены справа от 0, называются положительными действительными числами, или, проще говоря, положительными числами. Вещественные числа, графики которых располагаются слева от 0, называются отрицательными действительными числами или отрицательными числами.

    Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

     

    Посмотрите видео с простым объяснением положительных и отрицательных чисел на линейке действительных чисел.

    Что такое положительные и отрицательные числа?

     

    Подмножества действительных чисел

    Множество действительных чисел имеет много подмножеств. Ниже приведена диаграмма действительных чисел. Вы увидите термины натуральные, целые, целые, рациональные и иррациональные числа, которые представляют собой наборы действительных чисел.

     

    Натуральные числа, счетные числа

    Буква ( N ) — это символ, используемый для представления натуральных чисел. Натуральные числа также известны как счетные числа, и они начинаются с цифры 1 и продолжаются до бесконечности (никогда не заканчиваются), что обозначается тремя точками (. ..).

    Натуральные или счетные числа ( N ): 1, 2, 3, 4 . . . «и так далее.»

     

    Целые числа

    Буква ( W ) — это символ, используемый для представления целых чисел. Целые числа — это числа от 0 до бесконечности.

    Целые числа ( W ): 0, 1, 2, 3, 4 . . .

    Обратите внимание, что каждое натуральное число является целым числом.

    Целые числа

    Буква ( Z ) — это символ, используемый для представления целых чисел. Целое число может быть равно 0, положительному числу до бесконечности или отрицательному числу до отрицательной бесконечности.

    Целые числа ( Z ): . . . -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. . .

    Обратите внимание, что каждое целое число является целым числом.

    Посмотрите следующее видео, чтобы лучше понять целые числа.

    Что такое целое число?

     

    Рациональные числа (Дроби)

    Буква ( Q ) — это символ, который используется для представления рациональных чисел. Рациональные числа иногда называют дробями. Это числа, которые можно записать как частное двух целых чисел. Они имеют десятичные представления, которые либо заканчиваются, либо не заканчиваются, но содержат повторяющийся блок цифр. Некоторые примеры приведены ниже:

    − = − 0,75 Завершение

    = 8,407407407 . . . Непрерывные, но повторяющиеся

    Некоторые рациональные числа изображены ниже.

    Обратите внимание, что каждое целое число является рациональным числом.

    Вы заметите множество точек на числовой прямой, которые не обсуждаются. Эти числа составляют иррациональные числа. Они будут подробно рассмотрены в курсе алгебры. Примером иррационального числа является π (пи), десятичное представление которого не заканчивается и не содержит повторяющегося блока цифр. Приближение для π равно 3,14.

    Пример: Действительные числа

    1. Всякое ли целое число является натуральным?
    2. Нет. Число 0 — целое число, но не натуральное.

    3. Существует ли целое число, не являющееся натуральным?
    4. Да. Некоторые примеры: 0, -1, -2, -3 и -4.

    5. Существует ли целое число, которое является целым числом?
    6. Да. На самом деле каждое целое число является целым числом.

    Теперь ваша очередь тренироваться. Попробуйте самостоятельно ответить на следующие вопросы, а затем выберите Проверьте ответы , чтобы узнать, насколько хорошо вы справились.

    Практика

    1. Всякое ли натуральное число является целым числом?
    2. Является ли каждое целое число целым числом?
    3. Является ли каждое целое число действительным?
    4. Существует ли целое число, которое является целым числом?
    5. Существует ли целое число, не являющееся натуральным?

    Проверить ответы

    1. Да
    2. Да
    3. Да
    4. Да
    5. Да

     

    Посмотрите следующее видео, чтобы получить базовый обзор подмножеств действительных чисел с примерами, которые помогут вам применить новые знания.

    Подмножества действительных чисел

     

    Выполните следующее интерактивное задание, чтобы проверить свои знания.

    Практические упражнения с реальными числами

     

    Заказ реальных чисел

    Символы равенства

    Вы знаете, что означает и выглядит символ равенства.

    Если a = b , , то a и b равны, (8 = 8).

    Чтобы узнать об упорядочивании действительных чисел, подумайте об этом следующим образом.

    Если реальное число B больше, чем реальное число A , их отношения выглядят так:

    B > A и > A и B. справа от a в числовой строке

    Вот пример:

    5 > 2 , так как 5 находится справа от 2 −2 в числовой строке

    9000 , так как −2 находится справа от −5 на числовой прямой.

     

    Символы неравенства

    Важно знать, что означает каждый символ неравенства, потому что они используются для упорядочивания чисел. Взгляните на диаграмму ниже.

    Символы неравенства

    Что означает этот символ?

    Пример 1

    Пример 2

    Пример 3

    >

    больше

    а > б

    a больше b

    (8 > 5)

    <

    меньше

    а < б

    a меньше b

    (5 < 8)

    не равно

    а б

    a не равно b

    (8 ≠ 5)

    больше или равно

    а б

    a больше или равно б

    ( a ≥ 8)

    меньше или равно

    а б

    a меньше или равно b

    ( a ≤ 8)

    , если A и B представляют два числа, затем A и B связаны в одном из трех способов: A = 666666666676, . < b или a > b .

    Пример 1

    Какими целыми числами можно заменить x так, чтобы следующее утверждение было верным?

    −3 ≤ x < 2

    Ответ: Целые числа: −3, −2, −1, 0, 1. от −3 до 5. Расставьте точки на всех целых числах от −1 до 3 включительно.

    Ответ:

    −1 не является целым числом.

    Теперь, когда вы получили некоторые знания, пришло время применить полученные знания на практике.

    Практика

    Начертите числовую прямую от -4 до 4.

    Поставьте точки на все целые числа от -1 до 4 включительно.

    Начертите числовую прямую от -4 до 3.

    Поставьте точки на все целые числа от -2 до 2 включительно.

    Проверка ответов

    0015 Практика

    Какими целыми числами можно заменить x так, чтобы следующее утверждение было верным?

    −5 ≤ x <2

    Проверить ответы

    −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1

     

    Пришло время попрактиковаться самостоятельно. Выберите ссылку ниже, чтобы поработать над практическими задачами, а затем выберите ссылку на решения, чтобы увидеть, насколько хорошо вы справились.

    Переменные, константы, практические задачи с вещественными числами

    Решения: переменные, константы, практические задачи с вещественными числами

     

    Посмотрите следующие видеоролики, чтобы увидеть дополнительные примеры, которые помогут вам лучше понять эти новые концепции.

    Что такое неравенство?

    Неравенства: порядок в строке действительных чисел

    Подведение итогов обучения

    На этом уроке вы познакомились с основными компонентами ценной связи между обществами, называемой математикой. Вы видели разницу между переменными (постоянно меняющимися компонентами в математике) и константами. Вы также видели, что числа делятся на категории, и, что более важно, вы видели, что некоторые числа попадают в несколько категорий. В конце этого урока вы познакомились со знаком неравенства (<, ≤, >, ≥).

    По мере изучения математики вы увидите, насколько важны эти символы для мира информационных технологий, особенно для процессов, требующих алгоритмов, пошаговых процедур или линейного программирования.

    Наконец, когда вы познакомитесь с новыми символами или терминами, вам будет предложено уделить время изучению того, как каждое конкретное понятие относится к выбранной вами области исследования.

    Оценка вашего обучения

    Теперь, когда вы внимательно прочитали урок и попытались решить практические задачи, пришло время для проверки знаний. Обратите внимание, что этот является частью этого модуля, поэтому убедитесь, что вы подготовились перед началом.

    1. Завершите обзор арифметики: переменные, константы и действительное число

     

    Ресурс:

    «Числа со знаком: переменные, константы и действительные числа», Эллис В. и Бурзински Д. © 2010 г., получено с http://cnx.org/content/m35027/1.2 / используется в соответствии с авторством Creative Commons http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/. Эта адаптация урока «Переменные, константы и действительные числа» Национального консорциума по информационной безопасности и геопространственным технологиям (NISGTC) распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 3. 0 Unported License. Чтобы просмотреть копию этой лицензии, посетите http://creativecommons.org/licenses/by/3.0.

     

    Дополнительные атрибуты

    Реальные числа | Колледж Алгебра

    Результаты обучения

    • Классификация действительных чисел.
    • Выполнение вычислений в порядке операций.
    • Используйте свойства действительных чисел.
    • Вычислять и упрощать алгебраические выражения.

    Благодаря эволюции системы счисления мы теперь можем выполнять сложные вычисления, используя несколько категорий действительных чисел. В этом разделе мы изучим наборы чисел, выполним вычисления с различными типами чисел и начнем изучать использование чисел в алгебраических выражениях.

    Классификация действительных чисел

    Числа, которые мы используем для подсчета или перечисления элементов, являются натуральными числами : 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Мы описываем их в системе обозначений как {1, 2, 3, …}, где многоточие (…) указывает, что числа продолжаются до бесконечности. Натуральные числа, конечно, также называются счетными числами . Всякий раз, когда мы перечисляем членов команды, считаем монеты в коллекции или подсчитываем деревья в роще, мы используем набор натуральных чисел. Набор из целых чисел — это набор натуральных чисел плюс ноль: {0, 1, 2, 3,…}.

    Набор из целых чисел добавляет к набору целых чисел противоположные натуральные числа: {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}. Полезно отметить, что набор целых чисел состоит из трех различных подмножеств: отрицательных целых чисел, нуля и положительных целых чисел. В этом смысле положительные целые числа — это просто натуральные числа. Другой способ думать об этом состоит в том, что натуральные числа являются подмножеством целых чисел.

    [латекс]\begin{align}&{\text{отрицательные целые}} && {\text{ноль}} && {\text{положительные целые}}\\&{\dots ,-3,-2,- 1,} && {0,} && {1,2,3,\dots } \\ \text{ }\end{align}[/latex]

    Набор из рациональных чисел записывается как [латекс]\ left\{\frac{m}{n}|m\text{ и }{n}\text{ являются целыми числами, а }{n}\ne{ 0 }\right\}[/latex]. Обратите внимание на то, что из определения рациональные числа — это дроби (или частные), содержащие целые числа как в числителе, так и в знаменателе, а знаменатель никогда не равен 0. Мы также можем видеть, что каждое натуральное, целое и целое число является рациональным числом с знаменатель 1,

    Поскольку это дроби, любое рациональное число также может быть представлено в десятичной форме. Любое рациональное число может быть представлено как:

    1. завершающая десятичная дробь: [латекс]\фракция{15}{8}=1,875[/латекс], или
    2. повторяющееся десятичное число: [латекс]\frac{4}{11}=0,36363636\dots =0.\overline{36}[/latex]

    Мы используем линию, проведенную над повторяющимся блоком чисел, вместо многократного написания группы.

    Пример: запись целых чисел в виде рациональных чисел

    Каждое из следующих чисел запишите в виде рационального числа.

    1. 7
    2. 0
    3. –8

    Показать решение

    Попробуйте

    Каждое из следующих чисел запишите в виде рационального числа.

    1. 11
    2. 3
    3. –4

    Показать решение

    Пример: Идентификация рациональных чисел

    Запишите каждое из следующих рациональных чисел как завершающее или повторяющееся десятичное число.

    1. [латекс]-\dfrac{5}{7}[/латекс]
    2. [латекс]\dfrac{15}{5}[/латекс]
    3. [латекс]\dfrac{13}{25}[/латекс]

    Показать решение

    Иррациональные числа

    В какой-то момент в далеком прошлом кто-то обнаружил, что не все числа являются рациональными числами. Строитель, например, мог обнаружить, что диагональ квадрата с единичными сторонами равна не 2 и даже не [латекс]\фрак{3}{2}[/латекс], а чему-то другому. Или швейник мог заметить, что отношение длины окружности к диаметру рулона ткани чуть больше 3, но все же это не рациональное число. Такие числа называются 9.0075 иррационально , потому что их нельзя записать в виде дробей. Эти числа составляют набор из иррациональных чисел . Иррациональные числа не могут быть представлены в виде дроби от двух целых чисел. Невозможно описать этот набор чисел одним правилом, кроме как сказать, что число иррационально, если оно не рационально. Итак, мы пишем это, как показано.

    {ч | h не является рациональным числом}

    Пример. Дифференцирование рациональных и иррациональных чисел

    Определите, является ли каждое из следующих чисел рациональным или иррациональным. Если оно рационально, определите, является ли оно завершающим или повторяющимся десятичным числом.

    1. [латекс]\sqrt{25}[/латекс]
    2. [латекс]\dfrac{33}{9}[/латекс]
    3. [латекс]\sqrt{11}[/латекс]
    4. [латекс]\dfrac{17}{34}[/латекс]
    5. [латекс]0.3033033303333\точки[/латекс]

    Показать решение

    Попробуйте

    Вещественные числа

    Для любого числа n мы знаем, что n либо рационально, либо иррационально. Не может быть и того, и другого. Наборы рациональных и иррациональных чисел вместе составляют набор действительные числа . Как мы видели с целыми числами, действительные числа можно разделить на три подмножества: отрицательные действительные числа, ноль и положительные действительные числа. Каждое подмножество включает дроби, десятичные числа и иррациональные числа в соответствии с их алгебраическим знаком (+ или –). Ноль не считается ни положительным, ни отрицательным.

    Действительные числа можно визуализировать на горизонтальной числовой линии с произвольной точкой, выбранной как 0, с отрицательными числами слева от 0 и положительными числами справа от 0. Затем для обозначения каждого целого числа используется фиксированное единичное расстояние. (или другое базовое значение) по обе стороны от 0. Любое действительное число соответствует уникальной позиции на числовой прямой. Верно и обратное: каждое место на числовой прямой соответствует ровно одному вещественному числу. Это известно как переписка один на один. Мы называем это действительная числовая строка .

    Строка действительных чисел

    Пример: классификация действительных чисел

    Классифицируйте каждое число как положительное или отрицательное, как рациональное или иррациональное. Находится ли число слева или справа от 0 на числовой прямой?

    1. [латекс]-\dfrac{10}{3}[/латекс]
    2. [латекс]\sqrt{5}[/латекс]
    3. [латекс]-\sqrt{289}[/латекс]
    4. [латекс]-6\пи[/латекс]
    5. [латекс]0.616161\точки[/латекс]
    6. [латекс] 0,13 [/латекс]

    Показать решение

    Попробуйте

    Классифицируйте каждое число как положительное или отрицательное, а также как рациональное или иррациональное. Находится ли число слева или справа от 0 на числовой прямой?

    1. [латекс]\sqrt{73}[/латекс]
    2. [латекс]-11.411411411\точки [/латекс]
    3. [латекс]\dfrac{47}{19}[/латекс]
    4. [латекс]-\dfrac{\sqrt{5}}{2}[/латекс]
    5. [латекс]6. 210735[/латекс]

    Показать решение

    Наборы чисел как подмножества

    Начав с натуральных чисел, мы расширили каждый набор, чтобы сформировать больший набор, а это означает, что между наборами чисел, с которыми мы сталкивались до сих пор, существует отношение подмножества. Эти отношения становятся более очевидными, если рассматривать их в виде диаграммы.

    Наборы чисел. N : множество натуральных чисел W : множество целых чисел I : множество целых чисел Q : множество рациональных чисел : набор иррациональных чисел

    Общее примечание: наборы чисел

    Набор из натуральных чисел включает числа, используемые для счета: [латекс]\{1,2,3,\точки\} [/латекс].

    Набор из целых чисел — это набор натуральных чисел плюс ноль: [латекс]\{0,1,2,3,\точки\}[/латекс].

    Набор из целых чисел добавляет отрицательные натуральные числа к набору целых чисел: [латекс]\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}[ /латекс].

    Набор из рациональных чисел включает дроби, записанные как [латекс]\{\frac{m}{n}|m\text{ и }n\text{ являются целыми числами, а }n\ne 0\}[/latex ].

    Набор из иррациональных чисел — это набор нерациональных, неповторяющихся и непрерывных чисел: [латекс]\{ч|ч\текст{ не является рациональным числом}\}[/латекс].

    Пример: дифференцирование наборов чисел

    Классифицируйте каждое число как натуральное, целое, целое, рациональное и/или иррациональное.

    • [латекс]\sqrt{36}[/латекс]
    • [латекс]\dfrac{8}{3}[/латекс]
    • [латекс]\sqrt{73}[/латекс]
    • [латекс]-6[/латекс]
    • [латекс]3.2121121112\точки [/латекс]

    Показать решение

    Попробуйте

    Классифицируйте каждое число как натуральное число ( N ), целое число ( W ), целое число ( I ), рациональное число ( Q ) и/или иррациональное число ( Вопрос ).

    1. [латекс]-\dfrac{35}{7}[/латекс] 9{2}[/latex] — это математическое выражение.

      Чтобы вычислить математическое выражение, мы выполняем различные операции. Однако мы не выполняем их в произвольном порядке. Мы используем порядок операций . Это последовательность правил для вычисления таких выражений.

      Вспомните, что в математике мы используем круглые скобки ( ), квадратные скобки [ ] и фигурные скобки { } для группировки чисел и выражений, так что все, что появляется внутри символов, рассматривается как единое целое. Кроме того, столбцы дробей, радикалы и столбцы абсолютных значений обрабатываются как символы группировки. При вычислении математического выражения начните с упрощения выражений внутри группирующих символов. 9{2}=12[/латекс].

      Для некоторых сложных выражений потребуется несколько проходов по порядку операций. Например, внутри круглых скобок может быть подкоренное выражение, которое необходимо упростить перед вычислением круглых скобок. Соблюдение порядка операций гарантирует, что любой, кто упростит одно и то же математическое выражение, получит тот же результат.

      A Общее примечание: Порядок операций

      Операции в математических выражениях должны выполняться в систематическом порядке, который можно упростить, используя аббревиатуру PEMDAS :

      P (Arentheses)

      E (Xponents)

      M (Ultiplication) и D (IVision)

      A DDITION) и (IVision)

      9004 A (д.

      Как сделать: упростите математическое выражение, используя порядок операций.

      1. Упростите любые выражения внутри группирующих символов.
      2. Упростите любые выражения, содержащие экспоненты или радикалы.
      3. Выполните любое умножение и деление по порядку, слева направо. 9{2}\right]+1[/латекс]

      Показать решение

      Попробуй

       

      Посмотрите следующий видеоролик, в котором приведены дополнительные примеры использования порядка операций для упрощения выражения.

      Использование свойств действительных чисел

      Для некоторых выполняемых нами действий порядок определенных операций не имеет значения, но имеет значение порядок других операций. Например, не имеет значения, надеваем ли мы правый ботинок раньше левого или наоборот. Однако имеет значение, надеваем ли мы сначала обувь или носки. То же самое верно и для операций в математике.

      Коммутативные свойства

      Коммутативное свойство сложения гласит, что числа можно складывать в любом порядке, не влияя на сумму.

      [latex]a+b=b+a[/latex]

      Мы можем лучше увидеть эту связь, используя действительные числа.

      [латекс]\влево(-2\вправо)+7=5\текст{ и }7+\влево(-2\вправо)=5[/латекс]

      Аналогично, свойство коммутативности умножения утверждает что числа можно умножать в любом порядке, не затрагивая произведение.

      [латекс]а\cdot b=b\cdot а[/латекс]

      Снова рассмотрим пример с вещественными числами.

      [латекс]\влево(-11\вправо)\cdot\влево(-4\вправо)=44\текст{ и }\влево(-4\вправо)\cdot\влево(-11\вправо)=44 [/latex]

      Важно отметить, что ни вычитание, ни деление не являются коммутативными. Например, [латекс]17–5[/латекс] — это не то же самое, что [латекс]5–17[/латекс]. Точно так же [латекс]20\дел 5\ne 5\дел 20[/латекс].

      Ассоциативные свойства

      Ассоциативное свойство умножения говорит нам, что не имеет значения, как мы группируем числа при умножении. Мы можем переместить символы группировки, чтобы упростить вычисления, а произведение останется прежним.

      [латекс]a\left(bc\right)=\left(ab\right)c[/latex]

      Рассмотрим этот пример.

      [латекс]\влево(3\cdot4\вправо)\cdot5=60\текст{ и }3\cdot\влево(4\cdot5\вправо)=60[/латекс]

      Ассоциативное свойство сложения говорит нам, что числа могут быть сгруппированы по-разному, не влияя на сумму.

      [latex]a+\left(b+c\right)=\left(a+b\right)+c[/latex]

      Это свойство может быть особенно полезным при работе с отрицательными целыми числами. Рассмотрим этот пример.

      [латекс][15+\влево(-9\вправо)]+23=29\текст{ и }15+[\влево(-9\вправо)+23]=29[/латекс]

      Вычитание а деление ассоциативное? Просмотрите эти примеры.

      [латекс]\begin{align}8-\left(3-15\right) & \stackrel{?}{=}\left(8-3\right)-15 \\ 8-\left(-12 \right) & \stackrel{?}=5-15 \\ 20 & \neq 20-10 \\ \text{ }\end{align}[/latex]

      [латекс]\begin{align}64\div\left(8\div4\right)&\stackrel{?}{=}\left(64\div8\right)\div4 \\ 64\div2 & \stackrel {?}{=}8\div4 \\ 32 & \neq 2 \\ \text{ }\end{align}[/latex]

      Как мы видим, ни вычитание, ни деление не являются ассоциативными.

      Распределительное свойство

      Распределительное свойство утверждает, что произведение множителя, умноженного на сумму, равно сумме множителя, умноженного на каждый член суммы.

      [латекс]a\cdot \left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c[/латекс]

      Это свойство сочетает в себе как сложение, так и умножение (и является единственным свойством, которое делает это). Рассмотрим пример.

      Обратите внимание, что 4 находится за пределами символов группировки, поэтому мы распределяем 4, умножая его на 12, умножая на -7 и добавляя произведения.

      Чтобы быть более точным при описании этого свойства, мы говорим, что умножение распределяет над сложением. Обратное неверно, как мы можем видеть на этом примере.

      [латекс]\begin{align} 6+\left(3\cdot 5\right)& \stackrel{?}{=} \left(6+3\right)\cdot \left(6+5\right) ) \\ 6+\влево(15\вправо)& \stackrel{?}{=} \влево(9\right)\cdot \left(11\right) \\ 21& \ne 99 \end{align}[/latex]

      Умножение не распределяется по вычитанию, а деление не распределяется ни по сложению, ни по вычитанию.

      Особый случай распределительного свойства возникает при вычитании суммы членов.

      [латекс]a-b=a+\влево(-b\вправо)[/латекс]

      Например, рассмотрим разность [латекс]12-\влево(5+3\вправо)[/латекс]. Мы можем переписать разницу между двумя терминами 12 и [латекс]\влево(5+3\вправо)[/латекс], превратив выражение вычитания в сложение противоположного. Поэтому вместо вычитания [латекс]\влево(5+3\вправо)[/латекс] мы прибавляем обратное.

      [латекс]12+\влево(-1\вправо)\cdot \влево(5+3\вправо)[/латекс]

      Теперь распределите [латекс]-1[/латекс] и упростите результат.

      [латекс]\begin{align}12+\left(-1\right)\cdot\left(5+3\right)&=12+[\left(-1\right)\cdot5+\left(- 1\right)\cdot3] \\&=12+(-5-3) \\&=12+\left(-8\right) \\&=4 \end{align}[/latex]

      Это кажется большой проблемой для простой суммы, но она иллюстрирует мощный результат, который будет полезен, когда мы введем алгебраические термины. Чтобы вычесть сумму членов, измените знак каждого члена и сложите результаты. Имея это в виду, мы можем переписать последний пример.

      [латекс]\begin{align}12-\left(5+3\right) &=12+\left(-5-3\right) \\ &=12+\left(-8\right) \ \ &=4\end{align}[/latex]

      Свойства идентичности

      Свойство идентичности добавления указывает, что существует уникальное число, называемое аддитивной идентичностью (0), которое при добавлении к числу дает в исходном номере.

       [latex]a+0=a[/latex]

      Свойство тождества умножения утверждает, что существует уникальное число, называемое мультипликативным тождеством (1), которое при умножении на число дает исходное количество.

      [латекс]а\cdot 1=а[/латекс]

      Например, у нас есть [латекс]\влево(-6\вправо)+0=-6[/латекс] и [латекс]23\cdot 1 =23[/латекс]. Для этих свойств нет исключений; они работают для каждого действительного числа, включая 0 и 1.

      Обратные свойства

      Обратное свойство сложения утверждает, что для каждого действительного числа a существует уникальное число, называемое аддитивным обратным (или противоположным) числом. , обозначенный — a , что при добавлении к исходному числу дает аддитивную идентичность, 0,

      [латекс]а+\влево(-а\вправо)=0[/латекс]

      Например, если [латекс]а=-8[/латекс], обратная аддитивная величина равна 8, поскольку [латекс]\влево (-8\справа)+8=0[/латекс].

      Свойство , обратное умножению , выполняется для всех действительных чисел, кроме 0, поскольку величина, обратная 0, не определена. Свойство утверждает, что для каждого действительного числа a существует уникальное число, называемое мультипликативным обратным (или обратным), обозначаемое [latex]\frac{1}{a}[/latex], которое при умножении на исходное число, приводит к мультипликативному тождеству, 1.

      [latex]a\cdot \dfrac{1}{a}=1[/latex]

      Например, если [latex]a=-\frac{2}{3}[/latex], обратная обозначается как [латекс]\frac{1}{a}[/latex], это [латекс]-\frac{3}{2}[/latex], потому что

      [латекс]a\cdot \dfrac{1}{a }=\left(-\dfrac{2}{3}\right)\cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right)=1[/latex]

      Общее примечание: свойства вещественных чисел

      Следующие свойства справедливы для действительных чисел a , b и c .

      Пример: Использование свойств действительных чисел

      Используйте свойства действительных чисел, чтобы переписать и упростить каждое выражение. Укажите, какие свойства применяются.

      1. [латекс]3\cdot 6+3\cdot 4[/латекс]
      2. [латекс]\влево(5+8\вправо)+\влево(-8\вправо)[/латекс]
      3. [латекс]6-\левый(15+9\правый)[/латекс]
      4. [латекс]\dfrac{4}{7}\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \dfrac{7}{4}\right)[/latex]
      5. [латекс]100\cdot\влево[0,75+\влево(-2,38\вправо)\вправо][/латекс]

      Показать решение

      Попробуйте

      Используйте свойства действительных чисел, чтобы переписать и упростить каждое выражение. Укажите, какие свойства применяются.

      1. [латекс]\влево(-\dfrac{23}{5}\вправо)\cdot \влево[11\cdot \влево(-\dfrac{5}{23}\вправо)\вправо][/латекс]
      2. [латекс]5\cdot\влево(6,2+0,4\вправо)[/латекс]
      3. [латекс]18-\левый(7 — 15\правый)[/латекс]
      4. [латекс]\dfrac{17}{18}+\cdot \left[\dfrac{4}{9}+\left(-\dfrac{17}{18}\right)\right][/latex]
      5. [латекс]6\cdot\влево(-3\справа)+6\cdot 3[/латекс]

      Показать решение

      Вычисление и упрощение алгебраических выражений

      До сих пор математические выражения, которые мы видели, включали только действительные числа. {2}}[/латекс]. В выражении [latex]x+5, 5[/latex] называется константа , потому что она не меняется, а x называется переменной , потому что она меняется. (При именовании переменной игнорируйте любые показатели степени или радикалы, содержащие эту переменную.) Алгебраическое выражение представляет собой набор констант и переменных, объединенных алгебраическими операциями сложения, вычитания, умножения и деления.

      Мы уже видели несколько примеров экспоненциальной записи действительных чисел, сокращенного метода записи произведений одного и того же множителя. Когда используются переменные, константы и переменные обрабатываются одинаково. 9{3}=\left(yz\right)\cdot\left(yz\right)\cdot\left(yz\right)\\ \text{ }\end{align}[/latex]

      В каждом случае показатель степени говорит нам, сколько факторов базы использовать, независимо от того, состоит ли база из констант или переменных.

      Любая переменная в алгебраическом выражении может принимать или ей присваиваются разные значения. Когда это происходит, значение алгебраического выражения изменяется. Вычислить алгебраическое выражение означает определить значение выражения для заданного значения каждой переменной в выражении. Замените каждую переменную в выражении заданным значением, затем упростите полученное выражение, используя порядок операций. Если алгебраическое выражение содержит более одной переменной, замените каждую переменную ее присвоенным значением и упростите выражение, как и раньше. 9{2}}[/латекс]

      Показать решение

      Попробуйте

      Пример: вычисление алгебраического выражения при различных значениях

      Вычислите выражение [latex]2x — 7[/latex] для каждого значения для x.

      1. [латекс]x=0[/латекс]
      2. [латекс]x=1[/латекс]
      3. [латекс]x=\dfrac{1}{2}[/латекс]
      4. [латекс]x=-4[/латекс]

      Показать решение

      Попробуйте

      Пример: вычисление алгебраических выражений 9{2}}[/латекс] для [латекс]m=2,n=3[/латекс]

      Показать решение

      Попробуйте

      В следующем видео мы представляем больше примеров того, как вычислить выражение для заданного значения.

      Формулы

      Уравнение — это математическое утверждение, указывающее, что два выражения равны. Выражения могут быть числовыми или алгебраическими. Уравнение не является по своей сути истинным или ложным, а только предложением. Значения, которые делают уравнение истинным, решения, находятся с использованием свойств действительных чисел и других результатов. Например, уравнение [латекс]2x+1=7[/латекс] имеет единственное решение [латекс]х=3[/латекс], потому что, когда мы подставляем 3 вместо [латекс]х[/латекс] в уравнении, мы получить истинное утверждение [латекс]2\влево(3\вправо)+1=7[/латекс]. 9{2}[/латекс].

      Пример: использование формулы

      Прямой круглый цилиндр с радиусом [латекс]r[/латекс] и высотой [латекс]h[/латекс] имеет площадь поверхности [латекс]S[/латекс] (в квадратных единицах) задается формулой [латекс]S=2\pi r\left(r+h\right)[/латекс]. Найдите площадь поверхности цилиндра радиусом 6 дюймов и высотой 9 дюймов. Оставьте ответ в терминах [латекс]\пи[/латекс].

      Круглый правый цилиндр

      Показать решение

      Попробуйте

      Рисунок 4

      Фотография длиной L и шириной W помещается на коврик шириной 8 сантиметров (см). Площадь коврика (в квадратных сантиметрах или см 2 ) равна [латекс]A=\left(L+16\right)\left(W+16\right)-L\cdot W[/ латекс]. Найдите площадь коврика для фотографии длиной 32 см и шириной 24 см.

      Показать решение

      Упрощение алгебраических выражений

      Иногда мы можем упростить алгебраическое выражение, чтобы упростить его вычисление или использование другим способом. Для этого воспользуемся свойствами вещественных чисел. Мы можем использовать те же свойства в формулах, поскольку они содержат алгебраические выражения.

      Пример: Упрощение алгебраических выражений

      Упростите каждое алгебраическое выражение.

      1. [латекс]3x — 2y+x — 3y — 7[/латекс]
      2. [латекс]2р — 5\левый(3-р\правый)+4[/латекс]
      3. [латекс]\влево(4t-\dfrac{5}{4}s\вправо)-\влево(\dfrac{2}{3}t+2s\вправо)[/latex]
      4. [латекс]2мн — 5м+3мн+н[/латекс]

      Показать решение

      Попробуйте

      Пример: упрощение формулы

      Прямоугольник с длиной [латекс]L[/латекс] и шириной [латекс]W[/латекс] имеет периметр [латекс]Р[/латекс], заданный [латекс ]P=L+W+L+W[/латекс]. Упростите это выражение.

      Показать решение

      Попробуйте

      Если сумма [latex]P[/latex] депонирована на счет с выплатой простых процентов [latex]r[/latex] в течение времени [latex]t[/latex], общая стоимость депозита [latex]A[/latex] задается как [latex]A=P+Prt[/latex]. Упростите выражение. (Эта формула будет рассмотрена более подробно позже в ходе курса.)

      Показать решение

      Ключевые понятия

      • Рациональные числа могут быть записаны в виде дробей или завершающих или повторяющихся десятичных знаков.
      • Определите, является ли число рациональным или иррациональным, записав его в виде десятичной дроби.
      • Рациональные числа и иррациональные числа составляют множество действительных чисел. Число может быть классифицировано как натуральное, целое, целое, рациональное или иррациональное.
      • Порядок операций используется для оценки выражений.
      • Вещественные числа при операциях сложения и умножения подчиняются основным правилам, известным как свойства действительных чисел. Это коммутативные свойства, ассоциативные свойства, распределительные свойства, свойства тождества и обратные свойства.
      • Алгебраические выражения состоят из констант и переменных, которые объединяются с помощью сложения, вычитания, умножения и деления. Они принимают числовое значение при оценке путем замены переменных константами.
      • Формулы – это уравнения, в которых одна величина представлена ​​через другие величины. Они могут быть упрощены или оценены как любое математическое выражение.

      Глоссарий

      алгебраическое выражение константы и переменные, объединенные с помощью сложения, вычитания, умножения и деления

      ассоциативное свойство сложения сумма трех чисел может быть сгруппирована по-разному, не влияя на результат; в символах [latex]a+\left(b+c\right)=\left(a+b\right)+c[/latex]

      ассоциативное свойство умножения  произведение трех чисел может группироваться по-разному без влияет на результат; в символах, [latex]a\cdot \left(b\cdot c\right)=\left(a\cdot b\right)\cdot c[/latex]

      base в экспоненциальной записи, выражение, которое умножается на

      коммутативное свойство сложения два числа можно складывать в любом порядке, не влияя на результат; в символах [latex]a+b=b+a[/latex]

      коммутативное свойство умножения два числа можно умножать в любом порядке, не влияя на результат; в символах, [latex]a\cdot b=b\cdot a[/latex]

      постоянная величина, не меняющая значения

      свойство распределения размножить каждый член в сумме; в символах [латекс]a\cdot \left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c[/latex]

      уравнение математическое утверждение, указывающее, что два выражения равны одного и того же фактора

      формула уравнение, выражающее связь между постоянными и переменными величинами

      тождество свойство сложения существует уникальное число, называемое аддитивной идентичностью, 0, которое при добавлении к числу дает исходное число; в символах [латекс]а+0=а[/латекс]

      свойство тождества умножения  существует уникальное число, называемое мультипликативным тождеством, 1, которое при умножении на число дает исходное число; в символах [латекс]а\cdot 1=а[/латекс]

      целых чисел множество, состоящее из натуральных чисел, их противоположностей и 0: [латекс]\{\точки ,-3,-2,- 1,0,1,2,3,\точки\}[/латекс]

      обратное свойство сложения  для каждого действительного числа [латекс]а[/латекс] существует уникальное число, называемое аддитивным обратным (или противоположным), обозначаемое [латекс]-а[/латекс], которое, когда добавление к исходному числу дает аддитивную идентичность, 0; в символах, [latex]a+\left(-a\right)=0[/latex]

      обратное свойство умножения для каждого ненулевого действительного числа [latex]a[/latex], существует уникальное число , называемый мультипликативным обратным (или обратным), обозначаемым [latex]\dfrac{1}{a}[/latex], который при умножении на исходное число дает мультипликативную идентичность, 1; в символах [латекс]а\cdot \dfrac{1}{а}=1[/латекс]

      иррациональные числа множество всех нерациональных чисел; их нельзя записать как завершающую или повторяющуюся десятичную дробь; они не могут быть выражены в виде дроби от двух целых чисел

      натуральных чисел набор счетных чисел: [латекс]\{1,2,3,\точки \}[/латекс]

      порядок операций набор правил, регулирующих вычисление математических выражений, назначение приоритетов операциям

      рациональных чисел  множество всех чисел вида [latex]\dfrac{m}{n}[/latex], где [latex]m[/latex] и [latex]n[/latex] — целые числа, а [latex]n \ne 0[/латекс]. Любое рациональное число может быть записано как дробь или завершающая или повторяющаяся десятичная дробь.

      строка действительных чисел горизонтальная линия, используемая для представления действительных чисел. Произвольная фиксированная точка выбирается для представления 0; положительные числа лежат справа от 0, а отрицательные слева.

      действительные числа совокупность рациональных и иррациональных чисел

      переменная количество, которое может изменить значение

      целые числа множество, состоящее из 0 плюс натуральные числа: [латекс]\{0,1,2,3,\точки\}[/латекс]

      Настоящие числа — GeeksforGeeks

      В математике вещественное число — это значение непрерывной величины, которое может представлять расстояние вдоль линии. Действительные числа включают в себя как рациональные, так и иррациональные числа. Рациональные числа, такие как целые числа (-5, 0, 9), дроби (1/2, 7/8, 2,5) и иррациональные числа, такие как √7, π и т. д., являются действительными числами.

      Вы когда-нибудь думали, что мы можем считать вещи, но как мы можем считать? Мы можем считать, используя числа. Но числа также бывают разных типов: некоторые имеют отрицательные значения, некоторые имеют положительные значения, некоторые очень большие, некоторые очень маленькие, некоторые в математических операциях, поэтому существует много типов чисел.

      Число или система счисления – это система представления чисел. В математике существуют различные типы систем счисления, такие как двоичная, десятичная и т. д. Система счисления представляет собой то, как число должно быть записано.

      Числа разделены на следующие типы:

      • Натуральные номера
      • Целые числа
      • Целые числа
      • Рациональные номера
      • Иррациональные номера

      Натуральные номера

      Натуральные номера — это те, которые используются в вашем повседневную жизнь считать как 1, 2, 3 ….. Это положительные числа, потому что мы не можем считать в отрицательном выражении.

      Предположим, вы выбираете число из 1, 2, 3, 4, 5…… и так до бесконечности. Эти числа известны как натуральные числа. Эти натуральные числа обозначаются символом N.

      Целые числа

      Целые числа — это числа, в которых к натуральным числам добавляется одно число. Добавление 0 к натуральным числам превращает серию в набор целых чисел.

      0, 1, 2, 3, 4, 5…… и так до бесконечности. Эти числа известны как целые числа. Эти целые числа обозначаются символом W.

      Целые числа

      Все числа, которые имеют полное значение, известны как целые числа, и существует два типа целых чисел: первый отрицательный, а второй положительный.

      ….-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…… и так до бесконечности. Эти числа известны как целые числа и обозначаются символом Z.

      Рациональные числа

      В математике рациональное число — это число, которое может быть выражено как дробь p/q двух целых чисел, числитель p и не -нулевой знаменатель q, такой как 2/7.

      Пример: 25 можно записать как 25/1, так что это рациональное число.

      Иррациональные числа

      Иррациональные числа — это числа, которые не могут быть выражены в форме p/q, где p и q — целые числа, а q ≠ 0. Короче говоря, иррациональные числа — это действительные числа, которые не являются рациональными числами.

      Пример: √3, √5, π и т. д. Эти числа известны как иррациональные числа.

      Вопрос 1. Найдите три рациональных числа между 6 и 7.

      Ответ.

      Три рациональных числа от 6 до 7: 13/2, 20/3 27/4.

      Вопрос 2. Можете ли вы определить следующие серии 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ……?

      Ответ.

      Это группа чисел, представляющая целые числа.

      Таблица реальных чисел

      Представление чисел на прямой Числа

      Числовая линия представляет собой представление чисел с фиксированным интервалом между ними на прямой линии. Числовая строка содержит все типы чисел, такие как натуральные числа, рациональные числа, целые числа и т. д.

      Как показано в приведенной выше числовой строке, 0 находится в середине строки. Положительные целые числа записываются справа от нуля, тогда как отрицательные целые числа записываются слева от нуля.

      Рациональные числа записываются между числами, на которых они лежат. Например, 3/2 равно 1,5, поэтому оно отмечено между 1 и 2. Оно показывает, что число 3/2 лежит где-то между 1 и 2.

      Точно так же число 13/4 лежит между 3 и 4. Итак, мы отметили это между 3 и 4. Число -50/9 лежит между -5 и -6. Итак, мы отметили его между -5 и -6 на числовой прямой.

      Вопрос: Представьте следующие числа на числовой прямой.

      (и) 23/5

      (ii) 6

      (iii) -33/7

      Десятичное расширение действительного числа десятичная система).

      В этой системе каждый «десятичный знак» состоит из цифры от 0 до 9. Эти цифры расположены так, что каждая цифра умножается на степень 10, уменьшаясь слева направо.

      Можем ли мы представить 13/4 в другой форме, которая может показать его точное значение на числовой прямой?

      Да. Мы можем записать его в десятичных дробях, что дает его точное значение. Давайте расширим 13/4

      Итак, 13/4 также можно записать как 3,25.

      Теперь возьмем другой пример. Давайте расширим 1/3

      Итак, 1/3 также можно записать как 0,3333…… Мы также можем записать это как

      Аналогично, 1/7 можно записать как 0,142857142857142857… или . Это можно определить как повторяющиеся десятичные дроби.

      Последовательное увеличение

      Процесс представления и визуализации действительных чисел на числовой прямой через увеличительное стекло известен как последовательное увеличение.

      Возьмем в качестве примера 3,25

      Мы можем сказать, что 3,25 определенно находится между 3 и 4. Можем ли мы сказать, где именно оно лежит? Да, мы можем сделать это, используя последовательное увеличение.

      В первой строке мы видим, что 3,25 лежит между 3 и 4. Теперь сделайте шаг вперед. Теперь мы масштабируем между 3,2 и 3,3. Здесь мы обнаружили, что 3,25 лежит между 3,2 и 3,3. Таким образом, мы представили 3,25 на числовой прямой, используя последовательное увеличение.

      Операции над действительными числами

      Мы знаем, что можем выполнять математические операции над рациональными числами. Например, мы можем складывать, делить, умножать и вычитать рациональное число с другим числом. В результате мы также получаем рациональное число.

      Точно так же мы можем выполнять математические операции и с иррациональными числами, но результат может быть рациональным или иррациональным.

      Образцы примеров

      Пример 1. Сложите √3 и √5

      Решение:

      (√3 + √5)

      Теперь ответ — иррациональное число.

      Пример 2. Умножьте √3 на √3.

      Решение:

      √3 × √3 = 3

      Теперь ответ — рациональное число.

      Итак, мы можем сказать, что результат математических операций над иррациональными числами может быть рациональным или иррациональным.

      Теперь сложите рациональное число с иррациональным числом.

      Пример 3: добавьте 2 и √5

      Решение:

      (2 + √5)

      Теперь ответ — иррациональное число.

      Пример 4. Упростите выражение: (2 + √3)(5 + √3)

      Решение:

      (2 + √3)(5 + √3 =

      2√3 + 5√3 + 3

      = 13 + 7√3

      Теперь ответ — иррациональное число.


      Числовые формы и математические символы

      Числа

      777

      0. 99999

      Symbol Code
      𝟬
      03999999999999999999999999990.

      0404040.

      9990. 999990. 99

      040404019999999999.2026 ¼ ¾ 9 499 499 . 2027 ⅳ ⅷ ⅷ ⅷ ⅷ .0040 ⅸ . ½ ₁ ₁ 77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779тели. :sub2> ¹ 6

      6 ²

      6. 444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444н 44444444444444444444444444444444444444444444444444949449н 4444026 444444444444444444444444444444444444444449. .0040

      7 69.97039.

      797.

      7.

      7.97039
      .

      79.974979.974.974979.974.97497.

      7.

      .

      .

      .

      .

      79.

      79.

      79.

      79.

      79.

      79.

      39
      4409027 44449 44449 . 0039 11026. 0039 7 779 7779 79 79 .0040 444440 4444040 940

      0037 49 4499777 49037 779 77779

      0404040404040404040404040404040404040403

      040403

      0403

      04040377

      . 0040 > 411111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111119.40404040403
      Символ Код
      40039

      04027

      207207. 0039
      .0039
      4039
      4040369 .0039
      ¬
      4036> Не Not Note
      %
      %
      %
      %
      %
      % .
      ±
      ˜
      /
      7. 2027
      4040404040404040404040404040404040404039.404040404040404040404039.40404011.2026
      ÷
      40 [29.0039
      <
      ±
      < S: Repzero>
      1111111111111111111111111111111199. 4039.2027 √ < S: SquarePlus> 477 40404040403

      0404040404040403

      040403

      040404040403

      0403

      0403

      0403

      0403

      0403

      0403

      04040377 .2026

      5 Наборы

      0390 ⋁ 03

      0404040. 0040

      Symbol Code
      < S: Элемент>
      400390 ⋁
      4040404040404039039.SER.2027
      404040404040404040404040404040404040404040404040404040404040404040404011 гг.2027

      Векторы

      Symbol Code

      Calculus

      44444444499 9 9 9 . 2026 777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779н.0039
      Символ Код
      9bottomintegral>2027
      < s:partial>
      < S: FPRIMEX_ACC>

      Наборы чисел в действительной системе счисления — Krista King Math

      Чисел существует больше, чем просто «счетные числа»

      Когда я говорю слово «числа», вы, наверное, сразу думаете об этих:

      ???1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ ...???

      или, вы можете подумать об этом:

      ???0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ ...???

      Но когда большинство людей думают о числах в целом, они обычно не думают о других видах чисел, о которых мы будем говорить в этом курсе, таких как отрицательные числа, дроби и десятичные дроби или радикальные числа.

      Привет! Я Криста.

      Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

      Не вдаваясь в детали этого урока, мы просто хотим воспользоваться этим уроком, чтобы получить небольшое предварительное представление о различных видах числовых наборов. Поскольку мы рассмотрим каждый из этих типов чисел позже, сейчас мы просто хотим определить каждый из различных наборов чисел.

      Действительные числа

      Подавляющее большинство чисел, которые вы будете использовать на большинстве уроков математики, называются действительных чисел , и вся вселенная действительных чисел составляет систему действительных чисел . Начнем со схемы.

      Действительные числа включают в себя рациональные числа и иррациональные числа. Рациональные числа  это дроби, которые выглядят следующим образом:

      ???\frac14,\ \frac32,\ -\frac18,\ \frac67,\ -\frac23,\ . ..???

      Десятичные числа, которые заканчиваются или повторяются, также являются рациональными числами и могут выглядеть следующим образом:

      ???- 0,25,\ 0,333,\ 5,7,\ ...???

      Иррациональные числа — это все числа, которые нельзя записать в виде дроби. Это иррациональные корни, такие как ???\sqrt2??? и десятичные числа, такие как ???\pi??? которые продолжаются вечно.

      ???\sqrt2=1.41421356237...???

      ???\pi=3.141559...???

      Опять же, мы рассмотрим их более подробно позже.

      Целые числа  – это особый вид рациональных чисел. Они состоят из всех чисел, о которых вы обычно думаете, например ???0,\1,\2,\3,\4,\5,\...???, а также отрицательных чисел. Таким образом, набор целых чисел выглядит так:

      ???...\-5,\-4,\-3,\-2,\-1,\0,\1,\2,\3,\4,\5,\... ???

      В наборе целых чисел есть набор чисел, который мы называем целыми числами , который состоит из всех положительных целых чисел плюс ???0???. Итак, набор целых чисел равен

      ???0,\1,\2,\3,\4,\5,\. ..???

      И в наборе целых чисел мы определяем набор, называемый натуральными числами , который является только набором всех положительных целых чисел без ???0???. Итак, множество натуральных чисел равно 9.0005

      ???1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ ...???

      Мы часто называем натуральные числа « счетными числами », поскольку ???1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ ...??? как мы учимся считать, когда мы молоды.

      Иерархия числовых множеств в действительной системе счисления

      Пройти курс

      Хотите узнать больше о Pre-Algebra? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

      Учить больше

      Символы набора номеров

      Каждый из этих наборов номеров обозначается символом. Мы используем этот символ как сокращенный способ обращения к значениям в наборе.

      R представляет набор действительных чисел

      Q представляет набор рациональных чисел

      Z представляет набор целых чисел

      W представляет набор целых чисел

      N представляет набор натуральных чисел

      Поскольку иррациональные числа все действительные числа, кроме всех рациональных чисел (включая рациональные, целые числа, целые числа и натуральные числа), мы обычно выражаем иррациональные числа как R-Q или R\Q.

      R-Q представляет набор иррациональных чисел

      Подавляющее большинство чисел, которые вы будете использовать на большинстве уроков математики, называются действительными числами , и вся вселенная действительных чисел составляет систему действительных чисел .

      Обозначение набора

      Здесь мы говорили о наборах чисел, но мы также можем думать о наборах вещей, отличных от чисел. Например, вы можете описать членов семьи как 9 человек.0005

      ???\text{Семья}=\{\text{Отец}, \text{Мать}, \text{Сестра},\ \text{Брат}\}???

      или страны Северной Америки как

      ???\text{страны Северной Америки}=\{\text{Канада}, \text{США}, \text{Мексика}\}???

      Обычно мы используем эти фигурные скобки, чтобы заключить элементы набора. Таким образом, используя символы, которые мы изучили для наборов чисел, в системе обозначений наборов вы можете записать набор всех натуральных чисел как

      ???\text{N}=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5, \ . ..\}???

      Получить доступ к полному курсу Pre-Algebra

      Начать

      Изучайте математикуКриста Кинг математика, учитесь онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, числовые наборы, преалгебра, преалгебра, основы, основы математики, вещественная система счисления, иерархия числовых множеств, иерархия числовых множеств, действительные числа, символы набора чисел, обозначение множества, множества, счетные числа, рациональные числа, иррациональные числа, целые числа, целые числа, натуральные числа

      0 лайков

      Типы чисел – Различие и классификация

      Можете ли вы представить, какой была бы ваша жизнь, если бы у вас не было способа представить возраст, вес, дни рождения, время, счет, банковские счета и номера телефонов? Десять математических цифр (от 0 до 9) используются для определения всех этих величин.

      Числа — это строки цифр, используемые для представления количества. Величина числа указывает на размер количества. Он может быть как большим, так и маленьким. Они существуют в разных формах, таких как 3, 999, 0,351, 2/5 и т. д.

      Типы чисел в математике

      Точно так же, как разные члены семьи живут в разных домах, разные числа относятся к одной семье, но имеют разные типы. Со временем различные комбинации из десяти цифр были отнесены к различным типам чисел. Эти образцы чисел отличаются друг от друга из-за различных представлений и свойств.

      Натуральные числа

      Натуральные числа или счетные числа — это самые основные типы чисел, которые вы впервые узнали в детстве. Они начинаются с 1 и идут до бесконечности, т. е. 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее. Их также называют положительными целыми числами. В установленной форме они могут быть записаны как:

      {1, 2, 3, 4, 5, …}

      Натуральные числа представлены символом N .

      Целые числа

      Целые числа — это набор натуральных чисел, включая ноль. Это означает, что они начинаются с 0 и доходят до 1, 2, 3 и т. д., т. е.

      {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

      Целые числа представлены символом W .

      Целые числа

      Целые числа представляют собой множество всех целых чисел и отрицательных чисел натуральных чисел. Они содержат все числа, лежащие между отрицательной бесконечностью и положительной бесконечностью. Они могут быть положительными, нулевыми или отрицательными, но не могут быть записаны в виде десятичной или дробной части. Целые числа могут быть записаны в заданной форме как

      {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

      Можно сказать, что все целые числа и натуральные числа являются целыми числами, но не все целые числа являются натуральными числами или целыми числами.

      Символ Z представляет целые числа.

      Дроби

      Дробь представляет части целого куска. Его можно записать в виде a/b , где a и b — целые числа, а b никогда не может быть равно 0. Все дроби — рациональные числа, но не все рациональные числа — дроби. .

      Далее дроби преобразуются в правильные и неправильные дроби. Неправильные дроби - это те, в которых числитель больше знаменателя, а в правильных функциях верно обратное, то есть знаменатель больше числителя. Примерами правильных дробей являются 3/7 и 99/101, а 7/3 и 101/99 — неправильные дроби. Это означает, что неправильные дроби всегда больше 1.

      Все завершающие десятичные дроби и повторяющиеся десятичные дроби можно записать в виде дробей. Вы можете записать завершающую десятичную дробь 1,25 как 125/100 = 5/4. Повторяющееся десятичное число 0,3333 можно записать как 1/3.

      Рациональные числа

      Вы можете записывать рациональные числа в виде дроби. Слово «рациональный» происходит от слова «отношение», поскольку рациональные числа — это отношения двух целых чисел. Например, 0,7 — рациональное число, потому что его можно записать как 7/10. Другими примерами рациональных чисел являются -1/3, 2/5, 99/100, 1,57 и т. д.

      Рассмотрим рациональное число p/q , где p и q — два целых числа. Здесь числитель p может быть любым целым числом (положительным или отрицательным), но знаменатель q никогда не может быть 0, так как дробь не определена. Кроме того, если q = 1, то дробь является целым числом.

      Символ Q обозначает рациональные числа.

      Иррациональные числа

      Иррациональные числа нельзя записать в виде дроби, т. е. их нельзя записать как отношение двух целых чисел. Вот несколько примеров иррациональных чисел: √2, √5, 0,353535…, π и так далее. Вы можете видеть, что цифры в иррациональных числах продолжаются до бесконечности без повторяющегося шаблона.

      Символ Q обозначает иррациональные числа.

      Вещественные числа

      Вещественные числа — это совокупность всех рациональных и иррациональных чисел. Сюда входят все числа, которые можно записать в десятичной форме. Все целые числа являются действительными числами, но не все действительные числа являются целыми числами. Действительные числа включают в себя все целые числа, целые числа, дроби, повторяющиеся десятичные дроби, завершающие десятичные дроби и так далее.

      Символ R обозначает действительные числа.

      Воображаемые числа

      Числа, отличные от действительных чисел, являются мнимыми или комплексными числами. Когда мы возводим в квадрат мнимое число, он дает отрицательный результат, что означает, что это квадратный корень из отрицательного числа, например, √-2 и √-5. Когда мы возводим эти числа в квадрат, результаты равны -2 и -5. Квадратный корень из отрицательной единицы представлен буквой i , т.е.

      i = √-1

      Пример 1

      Чему равен квадратный корень из -16? Запишите свой ответ в терминах воображаемого числа 9.0075 и .

      Решение

      • Шаг 1: Запишите форму квадратного корня.

      √(-16)

      • Шаг 2: Разделить -1.

      √(16 × -1)

      • Шаг 3: Разделение квадратных корней.

      √(16) × √(-1)

      • Шаг 4: Извлеките квадратный корень.

      4 × √(-1)

      • Шаг 5: Запишите в виде i.

      4 i

      Иногда вы получаете воображаемое решение уравнений.

      Пример 2

      Решите уравнение,

      x 2 + 2 = 0

      Раствор

      • Шаг 1: Возьмите константу с другой стороны.

      x 2 = -2

      • Шаг 2: Извлеките квадратный корень из обеих сторон.

      х 2 = +√-2 или -√-2

      • Шаг 3: Решить.

      x = √ (2) × √ (-1)

      x = +√2 I или -√2 I

      • Шаг 4: версия Ответы на платке. В исходном уравнении и посмотрите, получим ли мы 0.

      x 2 + 2

      ( + √2 I ) 2 + 2 = -2 + 2 = 0 (AS I 6 2 + 2 = -2 + 2 = 0 (AS I . = √-1 и квадрат I равно -1)

      (-2 I ) 2 + 2 = -2 + 2 = 0 (AS I = √ -1 и квадрат I --1)

      То, что их имя «воображаемое», не означает, что они бесполезны. У них много приложений. Одним из величайших применений мнимых чисел является их использование в электрических цепях. Расчеты тока и напряжения выполняются в терминах мнимых чисел. Эти числа также используются в сложных математических вычислениях. В некоторых местах мнимое число также представлено буквой 9.0075 Дж .

      Комплексные числа

      Мнимое число объединяется с действительным числом для получения комплексного числа. Оно представлено как a + bi , где действительная часть и b являются комплексной частью комплексного числа. Действительные числа лежат на числовой прямой, а комплексные — на двумерной плоской плоскости.

      Как и мнимые числа, комплексные числа тоже не бесполезны. Они используются во многих приложениях, таких как «Сигналы и системы» и «Преобразование Фурье».

      Простые и составные числа

      Простые и составные числа противоположны друг другу. Простые числа — это тип целых чисел без делителей, кроме самих себя и 1, например, 2, 3, 5, 7 и так далее. Число 4 не является простым числом, потому что оно делится на 2. Точно так же 12 также не является простым числом, потому что оно делится на 2, 3 и 4. Таким образом, 4 и 12 являются примерами составных чисел.

      Трансцендентные числа

      Числа, которые никогда не могут быть нулем (или корнем) полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами, называются трансцендентными числами. Не все иррациональные числа являются трансцендентными числами, но все трансцендентные числа являются иррациональными числами.

      Классификация чисел

      Семейство чисел, которое мы видели выше, также может быть классифицировано по разным категориям. Это похоже на то, что в семье 20 человек, но они живут в двух общих семейных домах по 10 человек в каждом, что означает, что 10 человек живут в одном доме. Мы можем сказать, что два или более типов чисел могут подпадать под одну категорию.

      Дискретные и непрерывные числа

      Типы счетных чисел называются дискретными числами, а типы чисел, которые нельзя посчитать, называются непрерывными числами. Все натуральные числа, целые числа, целые числа и рациональные числа дискретны. Это связано с тем, что каждое их множество счетно. Множество действительных чисел слишком велико и не может быть сосчитано, поэтому оно классифицируется как непрерывное число. Если мы случайным образом возьмем два ближайших действительных числа, между ними все равно будет бесконечно больше действительных чисел; следовательно, их нельзя сосчитать.

      Наборы чисел

      Числа также можно классифицировать в виде наборов. Каждый тип числа является подмножеством другого типа числа. Например, натуральные числа являются подмножеством целых чисел. Точно так же целые числа являются подмножеством целых чисел. Множество рациональных чисел содержит все целые числа и дроби.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.