X-Sy=-4 3r+2y-3-= 3x+4y-33=-5 Определитель матрицы коэффициентов равен
.Вопрос
Пошаговый ответ
Рекомендуемый AI ответ:
Чтобы найти x, нам сначала нужно найти определитель матрицы коэффициентов. Это можно сделать, используя правило Крамера. B:
Видео Ответ:
Решено проверенным экспертом
Используйте правило Крамера и калькулятор, чтобы найти значение, удовлетворяющее системе линейных уравнений: X-Sy=-4 3r+2y-3-=} 3x+4y-33=-5 Определитель матрицы коэффициентов:
Рекомендованные видео
Стенограмма
Привет, в этом вопросе нам дана система линейных уравнений: x, минус 5, y равно минус 4 балла. Тогда 3 x плюс 2 y минус 3 z равно 3. Тогда нам дано 3 x плюс 4 y минус 3. Z равно минус 5 очков. Теперь нам нужно использовать здесь правило грамматика, чтобы найти значение x.
Как мы видим здесь, чтобы найти значение d x, мы должны удалить первую строку и включить результирующую строку, и решив это для определителя, мы получим, что это равно минус 5 умноженному произведению этого минус 15 минус произведение этого, что равно 9минус 0 плюс произведение этого в 4 раза, что составляет минус 6 минус произведение этого, что составляет минус 12 баллов, и это будет равно минус 5 умножить здесь, сложив, мы получаем минус 24 и 0 плюс 4 раза. Здесь мы получаем минус 6 плюс 12 баллов, и, решая это дальше, результатом этого будет 120 плюс результат этого будет 24 балла, и поэтому, решая это дальше, мы получаем значение для d x равно добавлению этого. Теперь у нас 144 балла. Мы можем найти значение х. Что касается данного вопроса, мы должны записать x равным de x, который мы вычислили как минус 5042, минус 3, минус 3, затем 4, минус 3 и 5, и это должно быть разделено на определитель d, что мы уже вычислили, что равно 6. И решая это дальше, мы получаем, что это будет равно 144 на 6 или решая это дальше.
Поделиться вопросом
Добавить в плейлист
Хммм, кажется, у вас нет плейлистов. Пожалуйста, добавьте свой первый плейлист.
`
Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными | Колледж Алгебра |
Вычисление определителя матрицы 3 × 3
Найти определитель матрицы 2×2 несложно, но найти определитель матрицы 3×3 сложнее. Один из методов состоит в том, чтобы дополнить матрицу 3×3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3×5. Затем вычисляем сумму произведений записей вниз по по каждой из трех диагоналей (слева вверху справа внизу) и вычтите произведения записей вверх по по каждой из трех диагоналей (слева внизу справа вверху).
Это легче понять с визуальным и пример.
Найдите определитель матрицы 3×3.
A=[a1b1c1a2b2c2a3b3c3]A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1}& {b}_{1}& {c}_{1}\\ {a}_{ 2}& {b}_{2}& {c}_{2}\\ {a}_{3}& {b}_{3}& {c}_{3}\end{массив}\right ]А=⎣
⎡a1a2a3b1b2b3c1c2c3⎦
⎤
- Дополните
AAA
первыми двумя столбцами.det(A)=∣a1b1c1a2b2c2a3b3c3∣a1a2a3b1b2b3∣\mathrm{det}\left(A\right)=|\begin{array}{ccc}{a}_{1}& {b}_{1}& { c}_{1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}& {c}_{2}\\ {a}_{3}& {b}_{3}& { c}_{3}\end{массив}|\begin{массив}{c}{a}_{1}\\ {a}_{2}\\ {a}_{3}\end{массив} \begin{массив}{c}{b}_{1}\\ {b}_{2}\\ {b}_{3}\end{массив}|det(A)=∣a1a2a3 b1b2b3c1c2c3∣a1a2a3b1b2b3∣
- От верхнего левого угла к нижнему правому: умножьте числа по первой диагонали. Прибавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей вниз по третьей диагонали.
- Из нижнего левого угла в верхний правый: вычтите произведение записей вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по третьей диагонали.
Рисунок 2
Алгебра следующая: }_{3}+{b}_{1}{c}_{2}{a}_{3}+{c}_{1}{a}_{2}{b}_{3}- {a}_{3}{b}_{2}{c}_{1}-{b}_{3}{c}_{2}{a}_{1}-{c}_{3 }{a}_{2}{b}_{1}∣A∣=a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3−a3b2c1−b3c2 a1−c3a2b1
Пример 3. Нахождение определителя матрицы 3 × 3
Найдите определитель матрицы 3 × 3 по данным
A=[0213−11401]A=\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 3& -1& 1\\ 4& 0& 1\end{array }\right]A=⎣
⎡0342−10111⎦
⎤
Решение
Дополните матрицу первыми двумя столбцами, а затем следуйте формуле.
Таким образом,
∣A∣=∣0213−11401∣0342−10∣=0(−1)(1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1 )−0(1)(0)−1(3)(2)=0+8+0+4−0−6=6\begin{массив}{l}|A|=|\begin{массив}{ ccc}0& 2& 1\\ 3& -1& 1\\ 4& 0& 1\end{массив}|\begin{массив}{c}0\\ 3\\ 4\end{массив}\begin{массив}{c} 2\\ -1\\ 0\end{массив}|\qquad \\ =0\влево(-1\вправо)\влево(1\вправо)+2\влево(1\вправо)\влево(4\вправо) )+1\влево(3\вправо)\влево(0\вправо)-4\влево(-1\вправо)\влево(1\вправо)-0\влево(1\вправо)\влево(0\вправо) -1\влево(3\вправо)\влево(2\вправо)\qquad \\ =0+8+0+4 — 0-6\qquad \\ =6\qquad \end{массив}∣A∣=∣ 0342−10111∣0342−10∣=0(−1)(1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1) −0(1)(0)−1(3)(2)=0+8+0+4−0−6=6
Попробуйте 2
Найдите определитель матрицы 3 × 3.
det(A)=∣1−371111−23∣\mathrm{det}\left(A\right)=|\begin{array}{ccc}1& -3& 7\\ 1& 1& 1\\ 1& -2& 3\end{array}|det(A)=∣111−31−2713∣
Решение
Вопросы и ответы
Можно ли использовать тот же метод для нахождения определителя большей матрицы?
Нет, этот метод работает только для 2 × 22\text{ }\times \text{ }22 × 2 3 × 3\text{3}\text{ }\times \text{ }33 × 3
Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.
Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными
Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы 3 × 3, мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными . Правило Крамера является простым и следует шаблону, согласующемуся с правилом Крамера для матриц 2 × 2. Однако по мере увеличения порядка матрицы до 3 × 3 требуется гораздо больше вычислений.
Когда мы вычисляем, что определитель равен нулю, правило Крамера не указывает, имеет ли система решение или бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить исключение в системе.
Рассмотрим систему уравнений 3 × 3.
Рисунок 3
x=DxD,y=DyD,z=DzD,D≠0x=\frac{{D}_{x}}{D},y=\frac{{D}_{y }}{D},z=\frac{{D}_{z}}{D},D\ne 0x=DDx,y=DDy,z=DDz,D=0
где
Рисунок 4
Если мы записываем определитель
Dx{D}_{x}Dx
, мы заменяем столбец
xxx
столбцом констант.
Если мы записываем определитель
Dy{D}_{y}Dy
, мы заменяем столбец
yyy
постоянным столбцом. Если мы записываем определитель
Dz{D}_{z}Dz
, мы заменяем столбец
zzz
постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.
Пример 4. Решение системы 3 × 3 с использованием правила Крамера
Найдите решение данной системы 3 × 3, используя правило Крамера.
x+y-z=63x-2y+z=-5x+3y-2z=14\begin{array}{c}x+y-z=6\\ 3x — 2y+z=-5\\ x+3y — 2z=14\end{массив}x+y−z=63x−2y+z=−5x+3y−2z=14
Решение
Используйте правило Крамера.
D=∣11−13−2113−2∣,Dx=∣61−1−5−21143−2∣,Dy=∣16−13−51114−2∣,Dz=∣1163−2−51314∣D =|\begin{массив}{ccc}1& 1& -1\\ 3& -2& 1\\ 1& 3& -2\end{массив}|,{D}_{x}=|\begin{массив}{ccc} 6& 1& -1\\ -5& -2& 1\\ 14& 3& -2\end{массив}|,{D}_{y}=|\begin{массив}{ccc}1& 6& -1\\ 3& -5& 1\\ 1& 14& -2\end{массив}|,{D}_{z}=|\begin{массив}{ccc}1& 1& 6\\ 3& -2& -5\\ 1& 3& 14\end{массив }|D=∣1311−23−11−2∣,Dx=∣6−5141−23−11−2∣,Dy=∣1316−514−11− 2∣,Dz=∣1311−236−514∣
Тогда
x=DxD=−3−3=1y=DyD=−9−3=3z=DzD=6−3=−2\begin{array}{l}x=\frac{{D}_{ x}}{D}=\frac{-3}{-3}=1\qquad \\ y=\frac{{D}_{y}}{D}=\frac{-9}{-3} =3\qquad \\ z=\frac{{D}_{z}}{D}=\frac{6}{-3}=-2\qquad \end{array}x=DDx=−3 −3=1y=DDy=−3−9=3z=DDz=−36=−2
Решение:
(1,3,−2)\left(1,3,-2\right)(1,3,−2)
.
Попробуйте 3
Используйте правило Крамера, чтобы решить матрицу 3 × 3.
x−3y+7z=13x+y+z=1x−2y+3z=4\begin{array}{r}\qquad x — 3y+7z=13\\ \qquad x+y+z=1\ \ \qquad x — 2y+3z=4\end{массив}x−3y+7z=13x+y+z=1x−2y+3z=4
Решение
Пример 5. Использование правила Крамера для решения несогласованной системы
Решить систему уравнений по правилу Крамера.
3x−2y=4 (1)6x−4y=0 (2)\begin{array}{l}3x — 2y=4\text{ }\left(1\right)\\ 6x — 4y=0\ text{ }\left(2\right)\end{array}3x−2y=4 (1)6x−4y=0 (2)
Решение
Начнем с нахождения определителей
D,Dx и DyD,{D}_{x},\text{и {D}_{y}D,Dx, и Dy
.
D=∣3−26−4∣=3(−4)−6(−2)=0D=|\begin{массив}{cc}3& -2\\ 6& -4\end{массив}|= 3\влево(-4\вправо)-6\влево(-2\вправо)=0D=∣36−2−4∣=3(−4)−6(−2)=0
Мы знаем, что определитель, равный нулю, означает, что либо система не имеет решений, либо имеет бесконечное число решений.
Чтобы увидеть, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.
- Умножить уравнение (1) на
−2-2−2
. - Добавьте результат к уравнению
(2)\влево(2\вправо)(2)
.
−6x+4y=−86x−4y=0————–0=8\begin{matrix} \qquad-6x+4y=-8 \\ \qquad6x-4y=0 \\ \qquad\text{ —————} \\ \qquad 0=8\end{matrix}−6x+4y=−86x−4y=0————–0=8
Получаем уравнение
0=−80=-80=−8
, что неверно. Следовательно, система не имеет решений. График системы показывает две параллельные линии.
Рис. 5
Пример 6. Использование правила Крамера для решения зависимой системы
Решите систему с бесконечным числом решений.
x−2y+3z=0(1)3x+y−2z=0(2)2x−4y+6z=0(3)\begin{массив}{rr}\qquad x — 2y+3z=0& \ qquad \left(1\right)\\ \qquad 3x+y — 2z=0& \qquad \left(2\right)\\ \qquad 2x — 4y+6z=0& \qquad \left(3\right)\end {массив}x−2y+3z=03x+y−2z=02x−4y+6z=0(1)(2)(3)
Решение
Сначала найдем определитель.
Настройте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.
∣1−2331−22−46 ∣1−2312−4∣|\begin{array}{rrr}\qquad 1& \qquad -2& \qquad 3\\ \qquad 3& \qquad 1& \qquad -2\\ \qquad 2& \qquad -4& \qquad 6\end{массив}\text{ }|\text{ }\begin{массив}{rr}\qquad 1& \qquad -2\\ \qquad 3& \qquad 1\\ \ qquad 2& \qquad -4\end{массив}|∣132−21−43−26 ∣ 132−21−4∣
Тогда
1(1)(6)+(−2)(−2)(2)+3(3)(−4)−2(1)(3)−(−4)(−2)( 1)−6(3)(−2)=01\влево(1\вправо)\влево(6\вправо)+\влево(-2\вправо)\влево(-2\вправо)\влево(2\вправо) )+3\влево(3\вправо)\влево(-4\вправо)-2\влево(1\вправо)\влево(3\вправо)-\влево(-4\вправо)\влево(-2\вправо) )\влево(1\вправо)-6\влево(3\вправо)\влево(-2\вправо)=01(1)(6)+(-2)(-2)(2)+3(3) (−4)−2(1)(3)−(−4)(−2)(1)−6(3)(−2)=0
Так как определитель равен нулю, то решений либо нет, либо их бесконечное множество. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.
- Умножьте уравнение (1) на
−2-2−2
и добавьте результат к уравнению (3):−2x+4y−6x=02x−4y+6z=00=0\frac{\begin{ array}{r}\qquad -2x+4y — 6x=0\\ \qquad 2x — 4y+6z=0\end{массив}}{0=0}0=0-2x+4y-6x=02x-4y +6z=0
- Получение ответа
0=00=00=0
, всегда верное утверждение, означает, что система имеет бесконечное число решений.
