Знаки неравенств: Знаки больше, меньше или ровно в математике

Содержание

Знаки больше, меньше или ровно в математике

Математические знаки

Скорее всего, к первому классу ребенок уже отличает на слух и визуально, что горстка из десяти ягод больше трех штук. Чтобы внедрить в жизнь новые обозначения, посмотрим на знаки «больше», «меньше», «равно» в картинках.

Символ больше (>) — это когда острый нос галочки смотрит направо. Его нужно использовать, когда первое число больше второго:

Символ меньше (<) — это когда острый нос галочки смотрит налево. Его нужно использовать, когда первое число меньше второго:

Символ равенства (=) — это когда два коротких отрезка записаны горизонтально и параллельны друг другу. Используем его при сравнении двух одинаковых чисел:

Чтобы ребенку было легче запомнить схожие между собой знаки, можно применить игровой метод. Для этого нужно сравнить числа и определить в каком порядке они стоят. Далее ставим одну точку у наименьшего числа и две — рядом с наибольшим. Соединяем точки и получаем нужный знак. Вот так просто: 

Равенство и неравенство

Что такое равенство в математике — это когда одно подобно по количеству другому и между ними можно поставить знак

=.

Для примера посмотрим на картинку с изображением геометрических фигур. Справа и слева количество одинаковое, значит можно поставить символ «равно».

Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.

Наглядный пример неравенства изображен на картинке ниже. Слева видим три фигуры, а справа — четыре. При этом мы знаем, что три не равно четырем или еще так: три меньше четырех.

Урок в школе зачастую проходит перед учебником, тетрадью и доской. Дома же можно использовать компьютер и некоторые задания выполнять в онлайн формате. Как найти знаки на клавиатуре? Ответ на картинке:

Типы неравенств

  1. Строгие неравенства — используют только знак больше (>) или меньше (<).
  • a < b — это значит, что a меньше, чем b.
  • a > b — это значит, что a больше, чем b.
  • неравенства a > b и b < a означают одно и тоже, то есть равносильны.
  1. Нестрогие неравенства — используют знаки сравнения ≥ (больше или равно) или ≤ (меньше или равно).
  • a ≤ b — это значит, что a меньше либо равно b.
  • a ≥ b — это значит, что a больше либо равно b.
  • знаки ⩽ и ⩾ являются противоположными.
  1. Другие типы неравенств.
  • a ≠ b — означает, что a не равно b.
  • a ≫ b — означает, что a намного больше, чем b.
  • a ≪ b — означает, что a намного меньше, чем b.
  • знаки >> и << противоположны.

 

Урок 11. равенство. неравенство. знаки «>», «

Математика, 1 класс

Урок 11. Равенство. Неравенство. Знаки «>», «<», «=»

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

1. Определять место знаков больше, меньше, равно

2. Писать знаки >,<,=

3. Называть равенство, неравенство.

Глоссарий

Равенство – это когда одно количество равно другому.

Неравенство – это когда одна сторона выражения не равна второй.

Если носик галочки смотрит направо - это знак больше (>).

Если носик галочки смотри налево – это знак меньше (<).

Знак равенства (=) в математике, в логике и других точных науках — символ, который пишется между двумя одинаковыми по своему значению выражениями.

Ключевые слова

Знак >; знак <; знак =

Основная литература:

1.Моро М. И., Волкова С. И., Степанова С. В. Математика. Учебник. 1 кл. В 2 ч. М.: Просвещение, 2017.

Дополнительная литература:

1. Моро М. И., Волкова С. И. Математика. Рабочая тетрадь. 1 кл. В 2 ч. пособие для общеобразовательных организаций. - М.: Просвещение, 201 с.

Основное содержание урока

1. Сегодня мы отправляемся в магазин, чтобы купить Оле и Ане к уроку технологии все учебные принадлежности.

Для урока понадобится 1 пачка пластилина и две пачки картона.

По сколько пачек пластилина получили девочки? ( по одной пачке)

Можно сказать, что девочки получили одинаковое количество пластилина.

2. Для технологии необходимо две пачки картона.

По сколько пачек картона получили девочки? (по две пачки)

Можно сказать, что девочки получили одинаковое количество картона.

3. В математике используется специальный значок, чтобы записать, что число предметов одинаковое.

Можно записать цифрами и использовать для слов «одинаково», «равно» специальный значок «=»,1 = 1

=

2 = 2 (аналогично)

Две палочки напишут дети,

И что получится в ответе,

Ведь каждый выучил давно,

Как пишется тот знак: РАВНО!

Такие записи называются равенствами.

Это равенства. Записать равенства можно с помощью знака «=».

Докажем, что одинаковое количество предметов с помощью стрелочек образует пары.

На схеме каждый предмет обозначим кружочком и образуем пары. Покажем стрелочкой.

Оля Аня

Лишних фигур не осталось. Значит, поровну, одинаково.

Можно записать 1 = 1

6. 2 + 1 = 3

Как можно прочитать эту запись?

(Числовое равенство)

Под этим высказыванием понимают два числовых выражения, которые стоят по обе стороны от знака « =».

Обе части записи равны между собой.

  1. В каком количестве нужно было для урока картона? А пластилина?

Чтобы узнать, каких предметов потребовалось больше или меньше, используют специальные значки «>», « <».

Если с какой- то стороны больше или меньше, то запись будет называться «неравенство».

Два больше одного.

Картон Пластилин

Если слева больше число, чем справа, то используют знак «>».

2 > 1

  1. А если число слева меньше, чем справа, то ставим знак меньше «<».

1 < 2

  1. Такие записи называются неравенства:

4 > 3, 4 < 5

Разбор типового тренировочного задания

Выберите нужный знак и распределите на две группы.

Дополните каждую группу своими записями.

6 (=, >, <) 9

1 (=, >, <) 3

2 (=, >, <) 2

3 (=, >, <) 3

Правильный ответ:

Равенства: 2 = 2, 3 = 3

Неравенства: 6 < 9, 1 < 3

Знаки сравнения

Знаки сравнения (знаки неравенства) – использующиеся в неравенствах символы \(<\), \(>\), \(≤\) и \(≥\).

Символ

Читается как…

Смысл символа

Пример

\(<\)    

«меньше»

Левая часть неравенства

меньше правой части

\(4<12\)

\(>\)    

«больше»

Левая часть неравенства

больше правой

\(3>0\)

\(≤\)

«меньше или равно»

Левая часть неравенства

меньше или равна правой

\(7≤7\)

\(≥\)

«больше или равно»

Левая часть неравенства

больше или равна правой

\(3≥-5\)

Знаки \(<\) и \(>\) называются

строгими, так как они не допускают равенства левой и правой частей. При записи их решений в виде промежутков границы обозначают круглой скобкой.

Пример:                                              \(x>2\)                                         \(x∈(2;∞)\)

Знаки \(≤\) и \(≥\) называются

нестрогими, так как они такое равенство допускают. При записи их решений в виде промежутков границы обозначают прямоугольной скобкой.

Пример:                                              \(x≥2\)                                         \(x∈[2;∞)\)

Отметим, что на символе «бесконечности» \(∞\) или «минус бесконечности» \(-∞\)  - скобка круглая всегда, независимо от знаков сравнения, потому что бесконечность это не число и не может быть включена в ответ.

Смотри также:
Числовые промежутки
Линейные неравенства


Скачать статью

Вставка математических знаков - Word

Основные математические символы

Нет

Часто используемые математические символы, такие как > и <

Греческие буквы

Строчные буквы

Строчные буквы греческого алфавита

Прописные буквы

Прописные буквы греческого алфавита

Буквоподобные символы

Нет

Символы, которые напоминают буквы

Операторы

Обычные бинарные операторы

Символы, обозначающие действия над двумя числами, например + и ÷

Обычные реляционные операторы

Символы, обозначающие отношение между двумя выражениями, такие как = и ~

Основные N-арные операторы

Операторы, осуществляющие действия над несколькими переменными

Сложные бинарные операторы

Дополнительные символы, обозначающие действия над двумя числами

Сложные реляционные операторы

Дополнительные символы, обозначающие отношение между двумя выражениями

Стрелки

Нет

Символы, указывающие направление

Отношения с отрицанием

Нет

Символы, обозначающие отрицание отношения

Наборы знаков

Наборы знаков

Математический шрифт Script

Готические

Математический шрифт Fraktur

В два прохода

Математический шрифт с двойным зачеркиванием

Геометрия

Нет

Часто используемые геометрические символы

Правила решения неравенств

При решении числовых неравенств пользуются несколькими правилами, основанными на свойствах неравенств. Решить числовое неравенство с переменной — это значит, найти такие значения переменной (область значений), при которых данное неравенство становится верным. Обычно значения переменных выражаются пределами (множествами чисел, лучами, отрезками), которым они принадлежат.

Правила решения неравенств позволяют привести неравенство к виду, когда область значений становится очевидна. Например, x < b, где знак неравенства и число b могут быть любыми.

Перечислим эти правила.

Член неравенства можно перенести из одной его части в другую. При этом следует поменять знак этого члена на противоположный. Например:

3x + 4 < 10
3x < 10 – 4

Здесь положительное число 4 было перенесено из левой части неравенства в правую. При этом число стало отрицательным. Почему можно это делать? Одним из свойств числовых неравенств является следующее: если a < b, то a + c < b + c. Другими словами, если к обоим частям исходного неравенства прибавить одно и то же число, то получится равносильное неравенство.

Перенос члена неравенства из одной части в другую с противоположным знаком — это по-сути прибавление к обоим частям одного и того же числа. В приведенном выше примере к обоим частям неравенства было прибавлено число –4:

3x + 4 + (–4) < 10 + (–4)
3x < 10 – 4

Левую и правую части неравенства можно одновременно умножить или разделить на одно и тоже число. Если это число положительное, то знак неравенства не меняется. Если это число отрицательно, то знак неравенства меняется на противоположный.

Данное правило вытекает из свойства числовых неравенств. Если a < b и c > 0, то ac < bc; если же с < 0, то ac > bc. Это правило касается только умножения. Однако операцию деления можно представить, как умножение на 1/c (как дробь).

Например, неравенство 3x < 6 можно упростить, разделив обе его части на 3. Так как 3 — положительное число, то знак неравенства остается прежним. В результате получается неравенство вида x < 2, глядя на которое сразу можно сказать, что областью значения переменной x является числовой луч (–∞; 2).2+x-2\leqslant 0\]

\[{\Large{\text{Линейные неравенства}}}\] Линейные неравенства – это неравенства вида \[ax+b \lor 0, \qquad \lor - \text{ один из знаков } \geqslant, \ \leqslant, \ >, \ <;\quad a,b - \text{ числа,}\]или сводящиеся к такому виду.
Область допустимых значений \(x\) (ОДЗ) таких неравенств — все вещественные числа (\(x\in \mathbb{R}\)).

 

Общее правило решения линейных неравенств:

1) Для того, чтобы решить данное неравенство, необходимо привести его к виду \(ax\lor -b\), то есть перенести число \(b\) в правую часть.

2) Если коэффициент \(a\) перед \(x\) – положительный, то неравенство равносильно \(x\lor -\dfrac ba\), то есть после деления обеих частей неравенства на \(a\) знак неравенства не меняется.

3) Если коэффициент \(a\) перед \(x\) – отрицательный, то неравенство равносильно \(x\land -\dfrac ba\), то есть после деления обеих частей неравенства на \(a\) знак неравенства меняется на противоположный.

4) Если \(a=0\), то неравенство равносильно \(0\lor -b\), что либо верно при всех значениях переменной \(x\) (например, если это \(0>-1\)), либо неверно ни при каких значениях \(x\) (например, если это \(0\leqslant -3\)).
То есть ответом будут либо \(x\in\mathbb{R}\), либо \(x\in \varnothing\).

 

Замечание
Заметим, что знаку \(\leqslant\) противоположен знак \(\geqslant\), а знаку \(<\) – знак \(>\). И наоборот.

 

Пример 1
Решить неравенство \(5-3x>-1\).

 

Решение. I способ
Сделаем цепочку преобразований:

\[5-3x>-1 \ \Rightarrow \ -3x>-1-5 \ \Rightarrow \ -3x>-6 \ \Rightarrow \ x<\dfrac 63 \ \Rightarrow \ x<2\] Таким образом, ответом будет \(x\in(-\infty;2)\).
Заметим, что т.к. мы делили неравенство на \(-3\), то знак неравенства поменялся.

 

Решение. II способ
Можно перенести слагаемое \(-3x\) в правую часть, а \(-1\) – в левую:

\[5-3x>-1 \ \Rightarrow \ 5+1>3x \ \Rightarrow \ 3x<6 \ \Rightarrow \ x<2\]

Пример 2
Решить неравенство \((1-\sqrt2)x+2\leqslant 0\).

 

Решение
Заметим, что перед \(x\) находится отрицательный коэффициент. Поэтому:

\[(1-\sqrt2)x\leqslant -2 \Rightarrow x\geqslant -\dfrac 2{1-\sqrt2}\] Преобразуем число \(-\dfrac 2{1-\sqrt2}\): домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное к \(1-\sqrt2\), то есть на \(1+\sqrt2\), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

\[-\dfrac 2{1-\sqrt2}=-\dfrac{2(1+\sqrt2)}{(1-\sqrt2)(1+\sqrt2)}= -\dfrac{2(1+\sqrt2)}{1-2}=2(1+\sqrt2)\]
Таким образом, ответ \(x\in [2+2\sqrt2;+\infty)\).
Перейдем к квадратичным неравенствам, которые являются очень важным инструментом в решении задач.

 

\[{\Large{\text{Метод интервалов}}}\]

Приступим к рассмотрению общего метода для решения любого рационального неравенства, то есть неравенства вида

\[(**)\qquad \dfrac{P(x)}{Q(x)}\geqslant 0 \qquad (\text{на месте }\geqslant \text{может стоять любой из} \leqslant, \ <, \ >)\]

Область допустимых значений \(x\) (ОДЗ) таких неравенств — все вещественные числа, кроме нулей знаменателя.

 

Существует два способа решения таких неравенств:

 

1 способ: Классический. Т.к. дробь положительна (отрицательна) тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель дроби одного знака (разных знаков), то неравенство \((*)\) равносильно совокупности: \[{\large{\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} P(x)\geqslant 0\\ Q(x)>0 \end{cases}\\ &\begin{cases} P(x)\leqslant 0\\ Q(x)<0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

 

Такой способ подойдет для решения любого неравенства, где слева стоит дробь, а справа — \(0\).
Но, как правило, для решения большинства рациональных неравенств он неудобен. Почему? Вы сможете убедиться в этом после того, как мы рассмотрим метод интервалов.

 

2 способ: Удобный. Метод интервалов (будем рассматривать этот метод на примере конкретного неравенства, чтобы было понятней).
Заметим, что первые три шага созданы для того, чтобы преобразовать неравенство к более простому виду, что поможет вам не допустить ошибку в решении подобных задач. Метод интервалов – это всего лишь удобный инструмент для решения рациональных неравенств, и если вы будете всегда пользоваться одним и тем же алгоритмом, то вероятность допустить ошибку при решении таких неравенств будет минимальной.
Данный алгоритм специально расписан подробно, чтобы у вас не возникло вопросов; всего после нескольких использований этого алгоритма вы будете решать рациональные неравенства очень быстро и без ошибок!

 

1 ШАГ. Необходимо перенести все слагаемые в одну часть (пусть это будет левая часть) неравенства так, чтобы в другой части неравенства остался \(0\), и привести эти слагаемые к общему знаменателю так, чтобы в левой части неравенства получилась дробь. Затем нужно разложить числитель и знаменатель полученной дроби, то есть многочлены \(P(x), \ Q(x)\), на множители.   Например, неравенство \(\dfrac1{x+1}<1\) нужно переписать в виде \(\dfrac1{x+1}-1<0\), затем привести к общему   знаменателю \(\dfrac1{x+1}-\dfrac{x+1}{x+1}<0\), затем записать в виде одной дроби левую часть: \(\dfrac{1-(x+1)}{x+1}<0\) и   привести подобные слагаемые: \(\dfrac{-x}{x+1}<0\).2\), или, что то же самое, \((x-0)(x-0)\) – произведение двух одинаковых линейных скобок.

 

4 ШАГ. Теперь, когда левая часть неравенства состоит из произведения только хороших линейных скобок (в каких-то степенях), можно приступить к самому методу интервалов.

 

Его суть состоит в том, что левая часть неравенства — всюду непрерывная функция, кроме тех точек, где знаменатель дроби равен нулю. Поэтому точки, в которых эта функция равна нулю (то есть ее числитель равен нулю) и точки, в которых эта функция не существует (то есть ее знаменатель равен нулю), разбивают область определения этой функции на промежутки, причем на каждом промежутке функция принимает значения строго одного знака.

 

А нам как раз нужно найти те значения \(x\), при которых функция \(\geqslant 0\). Причем, т.к. наша функция — рациональная, то ее область определения — это все действительные числа (\(\mathbb{R}\)), кроме нулей знаменателя. Поэтому отметим нули каждой скобки на вещественной прямой (а ноль каждой скобки – это как раз ноль числителя или знаменателя), причем нули знаменателя – выколотые, нули числителя – закрашенные (если знак неравенства нестрогий, как в примере, то есть \(\geqslant \) или \(\leqslant \)) или выколотые (если знак неравенства строгий, то есть \(>\) или \(<\)).
Заметим, что если мы отметили \(n\) точек, то числовая прямая разобьется на \(n+1\) промежутков.

 

Расставим знак на каждом промежутке \(\color{red}{{\Large{\text{справа налево}}}}\). Будем ставить “\(+\)”, если функция на этом промежутке принимает положительные значения, и “\(-\)” — если отрицательные. Нулю функция равна в закрашенных точках.
Первые три шага мы делали для того, чтобы не подставлять точки из каждого промежутка и не вычислять, какого знака будет левая часть неравенства (что бывает неудобно, если числа, которые нужно отмечать на прямой, “некрасивые”). Знаки мы будем расставлять, выявив некоторую закономерность.2\) не сменит свой знак на отрицательный, поэтому вся левая часть останется по знаку такой же, как и была на \((\frac23;1)\) (т.е. положительной). Аналогично при переходе через точки \(0, -1\).

 

5 ШАГ. Неравенство практически решено и нам остается только записать ответ. В нашем случае, т.к. знак преобразованного \((***)\) неравенства \(\geqslant 0\) (нестрогий), то в ответ пойдут промежутки со знаком “\(+\,\)” (где значение функции больше нуля) и закрашенные точки (где значение функции равно нулю): \[x\in \Big(-\infty;-1\Big)\cup \left(-1;\dfrac23\right)\cup \left(\dfrac23;1\right]\cup\Big(3;+\infty\Big)\]Напоминаем, что если точка не входит в ответ, то она пишется в круглой скобке “\((\)” или “\()\)”, если входит в ответ – то в квадратной скобке “\([\)” или “\(]\)”. Бесконечности всегда пишутся в круглых скобках.  

\[{\Large{\text{Квадратичные неравенства}}}\]

Квадратичным неравенством называется любое неравенство вида \[ax^2+bx+c \lor 0, \quad a\ne 0,\]

или сводящееся к такому виду.2\) всегда больше или равно \(0\).  

Неравенство - это... Что такое Неравенство?

В математике неравенство (≠) есть утверждение об относительной величине или порядке двух объектов, или о том, что они просто не одинаковы (см. также Равенство).

Типы неравенств

  • запись означает, что a меньше, чем b;
  • запись означает, что a больше, чем b.
  • запись означает, что a не равно b.

Эти математические отношения называются строгим неравенством. В противоположность им нестрогие неравенства означают следующее:

  • запись означает, что a меньше либо равно b;
  • запись означает, что a больше либо равно b.

Кроме того, иногда требуется показать, что одна из величин много больше другой, обычно на несколько порядков:

  • запись означает, что a намного больше b.

Иногда не требуется знать результат и тогда можно определить формальное неравенство как два числа или алгебраических выражения, соединённые знаками >,<,≠.

Неравенство называется точным если его нельзя улучшить.

  • Например является точным, а нет.

Неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на:[1]

  • алгебраические
  • трансцендентные

Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.

Пример:
Неравенство — алгебраическое, первой степени.
Неравенство  — алгебраическое, второй степени.
Неравенство  — трансцендентное.

Решение неравенств второй степени

Решение неравенства второй степени вида или можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения (промежутки знакопостоянства).

Пример 1.

Решить неравенство .

Решение. Рассмотрим функцию . Для того чтобы решить это неравенство методом интервалов нам следует найти нули функции и выбрать соответствующие интервалы, в которых она принимает отрицательные значения.

Итак, корни уравнения , наш искомый интервал: .

Ответ: .

Решение неравенств методом интервалов

Пусть у нас есть неравенство вида Для его решения нам необходимо:

  • разбить ось на интервалы знакопостоянства
  • поставить в каждом таком интервале знак неравенства на этом интервале (, если больше нуля, если меньше)
  • выбрать те интервалы, где стоит знак начального неравенства

Крайними точками интервалов будут , и нули функций .

Равносильные переходы при решении иррациональных неравенств

Пример 2.

Решить неравенство .

Решение. Действуем по плану:

Из последней выкладки видно, что наше неравенство решений не имеет.

Ответ: Ø

Знаки неравенства

Русскоязычная традиция начертания знаков и отличается от принятой в англоязычной литературе.

Символ Код в
Юникоде
Название
в Юникоде
Название HTML
шестн.
HTML
десят.
HTML
обозн.
LaTeX
U+2A7D Less-than or slanted equal to Меньше либо равно &#x2A7D; &#10877; отсутствует \leqslant
U+2A7E Greater-than or slanted equal to Больше либо равно &#x2A7E; &#10878; отсутствует \geqslant
U+2264 Less-than or equal to Меньше либо равно &#x2264; &#8804; &le; \le, \leq
U+2265 Greater-than or equal to Больше либо равно &#x2265; &#8805; &ge; \ge, \geq

Примечание

  1. М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике», М., 1974

См. также

, ≤, ≥ - легко

Смотреть
Видео

Старт
Практика

Показать
Рабочие листы

Практикуйтесь прямо сейчас!

Оцените это видео

Ø 5.0 / 1 оценок

Вы должны войти в систему, чтобы оценить это видео.

Вау, Спасибо!
Дайте нам свою оценку в Google! Мы были бы счастливы.

Гуглить

Автор

Юджин Ли

Описание

Символы неравенства: <,>, ≤, ≥

Символы неравенства - это сокращенное обозначение, используемое для сравнения различных величин. Есть четыре символа неравенства: «больше», «меньше», «больше или равно» и «меньше или равно». Так, например, предложение «5 больше 2» можно записать как 5> 2. Хороший способ запомнить, какое число больше, - представить каждый символ как рот; рот всегда будет есть большее из двух сравниваемых чисел.Узнайте о символах неравенства, помогая вампиру Кристоферу упаковать максимальное количество припасов, необходимых ему для поездки в Калифорнию. Ссылка на Common Core: CCSS.MATH.CONTENT.6.EE.B.8

Стенограмма

Символы неравенства: <,>, ≤, ≥

Вампир Кристофер - гурман, и ему нужна свежая, новая история для его блога: Вампир-вегетарианец. Он работает над новым произведением, поэтому он хочет отправиться в место, где растет его любимый фрукт: красный апельсин.В «Вампедии» он читал, что в Калифорнии растут кровавые апельсины, и это прекрасно, потому что он всегда хотел посетить там подземные сады. Чтобы помочь ему собрать вещи, он использует свои знания символов неравенства . И все его припасы у него в постели? Накидки, проверьте. Гель для волос, проверьте. Кровавый апельсиновый сок, проверьте. Но сколько из этих вещей ему разрешено брать с собой в самолет? Взглянем на числовую линию.

Использование неравенства

Путешествие Кристофера Вампира продлится на меньше, чем 15 дней.Для неравенств с 'меньше' мы используем этот знак <. Кроме того, для этой поездки Крис не может взять с собой в самолет больше, чем 1000 мл сока кровавого апельсина. Для неравенств типа « меньше или равно » мы используем этот символ: ≤. Нашему гурману-вампиру также нужно упаковать более 1 бутылки геля для волос, так как он закончился во время последнего отпуска. Нарисуем это на числовой прямой. Для неравенств с «больше чем» мы используем символ « больше ».Также ему нужно упаковать не менее 16 накидок, по одной на каждый день и две на всякий случай. Для неравенств с « не менее » мы используем символ « больше или равно ».

Сводка неравенств - Представьте себе рот

Давайте еще раз посмотрим на различные символы неравенства . Хороший способ запомнить, какое число больше, - представить каждый знак как рот . Рот всегда будет съесть большее из двух сравниваемых чисел.Например, сравним 2 и 4. Так как 2 меньше 4, рот съест 4. Если рот открывается вправо, читается: «a» на меньше, чем «b». Однако, если рот открывается влево, читается: «а» на больше, чем «b». Как мы видели ранее, символы «больше» и «меньше» также можно комбинировать со знаком равенства . Когда мы говорим « столько же, сколько» или «не более », мы имеем в виду «меньше или равно», что означает, что а может быть меньше или равно b.Но когда мы говорим « минимум », мы имеем в виду «больше или равно». Здесь a может быть больше b или равно b. Посмотрим, как вампир Кристофер наслаждается отпуском. О НЕТ! Нет больше кровавых апельсинов?!? Это может усложнить его отпуск ...

ЧИТАТЬ ДАЛЕЕ

Символы неравенства:

<,>, ≤, ≥ Упражнение

Хотели бы вы применить на практике то, что вы только что узнали? Практические задачи для этого видео Символы неравенства: <,>, ≤, ≥ помогут вам попрактиковаться и повторить свои знания.

  • Объясните символы неравенства.

    Подсказки

    Здесь вы видите числовую строку для $> 65 $.

    $ \ ge ~ $ совпадает с $ ~> ~ $, включая отношение $ ~ = ~ $.

    Здесь вы видите числовую строку для $ \ le 55 $.

    Обратите внимание на кружок.

    Решение

    Чтобы различать символы неравенства:

    • $ <~ $ для отношения меньше . Вы видите соответствующую числовую строку рядом.Тот факт, что Кристофер проводит в своей поездке на меньше, чем 15 дней, представлен пустым кружком.
    • $ \ le $ для отношения меньше или равно . Разница между этим символом и символом $ <$ - это знак $ = $. Это видно по закрашенному кружку.
    • $> $ для отношения больше . Аналогично отношению $ <$ соответствующий кружок пуст.
    • $ \ ge $ для отношения больше или равно .Он также включает знак $ = $, который может отображаться закрашенным кружком.
  • Найдите символ, который правильно описывает отношения.

    Подсказки

    Взгляните на этот пример:

    $ 4 $ больше, чем $ 2 $.

    Вы можете записать это как $ 4> 2 $.

    Или вы можете записать это как $ 2 <4 $.

    Как минимум означает больше или равно.

    Запомните знаки отношения:

    • $ <$ меньше
    • $ \ le $ меньше или равно
    • $> $ больше
    • $ \ ge $ больше или равно

    Решение

    Кристофер уже знает, что его поездка занимает менее 15 дней. Меньше указывает на символ $ <$ - или меньше чем: $ <15 $. Для изображения на числовой прямой вы используете пустой кружок, окружающий 15.

    Количество красного апельсина, которое он может взять с собой, ограничено сверху на 1000 ~ мл $, включая это количество. Это указывает на символ $ \ le $ - или меньше или равно: $ \ le 1000 $. Здесь вы используете закрашенный кружок.

    Кристофер знает, сколько геля для волос ему нужно. Поэтому он приходит к выводу, что нужно упаковать более одной бутылки геля для волос. Это указывает на $> $ - или больше чем-символ: $> 1 $.Снова вы используете пустой кружок.

    И последнее, но, по крайней мере, он собирает несколько накидок: по крайней мере, один на каждый день и один запасной, всего 16. Как минимум указывает на $ \ ge $ - или больше или равно символ: $ \ ge 16 $. Здесь вы используете закрашенный кружок на числовой прямой.

    Но что это? Прибыв в сад кровавых апельсинов, Кристофер обнаруживает табличку: Извините! Никаких кровяных апельсинов.

  • Определите соответствующее математическое неравенство, соответствующее числовой прямой.

    Подсказки

    Эта числовая прямая представляет собой неравенство $ x \ le 7 $.

    • Стрелка слева указывает на $ <$ или $ \ le $.
    • Закрашенный кружок означает меньше или равно.

    Эта числовая строка означает $ x> -20 $.

    Символ $ \ ge $ можно исключить, так как кружок пустой.

    Решение

    Сначала рассмотрим числовые прямые в целом.

    • Стрелка слева указывает на отношение $ <$ или $ \ le $.
    • Стрелка вправо указывает на отношение $> $ или $ \ ge $.
    Вы можете решить, использовать ли вам $$ или $ \ ge $ в зависимости от круга.
    • Пустой кружок означает $ <$ или $> $ в зависимости от направления стрелки.
    • Закрашенный кружок означает $ \ le $ или $ \ ge $.
    Таким образом, мы можем определить соответствующее неравенство слева направо:
    • $ x \ le 8 $
    • $ x <8 $
    • $ x> 4 $
    • $ х \ ge 4 $
  • Изучите неравенство по разным задачам со словами.

    Подсказки

    Как минимум означает больше или равно.

    Более обозначают символ $> $.

    Различать меньше чем ($ <$) и меньше или равно ($ \ le $).

    Решение

    Вы можете запомнить различные ключевые слова, которые указывают на символ неравенства:

    • Больше чем означает больше, чем $> $.
    • Не менее означает, что $ \ ge $ больше или равно.
    Ограничение скорости Конечно, ограничение скорости не означает, что вы должны ехать быстрее этого ограничения. Получаем неравенство $ x \ le 45 $.

    День рождения Вы хотите пригласить менее 10 друзей. Получаем $ x <10 $.

    Наушники Более обозначают символ $> $. Это дает нам $ x> 25 $.

  • Решите, какой символ неравенства использовать.

    Подсказки

    Обратите внимание

    Если вы измените знак чисел, вам также придется изменить символ неравенства.

    Позаботьтесь об использовании $> $ или $ \ ge $:

    • $ 7 \ ge 7 $, но $ 7 \ not> 7 $
    • $ 7> 4 $ а также $ 7 \ ge 4 $

    Решение

    Вы можете представить себе символ «больше чем» в виде рта.

    Чем больше число съедает, тем большее число.

    • Например, $ 4> 2 $. Вы также можете использовать знак $ \ ge $.
    • Аналогично $ 2 <4 $, а также $ 2 \ le 4 $. Порядок изменен.
    Обратите внимание на знак чисел:
    • $ -2> -4 $, а также $ -2 \ ge -4 $.
    • И наоборот, мы можем заключить, что $ -4 <-2 $ или $ -4 \ le -2 $.
  • Определите соответствующее неравенство.

    Подсказки

    Обратите внимание на кружок:

    • Пустые кружки обозначают $> $ или $ <$.
    • Закрашенные кружки обозначают $ \ ge $ или $ \ le $.

    Кружок указывает число, которое вы должны использовать в неравенстве.

    Кружок указывает, с одной стороны, на число 65 долларов США, а с другой - на то, что 65 долларов США принадлежат неравенству.

    Стрелка справа указывает $> $ или $ \ ge $.

    Вместе мы можем заключить следующее неравенство для этой числовой прямой:

    $ x \ ge 65 $.

    Решение

    Вы используете числовые линии для обозначения неравенства.

    Сначала вы рисуете круг точно на месте соответствующего числа.

    В зависимости от символа неравенства кружок заполнен или пуст:

    • Пусто: $> $ или $ <
    • Заполнено: $ \ ge $ или $ \ le $
    Вы можете выбрать $$ или $ \ ge $ в зависимости от направления стрелки.

    Здесь вы видите четыре разные числовые линии, сверху вниз:

    • $ x> -6 $
    • $ х \ ле -2
    • $
    • $ x <4 $
    • $ х \ ge 2 $

Больше видео в Решение уравнений

Устранение неравенств

Иногда нам нужно решить такие неравенства:

Символ

слов

Пример

>

больше

х + 3 > 2

<

менее

7x < 28

больше или равно

5 x - 1

меньше или равно

2 года + 1 7

Решение

Наша цель - иметь x (или другую переменную) отдельно слева от знака неравенства:

Примерно так: х <5
или: г ≥ 11

Мы называем это «решенным».

Пример: x + 2> 12

Вычтем 2 с обеих сторон:

х + 2 - 2> 12 - 2

Упростить:

x> 10

Решено!

Как решить

Решение неравенств очень похоже на решение уравнений ... мы делаем почти то же самое ...

... но мы также должны обратить внимание на направление неравенства .


Направление: куда «указывает» стрелка

Некоторые вещи могут изменить направление !

<становится>

> становится <

≤ становится ≥

≥ становится ≤

Безопасные дела

Эти вещи не влияют на направление неравенства:

  • Сложить (или вычесть) число с обеих сторон
  • Умножьте (или разделите) обе стороны на положительное число
  • Упростить сторону

Пример: 3x

<7 + 3

Мы можем упростить 7 + 3, не влияя на неравенство:

3x <10

Но эти вещи действительно меняют направление неравенства (например, «<» становится «>»):

Пример: 2y + 7

<12

Когда мы меняем местами левую и правую части, мы также должны изменить направление неравенства :

12 > 2лет + 7

Вот подробности:

Сложение или вычитание значения

Часто мы можем решить неравенства, добавляя (или вычитая) число с обеих сторон (точно так же, как во Введении в алгебру), например:

Пример: x + 3

<7

Если вычесть 3 с обеих сторон, получим:

х + 3 - 3 <7 - 3

х <4

И вот наше решение: x <4

Другими словами, x может быть любым значением меньше 4.

Что мы сделали?

Мы пошли от этого:

Кому:

х + 3 <7

х <4

И это хорошо работает для , прибавляя и , вычитая , потому что, если мы прибавляем (или вычитаем) одинаковую сумму с обеих сторон, это не влияет на неравенство

Пример: У Алекса больше монет, чем у Билли.Если и Алекс, и Билли получат по три монеты больше, у Алекс все равно будет больше монет, чем у Билли.

Что, если я решу, но "x" справа?

Неважно, просто поменяйте местами стороны, но поменяет знак на противоположный, чтобы он все еще «указывал» на правильное значение!

Пример: 12

Если вычесть 5 с обеих сторон, получим:

12 -5 -5

7 <х

Вот и решение!

Но ставить "x" слева - это нормально...

... так давайте обратим внимание (и знак неравенства!):

x> 7

Вы видите, как знак неравенства все еще «указывает» на меньшее значение (7)?

И вот наше решение: x> 7

Примечание: «x» может находиться справа, но людям обычно нравится видеть его слева.

Умножение или деление на значение

Также мы умножаем или делим обе части на значение (как в алгебре - умножение).

Но нам нужно быть немного осторожнее (как вы увидите).


Положительные значения

Все нормально, если мы хотим умножить или разделить на положительное число :

Пример: 3y

<15

Если мы разделим обе стороны на 3, получим:

3 года /3 <15 /3

г <5

И вот наше решение: y <5


Отрицательные значения
Когда мы умножаем или делим на отрицательное число
, мы должны перевернуть неравенство.

Почему?

Ну вы посмотрите на числовую строку!

Например, от 3 до 7 - это , ,
, а от −3 до −7 - , уменьшение.

−7 <−3 7> 3

Видите, как меняет знак неравенства (с <на>)?

Давайте попробуем пример:

Пример: −2y

<−8

Разделим обе части на −2... и отменяют неравенство !

−2y <−8

−2y / −2 > −8 / −2

г> 4

И это правильное решение: y> 4

(Обратите внимание, что я перевернул неравенство в той же строке , разделенное на отрицательное число.)

Итак, запомните:

При умножении или делении на отрицательное число отменяет неравенство

Умножение или деление на переменные

Вот еще один (хитрый!) Пример:

Пример: bx

<3b

Кажется легко просто разделить обе стороны на b , что дает нам:

х <3

... но подождите ... если b равно отрицательное , нам нужно изменить неравенство следующим образом:

x> 3

Но мы не знаем, положительное или отрицательное значение b, поэтому мы не можем ответить на этот !

Чтобы помочь вам понять, представьте, что замените b на 1 или −1 в примере bx <3b :

  • , если b равно 1 , то ответ будет x <3
  • , но если b равно −1 , то мы решаем −x <−3 , и ответим будет x> 3

Ответом может быть x <3 или x> 3 , и мы не можем выбрать, потому что не знаем b .

Так:

Не пытайтесь делить на переменную для решения неравенства (если вы не знаете, что переменная всегда положительна или всегда отрицательна).

Пример побольше

Пример:

x − 3 2 <−5

Во-первых, давайте очистим "/ 2", умножив обе стороны на 2.

Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не изменятся.

x − 3 2 × 2 <−5 × 2

х − 3 <−10

Теперь прибавьте 3 к обеим сторонам:

х − 3 + 3 <−10 + 3

х <−7

И вот наше решение: x <−7

Два неравенства сразу!

Как решить задачу сразу с двумя неравенствами?

Пример:

−2 < 6−2x 3 <4

Во-первых, давайте очистим "/ 3", умножив каждую часть на 3.

Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не меняются:

−6 <6−2x <12

Теперь вычтите 6 из каждой части:

−12 <−2x <6

Теперь разделите каждую часть на 2 (положительное число, чтобы неравенства снова не изменились):

−6 <−x <3

Теперь умножьте каждую часть на -1. Поскольку мы умножаем на отрицательное число , неравенства меняют направление .

6> х> −3

И это решение!

Но для наглядности лучше иметь меньшее число слева, большее - справа. Так что давайте поменяем их местами (и убедимся, что неравенства указывают правильно):

−3 <х <6

Сводка

  • Многие простые неравенства могут быть решены путем сложения, вычитания, умножения или деления обеих сторон, пока не останется переменная сама по себе.
  • Но эти вещи изменят направление неравенства:
    • Умножение или деление обеих сторон на отрицательное число
    • Замена левой и правой сторон
  • Не умножайте и не делите на переменную (если вы не знаете, что она всегда положительна или всегда отрицательна)

Решение вопросов со словами о неравенстве

(Вы можете сначала прочитать Введение в неравенство и решение неравенств.)

В алгебре у нас есть вопросы о неравенстве, например:

Сэм и Алекс играют в одной футбольной команде.


В минувшую субботу Алекс забил на 3 гола больше, чем Сэм, но вместе они забили меньше 9 голов.

Какое возможное количество голов забил Алекс?

Как мы их решаем?

Уловка состоит в том, чтобы разбить решение на две части:

Превратите английский в алгебру.

Затем решите с помощью алгебры.

Как английский язык превращается в алгебру

Превратить английский в алгебру помогает:

  • Прочтите сначала все
  • Сделайте набросок, если нужно
  • Назначьте букв значениям
  • Найдите или разработайте формул

Мы также должны записать , что на самом деле требуется для , чтобы мы знали, куда мы идем и когда мы приедем!

Лучший способ узнать это - на примере, поэтому давайте попробуем наш первый пример:

Сэм и Алекс играют в одной футбольной команде.


В минувшую субботу Алекс забил на 3 гола больше, чем Сэм, но вместе они забили меньше 9 голов.

Какое возможное количество голов забил Алекс?

Письма о назначении:

  • количество голов, забитых Алексом: А
  • количество голов, забитых Сэмом: S

Мы знаем, что Алекс забил на 3 гола больше, чем Сэм, поэтому: A = S + 3

А мы знаем, что вместе они забили меньше 9 голов: S + A <9

Нас спрашивают, сколько голов мог бы забить Алекс: A

Решить:

Начать с: S + A <9

A = S + 3, поэтому: S + (S + 3) <9

Упростить: 2S + 3 <9

Вычтем 3 с обеих сторон: 2S <9 - 3

Упростить: 2S <6

Разделить обе стороны на 2: S <3

Сэм забил менее 3 голов, что означает, что Сэм мог забить 0, 1 или 2 гола.

Алекс забил на 3 гола больше, чем Сэм, поэтому Алекс мог забить 3, 4 или 5 голов .

Чек:

  • Когда S = 0, тогда A = 3 и S + A = 3, и 3 <9 правильно
  • Если S = ​​1, тогда A = 4 и S + A = 5, и 5 <9 правильно
  • Если S = ​​2, тогда A = 5 и S + A = 7, и 7 <9 правильно
  • (Но когда S = 3, тогда A = 6 и S + A = 9, а 9 <9 неверно)

Еще много примеров!

Пример: Из 8 щенков девочек больше, чем мальчиков.

Сколько может быть девочек-щенков?

Письма о назначении:

  • количество девочек: г
  • количество мальчиков: б

Мы знаем, что есть 8 щенков, поэтому: g + b = 8, что может быть преобразовано в

б = 8 - г

Мы также знаем, что девочек больше, чем мальчиков, поэтому:

г>

б

У нас спрашивают количество щенков девочек: г

Решить:

Начать с: g> b

b = 8 - g , поэтому: g> 8 - g

Добавьте g к обеим сторонам: g + g> 8

Упростить: 2g> 8

Разделите обе стороны на 2: g> 4

Итак, девочек может быть 5, 6, 7 или 8.

Может ли родиться 8 девочек? Тогда бы вообще не было мальчиков, и вопрос по этому поводу не ясен (иногда вопросы такие).

Чек

  • Когда g = 8, тогда b = 0 и g> b правильно (но разрешено ли b = 0?)
  • Когда g = 7, тогда b = 1 и правильное g> b
  • Когда g = 6, тогда b = 2 и g> b правильно
  • Когда g = 5, тогда b = 3 и правильное g> b
  • (Но если g = 4, то b = 4 и g> b неверно)

Быстрый пример:

Пример: Джо участвует в гонке, где ему нужно ехать на велосипеде и бегать.

Он проезжает на велосипеде расстояние 25 км, а затем пробегает 20 км. Его средняя скорость бега составляет половину его средней скорости езды на велосипеде.

Джо завершает гонку менее чем за 2,5 часа, что мы можем сказать о его средней скорости?

Письма о назначении:

  • Средняя скорость движения: с
  • Средняя скорость езды на велосипеде: 2 с

Формулы:

  • Скорость = Расстояние Время
  • Что можно изменить на: Время = Расстояние Скорость

Нас спрашивают о его средних скоростях: с и 2 с

Гонка делится на две части:

1.Велоспорт
  • Расстояние = 25 км
  • Средняя скорость = 2 с км / ч
  • Итак Время = Расстояние Средняя скорость = 25 2 с часов
2. Работает
  • Расстояние = 20 км
  • Средняя скорость = с км / ч
  • Итак Время = Расстояние Средняя скорость = 20 с часов

Джо завершает забег менее чем за 2,5 часа

  • Общее время <2½
  • 25 2 с + 20 с <2½

Решить:

Начать с: 25 2 с + 20 с <2½

Умножить все члены на 2 с .: 25 + 40 <5 с

Упростить: 65 <5s

Разделите обе стороны на 5: 13

Поменять местами: с> 13

Значит, его средняя скорость бега больше 13 км / ч, а его средняя скорость езды на велосипеде больше 26 км / ч

В этом примере мы можем использовать сразу два неравенства:

Пример: скорость

v м / с шара, брошенного прямо в воздух, равна v = 20 - 10t , где t - время в секундах.

В какое время скорость будет от 10 до 15 м / с?

Письма:

  • скорость в м / с: v
  • время в секундах: t

Формула:

У нас спрашивают время t , когда v находится между 5 и 15 м / с:

10

10 <20 - 10 т <15

Решить:

Начать с: 10 <20 - 10т <15

Вычтем 20 из каждого: 10-20 <20-10t - 20 <15-20

Упростить: −10 <−10t <−5

Разделим каждое на 10: −1 <−t <−0.5

Изменить знаки и отменить неравенства: 1> t> 0,5

Лучше сначала показать меньшее число
, поэтому поменяйте местами: 0,5

Таким образом, скорость составляет от 10 до 15 м / с между 0,5 и 1 секундой позже.

И достаточно сложный пример , чтобы закончить:

Пример: прямоугольная комната вмещает не менее 7 столов, каждый из которых имеет площадь 1 квадратный метр.Периметр комнаты 16 м.


Какой может быть ширина и длина комнаты?

Сделайте набросок: мы не знаем размеров столов, только их площадь, они могут подходить идеально или нет!

Письма о назначении:

  • длина помещения: л
  • ширина помещения: Вт

Формула для периметра: 2 (Ш + Д) , и мы знаем, что это 16 м

  • 2 (Ш + Д) = 16
  • Вт + Д = 8
  • Д = 8 - Ш

Мы также знаем, что площадь прямоугольника равна ширине, умноженной на длину: Площадь = Ш × Д

И площадь должна быть больше или равна 7:

Нас спрашивают возможные значения Вт и L

Давайте решим:

Начать с: Ш × Д ≥ 7

Заменитель L = 8 - W: W × (8 - W) ≥ 7

Expand: 8W - W 2 ≥ 7

Переместите все термины в левую часть: W 2 - 8W + 7 ≤ 0

Это квадратное неравенство.Ее можно решить разными способами, здесь мы решим ее, заполнив квадрат:

Переместите числовой член - 7 в правую часть неравенства: W 2 - 8W ≤ −7

Заполните квадрат в левой части неравенства и уравновесите его, прибавив такое же значение к правая часть неравенства: W 2 - 8W + 16 ≤ −7 + 16

Упростить: (W - 4) 2 ≤ 9

Извлеките квадратный корень из обеих частей неравенства: −3 ≤ W - 4 ≤ 3

Да, у нас есть два неравенства, потому что 3 2 = 9 И (−3) 2 = 9

Добавьте 4 к обеим сторонам каждого неравенства: 1 ≤ W ≤ 7

Таким образом, ширина должна быть между 1 м и 7 м (включительно), а длина - 8 - ширина .

Чек:

  • Скажем, W = 1, тогда L = 8−1 = 7 и A = 1 x 7 = 7 м 2 (подходит ровно для 7 таблиц)
  • Скажем, W = 0,9 (меньше 1), тогда L = 7,1 и A = 0,9 x 7,1 = 6,39 м 2 (7 не подходят)
  • Скажем, W = 1,1 (чуть выше 1), тогда L = 6,9 и A = 1,1 x 6,9 = 7,59 м 2 (7 легко помещаются)
  • Аналогично для W около 7 м

Устранение неравенств - объяснения и примеры

Что такое неравенство в математике?

Слово неравенство означает математическое выражение, в котором стороны не равны друг другу.По сути, неравенство сравнивает любые два значения и показывает, что одно значение меньше, больше или равно значению на другой стороне уравнения.

Как правило, для представления уравнений неравенства используются пять символов неравенства.

Символы неравенства

Эти символы неравенства: меньше ( <), больше (> ), меньше или равно (), больше или равно () и символ неравенства () .

Неравенства используются для сравнения чисел и определения диапазона или диапазонов значений, которые удовлетворяют условиям данной переменной.

Операции с неравенствами

Операции с линейными неравенствами включают сложение, вычитание, умножение и деление. Общие правила этих операций показаны ниже.

Хотя мы использовали символ <для иллюстрации, следует отметить, что те же правила применяются к>, ≤ и ≥.

  • Символ неравенства не меняется, когда одно и то же число добавляется к обеим сторонам неравенства.Например, если a
  • Вычитание обеих частей неравенства на одно и то же число не меняет знака неравенства. Например, если a
  • Умножение обеих частей неравенства на положительное число не меняет знака неравенства. Например, если a
  • Разделение обеих сторон неравенства на положительное число не меняет знака неравенства. Если a
  • Умножение обеих сторон уравнения неравенства на отрицательное число изменяет направление символа неравенства.Например, если a b *
  • Аналогичным образом, разделение обеих сторон уравнения неравенства на отрицательное число изменяет символ неравенства. Если a b / c

Как устранить неравенства?

Подобно линейным уравнениям, неравенства можно решить, применяя аналогичные правила и шаги за некоторыми исключениями. Единственная разница при решении линейных уравнений - это операция умножения или деления на отрицательное число.Умножение или деление неравенства на отрицательное число изменяет символ неравенства.

Линейные неравенства можно решить с помощью следующих операций:

  • Сложение
  • Вычитание
  • Умножение
  • Деление
  • Распределение собственности

Решение линейных неравенств с сложением

, чтобы увидеть несколько примеров ниже это понятие.

Пример 1

Решите 3x - 5 ≤ 3 - x.

Решение

Начнем с добавления обеих сторон неравенства на 5

3x - 5 + 5 ≤ 3 + 5 - x

3x ≤ 8 - x

Затем сложим обе стороны на x.

3x + x ≤ 8 - x + x

4x ≤ 8

Наконец, разделите обе части неравенства на 4, чтобы получить;

x ≤ 2

Пример 2

Вычислите диапазон значений y, который удовлетворяет неравенству: y - 4 <2y + 5.

Решение

Сложите обе части неравенства на 4.

y - 4 + 4 <2y + 5 + 4

y <2y + 9

Вычтите обе части на 2y.

y - 2y <2y - 2y + 9

Y <9 Умножьте обе части неравенства на -1 и измените направление символа неравенства. y> - 9

Решение линейных неравенств с вычитанием

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 3

Решите x + 8> 5.

Решение

Изолируйте переменную x, вычтя 8 из обеих сторон неравенства.

x + 8-8> 5-8 => x> −3

Следовательно, x> −3.

Пример 4

Решите 5x + 10> 3x + 24.

Решение

Вычтите 10 из обеих сторон неравенства.

5x + 10-10> 3x + 24-10

5x> 3x + 14.

Теперь мы вычитаем обе части неравенства на 3x.

5x - 3x> 3x - 3x + 14

2x> 14

x> 7

Решение линейных неравенств с умножением

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 5

Решить x / 4> 5

Решение:

Умножить обе стороны неравенства на знаменатель дроби

4 (x / 4)> 5 x 4

x> 20

Пример 6

Решите -x / 4 ≥ 10

Решение:

Умножьте обе стороны неравенства на 4.

4 (-x / 4) ≥ 10 x 4

-x ≥ 40

Умножьте обе стороны неравенства на -1 и измените направление символа неравенства на противоположное.

x ≤ - 40

Решение линейных неравенств с делением

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 7

Решите неравенство: 8x - 2> 0.

Решение

Прежде всего, сложите обе стороны неравенства на 2

8x - 2 + 2> 0 + 2

8x> 2

Теперь решите, разделив обе части неравенства на 8, чтобы получить;

x> 2/8

x> 1/4

Пример 8

Решите следующее неравенство:

−5x> 100

Решение

8 Divide both сторон неравенства на -5 и измените направление символа неравенства

= −5x / -5 <100 / -5

= x <- 20

Решение линейных неравенств с использованием свойства распределения

Давайте посмотрим на несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 9

Решить: 2 (x - 4) ≥ 3x - 5

Решение

2 (x - 4) ≥ 3x - 5

Примените свойство распределения, чтобы удалить скобки.

⟹ 2x - 8 ≥ 3x - 5

Сложить обе стороны на 8.

⟹ 2x - 8 + 8 ≥ 3x - 5 + 8

⟹ 2x ≥ 3x + 3

Вычесть обе стороны на 3.

⟹ 2x - 3x ≥ 3x + 3 - 3x

⟹ -x ≥ 3

⟹ x ≤ - 3

Пример 10

Студент набрал 60 баллов за первый тест и 45 баллов во втором тесте заключительного экзамена.Сколько минимальных баллов должен набрать ученик в третьем тесте, получив в среднем не менее 62 баллов?

Решение

Пусть в третьем тесте будет набрано x баллов.

(60 + 45 + x) / 3 ≥ 62
105 + x ≥ 196
x ≥ 93
Следовательно, учащийся должен набрать 93 балла, чтобы поддерживать среднее значение не менее 62 баллов.

Пример 11

Джастину требуется не менее 500 долларов для празднования своего дня рождения.Если он уже накопил 150 долларов, до этой даты осталось 7 месяцев. Какую минимальную сумму он должен откладывать ежемесячно?

Решение

Пусть минимальная ежемесячная экономия = x

150 + 7x ≥ 500

Решить для x

150-150 + 7x ≥ 500-150

x ≥ 50

Следовательно, Джастин должен экономить 50 долларов США или больше

Пример 12

Найдите два последовательных нечетных числа, которые больше 10 и имеют сумму меньше 40.

Решение

Пусть меньшее нечетное число = x

Следовательно, следующее число будет x + 2

x> 10 ………. больше 10

x + (x + 2) <40 …… сумма меньше 40

Решите уравнения.

2x + 2 <40

x + 1 <20

x <19

Объедините два выражения.

10

Следовательно, последовательные нечетные числа - 11 и 13, 13 и 15, 15 и 17, 17 и 19.

Неравенства и числовая линия

Лучшим инструментом для представления и визуализации чисел является числовая линия. Числовая линия определяется как прямая горизонтальная линия с числами, расположенными на равных отрезках или интервалах. У числовой прямой есть нейтральная точка в середине, известная как начало координат. Справа от начала координат на числовой прямой находятся положительные числа, а слева от начала координат - отрицательные числа.

Линейные уравнения также можно решить графическим методом с использованием числовой прямой.Например, чтобы построить x> 1 на числовой прямой, вы обведите цифру 1 на числовой прямой и проведете линию, идущую от круга в направлении чисел, которые удовлетворяют утверждению о неравенстве.

Пример 13

Если символ неравенства больше или равен или меньше или равен знаку (≥ или ≤), нарисуйте круг над числовым числом и заполните или заштрихуйте круг.Наконец, проведите линию, идущую от заштрихованного круга в направлении чисел, которая удовлетворяет уравнению неравенства.

Пример 14

x ≥ 1

Та же процедура используется для решения уравнений, включающих интервалы.

Пример 15

–2 < x <2

Пример 16

–1 ≤ x 0004 9004 ≤ 2

Пример 17

–1 < x ≤ 2

Практические вопросы

Решите следующие неравенства и представьте свой ответ на числовой прямой.

  1. 2x> 9
  2. x + 5> 13
  3. −3x <4
  4. 7x + 11> 2x + 5
  5. 2 (x + 3)
  6. - 5 ≤ 2x - 7 ≤ 1
  7. 4x - 8 ≤ 12

Ответы

  1. x> 9/2
  2. x> 8
  3. x> −4/3
  4. x> −6/5
  5. x <−5.
  6. 1 ≤ x ≤ 4.
  7. x ≤ 5
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Символы неравенства

Символы неравенства - это символы, которые используются для обозначения отношений неравенства.Вместе с другими математическими символами, такими как знак равенства (=), который указывает на отношение равенства, их иногда называют символами отношения.

Строгие неравенства включают символы меньше (), описанные ниже. Хотя знак равенства технически не является символом неравенства, он обсуждается вместе с символами неравенства, поскольку он включен как часть нестрогих неравенств, таких как больше или равно (& geq;) и меньше или равно (& leq;) .

Знак равенства: =

Знак равенства, обозначенный как «=», означает равенство.Выражения по обе стороны от знака равенства либо имеют одинаковое значение, либо имеют одинаковое значение для определенных значений. Равенство (как и неравенство) является основой для решения алгебраических уравнений и неравенств.

2 = 2

5 + 3 = 1 + 7

х = х

Все приведенные выше уравнения верны. В случаях, когда значения не равны, мы можем использовать несколько различных символов неравенства, например знак «не равно».

Знак отличия: ≠

Знак «не равно», также называемый знаком «не равно», представляет собой символ, который указывает на неравенство значений или выражений по обе стороны от символа.

12 17

x 2 ≠ x 3

х - 7 ≠ х + 7

Хотя вышеупомянутое использование верно для всех случаев, оно не говорит нам ничего, кроме того, что выражения по обе стороны от символа не равны. Существуют и другие, более конкретные отношения неравенства, подобные приведенным ниже.

Знак больше:>

Знак "больше" - это символ, указывающий на строгое неравенство между двумя значениями; в частности, что значение слева от знака «больше» больше, чем значение справа."Больше, чем" - это строгое неравенство, означающее, что значение слева от знака должно быть больше, чем значение справа; они не могут быть равны. Ниже приведены допустимые варианты использования знака "больше":

5> 4

х 2 > х

х + 12> х + 7

Обычно, учитывая

а> б

a должно быть больше b. Таким образом, если бы b было 4, а могло бы быть любое значение больше 4, но не 4. В тех случаях, когда а также может быть равно 4, мы бы вместо этого использовали знак больше или равно.

Знак "больше или равно": & geq;

Знак больше или равно - это символ, который указывает, что значение в левой части символа больше или равно значению справа. Это также можно прочитать, так как значение слева как минимум равно значению справа. Учитывая

а & geq; б

a может быть равно b, в отличие от знака «больше». Это потому, что & geq; не означает строгое неравенство. Это единственное различие между ">" и "& geq;".

Меньше знака:

Знак «меньше» соответствует знаку «больше». Это указывает на строгое неравенство между двумя значениями; в частности, значение слева от знака «меньше» меньше значения справа. Ниже приведены допустимые варианты использования знака «меньше»:

3

х 2 4

х - 12

Как правило, учитывая

а

значение a должно быть меньше, чем значение b.Им не может быть равных. Если мы хотим обозначить, что a может быть меньше или равно b, мы бы вместо этого использовали знак «меньше или равно» (& leq;).

Знак "меньше или равно": & leq;

Знак «меньше или равно» - это символ, который указывает, что значение в левой части символа меньше или равно значению справа. Это также может быть прочитано как означающее, что значение или выражение в левой части символа может быть не больше, чем значение справа, но не больше.Как правило, учитывая

а & leq; б

a может быть равно b. В отличие от знака «меньше чем», & leq; не означает строгое неравенство. Это единственное различие между "

Когда вы переворачиваете знак неравенства?

Тогда ты выполняешь домашнее задание ... ага. Неравенство с множеством отрицаний и абсолютных значений. Помощь! Когда вы переворачиваете знак неравенства?

Не бойся! Есть несколько случаев, когда вы переворачиваете неравенство, и мы рассмотрим их ниже.

TL; DR (слишком долго; не читал)

TL; DR (слишком долго; не читал)

Переверните знак неравенства, когда вы умножаете или делите обе стороны неравенства на отрицательное число .

Кроме того, при решении неравенств с абсолютными значениями часто приходится менять знак неравенства.

Умножение и деление неравенств на отрицательные числа

Основная ситуация, когда вам нужно перевернуть знак неравенства, - это умножение или деление обеих сторон неравенства на отрицательное число.

Например, рассмотрим следующую задачу:

Чтобы решить, вам нужно получить все x -е на одной стороне неравенства. Вычтите 6_x_ с обеих сторон, чтобы слева осталось только x .

3_x_ −6_x_ + 6> 6_x_ −6_x_ + 12

Теперь изолируйте x с левой стороны, переместив константу 6 на другую сторону неравенства. Для этого отнимите 6 с обеих сторон.

- 3_x_ + 6 - 6> 12 - 6

Теперь разделите обе части неравенства на −3. Поскольку вы делите на отрицательное число, вам нужно перевернуть знак неравенства .

−3_x_ (÷ −3) <6 (÷ - 3)

То же правило применимо, если вы умножаете обе стороны на дробь. Умножение и деление - это противоположности одного и того же процесса, вроде сложения и вычитания, поэтому к обоим применяются одни и те же правила.

Проблемы с абсолютным значением

Вам также необходимо подумать о том, чтобы перевернуть знак неравенства, когда вы имеете дело с проблемами абсолютного значения .

Возьмем следующий пример. Если у вас есть:

Тогда, прежде всего, вы хотите изолировать выражение абсолютного значения в левой части неравенства (это облегчает жизнь). Вычтем 6 из обеих частей, чтобы получить:

Теперь вам нужно переписать это выражение как составное неравенство . | 3_x_ | <6 можно записать двумя способами:

3_x_ <6 («положительная» версия) или

3_x_> −6 («отрицательная» версия).

Эти два оператора также могут быть записаны в одной строке:

Результат выражения абсолютного значения всегда положительный, но « x » внутри знаков абсолютного значения может быть отрицательным, поэтому нам необходимо рассмотреть случай когда x отрицательно.По сути, мы умножаем на −1: мы умножаем x на отрицательное значение слева (но поскольку оно находится внутри знаков абсолютного значения, результат все еще положительный), а затем мы умножаем правую часть на отрицательную единицу и меняя знак неравенства, потому что мы просто умножили на минус.

Это дает нам два наших неравенства (или наше «сложное неравенство»). Мы легко можем решить оба из них.

3_x_ <6 становится x <2, если мы разделим обе стороны на 3.

3_x_> −6 становится x > −2 после того, как мы разделим обе стороны на 3.

Таким образом, решение будет x <2 и x > −2, или −2 < x <2.

Такого рода проблемы требуют некоторой практики, так что не волнуйтесь, если у вас не сразу получится! Продолжайте это делать, и со временем это станет вашей второй натурой.

Символы и графики неравенства | Колледж алгебры Corequisite

Результаты обучения

  • Изобразите неравенства с помощью символа неравенства
  • Изобразите неравенства на числовой прямой

Неравенство - это математическое утверждение, которое сравнивает два выражения с использованием такой фразы, как больше или меньше .В этих утверждениях используются специальные символы. В алгебре неравенства используются для описания наборов значений, в отличие от отдельных значений переменной. Иногда несколько чисел удовлетворяют неравенству, но в других случаях бесконечно много чисел может дать решения. Вместо того, чтобы пытаться перечислить, возможно, бесконечно большой набор чисел, математики разработали несколько эффективных способов описания таких больших списков.

Символы неравенства

Один из способов представить такой список чисел, неравенство, - использовать символ неравенства:

  • [latex] {x} \ lt {9} [/ latex] указывает список чисел, которые меньше [latex] 9 [/ latex].Поскольку этот список бесконечен, было бы невозможно перечислить все числа меньше, чем [latex] 9 [/ latex].
  • [латекс] -5 \ le {t} [/ latex] указывает все числа, которые больше или равны [latex] -5 [/ latex].

Если вы прочитаете приведенное выше утверждение слева направо, оно будет переведено как [латекс] -5 [/ latex] меньше или равно t . Направление символа зависит от утверждения, которое вы хотите сделать. Например, следующие утверждения эквивалентны.Оба представляют собой список всех чисел меньше 9. Обратите внимание, что открытый конец символа неравенства обращен к большему значению, а меньший заостренный конец указывает на меньшее из значений:

  • [латекс] {x} \ lt {9} [/ латекс]
  • [латекс] {9} \ gt {x} [/ латекс]

Вот еще один способ взглянуть на:

  • [латекс] x \ lt5 [/ latex] означает все действительные числа, которые меньше 5, тогда как;
  • [latex] 5 \ lt {x} [/ latex] означает, что 5 меньше x, или мы могли бы переписать это с x слева: [latex] x \ gt {5} [/ latex].Обратите внимание на то, что неравенство по-прежнему указывает то же направление относительно x. Этот оператор представляет все действительные числа, которые больше 5, что легче интерпретировать, чем 5 меньше x.

В рамке ниже показаны символ, значение и пример для каждого знака неравенства, как они были бы переведены при чтении слева направо.

Символ слов Пример
[латекс] \ neq [/ латекс] не равно [латекс] {2} \ neq {8} [/ latex], 2 равно не равно - 8 .
[латекс] \ gt [/ латекс] больше [латекс] {5} \ gt {1} [/ latex], 5 больше 1
[латекс] \ lt [/ латекс] менее [латекс] {2} \ lt {11} [/ latex], 2 меньше 11
[латекс] \ geq [/ латекс] больше или равно [латекс] {4} \ geq {4} [/ latex], 4 больше или равно 4
[латекс] \ leq [/ латекс] меньше или равно [латекс] {7} \ leq {9} [/ latex], 7 меньше или равно 9

Неравенство [latex] x> y [/ latex] также можно записать как [latex] {y} <{x} [/ latex].Стороны любого неравенства можно поменять местами, если символ неравенства между ними также перевернут.

Графическое изображение неравенства

Другой способ изобразить неравенство - изобразить его на числовой прямой:

Ниже приведены три примера неравенств и их графики. Графики часто полезны для визуализации информации.

[латекс] х \ leq -4 [/ латекс]. Это переводится во все действительные числа в числовой строке, которые меньше или равны [латекс] 4 [/ латекс].

[латекс] {x} \ geq {-3} [/ латекс]. Это переводится во все действительные числа в числовой строке, которые больше или равны -3.

Каждый из этих графиков начинается с круга - открытого или замкнутого (заштрихованного) круга. Эту точку часто называют конечной точкой решения. Замкнутый или заштрихованный круг используется для обозначения неравенств , которые больше или равны [latex] \ displaystyle \ left (\ geq \ right) [/ latex] или меньше или равны [latex] \ displaystyle. \ left (\ leq \ right) [/ латекс].Конечная точка - это часть решения. Открытый кружок используется для больше (>) или меньше (<). Конечная точка - , а не часть решения. Когда конечная точка не включена в решение, мы часто говорим, что имеем строгое неравенство , а не неравенство с равенством .

Затем график бесконечно продолжается в одном направлении. Это показано линией со стрелкой в ​​конце. Например, обратите внимание, что для графа [latex] \ displaystyle x \ geq -3 [/ latex], показанного выше, конечной точкой является [latex] −3 [/ latex], представленная замкнутым кружком, поскольку неравенство равно . больше или равно [латекс] -3 [/ латекс].Синяя линия рисуется справа от числовой, потому что значения в этой области больше, чем [latex] −3 [/ latex]. Стрелка в конце указывает, что решения продолжаются бесконечно.

Пример

График неравенства [латекс] x \ ge 4 [/ латекс]

Показать решение

Мы можем использовать числовую линию, как показано. Поскольку значения для [latex] x [/ latex] включают [latex] 4 [/ latex], мы помещаем сплошную точку на числовой строке в [latex] 4 [/ latex].

Затем мы рисуем линию, которая начинается с [latex] x = 4 [/ latex] и, как указано стрелкой, продолжается до положительной бесконечности, что показывает, что набор решений включает все действительные числа, большие или равные [latex] 4 [/ латекс].

В этом видео показан пример построения графика неравенства.

Пример

Напишите неравенство, описывающее все действительные числа в числовой строке, которые строго меньше [latex] 2 [/ latex]. Затем нарисуйте соответствующий график.

Показать решение

Нам нужно начинать слева и работать вправо, поэтому мы начинаем с отрицательной бесконечности и заканчиваем на [latex] 2 [/ latex].

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *