В чем измеряется вероятность в математике: Математическая вероятность. Ее типы, в чем измеряется вероятность

Содержание

Математическая вероятность. Ее типы, в чем измеряется вероятность

Вероятность — это способ выражения знания или веры в то, что событие произойдет или уже произошло. Концепция получила точное математическое значение в теории, которая широко используется в таких областях исследований, как математика, статистика, финансы, азартные игры, наука и философия, чтобы сделать выводы о возможности потенциальных событий и лежащей в основе механике сложных систем. Слово «вероятность» не имеет согласованного прямого определения. На самом деле существует две широкие категории интерпретаций, приверженцы которых имеют разные взгляды на ее фундаментальную природу. В этой статье вы найдете много полезного для себя, откроете математические понятия, узнаете, в чем измеряется вероятность и что она из себя представляет.

Типы вероятности

В чем измеряется?

Существует четыре типа, каждый со своими ограничениями. Ни один из этих подходов не является неправильным, но некоторые из них более полезны или более общие, чем другие.

Классическая вероятность. Эта интерпретация обязана своим названием ранней и августовской родословной. Отстаиваемая Лапласом и найденная даже в работах Паскаля, Бернулли, Гюйгенса и Лейбница, она присваивает вероятность при отсутствии каких-либо или при наличии симметрично сбалансированных доказательств. Классическая теория применима к равновероятным событиям, таким как исход броска монеты или кости. Такие события были известны как equipossible. Вероятность = число благоприятных equipossibilies/общее количество соответствующих equipossibilities.
Логическая вероятность. Логические теории сохраняют идею классической интерпретации о том, что они могут определяться априори путем исследования пространства возможностей.
Субъективная вероятность. Которая получена из личного суждения человека о том, может ли произойти конкретный результат. Она не содержит формальных вычислений и отражает только мнения

Некоторые из примеров вероятности

В каких единицах измеряется вероятность:

X говорит: «Не покупайте здесь авокадо. Примерно в половине случаев они гнилые». X выражает свое убеждение о вероятности события – что авокадо будет гнилым – на основе своего личного опыта.
Y говорит: «Я на 95% уверен, что столица Испании — Барселона». Здесь вера Y выражает вероятность с его точки зрения, потому что только он не знает, что столицей Испании является Мадрид (по нашему мнению, вероятность составляет 100%). Однако мы можем рассматривать ее как субъективную, поскольку она выражает меру неопределенности. Это как если бы Y сказал: «В 95% случаев, когда я чувствую себя так же уверенно, как и в этом, я оказываюсь прав».
Z говорит: «Вероятность быть застреленным в Омахе ниже, чем в Детройте». Z выражает убеждение, основанное (предположительно) на статистике.

Математическая обработка

В чем измеряется вероятность в математике?

В математике вероятность события A представляется вещественным числом в диапазоне от 0 до 1 и записывается как P (A), p (A) или Pr (A). Невозможное событие имеет шанс 0, а определенное — 1. Однако это не всегда верно: вероятность 0 события невозможна, так же как 1. Противоположностью или дополнением события A является событие не А (то есть событие A, не происходящее). Его вероятность определяется P (не A) = 1 – P (A). В качестве примера возможность не прокатки шестерки на шестигранной матрице равна 1 – (шанс прокатки шестерки). Если оба события A и B происходят на одном выполнении эксперимента, это называется пересечением, или совместной вероятностью A и B. Например, если две монеты переворачиваются, есть шанс, что у обеих выпадет решка. Если событие A, или B, или оба происходят на одном выполнении эксперимента, это называется объединением событий A и B. Если два события являются взаимоисключающими, то вероятность их возникновения равна.

Надеюсь, теперь мы ответили на вопрос, в чем измеряется вероятность.

Заключение.

Революционным открытием физики XX века стал случайный характер всех физических процессов, происходящих в субатомных масштабах и подчиняющихся законам квантовой механики. Сама волновая функция развивается детерминированно до тех пор, пока не производится никаких наблюдений. Но, согласно преобладающей Копенгагенской интерпретации, случайность, вызванная коллапсом волновой функции при наблюдении, является фундаментальной. Это означает, что теория вероятностей необходима для описания природы. Другие так и не смирились с потерей детерминизма. Альберт Эйнштейн лихо заметил в письме Максу Борну: «Я убежден, что Бог не играет в кости». Хотя существуют альтернативные точки зрения, такие как квантовая декогерентность, являющаяся причиной кажущегося случайного коллапса. В настоящее время среди физиков существует твердое согласие в том, что теория вероятностей необходима для описания квантовых явлений.

Теория вероятностей в жизни пятиклассника

Авторы
Руководители
Файлы работы
Наградные документы

Кузьмин А.И. 1

1Средняя общеобразовательная школы №92 с углубленным изучением отдельных предметов

Голубева Т. В. 1Гудова И.С. 2

1МБОУ СОШ № 92 с углубленным изучением отдельных предметов

2КемГУ

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителяСвидетельство руководителя

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

Мы все ежедневно сталкиваемся с вероятностями, шансами и рисками, даже когда этого не осознаем. Например, когда мы задаем себе вопрос, насколько возможен завтра снегопад? Успею ли я на самолет? Как рассчитать мои шансы или какова вероятность выиграть в лотерею?

Слова «вероятность», «шанс» мы произносим часто, когда хотим найти решение или ответ на вопрос. Понятие вероятности имеет широкую применимость. Оно используется, когда говорят об оценке рисков, спортивных событий, психологии, социологии, финансах и о многом другом. Этот термин также используется при изучении математической теории вероятностей.

Данная работа — попытка ответить на вопрос «как рассчитать вероятность наступления случайного события» с помощью математики?

Цель исследования: изучить основы теории вероятностей, ее интеграцию в учебный процесс пятиклассника, подтвердить или опровергнуть гипотезу о том, что при оценке вероятности наступления случайного события работает фактор предвзятости.

Исходя из цели, определены основные задачи:

1. Изучить причины возникновения теории вероятностей;

2. Определить основные понятия теории вероятностей, как одного из разделов математики: «вероятность», «случайное событие», «достоверное/невозможное событие», «равновероятное/не равновероятное событие»;

3. Научиться различать достоверные и невозможные, равновероятные и не равновероятные события;

4. Сформировать умение рассчитывать вероятность случайного события через решение практических задач.

Объект данного исследования — теория вероятностей, как один из разделов математики.

Предмет исследования — изучение особенностей расчета вероятностей случайных событий с помощью математики.

Актуальность проблемы заключена в том, чтобы показать, что теория вероятностей интегрируется в учебный процесс пятиклассника. Она также помогает в жизни, когда необходимо оценить свои шансы в спорной ситуации. Это значительно увеличивает вероятность успеха.

Для достижения цели исследования и решения поставленных задач используются следующие методы: анализ научно-методической литературы, эмпирический метод (наблюдение, эксперимент, анкетирование, опрос), собственное исследование с решением практических задач, анализ полученных результатов.

Практическая значимость данной работы заключается в том, что теория вероятностей принима к жизненным ситуациям для расчета шансов на успех. Также практическая значимость работы состоит в направленности на расширение кругозора и общего повышения уровня знаний пятиклассников. Результаты исследования могут использоваться педагогами и школьниками при изучении математики, социологии, финансов и других сфер жизни.

Личный вклад автора состоит в проведении теоретических и эмпирических исследований, в анализе полученных при исследовании данных и их оформлении в виде таблиц и выводов.

Глава 1. Азарт — двигатель науки?

1.1. Как возникла теория вероятностей

Возникновение теории вероятностей относят к средним векам, когда были первые попытки проанализировать азартные игры (кости, рулетку) с помощью математики. Ведь именно вероятность лежит в основе многих игр [5, с. 122]. В середине 17 века французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма обсуждалиосновы игры в кости. Они обнаружили, что это очень хитрая игра, в которой возможно спрогнозировать свой выигрыш. Христиан Гюйгенс ввел основные понятия теории вероятностей, например,

вероятность — как величина шанса [5, с.

124].

В 1933 году Андрей Николаевич Колмогоров предложил аксиоматику вероятности.

Вероятность всех возможных событий равна 1 (единице).

Значение вероятности больше либо равно 0 (нулю).

Если события не могут совпасть, их вероятности можно складывать.

Из этих аксиом можно вывести математические свойства вероятности [4, с. 24].

В результате ряда исследований теория вероятностей приобрела математический вид и стала восприниматься как один из разделов математики.

1.2. Основные понятия теории вероятностей

Основные понятия теории вероятностей — вероятность, случайное событие, достоверное и невозможное событие, равновероятное и не равновероятное событие.

Что же такое вероятность? Это степень возможности наступления некоторого события, «возможность исполнения, осуществимости чего-либо» [10, с. 137].

Событие, которое может произойти, а может не произойти в процессе наблюдения или эксперимента, называется случайным событием:

Моя команда выиграет баскетбольный матч (Матч можно выиграть, можно проиграть, а можно сыграть вничью)

Бросают 2 игральных кубика. Выпало 5 очков (Выпасть может не только 5 очков)

Теория вероятностей — специальный раздел математики, который изучает закономерности случайных событий, а также «случайные величины, их свойства и операции над ними» [23].

Достоверным называется событие, которое обязательно наступит, независимо от обстоятельств, например, после весны придёт лето. Вероятность достоверного события

всегда равна 1. Невозможным называется событие, которое при проведении случайного эксперимента никогда не происходит, например, зайчиха родит мышонка. Вероятность невозможного события равна 0.

События называют равновероятными, если нет причин думать, что одно из них может наступить чаще, чем другое [22]. Например, выпадение «орла» или «решки» при подкидывании монеты.

Не равновероятными называются события, которые имеют различные вероятности наступления:

В коробке 18 цветных карандашей, из них 15 красных и 3 синих. Вероятность вытащить наугад красный карандаш больше, чем синий.

Вероятность падения бутерброда маслом вниз больше, чем маслом вверх, так как сторона с маслом тяжелее.

Глава 2. Мой опыт расчета вероятностей

через решение практических задач

2.1. Как оценить вероятность более, чем одного события

В жизни мы каждый день сталкиваемся с вероятностями. Попробуем оценить вероятность более, чем одного события. Допустим, мы хотим знать

вероятность, что случится А или В,

вероятность, что случится и А, и В.

В первом случае, чтобы оценить один из двух шансов, мы складываем вероятности. Во втором, чтобы оценить вероятность обоих шансов, мы умножаем вероятности. Поясним на примере.

Пусть А — это шанс попасть в команду КВН по математике, куда претендуют 5 человек, включая меня. Следовательно, вероятность попасть в команду — 1/5 или 0,2.

В — шанс попасть в команду КВН по русскому языку, куда претендуют 4 человека, включая меня. Тогда шанс попасть в команду КВН по русскому языку — 1/4 или 0,25.

Шанс на попадание в 1 команду КВН — или по математике, или по русскому языку: 0,2+0,25=0,45. Если события не могут совпасть, их вероятности можно складывать. Это аксиома Колмагорова, о которой мы говорили в первой главе нашего исследования.

Шанс попасть в обе команды КВН: 0,2×0,25=0,05

Ответ: вероятность попасть в одну команду КВН (или по математике, или по русскому языку) на 0,40 (0,45-0,05=0,40) больше, чем вероятность попасть сразу в обе команды КВН.

2.2. Оценка выигрыша на скачках

Оценим вероятность выигрыша ставок на лошадиных скачках. Это самый древний вид ставок [13, с. 228]. Допустим, букмекеры обозначают шансы лошадей на выигрыш следующим образом: Гром 20:1, Ветер 4:1, Буян 8:1, Пират 7:1, Рыжий 5:1

Получается, что шансы Грома выиграть — 1 из 20.

Шансы Ветра больше — 1 из 4 и т.д. Согласно аксиомам Колмагорова, математически сумма вероятностей всех возможных событий должна быть равна 1.

Давайте проверим:

1/20 + 1 / 4 + 1/ 8 + 1/7+1/ 5 =0,05+0,25+0,125+0,1429+0,2=0,7679

Разница между 1 и 0,7679 составляет 0,2321.

Так, можно сделать вывод, что шансы на победу каждой лошади были уменьшены. Шансы букмекеры уменьшают сознательно, чтобы извлечь себе прибыль. В данном случае прибыль букмекеров будет около 23%. Так, при уменьшении вероятности (шансов на победу) каждой лошади, процент прибыли букмекеров увеличивается.

Реальная вероятность должна давать в сумме 1, так как обязательно будет лошадь — победитель, конечно, если все лошади дойдут до финиша. Вероятность выигрыша увеличивается, если вести собственную статистику.

2.3. Работает ли фактор предвзятости?

Я предложил одноклассникам провести эксперимент, Задача была такая: Есть 2 коробки с шарами, распределенными следующим образом:

первая коробка — в ней 10 шаров, 9 белых и 1 красный,

вторая коробка — в ней 100 шаров, 92 белых и 8 красных

Надо вытащить красный шар, не заглядывая в коробки.

Вопрос: какую коробку выбрать, чтобы увеличить шансы вытащить красный шар?

Я разработал анкету (см. Приложение №1) и провел опрос среди 50 пятиклассников, затем проанализировал полученные анкеты:

первую коробку выбрали 19 человек,

вторую коробку выбрали 31 человек.

Итак, 62% (31 человек) моих одноклассников выбрали вторую коробку со 100 шарами.

А теперь давайте посчитаем:

1 коробка — вероятность вытащить красный шар 1/10. Это 0,1.

2 коробка — вероятность вытащить красный шар 8/100. Это 0,08.

Вывод: вероятность 0,1 больше, чем вероятность 0,08, следовательно, при выборе коробок работает фактор предвзятости. Для многих число 100 звучит значительнее, чем число 10. Это и объясняет выбор ребят. И еще то, что во 2 коробке находится больше красных шаров, наталкивает на мысль, что шансов вытащить красный больше. Сделать правильный выбор нам помогает теория вероятности, простые математические вычисления.

2.4. Практические задачи для решения на уроках математики

Задача 1. Определить, какие из следующих событий достоверные (Д), а какие невозможные (Н)? В главе 1 мы разбирали, что достоверное событие обязательно наступает при проведении эксперимента. А невозможное событие не происходит никогда (см. Глава 1).

1. При броске игрального кубика выпало 8 очков.

2. При подбрасывании пяти монет число «орлов» окажется равным числу «решек».

3. Бросили два игральных кубика. Выпало 1 очко.

4. Бросили два игральных кубика. Выпало число очков, меньше, чем 13.

5. Мама старше своих детей.

6. 30 февраля будет дождь.

Ответ: 1. Н, 2. Н, 3. Н, 4. Д, 5. Д, 6. Н.

Задача (эксперимент) 2: Я три раза подбросил монету. Возможно ли, что монета все три раза упадет гербом вверх, то есть выпадет «орел»?

Ответ: Я провел эксперимент 5 раз. В двух экспериментах из пяти монета упала только гербом вверх, то есть это возможно. В оставшихся трех экспериментах «орел» и «решка» выпадали совершенно случайно, так как это равновероятные события.

Задача (эксперимент) 3: Я и двое моих друзей подбрасывали монетку 50 раз и записывали, сколько раз выпадет «орел», а сколько раз «решка». Результаты получились следующие:

	«Орел»	«Решка»
мой результат	29	21
Саша	31	19
Денис	22	28
Наташа	24	26

Только «орел» или только «решка» не выпали все 50 раз у одного человека. Это невозможно? Докажем это математически.

Определим вероятность выпадения «орла» или «решки» по формуле

P = m/N, где

P — вероятность,

m — число благоприятных событий,

N — число всех возможных событий [11, с. 139].

	«Орел»	«Решка»
мой результат	0,58	0,42
Саша	0,62	0,38
Денис	0,44	0,56
Наташа	0,48	0,52

Ответ: Вероятность выпадения «орла» получилась от 0,44 до 0,62 (ср. 0,53). Вероятность выпадения «решки» — от 0,42 до 0,56 (ср. 0,47). Это объясняется тем, что в эксперименте с подбрасыванием монеты есть лишь два исхода («орел» и «решка»). Таким образом, вероятность выпадения «орла» и «решки» приближена к 0,5.

Чем больше экспериментов мы проводим, тем точнее определяется вероятность. Так, при проведении 50 экспериментов вероятность определяется точнее, чем при проведении трех экспериментов. Если проводить еще больше испытаний, то результат будет еще точнее.

Задача (эксперимент) 4. Каковавероятностьтого, что при бросании игрального кубика выпадет

а) 1 очко; б) более 3 очков

При решении используем формулу

P = m/N

а) кубик может лечь на любую из шести граней, поэтому есть есть шесть равновозможных результатов этого эксперимента. Может выпасть 1,2,3,4,5 или 6 очков. Из них нам благоприятен только один результат: когда вверху единица. Вероятность вычисляется, как 1/N, где N — число всех результатов. Соответственно, в нашем случае P= 1/ 6.

б) есть три равновозможных исхода. Может выпасть 4,5 и 6. А может 1,2 и 3.

То есть P= 3/6, это 1/2

Ответ: а) 1/ 6, б) 1/2.

Задача 5. На экзамене 20 билетов. Ученик не выучил 5. Какова вероятность, что ученику попадается билет, который он выучил?

N = 20 (всего билетов)

m = 15 (выучил 20-5=15)

m/N=15/20=0,75

Ответ: 0,75 вероятность того, что ученик вытащит билет, ответ на который он знает.

Задача 6. В коробке с новогодними украшениями лежит 8 красных, 7 зеленых, 5 синих и 10 золотых шаров. Из коробки наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется: а) красным; б) золотым; в) красным или золотым?

Всего в коробке лежит 30 шаров.

а) Вероятность вытащить красный шар 8/30= 0,27

б) Вероятность вытащить золотой шар 10/30=0,33

в) Вероятность вытащить или красный, или золотой шар 0,27+0,33= 0,6

Ответ: а) 0,27, б) 0,33, в) 0,6.

Задача 7. Представим, что пятиклассник за год учебы получил по математике 100 оценок. Из них 65 пятерок, 28 четверок, 6 троек и 1 двойку. Допустим, что такое распределение оценок может сохраниться. Вычислим вероятность получения каждой оценки.

P пятерок 65/100= 0,65

P четверок 28/100= 0,28

P троек 6/100=0,06

P двоек 1/100= 0,01

Ответ: P (5) 0,65; P (4) 0,28; P (3) 0,06; P (2) 0,01.

Задача 8. В озере 50000 рыб. Из них 7000 карасей, 3000 щук, 40000 пескарей. Какова вероятность попадания на удочку каждого вида рыб?

P карасей 7000/50000= 0,14

P щук 3000/50000= 0,06

P пескарей 4000/ 50000= 0,8.

Ответ: P (к)= 0,14; P (щ)= 0,06; P (п)= 0,8.

Чем меньше вероятность события, тем больше информации содержит сообщение об этом событии. Например, если пятиклассник получит по математике двойку, это намного больше удивит тех, кто его знает, чем если бы он получил пятерку. Или же информация о том, что рыбак в озере поймал щуку, а не пескаря также более информативна, так как сразу наталкивает на размышление, как ему это удалось.

Делая вывод, отметим, что для оценки вероятности одного из случайных событий, мы складываем вероятности. А для оценки вероятности нескольких случайных событий, мы вероятности умножаем.

Самая большая вероятность всегда равна 1. На примере скачек это объясняется тем, что обязательно будет лошадь — победитель, конечно, если все лошади дойдут до финиша. Вероятность выигрыша увеличивается, если вести собственную статистику.

Выделяют равновероятные (пример с подбрасыванием монетки) и не равновероятные события (пример с шарами).

Фактор предвзятости работает. Для многих число 100 кажется значимее, чем число 10. Это и объясняет выбор ребят. И еще то, что во 2 коробке находится больше красных шаров, наталкивает на мысль, что шансов вытащить красный больше. Теория вероятностей помогает нам сделать правильный выбор.

Чем больше испытаний мы проводим, тем точнее определяется вероятность. Так, при проведении 50 испытаний вероятность определяется точнее, чем при проведении 3 испытаний.

Заключение

Размышления 17 века об игре в кости спустя два столетия переросли в отдельную дисциплину. Именно человеческий азарт привел к возникновению новой математической дисциплины — теории вероятностей. В результате ряда исследований теория вероятностей приобрела математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

Современную жизнь нельзя представить без оценки рисков. Умение рассчитать вероятность наступления случайного события помогает нам оценить свои шансы и быть успешными во многих сферах жизни. Для оценки вероятности одного из случайных событий, мы складываем вероятности. А для оценки вероятности нескольких случайных событий, мы вероятности умножаем.

В математике вероятность измеряется от 0 до 1. Вероятность достоверного события всегда равна 1. Это самая большая вероятность. Вероятность невозможного события равна 0. вероятность 0,1 —низкая, а 0,9 — высокая. Чем больше экспериментов мы проводим, тем точнее определяется вероятность. Чем меньше вероятность события, тем больше информации содержит сообщение об этом событии

Наше предположение подтвердилось: фактор предвзятости работает. Часто мы руководствуемся лишь приблизительной оценкой исходных данных, и это приводит к ошибкам. Теория вероятностей помогает нам сделать правильный выбор.

Вероятность можно рассчитать по формуле P = m/N, где P — вероятность, m — число благоприятных событий. N — число всех событий.

Теория вероятностей интегрируется в учебный процесс пятиклассника, дает возможность научиться рассчитывать вероятность своего успеха и делать правильный выбор.

Приложение №1

Давайте проведем эксперимент!

Представь 2 коробки с шарами

В первой коробке 10 шаров — 9 белых и 1 красный.

Во второй коробке 100 шаров — 92 белых и 8 красных.

Тебе надо вытащить красный шар, не заглядывая в коробки

Вопрос: из какой коробки у тебя больше шансов вытащить красный шар?

Обведи верный вариант:

из первой коробки

из второй коробки

Напиши, пожалуйста, имя, фамилию и класс___________________________

Спасибо!

Список использованных источников и литературы

Бобров С. Архимедово лето, или история содружества юных математиков. М: Издательский Дом Мещерякова, 2017. 232 с.

Бударина Е.П. Теория вероятности и математическая статистика. М.: Элма, 2000. 256 с.

Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. Спб: Ленанд, 2016. 248 с.

Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М: USSR, 2018. 120 с.

Крилли Т. 50 идей, о которых нужно знать. М: Фантом Пресс, 2017. 208 с.

Макарычев Ю. Н., Миндюк Н.Г. Элементы статистики и теории вероятностей. М.: Просвещение, 2008. 388 с.

Математическая составляющая/ ред. Н.Н. Андреев. М: Фонд «Математические этюды», 2015. 151 с.

Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9 классов. М.: Мнемозина, 2008. 112 с.

Новая книга знаний в вопросах и ответах. М: Махаон, 2009. 160с.

Ожегов С.И. Толковый словарь русского языка. М: «АЗЪ»,1994. 928 с.

Перельман Я. И. Живая математика. СПб: СЗКО, 2017. 224 с.

Роузен Р. Математика для «гиков». Москва: Аст, 2016. 320 с.

Руни Э. Математика за 15 минут. М: Кучково поле, 2016. 304 с.

Соколова О. Л. Вероятностный подход к определению количества информации. М: ВАКО, 2006. 110 с.

Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Высшая школа экономики, 2001. 235 с.

Энценсбергер Х. М. Дух числа. Математические приключения. – Пер. с англ. Харьков: Книжный Клуб «Клуб Семейного Досуга», 2004. 272 с.

Энциклопедия символов /сост. В.М. Рошаль. М: Сова, 2006. 1007 с.

Я познаю мир. Москва: Астрель,2002. 460 с.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B5%D0%B1%D1%8B%D1%88%D1%91%D0%B2,_%D0%9F%D0%B0%D1%84%D0%BD%D1%83%D1%82%D0%B8%D0%B9_%D0%9B%D1%8C%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87

htps://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0

http://oyla.xyz/article/ego-velicestvo-slucaj

https://www.matburo.ru/tvbook_sub.php?p=par12

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9

Просмотров работы: 1243

Что такое вероятностная мера простыми словами?

Чтобы описать случайную величину $X$, мы указываем, какова вероятность того, что результатом $X$ будет некоторое значение $x$. Например, с честным кубиком и $X$, обозначающим «счет одного броска кости», мы бы сказали $$P(X=1)=P(X=2)=P(X=3) =P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=\frac16$$ и все. Наш $X$ принимает значения только из конечного множества $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$.

Существуют также случайные величины с (исчислимым) бесконечным числом возможных результатов. Например, если $Y$ означает «количество бросков правильной монеты, пока решка не выпадет в первый раз, то $$P(Y=1)=\frac12, P(Y=2)=\frac14, P(Y=3)=\frac18,\ldots $$ Множество $\Omega$ возможных исходов теперь равно $\Omega=\mathbb N$.

И, наконец, существуют случайные величины с несчетным числом возможных исходов (например, пусть $Z$ означает «равномерно выбрать случайную точку на единичном интервале $\Omega:=[0,1]$»). В этих случаях обычно для любого отдельного значения $x\in\Omega$ вероятность $P(Z=x)$ просто равна нулю. Вместо этого у нас есть положительная вероятность, только если мы запрашиваем определенные бесконечные подмножества возможных результатов в пространстве $\Omega$. \infty P(X\in A_n).$$ Это почти то же самое, что и понятие $\sigma$-алгебры: это набор подмножеств заданного множества $\Omega$. Если нам повезет, например, в конечном или счетном случае (по крайней мере, как это произошло с определенной нами случайной величиной $Y$), этот набор будет полным набором мощности $\Omega$, но он может быть меньше. Во всяком случае, он достаточно велик, чтобы его можно было закрыть при определенных операциях, среди которых счетное объединение множеств. Именно это свойство позволяет нам сформулировать основные свойства, которые мы хотим иметь для вероятностей нахождения случайной величины в подмножестве $\Omega$. Любая функция, которая присваивает каждому элементу данной $\sigma$-алгебры (т. е. каждому достаточно красивому подмножеству $\Omega$) значение от $0$ до $1$ включительно, так что изложенные выше основные правила выполняются для счетных союзов, дополнений, всего пространства, тогда называется вероятностной мерой .

Одной из важных мер является мера Лебега $\lambda$ на $[0,1]$ (которая описывает вышеприведенную случайную величину $Z$). Вы можете знать это из теории интеграции, где она позволяет нам обобщить (расширить) интеграцию Римана. Например, вы можете знать, что ожидаемое значение конечной случайной величины просто определяется выражением $$\tag1E(X) = \sum_{x\in\Omega}x\cdot P(X=x) $$ или, в более общем смысле, ожидаемое значение функции от $X$ $$\tag2E(f(X)) = \sum_{x\in\Omega}f(x)\cdot P(X=x).$$ Это просто конечные суммы (следовательно, всегда работают), если $X$ — конечная случайная величина. Если $\Omega$ счетно, то можно использовать те же формулы, но 91 f(x)\,\mathrm dx.$$ Опять же, второй интеграл не имеет смысла для каждых возможных $f$, он должен быть интегрируемым.

Шаг от суммы к (сначала ряду, а затем) интегралу может показаться произвольным, но он действительно хорошо обоснован в теории меры — достаточно часто подстраиваются в другую сторону, а также записывают ряды и суммы как интегралы (относительно конкретных меры).

Всего этого может быть недостаточно для понимания выложенной вами формулы, но это должно помочь вам начать работу с вводными текстами, которые вы уже пробовали читать.

Пример того, что независимость событий $A, B$ зависит от меры вероятности

спросил 4 года, 1 месяц назад

Изменено 4 года, 1 месяц назад

Просмотрено 762 раза

$\begingroup$

Я только что приступил к изучению вероятности, и меня несколько смущает понятие вероятностной меры $P$ и то, чем она существенно отличается от распределения случайной величины $X$ при $P$ 9{-1}A’)$ — это вероятностная мера, а именно распределение случайной величины $X$ под $P$. Но чем это отличается от исходной Вероятности? меры $P: \mathcal{F} \to [0,1], A \mapsto P(A)$, что просто отображение подмножеств $\Omega$ на $[0,1]$. Это другой $P’$ вероятностная мера вообще? Я имею в виду, конечно, это зависит от карты наша предыдущая мера вероятности $P$? Какая интуиция стоит за эта довольно непрозрачная версия определения вероятности относительно случайная величина?

Мой пример независимости:

Пусть есть $3$ $6-гранные кости, каждая из которых окрашена в синий, зеленый или красный цвет.

Пусть событие $A:=$ выбранный кубик красный.

и событие $B:=$ выбранные и затем брошенные кости показывают $2$.

Возьмем $2$ вероятностных мер $P, Q$. Приравняем $P$ к равномерному распределению.

Отсюда следует, что $P(A \cap B) = \frac{1}{6 \times 3}=\frac{1}{18}$

и $P(A) \times P(B)= \frac{1}{3} * \frac{1}{6} = \frac{1}{18}$, поэтому $A, B$ естественно независимы.

Теперь я пытаюсь найти вероятностную меру $Q$ такую, что:

$Q(A \cap B) \neq Q(A) \times Q(B)$

Моя идея: возможно $Q (C)=\frac{2|\Omega|-|C|}{|\Omega|}$. Но откуда мне знать, что это $\sigma-$аддитивность, она явно «нормирована» как $Q(\Omega)=1$.

$Q(A \cap B)= \frac{2 \times 18-1}{18}>1$, что неверно для меры вероятности, верно? Мой пример неверен? Можете ли вы предоставить мне более интуитивные примеры?

вероятность 9\Omega$, $A=\{1,2\}$, $B=\{1,3\}$.
Тогда события $A$ и $B$ независимы относительно равномерной меры $P$, но не относительно меры $Q$, определяемой равенствами $Q(\{1\})=\frac12$ и $Q(\ {2\})=Q(\{3\})=Q(\{4\})=\frac16$.
Что касается объяснения, которое вы требуете, просто обратите внимание, что в описанном вами контексте $P$ является мерой $\mathcal F$, а $P’=P_X$ — мерой $\mathcal F’$. Наиболее распространенный случай может быть, когда $(\Omega’,\mathcal F’)=(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))$ и $X:\Omega\to\mathbb R$. Тогда распределение $X$ есть мера на сигма-алгебре $\mathcal B(\mathbb R)$ на целевом множестве $\mathbb R$ и уж точно не мера на сигма-алгебре $\mathcal F$ в исходном наборе $\Omega$.
Подводя итог, можно сказать, что в большинстве случаев $P$ и $P’$ являются вероятностными мерами в разных пространствах, поэтому однозначно нельзя использовать одну вместо другой.
$\endgroup$
5
$\begingroup$
Мы можем взять наше вероятностное пространство в виде $\Omega = \{b,g,r\}\times \{1,2,3,4,5,6\}.$ Определить $Q(\{(r ,1)\}) = 1/36,$ $ Q(\{(r,2)\}) = 1/12,$ и $Q(\{(x,y)\}) = 1/18$ для всех остальных $(x,y)\in \Omega.
No related posts.