| Символ (TeX) | Символ (Unicode) | Название | Значение | Пример |
|---|---|---|---|---|
| Произношение | ||||
| Раздел математики | ||||
| ⇒ → ⊃ | Импликация, следование | означает «если верно, то также верно». (→ может использоваться вместо (⊃ может использоваться вместо ⇒, или для обозначения надмножества, см. ниже.). | верно, но неверно (так как также является решением). | |
| «влечёт» или «если…, то» | ||||
| везде | ||||
| ⇔ | Равносильность | означает « верно тогда и только тогда, когда верно». | ||
| «если и только если» или «равносильно» | ||||
| везде | ||||
| ∧ | Конъюнкция | истинно тогда и только тогда, когда и оба истинны. | , если — натуральное число. | |
| «и» | ||||
| Математическая логика | ||||
| ∨ | Дизъюнкция | истинно, когда хотя бы одно из условий и истинно. | , если — натуральное число. | |
| «или» | ||||
| Математическая логика | ||||
| ¬ | Отрицание | истинно тогда и только тогда, когда ложно . | ||
| «не» | ||||
| Математическая логика | ||||
| ∀ | Квантор всеобщности | обозначает « верно для всех ». | ||
| «Для любых», «Для всех» | ||||
| Математическая логика | ||||
| ∃ | Квантор существования | означает «существует хотя бы один такой, что верно » | (подходит число 5) | |
| «существует» | ||||
| Математическая логика | ||||
| = | Равенство | обозначает « и обозначают одно и то же значение». | 1 + 2 = 6 − 3 | |
| «равно» | ||||
| везде | ||||
| := :⇔ | Определение | означает « по определению равен ». означает « по определению равносильно » | (Гиперболический косинус) (Исключающее или) | |
| «равно/равносильно по определению» | ||||
| везде | ||||
| { , } | Множество элементов | означает множество, элементами которого являются , и . | (множество натуральных чисел) | |
| «Множество…» | ||||
| Теория множеств | ||||
| { | } { : } | Множество элементов, удовлетворяющих условию | означает множество всех таких, что верно . | ||
| «Множество всех… таких, что верно…» | ||||
| Теория множеств | ||||
| ∅ {} | Пустое множество | и означают множество, не содержащее ни одного элемента. | ||
| «Пустое множество» | ||||
| Теория множеств | ||||
| ∈ ∉ | Принадлежность/непринадлежность к множеству | означает « является элементом множества » означает « не является элементом множества » | ||
| «принадлежит», «из» «не принадлежит» | ||||
| Теория множеств | ||||
| ⊆ ⊂ | Подмножество | означает «каждый элемент из также является элементом из ». обычно означает то же, что и . Однако некоторые авторы используют , чтобы показать строгое включение (то есть ). | ||
| «является подмножеством», «включено в» | ||||
| Теория множеств | ||||
| ⊇ ⊃ | Надмножество | означает «каждый элемент из также является элементом из ». обычно означает то же, что и . Однако некоторые авторы используют , чтобы показать строгое включение (то есть ). | ||
| «является надмножеством», «включает в себя» | ||||
| Теория множеств | ||||
| ⊊ | Собственное подмножество | означает и . | ||
| «является собственным подмножеством», «строго включается в» | ||||
| Теория множеств | ||||
| ⊋ | Собственное надмножество | означает и . | ||
| «является собственным надмножеством», «строго включает в себя» | ||||
| Теория множеств | ||||
| ∪ | Объединение | означает множество элементов, принадлежащих или (или обоим сразу). | ||
| «Объединение … и …», «…, объединённое с …» | ||||
| Теория множеств | ||||
| ⋂ | Пересечение | означает множество элементов, принадлежащих и , и . | ||
| «Пересечение … и … », «…, пересечённое с …» | ||||
| Теория множеств | ||||
| \ | Разность множеств | означает множество элементов, принадлежащих , но не принадлежащих . | ||
| «разность … и … », «минус», «… без …» | ||||
| Теория множеств | ||||
| → | Функция | означает функцию с областью определения и областью прибытия (областью значений) . | Функция , определённая как | |
| «из … в», | ||||
| везде | ||||
| ↦ | Отображение | означает, что образом после применения функции будет . | Функцию, определённую как , можно записать так: | |
| «отображается в» | ||||
| везде | ||||
| N или ℕ | Натуральные числа | означает множество или реже (в зависимости от ситуации). | ||
| «Эн» | ||||
| Числа | ||||
| Z или ℤ | Целые числа | означает множество | ||
| «Зед» | ||||
| Числа | ||||
| Q или ℚ | Рациональные числа | означает | ||
| «Ку» | ||||
| Числа | ||||
| R или ℝ | Вещественные числа, или действительные числа | означает множество всех пределов последовательностей из | ( — комплексное число: ) | |
| «Эр» | ||||
| Числа | ||||
| C или ℂ | Комплексные числа | означает множество | ||
| «Це» | ||||
| Числа | ||||
| < > | Сравнение | обозначает, что строго меньше . означает, что строго больше . | ||
| «меньше чем», «больше чем» | ||||
| Отношение порядка | ||||
| ≤ или ⩽ ≥ или ⩾ | Сравнение | означает, что меньше или равен . означает, что больше или равен . | ||
| «меньше или равно»; «больше или равно» | ||||
| Отношение порядка | ||||
| ≈ | Приблизительное равенство | с точностью до означает, что 2,718 отличается от не больше чем на . | с точностью до . | |
| «приблизительно равно» | ||||
| Числа | ||||
| √ | Арифметический квадратный корень | означает неотрицательное действительное число, которое в квадрате даёт . | ||
| «Корень квадратный из …» | ||||
| Числа | ||||
| ∞ | Бесконечность | и суть элементы расширенного множества действительных чисел. Эти символы обозначают числа, меньшее/большее всех действительных чисел. | ||
| «Плюс/минус бесконечность» | ||||
| Числа | ||||
| Модуль числа (абсолютное значение), модуль комплексного числа или мощность множества | обозначает абсолютную величину . обозначает мощность множества и равняется, если конечно, числу элементов . | |||
| «Модуль»; «Мощность» | ||||
| Числа и Теория множеств | ||||
| ∑ | Сумма, сумма ряда | означает «сумма , где принимает значения от 1 до », то есть . означает сумму ряда, состоящего из . | ||
| «Сумма … по … от … до …» | ||||
| Арифметика, Математический анализ | ||||
| ∏ | Произведение | означает «произведение для всех от 1 до », то есть | ||
| «Произведение … по … от … до …» | ||||
| Арифметика | ||||
| ! | Факториал | означает «произведение всех натуральных чисел от 1 до включительно, то есть | ||
| « факториал» | ||||
| Комбинаторика | ||||
| ∫ | Интеграл | означает «интеграл от до функции от по переменной ». | ||
| «Интеграл (от … до …) функции … по (или d)…» | ||||
| Математический анализ | ||||
| df/dx f'(x) | Производная | или означает «(первая) производная функции от по переменной ». | ||
| «Производная … по …» | ||||
| Математический анализ | ||||
| Производная -го порядка | или (во втором случае если — фиксированное число, то оно пишется римскими цифрами) означает «-я производная функции от по переменной ». | |||
| «-я производная … по …» | ||||
| Математический анализ |
Прошлое и будущее / Блог компании Wolfram Research / Хабр
Перевод поста Стивена Вольфрама (Stephen Wolfram) «Mathematical Notation: Past and Future (2000)».
Выражаю огромную благодарность Кириллу Гузенко KirillGuzenko за помощь в переводе и подготовке публикации
Содержание
Резюме
Введение
История
Компьютеры
Будущее
Примечания
—
Эмпирические законы для математических обозначений—
Печатные обозначения против экранных—
Письменные обозначения—
Шрифты и символы—
Поиск математических формул—
Невизуальные обозначения—
Доказательства—
Отбор символов—
Частотное распределение символов—
Части речи в математической нотацииСтенограмма речи, представленной на секции «MathML и математика в сети» первой Международной Конференции MathML в 2000-м году.
Большинство математических обозначений существуют уже более пятисот лет. Я рассмотрю, как они разрабатывались, что было в античные и средневековые времена, какие обозначения вводили Лейбниц, Эйлер, Пеано и другие, как они получили распространение в 19 и 20 веках. Будет рассмотрен вопрос о схожести математических обозначений с тем, что объединяет обычные человеческие языки. Я расскажу об основных принципах, которые были обнаружены для обычных человеческих языков, какие из них применяются в математических обозначениях и какие нет.
Согласно историческим тенденциям, математическая нотация, как и естественный язык, могла бы оказаться невероятно сложной для понимания компьютером. Но за последние пять лет мы внедрили в Mathematica возможности к пониманию чего-то очень близкого к стандартной математической нотации. Я расскажу о ключевых идеях, которые сделали это возможным, а также о тех особенностях в математических обозначениях, которые мы попутно обнаружили.
Большие математические выражения — в отличии от фрагментов обычного текста — часто представляют собой результаты вычислений и создаются автоматически. Я расскажу об обработке подобных выражений и о том, что мы предприняли для того, чтобы сделать их более понятными для людей.
Традиционная математическая нотация представляет математические объекты, а не математические процессы. Я расскажу о попытках разработать нотацию для алгоритмов, об опыте реализации этого в APL, Mathematica, в программах для автоматических доказательств и других системах.
Обычный язык состоит их строк текста; математическая нотация часто также содержит двумерные структуры. Будет обсуждён вопрос о применении в математической нотации более общих структур и как они соотносятся с пределом познавательных возможностей людей.
Сфера приложения конкретного естественного языка обычно ограничивает сферу мышления тех, кто его использует. Я рассмотрю то, как традиционная математическая нотация ограничивает возможности математики, а также то, на что могут быть похожи обобщения математики.
Когда собиралась эта конференция, люди подумали, что было бы здорово пригласить кого-то для выступления с речью об основаниях и общих принципах математической нотации. И был очевидный кандидат —
Флориан Каджори— автор классической книги под названием «
История математических обозначений». Но после небольшого расследования оказалось, что есть техническая проблема в приглашении доктора Каджори — он умер как минимум лет семьдесят назад.
Так что мне придётся его заменять.
Полагаю, других вариантов особо-то и не было. Поскольку оказывается, что нет почти никого, кто жив на данный момент и кто занимался фундаментальными исследованиями математической нотации.
В прошлом математической нотацией занимались обычно в контексте систематизации математики. Так, Лейбниц и некоторые другие люди интересовались подобными вещами в середине 17 века. Бэббидж написал тяжеловесный труд по этой теме в 1821 году. И на рубеже 19 и 20 веков, в период серьёзного развития абстрактной алгебры и математической логики, происходит очередной всплеск интереса и деятельности в этой теме. Но после этого не было почти ничего.
Однако не особо удивительно, что я стал интересоваться подобными вещами. Потому что с Mathematica одной из моих главных целей было сделать ещё один большой шаг в области систематизации математики. А более общей моей целью в отношении Mathematica было распространить вычислительную мощь на все виды технической и математической работы. Эта задача имеет две части: то, как вычисления происходят внутри, и то, как люди направляют эти вычисления для получения того, что они хотят.
Одно из самых больших достижений Mathematica, о котором, вероятно, большинство из вас знает, заключается в сочетании высокой общности вычислений изнутри и сохранении практичности, основанной на преобразованиях символьных выражений, где символьные выражения могут представлять данные, графику, документы, формулы — да что угодно.
Однако недостаточно просто проводить вычисления. Необходимо так же, чтобы люди каким-то образом сообщали Mathematica о том, какие вычисления они хотят произвести. И основной способ дать людям взаимодействовать с чем-то столь сложным — использовать что-то вроде языка.
Обычно языки появляются в ходе некоторого поэтапного исторического процесса. Но компьютерные языки в историческом плане сильно отличаются. Многие были созданы практически полностью разом, зачастую одним человеком.
Так что включает в себя эта работа?
Ну, вот в чём заключалась для меня эта работа в отношении Mathematica: я попробовал представить, какие вообще вычисления люди будут производить, какие фрагменты в этой вычислительной работе повторяются снова и снова. А затем, собственно, я дал имена этим фрагментам и внедрил в качестве встроенных функций в Mathematica.
В основном мы отталкивались от английского языка, так как имена этих фрагментов основаны на простых английских словах. То есть это значит, что человек, который просто знает английский, уже сможет кое-что понять из написанного в Mathematica.
Однако, разумеется, язык Mathematica — не английский. Это скорее сильно адаптированный фрагмент английского языка, оптимизированный для передачи информации о вычислениях в Mathematica.
Можно было бы думать, что, пожалуй, было бы неплохо объясняться с Mathematica на обычном английском языке. В конце концов, мы уже знаем английский язык, так что нам было бы необязательно изучать что-то новое, чтобы объясняться с Mathematica.
Однако я считаю, что есть весьма весомые причины того, почему лучше думать на языке Mathematica, чем на английском, когда мы размышляем о разного рода вычислениях, которые производит Mathematica.
Однако мы так же знаем, заставить компьютер полностью понимать естественный язык — задача крайне сложная.
Хорошо, так что насчёт математической нотации?
Большинство людей, которые работают в Mathematica, знакомы по крайней мере с некоторыми математическими обозначениями, так что, казалось бы, было бы весьма удобно объясняться с Mathematica в рамках привычной математической нотации.
Но можно было бы подумать, что это не будет работать. Можно было бы подумать, что ситуация выльется в нечто, напоминающее ситуацию с естественными языками.
Однако есть один удивительный факт — он весьма удивил меня. В отличие от естественных человеческих языков, для обычной математической нотации можно сделать очень хорошее приближение, которое компьютер сможет понимать. Это одна из самых серьёзных вещей, которую мы разработали для третьей версии Mathematica в 1997 году [текущая версия Wolfram Mathematica — 10.4.1 — вышла в апреле 2016 г. — прим. ред.]. И как минимум некоторая часть того, что у нас получилось, вошла в спецификацию MathML.
Сегодня я хочу поговорить о некоторых общих принципах в математической нотации, которые мне довелось обнаружить, и то, что это означает в контексте сегодняшних дней и будущего.
В действительности, это не математическая проблема. Это куда ближе к лингвистике. Речь не о том, какой бы могла быть математическая нотация, а о том, какова используемая математическая нотация в действительности — как она развивалась в ходе истории и как связана с ограничениями человеческого познания.
Я думаю, математическая нотация — весьма интересное поле исследования для лингвистики.
Как можно было заметить, лингвистика в основном изучала разговорные языки. Даже пунктуация осталась практически без внимания. И, насколько мне известно, никаких серьёзных исследований математической нотации с точки зрения лингвистики никогда не проводилось.
Обычно в лингвистике выделяют несколько направлений. В одном занимаются вопросами исторических изменений в языках. В другом изучается то, как влияет изучение языка на отдельных людей. В третьем создаются эмпирические модели каких-то языковых структур.
Давайте сперва поговорим об истории.
Откуда произошли все те математические обозначения, которые мы в настоящее время используем?
Это тесно связано с историей самой математики, так что нам придётся коснуться немного этого вопроса. Часто можно услышать мнение, что сегодняшняя математика есть единственная мыслимая её реализация. То, какими бы могли быть произвольные абстрактные построения.
И за последние девять лет, что я занимался одним большим научным проектом, я ясно понял, что такой взгляд на математику не является верным. Математика в том виде, в котором она используется — это учение не о произвольных абстрактных системах. Это учение о конкретной абстрактной системе, которая исторически возникла в математике. И если заглянуть в прошлое, то можно увидеть, что есть три основные направления, из которых появилась математика в том виде, в котором мы сейчас её знаем — это арифметика, геометрия и логика.
Все эти традиции довольно стары. Арифметика берёт своё начало со времён древнего Вавилона. Возможно, и геометрия тоже приходит из тех времён, но точно уже была известна в древнем Египте. Логика приходит из древней Греции.
И мы можем наблюдать, что развитие математической нотации — языка математики — сильно связано с этими направлениями, особенно с арифметикой и логикой.
Следует понимать, что все три направления появлялись в различных сферах человеческого бытия, и это сильно повлияло на используемые в них обозначения.
Арифметика, вероятно, возникла из нужд торговли, для таких вещей, как, к примеру, счёт денег, а затем арифметику подхватили астрология и астрономия. Геометрия, по всей видимости, возникла из землемерческих и подобных задач. А логика, как известно, родилась из попытки систематизировать аргументы, приведённые на естественном языке.
Примечательно, кстати, что другая, очень старая область знаний, о которой я упомяну позднее — грамматика — по сути никогда не интегрировалась с математикой, по крайней мере до совсем недавнего времени.
Итак, давайте поговорим о ранних традициях в обозначениях в математике.
Во-первых, есть арифметика. И самая базовая вещь для арифметики — числа. Так какие обозначения использовались для чисел?
Что ж, первое представление чисел, о котором доподлинно известно — высечки на костях, сделанные 25 тысяч лет назад. Это была унарная система: чтобы представить число 7, нужно было сделать 7 высечек, ну и так далее.
Конечно, мы не можем точно знать, что именно это представление чисел было самым первым. Я имею ввиду, что мы могли и не найти свидетельств каких-то других, более ранних представлений чисел. Однако, если кто-то в те времена изобрёл какое-то необычное представление для чисел, и разместил их, к примеру, в наскальной живописи, то мы можем никогда и не узнать, что это было представление чисел — мы можем воспринимать это просто как какие-то фрагменты украшений.
Таким образом, числа можно представлять в унарной форме. И такое впечатление, что эта идея возрождалась множество раз и в различных частях света.
Но если посмотреть на то, что произошло помимо этого, то можно обнаружить довольно много различий. Это немного напоминает то, как различные виды конструкций для предложений, глаголов и прочее реализованы в различных естественных языках.
И, фактически, один из самых важных вопросов относительно чисел, который, как я полагаю, будет всплывать ещё много раз — насколько сильным должно быть соответствие между обычным естественным языком и языком математики?
Или вот вопрос: он связан с позиционной нотацией и повторным использованием цифр.
Как можно заметить, в естественных языках обычно есть такие слова, как «десять«, «сто«, «тысяча«, «миллион» и так далее. Однако в математике мы можем представить десять как «один нуль» (10), сто как «один нуль нуль» (100), тысячу как «один нуль нуль нуль» (1000) и так далее. Мы можем повторно использовать эту одну цифру и получать что-то новое, в зависимости от того, где в числе она будет появляться.
Что ж, это сложная идея, и людям потребовались тысячи лет, чтобы её действительно принять и осознать. А их неспособность принять её ранее имела большие последствия в используемых ими обозначениях как для чисел, так и для других вещей.
Как это часто бывает в истории, верные идеи появляются очень рано и долгое время остаются в забвении. Более пяти тысяч лет назад вавилоняне, и возможно даже до них ещё и шумеры разработали идею о позиционном представлении чисел. Их система счисления была шестидесятеричная, а не десятичная, как у нас. От них мы унаследовали представление секунд, минут и часов в существующей ныне форме. Но у них была идея использования одних и тех же цифр для обозначения множителей различных степеней шестидесяти.
Вот пример их обозначений.
Из этой картинки можно понять, почему археология столь трудна. Это очень маленький кусок обожжённой глины. Было найдено около полумиллиона подобных вавилонских табличек. И примерно одна из тысячи — то есть всего около 400 — содержат какие-то математические записи. Что, кстати, выше отношения математических текстов к обычным в современном интернете. Вообще, пока MathML не получил достаточного распространения, это является достаточно сложным вопросом.
Но, в любом случае, маленькие обозначения на этой табличке выглядят слегка похожими на отпечатки лапок крошечных птиц. Но почти 50 лет назад в конце концов исследователи определили, что эта клинописная табличка времён Хаммурапи — около 1750 года до н.э. — фактически является таблицей того, что мы сейчас называем пифагорейскими тройками.
Что ж, эти вавилонские знания были утеряны для человечества почти на 3000 лет. И вместо этого использовались схемы, основанные на естественных языках, с отдельными символами для десяти, ста и так далее.
Так, к примеру, у египтян для обозначения тысячи использовался символ цветка лотоса, для сотни тысяч — птица, ну и так далее. Каждая степень десяти для её обозначения имела отдельный символ.
А затем появилась другая очень важная идея, до которой не додумались ни вавилоняне, ни египтяне. Она заключалась в обозначении чисел цифрами — то есть не обозначать число семь семью единицами чего-то, а лишь одним символом.
Однако, у греков, возможно, как и у финикийцев ранее, эта идея уже была. Ну, на самом деле, она была несколько отличной. Она заключалась в том, чтобы обозначать последовательность чисел через последовательность букв в их алфавите. То есть альфе соответствовала единица, бете — двойка и так далее.
Вот как выглядит список чисел в греческом обозначении [вы можете скачать Wolfram Language Package, позволяющий представить числа в различных древних нотациях здесь — прим. ред.].
(Думаю, именно так сисадмины из Академии Платона адаптировали бы свою версию Mathematica; их воображаемую -600-ю (или около того) версию Mathematica.)
С этой системой счисления сопряжено множество проблем. Например, есть серьёзная проблема управления версиями: даже если вы решаете удалить какие-то буквы из своего алфавита, то вы должны оставить их в числах, иначе все ваши ранее записанные числа будут некорректными.
То есть это значит, что есть различные устаревшие греческие буквы, оставшиеся в системе счисления — как коппа для обозначения числа 90 и сампи для обозначения числа 900. Однако я включил их в набор символов для Mathematica, потому здесь прекрасно работает греческая форма записи чисел.
Спустя некоторое время римляне разработали свою форму записи чисел, с которой мы хорошо знакомы.
Пускай сейчас и не совсем ясно, что их цифры изначально задумывались как буквы, однако об этом следует помнить.
Итак, давайте попробуем римскую форму записи чисел.
Это тоже довольно неудобный способ записи, особенно для больших чисел.
Тут есть несколько интересных моментов. К примеру, длина представляемого числа рекурсивно возрастает с размером числа.
И в целом, подобное представление для больших чисел полно неприятных моментов. К примеру, когда Архимед писал свою работу о количестве песчинок, объём которых эквивалентен объёму вселенной (Архимед оценил их количество в 1051, однако, полагаю, правильный ответ будет около 1090), то он использовал обычные слова вместо обозначений, чтобы описать столь большое число.
Но на самом деле есть более серьёзная понятийная проблема с идеей о представлении цифр как букв: становится трудно придумать представление символьных переменных — каких-то символьных объектов, за которыми стоят числа. Потому что любую букву, которую можно было бы использовать для этого символьного объекта, можно будет спутать с цифрой или фрагментом числа.
Общая идея о символьном обозначении каких-то объектов через буквы известна довольно давно. Евклид, по сути, использовал эту идею в своих трудах по геометрии.
К сожалению, не сохранилось оригиналов работ Евклида. Однако имеются на несколько сот лет более молодые версии его работ. Вот одна, написанная на греческом языке.
И на этих геометрических фигурах можно увидеть точки, которые имеют символьное представление в виде греческих букв. И в описании теорем есть множество моментов, в которых точки, линии и углы имеют символьное представление в виде букв. Так что идея о символьном представлении каких-то объектов в виде букв берёт своё начало как минимум от Евклида.
Однако эта идея могла появиться и раньше. Если бы я умел читать на вавилонском, я бы, вероятно, смог бы сказать вам точно. Вот вавилонская табличка, в которой представляется квадратный корень из двух, и которая использует вавилонские буквы для обозначений.
Полагаю, обожжённая глина более долговечна, чем папирус, и получается, что мы знаем о том, что писали вавилоняне больше, чем о том, что писали люди вроде Евклида.
Вообще, эта неспособность увидеть возможность вводить имена для числовых переменных есть интересный случай, когда языки или обозначения ограничивают наше мышление. Это то, что несомненно обсуждается в обычной лингвистике. В наиболее распространённой формулировке эта идея звучит как гипотеза Сепира-Уорфа (гипотеза лингвистической относительности).
Разумеется, для тех из нас, кто потратил некоторую часть своей жизни на разработку компьютерных языков, эта идея представляется очень важной. То есть я точно знаю, что если я буду думать на языке Mathematica, то многие концепции будут достаточно просты для моего понимания, и они будут совсем не такими простыми, если я буду думать на каком-то другом языке.
Но, в любом случае, без переменных всё было бы гораздо сложнее. Например, как вы представите многочлен?
Ну, Диофант — тот самый, что придумал диофантовы уравнения — сталкивался с проблемой представления многочленов в середине 2 века н.э. В итоге он пришёл к использованию определённых основанных на буквах имён для квадратов, кубов и прочего. Вот как это работало.
По крайней мере сейчас нам показалось бы чрезвычайно трудным понять обозначения Диофанта для полиномов. Это пример не очень хороших обозначений. Полагаю, главная причина, помимо ограниченной расширяемости, состоит в том, что эти обозначения делают математические связи между полиномами неочевидными и не выделяют наиболее интересные нам моменты.
Есть и другие схемы задания полиномов без переменных, как, например, китайская схема, которая включала создание двухмерного массива коэффициентов.
Проблема здесь, опять-таки, в расширяемости. И эта проблема с основанными на графике обозначениями всплывает снова и снова: лист бумаги, папирус или что бы то ни было — они все ограничены двумя измерениями.
Хорошо, так что насчёт буквенного обозначения переменных?
Полагаю, что они могли бы появиться лишь после появления чего-то похожего на нашу современную нотацию. И она до определённого времени не появлялась. Были какие-то намёки в индо-арабских обозначениях в середине первого тысячелетия, однако установилось всё лишь к его концу. А на запад эта идея пришла лишь с работой Фибоначчи о вычислениях в 13 веке.
Фибоначчи, разумеется, был тем самым, кто говорил о числах Фибоначчи применительно к задаче о кроликах, однако в действительности эти числа известны были уже более тысячи лет, и служили они для описания форм индийской поэзии. И я всегда находил случай с числами Фибоначчи удивительным и отрезвляющим эпизодом в истории математики: возникнув на заре западной математики, столь привычные и фундаментальные, они начали становиться популярными лишь в 80-е.
В любом случае, также интересно заметить, что идея разбивки цифр в группы по три, чтобы сделать большие числа более читаемыми, имеется уже в книге Фибоначчи 1202 года, хотя я думаю, что он говорил об использовании скобок над числами, а не о разделяющих запятых.
После Фибоначчи наше современное представление для чисел постепенно становится всё популярнее, и ко времени начала книгопечатания в 15 веке оно уже было универсальным, хотя ещё и оставались несколько чудных моментов.
Но алгебраических переменных в полном их смысле тогда ещё не было. Они появились лишь после Виета в конце 16 века и обрели популярность лишь в 17 веке. То есть у Коперника и его современников их ещё не было. Как в основном и у Кеплера. Эти учёные для описания каких-то математических концепций использовали обычный текст, иногда структурированный как у Евклида.
Кстати, даже несмотря на то, что математическая нотация в те времена была не очень хорошо проработана, системы символьных обозначений в алхимии, астрологии и музыке были довольно развиты. Так, к примеру, Кеплер в начале 17 века использовал нечто, похожее на современную музыкальную нотацию, объясняя свою «музыку сфер» для отношений планетарных орбит.
Со времён Виета буквенные обозначения для переменных стали привычным делом. Обычно, кстати, он использовал гласные для неизвестных и согласные — для известных.
Вот как Виет записывал многочлены в форме, которую он называл «zetetics«, а сейчас мы бы это назвали просто символьной алгеброй:
Можно увидеть, что он использует слова для обозначения операций, в основном так, чтобы их нельзя было спутать с переменными.
Так как раньше представляли операции, в каком виде?
Идея о том, что операции есть нечто, что можно в какой-то форме представить, добиралась до умов людей довольно долго. Вавилоняне обычно не использовали символы для операций — для сложения они просто записывали слагаемые друг за другом. И в целом они были предрасположены записывать всё в виде таблиц, так что им не требовалось как-то обозначать операции.
У египтян были некоторые обозначения для операций: для сложения они использовали пару идущих вперёд ног, а для вычитания — идущих назад.
А современный знак +, который, вероятно, является сокращением от «et» на латыни (означает «и»), появился лишь в конце 15 века.
А вот кое-что из 1579 года, что выглядит весьма современным, написанное в основном на английском, пока не начнёшь понимать, что те забавные загогулины — это не иксы, а специальные небуквенные символы, которые представляют различные степени для переменных.
В первой половине 17 века произошла своего рода революция в математической нотации, после которой она практически обрела свой современный вид. Было создано современное обозначение квадратного корня, который ранее обозначался как Rx — это обозначение сейчас используется в медицинских рецептах. И в основном алгебраическая нотация приобрела свой современный вид.
Уильям Отред был одним из тех людей, кто серьёзно занимался этим вопросом. Изобретение логарифмической линейки — одна из вещей, которая сделала его известным. На самом деле о нём практически ничего неизвестно. Он не был крупным математиком, однако сделал много полезного в области преподавания, с такими людьми, как Кристофер Рен и его учениками. Странно, что я ничего не слышал о нём в школе, особенно если учесть, что мы учились в одной и той же школе, только он на 400 лет ранее. Однако изобретение логарифмической линейки было недостаточным для того, чтобы увековечить своё имя в истории математики.
Но, в любом случае, он серьёзно занимался нотацией. Он придумал обозначать умножение крестиком, и он продвинул идею о представлении алгебры посредством обозначений вместо слов — так, как это делал Виет. И, фактически, он изобрёл довольно много других обозначений, подобно тильде для таких предикатов, как IntegerQ.
После Отреда и его сотоварищей эти обозначения быстро установились. Были и альтернативные обозначения, как изображения убывающей и растущей лун для обозначения арифметических операций — прекрасный пример плохого и нерасширяемого дизайна. Однако в основном использовались современные обозначения.
Вот пример.
Это фрагмент рукописи Ньютона Principia, из которой ясно, что он в основном использовал современные алгебраические обозначения. Думаю, именно Ньютон придумал использовать отрицательные степени вместо дробей для обратных величин и прочего. Principia содержит весьма мало обозначений, за исключением этих алгебраических вещей и представления разного материала в стиле Евклида. И в действительности Ньютон не особо интересовался обозначениями. Он даже хотел использовать точечные обозначения для своих флюксий.
Чего не скажешь о Лейбнице. Лейбниц много внимания уделял вопросам нотации. В действительности, он считал, что правильные обозначения есть ключ ко многим человеческим вопросам. Он был своего рода дипломат-аналитик, курсирующий между различными странами, со всеми их различными языками, и т.д. У него была идея, что если создать некий универсальный логический язык, то тогда все люди смогли бы понимать друг друга и имели бы возможность объяснить всё что угодно.
Были и другие люди, которые размышляли о подобном, преимущественно с позиции обычных естественных языков и логики. Один из примеров — довольно специфичный персонаж по имени Раймонд Лул, живший в 14 веке, который заявлял, что изобрёл некие логические колёса, дающие ответы на все вопросы мира.
Но так или иначе, Лейбниц разработал те вещи, которые были интересны и с позиций математики. То, что он хотел сделать, должно было так или иначе объединить все виды обозначений в математике в некоторый точный естественный язык с подобным математике способом описания и решения различных проблем, или даже больше — объединить ещё и все используемые естественные языки.
Ну, как и многие другие свои проекты, Лейбниц так и не воплотил это в жизнь. Однако он занимался самыми разными направлениями математики и серьёзно относился к разработке обозначений для них. Наиболее известные его обозначения были введены им в 1675 году. Для обозначения интегралов он использовал «omn.«, возможно, как сокращение от omnium. Но в пятницу 29 октября 1675 года он написал следующее.
На этом фрагменте бумаги можно увидеть знак интеграла. Он задумывал его как вытянутую S. Несомненно, это и есть современное обозначение интеграла. Ну, между обозначениями интегралов тогда и сейчас почти нет никакой разницы.
Затем в четверг 11 ноября того же года он обозначил дифференциал как «d«. На самом деле, Лейбниц считал это обозначение не самым лучшим и планировал придумать ему какую-нибудь замену. Но, как мы все знаем, этого не произошло.
Что ж, Лейбниц вёл переписку касательно обозначений с самыми разными людьми. Он видел себя кем-то вроде председателя комитета стандартов математических обозначений — так бы мы сказали сейчас. Он считал, что обозначения должны быть максимально краткими. К примеру, Лейбниц говорил: «Зачем использовать две точки для обозначения деления, когда можно использовать лишь одну?«.
Некоторые из продвигаемых им идей так и не получили распространения. К примеру, используя буквы для обозначения переменных, он использовал астрономические знаки для обозначения выражений. Довольно интересная идея, на самом деле.
Так он обозначал функции.
Помимо этих моментов и некоторых исключений наподобие символа пересечения квадратов, который Лейбниц использовал для обозначения равенства, его обозначения практически неизменными дошли до наших дней.
В 18 веке Эйлер активно пользовался обозначениями. Однако, по сути, он следовал по пути Лейбница. Полагаю, он был первым, кто всерьёз начал использовать греческие буквы наравне с латинскими для обозначения переменных.
Есть и некоторые другие обозначения, которые появились вскоре после Лейбница. Следующий пример из книги, вышедшей через несколько лет после смерти Ньютона. Это учебник алгебры, и он содержит весьма традиционные алгебраические обозначения, уже в печатном виде.
А вот книга Лопиталя, напечатанная примерно в то же время, в которой уже практически современная алгебраическая нотация.
И, наконец, вот пример от Эйлера, содержащий весьма современные обозначения для интегралов и прочего.
Эйлер — популяризировал современное обозначение для числа пи, которое первоначально было предложено Уильямом Джонсом, который рассматривал его как сокращение от слова периметр.
Предложенная Лейбницем и сотоварищами нотация довольно долго оставалась неизменной. Происходили небольшие изменения, как, к примеру квадрат x x получил написание x2. Однако практически ничего нового не появилось.
Однако в конце 19 века наблюдается новый всплеск интереса к математической нотации, сопряжённый с развитием математической логики. Были некоторые нововведения, сделанные физиками, такими как Максвелл и Гиббс, в основном для векторов и векторного анализа, как следствие развития абстрактной алгебры. Однако наиболее значимые изменения были сделаны людьми, начиная с Фреге и приблизительно с 1879 года, которые занимались математической логикой.
Эти люди в своих устремлениях были близки к Лейбницу. Они хотели разработать нотацию, которая представляла бы не только математические формулы, но и математические выводы и доказательства. В середине 19 века Буль показал, что основы логики высказываний можно представлять в терминах математики. Однако Фреге и его единомышленники хотели пойти дальше и представить так как логику высказываний, так и любые математические суждения в соответствующих математических терминах и обозначениях.
Фреге решил, что для решения этой задачи потребуются графические обозначения. Вот фрагмент его так называемой «концептуальной нотации«.
К сожалению, в ней трудно разобраться. И в действительности, если посмотреть на историю обозначений в целом, то часто можно встретить попытки изобретения графических обозначений, которые оказывались трудными для понимания. Но в любом случае, обозначения Фреге уж точно не стали популярными.
Потом был Пеано, самый главный энтузиаст в области математической нотации. Он делал ставку на линейное представление обозначений. Вот пример:
Вообще говоря, в 80-х годах 19 века Пеано разработал то, что очень близко к обозначениям, которые используются в большинстве современных теоретико-множественных концепций.
Однако, как и Лейбниц, Пеано не желал останавливаться лишь на универсальной нотации для математики. Он хотел разработать универсальный язык для всего. Эта идея реализовалась у него в то, что он назвал интерлингва — язык на основе упрощённой латыни. Затем он написал нечто вроде краткого изложения математики, назвав это Formulario Mathematico, которое было основано на его обозначениях для формул, и труд этот был написал на этой производной от латыни — на интерлингве.
Интерлингва, подобно эсперанто, который появился примерно в это же время, так и не получил широкого распространения. Однако этого нельзя сказать об обозначениях Пеано. Сперва о них никто ничего толком и не слышал. Но затем Уайтхед и Рассел написали свой труд Principia Mathematica, в котором использовались обозначения Пеано.
Думаю, Уайтхед и Рассел выиграли бы приз в номинации «самая насыщенная математическими обозначениями работа, которая когда-либо была сделана без помощи вычислительных устройств«. Вот пример типичной страницы из Principia Mathematica.
У них были все мыслимые виды обозначений. Частая история, когда авторы впереди своих издателей: Рассел сам разрабатывал шрифты для многих используемых им обозначений.
И, разумеется, тогда речь шла не о шрифтах TrueType или о Type 1, а о самых настоящих кусках свинца. Я о том, что Рассела можно было встретить с тележкой, полной свинцовых оттисков, катящему её в издательство Кембриджского университета для обеспечения корректной вёрстки его книг.
Но, несмотря на все эти усилия, результаты были довольно гротескными и малопонятными. Я думаю, это довольно ясно, что Рассел и Уайтхед зашли слишком далеко со своими обозначениями.
И хотя область математической логики немного прояснилась в результате деятельности Рассела и Уайтхеда, она всё ещё остаётся наименее стандартизированной и содержащей самую сложную нотацию.
Но что насчёт более распространённых составляющих математики?
Какое-то время в начале 20 века то, что было сделано в математической логике, ещё не произвело никакого эффекта. Однако ситуация резко начала меняться с движением Бурбаки, которое начало разрастаться во Франции в примерное сороковые года.
Бурбаки придавали особое значение гораздо более абстрактному, логико-ориентированному подходу к математике. В частности, они акцентировали внимание на использовании обозначений там, где это только возможно, любым способом сводя использование потенциально неточного текста к минимуму.
Где-то с сороковых работы в области чистой математики претерпели серьёзные изменения, что можно заметить в соответствующих журналах, в работах международного математического сообщества и прочих источниках подобного рода. Изменения заключались в переходе от работ, полных текста и лишь с основными алгебраическими и вычислительными выкладками к работам, насыщенными обозначениями.
Конечно, эта тенденция коснулась не всех областей математики. Это в некотором роде то, чем занимаются в лингвистике обычных естественных языков. По устаревшим используемым математическим обозначениям можно заметить, как различные области, их использующие, отстают от основной магистрали математического развития. Так, к примеру, можно сказать, что физика осталась где-то в конце 19 века, используя уже устаревшую математическую нотацию тех времён.
Есть один момент, который постоянно проявляется в этой области — нотация, как и обычные языки, сильно разделяет людей. Я имею в виду, что между теми, кто понимает конкретные обозначения, и теми, кто не понимает, имеется большой барьер. Это кажется довольно мистическим, напоминая ситуацию с алхимиками и оккультистами — математическая нотация полна знаков и символов, которые люди в обычной жизни не используют, и большинство людей их не понимают.
На самом деле, довольно любопытно, что с недавних пор в рекламе появился тренд на использование математических обозначений. Думаю, по какой-то причине математическая нотация стала чем-то вроде шика. Вот один актуальный пример рекламы.
Отношение к математическим обозначениям, к примеру, в школьном образовании, часто напоминает мне отношение к символам секретных сообществ и тому подобному.
Что ж, это был краткий конспект некоторых наиболее важных эпизодов истории математической нотации.
В ходе исторических процессов некоторые обозначения перестали использоваться. Помимо некоторых областей, таких как математическая логика, она стала весьма стандартизированной. Разница в используемых разными людьми обозначениях минимальна. Как и в ситуации с любым обычным языком, математические записи практически всегда выглядят одинаково.
Вот вопрос:
можно ли сделать так, чтобы компьютеры понимали эти обозначения?Это зависит от того, насколько они систематизированы и как много смысла можно извлечь из некоторого заданного фрагмента математической записи.
Ну, надеюсь, мне удалось донести мысль о том, что нотация развивалась в результате непродуманных случайных исторических процессов. Было несколько людей, таких как Лейбниц и Пеано, которые пытались подойти к этому вопросу более системно. Но в основном обозначения появлялись по ходу решения каких-то конкретных задач — подобно тому, как это происходит в обычных разговорных языках.
И одна из вещей, которая меня удивила, заключается в том, что по сути никогда не проводилось интроспективного изучения структуры математической нотации.
Грамматика обычных разговорных языков развивалась веками. Без сомнения, многие римские и греческие философы и ораторы уделяли ей много внимания. И, по сути, уже примерно в 500 года до н. э. Панини удивительно подробно и ясно расписал грамматику для санскрита. Фактически, грамматика Панини была удивительно похожа по структуре на спецификацию правил создания компьютерных языков в форме Бэкуса-Наура, которая используется в настоящее время.
И были грамматики не только для языков — в последнее столетие появилось бесконечное количество научных работ по правильному использованию языка и тому подобному.
Но, несмотря на всю эту активность в отношении обычных языков, по сути, абсолютно ничего не было сделано для языка математики и математической нотации. Это действительно довольно странно.
Были даже математики, которые работали над грамматиками обычных языков. Ранним примером являлся Джон Уоллис, который придумал формулу произведения Уоллиса для числа пи, и вот он писал работы по грамматике английского языка в 1658 году. Уоллис был тем самым человеком, который начал всю эту суматоху с правильным использованием «will» или «shall«.
В начале 20 века в математической логике говорили о разных слоях правильно сформированного математического выражения: переменные внутри функций внутри предикатов внутри функций внутри соединительных слов внутри кванторов. Но не о том, что же это всё значило для обозначений выражений.
Некоторая определённость появилась в 50-е годы 20 века, когда Хомский и Бакус, независимо разработали идею контекстно-свободных языков. Идея пришла походу работы над правилами подстановки в математической логике, в основном благодаря Эмилю Посту в 20-х годах 20 века. Но, любопытно, что и у Хомского, и у Бакуса возникла одна и та же идея именно в 1950-е.
Бакус применил её к компьютерным языкам: сперва к Fortran, затем к ALGOL. И он заметил, что алгебраические выражения могут быть представлены в контекстно-свободной грамматике.
Хомский применил эту идею к обычному человеческому языку. И он отмечал, что с некоторой степенью точности обычные человеческие языки так же могут быть представлены контекстно-свободными грамматиками.
Конечно, лингвисты включая Хомского, потратили годы на демонстрацию того, насколько всё же эта идея не соответствует действительности. Но вещь, которую я всегда отмечал, а с научной точки зрения считал самой важной, состоит в том, что в первом приближении это всё-таки истина — то, что обычные естественные языки контекстно-свободны.
Итак, Хомский изучал обычный язык, а Бакус изучал такие вещи, как ALGOL. Однако никто из них не рассматривал вопрос разработки более продвинутой математики, чем простой алгебраический язык. И, насколько я могу судить, практически никто с тех времён не занимался этим вопросом.
Но, если вы хотите посмотреть, сможете ли вы интерпретировать некоторые математические обозначения, вы должны знать, грамматику какого типа они используют.
Сейчас я должен сказать вам, что считал математическую нотацию чем-то слишком случайным для того, чтобы её мог корректно интерпретировать компьютер. В начале девяностых мы горели идеей предоставить возможность Mathematica работать с математической нотацией. И по ходу реализации этой идеи нам пришлось разобраться с тем, что происходит с математической нотацией.
Нил Сойффер потратил множество лет, работая над редактированием и интерпретацией математической нотации, и когда он присоединился к нам в 1991, он пытаться убедить меня, что с математической нотацией вполне можно работать — как с вводом, так и с выводом.2+ArcSin[x+1]+c(x+1)+f[x+1]
Что оно означает? Чтобы это понять, нужно знать приоритеты операторов — какие действуют сильнее, а какие слабее в отношении операндов.
Я подозревал, что для этого нет какого-то серьёзного обоснования ни в каких статьях, посвящённых математике. И я решил исследовать это. Я прошёлся по самой разнообразной математической литературе, показывал разным людям какие-то случайные фрагменты математической нотации и спрашивал у них, как бы они их интерпретировали. И я обнаружил весьма любопытную вещь: была удивительная слаженность мнений людей в определении приоритетов операторов. Таким образом, можно утверждать: имеется определённая последовательность приоритетов математических операторов.
Можно с некоторой уверенностью сказать, что люди представляют именно эту последовательность приоритетов, когда смотрят на фрагменты математической нотации.
Обнаружив этот факт, я стал значительно более оптимистично оценивать возможность интерпретации вводимых математических обозначений. Один из способов, с помощью которого всегда можно это реализовать — использовать шаблоны. То есть достаточно просто иметь шаблон для интеграла и заполнять ячейки подынтегрального выражения, переменной и так далее. И когда шаблон вставляется в документ, то всё выглядит как надо, однако всё ещё содержится информация о том, что это за шаблон, и программа понимает, как это интерпретировать. И многие программы действительно так и работают.
Но в целом это крайне неудобно. Потому что если вы попытаетесь быстро вводить данные или редактировать, вы будете обнаруживать, что компьютер вам бикает (beeping) и не даёт делать те вещи, которые, очевидно, должны быть вам доступны для реализации.
Дать людям возможность ввода в свободной форме — значительно более сложная задача. Но это то, что мы хотим реализовать.
Итак, что это влечёт?
Прежде всего, математический синтаксис должен быть тщательно продуманным и однозначным. Очевидно, получить подобный синтаксис можно, если использовать обычный язык программирования с основанным на строках синтаксисом. Но тогда вы не получите знакомую математическую нотацию.
Вот ключевая проблема: традиционная математическая нотация содержит неоднозначности. По крайней мере, если вы захотите представить её в достаточно общем виде. Возьмём, к примеру, «i«. Что это — Sqrt[-1] или переменная «i«?
В обычном текстовом InputForm в Mathematica все подобные неоднозначности решены простым путём: все встроенные объекты Mathematica начинаются с заглавной буквы.
Но заглавная «I» не очень то и похожа на то, чем обозначается Sqrt[-1] в математических текстах. И что с этим делать? И вот ключевая идея: можно сделать другой символ, который вроде тоже прописная «i», однако это будет не обычная прописная «i», а квадратный корень из -1.
Можно было бы подумать: Ну, а почему бы просто не использовать две «i», которые бы выглядели одинаково, — прям как в математических текстах — однако из них будет особой? Ну, это бы точно сбивало с толку. Вы должны будете знать, какую именно «i» вы печатаете, а если вы её куда-то передвинете или сделаете что-то подобное, то получится неразбериха.
Итак, значит, должно быть два «i«. Как должна выглядеть особая версия этого символа?
У нас была идея — использовать двойное начертание для символа. Мы перепробовали самые разные графические представления. Но идея с двойным начертанием оказалась лучшей. В некотором роде она отвечает традиции в математике обозначать специфичные объекты двойным начертанием.
Так, к примеру, прописная R могла бы быть переменной в математических записях. А вот R с двойным начертанием — уже специфический объект, которым обозначают множество действительных чисел.
Таким образом, «i» с двойным начертанием есть специфичный объект, который мы называем ImaginaryI. Вот как это работает:
Идея с двойным начертанием решает множество проблем.
В том числе и самую большую — интегралы. Допустим, вы пытаетесь разработать синтаксис для интегралов. Один из ключевых вопросов — что может означать «d» в интеграле? Что, если это параметр в подынтегральном выражении? Или переменная? Получается ужасная путаница.
Всё становится очень просто, если использовать DifferentialD или «d» с двойным начертанием. И получается хорошо определённый синтаксис.
Можно проинтегрировать x в степени d, деленное на квадратный корень от x+1. Вот как это работает:
Оказывается, что требуется всего лишь несколько маленьких изменений в основании математического обозначения, чтобы сделать его однозначным. Это удивительно. И весьма здорово. Потому что вы можете просто ввести что-то, состоящее из математических обозначений, в свободной форме, и оно будет прекрасно понято системой. И это то, что мы реализовали в Mathematica 3.
Конечно, чтобы всё работало так, как надо, нужно разобраться с некоторыми нюансами. К примеру, иметь возможность вводить что бы то ни было эффективным и легко запоминающимся путём., с помощью которой можно вводить явный верхний индекс. Та же идея для сочетания control — /, с помощью которого можно вводить «двухэтажную» дробь.
Наличие ясного набора принципов подобных этому важно для того, чтобы заставить всё вместе работать на практике. И оно работает. Вот как мог бы выглядеть ввод довольно сложного выражения:
Но мы можем брать фрагменты из этого результата и работать с ними.
И смысл в том, что это выражение полностью понятно для Mathematica, то есть оно может быть вычислено. Из этого следует, что результаты выполнения (Out) — объекты той же природы, что и входные данные (In), то есть их можно редактировать, использовать их части по отдельности, использовать их фрагменты в качестве входных данных и так далее.
Чтобы заставить всё это работать, нам пришлось обобщить обычные языки программирования и кое-что проанализировать. Прежде была внедрена возможность работать с целым «зоопарком» специальных символов в качестве операторов. Однако, вероятно, более важно то, что мы внедрили поддержку двумерных структур. Так, помимо префиксных операторов, имеется поддержка оверфиксных операторов и прочего.
Если вы посмотрите на это выражение, вы можете сказать, что оно не совсем похоже на традиционную математическую нотацию. Но оно очень близко. И оно несомненно содержит все особенности структуры и форм записи обычной математической нотации. И важная вещь заключается в том, что ни у кого, владеющим обычной математической нотацией, не возникнет трудностей в интерпретации этого выражения.
Конечно, есть некоторые косметические отличия от того, что можно было бы увидеть в обычном учебнике по математике. К примеру, как записываются тригонометрические функции, ну и тому подобное.
Однако я готов поспорить, что StandardForm в Mathematica лучше и яснее для представления этого выражения. И в книге, которую я писал много лет о научном проекте, которым я занимался, для представления чего бы то ни было я использовал только StandardForm.
Однако если нужно полное соответствие с обычными учебниками, то понадобится уже что-то другое. И вот другая важная идея, реализованная в Mathematica 3: разделить StandardForm и TraditionalForm.
Любое выражение я всегда могу сконвертировать в TraditionalForm.
И в действительности TraditionalForm всегда содержит достаточно информации, чтобы быть однозначно сконвертированным обратно в StandardForm.
Но TraditionalForm выглядит практически как обычные математические обозначения. Со всеми этими довольно странными вещами в традиционной математической нотации, как запись синус в квадрате x вместо синус x в квадрате и так далее.
Так что насчёт ввода TraditionalForm?
Вы могли заметить пунктир справа от ячейки [в других выводах ячейки были скрыты для упрощения картинок — прим. ред.]. Они означают, что есть какой-то опасный момент. Однако давайте попробуем кое-что отредактировать.
Мы прекрасно можем всё редактировать. Давайте посмотрим, что случится, если мы попытаемся это вычислить.
Вот, возникло предупреждение. В любом случае, всё равно продолжим.
Что ж, система поняла, что мы хотим.
Фактически, у нас есть несколько сотен эвристических правил интерпретации выражений в традиционной форме. И они работают весьма хорошо. Достаточно хорошо, чтобы пройти через большие объёмы устаревших математических обозначений, определённых, скажем, в TEX, и автоматически и однозначно сконвертировать их в осмысленные данные в Mathematica.
И эта возможность весьма вдохновляет. Потому что для того же устаревшего текста на естественном языке нет никакого способа сконвертировать его во что-то значимое. Однако в математике есть такая возможность.
Конечно, есть некоторые вещи, связанные с математикой, в основном на стороне выхода, с которыми существенно больше сложностей, чем с обычным текстом. Часть проблемы в том, что от математики часто ожидают автоматической работы. Нельзя автоматически сгенерировать много текста, который будет достаточно осмысленным. Однако в математике производятся вычисления, которые могут выдавать большие выражения.
Так что вам нужно придумывать, как разбивать выражение по строкам так, чтобы всё выглядело достаточно аккуратно, и в Mathematica мы хорошо поработали над этой задачей. И с ней связано несколько интересных вопросов, как, например, то, что во время редактирования выражения оптимальное разбиение на строки постоянно может меняться по ходу работы.
И это значит, что будут возникать такие противные моменты, как если вы печатаете, и вдруг курсор перескакивает назад. Что ж, эту проблему, полагаю, мы решили довольно изящным образом. Давайте рассмотрим пример.
Вы видели это? Была забавная анимация, которая появляется на мгновение, когда курсор должен передвинуться назад. Возможно, вы её заметили. Однако если бы вы печатали, вы бы, вероятно, и не заметили бы, что курсор передвинулся назад, хотя вы могли бы её и заметить, потому что эта анимация заставляет ваши глаза автоматически посмотреть на это место. С точки зрения физиологии, полагаю, это работает за счёт нервных импульсов, которые поступают не в зрительную кору, а прямо в мозговой ствол, который контролирует движения глаз. Итак, эта анимация заставляет вас подсознательно переместить свой взор в нужное место.
Таким образом, мы смогли найти способ интерпретировать стандартную математическую нотацию. Означает ли это, что теперь вся работа в Mathematica должна теперь проводиться в рамках традиционных математических обозначений? Должны ли мы ввести специальные символы для всех представленных операций в Mathematica? Таким образом можно получить весьма компактную нотацию. Но насколько это разумно? Будет ли это читаемо?
Пожалуй, ответом будет нет.
Думаю, тут сокрыт фундаментальный принцип: кто-то хочет всё представлять в обозначениях, и не использовать ничего другого.
А кому-то не нужны специальные обозначения. А кто-то пользуется в Mathematica FullForm. Однако с этой формой весьма утомительно работать. Возможно, именно поэтому синтаксис языков наподобие LISP кажется столь трудным — по сути это синтаксис FullForm в Mathematica.
Другая возможность заключается в том, что всему можно присвоить специальные обозначения. Получится что-то наподобие APL или каких-то фрагментов математической логики. Вот пример этого.
Довольно трудно читать.
Вот другой пример из оригинальной статьи Тьюринга, в которой содержатся обозначения для универсальной машины Тьюринга, опять-таки — пример не самой лучшей нотации.
Она тоже относительно нечитабельная.
Вопрос заключается в том, что же находится между двумя такими крайностями, как LISP и APL. Думаю, эта проблема очень близка к той, что возникала при использовании очень коротких имён для команд.
К примеру, Unix. Ранние версии Unix весьма здорово смотрелись, когда там было небольшое количество коротких для набора команд. Но система разрасталась. И через какое-то время было уже большое количество команд, состоящих из небольшого количества символов. И большинство простых смертных не смогли бы их запомнить. И всё стало выглядеть совершенно непонятным.
Та же ситуация, что и с математической или другой нотацией, если на то пошло. Люди могут работать лишь с небольшим количеством специальных форм и символов. Возможно, с несколькими десятками. Соизмеримым с длиной алфавита. Но не более. А если дать им больше, особенно все и сразу, в голове у них будет полная неразбериха.
Это следует немного конкретизировать. Вот, к примеру, множество различных операторов отношений.
Но большинство из них по сути состоят из небольшого количества элементов, так что с ними проблем быть не должно.
Конечно, принципиально люди могут выучить очень большое количество символов. Потому что в языках наподобие китайского или японского имеются тысячи иероглифов. Однако людям требуется несколько дополнительных лет для обучения чтению на этих языках в сравнении с теми, которые используют обычный алфавит.
Если говорить о символах, кстати, полагаю, что людям гораздо легче справится с какими-то новыми символами в качестве переменных, нежели в качестве операторов. И весьма занятно рассмотреть этот вопрос с точки зрения истории.
Один из наиболее любопытных моментов — во все времена и практически без исключения в качестве переменных использовались лишь латинские и греческие символы. Ну, Кантор ввёл алеф, взятый из иврита, для своих кардинальных чисел бесконечных множеств. И некоторые люди утверждают, что символ частной производной — русская д, хотя я думаю, что на самом деле это не так. Однако нет никаких других символов, которые были бы заимствованы из других языков и получили бы распространение.
Кстати, наверняка вам известно, что в английском языке буква «e» — самая популярная, затем идёт «t«, ну и так далее. И мне стало любопытно, каково распределение по частоте использования букв в математике. Потому я исследовал сайт MathWorld, в котором содержится большое количество математической информации — более 13 500 записей, и посмотрел, каково распределение для различных букв [к сожалению, эту картинку, сделанную Стивеном, не удалось осовременить — прим. ред.].
Можно увидеть, что «e» — самая популярная. И весьма странно, что «a» занимает второе место. Это очень необычно. Можно увидеть, что строчная π — наиболее популярная, за которой идут θ, α, φ, μ, β и так далее. А среди прописных самые популярные — Γ и Δ.
Хорошо. Я немного рассказал об обозначениях, которые в принципе можно использовать в математике. Так какая нотация лучше всего подходит для использования?
Большинство людей, использующих математическую нотацию, наверняка задавались этим вопросом. Однако для математики нет никакого аналога, подобного «Современному использованию английского языка» Фаулера для английского языка. Была небольшая книжка под названием Математика в печати, изданная AMS, однако она в основном о типографских приёмах.
В результате мы не имеем хорошо расписанных принципов, аналогичным вещам наподобие инфинитивов с отдельными частицами в английском языке.
Если вы используете StandardForm в Mathematica, вам это больше не потребуется. Потому что всё, что вы введёте, будет однозначно интерпретировано. Однако для TraditionalForm следует придерживаться некоторых принципов. К примеру, не писать , потому что не совсем ясно, что это означает.
Чтобы закончить, позвольте мне рассказать немного о будущем математической нотации.
Какой, к примеру, должна бы быть новая нотация?
В какой-нибудь книге символов будет содержаться около 2500 символов, популярных в тех или иных областях и не являющимися буквами языков. И с правильным написанием символов, многие из них могли бы идеально сочетаться с математическими символами.
Для чего же их использовать?
Первая приходящая на ум возможность — нотация для представления программ и математических операций. В Mathematica, к примеру, представлено довольно много текстовых операторов, используемых в программах. И я долгое время считал, что было бы здорово иметь возможность использовать для них какие-то специальные символы вместо комбинаций обычных символов ASCII [последние версии Mathematica полностью поддерживают Unicode — прим. ред.].
Оказывается, иногда это можно реализовать весьма просто. Поскольку мы выбрали символы ASCII, то часто можно получить некоторые символы, очень близкие по написанию, но более изящные. К примеру, если в Mathematica набрать ->, то эта стрелочка автоматически превратиться в более изящную . И это всё реализуемо за счёт того, что парсер в Mathematica может работать в том числе и со специальными символами.
Я часто размышлял о том, как бы расширить всё это. И вот, постепенно появляются новые идеи. Обратите внимание на знак решётки #, или номерной знак, или, как его ещё иногда называют, октоторп, который мы используем в тех местах, в которые передаётся параметр чистой функции. Он напоминает квадрат с щупальцами. И в будущем, возможно, он будет обозначаться симпатичным квадратиком с маленькими засечками, и будет означать место для передачи параметра в функцию. И он будет более гладким, не похожим на фрагмент обычного кода, чем-то вроде пиктограммы.
Насколько далеко можно зайти в этом направлении — представлении вещей в визуальной форме или в виде пиктограмм? Ясно, что такие вещи, как блок-схемы в инженерии, коммутативные диаграммы в чистой математике, технологические схемы — все хорошо справляются со своими задачами. По крайней мере до настоящего момента. Но как долго это может продолжаться?
Не думаю, что уж очень долго. Думаю, некоторые приближаются к некоторым фундаментальным ограничениям людей в обработке лингвистической информации.
Когда языки более или менее контекстно-свободные, имеют древовидную структуру, с ними можно многое сделать. Наша буферная память из пяти элементов памяти и что бы то ни было спокойно сможет их разобрать. Конечно, если у нас будет слишком много вспомогательных предложений даже на контекстно-свободном языке, то будет вероятность исчерпать стековое пространство и попасть впросак. Но, если стек не будет заходить слишком глубоко, то всё будет работать как надо.
Но что насчёт сетей? Можем ли мы понимать произвольные сети? Я имею в виду — почему у нас должны быть только префиксные, инфиксные, оверфиксные операторы? Почему бы операторам не получать свои аргументы через какие-то связи внутри сети?
Меня особенно интересовал этот вопрос в контексте того, что я занимался некоторыми научными вопросами касательно сетей. И мне действительно хотелось бы получить некоторое языковое представление для сетей. Но не смотря на то, что я уделил этому вопросу довольно много времени — не думаю, что мой мозг смог бы работать с подобными сетями так же, как с обычными языковыми или математическими конструкциями, имеющими одномерную или двумерную контекстно-свободную структуру. Так что я думаю, что это, возможно, то место, до которого нотация не сможет добраться.
Вообще, как я упоминал выше, это частый случай, когда язык или нотация ограничивают наше пространство мыслимого.
Итак, что это значит для математики?
В своём научном проекте я разрабатывал некоторые основные обобщения того, что люди обычно относят к математике. И вопрос в том, какие обозначения могут быть использованы для абстрактного представления подобных вещей.
Что ж, я не смог пока что полностью ответить на этот вопрос. Однако я обнаружил, что, по крайней мере в большинстве случаев, графическое представление или представление в виде пиктограмм гораздо эффективнее обозначений в виде конструкций на обычных языках.
Возвращаясь к самому началу этого разговора, ситуация напоминает то, что происходило тысячи лет в геометрии. В геометрии мы знаем, как представить что-то в графическом виде. Ещё со времён древнего Вавилона. И чуть более ста лет назад стало ясно, как можно формулировать геометрические задачи с точки зрения алгебры.
Однако мы всё ещё не знаем простого и ясного способа представлять геометрические схемы в обозначениях на естественном языке. И моя догадка состоит в том, что практически все эти математические вещи лишь в небольшом количестве могут быть представлены в обозначениях на естественном языке.
Однако мы — люди — легко воспринимаем лишь эти обозначения на естественном языке. Так что мы склонны изучать те вещи, которые могут быть представлены этим способом. Конечно, подобные вещи не могут быть тем, что происходит в природе и вселенной.
Но это уже совсем другая история. Так что я лучше закончу на этом.
Большое спасибо.
В ходе обсуждения после выступления и во время общения с другими людьми на конференции возникло несколько моментов, которые следовало бы обсудить.
Эмпирические законы для математических обозначений
При изучении обычного естественного языка были обнаружены различные историко-эмпирические законы. Пример —
Закон Гримма, которые описывает переносы в согласных на индоевропейских языках. Мне было любопытно, можно ли найти подобные историко-эмпирические законы для математического обозначения.
Дана Скотт предложила такой вариант: тенденция к удалению явных параметров.
Как пример, в 60 годах 19 века часто каждый компонент вектора именовался отдельно. Но затем компоненты стали помечать индексами — как ai. И вскоре после этого — в основном после работ Гиббса — векторы стали представлять как один объект, обозначаемый, скажем, как или a.
С тензорами всё не так просто. Нотацию, избегающую явных индексов, обычно называют координатно-свободной. И подобная нотация — частое явление в чистой математике. Однако в физике данный подход считается слишком абстрактным, потому явные индексы используются повсеместно.
В отношении функций так же имеется тенденция явно не упоминать параметры. В чистой математике, когда функции рассматриваются через сопоставления, они часто упоминаются лишь по своему имени — просто f, без каких-либо параметров.
Однако это будет хорошо только тогда, когда у функции только один параметр. Когда параметров несколько, обычно становится непонятно, как будут работать те потоки данных, которые ассоциированы с параметрами.
Однако, ещё в 20-х годах 20 века было показано, что можно использовать так называемые комбинаторы для определения подобных потоков данных без какого-либо явного указания параметров.
Комбинаторы не использовались в основных течениях математики, однако время от времени становились популярными в теории вычислений, хотя их популярность заметно поубавилась из-за несовместимости с идеей о типах данных.
Комбинаторы довольно легко задать в Mathematica через задание функции с составным заголовком. Вот как можно определить стандартные комбинаторы:
k[x_][y_]:=i x
s[x_][y_][z_]:= x[z][y[z]]
Если определить целое число n, по сути, в унарной системе, используя Nest[s[s[k[s]][k]],k[s[k][k]],n], то тогда сложение можно будет определить как s[k[s]][s[k[s[k[s]]]][s[k[k]]]], умножение как s[k[s]][k], а степень — s[k[s[s[k][k]]]][k]. Никакие переменные не требуются.
Проблема заключается в том, что выражения получаются непонятными, и с этим ничего не поделать. Я пытался найти какие-то способы для более ясного представления их и сопряжённых с ними вычислений. Я добился небольшого прогресса, однако нельзя сказать, что задача была решена.
Печатные обозначения против экранных
Некоторые спрашивали о разнице в возможностях печатных и экранных обозначений.
Чтобы можно было понимать обозначения, они должны быть похожими, и разница между ними не должна быть очень большой.
Но есть некоторые очевидные возможности.
Во-первых, на экране легко можно использовать цвет. Можно было бы подумать, что было каким-то образом удобно использовать разные цвета для переменных. Мой опыт говорит о том, что это удобно для разъяснения формулы. Однако всё станет весьма запутанным, если, к примеру, красному x и зелёному x будут соответствовать разные переменные.
Другая возможность состоит в том, чтобы иметь в формуле какие-то анимированные элементы. Полагаю, что они будут столь же раздражающими, как и мигающий текст, и не будут особо полезными.
Пожалуй, идея получше — иметь возможность скрывать и разворачивать определённые части выражения — как группы ячеек в ноутбуке Mathematica. Тогда будет возможность сразу получить представление обо всём выражении, а если интересны детали, то разворачивать его далее и далее.
Письменные обозначения
Некоторые могли бы подумать, что я уж слишком много времени уделил графическим обозначениям.
Хотелось бы прояснить, что я нахожу довольно затруднительным графические обозначения обычных математических действий и операций. В своей книге A New Kind of Science я повсеместно использую графику, и мне не представляется никакого другого способа делать то, что я делаю.
И в традиционной науке, и в математике есть множество графических обозначений, которые прекрасно работают, пускай и в основном для статичных конструкций.
Теория графов — очевидный пример использования графического представления.
К ним близки структурные диаграммы из химии и диаграммы Фейнмана из физики.
В математике имеются методы для групповых теоретических вычислений, представленные отчасти благодаря Предрагу Цвитановицу, и вот они основаны на графическом обозначении.
И в лингвистике, к примеру, распространены диаграммы для предложений, показывающие дерево лингвистических компонентов и способы их группировки для образования предложения.
Все эти обозначения, однако, становятся малопригодными в случаях исследования каких-то очень крупных объектов. Однако в диаграммах Фейнмана обычно используется две петли, а пять петель — максимум, для которого когда-либо были сделаны явные общие вычисления.
Шрифты и символы
Я обещал рассказать кое-что о символах и шрифтах.
В Mathematica 3 нам пришлось проделать большую работу чтобы разработать шрифты для более чем 1100 символов, имеющих отношение к математической и технической нотации.
Получение правильной формы — даже для греческих букв — часто было достаточно сложным. С одной стороны, мы хотели сохранить некоторую традиционность в написании, а с другой — сделать греческие буквы максимально непохожими на английские и какие бы то ни было другие.
В конце концов я сделал эскизы для большинства символов. Вот к чему мы пришли для греческих букв. Мы разработали Times-подобный шрифт, моноширинный наподобие Courier, а сейчас разрабатываем sans serif. Разработать шрифт Courier было непростой задачей. Нужно, к примеру, было придумать, как сделать так, чтобы йота занимала весь слот под символ.
Так же сложности были со скриптовыми и готическими (фактурными) шрифтами. Часто в этих шрифтах буквы настолько непохожи на обычные английские, что становятся абсолютно нечитаемыми. Мы хотели, чтобы эти шрифты вписывались в соответствующую им тему, и, тем не менее, обладали бы теми же габаритами, что и обычные английские буквы.
Вот, что у нас получилось:
Веб сайт fonts.wolfram.com, в котором собрана вся детальная информация о символах и шрифтах, разумеется, если они имеют отношение к Mathematica и её шрифтам.
Поиск математических формул
Некоторые люди спрашивали о поиске математических формул [после создания Wolfram|Alpha появился гигантский объем баз данных, доступных в языке Wolfram Language, теперь можно получить огромный массив информации о любых формулах с помощью функции
MathematicalFunctionData— прим. ред.].
Очевидно легко сказать, что же такое поиск обычного текста. Единственная вопрос заключается в эквивалентности строчных и прописных букв.
Для математических формул всё сложнее, потому что есть ещё много различных эквивалентностей. Если спрашивать о всех возможных эквивалентностях, то всё станет слишком сложным. Но, если спросить об эквивалентностях, которые просто подразумевают замену одной переменной другой, то всегда можно определить, эквивалентны ли два выражения.
Однако, для этого потребуется мощь обнаружителя одинаковых паттернов Mathematica.
Мы планируем встроить возможности по поиску формул в наш сайт functions.wolfram.com, однако тут я не буду останавливаться на подробностях.
Невизуальные обозначения
Кто-то спрашивал о невизуальных обозначениях.
Первая мысль, которая у меня возникла, заключалась в том, что человеческое зрение даёт гораздо больше информации, чем, скажем, слух. В конце концов, с нашими глазами соединён миллион нервных окончаний, а с ушами лишь 50 000.
В Mathematica встроены возможности по генерации звуков начиная со второй версии, которая была выпущена в 1991 году. И были некоторые моменты, когда эта функция оказывалась полезной для понимания каких-то данных.
Однако я никогда не находил подобную функцию полезной для чего-то, связанного с обозначениями.
Доказательства
Кто-то спрашивал о представлении доказательств.
Самая большая проблема заключается в представлении длинных доказательств, которые были автоматически найдены с помощью компьютера.
Большое количество работы было проделано для представления доказательств в Mathematica. Примером является проект Theorema.
Самые сложные для представления доказательства — скажем, в логике — представляют из себя некоторую последовательность преобразований. Вот пример такого доказательства:
Даны аксиомы Шеффера для логики (f это NAND):
{f[f[a,a],f[a,a]]==a,f[a,f[b,f[b,b]]]==f[a,a], f[f[a,f[b,c]],f[a,f[b,c]]]==f[f[f[b,b],a],f[f[c,c],a]]}
Доказать коммутативность, то есть что f[a,b]==f[b,a]:
Замечание (a b) есть Nand[a,b]. В этом доказательстве L == лемма, A == аксиома, и T == теорема.
Отбор символов
Я хотел бы кое-что рассказать о выборе символов для использования в математической нотации.
Существует около 2500 часто используемых символов, которые не встречаются в обычном тексте.
Некоторые из них слишком картинны — скажем, обозначение для хрупких предметов. Некоторые слишком витиеватые. Некоторые полны чёрной заливки, так что они будут слишком сильно выделяться на странице (символ радиации, например).
Но некоторые могут быть вполне приемлемыми.
Если заглянуть в историю, часто можно наблюдать картину, как со временем написание некоторых символов упрощается.
Особой проблемой, с которой я не так давно столкнулся, был выбор хорошего обозначения для таких логических операций, как NAND, NOR, XOR.
В литературе по логике NAND обозначается по-разному:
Ни одно из этих обозначений мне особо не нравилось. В основном они наполнены тонкими линиями и недостаточно цельны для того, чтобы представлять бинарные операторы. Однако они передают своё содержание.
Я пришёл к следующему обозначению для оператора NAND, который основан на стандартном, однако имеющим улучшенную визуальную форму. Вот текущая версия того, к чему я пришёл:
Частотное распределение символов
Я упоминал о частотном распределении греческих букв в MathWorld.
В дополнение к этому я также посчитал количество различных объектов, именуемых с помощью букв, которые появляются в словаре физических терминов и математических сокращений. Вот результаты.
В более ранних образцах математической нотации, скажем, в 17 веке, обычные слова шли вперемешку с различными символами.
Однако всё более в таких сферах, как математика и физика, проявлялась тенденция к исключению слов из обозначений и именования переменных одной или двумя буквами.
В некоторых областях инженерии и социальных наук, куда математика дошла не так давно и не является слишком абстрактной, обычные слова гораздо чаще можно встретить в качестве имён переменных.
Та же история с современными тенденциями в программировании. И всё работает хорошо, пока формулы достаточно просты. Однако по мере усложнения формул нарушается их визуальный баланс, и становится уже сложно разглядеть их общую структуру.
Части речи в математической нотации
В разговоре о соответствии языка математики и обычного языка я хотел упомянуть вопрос частей речи.
Насколько я знаю, во всех обычных языках есть глаголы и существительные, и в большинстве из них есть прилагательные, наречия и др.
В математической нотации можно представлять переменные как существительные и глаголы как операторы.
А что насчёт других частей речи?
Вещи наподобие иногда играют роль союзов, как и в обычных языках (примечательно, что во всех языках есть отдельные слова для AND и OR, однако ни в одном нет слова для NAND). А в качестве префиксного оператора может рассматриваться как прилагательное.
Однако не до конца ясно, в какой мере различные виды лингвистических структур, связанные с частями речи на обычном языке, отражены в математическом обозначении.
По вопросам о технологиях Wolfram пишите на [email protected]
Условные обозначения по системе Брайля при обучении математике и языку: практическое пособие
Условные обозначения по системе Брайля при обучении математике и языку: практическое пособие
By Инна Леонтьевна Лукша (Башкирова) and Владимир Викторович Гордейко
Abstract
В пособии дается характеристика письма рельефно-точечным шрифтом Луи Брайля, раскрывается система брайлевских обозначений, используемая при обучении незрячих школьников русскому и белорусскому языкам, математике. Адресуется студентам факультета специального образования, педагогам, работающим с незрячими детьми
Topics: издания БГПУ, незрячие школьники, рельефно-точечный шрифт Луи Брайля, математическая символика, условные обозначения при изучении языка
Publisher: БГПУ
Year: 2010
OAI identifier: oai:localhost:doc/4402
Некоторые символы математического языка — урок. Алгебра, 8 класс.
Натуральные числа — это числа, используемые для счёта предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов.
ℕ — обозначение множества всех натуральных чисел.ℤ — множество целых чисел. Оно состоит из натуральных чисел, им противоположных и нуля.
Пример:
\(…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …\)
ℚ — множество рациональных чисел.
Оно получается из множества целых чисел, если к ним добавить обыкновенные дроби: 13,5152,−85….
Множество ℚ рациональных чисел — это множество, состоящее из чисел вида mn;−mn (где \(m\), \(n\) — натуральные числа) и числа \(0\).
Очевидно, ℕ — составной компонент множества ℤ, а ℤ — составной компонент множества ℚ. Обозначается это так: ℕ⊂ℤ;ℤ⊂ℚ.
⊂ — знак включения.
Запись x∈X показывает, что \(x\) — элемент множества \(X\).
Запись A⊂B показывает, что множество \(A\) — часть множества \(B\). Говорят: \(A\) — подмножество множества \(B\).
Для записи, что элемент \(x\) не принадлежит множеству \(X\) или что множество \(A\) не является подмножеством множества \(B\), используют символы принадлежности, перечёркнутые чертой: x∉X,A⊄B.
Данные математические символы используют для компактной записи верных математических утверждений, называемых истинными высказываниями.
Пример:
7∈ℕ;7∈ℤ;7∈ℚ;−5∉ℕ;ℕ⊂ℚ;ℤ⊄ℕ;2∈1;6;1;3⊂−2;8.
Каждое рациональное число может быть записано десятичной дробью (конечной или бесконечной периодической):
722=0,3181818…=0,3(18);4=4,000…=4,(0);7,3777=7,37770000…=7,3777(0).
Обратное утверждение также верно: каждую бесконечную десятичную периодическую дробь можно записать обыкновенной дробью. Следовательно, любая бесконечная десятичная периодическая дробь является рациональным числом.
Переведём бесконечную десятичную периодическую дробь 4,5(28) в обыкновенную дробь.
Пусть \(x=\) 4,5(28), т. е. \(x=\) 4,5282828… и т.д.
Сначала нужно передвинуть запятую, чтобы она стояла перед периодом. Для этого число \(x\) умножим на \(10\). Получим 10x=45,282828… и т.д.
Теперь передвинем запятую так, чтобы она стояла после периода. Для этого число \(x\) умножим на \(1000\). Получим 1000x=4528,282828… и т.д.
Вычтем из второго равенства первое равенство.
1000x=4528,282828…10x=45,282828…
990x=4483¯
Отсюда x=4483990=4523990.
Приведём примеры перевода бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную в сокращённой записи.
Пример:
1,(23)=123−199=12299=12399;1,5(23)=1523−5990=1518990=1259495.
Почему нам не прожить без ноля, и что это число дало человечеству
- Ханна Фрай
- для BBC Future
Автор фото, iStock
Математик Ханна Фрай рассказывает захватывающую историю открытия числа ноль и объясняет, почему без него мы не смогли бы предсказывать будущее.
В основе науки, техники и математики лежит ничто — вернее, ноль.
Это дерзкая и влиятельная цифра вызвала больше споров и восторгов, чем любой другой известный мне математический знак.
Начнем с того, что оно позволяет нам предсказывать будущее. Но чтобы узнать причину этого и понять всю силу ноля, необходимо сначала ознакомиться с историей его появления и становления, ведь путь ноля к величию был очень непростым.
Ноль как понятие встречается уже с древних времен — его можно найти в памятниках культуры вавилонян и майя, использовавших эту цифру для расчета календаря.
Древние ученые пользовались им для обозначения отсутствия числа, как это делаем мы в числах наподобие 101 или 102, чтобы показать, что в разряде десятков нет числа, кратного 10. Вавилоняне же для этого использовали два клиновидных знака.
Автор фото, Wikipedia
Подпись к фото,Вавилонский символ, означавший отсутствие числа
Тем не менее прошло целых два тысячелетия, прежде чем ноль, при всей его математической значимости, стали воспринимать как настоящее число. И случилось это в Индии.
По словам писателя-математика Алекса Беллоса, Индия была для этого идеальным местом.
«Глубоко в индийской культуре заложена идея о том, что ничто — это на самом деле что-то, — говорит он. — Если есть «нирвана», то есть состояние небытия, отсутствия тревог и желаний, то почему бы не придумать символ для обозначения «ничего»?
Этот символ получил название «шунья», и сегодня это слово используется для обозначения и понятия «ничто», и нуля как числа.
Несмотря на то, что форма всех других цифр, используемых нами сегодня, существенно изменилась за время их существования, ноль всегда обозначали окружностью.
До того как я начала (в рамках подготовки к программе «Любопытные истории Резерфорда и Фрай») подробно изучать историю возникновения ноля, я всегда считала, что отсутствие чего-либо символизирует именно пустое пространство внутри круга.
Однако, согласно индийской мифологии, ноль круглый потому, что символизирует жизненный цикл, или, как его еще называют, «змею вечности».
Автор фото, iStock
Подпись к фото,Влияние ноля на развитие нашего общества сложно переоценить
В становлении ноля важную роль сыграл индийский астроном Брахмагупта, живший в 7 веке н.э. В математике шунья использовалась не только для обозначения отсутствия числа в какой-либо позиции, но и для расчетов, как и любое другое число.
Его можно было прибавлять и отнимать, а также умножать на него.
Что касается деления на ноль, этот вопрос остается довольно сложным, но именно эта сложность способствовала возникновению совершенно нового замечательного раздела математики.
Однако об этом мы поговорим чуть позже.
Закрепив свое присутствие в Южной Азии, ноль отправился на Ближний Восток, где был взят на вооружение исламскими учеными, которые сделали его частью используемой нами сегодня арабской системы счисления.
(Некоторые историки считают, что индийское происхождение ноля незаслуженно игнорируется, и эту систему все же следует называть индо-арабской).
Тем не менее после столь блестящего в духовном и интеллектуальном смысле начала нолю пришлось очень непросто.
Он попал в Европу во времена христианских крестовых походов против ислама. Любые идеи арабов, даже в математике, встречались с неизменным скептицизмом и недоверием.
В 1299 году ноль, равно как и все остальные арабские цифры, был запрещен во Флоренции. Произошло это потому, что ноль считали находкой для мошенников.
Его легко было исправить на девять или, например, добавить пару нолей к сумме расписки, чтобы увеличить сумму долга.
Более того, считалось, что ноль создает опасный прецедент, ведь само его существование предполагает существование отрицательных чисел, что, в свою очередь, ведет к признанию таких понятий как долг и заимодавство.
Нулевой триумф
Невероятно, но факт: ноль, как и другие арабские цифры, получил окончательное признание лишь в XV веке.
Для сравнения приведем простой пример: к тому времени Оксфордский университет в Англии существовал уже несколько веков, а в Европе вовсю развивалось книгопечатание.
Без сомнения, и то, и другое помогло такому понятию, как ноль, навсегда закрепиться в математике. Именно благодаря ему были созданы самые удивительные научные и технологические методы, которыми мы пользуемся сегодня.
Автор фото, Getty Images
Подпись к фото,Сегодня ноль используется повсеместно, но когда-то он был спорным понятием
Настоящий триумф этой цифры пришелся на XVII век, когда она стала основой для системы координат, изобретенной французским философом Декартом (все мы помним графики с осями x and y, которые рисовали в школе).
Его система до сих пор используется в различных областях науки, от техники до компьютерной графики.
Об этом чрезвычайно красиво сказал Беллос: «Искру Возрождения зажег приход арабской системы счисления и, в частности, ноля. Когда это произошло, черно-белый мир арифметики вдруг заиграл разными красками и цветами».
Впрочем, в эпоху Возрождения ноль приобрел такой большой вес, что вновь стал причиной разногласий.
Ранее я уже упоминала проблему деления на ноль. Еще более спорный вопрос о том, можно ли ноль делить на ноль, является основой для одного из моих любимейших разделов математики — математического анализа.
Математический анализ — это математика изменений. Благодаря ему у нас есть хитрые приемы, позволяющие предугадать то, что случится в будущем — от темпов распространения Эболы до колебаний на рынке ценных бумаг. Это и вправду очень мощный инструмент.
То, как функционирует математический анализ, можно описать одним абзацем. Представьте, что вы нарисовали график изменения какой-либо величины с течением времени — например, вашего внимания по мере прочтения этой статьи.
Иногда вы можете отвлекаться (на отрывке про декартову систему координат, например), и поэтому линия графика будет неровной.
Но если любой отрезок этой кривой увеличить достаточно сильно, он будет выглядеть как прямая линия.
Увеличьте его еще больше, до тех пор пока отрезки кривой не станут бесконечно малыми и приближающимися к нолю, и тогда даже самая непредсказуемая зависимость превратится в аккуратные прямые линии, которые очень легко обработать при помощи математических методов.
Математический анализ можно использовать для описания практически любых изменений, от колебаний курсов акций до усваивания лекарственного препарата в организме человека.
Без понятия ноля как числа это было бы невозможно.
Поэтому давайте поднимем бокал с идеально сферическими пузырьками за самое округлое и всесильное число в истории.
О-большое и связанные с ним обозначения
Пауль Бахман
Эдмунд Ландау
Здесь Вы найдете различные общепринятые обозначения (“О” большое и связанные с ним обозначения), введенные Паулем Бахманом и Эдмундом Ландау.
Бесконечные пределы
Самым распространенным случаем является употребление этих обозначений при . Мы сначала рассмотрим именно это.
Обозначение при означает, что при достаточно больших функция удовлетворяет условию , где — некоторая положительная постоянная.
Точнее, при , если существуют такие положительные постоянные и , что для всех , которые удовлетворяют условию .
Тогда как запись через “О” большое означает ограниченность сверху, обозначение означает ограниченность снизу. Опять же рассмотрим поведение функции на бесконечности. Говорят, что при , если существуют такие положительные постоянные и , что для любого .
Обозначение означает, что одновременно и .
Осталось еще два обозначения: (греческая буква омикрон) и (строчная греческая буква омега). Обозначение омикрон также называют “о” малым.
Говорят, что , если при частное стремится к нулю.
Говорят также, что , если это частное стремится к бесконечности.
Конечные пределы
Все приведенные выше идеи остаются практически теми же для конечных пределов, хотя технические детали определения и отличаются.
при , если существуют такие положительные постоянные и , что для всех , которые удовлетворяют условию .
при , если существуют такие положительные постоянные и , что для всех , которые удовлетворяют условию .
при , если при стремится к .
при , если при стремится к бесконечности.
Часто можно видеть такие утверждения, как без явных ограничений. В этих случаях необходимо из контекста определять, какой предел подразумевается.
Использование
Обозначение “O” большое является общепринятым и в математике, и в информатике. Однако некоторые другие обозначения являются общепринятыми только в одной из этих областей.
В информатике акцент делается почти всегда на поведение алгоритма с ростом размерности задачи , поэтому неявно считается, что стремится к бесконечности. Обозначения и гораздо чаще используются в информатике, чем в математике. Обозначение “о” малое в информатике используется редко.
В математике обозначение “О” большое является общим для бесконечных и конечных пределов. Обозначение “о” малое следующее по популярности. Обозначения и являются редкими.
Обозначение не является распространенным ни в информатике, ни в математике.
Источники: http://www.johndcook.com/asymptotic_notation.html
http://ru.wikipedia.org/wiki/«O»_большое_и_«o»_малое
| Знак | Значение | |
| = | равно | |
| ≡ | тождественно равно | |
| ≈ | приближённо равно | |
| ≠ | не равно | |
| < | меньше | |
| > | больше | |
| ≤ | меньше или равно | |
| ≥ | больше или равно | |
| + | плюс (знак сложения) | |
| % | процент | |
| — | минус (знак вычитания) | |
| * или x | знаки умножения (часто опускаются: а*b = axb = ab) | |
| m | масса | |
| : | знак деления | |
| аn | возведение числа а в степень n (n — показатель степени) | |
| знак квадратного корня (квадратный корень из числа а) | ||
| корень n-ой степени из числа а | ||
| ( ), [ ],{} | скобки (круглые, квадратные и фигурные — для обозначения последовательности действий) | |
| ┴ | перпендикулярно | |
| ║ | параллельно | |
| ~ | подобно | |
| ∆ | треугольник | |
| ‹ | угол | |
| ( | дуга | |
| 0 | градус | |
| ‘ | минута | |
| « | секунда | |
| const | константа (постоянная величина) | |
| π | отношение длины любой окружности к её диаметру | |
| e | основание натуральных логарифмов | |
| ∞ | бесконечность | |
| f(x) | функция независимого переменного (аргумента) х | |
| sin | синус | |
| cos | косинус | |
| tg | тангенс | |
| ctg | котангенс | |
| sec | секанс | |
| cosec | косеканс | |
| arcsin | арксинус | |
| arccos | арккосинус | |
| arctg | арктангенс | |
| arcctg | арккотангенс | |
| sh | синус гиперболический | |
| ch | косинус гиперболический | |
| th | тангенс гиперболический | |
| cth | котангенс гиперболический | |
| sch | секанс гиперболический | |
| csch | косеканс гиперболический | |
| Ig, ln | логарифмическая функция | |
| loga | логарифм по основанию а | |
| Igb | десятичный логарифм числа b | |
| Inb | натуральный (по основанию е) логарифм числа b | |
| lim | предел | |
| предел функции (выражения) при стремлении аргумента к величине а (а может быть ± ∞) | ||
| сумма | ||
| сумма последовательности членов An, где n — целое число (номер), которое может меняться от a до b (a и b — целые числа, могут быть a = — ∞, b = + ∞) | ||
| производная функции по аргументу (переменной) х | ||
| производная функции нескольких переменных по одному из них (частная производная) | ||
| интеграл функции (неопределённый) | ||
| определённый интеграл (в пределах от а до b; а и b могут быть: а = — ∞, b = + ∞) | ||
| i | мнимая единица | |
| a + bi | запись комплексного числа w (a — действительная часть, b — мнимая часть) | |
| R(w) | запись действительной части а | |
| Im(w) | запись коэффициента мнимой части b | |
| |w| | модуль комплексного числа w | |
| сопряжённое комплексное число ( = а -ib) | ||
| или a | обозначение вектора | |
| |a| | модуль (длина) вектора | |
| единичные векторы (орты) в трёхмерной декартовой системе координат | ||
| ax, ay, az | компоненты вектора а в декартовой системе координат | |
| скалярное произведение двух векторов (в декартовой системе координат) | ||
| векторное произведение векторов, в декартовой системе координат | ||
| оператор Гамильтона («набла») | ||
| оператор Лапласа («дельта») | ||
| grad | градиент скалярного поля | |
| div | дивергенция векторного поля | |
| n! =1•2•3•…•n | факториал — целое число (принимается, что 0! = 1) | |
| целая часть числа, антье |
Роль обозначений в математике
Aczel, A. D. (2015). Нахождение нуля . Нью-Йорк: Пэлгрейв Макмиллан.
Google Scholar
Барроу, Дж. Д. (2001). Книга ничего . Нью-Йорк: старинные книги.
Google Scholar
Билетч, Б. Д., Ю, Х. и Кей, К. Р. (2015). Анализ математической записи: хорошо это или плохо .Ворчестер: Ворчестерский политехнический институт.
Google Scholar
Браун, Дж. Р. (2008). Философия математики: современное введение в мир доказательств и иллюстраций . Абингдон: Рутледж.
Google Scholar
Каджори, Ф. (1913). История экспоненциальной и логарифмической концепций I. The American Mathematical Monthly, 20 , 5–14.
Google Scholar
Каджори, Ф. (1923). История обозначений математического анализа. Анналы математики, 25 (1), 1–46.
Google Scholar
Каджори, Ф. (1993). История математической записи . Минеола: Дувр.
Google Scholar
Селлуччи, К. (2009). Проблема универсального обобщения. Logique & Analyze, 205 , 3–20.
Селлуччи, К. (2013). Философия математики: начать все сначала. Исследования по истории и философии науки Часть A, 44 (1), 32–42.
Селлуччи, К. (2017). Решение математических задач или доказательство теорем ?. Основы науки, 22 (1), 183–199.
Селлуччи, К. (2018). Определение в математике. Европейский журнал философии науки, 8 (3), 605–629.
Селлуччи, К. (2019). Диаграммы по математике. Основы науки, 24 (3), 583–604.
Шатле, Г. (2000). Пространство фигур: философия, математика и физика . Чам: Спрингер.
Google Scholar
Шатле, Г. (2006). Переплетение сингулярности, диаграммы и метафоры. В С.Б. Даффи (ред.), Виртуальная математика: логика различия (стр.31–45). Манчестер: клинамен.
Google Scholar
Chrisomalis, S. (2010). Числовое обозначение: Сравнительная история . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
Google Scholar
Коливан, М. (2012). Введение в философию математики . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
Google Scholar
Конвей, Дж.Х. и Шипман Дж. (2013). Крайние доказательства I: иррациональность \ (\ sqrt {2} \). The Mathematical Intelligencer, 35 (3), 2–7.
Де Круз, Х., и де Смедт, Дж. (2013). Математические символы как эпистемические действия. Synthese, 190 , 3–19.
Google Scholar
де Фрейтас, Э., и Синклер, Н. (2014). Математика и тело: материальные затруднения в классе .Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
Google Scholar
Декарт Р. (1996). uvres . Париж: Врин.
Google Scholar
Девлин, К. (2013). Музыка математических игр. Американский ученый, 101 , 87–91.
Google Scholar
Диофант. (1893–1895). Opera omnia .Лейпциг: Тойбнер.
Dutilh Novaes, C. (2012). Формальные языки в логике: философский и когнитивный анализ . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
Google Scholar
Dutilh Novaes, C. (2013). Математические рассуждения и внешние символические системы. Logique et Analyze, 221 , 45–65.
Google Scholar
Эндертон, Х.Б. (1977). Элементы теории множеств . Нью-Йорк: Academic Press.
Google Scholar
Глейзер А. (1971). История двоичной и другой недесятичной системы счисления . Лос-Анджелес: Tomash Publishers.
Google Scholar
Грабинер Дж. (1974). Зависит ли математическая истина от времени? Американский математический ежемесячник, 81 , 354–365.
Google Scholar
Хербранд, Дж.(1971). Логические сочинения . Дордрехт: Спрингер.
Google Scholar
Ифрах, Г. (2000). Универсальная история чисел: от предыстории до изобретения компьютера . Нью-Йорк: Вили.
Google Scholar
Каплан Р. (2000). Ничто, что есть: естественная история нуля . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета.
Google Scholar
Кляйнер, И.(2007). История абстрактной алгебры . Чам: Биркхойзер.
Google Scholar
Лейбниц, Г. В. (1923–) Sämtliche Schriften und Briefe . Берлин: Academie Verlag.
Лейбниц, Г. У. (1971). Mathematische Schriften . Хильдесхайм: Олмс.
Google Scholar
Lengnink, K., & Schlimm, D. (2010). Изучение и понимание системы счисления: семантические аспекты представления чисел с образовательной точки зрения.В B. Löwe & T. Müller (Eds.), PhiMSAMP. Философия математики: Социологические аспекты и математическая практика (стр. 235–264). Лондон: Публикации колледжа.
Макбет Д. (2013). Причина письма. Logique et Analyze, 221 , 25–44.
Google Scholar
Мазур, Дж. (2014). Поучительные символы: краткая история математической записи и ее скрытых возможностей . Принстон: Издательство Принстонского университета.
Google Scholar
Меннингер, К. (1992). Числовые слова и цифровые символы: История чисел . Минеола: Дувр.
Google Scholar
Мескенс, А. (2010). Путешествующая математика — Судьба арифметики Диофанта . Чам: Спрингер.
Google Scholar
Montelle, C.(2011). «Символическая» история производной. В Д. Джардин и А. Шелл-Геллаш (ред.), Математические капсулы времени (стр. 151–158). Вашингтон: Математическая ассоциация Америки.
Google Scholar
Нетц Р. (1999). Формирование дедукции в греческой математике: исследование когнитивной истории . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
Google Scholar
Ньютон, И.(1967–1981). Математические статьи . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
Google Scholar
Пендер У., Сэдлер Д., Ши Дж. И Уорд Д. (2012). Кембридж 3-х единиц математики 11 год расширенная версия . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
Google Scholar
Пизано, Л. (2002). Liber abaci . Чам: Спрингер.
Google Scholar
Полиа, Г. (2004). Как решить: Новый аспект математического метода . Принстон: Издательство Принстонского университета.
Google Scholar
Сарториус фон Вальтерсхаузен, В. (1856 г.). Gauss zum Gedächtniss . Лейпциг: Хирцель.
Google Scholar
Шлим, Д.(2018a). Об нотации Фреге Begriffsschrift для логики высказываний: принципы проектирования и компромиссы. История и философия логики, 39 (1), 53–79.
Google Scholar
Шлим, Д. (2018b). Числа через цифры: определяющая роль вечных представлений. В С. Бангу (ред.), Натурализация логико-математических знаний: подходы из философии, психологии и когнитивных наук (стр.195–217). Нью-Йорк: Рутледж.
Google Scholar
Сейфе, К. (2000). Zero: Биография опасной идеи . Нью-Йорк: Викинг.
Google Scholar
Сен, С. К., и Агарвал, Р. П. (2016). Знаменательное открытие, ужасная пустота и окончательный разум . Лондон: Academic Press.
Google Scholar
Серфати, М.(2005). La révolution symbolique: Математическая конституция символики . Париж: Петра.
Google Scholar
ван дер Варден, Б. Л. (1976). Защита «шокирующей» точки зрения. Архив истории точных наук, 15 , 199–210.
Google Scholar
Веллеман, Д. Дж. (2017). Исчисление: строгий первый курс .Минеола: Дувр.
Google Scholar
Виете, Ф. (1646). Opera mathematica . Лейден: Ex Officina Bonaventurae и Abrahami Elzeviriorum.
Google Scholar
Уайтхед, А. Н. (2017). Введение в математику . Минеола: Дувр.
Google Scholar
Понимание математических терминов и обозначений
Примером этой стратегии в классе 7 года может быть привлечение учащихся к построению числовой строки (VCMNA242,
VCMNA247).
Сценарий
Раздайте учащимся веревку, полоски бумаги и зажимы (для прикрепления полосок бумаги к веревке).
Развитие числовой линии
Попросите учащихся написать числа на бумажных полосках и решить, где прикрепить веревку, начиная с 0, 1 и 2.
Обратите внимание, что полоски бумаги используются в том виде, в котором они висят. внизу под строкой, и несколько символов могут быть записаны на одной полосе, чтобы показать разные способы записи одного и того же числа (т.е., они расположены в одной точке на числовой прямой).
Попросите учащихся показать, где 1 ⁄ 2 , 2 ⁄ 2 , 3 ⁄ 2 , 4 ⁄ 2 будет на числовой строке:
1 / 2 нужна новая полоса
2 / 2 будет записан на той же полосе, что и 1
3 / 2 нуждается в новой полосе и может быть записан как 1 1 / 2
4 / 2 будет записано на той же полосе, что и 2
Повторите для других дробей, на этот раз для четвертей до 2 (т.е.е. 1 ⁄ 4 , 2 ⁄ 4 … 8 ⁄ 4 )
Продолжайте, пока студенты не отметят различные дроби на одной полосе (то же самое место на числовой прямой):
Пример правильной дроби: 1 / 2 , 2 / 4 , 4 / 8 и т. Д. («Эквивалентные дроби, семейство дробей»)
Примеры неправильных дробей и смешанных чисел: 1 1 / 2 , 3 / 2 , 6 / 4 , 1 2 / 4
Расширение действия
Это действие можно расширить, включив в него проценты и десятичные дроби:
1 / 2 , 50%, 0.5, 0,50, 0,500 находятся на той же полосе (на том же месте в числовой строке)
3 / 2 , 1 1 / 2 , 150%, 1,5, 1,50, 1,500
Это действие может также можно расширить, чтобы включить отрицательные целые и отрицательные рациональные числа:
— 1 / 2 , -2 / 4 , -3 / 6 , -0,5, -0,50, -0,500
-3 / 2 , –1 1 / 2 , -1.5, -1,50, -1,500
Обсуждение упрощения дроби
Обсудите со студентами, что «упрощение» дроби (например, 4 ⁄ 8 ) означает определение эквивалентной дроби, которая использует наименьший знаменатель, обычно первое число они написали на бумажной полоске (здесь 1 ⁄ 2 ).
Решение
Спросите учащихся: «Что больше: 3 ⁄ 6 или 4 ⁄ 8 ? »
Правильный ответ -« они такие же », но некоторые студенты говорят 4 ⁄ 8 , поскольку они отвлекаются на больший числитель и больший знаменатель.
Основы математической записи для машинного обучения
Последнее обновление 7 мая 2020 г.
Вы не можете избежать математических обозначений при чтении описаний методов машинного обучения.
Часто достаточно одного члена или одного фрагмента записи в уравнении, чтобы полностью разрушить ваше понимание всей процедуры. Это может быть очень неприятно, особенно для новичков в области машинного обучения из мира разработки.
Вы можете добиться больших успехов, если знаете несколько основных областей математической записи и некоторые приемы для работы с описанием методов машинного обучения в статьях и книгах.
В этом руководстве вы откроете для себя основы математической записи, с которыми вы можете столкнуться при чтении описаний методов машинного обучения.
После прохождения этого руководства вы будете знать:
- Обозначение для арифметики, включая вариации умножения, показателей, корней и логарифмов.
- Обозначение для последовательностей и наборов, включая индексацию, суммирование и членство в множестве.
- 5 Приемы, которые вы можете использовать, чтобы получить помощь, если вам не удается научиться использовать математические обозначения.
Начните свой проект с моей новой книги «Линейная алгебра для машинного обучения», включающей пошаговых руководств и файлов исходного кода Python для всех примеров.
Приступим.
- Обновление май / 2018 : добавлены изображения для некоторых примечаний, чтобы сделать объяснения более понятными.
Основы математической записи для машинного обучения
Фото Кристиана Коллинза, некоторые права защищены.
Обзор учебного пособия
Это руководство разделено на 7 частей; их:
- Разочарование в математической нотации
- Арифметическая запись
- Греческий алфавит
- Обозначение последовательности
- Установить обозначение
- Другое обозначение
- Получение дополнительной помощи
Есть ли другие области базовой математической записи, необходимые для машинного обучения, которые, по вашему мнению, я пропустил?
Дайте мне знать в комментариях ниже.
Нужна помощь с линейной алгеброй для машинного обучения?
Пройдите бесплатный 7-дневный ускоренный курс электронной почты (с образцом кода).
Нажмите, чтобы зарегистрироваться, а также получите бесплатную электронную версию курса в формате PDF.
Загрузите БЕСПЛАТНЫЙ мини-курс
Разочарование в математической нотации
Вы встретите математические обозначения, читая об алгоритмах машинного обучения.
Например, можно использовать обозначение:
- Опишите алгоритм.
- Опишите подготовку данных.
- Опишите результаты.
- Опишите испытательный жгут.
- Опишите последствия.
Эти описания могут быть в исследовательских статьях, учебниках, блогах и других местах.
Часто термины хорошо определены, но есть также нормы математической записи, с которыми вы, возможно, не знакомы.
Достаточно одного члена или одного уравнения, которое вы не понимаете, и ваше понимание всего метода будет потеряно. Я сам много раз страдал от этой проблемы, и это невероятно расстраивает!
В этом руководстве мы рассмотрим некоторые основные математические обозначения, которые помогут вам при чтении описаний методов машинного обучения.
Арифметическая запись
В этом разделе мы рассмотрим некоторые менее очевидные обозначения для базовой арифметики, а также несколько концепций, которые вы, возможно, забыли со школы.
Простая арифметика
Обозначения для основной арифметики такие же, как вы бы ее написали. Например:
- Сложение: 1 + 1 = 2
- Вычитание: 2-1 = 1
- Умножение: 2 x 2 = 4
- Деление: 2/2 = 1
У большинства математических операций есть родственная операция, выполняющая обратную операцию; например, вычитание — это обратное сложение, а деление — обратное умножению.
Алгебра
Мы часто хотим описать операции абстрактно, чтобы отделить их от конкретных данных или конкретных реализаций.
По этой причине мы видим интенсивное использование алгебры: то есть прописные и / или строчные буквы или слова для представления терминов или понятий в математической нотации. Также часто используются буквы греческого алфавита.
Каждое подполе математики может иметь зарезервированные буквы: это термины или буквы, которые всегда означают одно и то же. Тем не менее, алгебраические термины должны быть определены как часть описания, и если это не так, это может быть просто плохим описанием, а не вашей ошибкой.
Обозначение умножения
Умножение — это обычное обозначение, у него несколько коротких рук.
Часто для обозначения умножения используется маленький «x» или звездочка «*»:
Вы можете увидеть, что используется точечная нотация; например:
Это то же самое, что:
В качестве альтернативы, вы можете не видеть никаких операций и разделения пробелов между ранее определенными терминами; например:
Что опять же одно и то же.
Показатели степени и квадратные корни
Показатель степени — это число в степени.
Обозначение записывается как исходное число или основание со вторым числом или показателем степени, показанным в виде верхнего индекса; например:
Которая была бы рассчитана как 2, умноженная на себя 3 раза, или в кубе:
Число в степени 2 до называется его квадратом.
Квадрат числа можно инвертировать, вычислив квадратный корень. Это показано с использованием обозначения числа и с галочкой выше, я буду использовать здесь функцию «sqrt ()» для простоты.
Здесь мы знаем результат и показатель степени и хотим найти основание.
Фактически, операция корня может быть использована для инверсии любой экспоненты, просто так получилось, что квадратный корень по умолчанию предполагает показатель степени 2, представленный нижним индексом 2 перед отметкой квадратного корня.
Например, мы можем инвертировать кубирование числа, взяв кубический корень (обратите внимание, что 3 здесь не умножение, это запись перед галочкой в корне):
Логарифмы и е
Когда мы возводим 10 в целое число, мы часто называем это порядком величины.
Другой способ изменить эту операцию — вычислить логарифм результата 100, приняв за основу 10; в обозначениях это записывается как log10 ().
Здесь мы знаем результат и основание и хотим найти показатель степени.
Это позволяет нам очень легко перемещаться вверх и вниз по порядку величины. Логарифм в предположении, что основание 2 также широко используется, учитывая использование двоичной арифметики, используемой в компьютерах. Например:
Другой популярный логарифм — использовать натуральное основание e.Буква e зарезервирована и представляет собой специальное число или константу, называемую числом Эйлера (произносится как « oy-ler »), которое относится к значению с практически бесконечной точностью.
Возведение e в степень называется естественной экспоненциальной функцией:
Его можно инвертировать с помощью натурального логарифма, который обозначается как ln ():
Не вдаваясь в подробности, натуральный показатель степени и натуральный логарифм оказываются полезными в математике для абстрактного описания непрерывного роста некоторых систем, например.грамм. системы, которые растут экспоненциально, например сложные проценты.
Греческий алфавит
греческих букв используются в математических обозначениях переменных, констант, функций и т. Д.
Например, в статистике мы говорим о среднем, используя строчную греческую букву мю, а стандартное отклонение — как строчную греческую сигму. В линейной регрессии мы говорим о коэффициентах как о строчной букве бета. И так далее.
Полезно знать все прописные и строчные буквы греческого алфавита и знать, как их произносить.
Когда я был аспирантом, я напечатал греческий алфавит и приклеил его к монитору компьютера, чтобы запомнить. Полезный трюк!
Ниже представлен полный греческий алфавит.
Греческий алфавит, из Википедии
Страница Википедии под названием «Греческие буквы, используемые в математике, естествознании и инженерии» также является полезным руководством, поскольку на ней перечислены общие способы использования каждой греческой буквы в различных подполях математики и естествознания.
Обозначение последовательности
Нотациямашинного обучения часто описывает операцию над последовательностью.
Последовательность может быть массивом данных или списком терминов. й элемент последовательности a.-й элемент последовательности b.
Последовательность операций
Математические операции могут выполняться над последовательностью.
Две операции выполняются с последовательностями так часто, что у них есть свои собственные сокращения: сумма и умножение.
Суммирование последовательностей
Сумма по последовательности обозначается прописной греческой буквой сигма. Он задается переменной и началом суммирования последовательности под сигмой (например, i = 1) и индексом конца суммирования над сигмой (например, i = 1).грамм. п).
Это сумма последовательности от элемента 1 до элемента n.
Умножение последовательности
Умножение над последовательностью обозначается прописной греческой буквой «пи». Он задается так же, как суммирование последовательности с началом и концом операции под и над буквой соответственно.
Это произведение последовательности a, начиная с элемента 1, до элемента n.
Установить обозначение
Набор — это группа уникальных предметов.
Мы можем видеть обозначение набора, используемое при определении терминов в машинном обучении.
Набор цифр
Обычный набор, который вы можете увидеть, представляет собой набор чисел, например, термин, определенный как находящийся в наборе целых чисел или наборе действительных чисел.
Некоторые общие наборы чисел, которые вы можете увидеть, включают:
- Набор всех натуральных чисел: N
- Набор всех целых чисел: Z
- Набор всех действительных чисел: R
Есть другие наборы; см. Специальные наборы в Википедии.
При определении терминов мы часто говорим о реальных значениях или действительных числах, а не о значениях с плавающей запятой, которые на самом деле являются дискретными творениями для операций в компьютерах.
Установить членство
В определениях терминов часто можно увидеть членство в множестве. B
Узнайте больше о наборах в Википедии.
Другое обозначение
Есть и другие обозначения, с которыми вы можете столкнуться.
Кое-что из этого я пытаюсь изложить в этом разделе.
Обычно метод определяют в абстрактном виде, а затем определяют его снова как конкретную реализацию с отдельной нотацией.
Например, если мы оцениваем переменную x, мы можем представить ее, используя нотацию, изменяющую x; например:
Одна и та же нотация может иметь разное значение в другом контексте, например, для разных объектов или подполей математики.Например, часто путают | x |, что, в зависимости от контекста, может означать:
- | x |: абсолютное или положительное значение x.
- | x |: длина вектора x.
- | x |: мощность множества x.
В этом руководстве были рассмотрены только основы математической записи. Есть некоторые подполи математики, которые больше подходят для машинного обучения, и их следует рассмотреть более подробно. Их:
И, возможно, немного о многомерном анализе и теории информации.
Есть ли области математической записи, которые, по вашему мнению, отсутствуют в этом посте?
Дайте мне знать в комментариях ниже.
5 советов по работе с математическими обозначениями
В этом разделе перечислены некоторые советы, которые можно использовать, когда вы боретесь с математической записью в машинном обучении.
Подумайте об авторе
Люди написали статью или книгу, которую вы читаете.
Люди, которые могут ошибаться, делать упущения и даже сбивать с толку, потому что не до конца понимают, о чем пишут.
Немного ослабьте ограничения обозначений, которые вы читаете, и подумайте о намерениях автора. Что они пытаются донести?
Возможно, вы даже можете связаться с автором по электронной почте, в Twitter, Facebook, LinkedIn и т. Д. И попросить разъяснений. Помните, что ученые хотят, чтобы другие люди понимали и использовали их работу (в основном).
Проверить Википедию
В Википедии есть списки обозначений, которые могут помочь сузить смысл или цель обозначений, которые вы читаете.
Я рекомендую вам начать с двух мест:
Эскиз в коде
Математические операции — это просто функции над данными.
Сопоставьте все, что вы читаете, с псевдокодом с переменными, циклами for и т. Д.
Возможно, вы захотите использовать язык сценариев в процессе работы вместе с небольшими массивами надуманных данных или даже электронной таблицей Excel.
По мере того, как вы улучшаете свое чтение и понимание техники, ваш код-набросок техники будет иметь больше смысла, и в конце у вас будет мини-прототип, с которым можно поиграть.
Я никогда особо не критиковал этот подход, пока не увидел академический набросок очень сложной статьи в нескольких строках MATLAB с некоторыми надуманными данными. Это сбило меня с толку, потому что я считал, что система должна быть полностью закодирована и работать с «реальным» набором данных, и что единственный вариант — получить исходный код и данные. Я был очень неправ. Также, оглядываясь назад, парень был одаренным.
Сейчас я использую этот метод все время и наброски на Python.
Искать альтернативы
Есть уловка, которую я использую, когда пытаюсь понять новую технику.
Я нахожу и читаю все статьи, которые ссылаются на статью, которую я читаю, с использованием новой техники.
Чтение интерпретации и повторного объяснения техники другими учеными часто может прояснить мои недопонимания в исходном описании.
Но не всегда. Иногда это может замутить воду и ввести вводящие в заблуждение объяснения или новые обозначения. Но чаще всего это помогает. Вернувшись к исходной статье и перечитав ее, я часто нахожу случаи, когда в последующих статьях действительно были ошибки и неверное толкование исходного метода.
Задать вопрос
В Интернете есть места, где люди любят объяснять математику другим. Шутки в сторону!
Сделайте снимок экрана с обозначением, с которым вы боретесь, напишите полную ссылку или ссылку на него и разместите его и свою область непонимания на сайте вопросов и ответов.
Два отличных места для начала:
Каковы ваши приемы работы с математическими обозначениями?
Сообщите мне об этом в комментариях ниже?
Дополнительная литература
В этом разделе представлены дополнительные ресурсы по теме, если вы хотите углубиться.
Сводка
В этом руководстве вы открыли для себя основы математической записи, с которыми вы можете столкнуться при чтении описаний методов машинного обучения.
В частности, вы выучили:
- Обозначение для арифметики, включая вариации умножения, показателей, корней и логарифмов.
- Обозначение для последовательностей и множеств, включая индексацию, суммирование и членство в множестве.
- 5 Приемы, которые вы можете использовать, чтобы получить помощь, если вам не удается научиться использовать математические обозначения.
Вы боретесь с математической записью?
Помогли ли какие-либо обозначения или советы в этом сообщении?
Дайте мне знать в комментариях ниже.
Познакомьтесь с линейной алгеброй для машинного обучения!
Развивайте рабочее понимание линейной алгебры
… путем написания строк кода на Python
Узнайте, как это сделать, в моей новой электронной книге:
Линейная алгебра для машинного обучения
Он предоставляет самоучителей по таким темам, как:
векторные нормы, умножение матриц, тензоры, собственное разложение, SVD, PCA и многое другое…
И наконец разобраться в математике данных
Пропустить академики. Только результаты.
Посмотрите, что внутриМатематическая система обозначений нарушена — The Reflective Educator
Проведя последние десять лет, обучая студентов математической нотации (одновременно обучая математическим концепциям, описываемым этими символами), я часто размышлял о , насколько эффективным и удивительным является , и как, к сожалению, сломан, часто бывает.
Некоторые обозначения демонстрируют некоторую мощь математического мышления (например, алгебра), но некоторые обозначения явно не предназначены для ясности. На самом деле, я подозреваю, что большая часть математических обозначений была изобретена для экономии места.
Конечно, можно захотеть сэкономить место с помощью математических символов, потому что раньше бумага была дорогой, но я подозреваю, что это не основная причина, по которой математические символы так плотно упакованы информацией. Кроме того, использование более четких математических обозначений отнимает много времени, а математики любят быть краткими.На самом деле, я часто замечал, что математики часто приравнивают длину математического доказательства к его элегантности, что со временем могло оказать давление на сокращение обозначений, используемых для описания этих доказательств. Несколько математиков внесли большой вклад в математическую систему обозначений, в первую очередь Леонард Эйлер, и стремление этих немногих математиков к краткости определило обозначения, которые мы используем сегодня для коммуникационной математики.
Посмотрите, например, на сигма-нотацию. Какое отношение имеет буква «сигма» в греческом алфавите к нахождению суммы вещей? Абсолютно ничего, насколько я могу судить.Согласно Дэйву Рэдклиффу , сигма (∑) является сокращением от summa (вероятно, потому что они начинаются с одного и того же звука), что на латыни означает сумма. Эйлер изобрел символ для суммирования , и с тех пор мы используем его. По сути, мы используем ∑ для обозначения суммы по историческим причинам.
Часть этого уравнения слева от самого левого знака равенства представляет собой систему суммирования, которой я учил много лет. Обычно мне приходится проводить урок, иногда два, чтобы объяснить этот конкретный набор обозначений.Краткость обозначений суммирования мало способствует пониманию этого утверждения. По сути, это эквивалентно следующему:
Суммирование (i, 3, 6, i 2 ) = 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 = 86
К сожалению, эта запись требует, чтобы мы запомнили порядок параметров в функции суммирования, но функционально она такая же, как и предыдущая, за исключением того, что нам дается еще одна информация; мы знаем, что будем делать какую-то сумму без необходимости запоминать значение сигмы.Поработав, мы сможем еще больше улучшить эту нотацию и обеспечить еще большую ясность.
Суммирование (индекс: i, начало: 3, конец: 6, функция: i2) = 32 + 42 + 52 + 62 = 86
Эта нотация несколько более ясна по сравнению со вторым вариантом, который я предложил, поскольку параметры определены внутри нотации. Запись занимает значительно больше времени, чем исходная нотация (занимает вдвое больше места), но имеет огромное преимущество в том, что она значительно яснее. Кроме того, можно было представить, что если бы я вводил эту нотацию в компьютер, функция автозаполнения (которая является общей для редакторов кода) могла бы предлагать мне параметры, а также показывать мне определение параметра, когда я его ввожу.Наконец, эта нотация аналогична тому, как мы определяем функции в компьютерном программировании (на некоторых языках), и поэтому, когда мы обучаем математической нотации, мы также дадим нашим ученикам некоторую способность читать код компьютерного программирования.
Проблема нотации — нетривиальная проблема. Обозначения, используемые для объяснения математических идей, часто являются препятствием для некоторых студентов, которые учатся передавать математические идеи. Довольно часто студенты (а иногда и учителя) путают обучающую нотацию с изучением математики.
Кроме того, отличные обозначения на бумаге могут оказаться менее полезными на компьютере. Я потратил много часов на поиск решений, которые сделают добавление математических символов на веб-сайты более удобным, и обнаружил, что это не простой способ. У каждого метода есть недостатки, и нет такого удобного способа, как добавление одних и тех же символов на бумагу. С точки зрения использования математической системы обозначений на компьютерах, я пришел к выводу, что произойдет одно из двух (или и то, и другое). Компьютеры будут разрабатывать более чувствительные к прикосновениям интерфейсы, а разработчики программного обеспечения будут создавать программное обеспечение, распознающее текущие математические символы, или мы начнем изменять математические обозначения, чтобы их было легче вводить в компьютер.
Одно огромное преимущество нашей нынешней системы обозначений в том, что она в некоторой степени универсальна. По сути, во всем мире используется одна и та же нотация, и, выбрав нотацию, более удобную для любителей, мы будем создавать локализованные версии нотации для каждого языка, что, очевидно, проблематично. В компьютере эту проблему легко решить, сделав имена математических объектов переводимыми, чтобы любой, кто просматривает математический документ, мог выбрать язык по своему усмотрению. В печати это больше проблема, и поэтому нам следует неохотно продолжать использовать наши существующие обозначения до тех пор, пока мы не полностью перейдем от нашего традиционного печатного носителя, но чем больше мы используем компьютеры для передачи математических данных, тем более вероятно, что мы следует исправить математические обозначения.
Обновление:
Вот пара критических замечаний к этому сообщению:
Некоторые полезные математические обозначения
Мы подумали, что было бы полезно составить страницу с часто используемыми обозначениями, которые вы могли бы встретить при изучении высшей математики.Приведенные ниже обозначения ни в коем случае не являются исчерпывающим списком, и если у вас есть какие-либо предложения по дополнениям к этому списку, пожалуйста, свяжитесь с нами.
Вот символы отношения:
$$
\ begin {align}
= & \ qquad a = b \ mbox {означает, что} a \ mbox {равно} b \\
\ Equiv & \ qquad a \ Equiv b \ mbox {означает, что} a \ mbox {тождественно равно} b \\
\ not = & \ qquad a \ not = b \ mbox {означает, что} a \ mbox {не равно} b \\
<& \ qquad a > & \ qquad a> b \ mbox {означает, что} a \ mbox {больше, чем} b \\
\ leq & \ qquad a \ leq b \ mbox {означает, что} a \ mbox {меньше или равно} b \\
\ geq & \ qquad a \ geq b \ mbox {означает, что} a \ mbox {больше или равно} b \\
\ ll & \ qquad a \ ll b \ mbox {означает, что} a \ mbox {намного меньше, чем} b \\
\ gg & \ qquad a \ gg b \ mbox {означает, что} a \ mbox {намного больше, чем} b
\ end {align}
$$
Вот символы для разных наборов чисел:
$$
\ begin {align}
\ emptyset & \ qquad \ mbox {пустой набор} \\ 9042 1 \ mathbb {N} & \ qquad \ mbox {натуральные числа} \\
\ mathbb {Z} & \ qquad \ mbox {целые числа} \\
\ mathbb {Q} & \ qquad \ mbox {рациональные числа} \\
\ mathbb {R} & \ qquad \ mbox {вещественные числа} \\
\ mathbb {C} & \ qquad \ mbox {комплексные числа}
\ end {align}
$$
Вот символы, которые вы можете использовать в доказательстве:
$$
\ begin {align}
\ следовательно & \ qquad \ mbox {следовательно} \\
\ square & \ qquad \ mbox {конец доказательства} \ \
\ # & \ qquad \ mbox {противоречие} \\
\ forall & \ qquad \ mbox {для всех} \\
\ exists & \ qquad \ mbox {существует} \\
\ nexists & \ qquad \ mbox {не существует} \\
\ Longrightarrow & \ qquad \ mbox {это подразумевает} \\
\ Longleftarrow & \ qquad \ mbox {подразумевается} \\
\ Longleftrightarrow & \ qquad \ mbox {эквивалентно}
\ end {align}
$$
Вот некоторые символы, используемые в геометрии:
$$
\ begin {align}
\ треугольник ABC & \ qquad \ mbox {треугольник} A BC \\
\ angle ABC & \ qquad \ mbox {angle} ABC \\
{} ^ \ circ & \ qquad \ mbox {градус, эл.{\ ast} \ mbox {или} \ overline {w} & \ qquad \ mbox {комплексное сопряжение} w \\
| w | & \ qquad \ mbox {модуль} w \\
\ Re & \ qquad \ mbox {действительная часть} \\
\ Im & \ qquad \ mbox {мнимая часть}
\ end {align}
$$
Вот еще несколько полезных символов:
$$
\ begin {align}
\ propto & \ qquad \ mbox {пропорционально} \\
\ in & \ qquad \ mbox {содержится, например, } n \ in \ mathbb {N} \ mbox {означает, что} n \ mbox {является натуральным числом} \\
\ not \ in & \ qquad \ mbox {не содержится в} \\
\ sum & \ qquad \ mbox {сумма, эл.2 \; \ mathrm {d} x \\
\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {dx}} & \ qquad \ mbox {дифференцировать по} x \\
\ lim_ {x \ к } & \ qquad \ mbox {limit as} x \ mbox {стремится к} a \\
\ infty & \ qquad \ mbox {Infinity}
\ end {align}
$$
Научно-математическая нотация
Математический материал
В серии единицы измерения обычно опускаются для всех чисел, кроме последнего, за исключением знаков процента и градуса: 22, 30 и 35 см; 20%, 30% и 42%; От 68 ° до 70 °.
Курсив и римский
Математические символы (переменные величины) набираются курсивом (A, B, C, a, b, c, x, y, z). Химические символы и буквы, обозначающие форму, набираются латинскими буквами (O2, CaCl2, T-сетка, S-образная). Римский также используется для сокращений (фунты, pH, KE, Re, sin, cos) и греческих букв.
Примеры:
журнал k = журнал kH ++ журнал [h3O] (1) KE = 1/2 мВ 2 (2) Вт об. = H2 — h3 = 100 БТЕ / фунт (3) β = µ G2 = µ (dU / dy) 2, / sup> (4) sin2 β + cos2 β = 1 (5)
Использовать латинские буквы для постоянных значений
Константы в математическом уравнении задаются латинскими буквами.
Пример:
y = mx + c
m и c — константы.
Подстрочное обозначение
Слова, химические формулы, цифры и сокращения в подписках вводятся латинскими буквами. Курсив зарезервирован для математических символов (переменных величин), хотя на самом деле они являются своего рода сокращением.
Примеры:
Vflow, Emax, Foct, Na, Sco, Savg, Pref, h2, h33, Vbc
Когда символ содержит два нижних индекса, между ними обычно используется запятая без пробела (R1, max).Следите за текстом автора об использовании или отсутствии запятой в нижних индексах, например c33, n12, n1,2, nij.
Отрицательные значения
Используйте дефисы для обозначения минусовых знаков.
Подстрочный и надстрочный
В клавиатуре нижний индекс обычно предшествует верхнему ( D min2), так как это расположение относительно просто установить. Выравнивание показателей степени и индексов может включать отдельную операцию.
Нумерация уравнений
Для справки некоторые или все уравнения могут быть пронумерованы.Цифры указаны в скобках у правого поля.
Примеры:
x sin x = 1 (1)Если уравнение занимает более одной строки, номер уравнения выравнивается по последней строке.
(β0 a) 2x-1 = p β a [(µ ‘- µ’ ‘- 1 + δ2) tan2 π + (δ’ — δ »)]
x (µ ‘-µ’ » — 1 + t2) 1/2 (2)
Когда два или более уравнений обозначаются одним и тем же номером, номер уравнения может быть размещен на правом поле под всей группой или, если уравнения короткие, номер может быть помещен посередине поля напротив уравнений.
x + y = a
(3)
x & y = a
Различие между нулем (0) и Oh (o)
Подстрочная буква o (как в p o) и подстрочный номер ноль ( p 0) различаются типографически. Спросите автора, если сомневаетесь в том, является ли символ буквой o или 0. В химических формулах буквой обычно является o, O (как в h3O).
Экспоненциальная
Термин «exp» означает «показатель степени».»Это символ или число, помещенные выше и после другого символа или числа для обозначения степени, до которой последнее должно быть возведено. Оно всегда набирается римским шрифтом.
Пример:
5n + 1 = 5 exp (n + 1)
Экспонента e (константа, равная 2,7182818 …) может быть заменена на exp, если выражение степени является длинным или сложным, а показатель степени устанавливается в строке, если он включает знаки корня (например, квадратный корень √) или знаки суммирования (Ε t0) с ограничениями или другие специальные символы, которые не всегда доступны.
Примеры:
u = πe -δ dx можно заменить на π exp (- δ dx )
y = c0e√ (a + b) / kt можно заменить на y = c0exp [(a + б) / узлы ] 1/2
Уравнения с нарушением
Выражение, достаточно короткое, чтобы быть встроенным в текст, например, sin (x + y) или a, не следует разбивать в конце строки. Если выражение настолько длинное, что размещение его во второй строке делает предыдущую строку слишком короткой, выражение должно быть центрировано на отдельной строке.
Если выражение настолько длинное, что его необходимо разорвать, разрыв может стоять со знаком равенства, со знаком операции
(+, -, × ÷) или после круглой, квадратной или фигурной скобки, т. Е.) ,],}.
Определение списков по уравнениям
Списки, в которых определены символы и единицы измерения, используемые в уравнении, составлены, как показано ниже, всякий раз, когда материал можно адаптировать к такому расположению.
Пример:
NRT = 60 W / S (1)где
NRT = время пребывания ширины зажима, с
W = ширина зажима, мм
S = скорость машины, м / мин
Слова в уравнениях
Первое слово левого члена уравнения пишется с заглавной буквы в числителе и знаменателе дроби; остальные слова набираются в нижнем регистре.
Пример:
Сила, направленная вниз / сила, направленная вверх = чистый эффект
Аббревиатуры и единицы измерения, которые обычно в нижнем регистре, остаются в нижнем регистре.
об / мин = 120 ч / сек
Обращение к уравнениям
Уравнения в тексте обозначаются номерами и словом Equation, Eqs. Или Eq. Таким образом:
Примеры:
Начало предложения — Уравнение (9) показывает …
Внутри предложения -…. как показано формулой. (9) …
ХИМИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ И УРАВНЕНИЯ
Химические символы всегда римские, за исключением заголовков столбцов таблиц
Обработка SO2Cl, Обработка SO2Cl2
Для справки некоторые или все химические уравнения, встречающиеся в тексте, могут быть пронумерованы. Цифры указаны в скобках у правого поля.
Стрелки обычно используются в химических уравнениях:
CaCl2 + h3CO3 ↔ CaCO3 + 2HCl (1)
NaOCl + h3O + 2e ↔ NaCl + 2OH (2)
Mg (OH) 2 + 2h3SO3 — Mg (HSO3) 2 + 2h3O (3)
Если в химических уравнениях используются знаки равенства, их нельзя заменять на стрелки без согласия автора.
Стрелки с одиночными зубцами используются для обратимых или равновесных реакций:
2CO + 2h3 CO2Ch5 (1)
Двуглавые стрелки () обозначают резонанс.
Валентности показаны следующим образом:
Cl Cu ++ SO4 N3 Sn4 +
Химическая кинетика
Переменные математические символы выделены курсивом, а химические формулы и символы — латинскими буквами.
Khydr + {[H +] [Cl] [HOCl]} / [Cl2] (1)
[] обозначают концентрацию.
МЕТРИЧЕСКИЕ ЕДИНИЦЫ И СИСТЕМЫ СИ
Соединенные Штаты и другие страны согласились использовать метрическую систему измерения, также известную как единицы СИ (для Международной системы единиц измерения).В научных работах, опубликованных в TAPPI JOURNAL, должны использоваться единицы СИ. Поскольку все еще широко используются другие единицы измерения, эти единицы могут использоваться для ясности и точности, но в скобках следует указывать их метрические эквиваленты.
В Интернете есть несколько сайтов, на которых можно найти полезную информацию о преобразованиях и правильном использовании единиц СИ. К ним относятся:
Метрическая ассоциация США — — http://lamar.colostate.edu/~hillger
Национальный институт стандартов и технологий (NIST), Метрическая программа —
http: // ts.nist.gov/ts/200/202/mp_home.htm
http://ts.nist.gov/ts/htdocs/200/202/mpo_pubs.htm
NIST также опубликовал подробное «Руководство для Использование Международной системы единиц (СИ), Специальная публикация NIST 811, издание 1995 г., Барри Н. Тейлор. Его можно получить в типографии правительства США или на сайте: http://physics.nist.gov/Pubs/SP811/sp811sl.pdf
Math Markup Language (Глава 1)
— // W3C // DTD HTML 3.2 // EN «>
Язык математической разметки (Глава 1)1.1 Математика и ее обозначения
Отличительной чертой математики является использование сложной и высокоразвитая система двумерных символических обозначений. Как сказал Дж. Р. Пирс написал в своей книге по теории коммуникации: математику и ее обозначения не следует рассматривать как единое целое то же самое [Pierce 1961]. Математические идеи существуют независимо от обозначений, которые представляют их. Однако связь между смыслом и обозначением тонкий, и часть способности математики описывать и анализ основан на его способности представлять идеи и манипулировать ими в символической форме.Задача размещения математики в Интернете состоит в том, чтобы фиксировать обозначения и контент таким образом, чтобы документы могли использовать высокоразвитые практики печати, а потенциал для взаимодействия в электронных средствах массовой информации.Математические обозначения постоянно развиваются по мере того, как люди продолжать открывать инновационные способы подхода и выражения идеи. Даже банальные обозначения арифметики исчезли. через удивительное разнообразие стилей, в том числе многие несуществующие отстаивали ведущие математические деятели своего времени [Cajori 1928/1929].Современные математические обозначение является продуктом вековой изысканности, и условные обозначения для качественного набора весьма сложный. Например, переменные или буквы, обозначающие числа, сегодня обычно набираются специальным курсивным шрифтом, тонко отличается от текста курсивом. Интервал вокруг символов для такие операции, как +, -, x и / немного отличаются от текст, чтобы отразить соглашения о приоритете операторов. Весь книги были посвящены условным обозначениям математических верстки, от выравнивания надстрочных и подстрочных индексов, до правила выбора размеров скобок, до специализированных обозначений практики для подполей математики.
Условные обозначения в математике и печатный текст в в целом, направьте взгляд и сделайте печатные выражения намного проще прочтите и поймите. Хотя мы обычно принимаем их как должное, мы полагаться на сотни условных обозначений, таких как абзацы, заглавные буквы буквы, семейства шрифтов и регистр, и даже устройство десятичная нумерация разделов, которую мы используем в этом документ (изобретение Г. Пеано, который, вероятно, лучше известен своими аксиомами для натуральных чисел). Такие обозначения условности еще более важны для электронных СМИ, где один приходится бороться с трудностями чтения с экрана.
Однако размещение математики в Интернете — это не просто поиск способов отображения традиционных математических обозначений в Веб-браузер. Интернет представляет собой фундаментальное изменение в лежащая в основе метафора для хранения знаний, изменение которой межсетевое взаимодействие играет центральную роль. Становится все более важно найти способы общения по математике которые упрощают автоматическую обработку, поиск и индексацию, а также повторное использование в других математических приложениях и контекстах.С этим прогресс в коммуникационных технологиях, есть возможность расширить нашу способность представлять, кодировать и, в конечном итоге, поделиться нашими математическими знаниями и пониманием с каждым Другие. Мы считаем, что MathML — важный шаг в развитии Математика в Интернете.
1.2 Истоки и цели
1.2.1 История MathML
Проблема кодирования математики для компьютерной обработки или электронное общение намного старше Интернета. Общее практика среди ученых до Интернета заключалась в том, чтобы писать статьи на какую-нибудь закодированную форму на основе набора символов ASCII, и отправить их по электронной почте друг другу.Несколько методов разметки для математики в в частности TeX, уже широко использовались в 1992 г., незадолго до Интернет стал известен, [ Поппелье, ван Хервейнен и Роули, 1992 г.]С момента своего создания Интернет зарекомендовал себя как очень эффективный метод предоставления информации широкому кругу отдельные группы лиц. Однако, несмотря на то, что мир Изначально Wide Web была задумана и внедрена учеными для ученых, способность включать математические выражения в HTML очень ограничен.В настоящее время большинство математических материалов в Интернете состоит из текста с изображениями в формате GIF научного обозначения, которые трудно читать и писать.
Консорциум World Wide Web (W3C) давно признал, что отсутствие поддержки научного общения — серьезная проблема, и Дэйв Рэггетт, автор рабочего проекта HTML 3.0, сделал предложение по математике HTML в 1994 году. После панельной дискуссии по математике на конференции WWW IV в Дармштадте в апреле 1995 г. была сформирована группа для дальнейшего обсуждения проблемы.В промежутке между за два года эта группа выросла и была официально преобразована в рабочая группа W3C HTML-Math.
Предложение MathML отражает интересы и опыт очень разнообразная группа. Большой вклад в развитие MathML заслуживают особого упоминания, некоторые из которых мы здесь затронем. Один такой вклад касается вопроса доступности, особенно для инвалиды по зрению. Т. В. Раман особенно примечателен в в этом отношении. Нил Сойфер и Брюс Смит из Wolfram Research поделились своим обширным опытом решения проблем представительства математика в связи с разработкой системы Mathematica 3.0. MathML получил пользу от участия ряда рабочих члены группы, участвующие в других усилиях по математическому кодированию в SGML и сообщества компьютерной алгебры, в том числе Стивен Басуэлл из Стило, Стефан Далмас из INRIA, Стэн Девитт из Ватерлоо Мэйпл, Энджел Диас и Роберт Сутор из IBM и Стивен Ватт из Университет Западного Онтарио. В частности, MathML был под влиянием проекта OpenMath, работа ISO 12083 рабочая группа и Stilo Technologies работают над «семантической» математикой. Фрагмент DTD.Наконец, Американское математическое общество сыграло ключевую роль в развитии MathML. Помимо прочего, в нем есть предоставил двух председателей рабочих групп: Рон Уитни руководил группой из С мая 1996 г. по март 1997 г., и Патрик Ион, который был сопредседателем группа с Робертом Майнером из Центра геометрии, с марта 1997 г. в настоящее время.
1.2.2 Ограничения HTML
Спрос на эффективные средства электронной научной общение на высоком уровне. Все чаще исследователи, ученые, инженеры, преподаватели, студенты и техники оказываются работать на расстоянии и полагаться на электронное общение.В в то же время методы на основе изображений, которые в настоящее время преобладающие средства передачи научных обозначений через Интернет примитивны и неадекватны. Качество документа плохое, авторинг сложно, а математическая информация, содержащаяся в изображениях, недоступен для поиска, индексации или повторного использования в других Приложения.Самые очевидные проблемы с HTML для математических связи бывают двух типов:
Проблемы с отображением. Рассмотрим уравнение. Это уравнение рассчитано на сопоставьте окружающую линию шрифтом 14pt в системе, где она была автор.Конечно, в других системах или для других размеров шрифта уравнение слишком маленькое или слишком большое. Второй момент, на который следует обратить внимание: что изображение уравнения было создано на белом фоне. Таким образом, если читатель или браузер сбрасывают фон страницы на другой цвет, сглаживание изображения создает белые «ореолы». Следующий, рассмотрим уравнение. В этом уравнении есть нижний элемент, который помещает базовую линию для уравнения в точке примерно в трети расстояния от внизу изображения. Можно заполнить изображение следующим образом:, чтобы центральная линия изображения и базовая линия уравнения совпадают, но это вызывает проблемы с межстрочным интервалом, что также затрудняет чтение уравнения.Кроме того, центр выравнивание изображений обрабатывается несколько иначе: разных браузеров, что делает невозможным гарантировать правильное выравнивание для разных клиентов.
Уравнения на основе изображений, как правило, труднее увидеть, прочитать и понимать, чем окружающий текст в окне браузера. Более того, эти проблемы усугубляются при печати документа. Разрешение уравнений будет около 70 точек на дюйм, в то время как окружающий текст обычно будет иметь 300 или более точек на дюйм.Несоответствие качества считается неприемлемым большинством люди.
Проблемы с кодировкой. Попробуйте поискать на этой странице для части уравнения, например, «= 10» из первого уравнение выше. В том же духе попробуйте вырезать и вставить уравнение в другое приложение. Используя методы на основе изображений, ни одна из этих общих потребностей не может быть удовлетворена должным образом. Хотя может помочь использование текста ALT в источнике документа, это понятно что интерактивные веб-документы должны предоставлять больше сложный интерфейс между браузерами и математической нотацией.Еще одна проблема с кодированием математики в виде изображений заключается в том, что она требует большей пропускной способности. Используя кодирование на основе разметки, больше процесс рендеринга переносится на клиентскую машину. Разметка описание уравнения обычно меньше и более сжимаемо чем изображение уравнения.
1.2.3 Требования к математической разметке
Некоторые проблемы с отображением, связанные с включением математических обозначений в HTML-документы как изображения могут быть обработаны улучшением браузера обработка изображений. Однако, даже если обработка изображений была улучшена, проблема преобразования информации, содержащейся в математических выражения, доступные для других приложений, останутся.Следовательно, при планировании будущего недостаточно просто обновите методы на основе изображений. Чтобы полностью интегрировать математические материала в веб-документы, кодирование на основе разметки математические обозначения и содержание обязательны.
При разработке любого языка разметки важно тщательно учитывать потребности своих потенциальных пользователей. В случае MathML, потребности потенциальных пользователей охватывают широкий спектр, от образования на исследования в коммерцию:
Образовательное сообщество — большая и важная группа, которая должна иметь возможность размещать материалы научных программ в Интернете.На в то же время преподаватели часто имеют ограниченные ресурсы времени и оборудования и серьезно затруднены из-за сложности авторинга технические веб-документы. Студенты и учителя должны уметь создавать математический контент быстро и легко, используя интуитивно понятный, простые в освоении и недорогие инструменты.
Электронные учебники — еще один способ использования Интернета, который потенциально может быть очень важным в образовании. Консультант по вопросам управления Питер Друкер недавно предсказал конец большого кампуса постоянное высшее образование и его распространение в сети [Drucker 1997].Электронный учебники должны быть активными, позволяющими общаться между текстом и научным ПО и графикой.
Академическое исследовательское сообщество создает большие объемы плотных научный материал. Все чаще публикуются исследовательские публикации. хранятся в базах данных, таких как очень успешный препринт по физике сервер в Лос-Аламосской национальной лаборатории. Это особенно верно в некоторых областях физики и математики, где академический журнал цены растут неприемлемыми темпами.В математики есть большие коллекции в Duke, ИИГС и SISSA, и на сервере AMS e-MATH. Кроме того, базы данных информации по математическим исследованиям, таким как Mathematical Reviews и Zentralblatt für Mathematik, предлагают миллионы пластинок содержащие математику в Интернете.
Для удобства исследовательского сообщества разработан дизайн математической разметки. должен облегчить обслуживание и работу с большими документами коллекции, в которых важны автоматический поиск и индексация. Из-за большого количества устаревших данных, особенно TeX документы, возможность конвертировать между существующими форматами и новыми форматы также очень важны для исследовательского сообщества.Ну наконец то, возможность хранить информацию для архивных целей жизненно важна академическим исследованиям.
Корпоративные и академические ученые и инженеры также используют технические документы в своей работе для совместной работы, для записи результатов экспериментов и компьютерного моделирования, а также для проверки расчеты. Для таких целей математика в Интернете должна обеспечивать стандартный способ обмена информацией, которую можно легко прочитать и генерируется с использованием общедоступных инструментов.
Еще одно требование к дизайну — способность отображать математические материал в других средствах массовой информации, таких как речь или шрифт Брайля, который крайне важно для слабовидящих.
Коммерческие издатели также занимаются математикой в Интернете на все уровни от электронных версий печатных книг до интерактивных учебники в академические журналы. Издателям требуется метод размещение математических вычислений в Интернете, способных обеспечить высококачественный вывод, Достаточно прочный для крупномасштабного коммерческого использования, и желательно совместимы с их текущим производством, обычно на основе SGML системы.
1.2.4 Цели проектирования MathMLЧтобы удовлетворить разнообразные потребности научного сообщества, MathML был разработан с учетом следующих целей.
MathML должен:
- кодирует математический материал, подходящий для обучения и научное общение на всех уровнях.
- кодирует как математическую запись, так и математическую имея в виду.
- упрощает преобразование в другие математические форматы и обратно, как
презентационно-смысловой. Форматы вывода должны включать:
- графические дисплеи
- синтезаторы речи
- системы компьютерной алгебры вводные
- другие языки математической компоновки, такие как TeX
- текстовых дисплеев (например,грамм. Эмуляторы VT100)
- печатные носители, включая шрифт Брайля
- разрешить передачу информации, предназначенной для конкретных рендеры и приложения.
- поддерживает эффективный просмотр длинных выражений.
- обеспечивает расширяемость.
- хорошо подходит для редактирования шаблонов и других математических операций. техники.
- быть разборчивым и простым для программного обеспечения для создания и процесс.
- Уравнения MathML на страницах HTML должны правильно отображаться в популярные веб-браузеры, по мнению читателей и авторов предпочтений и максимально возможного качества с учетом возможности платформы.
- HTML-документа, содержащего уравнения MathML, следует распечатать. правильно и с высоким разрешением принтера.
- уравнений MathML на веб-страницах должны реагировать на мышь жесты и координировать общение с другими приложениями через браузер.
- Редакторы и преобразователи уравнений должны быть разработаны для облегчить создание веб-страниц, содержащих MathML уравнения.
1.3 Роль MathML в Интернете
1.3.1 Многоуровневый дизайн математической паутины Услуги
Цели проектирования MathML требуют наличия системы кодирования. математический материал для Интернета, который является гибким и расширяемым, подходит для взаимодействия с внешним программным обеспечением и способен качественный рендеринг на нескольких носителях.Любая разметка язык, который кодирует достаточно информации, чтобы хорошо выполнять все эти задачи неизбежно повлечет за собой некоторую сложность.
В то же время это важно для многих групп, таких как студентам, чтобы иметь простые способы включения математики в веб-страницы вручную. Точно так же другие группы, такие как сообщество TeX, были бы лучше всего. обслуживается системой, позволяющей напрямую вводить разметку языки, такие как TeX на веб-страницах. В общем, отдельные группы пользователей лучше обслуживаются более специализированными видами ввода и вывода адаптированы к их потребностям.Таким образом, идеальная система для коммуникация по математике в Интернете должна обеспечивать как специализированные услуги по вводу и выводу, а также общие услуги для обмен информацией и рендеринг на несколько носителей.
С практической точки зрения, математика в Интернете должна обеспечение как специализированных, так и общих потребностей, естественно, приводит к идея многоуровневой архитектуры. Один слой состоит из мощных, общие программные инструменты обмена, обработки и рендеринга правильно закодированные математические данные.Второй слой состоит из специализированные программные инструменты, предназначенные для определенных групп пользователей, и которые способны легко генерировать закодированные математические данные, которые затем можно будет поделиться с широкой аудиторией.
MathML предназначен для кодирования математических данных. для нижнего, более общего уровня в двухуровневой архитектуре. Это предназначен для кодирования сложной нотационной и семантической структуры в явный, регулярный и простой в обработке способ для рендереров, программное обеспечение для поиска и индексирования и другие математические Приложения.
Как следствие, MathML — это , а не , предназначенный для прямого использования. по авторам. Хотя MathML удобочитаем, во всех случаях, кроме простейших случаях он слишком подробный и подвержен ошибкам для ручной генерации. Вместо этого предполагается, что авторы будут использовать с уравнением редакторы, программы конвертации и другие специализированные программные инструменты для создания MathML. В качестве альтернативы некоторые рендеры могут конвертировать другие виды ввода, непосредственно включенные в веб-страницы в MathML на fly, например, в ответ на операцию вырезания и вставки.
В некотором смысле MathML аналогичен другим низкоуровневым, коммуникационные форматы, такие как язык Adobe PostScript. Ты можешь создать файл PostScript различными способами, в зависимости от вашего потребности; специалисты пишут и модифицируют их вручную, авторы создают с текстовыми процессорами, художниками-графиками с программами рисования и т. д. на. Однако если у вас есть файл PostScript, вы можете поделиться им с очень большая аудитория, поскольку устройства, которые обрабатывают PostScript, такие как принтеры и средства предварительного просмотра экрана, широко доступны.
Одна из причин разработки MathML в качестве языка разметки для низкоуровневый общий уровень коммуникации должен стимулировать математическая разработка веб-программного обеспечения. MathML предоставляет способ координировать разработку модульных инструментов разработки и программное обеспечение для рендеринга. Упростив разработку функционала часть более крупной системы, MathML может стимулировать «критическую массу» разработка программного обеспечения, что очень полезно для потенциальных пользователей математика в Интернете.
Можно представить себе аналогичную ситуацию для математических данных.Авторы могут создавать документы MathML, используя лучшие инструменты. соответствует их потребностям. Например, студент может предпочесть использовать редактор формул на основе меню, который может записывать MathML в HTML файл. Исследователь может использовать пакет компьютерной алгебры, который автоматически кодирует математическое содержание выражения, поэтому что он может быть вырезан с веб-страницы и оценен коллегой. An Издатель академического журнала может использовать программу, конвертирующую TeX разметка в HTML и MathML. Независимо от метода создания веб-страницу MathML, когда она существует, все преимущества мощного и общий уровень связи становится доступным.Разнообразие Программное обеспечение MathML можно использовать с одним и тем же документом для визуализации в устной или печатной форме, чтобы отправить в систему компьютерной алгебры, или чтобы управлять им как частью большой коллекции веб-документов. Один может ожидайте, что со временем MathML может быть интегрирован в другие области где встречаются математические формулы, например таблицы, статистические пакеты и инженерные инструменты.
Рабочая группа HTML-Math работает с поставщиками, чтобы обеспечить что скоро будет доступно большое количество программного обеспечения MathML, включая инструменты рендеринга и разработки.Текущий список программного обеспечения MathML поддерживается Консорциумом World Wide Web.
1.3.2 Отношение к другой сети Технологии
Первоначальная концепция HTML Math была простой, прямое расширение HTML, которое было бы изначально реализовано в браузерах. Однако очень рано взрывной рост Интернета показал, что общий механизм расширения требовалось, и эта математика была лишь одним из многих видов структурированные данные, которые необходимо интегрировать в Интернет используя такой механизм.
Учитывая, что MathML должен интегрироваться в Интернет как расширение, чрезвычайно важно, чтобы программное обеспечение MathML и MathML могло хорошо взаимодействуют с существующей веб-средой. В частности, MathML был разработан с учетом трех видов взаимодействия. Во-первых, для создания математического веб-контента важно что существующие языки математической разметки могут быть преобразованы в MathML, и существующие инструменты разработки могут быть изменены на генерировать MathML. Во-вторых, должна быть возможность встраивать разметку MathML. бесшовно в разметке HTML таким образом, чтобы он был доступен в будущие браузеры, поисковые системы и все виды Интернета приложения, которые теперь манипулируют HTML.Наконец, это должно быть возможность рендеринга MathML, встроенного в HTML, в современных веб-браузерах в некотором роде, даже если он не идеален.
Существующие языки математической разметки
Возможно, самое важное влияние на математическую разметку языков последних двух десятилетий — это система набора текста TeX разработан Дональдом Кнутом. TeX является стандартом де-факто в математического исследовательского сообщества, и он широко распространен в научное сообщество в целом. TeX устанавливает стандарт качества визуальный рендеринг, и много усилий было потрачено на обеспечение MathML может обеспечить такое же качество визуализации.Более того, из-за большого объема устаревших документов в TeX, а также из-за того, что большого сообщества авторов, разбирающихся в TeX, что является приоритетом в дизайн MathML заключался в возможности преобразовывать математические данные TeX в Формат MathML. Возможность такого преобразования была продемонстрировано прототипом программного обеспечения.Обширная работа по математике кодирования также была проделана в Сообщество SGML и схемы кодирования на основе SGML широко используются коммерческие издатели. ISO 12083 — важный язык разметки который содержит математическое DTD, в первую очередь предназначенное для описания наглядное представление математических обозначений.Поскольку ISO 12083 математика и ее производные имеют много общего с TeX, и поскольку SGML обеспечивает более строгую структуру и регулярность, чем TeX, большая часть работы по обеспечению совместимости MathML с TeX также хорошо относится к ISO12083.
MathML также уделяет особое внимание совместимости с другое математическое программное обеспечение, в частности компьютерная алгебра системы. Многие элементы представления MathML являются производными от часть от механизма наборных ящиков. Содержание MathML элементы во многом обязаны проекту OpenMath и Семантическая математика DTD.Проект OpenMath тесно связан как с SGML и сообщества компьютерной алгебры и заложили фундамент для средств связи на основе SGML между математическими программные пакеты, среди прочего. Возможность обоих создание и интерпретация MathML в системах компьютерной алгебры был продемонстрирован прототипом программного обеспечения.
Механизмы расширения HTML
Как отмечалось выше, успех HTML привел к огромному давлению для включения широкого спектра типов данных и программного обеспечения приложений в Интернет.Каждый новый формат или приложение потенциально предъявляет новые требования к HTML и поставщикам браузеров. Для некоторое время было ясно, что общий механизм расширения необходимо для размещения новых расширений HTML. С работы в первую очередь начался с MathML, XML стал ведущим кандидатом на такие механизм расширения.
XML расшифровывается как Extensible Markup Language. Он разработан как упрощенная версия SGML, метаязыка, используемого для определения грамматика и синтаксис HTML. Одна из целей XML — быть подходит для использования в Интернете, и в контексте этого обсуждения его можно рассматривать как общий механизм расширения HTML.Поскольку его название подразумевает, что расширяемость — ключевая особенность XML; авторы свободно объявлять и использовать новые теги и атрибуты. В то же время, Правила грамматики и синтаксиса XML тщательно контролируют структуру документа для облегчения автоматической обработки и обслуживания больших коллекции документов.
Хотя много деталей о том, как разметка XML в конечном итоге будет встроенный в HTML еще предстоит решить, XML получил поддержку от основных производителей браузеров. Разработка стандартного способа встраивания XML в HTML также, вероятно, станет приоритетом W3C в будущем.Следовательно, как с теоретической, так и с прагматической точки зрения, имеет смысл указать MathML как приложение XML, и мы сделали так.
Механизмы расширения браузера
Когда стандартный способ встраивания XML в HTML существует, он по-прежнему необходимо каким-то образом расширить браузеры для обработки и отображать встроенный XML-контент. В идеале будущие браузеры будут изначально обрабатывать и отображать широко используемые XML-приложения, такие как MathML, и есть основания полагать, что в конечном итоге это будет дело.Однако в ближайшее время необходимо будет предоставить промежуточные методы для отображения и обработки MathML.
Общая модель для рендеринга и обработки расширений XML для HTML все еще разрабатывается рабочей группой W3C XML. Однако общие черты модели уже достаточно ясны. А формируется новая рабочая группа по разработке расширяемого языка стилей (XSL) который будет использоваться для указания браузеру, как должны быть элементы XML. визуализируется почти так же, как каскадные таблицы стилей (CSS), которые можно использовать с HTML и DSSSL можно использовать с SGML.Таким образом, вскоре станет возможным напишите какую-нибудь таблицу стилей, которая научит браузер правильно отображать MathML.
Однако в настоящее время необходимо расширить браузер возможности за счет использования встроенных элементов для рендеринга MathML. Это может быть случай, когда будущий механизм таблиц стилей просто проинструктирует браузер для использования определенного встроенного средства визуализации для обработки MathML и координируйте полученный результат с окружающей веб-страницей. В для достижения такого взаимодействия, однако, это будет необходимо для определения объектной модели документа, достаточно богатой, чтобы облегчить сложное взаимодействие между браузерами и встроенными элементы.По этой причине рабочая группа HTML-Math тесно координирует свои усилия с объектной моделью документа рабочая группа.
При работе с XML, таблицами стилей, встроенными объектами и объектная модель документа все еще продолжается, цель этих усилий заключается в предоставлении инфраструктуры, способной поддерживать сложные приложения для разметки и рендеринга, такие как MathML.