Минус умножить на минус сколько будет: Как правильно умножать отрицательные числа?

Содержание

Как правильно умножать отрицательные числа?

В 6 классе каждый школьник знает отличие между положительным и отрицательным числом и правила умножения. В этой статье объединим эти две темы и попрактикуемся в умножении отрицательных чисел.

Записывайтесь на онлайн-фестиваль для родителей SmartFest!

Ждём вас 8 октября в 13:00. Вместе с педагогами, психологами и другими экспертами в образовании и воспитании ответим на главные вопросы мам и пап.

Бесплатный урок по математике

Записаться

Основные определения

Вспомним, как отличить положительное число от отрицательного, что такое умножение и какие у него свойства.

Начнем с того, что проведем прямую и отметим на ней начало отсчета — точку нуль (0). А теперь укажем направление движения по прямой вправо от начала координат. В этом нам поможет красивая стрелка:


Два главных определения:

Положительные числа — это точки координатной прямой, которые лежат правее начала отсчета (нуля). Иногда рядом с ними ставят знак плюс — «+», но чаще всего положительные числа никак не обозначают. То есть «+1» и «1» — это одно и тоже число.

Запоминаем!

Положительные числа — это те, что больше нуля, а отрицательные — меньшие.

Отрицательные числа — это точки координатной прямой, которые лежат левее начала отсчета (нуля). Их всегда обозначают знаком минус — «-».

Нуль (0) — ни положительное, ни отрицательное число. Вот это ему повезло!

Числовую ось можно расположить как горизонтально (стрелка вверх), так и вертикально (стрелка вправо).

Если стрелка направлена вверх, то в верхней части от начала отсчета всегда расположены положительные числа, а в нижней — отрицательные. Смотрите:


Прямая, на которой отмечена начальная точка, положительное направление и единичный отрезок, называется координатной или числовой осью.

Умножение — арифметическое действие в котором участвуют два аргумента. Один множимый, второй множитель. Результат их умножения называется произведением.

Свойства умножения

  1. От перестановки множителей местами произведение не меняется.
    a * b = b * a
  2. Результат произведения трёх и более множителей не изменится, если любую группу заменить произведением.
    a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c)

Вычислять можно в уме, при помощи таблицы умножения или в столбик. Продвинутые школьники могут использовать онлайн-калькулятор. 

Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Практикующий детский психолог Екатерина Мурашова

Бесплатный курс для современных мам и пап от Екатерины Мурашовой. Запишитесь и участвуйте в розыгрыше 8 уроков

Умножение отрицательных чисел

Правило умножения отрицательных чисел: чтобы умножить два отрицательных числа, нужно перемножить их модули. Это значит, что для любых отрицательных чисел -a, -b верно равенство:

  • (-а) * (-b) = a * b

А вот как умножить два числа с разными знаками:

  • перемножить модули этих чисел
  • перед полученным числом поставить знак минус

А теперь упростим правила. Сформулируем их в легкой форме с минимумом слов, чтобы проще запомнить:

  • «—» — при умножении минус на минус ответ будет положительным
    или минус на минус дает плюс
  • «-+» — при умножении минуса на плюс ответ будет отрицательным
    или минус на плюс дает минус
  • «+-» — при умножении плюса на минус ответ будет отрицательным
    или плюс на минус дает минус
  • «++» — при умножении плюса на плюс ответ будет положительным
    или плюс на плюс дает плюс.

Примеры умножения отрицательных чисел

Пример 1. Вычислить: (-2)∗(-2) и (-3)∗(-7)

Как решаем:

Вспомним правило: отрицательное число умножить на отрицательное — получается ответ со знаком плюс. Считаем:

 

  1. (-2)∗(-2) = 4

  2. (-3)∗(-7) = 21

Ответ: 4; 21.

Пример 2. Вычислить: (-11)∗11 и (-20)∗2

Как решаем:

Вспомним правило: отрицательное число умножить на положительное — получается ответ со знаком минус. Считаем:

 

  1. -11 * 11 = -121

  2. (-20) * 2 = -40

 Ответ: -121; -40.

Пример 3. Вычислить произведение: 5∗(-5) и 12∗(-8)

Как решаем:

Вспомним правило: умножение положительного на отрицательное число дает отрицательный результат. Считаем:

 

  1. 5 ∗ (-5)= -25

  2. 12 ∗ (-8)= -96

Ответ: -25; -96.

Пример 4. Вычислить произведение: (-0,125 ) * (-6)

Как решаем:

 

  1. Используем правило умножения отрицательных чисел:
    (-0,125 ) * (-6) = 0,125 * 6.

  2. Выполним умножение десятичной дроби на натуральное число столбиком:

Ответ: 0,75.

 

Шпаргалки по математике родителей

Все формулы по математике под рукой

При делении минуса на минус что получается

При делении минус на минус дает плюс – Умножения и деление отрицательных чисел. Решение примеров.

Если подположить, что минус на минус даёт минус, многие алгебраические вычисления будут приводить к абсурду.

Это обычный здравый смысл. Возьми аналог на примере слов. Предложение «я люблю чай с сахаром» — содержит как бы два множителя: «я люблю» и «с сахаром». «Минус» — это отрицательное число. Отрицание. Если в нашей фразе приписать «минус» к одному из множителей, то получится «я НЕ люблю чай с сахаром». А если приписать к другому, то «я люблю чай БЕЗ сахара». Если же минусы окажутся у обоих множителей, то получится фраза «я не люблю чай без сахара» — как видишь, она содержит тот же самый смысл, что и исходная фраза без отрицаний. Видишь? Иными словами, если ты отрицаешь отрицание — то ты тем самым утверждаешь. Простой здравый смысл!

если умножать минус на минус в результате будет плюс?

Если умножать отрицательное число на отрицательное, то да Минус на минус даёт плюс Например (-3) * (-3) = +9 Однако, если отрицательных множетелей нечётное количество, то уже будет минус! Например (-2) * (-2) * (-2) = -8 (потому, что при первом перемножении получился плюс, а при втором снова минус)

Это смотря как умножпть 8) Вожет получиться Три и более Минусов))

Да. В математике.. .

а это смотря в чем. в деньгах минус на минус дает еще больший минус. долговую яму. а в алгебре да. дает плюс. но вот в отношениях минус на минус дает вражду. а в математике да. плюс. но это не значит что тебе поставят плюс на уроке. ты ни умножать ни считать не можешь. а то бы не спрашивал здесь

В математике, если умножать минус на минус, получается плюс. В жизни если умножать минус, получается громадный МИНУС.

да! всегда так было, есть и будет!

ДА!)) ) Минус умножить на минус=+

Минус на минус дает плюс.

Почему?

Как известно, уже в школе всем говорят, что минус на минус дает плюс. Можно даже привести примеры:

$$x-(-y)=x+y; (-x)\cdot (-y)=x\cdot y; -x/\left(-y \right)=x/y$$ Но самое интересное в другом. Если у кого угодно спросить а почему так, то мало кто сможет ответить. Вам скажут — так принято или так должно быть по правилам. А ответить почему такие правила и откуда они появились еще труднее. И даже если задать такой же вопрос в поисковой системе, то можно прочитать все что угодно, начиная с дурацких примеров и заканчивая попытками объяснения из области теории групп. Ну как школьнику или даже студенту можно объяснить что такое кольца из теории групп? Поэтому требуется нормальное объяснение, основанное на понятных и легко проверяемых понятиях и правилах. Как оказалось, это можно сделать фактически в одну строку. Смотрите выкладки: $$A-(-B)=X\Rightarrow A=X+(-B)\Rightarrow A=X-B\Rightarrow A+B=X\Rightarrow A-(-B)=A+B$$ Тут тоже могут возникать вопросы: «Почему при переносе слагаемого меняется знак на противоположный?» Ответ будет такой: «Мы ничего никуда не переносим, а просто добавляем в левую и правую части выражения одну и ту же величину»: $$A-(-B)=X\Rightarrow A-\left(-B \right)+(-B)=X+(-B)$$ А вот теперь обозначим: $$-B=Z$$ и после подстановки все становится очевидным: $$A-Z=X\Rightarrow A-Z+Z=X+Z\Rightarrow A=X+Z$$ Теперь осталось вернуться к старой (заменной переменной), используя выражение: $$-B=Z$$ И в результате получим, что при «переносе вправо слагаемого его знак поменялся на противоположный»: $$ A=X-B$$ Вот и все преобразования, объясняющие почему если в выражении идет два минуса подряд, то в итоге их надо заменить на плюс. Теперь займемся случаем умножения двух отрицательных чисел. $$(-A)\cdot (-B)=X\Rightarrow (-A)\cdot (-B)+\left(A\cdot B \right)-\left(A\cdot B \right)=X\Rightarrow …$$ $$… \Rightarrow (-A)\cdot (-B)+\left(A\cdot B \right)+ \left(-A \right) \cdot B=X\Rightarrow …$$ $$…\Rightarrow \left(-A \right)\left[\left(-B \right)+B \right]+A\cdot B=X\Rightarrow \left(-A\ \right) \cdot 0+A\cdot B=X\Rightarrow A\cdot B=X$$ Теперь осталось приравнять, с одной стороны: $$\left(-A \right)\cdot \left(-B \right)=X$$ а с другой стороны: $$A \cdot B =X$$ Тогда, окончательно: $$\left(-A \right)\cdot \left(-B \right)=A \cdot B$$ Как вам понятно, с делением двух отрицательных чисел уже не возникает проблем, так как операцию деления можно легко заменить операцией умножения на обратное. Остается выяснить почему минус из знаменателя можно поднимать в числитель. Один из вариантов: $$\frac=\frac=\frac$$ Предлагаем все высказываться в комментариях, если что кому не понравилось. Эта статья подготовлена студенческой лабораторией для любознательных школьников и их учителей.

Отрицательные дроби

Отрицательные дроби — это дроби, числитель или знаменатель которых является отрицательным числом.

Отрицательные дроби могут быть записаны по-разному. Например, рассмотрим два частных:

каждое из них равно отрицательному числу

Каждое из данных частных можно записать в виде дроби, в которой дробная черта заменит знак деления:

-2 : 7 = -2 и 2 : (-7) = 2 .
7 -7

Следовательно, при записи отрицательных дробей знак минус можно ставить перед дробью, перед числителем или перед знаменателем:

2 = -2 = 2 .
7 7 -7

Сложение и вычитание

Чтобы сложить две отрицательные дроби, надо сначала привести их к общему знаменателю, а затем сложить числители по правилам сложения рациональных чисел.

2 + (- 1 ) .
5 4

Приведём дроби к общему знаменателю:

2 + (- 1 ) = -8 + -5 .
5 4 20 20

Теперь сложим числители дробей по правилам сложения рациональных чисел:

-8 + -5 = -8 + (-5) = -13 = 13 .
20 20 20 20 20
2 + (- 1 ) = -8 + -5 =
5 4 20 20
= -8 + (-5) = -13 = 13 .
20 20 20

Для вычисления разности двух отрицательных дробей можно вычитание заменить сложением, взяв уменьшаемое со свои знаком, а вычитаемое с противоположным.

5 — (- 11 ) = 5 + (+ 11 ) =
12 12 12 12
= 5 + 11 = -5 + 11 = 6 .
12 12 12 12

Сложение и вычитание отрицательных дробей производится по правилам сложения обыкновенных дробей, то есть сначала идёт приведение к общему знаменателю, если это нужно, а затем производятся вычисления.

Умножение и деление

Чтобы найти произведение двух отрицательных дробей, надо знаки минус перенести или в числители, или в знаменатели, а затем перемножить дроби по правилу умножения дробей.

2 · (- 4 ) = -2 · -4 = -2 · (-4) = 8 .
3 5 3 5 3 · 5 15

Так как при умножении двух отрицательных чисел результат будет положительным, то данный пример можно решить сразу, отбросив оба минуса:

2 · (- 4 ) = 2 · 4 = 2 · 4 = 8 .
3 5 3 5 3 · 5 15

При умножении отрицательной дроби на положительную результат будет отрицательным.

2 · 4 = 2 · 4 = 8 .
3 5 3 · 5 15

К отрицательным дробям можно применять любые законы умножения. Поэтому предыдущий пример можно переписать так:

4 · (- 2 ) = 4 · 2 = 8 .
5 3 5 · 3 15

То есть при умножении положительной дроби на отрицательную результат будет отрицательным.

Чтобы найти частное двух отрицательных дробей, надо знаки минус перенести или в числители, или в знаменатели, а затем произвести вычисления.

2 : (- 4 ) = -2 : -4 =
3 5 3 5
= -2 · 5 = -10 = 10 .
3 · (-4) -12 12

Знак результата умножения или деления отрицательных дробей можно узнать по правилам знаков целых чисел.

Математика для блондинок

Математикой должны заниматься блондинки — они врать не умеют.

Страницы

четверг, 31 декабря 2020 г.

Минус на плюс что дает?

Положительные и отрицательные числа придумали математики. Делать им было нечего, вот они и придумали. Правила умножения и деления положительных и отрицательных чисел придумали всё те же математики. Специально для того, чтобы нам жизнь мёдом не казалась. Как же нам быть? Нужно выучить эти правила, чтобы говорить математикам то, что они хотят от нас слышать.

Запомнить правила умножения или деления положительных и отрицательных чисел очень просто. Если два числа имеют разные знаки, в результате всегда будет знак минус.
Если два числа имеют одинаковые знаки, в результате всегда будет плюс.

Рассмотрим все возможные варианты. Что дает минус на плюс? При умножении и делении минус на плюс дает минус. Что дает плюс на минус? При умножении и делении в результате мы тоже получаем знак минус.

Минус на плюс, плюс на минус.

Как вы видите, все варианты умножения и деления положительных и отрицательных чисел исчерпаны, но знак плюс у нас так и не появился. Это мы сформулировали правило для себя, чтобы запомнить. Что говорить математикам? При умножении или делении положительных и отрицательных чисел в результате получается отрицательное число. Всегда.

Что дает минус на минус? Всегда будет получаться плюс, если мы выполняем умножение или деление. Что дает плюс на плюс? Здесь совсем просто. Умножение или деление плюса на плюс дает всегда плюс.

alt=»Минус на минус, плюс на плюс. Умножение и деление отрицательных или положительных чисел в результате дает положительное число. Математика для блондинок.или» width=»654″ height=»848″ />
Минус на минус, плюс на плюс.

Надеюсь, это вы запомнили: минус на минус дает плюс, плюс на плюс дает минус. Что говорить математикам? При умножении и делении положительных или отрицательных чисел в результате получается положительное число.

Если с умножением и делением двух плюсов всё понятно (в результате получается такой же плюс), то с двумя минусами ничего не понятно. По логике, если два плюса дают плюс, то два минуса должны давать минус. Такой большой, жирный минус. Но не тут-то было. Математики думают иначе. Так почему минус и минус превращаются в плюс?

Могу вас заверить, что интуитивно математики правильно решили задачу на умножение и деление плюсов и минусов. Они записали правила в учебники, не особо вдаваясь в подробности. Для правильного ответа на вопрос, нам нужно разобраться, что же означают знаки плюс и минус в математике.

Давайте попробуем применить правило умножениея и деления положительных и отрицательных чисел на практике. Придумаем какой-нибудь пример из нашей жизни. Думаю, вы слышали про бочку мёда и ложку дёгтя, которая может испортить весь мёд. Пусть мёд — это положительные числа, а дёготь — это числа отрицательные. Пробуем. Смотрим на картинки и описываем правила.

Если в бочку дёгтя добавить ложку мёда, получится бочка дёгтя.
Если в бочку мёда добавить ложку дёгтя, получится бочка дёгтя.
Если в бочку дёгтя добавить ложку дёгтя, получится бочка мёда.
Если в бочку мёда добавить ложку мёда, получится бочка мёда.

Первых два примера с натяжкой можно принять. Последний пример вообще не вызывает вопросов. А вот с предпоследним примером возникают очень большие проблемы — в жизни такого не бывает.

Здесь возможны два варианта:
1. Математики не правильно записали свое правило.
2. Мы не правильно применяем математическое правило.

Лично я за второй вариант. Объясню почему. Математику не только нужно знать, но нею ещё нужно уметь пользоваться.

Приведу пример из собственного опыта. Один учитель математики на уроках нам говорил: «математика – это точная наука, два раза соври – получится правда». Это утверждение однажды мне очень пригодилось. Как-то я решал сложную задачу с длинным решением. Я точно знал, какой результат должен быть. Но результат был другим. Я долго искал ошибку в расчетах, но не смог ее найти. Тогда, за несколько действий до итогового результата, я изменил одно число так, чтобы результат получился правильным. Я в расчетах соврал два раза и получил правильный результат. Математические вычисления в тот раз никто не проверял и я получил хорошую оценку. Это очень похоже на правило «минус на минус дает плюс», не так ли?

Но вернемся к нашим бочкам. Кстати, говорят, именно с бочек с вином математики срисовали знак «минус». Виноделы этим знаком обозначали пустые бочки. После наполнения бочек вином они перечеркивали знак «минус» и получался знак «плюс». По сути, знак «минус» заменял виноделам обычный ноль, ведь он обозначал отсутствие вина в бочке. Но математики ловко присобачили знак «минус» к числам и назвали их «отрицательными».

Так что же не так с мёдом и дёгтем в бочках? Мои четыре примера описывают действие сложения — ведь мы прибавляем одно к другому, а математические правила мы рассматриваем для деления и умножения. Это абсолютно разные вещи, сколько бы математики не повторяли, что умножение это и есть сложение. Сложение — это изменение количества. Умножение — это изменение качества. При добавлении ложки дёгтя в бочку мёда, мёд не превращается в дёготь. Мы просто получаем бочку испорченного мёда. Точно так же и дёготь, добавленный в бочку дёгтя, не превращает всё в мёд. При сложении и вычитании положительных и отрицательных чисел действуют совсем другие правила знаков.

В чем же отличие качественных изменений от количественных? В единицах измерения, которые в математике предпочитают игнорировать. Вот смотрите. Если мы к метрам длины прибавим метры ширины, мы получим метры периметра. А если мы умножим метры длины на метры ширины, то в результате будут метры квадратные площади. Теперь вопрос к математикам: сколько метров длины или ширины нужно сложить, чтобы получить один метр квадратный площади? Или вопрос к вам: сколько метров ниток вам нужно намотать на себя, чтобы одеться? Ведь ткань — это те же самые нитки, только в совершенно другом качестве. Ну и наглядный пример из алгебры:

В этом примере буква а выполняет роль единицы измерения. Кстати, правило умножения отрицательных чисел наводит на ещё один вопрос математикам: сколько отрицательных чисел нужно сложить, чтобы получилось одно положительное число?

Так что же такое знаки «плюс» и «минус» в математике? Существуют ли отрицательные числа? Об этом мы поговорим как-нибудь в другой раз.

Кто придумал что минус на минус дает плюс?

Содержание

  • — Что значит минус на минус дает плюс?
  • — Как будет минус или плюс?
  • — Чему равняется минус на минус?
  • — Что будет если делить на отрицательное число?
  • — Что способствовало появлению отрицательных чисел?
  • — Почему при умножении двух отрицательных чисел получается положительное?
  • — Какое действие выполняется первым плюс или минус?
  • — Что дает плюс на минус при сложении?
  • — Что значит +- в математике?
  • — Как делить отрицательные числа?
  • — Как складывать отрицательные числа?
  • — Что такое минус?
  • — Какой знак будет если минус делить на минус?
  • — Можно ли разделить на минус?
  • — Как складывать и вычитать отрицательные и положительные числа?

В трактате 1494 года Сумма арифметики итальянский математик Лука Пачоли вводит символы P с чертой — p̄ для più, то есть «плюс» и M с чертой — m̄ для meno, то есть «минус».

Что значит минус на минус дает плюс?

Этих принципов достаточно, чтобы вывести правило для «минус на минус». Разумно устроить умножение на отрицательные числа так, что произведение любого числа и нуля дает ноль. … Получается, это первое произведение должно быть положительным. Это и значит, что «минус на минус» дает «плюс».

Как будет минус или плюс?

Умножение. Если мы умножаем «минус» на «плюс», то получаем всегда «минус». Если мы умножаем «плюс» на «минус», то получаем всегда также «минус». Если мы умножаем «плюс» на «плюс», то получаем положительно число, то есть «плюс».

Чему равняется минус на минус?

В итоге появилось новое понятие: кольцо. Это всего-навсего множество элементов плюс действия, которые можно над ними производить. … Мы сформулируем аксиомы кольца (которые, естественно, похожи на правила действий с целыми числами), а затем докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус получается плюс.

Что будет если делить на отрицательное число?

В математике умножение или деление положительного числа на отрицательное дает в результате отрицательное число. Плюс умноженный на минус дает минус. Плюс деленный на минус будет минус. Если положительную дробь умножить или разделить на отрицательную дробь получится отрицательное число.

Что способствовало появлению отрицательных чисел?

Впервые отрицательные числа были частично узаконены в классическом китайском трактате «Математика в девяти книгах» (II в до н. э.), а затем (примерно с VII века) и в Индии, где трактовались как долги (недостача), или, как у Диофанта (III в н. э.), признавались как временные значения.

Почему при умножении двух отрицательных чисел получается положительное?

Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо умножить их модули. Таким образом, при умножении двух отрицательных чисел получается положительное число.

Какое действие выполняется первым плюс или минус?

действия выполняются по порядку слева направо, причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.

Что дает плюс на минус при сложении?

В этом случае получается та же ситуация, что при сложении двух отрицательных чисел. Так как, “минус” на “плюс” дает “минус”. Получившиеся числа складываются по модулю, а потом к результату возвращают “минус”.

Что значит +- в математике?

Знак плюс-минус (±) — математический символ, который ставится перед некоторым выражением и означает, что значение этого выражения может быть как положительным, так и отрицательным. Часто используется, например, для указания: . .. интервала значений результата в приближённых математических вычислениях.

Как делить отрицательные числа?

Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное (два отрицательных числа), надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

Как складывать отрицательные числа?

Чтобы сложить положительное и отрицательное число, нужно:

  1. Найти модули слагаемых — то есть этих чисел.
  2. Сравнить полученные числа. …
  3. Из большего модуля вычесть меньший.
  4. Перед полученным числом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше.

29 дек. 2020 г.

Что такое минус?

Минусовая фонограмма («минус», «минусовка»; от «запись минус один голос») — запись музыкального произведения, в котором отсутствует одна или более партий, обычно вокал или солирующий инструмент. Под такую запись музыкант (профессионал или любитель) имеет возможность сам исполнять отсутствующую партию.

Какой знак будет если минус делить на минус?

Когда умножаются или делятся два отрицательных числа, результатом будет положительное число. Минус умноженный на минус дает плюс, минус деленный на минус будет плюс.

Можно ли разделить на минус?

Итак, правило деления чисел с разными знаками имеет следующую формулировку: чтобы разделить положительное число на отрицательное или отрицательное число на положительное, надо модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным числом поставить знак минус.

Как складывать и вычитать отрицательные и положительные числа?

Как видим, чтобы вычесть из положительного числа отрицательное число, нужно просто сложить их модули. Таким образом, при вычитании отрицательного числа из отрицательного мы действуем по правилу сложения чисел с разными знаками, и у нас может получиться как положительное, так и отрицательное число.

Интересные материалы:

Сколько грамм весит креветка?
Сколько грамм весит один пирожок?
Сколько грамм весит одна шаурма?
Сколько калорий в 1 кг лишнего веса?
Сколько килограмм весит литр меда?
Сколько килограмм весит рога оленя?
Сколько может весить бобер?
Сколько примерно весит 1 гранат?
Сколько ребенок набирает вес в 3 триместре?
Сколько ребенок весит в 3 месяца?

Умножение чисел с разными знаками (6-й класс)

Цели урока:

Обучающие:

  • формулирование правил умножения чисел с одинаковыми и разными знаками;
  • овладение и совершенствование навыков умножения чисел с разными знаками.

Развивающие:

  • развитие мыслительных операций: сравнение, обобщение, анализ, аналогия;
  • развитие навыков самостоятельной работы;
  • расширение кругозора учащихся.

Воспитательные:

  • воспитание культуры оформления записей;
  • воспитание ответственности, внимания;
  • воспитание интереса к предмету.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование: компьютер, мультимедиапроектор, карточки для игры «Математический бой», тесты, карты учёта знаний.

На стенах плакаты:

  • Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит.
    Ал-Бируни
  • Во всём мне хочется дойти до самой сути…
    Б. Пастернак

План урока

  1. Организационный момент (1 мин).
  2. Вступительное слово учителя (3 мин).
  3. Устная работа (10 мин).
  4. Изложение материала (15 мин).
  5. Математическая цепочка (5 мин).
  6. Домашнее задание (2 мин).
  7. Тест (6 мин).
  8. Итог урока (3 мин).

I. Организационный момент

готовность учащихся к уроку.

II. Вступительное слово учителя

Ребята, мы сегодня с вами встретились не зря, а для плодотворной работы: получения знаний.

С тех пор, как существует мирозданье,
Такого нет, кто б не нуждался в знанье.
Какой мы не возьмём язык и век,
Всегда стремился к знанью человек…
Рудаки

На уроке мы будем изучать новый материал, закреплять его, работать самостоятельно, оценивать себя и своих товарищей. У каждого на столе лежит карта учета знаний, в которой наш урок разделён на этапы. Заработанные вами баллы на разных этапах урока вы сами будете заносить в эту карту. А в конце урока подведём итоги. Положите эти карты на видное место.

Карта учета знаний
Фамилия, имя учащегося
Игра «Математический бой» Математическая цепочка Тест Итог урока
баллы оценка
         

III. Устная работа (в виде игры «Математический бой»)

Ребята, прежде чем приступить к новой теме, повторим ранее изученное. У каждого на парте лежит лист с игрой «Математический бой». В вертикальных и горизонтальных столбцах записаны числа, которые необходимо сложить. Эти числа отмечены точками. Ответы запишем в те клеточки на поле, где и стоят точки.

Три минуты на выполнение. Начали работу.

А теперь обменялись работами с соседом по парте и проверяем их друг у друга. Если вы считаете, что ответ неправильный, то аккуратно зачеркните его и рядом впишите правильный. Проверяем.

А сейчас сверим ответы с экраном (на экран проектируются правильные ответы).

За правильно решенные

5 заданий ставим 5 баллов;
4 задания – 4 балла;
3 задания – 3 балла;
2 задания – 2 балла;
1 задание – 1 балл.

Молодцы. Отложили всё в сторону. Ребята, в свои карты учета знаний занесём количество баллов, набранное за «Математический бой» (Приложение 1).

IV. Изложение материала

Открываем рабочие тетради. Записываем число, классная работа.

  • Какие действия над положительными и отрицательными числами вы знаете?
  • Как сложить два отрицательных числа?
  • Как сложить два числа с разными знаками?
  • Как вычесть числа с разными знаками?
  • Вы всегда употребляете слово «модуль». А что называется модулем числа а?

Сегодняшняя тема урока также связана с действием над числами разных знаков. Но она спряталась в анаграмме, в которой необходимо поменять местами буквы и получить знакомое слово. Попробуем разгадать.

ЕНОЖЕУМНИ

Записываем тему урока: «Умножение».

Цель нашего урока: познакомиться с умножением положительных и отрицательных чисел и сформулировать правила умножения чисел как с одинаковыми, так и с разными знаками.

Всё внимание на доску. Перед вами таблица с задачами, решив которые мы сформулируем правила умножения положительных и отрицательных чисел.

Начальная температура 0°С 0°С 0°С 0°С
Изменение температуры за час 2°С –2°С –2°С 2°С
Время –3ч –3ч
Результат 6°С –6°С 6°С –6°С
  1. 2*3 = 6°С;
  2. –2*3 = –6°С;
  3. –2*(–3) = 6°С;
  4. 2*(–3) = –6°С;

1. Температура воздуха повышается каждый час на 2°С. Сейчас термометр показывает 0°С (Приложение 2 – Градусник) (слайд 1 на компьютере). Какую температуру воздуха будет показывать термометр через 3 часа?

  • Сколько получили? (6°С).
  • Кто-то запишет решение на доске, а мы все в тетрадях.
  • Давайте посмотрим на термометр, верный мы получили ответ? (слайд 2 на компьютере).

2. Температура воздуха понижается каждый час на 2°С. Сейчас термометр показывает 0°С (слайд 3 на компьютере). Какую температуру воздуха будет показывать термометр через 3 часа?

  • Сколько получили? (–6°С).
  • Запишем соответствующее решение на доске и в тетрадях. Аналогия с задачей 1.
  • Сравним результат с показанием термометра. (слайд 4 на компьютере).

3. Температура воздуха понижается каждый час на 2°С. Сейчас термометр показывает 0°С (слайд 5 на компьютере). Какую температуру воздуха показывал термометр 3 часа назад?

  • Сколько получили? (6°С).
  • Запишем соответствующее решение на доске и в тетрадях. Аналогия с задачами 1 и 2.
  • Сравним результат с показанием термометра. (слайд 6 на компьютере).

4. Температура воздуха повышается каждый час на 2°С. Сейчас термометр показывает 0°С (слайд 7 на компьютере). Какую температуру воздуха показывал термометр 3 часа назад?

  • Сколько получили? (–6°С).
  • Запишем соответствующее решение на доске и в тетрадях. Аналогия с задачами 1-3.
  • Сравним результат с показанием термометра. (слайд 8 на компьютере).

Посмотрите на свои результаты. При умножении чисел с одинаковыми знаками (примеры 1 и 3) какой по знаку получили ответ? (положительный).

Хорошо. Но вот в примере 3 оба множителя отрицательные, а ответ получили положительный. Какое математическое понятие позволяет от отрицательных чисел переходить к положительным? (модуль).

Внимание правило: Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками, надо умножить их модули и поставить перед полученным результатом знак «плюс». (2 человека повторяют).

Вернёмся к примеру 3. Чему равны модули (–2) и (–3)? Перемножим эти модули. Сколько получили? С каким знаком?

Далее при вычислениях мы будем говорить проще: умножение «минуса» на «минус» даёт «плюс». (кто-то повторяет).Но, ребята, это не правило.

При умножении чисел с разными знаками (примеры 2 и 4) какой по знаку получили ответ? (отрицательный).

Сформулируйте сами правило умножения чисел с разными знаками.

Правило: При умножении чисел с разными знаками, надо умножить их модули и поставить перед полученным результатом знак «минус». (2 человека повторяют).

Вернёмся к примерам №2 и №4. Чему равны модули их множителей? Перемножим эти модули. Сколько получили? Какой знак необходимо поставить в результате?

Далее при вычислениях мы будем говорить: умножение «минуса» на «плюс» даёт «минус», умножение «плюса» на «минус» даёт «минус». (кто-то повторяет).

С помощью этих двух правил можно умножать и дроби: десятичные, смешанные, обыкновенные.

Перед вами, на доске, несколько примеров. Три решим вместе со мной, а остальные самостоятельно. Обратите внимание на запись и оформление.

  1. = 96;
  2. = –21,2;
  3. = 14,7;
  4. = -6,5;
  5. = 66.

Молодцы. Откроем учебники и отметим правила, которые необходимо выучить к следующему уроку (страница 190, §7(пункт 35)). Знание этих правил поможет в дальнейшем быстро освоить деление положительных и отрицательных чисел.

V. Математическая цепочка

А сейчас Незнайка хочет проверить, как вы усвоили новый материал, и задаст вам несколько вопросов. Решение и ответы обязательно записываем в тетрадях (Приложение 3 – Математическая цепочка).

Компьютерная презентация
Здравствуйте ребята. Я вижу вы очень умные и любознательные, поэтому хочу задать вам несколько вопросов. Будьте внимательны, особенно со знаками.
Первый мой вопрос: умножить (–3) на (–13).
Второй вопрос: умножить то, что получили в первом задании на (–0,1).
Третий вопрос: результат второго задания умножить на (–2).
Четвёртый вопрос: умножить (-1/3) на результат третьего задания.

И последний, пятый вопрос: вычислите температуру замерзания ртути, умножив результат четвертого задания на 15.
Спасибо за работу. Желаю успеха.

Ребята, давайте проверим, как мы справились с заданиями. Встали все.

Сколько получили в первом задании?

У кого другой ответ, сели, и кто сел, в карту учета знаний ставим себе за математическую цепочку 0 баллов. Остальные ничего не ставят.

Сколько получили во втором задании?

У кого другой ответ, сели, и ставим себе в карту учета знаний за математическую цепочку 1 балл.

Сколько получили в третьем задании?

У кого другой ответ, сели, и ставим себе в карту учета знаний за математическую цепочку 2 балла.

Сколько получили в четвертом задании?

У кого другой ответ, сели, и ставим себе в карту учета знаний за математическую цепочку 3 балла.

Сколько получили в пятом задании?

У кого другой ответ, сели, и ставим себе в карту учета знаний за математическую цепочку 4 балла. Оставшиеся ребята решили правильно все 5 заданий. Садитесь, вы ставите себе в карту учета знаний 5 баллов за математическую цепочку.

Чему же равна температура замерзания ртути? (–39°С). 

VI. Домашнее задание

§7(пункт 35, страница 190), №1121– учебник: Математика. 6 класс: [Н.Я.Виленкин и др.]

Творческое задание: Составить задачу на умножение положительных и отрицательных чисел.

VII. Тест

Переходим к следующему этапу урока: выполнению теста (Приложение 4). 

Вам необходимо решить задания и обвести кружком номер правильного ответа. За первые два верновыполненных задания вы получите по 1 баллу, за 3 задание – 2 балла, за 4 задание – 3 балла. Начали работу.

Δ –1 балл;
o –2 балла;
–3 балла.

А теперь номера правильных ответов запишем в таблицу под тестом. Проверим полученные результаты. У вас в пустых клеточках должно получиться число 1418 (записываю на доске). Кто получил его – ставит в карту учета знаний 7 баллов. Кто допустил ошибки, то в карту учета знаний ставит количество баллов, набранное только за верновыполненные задания.

Именно 1418 дней длилась Великая Отечественная война, победа в которой русскому народу досталась тяжелой ценой. И 9 мая 2010 года мы будем отмечать 65-летие Победы над фашистской Германией.

VIII. Итог урока

А теперь подсчитаем общее количество баллов, набранных вами за урок, и результаты занесем в карту учета знаний учащихся. После сдаем эти карты.

15 – 17 баллов – оценка «5»;
10 – 14 баллов – оценка «4»;
менее 10 баллов – оценка «3».

Поднимите руки, кто получил «5», «4», «3».

  • Какую тему мы рассмотрели сегодня?
  • Как умножить числа с одинаковыми знаками; с разными знаками?

Итак, наш урок подошел к концу. Я хочу сказать вам СПАСИБО за работу на уроке.

Сколько будет плюс на минус? — IronSet

Plan

  • 1 Сколько будет плюс на минус?
  • 2 Как вычитать положительные и отрицательные числа?
  • 3 Как вычитать отрицательные дроби?
  • 4 Как вычитать дроби с целым числом?
  • 5 Можно ли разделить на минус?
  • 6 Как умножать и делить положительные и отрицательные числа?
  • 7 Что нужно сделать чтобы вычесть числа с разными знаками?
  • 8 Что необходимо знать чтобы правильно выполнить сложение или вычитание чисел?
  • 9 Как вычитать дроби с одинаковым числителем?
  • 10 Как сложить или вычесть дроби с разными знаменателями?
  • 11 Как решать Сложение смешанных дробей?

Сколько будет плюс на минус?

Произведение двух положительных чисел — число положительное, частное двух положительных чисел — положительное число. В математике умножение или деление положительного числа на отрицательное дает в результате отрицательное число. Плюс умноженный на минус дает минус. Плюс деленный на минус будет минус.

Когда минус на минус дает плюс?

Иначе говоря, чтобы умножение было осмысленным, «минус на плюс» должен давать «минус». Этих принципов достаточно, чтобы вывести правило для «минус на минус». Разумно устроить умножение на отрицательные числа так, что произведение любого числа и нуля дает ноль. Это и значит, что «минус на минус» дает «плюс».

Как вычитать положительные и отрицательные числа?

Как видим, чтобы вычесть из положительного числа отрицательное число, нужно просто сложить их модули. Таким образом, при вычитании отрицательного числа из отрицательного мы действуем по правилу сложения чисел с разными знаками, и у нас может получиться как положительное, так и отрицательное число.

Как считать числа с минусом?

Правило вычитания отрицательных чисел формулируется так: чтобы из числа a вычесть число b со знаком минус, необходимо к уменьшаемому a прибавить число −b , которое является противоположным вычитаемому b .

Как вычитать отрицательные дроби?

Чтобы сложить две отрицательные дроби, надо сначала привести их к общему знаменателю, а затем сложить числители по правилам сложения рациональных чисел. Пример. Для вычисления разности двух отрицательных дробей можно вычитание заменить сложением, взяв уменьшаемое со свои знаком, а вычитаемое с противоположным.

Как Минусовать дроби?

Чтобы вычесть из одной обыкновенной дроби другую, следует:

  1. привести дроби к наименьшему общему знаменателю;
  2. из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменений;
  3. сократить полученную дробь.

Как вычитать дроби с целым числом?

Чтобы из целого числа вычесть правильную дробь нужно представить это натуральное число в виде смешанного числа. Для этого занимаем единицу в натуральном числе и представляем её в виде неправильной дроби, знаменатель которой равен знаменателю вычитаемой дроби.

Как разделить дробь на отрицательное число?

Итак, правило деления чисел с разными знаками имеет следующую формулировку: чтобы разделить положительное число на отрицательное или отрицательное число на положительное, надо модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным числом поставить знак минус. Запишем это правило деления с помощью букв.

Можно ли разделить на минус?

Правило знаков при делении Поэтому в конце результат получится со знаком «минус». Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю. Делить на ноль НЕЛЬЗЯ!

Как разделить отрицательное число на отрицательное?

Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное (два отрицательных числа), надо разделить модуль делимого на модуль делителя. Пример 3. − 35 : − 7 = − 35 : − 7 = 5 .

Как умножать и делить положительные и отрицательные числа?

Умножение положительных и отрицательных чисел (то есть чисел с разными знаками) выполняется по следующему правилу: Чтобы перемножить два числа с разными знаками (положительное и отрицательное число), надо перемножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «минус».

Что нужно сделать чтобы сложить два числа с разными знаками?

Вспомним, как складывают два числа с разными знаками. Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и полученную разность взять со знаком того слагаемого, модуль которого больше.

Что нужно сделать чтобы вычесть числа с разными знаками?

Правило вычитания чисел с разными знаками дословно совпадает с правилом вычитания отрицательных чисел. Его формулировка такова: вычесть из числа a число b – это все равно, что к числу a прибавить число −b, где b и −b – противоположные числа.

Как вычитать числа с разными степенями?

Вычитание чисел с одинаковыми степенями Если степени одинаковые, а основания разные, то нельзя вычесть основания и затем эту разницу возводить в степень. Сначала возводим каждое число в степень и затем выполняем вычитание.

Что необходимо знать чтобы правильно выполнить сложение или вычитание чисел?

Первым делом нужно сравнить числа между собой.

  1. Если уменьшаемое меньше вычитаемого, то результатом будет отрицательное число.
  2. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то результат будет положительным.
  3. Если уменьшаемое равняется вычитаемому, то результатом будет число ноль. При вычитании нуля из числа, получится то же число.

Как вычесть две дроби с разными знаками?

Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему положительному знаменателю и сложить полученные дроби. Чтобы вычесть две дроби с одинаковым положительными знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним.

Как вычитать дроби с одинаковым числителем?

Определение: Чтобы найти разность дробей с разными знаменателями нужно привести дроби к общему знаменателю, затем вычесть дроби так же, как дроби с одинаковыми знаменателями.

Как вычесть смешанные дроби с разными знаменателями?

Вычитание смешанных дробей производится по тому же принципу: целая часть вычитается из целой части, дробная вычитается из дробной. Результаты этих разностей складываются. В приведённом выражении вычитаем целые и дробные части. Разность целых чисел равна 3, разность дробных чисел равна тём седьмым.

Как сложить или вычесть дроби с разными знаменателями?

Правило. Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно их сначала привести к наименьшему общему знаменателю, а потом производить действия сложения или вычитания как с дробями с одинаковыми знаменателями.

Как сложить дроби с разными знаменателями 5 класс?

Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, их надо привести к общему знаменателю, а затем применить правило сложения дробей с общим знаменателем.

Как решать Сложение смешанных дробей?

Чтобы сложить смешанные числа, надо сложить отдельно их целые и их дробные части и полученные результаты сложить. Пример. Условились считать, что любое натуральное число имеет дробную часть, равную нулю, а любая правильная дробь имеет целую часть, равную нулю.

Как складывать и вычитать смешанные числа с разными знаменателями?

Чтобы сложить смешанные числа нужно.

  1. Отдельно сложить их целые части. Пример.
  2. Отдельно сложить дробные части.
  3. Сложить полученные результаты из пунктов 1 и 2.
  4. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, то нужно выделить целую часть из этой дроби и прибавить к полученной в пункте 1 целой части.

Мнимые числа реальны — Наутилус

Мнимые числа вовсе не мнимые. Правда в том, что они оказали гораздо большее влияние на нашу жизнь, чем что-либо воображаемое. Без воображаемых чисел и жизненно важной роли, которую они играли в обеспечении электричеством домов, фабрик и интернет-ферм, современный мир не существовал бы. Студенты, которые могут жаловаться своему учителю математики на то, что никому нет смысла учиться пользоваться мнимыми числами, должны будут отложить телефон, выключить музыку и выдернуть провода из своего широкополосного маршрутизатора. Но, пожалуй, нам следует начать с объяснения того, что такое мнимое число.

Теперь мы знаем, как возвести число в квадрат (умножить его само на себя), и мы знаем, что отрицательные числа при возведении в квадрат дают положительное число; минус, умноженный на минус, — это плюс, помните? Таким образом, (–2) × (–2) = 4. Мы также знаем, что извлечение квадратного корня является обратным действием возведения в квадрат. Таким образом, возможные квадратные корни из 4 равны 2 и -2. Мнимое число возникает из вопроса, каким будет квадратный корень из -4.

То, что мы здесь открываем, не является какой-то глубокой тайной Вселенной.

Неужели вопрос бессмысленный? Если возвести в квадрат число, положительное или отрицательное, ответ положительный. Таким образом, вы не сможете выполнить обратную операцию, если начнете с отрицательного числа. Именно так, казалось, думал Герон Александрийский. Герон был египетским архитектором, чьи математические трюки, написанные в Stereometrica , дали нам купол собора Святой Софии. В том же томе он показал, как вычислить объем усеченной квадратной пирамиды; то есть пирамида с отрубленной вершиной. Его решение для одного примера заключалось в том, чтобы вычесть 288 из 225 и найти квадратный корень из результата. Результат, однако, является отрицательным числом: -63. Таким образом, ответ будет найден через √–63.

По какой-то причине — будь то ощущение, что была какая-то ошибка, или кто-то скопировал что-то неправильно, или потому что это было настолько абсурдно — рукописи, которые у нас есть, показывают, что Герон проигнорировал знак минус и вместо этого дал ответ как √63.

Квадратные корни отрицательных чисел — это то, что мы теперь называем мнимыми числами. Первым, кто предположил, что их не следует игнорировать, был итальянский астролог 16-го века Джером Кардано, который приступил к грандиозному проекту: книге, подробно излагающей все алгебраические знания того времени. Решая кубические уравнения, он остановился и уставился на проблему. Сначала он назвал их «невозможными случаями». В своей книге по алгебре 1545 г. Великое искусство , он привел пример попытки разделить 10 на два числа, которые умножаются вместе, чтобы получить 40. В процессе нахождения этих чисел вы сталкиваетесь с 5 + √–15.

Кардано не уклонился от этой неожиданной встречи. На самом деле, он даже записал несколько мыслей по этому поводу. Однако он писал на латыни, и переводчики спорят о том, что он имел в виду на самом деле. Для некоторых он называет это «ложной позицией». Для других это «фиктивное» число. Третьи говорят, что он характеризует ситуацию как «неразрешимую». Одно из его дальнейших замечаний о том, как действовать в такой ситуации, переводится как «отказ от душевных мук» и как «потеря воображаемых частей». В другом месте он называет это «арифметической тонкостью, конец которой… столь же утончен, сколь и бесполезен». Он говорит, что это «действительно сложно… невозможно выполнить другие операции, которые можно выполнить в случае чистого негатива». Под чистым отрицанием он подразумевает стандартное отрицательное число, что-то вроде -4. Он был доволен отрицательными числами и написал, что «√9равно +3 или -3, если плюс [умножить на плюс] или минус, умноженный на минус, дает плюс». И затем он продолжил: «√–9 — это не +3 и не —3, а нечто непонятное третьего рода». Кардано явно думал, что квадратные корни из отрицательных чисел были чем-то заумным и абстрактным, но в то же время он знал, что они были чем-то вроде и — чем-то, чем должен заниматься математик. Однако эта задача была не для него; ни в одном из последующих сочинений Кардано не упоминаются квадратные корни из отрицательных чисел. Он предоставил своему соотечественнику Рафаэлю Бомбелли обратиться к ним через пару десятилетий или около того.

В том, что он назвал «дикой мыслью», Бомбелли предположил в 1572 году, что два члена в 5 + √–15 можно рассматривать как две отдельные вещи. «Кажется, все дело зиждется на софистике, а не на истине», — сказал он, но все же сделал это. И мы все еще делаем это сегодня, потому что это работает.

Полное математическое описание природы требует существования мнимых чисел.

Две отдельные вещи Бомбелли были тем, что мы теперь называем действительными числами и мнимыми числами. Их комбинация известна как «комплексное число» (оно сложное, как в «военно-промышленном комплексе», если говорить о комбинации — реальной и мнимой частей — а не о сложности). Но давайте проясним. Если и есть что-то, чему мы научились в наше время, пересматривая математику, так это тому, что все числа воображаемы. Это просто обозначения, которые помогают понять понятие «сколько». Поэтому применение названия «мнимые числа» к квадратным корням из отрицательных чисел является уничижительным и бесполезным.

Тем не менее, мы должны признать различие. То, что математики называют «настоящими» числами, — это числа, с которыми вы лучше знакомы. «Двойка» в двух яблоках; 3,14… в пи; дробь. И точно так же, как положительные числа в некотором смысле дополняются отрицательными числами, то, что мы называем действительными числами, дополняется тем, что мы теперь называем мнимыми числами. Думайте о них как об инь и ян, или орел и решка. И уж точно не так, как на самом деле воображаемый.

Бомбелли в своей дикой мысли продемонстрировал, что это новое числовое племя может сыграть свою роль в реальном мире. Он решил решить кубическое уравнение, от которого отказался Кардано: x 3 = 15 x + 4. Решение Кардано требовало, чтобы он имел дело с выражением, содержащим квадратный корень из –121, и он просто не знал, что с ним делать. Бомбелли, с другой стороны, подумал, что может попробовать применить к квадратному корню обычные правила арифметики. Итак, сказал он, возможно, √–121 равно √121 × √–1, что дает 11 × √–1.

Великий прорыв Бомбелли состоял в том, что он увидел, что эти странные, кажущиеся невозможными числа подчиняются простым арифметическим правилам, когда они отделяются от других, более привычных типов чисел во время вычисления. Все после этого просто хватались за крапиву.

Продолжая кубическое уравнение Кардано, он в конце концов пришел к решению:

x = (2 + √–1) + (2 – √–1)

Разделите их на то, что мы теперь назвали бы их реальными и мнимых частей, и это упрощается до 2 плюс 2 и √–1 минус √–1. Мнимая часть исчезает, остается только 2 + 2. Таким образом, x = 4 является одним из решений x 3 = 15 x + 4. Подставьте его и проверьте сами.

В наши дни принято использовать i для представления √–1. Первым к этому пришел швейцарский математик Леонард Эйлер. Легко предположить, что i означает мнимое, но на самом деле, как и в случае со своим e , Эйлер мог просто выбрать его наугад. Какова бы ни была причина, ход Эйлера закрепил i как мнимое число весьма бесполезным образом.

Чтобы лучше понять, что такое мнимое число, давайте представим себе стандартную числовую прямую, которая идет от –1 до 1 (вы можете думать о ней как о линейке, расположенной на столе перед вами, идущей от –1 слева до +1 справа). Мы называем процесс движения по строке сложением и вычитанием (у меня 0,3, и я добавлю еще 0,3, что приведет меня к 0,6). Но мы также можем представить себе выполнение некоторых ходов путем умножения. Если я начну с 1, как мне добраться до –1? Умножаю на -1. Итак, давайте представим умножение на –1 как половину оборота против часовой стрелки по окружности (в нашем случае окружность проходит через 1 и –1). На самом деле это поворот на 180 градусов. В предпочитаемых математиками единицах измерения углов 180 градусов составляют π радиан (360°, полный круг, равен 2π радианам).

Что произойдет, если мы сделаем только половину этого вращения? Это на полпути к умножению на –1, что можно представить как умножение на √–1. Этот поворот всего на π/2 радиана (или 90°) оставляет наше число в верхней части окружности, в стороне от стандартной числовой линии. Таким образом, мы можем думать о квадратном корне из –1 как о расположении на числовой прямой, которая проходит под прямым углом к ​​знакомой нам числовой прямой. Это просто еще один набор чисел, на этот раз на линейке, которая совпадает с другой линейкой на отметке 9.0°, образуя крест, с +1 на самом дальнем от вас конце и –1 прямо перед вами.

Это приводит нас в интересное место. Связь с вращением по кругу означает, что и связаны с π и синусом и косинусом углов. Эта связь опосредована странным числом e , которое часто называют числом Эйлера. Это «иррациональное» число начинается с последовательности 2,71828… и продолжается вечно. Он широко распространен в математике и жизненно важен для статистики, математических вычислений, натуральных логарифмов и ряда арифметических вычислений. Эйлер точно определил, как это выглядит, взяв бесконечный ряд определенного типа (он называется рядом Тейлора) и выведя формулу Эйлера:0003

e ±iθ = cosθ ± i sinθ

Это показывает, что существует фундаментальная связь между основанием натурального логарифма и мнимым числом. Более того, вы можете свести это к соотношению, известному как тождество Эйлера:

e + 1 = 0

Для некоторых это почти мистическая формула. Здесь у нас есть основание натуральных логарифмов e ; числа 0 и 1, которые являются уникальными случаями во всей числовой строке; мнимое число, особый случай; и π, которое, как мы знаем, является источником силы в математике. Несмотря на то, что они были обнаружены в разное время разными людьми, изучающими разные области математики, оказывается, что они взаимосвязаны, сосуществуя в этом элегантном простом уравнении.

Взглянув немного с другой точки зрения, возможно, мы не должны удивляться. Как и в случае с самим числом π, в этой формуле нет ничего мистического. Это происходит от того, что числа изменяются и трансформируются сами и друг в друга посредством вращения. Это происходит только из-за того, чем являются числа: представлением отношений между величинами. Мы не находим ничего мистического в перемещении по привычной «действительной» числовой прямой путем сложения и вычитания. И на самом деле нет ничего особенного в преобразованиях, происходящих посредством умножения и деления. Помните, что синусы и косинусы — это просто отношения — одно число, деленное на другое, — которые связаны с углами внутри треугольников, и вы можете представить эти углы как доли или кратные π в единицах, известных как радианы. Итак, то, что мы здесь обнаруживаем, — это не какая-то глубокая тайна Вселенной, а ясный и полезный набор взаимосвязей, которые являются следствием различных способов определения чисел.

На самом деле, эти отношения более чем полезны — их можно назвать жизненно важными. Возьмем, к примеру, их применение в науке: полное математическое описание природы, по-видимому, требует существования мнимых чисел. «Настоящих» чисел, о которых мы так много узнали, недостаточно. Их нужно комбинировать с мнимыми числами, чтобы получить «комплексные» числа, которые впервые создал Бомбелли. В результате, по словам математика Роджера Пенроуза, получается прекрасная полнота. «Комплексные числа, как и действительные, а может быть, и в большей степени, обнаруживают поистине замечательное единство с природой», — говорит он в своей книге 9.0011 Дорога к реальности . «Это как если бы сама Природа была так же впечатлена масштабом и последовательностью системы комплексных чисел, как и мы сами, и доверила этим числам точные операции своего мира в его мельчайших масштабах». Другими словами, необходимо было открыть мнимые числа, потому что они составляют существенную часть описания природы.

Майкл Брукс — научный писатель из Соединенного Королевства. Его последняя книга — « Искусство большего: как математика создала цивилизацию 9». 0011 .

Отрывок из книги Майкла Брукса «Искусство большего: как математика создала цивилизацию ». Copyright © 2022 Майкл Брукс. Взято с разрешения Pantheon Books, подразделения Penguin Random House LLC. Все права защищены. Никакая часть этого отрывка не может быть воспроизведена или перепечатана без письменного разрешения издателя.

Главное изображение: agsandrew / Shutterstock

Получить информационный бюллетень Nautilus

Самые новые и самые популярные статьи доставляются прямо на ваш почтовый ящик!

По какому правилу вычитаются отрицательные числа?

Алгебра — раздел математики, занимающийся арифметическими операциями и связанными с ними символами. Символы называются переменными, которые могут принимать разные значения при различных ограничениях. Переменные в основном обозначаются как x, y, z, p или q, которыми можно манипулировать с помощью различных арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления для вычисления значений.

Отрицательные числа

Отрицательные числа обозначаются целыми числами, перед которыми стоит знак минус. Например, -4, -2 — отрицательные числа. Отрицательные числа лежат слева от числовой прямой, они отделены от положительных чисел 0. Можно сказать, что отрицательные числа являются дополнением положительных чисел. Отрицательные числа можно легко складывать или вычитать, используя оба отрицательных операнда. Давайте узнаем, как специально вычитать отрицательные числа с правильными случаями,

По какому правилу вычитаются отрицательные числа?

Решение:

Правило 1: Вычитание отрицательного числа из отрицательного числа (-) со знаком минус, за которым следует знак минус, превращает два знака в знак плюс.

Вычитание отрицательного числа из другого отрицательного числа — это просто сложение отрицательных и положительных чисел. Это потому, что по известному правилу – (-4) становится +4. Результирующая операция приобретает положительный характер. Заключительная операция может носить положительный или отрицательный характер. Однако величина конечного вывода больше, чем оба операнда, если ни один из операндов не равен 0. В случае вычитания отрицательных чисел могут возникнуть следующие сценарии, когда мы вычитаем второй операнд из первого операнда: 

  • Второй операнд > первый операнд
    Если величина второго операнда больше, чем величина первого операнда, окончательный результат имеет положительный знак, связанный с ним. Например, у нас есть, -2 – (-4). Это уравнение эквивалентно -2 + 4, что сводится к добавлению 4 к -2. На числовой прямой он начинается с -2.

Затем продвигаемся вперед с 4 единицами: +4.

Ответ: -2 – (-4) = 2.

  • Второй операнд < первого операнда 
    В случае, если величина второго операнда больше первого операнда, окончательный вывод имеет связанный с ним отрицательный знак. Например, у нас есть -4 – (-2). Это уравнение эквивалентно -4 + 2, что сводится к добавлению 2 к -4. На числовой прямой он начинается с -4. При добавлении 2 результат становится -2.
  • Второй операнд = первый операнд
    В случае, если величина второго операнда равна первому операнду, окончательный вывод равен 0. Например, у нас есть, -2 – (-2). Это уравнение эквивалентно -2 + 2, которое сводится к добавлению 2 к -2 и дает 0,

Примеры задач

Вопрос 1: Оцените -4 – (-10) – 2 – (-25).

Решение:

 -4 – (-10) – 2 – (-25)

  • Сначала откройте скобки.

= -4 + 10 – 2 + 25 

  • Сложите положительные и отрицательные целые числа отдельно.

= -4 – 2 + 10 + 25

= -6 + 35

= 29

Вопрос 2: Найдите решение для: (2 × 2) – (3 × 3) – (4 × 4)

Решение:

(2 × 2) – (3 × 3) – (4 × 4)

  • Сначала разгадайте скобки.

= (4) – (9) – (16)

  • Теперь раскроем скобки.

= 4 – 9 – 16

  • Сложите положительные и отрицательные целые числа отдельно.

= 4 – 25

= -21

Вопрос 3: Вычтите (2x + 3y) 2 из (4x – 5y) 2 .

Решение:

(4x – 5 лет) 2 – (2x + 3 года) 2

  • Раскройте скобки.

Использование алгебраической идентичности,

(x + y) 2 = x 2 + y 2 + 2xy

= (16x 2 + 25y 2 — 40xy) — (4x 2 25y 2 — 4036) + 9y 2 + 12xy)

  • Теперь раскройте скобки

= 16x 2 + 25y 2 – 40xy – 9 0 – 3y – 4x 0036 – 12xy

  • Now add or subtract the like terms

= 16x 2 – 4x 2 + 25y 2 – 9y 2 – 40xy – 12xy 

= 12x 2 + 16y 2 — 52xy

Вопрос 4: Вычитание (6x — 8y) 2 из 2x 2 — 4y 2 — 12x

Решение:

9000 2 9000 2 9003 2 9003 2 9003 2 9003 29003 2 9003 2 9003 2 9003 2 9003 2 9003 2 9003 2

9003 2 9003 9003 2

9003 2

9003 2

9003 9003 2 9003 9003 2

9003 9003 9003 2 9003 9003 2

. – 12xy – (6x – 8y) 2  

  • Решите скобку.

Using algebraic identity,

(x + y) 2 = x 2 + y 2 + 2xy

= 2x 2 – 4y 2 – 12xy – (36x 2 + 64y 2 – 96xy)

  • Откройте кронштейн.

= 2x 2 – 4y 2 – 12xy – 36x 2 – 64y 2 + 96xy

  • Сложите или вычтите подобные члены.

= 2x 2 – 36x 2 – 4y 2 – 64y 2 – 12xy + 96xy

= -34x 2 – 68y 2 + 84xy

plus, minus, times, divided на, проценты… – LearnAmo

Кто любит математику? Ах да… Это правда… Многие люди не любят математику… Однако на сегодняшнем уроке мы не будем учить вас математике (мы не умеем), а научим вас говорить о математике на итальянском языке! Это урок, о котором вы, возможно, никогда не задумывались, но он будет очень полезен в вашей повседневной жизни! Оставайтесь с нами! Оно того стоит!