Синус меньше a
Рассмотрим решение тригонометрических неравенств вида синус меньше a (sinx<a) на единичной окружности.
Синус — это ордината точки. Соответственно, sinx=a в точках пересечения единичной окружности и прямой y=a. Часть окружности, расположенная выше прямой y=a, соответствует значениям синуса, большим a. Поскольку мы решаем неравенство sinx<a, его решениям будет соответствовать часть окружности, расположенная ниже прямой y=a. Рассмотрим несколько вариантов взаимного расположения прямой y=a и единичной окружности.
1) sinx<a при 0<a<1
Основная задача здесь — правильно определить точки пересечения прямой и окружности. Первая точка находится легко — это arcsina. Для определения второй точки рассуждаем так: так как sin<a, нам нужна часть окружности под прямой y=a. Значит, из первой точки во вторую идем нижним путем, то есть по часовой стрелке. Но при движении по часовой стрелке угол уменьшается. От arcsina мы дошли до 0, а дальше пошли отрицательные углы (точнее, сам угол положительный, а минус — всего лишь знак обхода от нуля по часовой стрелке).
Мы нашли только один интервал, на котором sinx<a. Чтобы учесть все решения (а таких интервалов — бесконечное множество), с учетом периодичности синуса к каждому из концов интервала прибавляем 2пn, где n — целое число (то есть n принадлежит Z).
Если неравенство нестрогое, точки пересечения окружности и прямой закрашиваем, а затем включаем в решение (круглую скобку заменяем на квадратную).
2) sinx<-a при 0<a<1
Первая точка arcsin(-a)=-arcsina. Чтобы попасть во вторую, идем нижним путем, то есть по часовой стрелке. До п, точнее до -п, не доходим на arcsina. Поэтому вторая точка — (п-arcsina). Мы не дошли до угла п arcsina, а поскольку движение происходит по часовой стрелке, то перед разностью ставим знак минус. Чтобы учесть все решения, к обоим концам промежутка прибавляем 2пn, где n — целое число.
Для нестрого неравенства точки закрашиваем и включаем в ответ (с квадратной скобкой вместо круглой).
3) sinx<0
В этом случае удобнее решение записывать не от нуля до -п, а от п до 2п. Для нестрогого неравенства- квадратные скобки, закрашенные точки.
4) sinx<1
И в этом случае тоже удобнее выбирать положительные точки. Решением данного неравенства являются все x, кроме п/2+2пn. Чтобы записать это в виде промежутка, надо определить его концы. Если первую точку взять п/2, то во вторую мы попадем через полный оборот окружности, то есть п/2+2п=5п/2. К обоим концам прибавляем 2пn.
В этом случае никакие точки не исключаются, а значит, x — любое число:(-∞;+∞).
В этом случае единственной точкой на окружности, удовлетворяющей данному условию, является точка -п/2. С учетом периодичности синуса решение данного неравенства — множество точек вида x=-п/2+2пn, где n — целое число.
7) sinx<a при a>1
Окружность в этом случае целиком лежит ниже прямой y=a, а значит, решением данного неравенства является любое значение x: (-∞;+∞).
8) sinx< -a при a>1
Окружность целиком лежит выше прямой y=a, а значит, нет ни одного x, удовлетворяющего условию неравенства. Значит, решений нет.
И в заключении, рассмотрим пример.
Решить неравенство sinx<-1/2
Примеры решения простейших тригонометрических неравенств
Категория: Справочные материалыТригонометрические выражения, уравнения и неравенства
Часть 2.Начало здесь.
Если вы беретесь за изучение темы «Простейшие тригонометрические неравенства», то должны прежде знать, где находятся оси тангенса и котангенса и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть III).
Кстати, для сдающих ЕГЭ по математике, – умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.
Примеры решения простейших тригонометрических неравенств
Пример 1.
Решить неравенство:
Решение:
Отмечаем на оси тангенсов 1. Указываем все значения тангенса, меньшие 1 – ниже 1.
Далее, отмечаем все точки тригонометрического круга, значение тангенса в которых будет меньше 1. Для этого мы мысленно соединяем каждую точку оси тангенсов ниже 1 с началом координат; тогда каждая проведенная прямая пересечет дважды тригонометрический круг. Вот эти-то точки круга нас и интересуют! Они выстраиваются в две дуги (точнее в две серии дуг). Значения тангенса в них – меньше 1.
Заметим, кстати, что дуга повторяет дугу равно через пол круга, то есть через (период функции – это ).
Все подходящие значения можно записать в виде следующего двойного неравенства:
или так
Пример 2.
Решить неравенство:
Решение:
Отмечаем на оси тангенсов .
Указываем все значения тангенса, большие или равные – выше (включая саму точку).
«Транслируем» отмеченные точки оси тангенсов на тригонометрический круг.
Все подходящие значения можно записать в виде следующего двойного неравенства:
или такого (разницы – никакой):
Пример 3.
Решить неравенство:
Решение:
Отмечаем на оси котангенсов . Указываем все значения котангенса, большие или равные – правее (включая саму точку).
«Транслируем» отмеченные точки оси котангенсов на тригонометрический круг:
Все подходящие значения можно записать в виде следующего двойного неравенства:
Вы обратили внимание, решая тригонометрическое неравенство с тангенсом, – мы не включаем в ответ точки (значение тангенса в этих точках не определено)?
А, решая тригонометрическое неравенство с котангенсом, – мы не включаем в ответ точки (значение котангенса в этих точках не определено).
Пример 4.
Решить неравенство:
Решение:
Проверьте себя
Помните, решения (ответы) к одному и тому же неравенству могут выглядеть по-разному, неся один и тот же смысл собою. (См., например, задание 2).
1. Решить неравенство:
Ответ: + показать
2. Решить неравенство:
Ответ: + показать
3. Решить неравенство:
Ответ: + показать
Если у вас есть вопросы, – пожалуйста, – пишите в комментариях!
Меньше чем — символ, примеры, значение
Знак меньше чем используется для описания взаимосвязи между двумя значениями, где одно значение меньше другого значения. Например, если задано 1 < 3, это означает, что 1 меньше 3. В этой статье мы узнаем, как сравнивать числа, используя символ «меньше».
| 1. | Что меньше знака? |
2. | Меньше символа |
| 3. | Как использовать знак меньше чем? |
| 4. | Меньше, чем больше, чем |
| 5. | Часто задаваемые вопросы о менее чем |
Что меньше знака?
Знак «меньше» определяется как математический символ, используемый для сравнения чисел, у которых одно значение меньше другого. Это символ неравенства, используемый для обозначения сравнения двух или более величин. Например, если мы хотим показать сравнение между 2 и 3, мы будем говорить, что 2 меньше 3 или 3 больше 2. Следовательно, это изображает отношения между этими двумя числами. Мы можем представить эти числа как 2 < 3,
Меньше символа
Символ «меньше» — это ‘<'. Это символ неравенства, поскольку он не устанавливает равенства между двумя числами или выражениями. Он только говорит нам, что одно значение меньше другого. Например, если задано значение x < 5, это означает, что значение x меньше 5.
Приведенный выше символ используется для обозначения того, что одно значение меньше другого. Давайте попробуем использовать его в примере. Если утверждение «16 меньше 18» верно. Тогда мы можем записать это как 16 < 18, используя знак меньше. Широко открытая сторона знака двумя концами всегда обращена к большему числу, а заостренный конец обращен к меньшему числу.
Как использовать знак меньше чем?
Чтобы использовать знак «меньше», мы рисуем широко открытую сторону символа по направлению к большему числу, а заостренный конец — к меньшему числу. Давайте сравним двузначные числа, 32 и 14. При сравнении двузначных чисел мы сначала сравниваем разряды десятков. Если цифры десятков совпадают, мы будем сравнивать цифры на месте единиц. Здесь мы видим, что 1 меньше 3. Таким образом, мы можем сказать, что 14 меньше 32. Математически это можно записать как 14 < 32, используя знак меньше. Ниже приведены еще несколько примеров, показывающих сравнение чисел с использованием знака «меньше».
| Символ | Пример | Значение |
|---|---|---|
| Менее «<" | а) 23 < 32 б) 52 < 78 в) 85 < 100 | а) Число 23 меньше 32. б) Число 52 меньше 78. в) Число 85 меньше 100. |
В математике символы меньше и больше описывают неравенство между двумя значениями. Символ «<» используется для обозначения меньшего, чем неравенство. Давайте теперь узнаем о меньше, чем больше, чем символы и неравенства.
Меньше, чем больше, чем
Термин «меньше чем» означает, что одно значение меньше другого. Синонимы слова «меньше чем»: «ниже, чем», «ниже», «меньше» и «меньше, чем». Он представлен символом «<». Если мы перевернем этот символ, мы получим символ больше. Таким образом, «>
» в математике означает «больше символа». Термин «больше чем» означает, что одно значение больше другого.
Это прямо противоположно меньшему, чем неравенство. Синонимы слова «больше, чем»: «больше, чем», «больше, чем», «выше, чем» и «выше». Таким образом, меньше, чем больше, чем символы являются < и > соответственно.При рисовании знака «меньше» открытая сторона указывает на большее число, а заостренный конец указывает на меньшее число. То же самое и со знаком больше. Единственное отличие состоит в том, что при использовании знака «больше» мы сначала пишем большее число, затем знак и меньшее число. Например, 5 < 6 означает, что 5 меньше 6, а 6 > 5 означает, что 6 больше 5.
Важные примечания:
- чем» означает представить их голодными аллигаторами, которые всегда съедают большее количество. Следовательно, широко открытая сторона знака обращена к большему числу.
- Еще один способ запомнить их — заметить, что знак «<" похож на букву "L". Другими словами, «<» означает «Меньше чем».
☛ Связанные статьи
Ниже приводится список тем, которые тесно связаны с меньше чем.
Эти темы также дадут вам представление о том, как такие понятия рассматриваются в Cuemath.
- Сравнение и заказ
- Больше Меньше Калькулятор
- Как поставить знак больше или равно
Меньше Примеры
Пример 1: Эрика должна была собрать разные листья и склеить их в 2 листа. Чтобы разместить их всех на двух листах, она наклеила 8 на лист-1 и 9 на лист-2. На каком листе меньше листьев?
Решение:
В рамках своего задания Эрика наклеила 8 листов на лист-1 и 9 на лист-2.
Число 8 меньше числа 9.
Таким образом, листьев на листе I меньше, чем листьев на листе II, т. е. 8 < 9.
Следовательно, листьев на листе I (8) < листьев на листе II (9).
Пример 2: Корова весит 400 фунтов. Вес ее теленка составляет 350 фунтов. Кто из них весит меньше? Используйте символ «меньше» для представления этой информации.
Решение:
Вес коровы = 400 фунтов
Вес теленка = 350 фунтов
Единица измерения обоих значений одинакова.
Посмотрим на цифры 400 и 350.Это трехзначные числа.
Сравнивая цифры, получаем 350 < 400.
Следовательно, вес теленка меньше веса коровы.
Пример 3: Насколько 28 км меньше 42,6 км?
Решение:
Приведены значения 28 км и 42,6 км. Чтобы найти, насколько 28 км меньше 42,6 км, нужно из 42,6 км вычесть 28 км.
⇒ 42,6 км — 28 км
= 14,6 км
Следовательно, 28 км меньше 42,6 км на 14,6 км.
Посмотрим на цифры 400 и 350.перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Есть вопросы по основным математическим понятиям?
Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему математика стоит за нашими сертифицированными экспертами.
Часто задаваемые вопросы о менее чем
Что меньше, чем в математике?
Меньше, как следует из названия, означает, что что-то меньше, чем по сравнению с какой-либо другой величиной.
Он представлен символом «<». Например, 2 < 4 означает, что число 2 меньше числа 4.
Какой символ обозначает меньше или равно?
Символ «меньше или равно» выглядит как « < ». Открытая сторона символа должна находиться перед большим значением. Подчеркивание в символе показывает, что значение может быть меньше или равно другому числу. Например, х < 7. Здесь значение x должно быть либо равно, либо меньше 7.
Как объяснить выражение «меньше или равно»?
Меньше или равно — это что-то меньшее или равное заданной величине. Это также может быть выражено как минимум или минимум. Например, базовая зарплата человека на определенной работе должна составлять 15 долларов или меньше 15 долларов, или мы можем сказать, что она должна быть меньше или равна 15 долларам.
В чем разница между меньше и больше?
Больше чем означает, что некоторая переменная или число может иметь любое значение, большее, чем заданный предел, не меньше или равное этому пределу, тогда как меньше, чем означает, что число или переменная меньше заданного предела .
Например, 8 больше 5. Мы можем представить это двумя разными способами, например, 8 > 5 и 5 меньше 8 (5 < 8).
В чем разница между больше или равно и меньше или равно?
Больше или равно говорит о том, что значение должно быть либо больше, либо равно минимальному пределу, тогда как меньше или равно прямо противоположно больше и равно. «Меньше или равно» означает, что значение должно быть равно или меньше максимального предела.
4 меньше 3?
Нет, мы не можем сказать, что 4 меньше 3. Потому что 4 больше 3. Следовательно, правильным предложением будет 4 больше 3.
Какая польза от знака меньше, чем?
Знак «меньше» используется, чтобы показать, что одно значение меньше другого. Например, 75 меньше 85. Это может быть представлено как 75 < 85.
Может ли меньше чем быть представлено в числовой строке?
Да, меньше, чем может быть представлено на числовой прямой. Представление чисел на числовой прямой позволяет легко определить, какие числа больше, а какие меньше.
Число слева меньше числа справа. Следовательно, все числа слева от 1 меньше 1.
Какое число меньше отрицательного числа?
На числовой прямой отрицательные числа располагаются слева от нуля. Наибольшее отрицательное целое число равно -1. Не существует наименьшего отрицательного целого числа.
Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы
Рабочие листы по меньше чем
Меньше чем – объяснение и примеры
Что такое знак меньше чем?
В математике знак «меньше» является важным символом, используемым для описания неравенства между двумя переменными. Символ, используемый для обозначения выражения «меньше чем», равен 9.0105 «<."
Этот символ представляет собой две одинаковые черты, которые соединяются под острым углом справа. Он был обнаружен в 1560-х годах и обычно помещается между двумя сравниваемыми значениями и указывает на то, что первое число меньше второго числа.
Типичное использование символа «меньше» сравнивает две величины, где первая переменная представляет собой меньшую единицу, а вторая переменная — большую единицу.
Символ «меньше» обычно представляет собой аппроксимацию открывающей угловой скобки.
Пример 1
а. 5 < 9: Это означает, что 5 меньше 9
b. 0,7 < 1,5: подразумевает, что 0,7 меньше 1,5
c. -0,6 < -0. 1: подразумевает, что -0,6 меньше -0,1
Как запомнить знак «меньше»?
Самый простой способ запомнить символ «меньше» — использовать метод аллигатора. Как известно, пасть аллигатора всегда указывает на наибольшую величину, потому что он может проглотить как можно больше пищи.
Пасть аллигатора обычно открывается вправо, чтобы обозначить меньшее неравенство.
Как использовать?
Чтобы решить проблемы, связанные с символом меньше, рассмотрите следующие стратегии и шаги:
- Пройдите всю задачу, чтобы понять ситуацию.
- Выделите важные ключевые слова, которые помогут в решении задачи
- Определите переменные
- Запишите уравнения
- Решите неравенства
Давайте разберемся с этой концепцией на примерах.
Пример 2
Прибыль Джанет на конец года в размере 150 долларов США как минимум на 11 долларов меньше, чем в предыдущем году. Определить ее прибыль как неравенство.
Решение
Учитывая, что ее прибыль в размере 150 долларов по крайней мере на 11 долларов меньше, чем в предыдущем году.
Пусть p — уменьшение прибыли за два года;
Здесь мы можем представить эту ситуацию в выражении неравенства как:
-11+P ≤ 150
Таким образом, ее прибыль в этом году составляет;
P ≤ $161
Пример 3
Аллан младше 18 лет. Сколько ему лет?
Решение
Поскольку мы не знаем точного возраста Аллана, то можем представить эту ситуацию как:
Пусть возраст Аллана равен x лет;
Итак, запишите его возраст как:
x < 18
Обратите внимание, что стрелка указывает на возраст «x», потому что возраст меньше 18
Пример 4
Решите неравенство:
2x + 5 < 7
Основная стратегия решения задач с неравенством предполагает, что знак «меньше» используется в качестве знака равенства.