Обозначение в математике вероятности: Классическое определение вероятности — урок. Алгебра, 9 класс.

Содержание

Теория вероятностей и математическая статистика на примерах. Что это такое, основные формулы, теории

Данная статья является переводом. Ссылка на оригинальную статью.

❓ Что такое теория вероятностей?

Теория вероятностей использует случайные величины и распределения вероятностей для математической оценки неопределенных ситуаций. Понятие вероятности используется для присвоения числового описания вероятности наступления события. Вероятность можно определить как число благоприятных исходов, деленное на общее число возможных исходов события.

Определение теории вероятностей

Теория вероятностей – это область математики и статистики, которая занимается определением вероятностей, связанных со случайными событиями. Существует два основных подхода к изучению теории вероятностей: теоретический и экспериментальный. Теоретическая вероятность определяется на основе логических рассуждений без проведения экспериментов. В отличие от нее, экспериментальная вероятность определяется на основе исторических данных путем проведения повторных экспериментов.

Пример теории вероятностей

Предположим, нам необходимо определить вероятность выпадения числа 4 при бросании игральной кости. Число благоприятных исходов равно 1. Возможные исходы игральной кости – {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Из этого следует, что всего существует 6 исходов. Таким образом, вероятность выпадения 4 при бросании игральной кости, используя теорию вероятности, можно вычислить как 1 / 6 ≈ 0,167.

🎲 Основы теории вероятностей

Мы можем понять эту область математики с помощью нескольких основных терминов, напрямую связанных с теорией вероятностей.

Случайный эксперимент

Случайный эксперимент в теории вероятностей – это испытание, которое повторяется несколько раз для получения четко определенного набора возможных результатов. Подбрасывание монеты является примером случайного эксперимента.

Пространство выборки

Пространство выборки можно определить как множество всех возможных исходов, полученных в результате проведения случайного эксперимента. Например, пространство выборки при подбрасывании симметричной монеты (fair coin), стороны которой – это орел и решка.

Событие

Теория вероятностей определяет событие как набор исходов эксперимента, который образует подмножество пространства выборки.

Примеры событий:

  1. Независимые – те, на которые не влияют другие события, являются независимыми.
  2. Зависимые – те, на которые влияют другие события.
  3. Взаимоисключающие – события, которые не могут произойти в одно и то же время.
  4. Равновероятные – два или более события, которые имеют одинаковые шансы произойти.
  5. Исчерпывающие – это события, которые равны выборочному пространству эксперимента.

Случайная величина

В теории вероятностей случайную переменную можно определить как величину, которая принимает значение при всех возможных исходах эксперимента.

Существует два типа случайных величин:

  1. Дискретная случайная величина – принимает точные значения, такие как 0, 1, 2…. Описывается кумулятивной функцией распределения и функцией массы вероятности.
  2. Непрерывная случайная величина – переменная, которая может принимать бесконечное число значений. Для определения характеристик этой переменной используются кумулятивная функция распределения и функция плотности вероятности.

Вероятность

Вероятность мы можем определить как численную вероятность наступления события. Вероятность того, что событие произойдет, всегда лежит между 0 и 1. Это связано с тем, что число желаемых исходов никогда не может превысить общее число исходов события. Теоретическая вероятность и эмпирическая вероятность используются в теории вероятностей для измерения шанса наступления события.

Формула вероятности P(A): количество благоприятных исходов для A делимое на общее количество возможных исходов.

Условная вероятность

Ситуация, когда необходимо определить вероятность наступления события, притом что другое событие уже произошло.

Обозначается как P(A | B).

Если хочешь подтянуть свои знания по математике, загляни на наш курс «Математика для Data Science», на котором ты:

  • Усвоишь специальную терминологию и сможешь читать статьи по Data Science без постоянных обращений к поисковику.
  • Подготовишься к успешной сдачи вступительных экзаменов в Школу анализа данных Яндекс.
  • Овладеешь математическим аппаратом, который необходим, чтобы стать специалистом в Data Science.

Интересно, хочу попробовать

Ожидание

Ожидание случайной величины X можно определить как среднее значение результатов эксперимента, проводимого многократно. Ожидание обозначается как E[X]. Также известно как среднее значение случайной величины.

Дисперсия

Дисперсия – это мера, которая показывает, как распределение случайной величины изменяется относительно среднего значения. Дисперсия определяется как среднее квадратичное отклонение от среднего значения случайной величины. Обозначается как Var[X].

Функция распределения теории вероятностей

Распределение вероятностей или кумулятивная функция распределения – это функция, которая моделирует все возможные значения эксперимента, используя случайную переменную. Распределение Бернулли и биномиальное распределение – это примеры дискретных распределений вероятностей. Например, нормальное распределение представляет собой пример непрерывного распределения.

Массовая функция вероятности

Массовая функция вероятности определяется как вероятность того, что дискретная случайная величина будет в точности равна определенному значению.

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности – это вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает множество возможных значений.

Формулы теории вероятностей

В теории вероятностей существует множество формул, которые помогают рассчитать различные вероятности, связанные с событиями.

Наиболее важные формулы:

  1. Теоретическая вероятность: Число благоприятных исходов / Число возможных исходов.
  2. Эмпирическая вероятность: Число случаев, когда событие происходит / Общее число испытаний.
  3. Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B), где A и B – события.
  4. Правило комплементарности: P(A’) = 1 – P(A). P(A’) означает вероятность того, что событие не произойдет.
  5. Независимые события: P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B).
  6. Условная вероятность: P(A | B) = P(A∩B) / P(B).
  7. Теорема Байеса: P(A | B) = P(B | A) ⋅ P(A) / P(B).
  8. Массовая функция вероятности: f(x) = P(X = x).
  9. Функция плотности вероятности: p(x) = p(x) = dF(x) / dx, где F(x) – кумулятивная функция распределения.
  10. Ожидание непрерывной случайной величины: ∫xf(x)dx, где f(x) является МФВ (Массовой функцией вероятности).
  11. Ожидание дискретной случайной величины: ∑xp(x), где p(x) – это ФПВ (Функцией плотности вероятности).
  12. Дисперсия: Var(X) = E[X2] – (E[X])2.

Применение теории вероятностей

Теория вероятностей используется во многих областях и помогает оценить риски, которые связаны с теми или иными решениями. Некоторые из направлений, где применяют теорию вероятностей:

  • В финансовой отрасли теория вероятностей используется для создания математических моделей фондового рынка с целью прогнозирования будущих тенденций. Это помогает инвесторам вкладывать средства в наименее рискованные активы, которые дают наилучший доход.
  • В потребительской индустрии теория вероятностей используется для снижения вероятности неудачи при разработке продукта.
  • Казино использует теорию вероятностей для разработки азартных игр с максимизацией своей прибыли.

🏋️ Практические задания

Задача 1: При бросании двух игральных костей, какова вероятность того, что выпадет комбинация, сумма которой будет равна 8?

Решение

При бросании двух игральных костей существует 36 возможных исходов. Для получения суммы, равной 8, существует 5 благоприятных исходов: [(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)]. Используя формулы теории вероятностей: Вероятность = Число благоприятных исходов / общее число возможных исходов = 5 / 36. Ответ: Вероятность получения суммы 8 при бросании двух игральных костей равна 5 / 36.

Задача 2: Какова вероятность вытащить карту королеву из колоды?

Решение

Колода карт имеет 4 масти. Каждая масть состоит из 13 карт. Таким образом, общее число возможных исходов = (4) * (13) = 52. Может быть, 4 королевы, по одной из каждой масти. Следовательно, количество благоприятных исходов = 4. Карточная вероятность = 4 / 52 = 1 / 13. Ответ: Вероятность получить королеву из колоды карт равна 1 / 13

Задача 3: Из 10 человек 3 купили карандаши, 5 купили тетради, а 2 купили и карандаши, и тетради. Если покупатель купил тетрадь, какова вероятность того, что он также купил карандаш?

Решение

Используя понятие условной вероятности, P(A | B) = P(A∩B) / P(B). Пусть A – событие, когда люди покупают карандаши, а B – событие, когда люди покупают тетради. P(A) = 3 / 10 = 0,3P(B) = 5 / 10 = 0,5P(A∩B) = 2 / 10 = 0,2. Подставим полученные значения в приведенную формулу, P(A | B) = 0,2 / 0,5 = 0,4. Ответ: Вероятность того, что покупатель купил карандаш, при условии, что он купил блокнот, равна 0,4.

В заключение

Подведем итоги:

  • Теория вероятностей – это раздел математики, в котором рассматриваются вероятности случайных событий.
  • Понятие вероятности объясняет возможность наступления того или иного события.
  • Значение вероятности всегда лежит между 0 и 1.
  • В теории вероятностей все возможные исходы случайного эксперимента составляют пространство выборки.
  • Теория вероятностей использует такие важные понятия, как случайные величины и кумулятивные функции распределения для моделирования случайного события. Сюда же относится определение различных вероятностей, связанных с этим.

Если хочешь подтянуть свои знания по математике, загляни на наш курс «Математика для Data Science», который включает в себя:

  • 47 видеолекций и 150 практических заданий.
  • Консультации с преподавателями курса.

Интересно, хочу попробовать

Статистическое определение вероятности

содержание учебника

Классическое определение вероятности предполагает, что все эле­ментарные исходы равновозможны. О равновозможности исходов опы­та заключают в силу соображений симметрии (как в случае монеты или игрального кубика). Задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются редко. Во многих случаях трудно указать основания, позволяющие считать, что все элементарные исходы равновозможны. В связи с этим появилась необходимость введения еще одного определения вероятности, называемого статистическим. Чтобы дать это определение, предварительно вводят понятие относительной частоты события.

Относительной частотой события, или частотой, называется от­ношение числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов. Обозначим частоту события через , тогда по определению

    (1.4.1)
где — число опытов, в которых появилось событие и — число всех произведенных опытов.

Частота события обладает следующими свойствами.

  1. Частота случайного события есть число, заключенное между ну­лем и единицей:
    .    (1.4.2)
  2. Частота достоверного события  равна единице:
       (1.4.3)
  3. Частота невозможного события  равна нулю:
       (1.4.4)
  4. Частота суммы двух несовместных событий  и равна сумме частот этих событий:
       (1.4.5)

Наблюдения позволили установить, что относительная частота об­ладает свойствами статистической устойчивости: в различных сериях многочленных испытаний (в каждом из которых может появиться или не появиться это событие) она принимает значения, достаточно близкие к некоторой постоянной.

Эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного со­бытия.

Вероятностью события называется число, около которого группи­руются значения,частоты данного события в различных сериях большо­го числа испытаний.

Это определение вероятности называется статистическим.

В случае статистического определения вероятность обладает сле­дующими свойствами:
1) вероятность достоверного события равна еди­нице;
2) вероятность невозможного события равна нулю;
3) вероятность случайного события заключена между нулем и единицей;
4) вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих со­бытий.

Пример 1. Из 500 взятых наудачу деталей оказалось 8 бракован­ных. Найти частоту бракованных деталей.

Решение. Так как в данном случае  = 8,  = 500, то в соответствии с формулой (1.4.1) находим

Пример 2. Игральный кубик подброшен 60 раз, при этом шестерка появилась 10 раз. Какова частота появления шестерки?

Решение. Из условия задачи следует, что  = 60,  = 10, поэтому

Пример 3. Среди 1000 новорожденных оказалось 515 мальчиков.Чему равна частота рождения мальчиков?
Решение. Поскольку в данном случае , , то .

Пример 4. В результате 20 выстрелов по мишени получено 15 попаданий. Какова частота попаданий?

Решение. Так как  = 20,  = 15, то

Пример 5. При стрельбе по мишени частота попаданий = 0,75. Найти число попаданий при 40 выстрелах.

Решение.

Из формулы (1.4.1) следует, что . Так как  = 0,75,  = 40, то  . Таким образом, было получено 30 попаданий.

Пример 6. www.itmathrepetitor.ru Частота нормального всхода семян W = 0,97. Из высе­янных семян взошло 970. Сколько семян было высеяно?

Решение. Из формулы (1.4.1) следует, что . Поскольку , , то . Итак, было высеяно 1000 семян.

Пример 7. На отрезке натурального ряда от 1 до 20 найти частоту простых чисел.

Решение. На указанном отрезке натурального ряда чисел находятся следующие простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19; всего их 8. Так как = 20,  = 8, то искомая частота

.

Пример 8. Проведены три серии многократных подбрасываний симметричной монеты, подсчитаны числа появлений герба: 1)  = 4040,  =2048, 2)  = 12000,  = 6019; 3)  = 24000,  = 12012. Найти частоту появления герба в каждой серии испытаний.

Решение. В соответствии с формулой (1.4.1) находим:

                                                                .

Замечание. Эти примеры свидетельствуют о том, что при многократ­ных испытаниях частота события незначительно отличается от его вероятности. Вероятность появления герба при подбрасывании монеты р = 1/2 = 0,5 , так как в этом случае n = 2, m = 1.

Пример 9. Среди 300 деталей, изготовленных на автоматическом станке, оказалось 15, не отвечающих стандарту. Найти частоту появле­ния нестандартных деталей.

Решение. В данном случае n = 300, m = 15, поэтому

Пример 10. Контролер, проверяя качество 400 изделий установил, что 20 из них относятся ко второму сорту, а остальные — к первому. Най­ти частоту изделий первого сорта, частоту изделий второго сорта.

Решение. Прежде всего, найдем число изделий первого сорта: 400 — 20 = 380. Поскольку n = 400, = 380, то частота изделий перво­го сорта

Аналогично находим частоту изделий второго сорта:

Задачи

  1. Отдел технического контроля обнаружил 10 нестандартных изде­лий в партии из 1000 изделий. Найдите частоту изготовления бракован­ных изделий.
  2. Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабо­раторных условиях 100 штук. 95 семян дали нормальный всход. Какова частота нормального всхода семян?
  3. Найдите частоту появления простых чисел в следующих отрезках натурального ряда: а) от 21 до 40; б) от 41 до 50; в) от 51 до 70.
  4. Найдите частоту появления цифры при 100 подбрасываниях сим­метричной монеты. (Опыт проводите самостоятельно).
  5. Найдите частоту появления шестерки при 90 подбрасываниях иг­рального кубика.
  6. Путем опроса всех студентов Вашего курса определите частоту дней рождения, попадающих на каждый месяц года.
  7. Найдите частоту пятибуквенных слов в любом газетном тексте.

Ответы

  1. 0,01. 2. 0,95; 0,05. 3. а) 0,2; б) 0,3; в) 0,2.

Вопросы

  1. Что такое частота события?
  2. Чему равна частота достоверного события?
  3. Чему равна частота невозможного события?
  4. В каких пределах заключена частота случайного события?
  5. Чему равна частота суммы двух несовместных событий?
  6. Какое определение вероятности называют статистическим?
  7. Какими свойствами обладает статистическая вероятность?

содержание учебника

 

Математика для программистов: теория вероятностей

Некоторые программисты после работы в области разработки обычных коммерческих приложений задумываются о том, чтобы освоить машинное обучение и стать аналитиком данных. Часто они не понимают, почему те или иные методы работают, и большинство методов машинного обучения кажутся магией. На самом деле, машинное обучение базируется на математической статистике, а та, в свою очередь, основана на теории вероятностей. Поэтому в этой статье мы уделим внимание базовым понятиям теории вероятностей: затронем определения вероятности, распределения и разберем несколько простых примеров.

Возможно, вам известно, что теория вероятностей условно делится на 2 части. Дискретная теория вероятностей изучает явления, которые можно описать распределением с конечным (или счетным) количеством возможных вариантов поведения (бросания игральных костей, монеток). Непрерывная теория вероятностей изучает явления, распределенные на каком-то плотном множестве, например на отрезке или в круге.

Можно рассмотреть предмет теории вероятностей на простом примере. Представьте себя разработчиком шутера. Неотъемлемой частью разработки игр этого жанра является механика стрельбы. Ясно, что шутер в котором всё оружие стреляет абсолютно точно, будет малоинтересен игрокам. Поэтому, обязательно нужно добавлять оружию разброс. Но простая рандомизация точек попадания оружия не позволит сделать его тонкую настройку, поэтому, корректировка игрового баланса будет сложна. В то же время, используя случайные величины и их распределения можно проанализировать то, как будет работать оружие с заданным разбросом, и поможет внести необходимые корректировки.

Пространство элементарных исходов

Допустим, из некоторого случайного эксперимента, который мы можем многократно повторять (например, бросание монеты), мы можем извлечь некоторую формализуемую информацию (выпал орел или решка). Эта информация называется элементарным исходом, при этом целесообразно рассматривать множество всех элементарных исходов, часто обозначаемое буквой Ω (Омега).

Структура этого пространства целиком зависит от природы эксперимента. Например, если рассматривать стрельбу по достаточно большой круговой мишени, — пространством элементарных исходов будет круг, для удобства размещенный с центром в нуле, а исходом — точка в этом круге.

Кроме того, рассматривают множества элементарных исходов — события (например, попадание в «десятку» — это концентрический круг маленького радиуса с мишенью). В дискретном случае всё достаточно просто: мы можем получить любое событие, включая или исключая элементарные исходы за конечное время. В непрерывном же случае всё гораздо сложнее: нам понадобится некоторое достаточно хорошее семейство множеств для рассмотрения, называемое алгеброй по аналогии с простыми вещественными числами, которые можно складывать, вычитать, делить и умножать. Множества в алгебре можно пересекать и объединять, при этом результат операции будет находиться в алгебре. Это очень важное свойство для математики, которая лежит за всеми этими понятиями. Минимальное семейство состоит всего из двух множеств — из пустого множества и пространства элементарных исходов.

Мера и вероятность

Вероятность — это способ делать выводы о поведении очень сложных объектов, не вникая в принцип их работы. Таким образом, вероятность определяется как функция от события (из того самого хорошего семейства множеств), которая возвращает число — некоторую характеристику того, насколько часто может происходить такое событие в реальности. Для определённости математики условились, что это число должно лежать между нулем и единицей. Кроме того, к этой функции предъявляются требования: вероятность невозможного события нулевая, вероятность всего множества исходов единичная, и вероятность объединения двух независимых событий (непересекающихся множеств) равна сумме вероятностей. Другое название вероятности — вероятностная мера. Чаще всего используется Лебегова мера, обобщающая понятия длина, площадь, объём на любые размерности (n-мерный объем), и таким образом она применима для широкого класса множеств.

Вместе совокупность множества элементарных исходов, семейства множеств и вероятностной меры называется вероятностным пространством. Рассмотрим, каким образом можно построить вероятностное пространство для примера со стрельбой в мишень.

Рассмотрим стрельбу в большую круглую мишень радиуса R, в которую невозможно промахнуться. Множеством элементарных событий положим круг с центром в начале координат радиуса R. Поскольку мы собираемся использовать площадь (меру Лебега для двумерных множеств) для описания вероятности события, то будем использовать семейство измеримых (для которых эта мера существует) множеств.

Примечание На самом деле, это технический момент и в простых задачах процесс определения меры и семейства множеств не играет особой роли. Но понимать, что эти два объекта существуют, необходимо, ведь во многих книгах по теории вероятности теоремы начинаются со слов: «Пусть (Ω,Σ,P) — вероятностное пространство …».

Как уже сказано выше, вероятность всего пространства элементарных исходов должна равняться единице. Площадь (двумерная мера Лебега, которую мы обозначим λ2 (A), где А — событие) круга по хорошо известной со школы формуле равна π *R2. Тогда мы можем ввести вероятность P(A) = λ2 (A) / (π *R2), и эта величина уже будет лежать между 0 и 1 для любого события А.

Если предположить, что попадание в любую точку мишени равновероятно, поиск вероятности попадания стрелком в какую-то то область мишени сводится к поиску площади этого множества (отсюда можно сделать вывод, что вероятность попадания в конкретную точку нулевая, ведь площадь точки равна нулю).

Например, мы хотим узнать, какова вероятность того, что стрелок попадёт в «десятку» (событие A — стрелок попал в нужное множество). В нашей модели, «десятка» представляется кругом с центром в нуле и радиусом r. Тогда вероятность попадания в этот круг P(A) = λ2/(A)π *R2 = π * r2/(π R2)= (r/R)2.

Это одна из самых простых разновидностей задач на «геометрическую вероятность», — большинство таких задач требуют поиска площади.

Случайные величины

Случайная величина — функция, переводящая элементарные исходы в вещественные числа. К примеру, в рассмотренной задаче мы можем ввести случайную величину ρ(ω) — расстояние от точки попадания до центра мишени. Простота нашей модели позволяет явно задать пространство элементарных исходов: Ω = {ω = (x,y) такие числа, что x2+y2 ≤ R2}. Тогда случайная величина ρ(ω) = ρ(x,y) = x2+y2.

Средства абстракции от вероятностного пространства. Функция распределения и плотность

Хорошо, когда структура пространства хорошо известна, но на самом деле так бывает далеко не всегда. Даже если структура пространства известна, она может быть сложна. Для описания случайных величин, если их выражение неизвестно, существует понятие функции распределения, которую обозначают Fξ(x) = P(ξ < x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x.

Функция распределения обладает несколькими свойствами:

  1. Во-первых, она находится между 0 и 1.
  2. Во-вторых, она не убывает, когда ее аргумент x растёт.
  3. В третьих, когда число -x очень велико, функция распределения близка к 0, а когда само х большое, функция распределения близка к 1.

Вероятно, смысл этой конструкции при первом чтении не слишком понятен. Одно из полезных свойств — функция распределения позволяет искать вероятность того, что величина принимает значение из интервала. Итак, P (случайная величина ξ принимает значения из интервала [a;b]) = Fξ(b)-Fξ(a). Исходя из этого равенства, можем исследовать, как изменяется эта величина, если границы a и b интервала близки.

Пусть d = b-a, тогда b = a+d. А следовательно, Fξ(b)-Fξ(a) = Fξ(a+d) - Fξ(a). При малых значениях d, указанная выше разность так же мала (если распределение непрерывное). Имеет смысл рассматривать отношение pξ(a,d)= (Fξ(a+d) - Fξ(a))/d. Если при достаточно малых значениях d это отношение мало отличается от некоторой константы pξ(a), не зависящей от d, то в этой точке случайная величина имеет плотность, равную pξ(a).

Примечание Читатели, которые ранее сталкивались понятием производной, могут заметить что pξ(a) — производная функции Fξ(x) в точке a. Во всяком случае, можно изучить понятие производной в посвященной этой теме статье на сайте Mathprofi.

Теперь смысл функции распределения можно определить так: её производная (плотность pξ, которую мы определили выше) в точке а описывает, насколько часто случайная величина будет попадать в небольшой интервал с центром в точке а (окрестность точки а) по сравнению с окрестностями других точек. Другими словами, чем быстрее растёт функция распределения, тем более вероятно появление такого значения при случайном эксперименте.

Вернемся к примеру. Мы можем вычислить функцию распределения для случайной величины, ρ(ω) = ρ(x,y) = x2+y2, которая обозначает расстояние от центра до точки случайного попадания в мишень. По определению Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t). т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y), расстояние от которых до нуля меньше, чем t. Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» — она равна t2/R2. Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t2/R2, для 0<t.

Мы можем найти плотность pρ этой случайной величины. Сразу заметим, что вне интервала [0,R] она нулевая, т.к. функция распределения на этом промежутке неизменна. На концах этого интервала плотность не определена. Внутри интервала её можно найти, используя таблицу производных (например из [PDF] на сайте Mathprofi) и элементарные правила дифференцирования. Производная от t2/R2 равна 2t/R2. Значит, плотность мы нашли на всей оси вещественных чисел.

Ещё одно полезное свойство плотности — вероятность того, что функция принимает значение из промежутка, вычисляется при помощи интеграла от плотности по этому промежутку (ознакомиться с тем, что это такое, можно в статьях о собственном, несобственном, неопределенном интегралах на сайте Mathprofi).

При первом чтении, интеграл по промежутку [a; b] от функции f(x) можно представлять себе как площадь криволинейной трапеции. Ее сторонами являются фрагмент оси Ох, промежуток [a,b] (горизонтальной оси координат), вертикальные отрезки, соединяющие точки (a,f(a)), (b,f(b)) на кривой с точками (a,0), (b,0) на оси Ох. Последней стороной является фрагмент графика функции f от (a,f(a)) до (b,f(b)). Можно говорить об интеграле по промежутку (-∞; b], когда для достаточно больших отрицательных значений, a значение интеграла по промежутку [a;b] будет меняться пренебрежимо мало по сравнению с изменением числа a. Аналогичным образом определяется и интеграл по промежуткам [a;+∞), (-∞,∞).

Следующее важное свойство плотности — интеграл от плотности любой случайной величины равен единице. Трактовка этого свойства такова: вероятность того, что функция принимает любое значение равна единице. Кроме того, при вычислении интегралов от плотностей случайных величин, значения которых лежат в ограниченном промежутке, нужно брать интеграл только по этому промежутку.

Итак, мы разобрались с несколькими важными понятиями: со строгим построением вероятностного пространства и построением случайных величин на нём. Кроме того, мы научились абстрагироваться от конкретного вероятностного пространства при помощи функции распределения и плотности.

Иван Камышан

Теория вероятности в жизни людей — Информио

Основы теории вероятностей нужно знать каждому человеку для формирования правильного мировоззрения, для осознания того, что мы живем в случайном, вероятностном мире.

Психология человека такова, что ему неуютно среди случайностей. Он жаждет определенности и справедливости, ищет причин и объяснений. Часто таким образом возникают суеверия: например, среди африканских племен распространено поверье о том, что бывают просто львы и львы, в которых переселились души умерших. Последние на людей не нападают. Это объяснение не несет полезной информации, поскольку нет признаков, по которым заранее можно было бы определить, из какой категории лев, но оно успокаивает психологически. Точно так же появляются известные всем суеверия при сдаче экзаменов. Некоторые суеверия, кстати, основаны на частотных совпадениях (например, мелких неприятностей и встреч с черной кошкой). Это относится и к приметам, которые порой подмечают вероятностные закономерности. Так, поговоркам «Беда никогда не приходит одна» или «Жизнь, она полосатая» соответствует в теории вероятностей закон серий.

Следует помнить и то, что мы живем в мире, где происходят случайные события, и то, что закономерности пробиваются через массу случайностей. Чем сложнее система, тем труднее обнаружить закономерности. Именно в этих случаях и используют вероятностные методы. [4]

Таким образом, теория вероятности актуальна в наши дни как в математике и точных науках, так и в нашей повседневной жизни.

Теория вероятностей изучает объективные закономерности массовых случайных событий. Она является теоретической базой для математической статистики, занимающейся разработкой методов сбора, описания и обработки результатов наблюдений. Путем наблюдений (испытаний, экспериментов), т.е. опыта в широком смысле слова, происходит познание явлений действительного мира [1].

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений, наблюдаемых при многократном повторении опыта [2, с.13].

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними [3].

Основные объекты теории вероятностей – случайные события, случайные величины, случайные процессы, то есть фактически весь окружающий нас мир [4, с.6].

Событие – это то, что может произойти или нет при выполнении определённого комплекса условий, или, как говорят, при проведении испытания. Среди возможных событий выделяют достоверные и невозможные. Если при каждом испытании всегда происходит некоторое событие, то оно называется достоверным. Если при испытании некоторое событие заведомо не может произойти, то оно называется невозможным. Если событие не является достоверным или невозможным, то оно часто называется случайным [5, с.10].

Во многих областях человеческой деятельности существуют ситуации, когда определённые явления могут повторяться неограниченное число раз в одинаковых условиях. Анализируя последовательно результаты таких простейших явлений, как подбрасывание монеты, игральной кости, выброс карты из колоды и т.п. , мы замечаем две особенности, присущие такого рода экспериментам. Во-первых, не представляется возможным предсказать исход последующего эксперимента по результатам предыдущих, как бы ни было велико число проведённых испытаний. Во-вторых, относительная частота определённых исходов по мере роста числа испытаний стабилизируется, приближаясь к определённому пределу [6, с.8].

Рассмотрим теорию вероятностей на очень простых примерах. Если у нас в ящике лежит 10 пронумерованных шаров с цифрами от 1 до 10, то вероятность вытянуть шар с числом 10 равна 10 процентам. Но более вероятней, что мы вытянем любое другое число от 1 до 9, а не самое большое (не 10), поскольку такая вероятность составляет 90 процентов. Вытянуть шар с самым большим числом из 10000 пронумерованных шаров уже слишком маловероятно. Скорее всего, мы вытянем любое другое число (не 10000). При 10 миллионах шарах вытянуть самое большое число (10000000) практически невозможно [7].

Главным понятием теории вероятностей является вероятность. Это слово «вероятность», синонимом которого является, например, слово «шанс» достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу», или «это просто невероятно», или «есть шанс получить зачет автоматом». Такого рода фразы на интуитивном уровне оценивают вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие. В свою очередь математическая вероятность дает некоторую числовую оценку вероятности того, что произойдет некоторое случайное событие.

Теория вероятностей оформилась в самостоятельную науку относительно не давно, хотя история теории вероятностей началась еще в античности. Так, Лукреций, Демокрит, Кар и еще некоторые ученые древней Греции в своих рассуждениях говорили о равновероятностных исходах такого события, как возможность того, что вся материя состоит из молекул. Таким образом, понятие вероятности использовалось на интуитивном уровне, но оно не было выделено в новую категорию. Тем не менее, античные ученые заложили прекрасный фундамент для возникновения этого научного понятия. В средние века, можно сказать, и зародилась теория вероятности, когда были приняты первые попытки математического анализа, таких азартных игр как кости, орлянка, рулетка [8].

Первые подходы к оценке вероятности того или иного события были популярны еще в Средневековье среди «гамлеров» того времени. Однако тогда они имели лишь эмпирическое исследование (то есть оценка на практике, методом эксперимента) [9].

Первые научные работы по теории вероятностей появились в 17 веке. Когда такие ученые как Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли некоторые закономерности, которые возникают при бросании костей. В ту же пору к данному вопросу проявлял интерес еще один ученый Христиан Гюйгенс. Он в 1657 в своей работе ввел следующие понятия теории вероятностей: понятие вероятности как величины шанса или возможности; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса, а также теоремы сложения и умножения вероятностей, которые правда не были сформулированы в явном виде. Тогда же теория вероятностей стала находить сферы своего применения – демографию, страховое дело, оценку ошибок наблюдений [8].

Вероятностные представления довольно успешно применялись ещё в 18 веке такими выдающимися учеными как Лаплас, Лагранж, Лежандр, Гаусс для оценки ошибок измерений, в результате чего уже в то время были заложены основы теории ошибок [10, с.3].

Дальнейшее развитие теории вероятностей привело к необходимости аксиоматизации теории вероятностей и главного понятия – вероятности. Так становление аксиоматики теории вероятностей произошло в 30 гг 20 века. Самый существенный вклад в заложение основ теории внес Космогоров А.Н.

На сегодняшний день теории вероятностей это самостоятельная наука, имеющая огромную сферу применения [8].

Последние десятилетия характеризуются резким повышением интереса к тем разделам математики и ее приложений, которые анализируют явления, носящие «случайный» характер. Эта тенденция в значительной степени объясняется тем, что большинство возникших в последние десятилетия новых математических дисциплин, которое ныне обозначается собирательным термином «кибернетика», оказалось тесно связанным с теорией вероятностей. Тем самым теория вероятностей стала чуть ли не самой первой по прикладному значению из всех математических дисциплин. При этом возникновение новых, в большинстве своем «порожденных» теорией вероятностей наук, скажем «теория игр», «теория информации», «страховая математика» или «стохастическая финансовая математика» привело к положению, при котором теорию вероятностей также приходится рассматривать как объединение большого числа разнородных и достаточно глубоко развитых математических дисциплин [10, с.4].

Людей всегда интересовало будущее. Человечество во все времена искало способ его предугадать, или спланировать. В разное время разными способами. В жизни мы часто сталкиваемся со случайными явлениями. Чем обусловлена их случайность – нашим незнанием истинных причин происходящего или случайность лежит в основе многих явлений? Споры на эту тему не утихают в самых разных областях науки. Случайным ли образом возникают мутации, насколько зависит историческое развитие от отдельной личности, можно ли считать Вселенную случайным отклонением от законов сохранения? [8]

Примеров реального использования теории вероятности в жизни множество. Практически вся современная экономика базируется на ней. Выпуская на рынок определенный товар, грамотный предприниматель наверняка учтет риски, а также вероятности покупки в том или рынке, стране и т.д. Практически не представляют свою жизнь без теории вероятности брокеры на мировых рынках. Предсказывание денежного курса (в котором точно не обойтись без теории вероятности) на денежных опционах дает возможность зарабатывать на данной теории серьезные деньги.

Теория вероятности имеет значение в начале практически любой деятельности, а также ее регулирования. Благодаря оценке шансов той или иной неполадки (например, космического корабля), мы знаем, какие усилия нам нужно приложить, что именно проверить, что вообще ожидать в тысячи километров от Земли. Возможности теракта в метрополитене, экономического кризиса или ядерной войны – все это можно выразить в процентах. А главное, предпринимать соответствующие контрдействия исходя из полученных данных. [9]

Решения чаще всего принимаются эмоционально. Люди боятся летать самолетами. А между тем, самое опасное в полете на самолете – это дорога в аэропорт на автомобиле. Но попробуй кому-то объяснить, что машина опасней самолета. Вероятность того, что пассажир, севший в самолет, погибнет в авиакатастрофе составляет примерно 1/8000000. Если пассажир будет садиться каждый день на случайный рейс, ему понадобится 21000 лет чтобы погибнуть. По исследованиям: в США в первые 3 месяца после терактов 11 сентября 2001 года погибло еще одна тысяча людей… косвенно. Они в страхе перестали летать самолетами и начали передвигаться по стране на автомобилях. А так как это опасней, то количество смертей возросло. По телевидению пугают: птичьим и свиными гриппами, терроризмом, но вероятность этих событий ничтожна по сравнению с настоящими угрозами. Опасней переходить дорогу по зебре, чем лететь на самолете.

Или другой пример – от падения кокосов погибает около 150 человек в год. Это в десятки раз больше, чем от укуса акул. Но фильма «Кокос-убийца» пока не снято. Подсчитано, что шанс человека быть подвергнутым нападению акулы составляет 1 к 11,5 млн, а шанс погибнуть от такого нападения 1 к 264,1 млн. Среднегодовое количество утонувших в США составляет 3306 человек, а погибших от акул 1. Миром правит вероятность и нужно помнить об этом. Они помогут вам взглянуть на мир с точки зрения случая [8].

Таким образом, теорию вероятностей нельзя не применять в нашей жизни. Она имеет разные области применения такие как: биологические и химические процессы, история, экономика, кораблестроение и машиностроение, медицина и большинство различной деятельности человека. Люди применяют её как сознательно, так и подсознательно, что проявляется в обычных повседневных фразах и действиях. Разумный человек должен стремиться мыслить, исходя из законов вероятностей. Теория вероятностей – это одна из составляющих частей успеха. Если стремиться учитывать законы вероятностей и, в том случае, если вероятность неблагоприятная, предпринимать соответствующие контрдействия, то можно упростить себе жизнь в разы и сэкономить своё время, которое так ценно для каждого из нас.

Список использованных источников

Савельева Р. Ю. Основы теории вероятностей и математической статистики [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://открытыйурок.рф/статьи/526665/ (дата обращения – 24.01.2018)

Кибзун А. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами [Текст]: учебное пособие/А. И. Кибзун, Е. Р. Горяинова, А. В. Наумов, А. Н. Сиротин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 224 с.

Теория вероятностей и основные понятия теории [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://bookmaker-ratings.ru/wiki/teoriya-veroyatnostej-i-osnovny-e-ponyatiya-teorii/ (дата обращения 24.01.2018)

Крупкина Т. В. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие/Т. В. Крупкина, С. В. Бабенышев, Е. С. Кирик. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2007. – 199 с.

Семенов В. А. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие/В. А. Семенов. – Санкт-Петербург: Питер, 2013. – 192 с.

Володин И. Н. Лекции по теории вероятностей и математической статистике [Текст]: учебник/И. Н. Володин. – Казань: (Издательство), 2006. – 271 с.

Екимов В. Д. Теория вероятностей как средство к успеху в своём деле, как и в любой деятельности [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://svoedel.ru/teorver.html (дата обращения — 25.01.2018)

Гатауллина Л. Теория вероятности в жизни [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2012/01/07/teoriya-veroyatnosti-v-zhizni (дата обращения — 6.02.2018)

Вишня Ю. Теория вероятности в жизни [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://allowwonder.com/teoriya-veroyatnosti-v-zhizni/ (дата обращения – 6.02.2018)

Агеев В. В. Введение в теорию вероятностей [Текст]: учебно-методическое пособие/В. В. Агеев, М. С. Тихов. – Нижний-Новгород: ФГБОУВПО Нижегородский Государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет, 2012. – 32 с.

 

Оригинал работы:

Теория вероятности в жизни людей

Тесты по теме «Теория вероятности» онлайн

  1. Онлайн тесты
  2. Теория вероятности
  • Классическое определение теории вероятности

    01.04.2020 2063 0

    Данный тест ориентирован на проверку знаний по теме «Теория вероятности», в нем встречаются задачи, взятые из банка ОГЭ

  • Задачи по теме «Вероятность»

    01. 12.2018 364 0

    Тест предназначен для закрепления изученного материала по теме «Вероятность»

  • Теория вероятностей

    01.06.2020 206 0

    Итоговый тест по дисциплине Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия по разделу Комбинаторика

  • тервер_самостоятельная_1 вариант

    06.05.2020 67 0

    Тест для учащихся 9 класса по теории вероятности и математической статистике

  • тервер_самостоятельная_2 вариант

    06. 05.2020 63 0

    Тест для учащихся 9 класса по теории вероятности и математической статистике

  • ОУП.02 Математика. Элементы теории вероятности и математической статистики

    14.05.2020 491 0

    Промежуточное тестирование по ОУП.02 Математика. Элементы теории вероятностей

  • Итоговый тест по математике для группы 21МС. Вариант 1

    04.06.2020 67 0

    Процент верных ответов       Оценка               Если 80

  • Итоговый тест по математике для группы 21МС.

    Вариант 2

    04.06.2020 17 0

    Процент верных ответов       Оценка               Если 80

  • Итоговый тест по математике для группы 21МС. Вариант 3

    04.06.2020 75 0

    Процент верных ответов       Оценка               Если 80

  • Вероятность события

    09.11.2020 1453

    Задания теста ориентированы на прохождение обучающимися 6 класса. Решить задачи по теме «Вероятность события» Авторы задач: С.М. Никольский, М. К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин

  • Элементы статистики и теории вероятностей 9 класс

    09.02.2021 817 0

    Примерный вариант контрольной работы для общеобразовательного класса

  • Теория вероятности

    16.02.2021 781 0

    Тест по теме «Теория вероятностей»  состоит из 15 заданий с выбором ответа, содержит 4 варианта. Учащиеся должны знать следующие положения теории: элементы комбинаторики, классическое определение вероятности событий.

  • Вероятность 6 класс

    07. 11.2021 47 0

    Тест по теории вероятностей содержит 8 вопросов по теме «Задачи на перебор всез возможжных вариантов». В тесте представлены вопросы двух типов: с выбором одного правильно ответа и с водом числового значения. Тест расчитан на учащихся 6 класса.

  • Теория вероятности

    10.11.2021 156 0

    Тест, созданный для проекта по информатике на тему «теория вероятности». 

  • Контрольная работа. Вариант 1. Тема «Теория вероятности, статистика и комбинаторика»

    05.06.2022 78 0

    Образовательный тест на проверку теории вероятности, статистики и комбинаторики

  • Теория вероятностей и статистика

    13. 06.2022 14 0

    Тест: Промежуточный контроль по разделу «Теория вероятностей и статистики».  Цель тестирования: обнаружение у обучающегося основных теоретических знаний, навыков и практических умений.

Таблица II. Значение функции Ф(x), ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица II.

Значения функции

х Ф(х) х Ф(х)
0.00 0.00000 0.85 0.30234
0.05 0.01994 0.90 0.31594
0. 10 0.03983 0.95 0.32894
0.15 0.05962 1.00 0.34134
0.20 0.07926 1.05 0.35314
0.25 0.09871 1.10 0.36433
0.30 0.11791 1.15 0.37493
0.35 0.13683 1.20 0.38493
0.40 0.15542 1.25 0. 39435
0.45 0.17364 1.30 0.40320
0.50 0.19146 1.35 0.41149
0.55 0.20884 1.40 0.41924
0.60 0.22575 1.45 0.42647
0.65 0.24215 1.50 0.43319
0.70 0.25804 1.55 0.43943
0.75 0.27337 1. 60 0.44520
0.80 0.28814 1.65 0.45053
х Ф(х) х Ф(х)
1.70 0.45543 2.55 0.49461
1.75 0.45994 2.60 0.49534
1.80 0.46407 2.65 0.49598
1.85 0.46784 2.70 0. 49653
1.90 0.47128 2.75 0.49702
1.95 0.47441 2.80 0.49744
2.00 0.47725 2.85 0.49781
2.05 0.47982 2.90 0.49813
2.10 0.48214 2.95 0.49841
2.15 0.48422 3.00 0.49865
2.20 0.48610 3. 20 0.49931
2.25 0.48778 3.40 0.49966
2.30 0.48928 3.60 0.499841
2.35 0.49061 3.80 0.499928
2.40 0.49180 4.00 0.499968
2.45 0.49286 4.50 0.499997
2.50 0.49379 5.00 0.5
Таблица I

Список символов вероятности и статистики

Вероятность и статистика соответствуют математическому изучению шансов и данных соответственно. В следующем справочном списке описаны некоторые из наиболее примечательных символов в этих двух темах, а также их использование и значение.

Для удобства чтения эти символы классифицируются функцией в таблицы. Другие полные списки математических символов — с разбивкой по темам и типам — также можно найти на соответствующих страницах ниже (или на панели навигации).

Содержание

Предпочитаете версию в формате PDF?

Получите основную сводку математических символов в форме электронной книги — вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX.

Да. Это было бы полезно.

Переменные

Вероятность и статистика используют широкий спектр греческих/латинских символов в качестве заполнителей для различных объектов и количеств. В следующей таблице описаны наиболее распространенные из них, а также использование и значение каждого символа. 9x (0,75) $ $ F $ Частота данных $ F_1 + \ CDOT + F_K = N $ $ \ MU $
(MU) Средняя 9 0004 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ . !: \mu_1 = \mu_2$ $\sigma$
(сигма) Стандартное отклонение совокупности 92}{n-1} }$ $\pi$
(Pi) Доля населения $H_a\! : \pi_1 \ne \pi_2$ $\hat{p}$ Пропорция выборки Если $\pi_1 = \pi_2$, используйте $\hat{p} = \dfrac{x_1 + x_2 }{n_1+n_2}$ вместо $\hat{p}_1$ или $\hat{p}_2$. $p$ Вероятность успеха В стандартном эксперименте с бросанием кубика $p=\dfrac{1}{6}$. $q$ Probability of failure $q = 1-p$ $\rho$
(Rho) Population correlation $\rho_{X, X} = 1$ $r$ Sample correlation $r_{xy}=r_{yx}$ $z$ Z-score $z = \dfrac{ x-\mu}{\sigma}$ $\alpha$
(Alpha) Уровень значимости
(вероятность ошибки I рода) При $\alpha=0,05$ нулевая гипотеза отвергается, но не при $\alpha=0,01$. $\beta$
(бета) Вероятность ошибки рода II -\beta$ $b$ Выборочный коэффициент регрессии $y=b_0 + b_1x_1 + \\ b_2x_2$ $\beta9 904$2 (\nu)$ $\Omega$
(Capital omega) Пример пространства Для эксперимента с двойным подбрасыванием монеты $\Omega = \{\mathrm{HH}, \mathrm {HT}, \mathrm{TH},$
$\mathrm{TT} \}.$ $\omega$
(Omega) Результат из выборочного пространства $P(X \in A) =$
$P\big(\{ \omega \in \Omega \mid$
$X(\omega) \in A\} \big)$ $\theta$ (Theta), $ \бета$ (бета) Параметры совокупности Для нормального распределения $\theta =(\mu, \sigma)$.

Операторы

В теории вероятностей и статистике операторов обозначают математические операции, которые используются для лучшего понимания данных и шансов. К ним относятся ключевые комбинаторные операторы, операторы/функции, связанные с вероятностями, распределения вероятностей и статистические операторы.

Комбинаторные операторы

$
Название символа Объяснение Пример
$n!$ Факториал $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ ​​
$n!!$ Двойной факториал $8!! = 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2$
$!n$ Количество нарушений из $n$ объектов Так как $\{a, b, c \}$ имеет $2$ перестановок где все позиции букв изменены, $!3 = 2$.
$nPr$ Перестановка
($n$ перестановка $r$)
$6P\,3 = 6 \cdot 5 \cdot 4$
0 0 0 0 0 $Crplay binom{n}{r}$ Комбинация
($n$ выбирает $r$)
$\displaystyle \binom{n}{k} = \displaystyle \binom{n}{n-k}$
$\displaystyle \binom{n}{r_1, \ldots, r_k}$ Мультиномиальный коэффициент $\displaystyle \binom{10}{5, 3, 2} = \dfrac{10!}{ 5! \, 3! \, 2!}$
$\displaystyle \left(\!\!\binom{n}{r}\!\!\right)$ Коэффициент мультимножества
($n$ multichoose $r$)
Из a Можно взять 5-элементный набор, $\left(\!\binom{5}{3}\!\right)$ 3-элементный мультимножество.

Вероятностные операторы

Ниже приведены некоторые наиболее известные операторы, связанные с вероятностью и случайными величинами . Обзор наборов см. в разделе Операторы наборов.

9c)$ Дополнительная вероятность
(вероятность «не $A$») Для всех событий $E$ $P(E)+P(E’)=1$. $P(A \cup B)$ Вероятность дизъюнкции
(вероятность ‘$A$ или $B$’) $P(A \cup B) \ge$
$\max \left( P(A), P(B) \right)$ $P (A \cap B)$ Совместная вероятность
(вероятность ‘$A$ и $B$’) События $A$ и $B$ исключают друг друга, если $P(A \cap B)=0$. $P(A \,|\, B)$ Условная вероятность
(вероятность ‘$A$ при наличии $B$’) $P(A \,|\, B) = \\ \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ $E[X]$ Среднее / Ожидаемое значение случайной величины $X$ $E [2 f(X) + 5] =$
$2E[f(X)] + 5$ $E[X \, | \, Y]$ Условное ожидание
(Ожидаемое значение $X$ при $Y$) 9n\right]$ $\sigma(X, Y)$,
$\mathrm{Cov}(X, Y)$ Ковариация случайных величин $X$ и $Y$ $ \mathrm{Cov}(X, Y) =$
$\mathrm{Cov}(Y, X)$ $\rho (X, Y)$, $\mathrm{Corr}(X, Y) $ Корреляция случайных величин $X$ и $Y$ $\rho (X, Y) = \\ \dfrac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sigma(X)\ ,\sigma(Y)}$

Вероятностные функции

92 f_Y(y) \,\mathrm{d}y$ $R_X$ Поддержка случайной величины $X$ $R_X = \{ x \in \mathbb{R} \mid$
$f_X(x)>0 \}$ $F_X(x)$ Кумулятивная функция распределения (cdf) случайной величины $X$ $F_X(5)=P(X\le 5)$ $\overline{F}(x), S(x)$ Функция выживания случайной величины $X$ $S(t) = 1-F(t)$ $f(x_1, \ldots, x_n)$ Совместная функция вероятности случайных величин $X_1, \ldots, X_n$ $f(1, 2) =$
$P(X = 1, Y = 2)$ $F(x_1, \ldots, x_n)$ Совместная кумулятивная функция распределения случайных величин $X_1, \ldots, X_n$ $F(x, y) =$
$P (X \le x, Y \le y)$ $M_X(t)$ Момент-производящая функция случайной величины $X$ 9{tX}] \right)$ $\mathcal{L}(\theta \mid x)$ Функция правдоподобия случайной величины $X$ с параметром $\theta$ Если $X \ sim \mathrm{Geo}(p)$, тогда $\mathcal{L}(\theta \mid X = 3) =$
$P(X = 3 \mid p = \theta). $

Операторы, связанные с распределением вероятностей

Дискретные распределения вероятностей
Символ Название Пояснение Пример
$U \{ a,b \}$ Дискретное равномерное распределение от $a$ до $b$ Пусть $X$ будет числом, выпавшим после бросания игральной кости, тогда $X \ сим U\{1, 6\}$.
$\mathrm{Ber}(p)$ Распределение Бернулли с вероятностью успеха $p$ Если $X \sim \mathrm{Ber}(0.5)$, то $P(X= 0) =$
$P(X=1) = 0,5.$
$\mathrm{Geo}(p)$ Геометрическое распределение с вероятностью успеха $p$ Если $X \sim \mathrm{Geo}(p)$, то $E[X]=\dfrac{1}{p}$.
$\mathrm{Bin}(n, p)$ Биномиальное распределение с $n$ попыток и $p$ вероятностью успеха Пусть $X$ — количество решек в пятизначной монете подбросить, затем $X \sim \mathrm{Bin}(5, 0. 5)$.
$\mathrm{NB}(r, p)$ Отрицательное биномиальное распределение с $r$ успехов и $p$ вероятностью успеха Пусть $Y$ будет количеством бросков кубика, необходимых для получения третьей шестерки, тогда $Y \sim \mathrm{NB}(3, 1/6)$.
$\mathrm{Poisson}(\lambda)$ Распределение Пуассона со скоростью $\lambda$ Если $X \sim \mathrm{Poisson}(5)$, то $E[X] =V[X]$
$= 5$.
$\mathrm{Hyper}(N, K, n)$ Гипергеометрическое распределение с $n$ розыгрышами и $K$ благоприятными элементами среди $N$ Если $X \sim$
$\ mathrm{Hyper}(N, K, n)$, то $E[X] = n \dfrac{K}{N}$.

Следующие графики иллюстрируют массовые функции вероятности 6 ключевых распределений, упомянутых выше.

  • $U\{a, b\}$
  • $\mathrm{Ber}(p)$
  • $\mathrm{Geo}(0,17)$
  • $\mathrm{Bin}(10, 0,4) $
  • $\mathrm{Poisson}(5)$
  • $NB(10, 0. 5)$
Непрерывные вероятностные распределения и связанные функции
Имя символа Объяснение {y-1} \mathrm{d}t$
$\mathrm{Gamma}(\alpha, \beta)$ Гамма-распределение с параметрами $\alpha$ и $\beta$ $ \mathrm{Gamma}(1, \lambda) =$
$\mathrm{Exp}(\lambda)$
$\Gamma(x)$ Гамма-функция Для всех $n \in \mathbb{N}_+$, $\Gamma(n)=(n-1)!$.
$T (\nu)$ T-распределение со степенью свободы $\nu$ $T (n-1)= \dfrac{\overline{X}-\mu}{\ dfrac{S}{\sqrt{n}}}$ 92 \sim F(1, \nu)$.
$F_{\alpha, \nu_1, \nu_2}$ F-показатель с уровнем значимости $\alpha$ и степенями свободы $\nu_1$ и $\nu_2$ $F_{0,05 , 20, 20} \approx 2.1242$

Statistical Operators

Symbol Name Explanation Example
$X_i$, $x_i$ I-th value набора данных $X$ $x_5 = 9$
$\overline{X}$ Выборочное среднее набора данных $X$ $\displaystyle \overline{X} = \frac{ \sum X_i}{n}$
$\widetilde{X}$ Медиана набора данных $X$ Для распределения с отрицательной асимметрией $\overline{X} \le \widetilde{X}$.
$Q_i$ I-й квартиль $Q_3$ также является 75-м (эмпирическим) процентилем.
$P_i$ 92 = \dfrac{SS_{\mathrm{обработка}}}{SS_{\mathrm{total}}}$
$\hat{y}$ Прогнозируемое среднее значение $y$ в регрессии $\hat{y}_0=a + bx_0$
$\hat{\varepsilon}$ Остаток в регрессии $\hat{\varepsilon}_i=y_i-\hat{y} _i$
$\hat{\theta}$ Оценка параметра $\theta$ Если $E(\hat{\theta})=\theta$, то $\hat{\theta }$ — несмещенная оценка $\theta$.
$\mathrm{Bias}(\hat{\theta}, \theta)$ Смещение оценки $\hat{\theta}$ относительно параметра $\theta$ $\mathrm {Bias}(\hat{\theta}, \theta) = \\ E[\hat{\theta}]-\theta$
$X_{(k)}$ Статистика K-го порядка $X_{(n)} =$
$\max \{ X_1, \ldots, X_n \}$

Символы отношений

Символы отношений — это символы, используемые для обозначения математических отношений , которые выражают некоторую связь между двумя или более математическими объектами или сущностями. В следующей таблице описаны наиболее заметные из них в контексте вероятности и статистики, а также использование и значение каждого символа.

Название символа Объяснение Пример
$ A \ PERP B $ События $ A и $ B — $ Независимые $ A $ $ A $ $ A $ B. P(A) \ne 0$, то $P(B \mid A) = P(B)$.
$(A \perp B) \mid C$ Условная независимость
($A$ и $B$ независимы при заданном $C$)
$(A \perp B) \mid C \ iff$
$P(A \cap B \mid C) =$
$P(A \mid C) \, P(B \mid C)$
$A \nearrow B$ Событие $ A$ увеличивает вероятность события $B$ Если $E_1 \nearrow E_2$, то $P(E_2 \,|\, E_1) \ge P(E_2)$.
$A \searrow B$ Событие $A$ 92)$

Нотационные символы

Нотационные символы часто представляют собой соглашения или акронимы , которые не попадают в категории констант, переменных, операторов и реляционных символов. В следующей таблице приведены некоторые из наиболее распространенных обозначений в вероятности и статистике, а также их соответствующее использование и значение.

92}{n}$.
Символ Название Пояснение Пример
$ IQR $ Interquartile Lange $ IQR = Q_3-Q_1 $
$ SD $ Стандартный отклонение $ 1000 9004 $ = 3,2 $ 2 \ 2 $ 2.
$ CV $ Коэффициент вариации $ cv = \ dfrac {\ sigma} {\ mu} $
$ SE Стандартная ошибка $ Стандартная ошибка 9004 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 9003 $. до $10\, SE$ от среднего значения. 92_2 $
$ H_A $ Альтернативная гипотеза $ H_A \!: \ RHO> 0 $
$ \ Mathrm {CI} $ 9003 уверенно уверенно. , \mathrm{CI} = \\ (0.85, 0.97)$
$\mathrm{PI}$ Интервал предсказания $90\%\, \mathrm{PI}$ шире $90\ % \, \mathrm{CI}$, так как он предсказывает экземпляр $y$, а не его среднее значение.
$\mathrm{LLN}$ Закон больших чисел LLN показывает, что для всех $\varepsilon >0$, как $n \to \infty$, $P\left(|\overline {X}_n-\mu|>\varepsilon\right) \to 0.$
$\mathrm{CLT}$ Центральная предельная теорема По CLT, как $n \to \infty$ , $\dfrac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \to Z$.

Основной список символов см. в разделе Математические символы. Для списков символов, классифицированных по тема и тип , см. соответствующие страницы ниже для получения дополнительной информации.

Предпочитаете версию в формате PDF?

Получите основную сводку математических символов в форме электронной книги — вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX.

Да. Это было бы полезно.

Дополнительные ресурсы

  • Полное руководство по изучению высшей математики : автономная система из 10 принципов для эффективного изучения высшей математики, мышления и решения задач
  • Ultimate LaTeX Reference Guide : Полное справочное руководство, чтобы сделать процесс LaTeXing более эффективным и менее болезненным Глоссарий высшего математического жаргона : Обзор высшей математики в 106 терминах

Вероятность – выпуск по математике для уровня A

Вероятность наступления события – это шанс или вероятность того, что оно произойдет. Вероятность события A, обозначаемая как P(A), может быть между нулем и единицей, при этом P(A) = 1 указывает, что событие обязательно произойдет, а P(A) = 0 указывает, что событие A определенно не произойдет. .

Вероятность =

   количество успешных исходов эксперимента

количество возможных исходов

Так, например, если была подброшена монета, вероятность выпадения орла = ½, так как есть 2 возможных результата (орел или решка), и 1 из них является «успешным».

Использование набора обозначений

Вероятность можно изучать в сочетании с теорией множеств, при этом диаграммы Венна особенно полезны в анализе.

Вероятность наступления определенного события, например, может быть представлена ​​как P(A). Вероятность возникновения другого события можно записать как P(B). Поэтому ясно, что для двух событий A и B

P(AÇB) представляет собой вероятность того, что произойдут A И B. P(AÈB) представляет собой вероятность появления A OR B.

Это можно показать на диаграмме Венна. Прямоугольник представляет выборочное пространство , то есть все возможные результаты эксперимента. Круг, обозначенный буквой А, представляет событие А. Другими словами, все точки внутри А представляют возможные способы достижения результата А. Аналогично для В.

Итак, на диаграмме P(A) + P(B ) — это весь A (весь круг) + весь B (таким образом, мы посчитали средний бит дважды).

A» — это дополнение к A и означает все, что не входит в A. Таким образом, P(A») — это вероятность того, что A не произойдет. Обратите внимание, что вероятность того, что А произойдет + вероятность того, что А не произойдет = 1 (должно произойти одно или другое). Итак, Р(А) + Р(А») = 1. Таким образом:

  • Р(А») = 1 — Р(А)

Взаимоисключающие события

События A и B являются взаимоисключающими , если у них нет общих событий. Другими словами, если происходит А, Б не может произойти, и наоборот. На диаграмме Венна это означало бы, что круги, представляющие события A и B, не перекрываются.

Если, например, нас попросят выбрать карту из колоды из 52 карт, вероятность того, что карта будет красной, равна ½ . Вероятность того, что карта трефовая, равна ¼. Однако, если карта красная, это не может быть клуб. Таким образом, эти события исключают друг друга.

Если два события являются взаимоисключающими, то P(AÇB) = 0, поэтому

Независимые события

Два события являются независимыми , если первое не влияет на второе. Например, если в мешке находятся 2 синих и 2 красных шара, и два шара выбраны случайным образом, то события:
а) независимы, если первый шар возвращается после выбора
б) не независимы, если первый шар удаляется без заменяется. В данном случае в мешке осталось только три шара, поэтому вероятности выбора различных цветов изменились.

Два события независимы, если (и только если):

  • Р(АСВ) = Р(А)Р(В)

Это известно как закон умножения.

Условная вероятность

Условная вероятность — это вероятность наступления события при условии, что произошло другое событие. Например, вероятность того, что Джон будет заниматься математикой на уровне A, при условии, что он занимается физикой, может быть довольно высокой. P(A|B) означает вероятность наступления события A при условии, что произошло событие B. Для двух событий A и B,

  • P(ACB) = P(A|B)P(B)

и аналогично P(ACB) = P(B|A)P(A).

Если два события исключают друг друга, то P(A|B) = 0 .

Независимость

Используя приведенное выше условие независимости, мы выводим, что если два события независимы, то:

P(A)P(B) = P(A|B)P(B) = P (B|A)P(A), или:

P(A) = P(A|B) и P(B) = P(B|A)

Пример

Шестисторонний умирать бросают. Какова вероятность того, что выброшенное число будет простым, если оно нечетное.

Вероятность выпадения нечетного числа равна 3/6 = ½. Из этих нечетных чисел 2 простых (3 и 5).

P(простое | нечетное) =   P (простое и нечетное)  = 2/6 = 2/3

P(нечетный)

3/6

 

Допустим, у вас есть пакет с 20 вишнями, 14 сладкими и 6 кислыми. Если вы выберете вишню наугад, какова вероятность того, что она будет сладкой?

Показать решение

Попробуйте

В какой-то случайный момент вы смотрите на часы и отмечаете показания минут.

а. Какова вероятность того, что минутное чтение равно 15?

б. Какова вероятность того, что показания минут 15 или меньше?

Карты

Стандартная колода из 52 игральных карт состоит из четырех мастей (червы, пики, бубны и трефы). Пики и трефы черные, а червы и бубны красные. Каждая масть содержит 13 карт, каждая из которых имеет свой ранг : туз (который во многих играх действует как младшая и старшая карты), карты с номерами от 2 до 10, валет, дама и король.

пример

Вычислить вероятность случайного извлечения одной карты из колоды и получения туза.

Показать решение

В этом видео демонстрируется как этот пример, так и предыдущий пример вишни на странице.

Определенные и невозможные события

  • Вероятность невозможного события равна 0.
  • Некоторое событие имеет вероятность 1.
  • Вероятность любого события должна быть [latex]0\le P(E)\le 1[/latex]

Попробуйте

В ходе этого раздела если вы вычислите вероятность и получите отрицательный ответ или ответ больше 1, вы допустили ошибку и должны проверить свою работу .

Типы событий

Дополнительные события

Теперь давайте рассмотрим вероятность того, что произойдет событие , а не . Как и в предыдущем разделе, рассмотрим ситуацию с броском шестигранной кости и сначала вычислим вероятность того, что выпадет шестерка: ответ P (шесть) = 1/6. Теперь рассмотрим вероятность того, что мы выкинем шестерку , а не : есть 5 исходов, которые не являются шестерками, поэтому ответ будет P (не шестерка) = [латекс]\frac{5}{6}[/ латекс]. Обратите внимание, что

[латекс]P(\text{шесть})+P(\text{не шестерка})=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=\frac{6}{6 }=1[/latex]

Это не совпадение. Рассмотрим общую ситуацию с n возможных исходов и событием E , которое соответствует m этих исходов. Тогда оставшиеся n m результатов соответствуют E не происходит, таким образом,

[latex]P(\text{not}E)=\frac{n-m}{n}=\frac{n}{ n}-\frac{m}{n}=1-\frac{m}{n}=1-P(E)[/latex]

Дополнение к событию

Дополнение к событию — это событие « E не происходит»

  • Обозначение [латекс]\бар{Е}[/латекс] используется для дополнения событие E .
  • Мы можем вычислить вероятность дополнения, используя [латекс]P\left({\bar{E}}\right)=1-P(E)[/latex]
  • Обратите также внимание на то, что [латекс]P(E)=1-P\left({\bar{E}}\right)[/latex]

пример

Если вы вытащите случайную карту из колоды игральных карт, какова вероятность того, что это не черва?

Показать решение

Эта ситуация объясняется в следующем видео.

Попробуй

Вероятность двух независимых событий

пример

Предположим, мы подбросили монету и бросили кубик и хотели узнать вероятность того, что выпадет решка на монете и 6 на кубике.

Показать решение

Предыдущий пример содержал два 91 642 независимых события 91 645. Получение определенного результата от броска кубика не влияло на результат от подбрасывания монеты.

Независимые события

События A и B являются независимыми событиями , если вероятность наступления события B одинакова независимо от того, произошло событие A или нет.

пример

Являются ли эти события независимыми?

  1. Правильная монета подбрасывается два раза. Два события: (1) первый бросок — решка и (2) второй бросок — решка.
  2. Два события (1) «Завтра в Хьюстоне будет дождь» и (2) «Завтра в Галвестоне будет дождь» (город недалеко от Хьюстона). 908:00
  3. Вы берете карту из колоды, затем берете вторую карту, не заменяя первую.

Показать решение

Когда два события независимы, вероятность того, что они произойдут, является произведением вероятностей отдельных событий.

P ( A и B ) для независимых событий

Если события A и B независимы, то вероятность появления обоих A и равна и . 0007

[латекс]P\left(A\text{ и }B\right)=P\left(A\right)\cdot{P}\left(B\right)[/latex]

где P ( A и B ) — вероятность того, что события A и B произойдут одновременно, P ( A ) — вероятность того, что событие A произойдет, а B произойдет ) есть вероятность того, что событие B произойдет

Если вы посмотрите на пример с монетой и кубиком из предыдущего примера, вы увидите, как количество исходов первого события, умноженное на число исходов второго события, умноженное на общее количество возможных исходов в комбинированном событии.

пример

В вашем ящике есть 10 пар носков, 6 из которых белые, и 7 футболок, 3 из которых белые. Если вы случайно протянете руку и вытащите пару носков и футболку, какова вероятность того, что они оба белые?

Показать решение

Примеры совместных вероятностей обсуждаются в этом видео.

Попробуйте

В предыдущих примерах рассматривалась вероятность того, что произойдут оба события. Теперь посмотрим на вероятность 9Произошло событие 1642 или .

пример

Предположим, мы подбросили монету и бросили кубик, и хотели узнать вероятность того, что выпадет решка на монете или 6 на кубике.

Показать решение

P ( A или B )

Вероятность появления A или B (или обоих) равна

[latex]P(A}\text{ или (A)+P(B)–P(A\text{ и }B)[/latex]

пример

Допустим, мы берем одну карту из стандартной колоды. Какова вероятность того, что мы получим даму или короля?

Показать решение

Подробнее об этом примере и предыдущем смотрите в следующем видео.

В последнем примере события составляли Объединенные , SO P ( A или B ) = P ( A ) + 9142 P ( A ) + 9142 P ( A ).

Попробуйте

пример

Предположим, мы берем одну карту из стандартной колоды. Какова вероятность того, что мы получим красную карточку или короля?

Показать решение

Попробуй

В ящике у тебя 10 пар носков, 6 из которых белые, и 7 футболок, 3 из которых белые. Если вы протянете руку и случайно возьмете пару носков и футболку, какова вероятность того, что хотя бы один из них белый?

Пример

В таблице ниже указано количество участников опроса, получивших и не получивших штраф за превышение скорости за последний год, а также цвет их автомобиля. Найти вероятность того, что случайно выбранный человек:

  1. Имеет красную машину и получил штраф за превышение скорости
  2. Имеет красную машину или получил штраф за превышение скорости.
Штраф за превышение скорости Нет штрафа за превышение скорости Всего
Красный автомобиль 15 135 150
Не красная машина 45 470 515
Всего 60 605 665

Показать решение

Этот пример таблицы подробно описан в следующем пояснительном видео.

Попробуйте

Условная вероятность

В предыдущем разделе мы вычислили вероятности событий, которые не зависят друг от друга. Мы увидели, что получение определенного результата при бросании игральной кости не влияет на результат при подбрасывании монеты, даже несмотря на то, что мы вычисляли вероятность, основанную на одновременном выполнении этих действий.

В этом разделе мы рассмотрим события, которые зависят друг от друга, называемые условными вероятностями .

Условная вероятность

Вероятность того, что событие B произойдет, при условии, что событие A произошло, представляется как

P ( B | A

) of B дано A

Например, если вы берете карту из колоды, то место выборки для следующей вытянутой карты изменилось, потому что теперь вы работаете с колодой из 51 карты. В следующем примере мы покажем вам, чем вычисления для подобных событий отличаются от вычислений, которые мы сделали в предыдущем разделе.

пример

Какова вероятность того, что две карты, взятые наугад из колоды игральных карт, окажутся тузами?

Показать решение

Conditional Probability Formula

If Events A and B are not independent, then

P ( A and B ) = P ( A ) · P ( B | A )

пример

Если вы вытащите 2 карты из колоды, какова вероятность того, что обе карты пиковые?

Показать решение

Попробуйте

Пример

В таблице ниже показано количество участников опроса, которые получили и не получили штраф за превышение скорости в прошлом году, а также цвет их автомобиля. Найти вероятность того, что случайно выбранный человек:

  1. имеет штраф за превышение скорости при условии, что у него красная машина
  2. имеет красную машину учитывая у них штраф за превышение скорости
Штраф за превышение скорости Нет штрафа за превышение скорости Всего
Красный автомобиль 15 135 150
Не красная машина 45 470 515
Всего 60 605 665

Показать решение

Эти виды условных вероятностей используются страховыми компаниями для определения ваших страховых тарифов. Они рассматривают условную вероятность того, что вы попадете в аварию, учитывая ваш возраст, ваш автомобиль, цвет вашего автомобиля, вашу историю вождения и т. д., и оценивают ваш полис на основе этой вероятности.

Узнайте больше об условной вероятности в следующем видео.

 

Пример

Если вы вытащите две карты из колоды, какова вероятность того, что вы получите бубновый туз и черную карту?

Показать решение

Эти два сценария игральных карт более подробно обсуждаются в следующем видео.

Попробуйте

Пример

Женщинам был проведен домашний тест на беременность, затем беременность была подтверждена анализом крови. В следующей таблице приведены результаты домашнего теста на беременность.

Найти

  1. P (не беременна | положительный результат теста)
  2. P (положительный результат теста | не беременна)
Положительный тест Отрицательный тест Всего
Беременная 70 4 74
Не беременна 5 14 19
Всего 75 18 93

Показать решение

Подробнее об этом примере см. здесь.

Попробуйте

10.5 Факториальная запись | Вероятность

Предыдущий

10. 4 Фундаментальный принцип счета

Следующий

10.6 Применение к задачам счета

10.5 Факторная запись (EMCK3)

temp text

Проработанный пример 12: Расстановка исходов без повторения

В забеге \(\text{400}\) \(\text{m}\) принимают участие восемь спортсменов. Сколькими различными способами все могут \(\text{8}\) места в гонке распределятся?

Любой из \(\text{8}\) спортсменов может прийти первым в гонке. Теперь осталось только \(\text{7}\) спортсменов быть вторым, потому что спортсмен не может быть одновременно вторым и первым в гонке. После второго места только \(\text{6}\) спортсмены вышли на третье место, \(\text{5}\) спортсмены на четвертое место, \(\text{4}\) спортсмены за пятое место, \(\text{3}\) спортсмены за шестое место, \(\text{2}\) спортсмены за седьмое место место и \(\text{1}\) спортсмен за восьмое место. Таким образом, количество способов, которыми спортсмены могут быть заказано так: \[8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \text{40 320}\]

Как и в приведенном выше примере, в задачах на подсчет часто бывает так, что результат первого события уменьшает количество возможных исходов второго события ровно на \(\text{1}\), а исход второе событие уменьшает возможные исходы третьего события еще на \(\text{1}\) и т. д.

Поскольку такого рода проблемы возникают так часто, у нас есть специальное обозначение для представления ответа. Для целого числа \(n\), обозначение \(n!\) (читай \(n\) факториал) представляет:

\(n\times\left(n-1\right)\times\left(n-2\right)\times\cdots\times 3\times 2\times 1\)

Это позволяет нам сформулировать следующее:

Общее количество возможных комбинаций \(n\) различных объектов равно \[n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 3 \times 2 \times 1 = n!\]

со следующим определением: 0! = 1.

Рабочий пример 13: факториальная запись

  1. Определить \(12!\)
  2. Покажите, что \(\dfrac{8!}{4!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5\)
  3. Покажите, что \(\dfrac{n!}{(n-1)!} = n\)
  1. Из определения факториала мы знаем, что \(12! = 12 \times 11 \times 10 \times \ldots \times 3 \раз 2\раз 1\). Однако это может быть довольно утомительно, вычисляя каждое умножение. шаг на бумаге или вводя каждый шаг в свой калькулятор. К счастью, на вашем калькуляторе есть кнопка что делает это намного проще. Чтобы использовать калькулятор для вычисления факториала числа:

    • Введите число.

    • Нажмите SHIFT на CASIO или 2ndF на калькуляторе SHARP.

    • Затем нажмите \(x!\) на CASIO или \(n!\) на калькуляторе SHARP.

    • Наконец, нажмите «равно», чтобы вычислить ответ.

    Если мы выполним эти шаги для \(12!\), мы получим ответ \(\text{479001 600}\).

  2. Разверните запись факториала: \[\dfrac{8!}{4!} = \dfrac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times \color{red}{4} \times \color{blue}{3} \times \цвет{пурпурный}{2} \times \color{teal}{1}}{\color{red}{4} \times \color{blue}{3} \times \color{magenta}{2} \times \color{teal}{1}} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = \text{правая сторона}\]
  3. Разверните запись факториала: \[\dfrac{n!}{(n-1)!} = \dfrac{n \times \color{red}{(n-1)} \times \цвет{синий}{(n-2)} \times \color{magenta}{(n-3)} \times \ldots \times \color{teal}{3} \times \color{orange}{2} \times \цвет{зеленый}{1}}{\цвет{красный}{(n-1)} \times \color{blue}{(n-2)} \times \color{magenta}{(n-3)} \times \ldots \times \color{teal}{3} \times \color{orange}{2} \times \цвет{зеленый}{1}} = п\]

    Если \(n = 1\), мы получаем \(\frac{1!}{0!}\). Это особый случай. Оба \(1!\) и \(0! =1\), поэтому \(\frac{1!}{0!} = 1\), поэтому наше тождество остается в силе.

Обозначение факториала

Учебник Упражнение 10.5

\(3!\)

\[3 \times 2 \times 1 = \text{6}\]

\(6!\)

\[6 \times 5 \times 4 \times 3 \ умножить на 2 \раз 1 = \text{720}\]

\(2!3!\)

\[2 \раз 1 \раз 3 \раз 2 \раз 1 = \text{12}\]

\(8!\)

\[8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \text{40 320}\]

\(\dfrac{ 6!}{3!}\)

\[\dfrac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = \text{120}\]

\(6! + 4! — 3!\)

\[(6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) + (4 \times 3 \times 2 \times 1) — (3\раз 2\раз 1)= 720 + 24 -6 = \text{738}\]

\(\dfrac{6! — 2!}{2!}\)

\[\dfrac{(6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) — (2 \times 1)}{2 \times 1}= \dfrac{720 — 2}{2} = \текст{359{2} — н \end{align*}

\(\dfrac{(n-1)!}{n!} = \dfrac{1}{n}\)

\[\dfrac{(n-1)!}{ n!} = \dfrac{\color{red}}{(n-1)} \times \color{blue}{(n-2)} \times \color{magenta}{(n-3)} \ раз \ ldots \times \color{teal}{3} \times \color{orange}{2} \times \color{green}{1}}{n \times \color{red}{(n-1)} \ раз \ цвет {синий} {(n-2)} \times \color{magenta}{(n-3)} \times \ldots \times \color{teal}{3} \times \color{orange}{2} \times \цвет{зеленый}{1}} = \dfrac{1}{n}\]

\(\dfrac{(n-2)!}{(n-1)!} = \dfrac{1}{n-1} \text{ для } n>1\)

\[\dfrac{ (n-2)!}{(n-1)!} = \dfrac{\color{red}{(n-2)} \times \color{blue}{(n-3)} \times \ldots \ раз \цвет{пурпурный}{3} \times \color{teal}{2} \times \color{orange}{1}}{(n-1) \times \color{red}{(n-2)} \times \color{синий}{(n-3)} \times \ldots \times \color{magenta}{3} \times \color{teal}{2} \times \color{orange}{1}} = \dfrac{1}{n-1}\]

Предыдущий

10. 4 Фундаментальный принцип счета

Оглавление

Следующий

10.6 Применение к задачам счета

Обозначение вероятности — GCSE Math

Введение

Как использовать обозначение вероятности

Таблица обозначений вероятностей

Распространенные заблуждения

Практические вопросы по записи вероятностей

Обозначение вероятностей Вопросы GCSE

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Все еще застряли?

Индивидуальные занятия по математике, созданные для успеха KS4

Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике теперь доступны

Узнать больше

Введение

Как использовать обозначение вероятности

Таблица обозначений вероятностей

Распространенные заблуждения

Практические вопросы по записи вероятностей

Обозначение вероятностей Вопросы GCSE

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Все еще застряли?

Здесь мы изучим нотацию вероятностей, включая нотацию множества.

Существуют также рабочие листы с обозначением вероятностей , основанные на экзаменационных вопросах Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные указания о том, что делать дальше, если вы все еще застряли.

Что такое обозначение вероятности?

Обозначение вероятности — это эффективный способ записи вероятности того, что события произойдут или не произойдут.

Для этого используем набор обозначений, который используется при работе с диаграммами Венна.

События обычно обозначаются заглавными буквами, а также некоторыми греческими буквами.

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Если бы вы бросили правильный шестигранный кубик, а в событии А выпала шестерка, более эффективным способом записи «какова вероятность выпадения 6» было бы написать P(A) или P(6).

Если бы вы бросили правильный шестигранный кубик, а событие А выпало шестерка, более эффективный способ записи «какова вероятность того, что не выбрасывает 6’, вы можете написать P(A’).

Ссылка на диаграммы Венна. Ниже приведены две диаграммы Венна, которые включают два множества и показывают событие А и все, что не является событием А.

Пошаговое руководство: Диаграммы Венна

Что такое обозначение вероятности?

Союз

P(A \cup B) или «Союз B» — это шанс выбрать любой результат, который удовлетворяет событию A или событию B, или обоим.

На диаграмме Венна это было бы представлено так.

Например, \xi — это набор чисел от 1 до 12. \ A и B являются подмножествами \xi .

A = кратно 3.

B = кратно 4.

Одно из чисел выбирается случайным образом. Найдите вероятность P(A \cup B).

Событие A кратно 3 = 3, 6, 9, 12 .

Событие B кратно 4 = 4, 8, 12 .

Числа 1, 2, 5, 7, 10 и 11 не входят в событие A или B.

Возможны 12 исходов, числа от 1 до 12.

Всего существует 6 исходов, удовлетворяющих событию A или событию B (12 учитываются только один раз, даже если они удовлетворяют событию A и событию B).

Итак, P(A \cup B)=\frac{6}{12}.

Пересечение

P(A \cap B) или «пересечение A B» — это вероятность выбора любого исхода, удовлетворяющего событию A и событию B, совместная вероятность событий.

На диаграмме Венна это было бы представлено так.

Например, \xi — это набор чисел от 1 до 12. \ A и B являются подмножествами \xi .

A = кратно 3.

B = кратно 4.

Одно из чисел выбирается случайным образом. Найти вероятность P(A \cap B).

Событие A кратно 3 = 3, 6, 9, 12 .

Событие B кратно 4 = 4, 8, 12 .

Числа 1, 2, 5, 7, 10 и 11 не входят в событие A или B.

Возможны 12 исходов, числа от 1 до 12.

Существует только 1 число, удовлетворяющее событию A и событию Б, число 12.

Итак, P(A \cap B)=\frac{1}{12}.

Как использовать нотацию вероятности

Чтобы использовать нотацию вероятности для расчета вероятности события:

  1. Определите событие.
  2. Определите, сколько существует возможных исходов.
  3. Определите, сколько раз происходит событие.
  4. Запишите это как вероятность.

Объясните, как использовать обозначение вероятности

Рабочий лист с обозначениями вероятностей

Получите бесплатный рабочий лист с обозначениями вероятностей, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКОРО

Икс

Рабочий лист с обозначениями вероятностей

Получите бесплатный рабочий лист с обозначениями вероятностей, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКОРО

Примеры обозначения вероятности

Пример 1: вероятность события

Событие A — выбор круга.

Событие B — выбор квадрата.

Событие C — выбор треугольника.

Событие D выбирает звезду.

Что такое Р(С)?

  1. Определите событие.

Событие C — вероятность выпадения треугольника.

2 Определите, сколько существует возможных исходов.

Возможны 10 исходов, так как в мешочке 10 фигур.

3 Определите, сколько раз происходит событие.

Есть два треугольника, поэтому ожидаемое значение равно 2.

4 Запишите это как вероятность.

\фракция{2}{10}

Пример 2: вероятность того, что событие не произойдет

Событие A — выбор круга.

Событие B — выбор квадрата.

Событие C — выбор треугольника.

Событие D выбирает звезду.

Что такое P(D’)?

Определите событие.

Событие D — вероятность выбора звезды. В этом примере нам нужно дополнение D, поэтому нам нужна любая фигура, не являющаяся звездой.

Определите, сколько существует возможных исходов.

Возможны 10 исходов, так как в мешочке 10 фигур.

Определите, сколько раз происходит событие.

Есть 9 фигур, которые не являются звездой.

Запишите это как вероятность.

\фракция{9}{10}

Пример 3: вероятность события A или события B или обоих

Событие A — выбор синей фигуры.

Событие B — выбор треугольника.

Рассчитать P(A \чашка B).

Определите результаты, которые являются событием \bf{A} или событием \bf{B} .

Необходимо выбрать синюю фигуру или треугольник.

Определите, сколько существует возможных исходов.

В пакете 10 фигурок.

Определите, сколько раз происходит событие.

Событие A: \ 3 фигуры


Событие B: \ 2 треугольника


Всего возможны 5 исходов.

Запишите это как вероятность.

P(A \чашка B) = \frac{5}{10} \ или \ 0,5.

Пример 4: вероятность события A или события B или того и другого

Событие A приземление спиннера на синее.

Событие B: спиннер приземляется на четное число.

Вычислить P(A \чашка B).

Идентифицируйте результаты, которые являются событием \bf{A, B} или обоими.

Спиннер должен приземлиться на синюю секцию или секцию с номерами 2, 4, 6 или 8.

Определите, сколько возможных исходов.

На спиннере 8 секций.

Определите, сколько раз происходит событие.

Событие A: \ 3 секции


Событие B: \ 2, 4, 6, 8


Всего возможны 5 исходов (4 и 6 удовлетворяют событию A и событию B).

Запишите это как вероятность.

\frac{5}{8}

Пример 5: вероятность события A и события B

Событие A: спиннер приземляется на синее.

Событие B: спиннер приземляется на четное число.

Вычислить P(A \cap B).

Определить результаты, которые являются событием \bf{A} и событием \bf{B} .

Спиннер должен приземлиться на синюю секцию и на четное число.

Определите, сколько существует возможных исходов.

На спиннере 8 секций.

Определите, сколько раз происходит событие.

Две секции синие и четное число.


Возможны 2 исхода.

Запишите это как вероятность.

\frac{2}{8}

Пример 6: вероятность события A и события B

Событие A: спиннер приземляется на красный.

Событие B: спиннер приземляется на четное число.

Вычислить P(A \cap B).

Определите результаты, которые являются событием \bf{A} и событием \bf{B} .

Спиннер должен приземлиться на красную секцию и на четное число.

Определите, сколько существует возможных исходов.

На спиннере 8 секций.

Определите, сколько раз происходит событие.

Единственная красная секция — нечетное число.


Возможных исходов 0.

Запишите это как вероятность.

Распространенные заблуждения

  • Путаница между «союзом» и «пересечением»

P(A \cup B) и P(A \cap B) похожи и могут быть легко заменены из-за путаницы.

  • Предполагая, что все ожидаемые значения равны \bf{A \cup B}

Некоторые значения могут быть в универсальном наборе, но не удовлетворяться событием A или событием B, они могут находиться снаружи.

Например, на этой диаграмме Венна показаны два числа, 1 и 9, которые не удовлетворяются событием A или событием B, но находятся в универсальном множестве. Универсальный набор обозначается греческой буквой \xi.

  • Неправильное использование и/или правило для независимых событий и условной вероятности

При расчете вероятности события A или события B необходимо сложить вероятности.

При расчете вероятности события А и событие Б, нужно перемножить вероятности.

  • Неправильное толкование обозначений

Установленное обозначение включает использование прописных, строчных и греческих букв. Они специфичны и не могут быть заменены.

Например, набор «А» может быть четным числом, а набор «а» может быть нечетным.

  • Список результатов

Когда есть два или более событий, нам нужно использовать стратегии систематического списка, чтобы включить все перестановки.

Практические вопросы по записи вероятности P(B) означает, что нам нужна вероятность события B. Событие B — это выбор зеленого шарика.

 

Всего 5 зеленых шариков и 8 шариков.

 

Итак, P(B) = \frac{5}{8}.

\frac{2}{8}

\frac{1}{4}

\frac{2}{3}

\frac{6}{8}

Обозначение P(C’) означает, что нам нужна вероятность того, что это не событие C. Событие C — поднятие красного шарика.

 

Есть два красных и шесть некрасных шариков.

 

Всего 8 шариков.

 

Итак, P(C’) = \frac{6}{8}.

\frac{1}{6}

\frac{3}{6}

\frac{4}{6}

Обозначение P(A \cup B) означает в A, или B, или в обоих . Есть три четных числа и одна «1».

 

Следовательно, есть 4 возможных результата, удовлетворяющих событию A, событию B или обоим.

 

Всего 6 исходов.

 

Итак, P(A \чашка B) = \frac{4}{6}.

\frac{1}{6}

\frac{5}{6}

\frac{3}{6}

Обозначение P(A \cup B) означает в A, или B, или в обоих . Есть три четных числа (2, 4, 6) и три простых числа (2, 3, 5).

 

‘2’ удовлетворяет как событию A, так и событию B, поэтому существует 5 возможных исходов, удовлетворяющих событию A и событию B.
 

Всего 6 исходов.

 

Итак, P(A \чашка B) = \frac{5}{6}.

\frac{1}{6}

\frac{3}{6}

\frac{2}{6}

Обозначение P(A \cap B) означает в A и B. Есть три четные числа и одна «2».
 

Следовательно, существует 1 возможный исход, удовлетворяющий событию A и событию B.

 

Всего 6 исходов.

 

Итак, P(A \cap B) = \frac{1}{6}.

\frac{1}{6}

\frac{3}{6}

\frac{2}{6}

Обозначение P(A \cap B) означает в A и B. Есть три нечетные числа (1, 3, 5) и три простых числа (2, 3, 5).
 

‘3 и 5’ удовлетворяют как событию A, так и событию B, поэтому возможны 2 исхода.

 

Всего 6 исходов.

 

Итак, P(A \cap B) = \frac{2}{6}.

Обозначение вероятностей Вопросы GCSE

1. \xi = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}

 

A = квадратные числа

B = нечетные числа

 

(a) Вычислите P(B).

 

б) Рассчитайте P(A \чашка B).

 

(2 балла)

Показать ответ

(a)

 

Р (В) = \ гидроразрыва {8} {15}

(1)

 

(б)

 

P(A \чашка B) = \frac{9{15} или эквивалент. Например, \frac{3}{5} или 0,6.

(1)

2. (a) Вот диаграмма Венна.

 

 

(a) Рассчитайте P(A’).

 

b) Вычислить P(A \cap B).

 

(2 балла)

Показать ответ

(a)

 

P(A’) = 0,5 или эквивалент. Например, \frac{5}{10} или \frac{1}{2}.

(1)

 

(b)

 

P(A \cap B) = 0,1 или эквивалент. Например, \frac{1}{10}.

(1)

3. \xi = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}

 

A = \{множеств из 4\}

\begin{выровнено} &A \cap B = \{4, 12\} \\ &A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12\} \end{aligned}

 

(а) Рассчитайте P(B).

 

(b) Рассчитайте P(A’).

 

(2 балла)

Показать ответ

(a)

 

P(B) = \frac{6}{12} или эквивалент. Например, \frac{1}{2} или 0,5.

(1)

 

(b)

 

P(A’) = \frac{9}{12} или эквивалент. Например, \frac{3}{4} или 0,75.

(1)

Контрольный список для обучения

Теперь вы научились:

  • Интерпретировать обозначения вероятности для расчета вероятности события 9

Следующие уроки:

  • Распределение вероятностей
  • Как рассчитать вероятность
  • 9080

    Все еще застрял?

    Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.