Пример по математике сложный: Сложные примеры по математике, которые вгоняют в краску неучей

Содержание

Более сложные примеры уравнений | Математика

52. Более сложные примеры уравнений.
Пример 1.

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x2 – 1)

Общий знаменатель есть x2 – 1, так как x2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Умножим обе части этого уравнения на x2 – 1. Получим:

или, после сокращения,

5(x + 1) – 3(x – 1) = 15

или

5x + 5 – 3x + 3 = 15

или

2x = 7 и x = 3½

Рассмотрим еще уравнение:

5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x2 – 1)

Решая, как выше, получим:

5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 или 2x = 2 и x = 1.

Посмотрим, оправдываются ли наши равенства, если заменить в каждом из рассмотренных уравнений x найденным числом.

Для первого примера получим:

Видим, что здесь нет места никаким сомнениям: мы нашли такое число для x, что требуемое равенство оправдалось.

Для второго примера получим:

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) или 5/0 – 3/2 = 15/0

Здесь возникают сомнения: мы встречаемся здесь с делением на нуль, которое невозможно. Если в будущем нам удастся придать определенный, хотя бы и косвенный, смысл этому делению, то тогда мы можем согласиться с тем, что найденное решение x – 1 удовлетворяет нашему уравнению. До этой же поры мы должны признать, что наше уравнение вовсе не имеет решения, имеющего прямой смысл.

Подобные случаи могут иметь место тогда, когда неизвестное входит как-либо в знаменатели дробей, имеющихся в уравнении, причем некоторые из этих знаменателей, при найденном решении, обращаются в нуль.

Пример 2.

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

Можно сразу видеть, что данное уравнение имеет форму пропорции: отношение числа x + 3 к числу x – 1 равно отношению числа 2x + 3 к числу 2x – 2. Пусть кто-либо, в виду такого обстоятельства, решит применить сюда для освобождения уравнения от дробей основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). Тогда он получит:

(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)

или

2x2 + 6x – 2x – 6 = 2x2 + 3x – 2x – 3.

Здесь может возбудить опасения, что мы не справимся с этим уравнением, то обстоятельство, что в уравнение входят члены с x2. Однако, мы можем от обеих частей уравнения вычесть по 2x2 — от этого уравнение не нарушится; тогда члены с x2 уничтожатся, и мы получим:

6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3

Перенесем неизвестные члены влево, известные вправо — получим:

3x = 3 или x = 1

Вспоминая данное уравнение

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

мы сейчас же подметим, что найденное значение для x (x = 1) обращает в нуль знаменателей каждой дроби; от такого решения мы, пока не рассмотрели вопроса о делении на нуль, должны отказаться.

Если мы подметим еще, что применение свойства пропорции усложнило дело и что можно было бы получить более простое уравнение, умножая обе части данного на общий знаменатель, а именно на 2(x – 1) — ведь 2x – 2 = 2 (x – 1), то получим:

2(x + 3) = 2x – 3 или 2x + 6 = 2x – 3 или 6 = –3,

что невозможно.

Это обстоятельство указывает, что данное уравнение не имеет таких, имеющих прямой смысл решений, которые не обращали бы знаменателей данного уравнения в нуль.
Решим теперь уравнение:

(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)

Умножим обе части уравнения 2(x – 1), т. е. на общий знаменатель, получим:

6x + 10 = 2x + 18

или

4x = 8 и x = 2

Найденное решение не обращает в нуль знаменатель и имеет прямой смысл:

или 11 = 11

Если бы кто-либо, вместо умножения обеих частей на 2(x – 1), воспользовался бы свойством пропорции, то получил бы:

(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) или
6x2 + 4x – 10 = 2x2 + 16x – 18.

Здесь уже члены с x2 не уничтожались бы. Перенеся все неизвестные члены в левую часть, а известные в правую, получили бы

4x2 – 12x = –8

или

x2 – 3x = –2

Это уравнение мы теперь решить не сумеем. В дальнейшем мы научимся решать такие уравнения и найдем для него два решения: 1) можно взять x = 2 и 2) можно взять x = 1. Легко проверить оба решения:

1) 22 – 3 · 2 = –2 и 2) 12 – 3 · 1 = –2

Если мы вспомним начальное уравнение

(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),

то увидим, что теперь мы получим оба его решения: 1) x = 2 есть то решение, которое имеет прямой смысл и не обращает знаменателя в нуль, 2) x = 1 есть то решение, которое обращает знаменателя в нуль и не имеет прямого смысла.

Пример 3.

Найдем общего знаменателя дробей, входящих в это уравнение, для чего разложим на множители каждого из знаменателей:

1) x2 – 5x + 6 = x2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),

2) x2 – x – 2 = x2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),

3) x2 – 2x – 3 = x2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

Общий знаменатель равен (x – 3)(x – 2)(x + 1).

Умножим обе части данного уравнения (а его мы теперь можем переписать в виде:

на общего знаменателя (x – 3) (x – 2) (x + 1). Тогда, после сокращения каждой дроби получим:

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) или
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.

Отсюда получим:

–x = –13 и x = 13.

Это решение имеет прямой смысл: оно не обращает в нуль ни одного из знаменателей.

Если бы мы взяли уравнение:

то, поступая совершенно так же, как выше, получили бы

3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2

или

3x + 3 – 2x + 6 = x – 2

или

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

откуда получили бы

0 = –11,

что невозможно. Это обстоятельство показывает, что нельзя найти для последнего уравнения решения, имеющего прямой смысл.

Сложные примеры — легкие решения

  • Авторы
  • Руководители
  • Файлы работы
  • Презентация
  • Наградные документы

Татаурова Н.И. 1


1МБОУ Гимназия № 17 4 класс

Сунцова Е.В. 1


1МБОУ Гимназия № 17

Немецкий математик Георг Кантор выяснил, что бесконечность может быть разной величины, и некоторые бесконечные множества содержат больше элементов, чем другие:

Математики продолжают открывать все большие и большие числа или размеры, известные как Большие кардиналы. Таким образом, процесс идет так, что определение кардинала достигается до тех пор, пока кто-то не докажет, что другой кардинал больше, чем все другие известные кардиналы. Затем, в зависимости от их доказательства, это становится новым наибольшим кардиналом.

На протяжении всего прошлого века известные крупные кардиналы неуклонно продвигались вперед. Хотя кажется, что вершина большой количественной иерархии уже видна, многие вопросы о том, насколько большим будет это окончательное большое кардинальное число, остаются открытыми.

ПРОВЕРКА: 10 необъяснимых древних артефактов со всего мира

6. Задача о распутывании

На сегодняшний день простейшая версия задачи о распутывании решена, но полная версия остается нерешенной. Основа этой задачи вытекает из математической темы Knot Theory:

Существующий алгоритм может распутывать узлы любой сложности, но когда узлы становятся более сложными, алгоритмы начинают решать невероятно много времени.

Итак, что еще предстоит увидеть, так это то, что если кто-то сможет разработать алгоритм, способный распутывать любое количество узлов за так называемое полиномиальное время, это, наконец, решит проблему распутывания раз и навсегда.

(Впрочем, при этом кто-то мог даже доказать, что эта задача неразрешима).

5. Задача с числом поцелуев

В пятерку самых сложных математических задач входит задача с числом поцелуев:

Задача с числом поцелуев определяет следующее: когда в области находится множество сфер, каждая сфера считается есть число поцелуев, которое является числом других сфер, с которыми оно соприкасается.

Например, если вы касаетесь шести соседних сфер, то число поцелуев равно шести.

У упакованной группы сфер будет среднее число поцелуев, что поможет описать ситуацию с точки зрения математики. Однако именно тогда, когда проблема пересекает три измерения или большие числа, проблемы поцелуев остаются нерешенными.

CHECK OUT: 7 самых ценных иностранных монет: от Европы до Африки

4. Гипотеза Римана

Одной из наиболее важных открытых проблем в математике является гипотеза Римана. За ее решение даже предусмотрена награда в миллион долларов:

(верно, это одна из тех математических задач на миллион долларов, о которых вы наверняка слышали).

Гипотеза Римана фокусируется на том, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана находятся в действительной части 1/2.

В терминах комплексных чисел это означает, что функция имеет определенное поведение вдоль вертикальной линии, и гипотеза утверждает, что это поведение будет продолжаться вдоль этой линии бесконечно.

Понимание простых чисел значительно расширилось за последние 160 лет, но гипотеза Римана до сих пор не решена.

3. Гипотеза о простых числах-близнецах

Гипотеза о простых числах-близнецах — одна из самых известных нерешенных математических задач:

Это одна из многих задач теории чисел, связанных с простыми числами. Когда два простых числа имеют разность в два, они называются простыми числами-близнецами.

Например, 11 и 13 — простые числа-близнецы, как и 59.9 и 601.

Теория чисел утверждает, что существует бесконечное количество простых чисел, поэтому должно быть верным, что существует бесконечно много простых чисел-близнецов. Соответственно, гипотеза о простых числах-близнецах предсказывает, что существует бесконечное число простых чисел-близнецов.

Хотя математики добились прогресса в решении этой проблемы за последнее десятилетие, они все еще далеки от ее решения. Это делает ее одной из самых сложных математических задач в мире.

ПРОВЕРКА: 5 самых странных дней в истории человечества

2. Гипотеза Гольдбаха

Гипотеза Гольдбаха остается одной из самых сложных математических задач на сегодняшний день:

Проще говоря, Гипотеза Гольдбаха утверждает, что каждое четное число, большее двух, является суммой двух простых чисел. Хотя компьютеры проверили гипотезу для нескольких чисел, доказательство все еще необходимо для всех натуральных чисел.

Многие считают, что гипотеза Гольдбаха является преуменьшением для очень больших чисел. Тем не менее, эта проблема долгое время продолжала озадачивать математиков.

1. Гипотеза Коллатца