1 n 2 сумма ряда: Нахождение суммы числового ряда. Первая часть.

alexxlab / / Разное

Содержание

Сумма ряда обратных квадратов (Basel problem)

В истории математики имеется много случаев, когда кто-либо ставил задачу перед математическим миром в целом, и эта задача оставалась нерешенной в течение десятилетий или даже веков. Часто в процессе решения такой задачи появлялись новые области математики.

Этот пост – рассказ об одном из таких случаев, так называемой Basel problem (задаче о сумме ряда обратных квадратов, Базель – город в Швейцарии), впервые поставленной в качестве вызова европейским математикам в 1644 году. Она сопротивлялась всем попыткам ее решить до тех пор, пока молодой Леонард Эйлер в 1734 году не нашел ответ. Как увидит читатель, решение Эйлера – работа удивительной изобретательности, хотя уровень математики не превосходит в ней начального курса алгебры.

Задача

Basel problem формулируется просто: требуется найти точное значение следующей бесконечной суммы:

   

Как и для всех остальных бесконечных рядов, для этого ряда возникает вопрос, сходится ли он к конечному значению.

Тот факт, что его члены становятся бесконечно малыми, не является достаточным для обеспечения сходимости. Например, следующий ряд

   

имеет бесконечную сумму, т.е. расходится, несмотря на то, что его члены становятся сколь угодно малыми (этот ряд называется гармоническим, и доказательство его расходимости приведено ниже).

Тем не менее, для ряда обратных квадратов ранее было показано, что он сходится к числу, меньшему 2, только не было известно точное значение, к которому он сходится.

Два соперника и их учитель делают безуспешную попытку

Первыми математиками мирового уровня, пытавшимися решить Basel problem, были швейцарцы, братья Якоб Бернулли (1654-1705) и Иоганн Бернулли (1667-1748). Задача названа так, потому что Базель — их родной город. Бернулли были среди первых, кто понял и начал применять новое исчисление, о котором они узнали от Готфрида Лейбница (1646-1716), — одного из его авторов. К 1690 году они считались ведущими европейскими математиками. К сожалению, к этому времени они стали ожесточенными, непримиримыми соперниками, и казалось, испытывали практически убийственную ненависть друг к другу. Каждый из них мог бы лгать, воровать, пошел бы на плагиат, если бы это помогло ему казаться лучше другого. Соперничество не прекратилось даже со смертью Якоба — Иоганн пытался выдать некоторые неопубликованные работы своего покойного брата за свои собственные, и он также отказался помочь опубликовать трактат Якоба по теории вероятности, опасаясь, что это поднимет репутацию брата. По крайней мере, Иоганн, вполне возможно, был просто… нехорошим человеком — когда его собственный сын Даниил позже выиграл математический приз, за который Иоганн также боролся, он выгнал Даниила из дома и лишил его наследства.

В течение многих лет братья Бернулли пытались решить задачу о сумме ряда обратных квадратов, что, вероятно, частично было обусловлено желанием победить соперника, но они не добились успеха. Лейбниц также работал над проблемой в течение многих лет и не получил никакого результата.

Вступление Эйлера

Леонард Эйлер (1707–1786) родился в Базеле, и так случилось, что его отец знал Иоганна Бернулли. Когда Леонарду было 14 лет, его отец попросил Иоганна, чтобы тот учил юношу математике. Иоганн нехотя согласился, но затем быстро обнаружил, что его новый ученик имеет способности, превосходящие все те, какие он когда-либо видел. Вскоре роли поменялись, и Иоганн учился у Эйлера. Иоганн посоветовал отцу Леонарда отказаться от идеи сделать Леонарда министром, предложив ему стать математиком. К чести его, отец согласился.

Через несколько лет Эйлер занял пост в Академии в Санкт-Петербурге, в России. Именно там, в 1734 году, Эйлер нашел решение Basel problem. В результате его сразу же стали считаеть ведущим математиком Европы.

Решение

Для начала рассмотрим алгебраическое уравнение, степень которого я произвольно полагаю равной четырем:

   

Предположим, что его корни и . Тогда мы можем разложить полином на линейные множители следующим образом:

   

Если ни один из этих корней не равен нулю, мы можем записать также

   

Далее, имеются некоторые полиномы бесконечной степени, например,

   

Эти особые бесконечные ряды были открыты Ньютоном, и довольно легко вывести такие разложения с помощью математического анализа. Здесь я буду считать его известным. Мы знаем нули синуса, это Первой идеей Эйлера было предположение, что теорема о разложении на множители верна для бесконечных полиномов, т.е.

   

Заметим, что каждая пара множителей и перепишем равенство

   

Теперь Эйлер получил, что бесконечная сумма равна бесконечному произведению!? (также обратите внимание на знаменатели в этом произведении — в них имеются квадраты натуральных чисел, что намекает о присутствии где-то здесь ряда обратных квадратов).

Хотя произведение состоит из бесконечного числа множителей, мы можем выяснить, какой коэффициент будет при каждой степени . Рискуя обидеть читателя, я все же объясню: рассмотрим конечное произведение

   

Каждый элемент при раскрытии скобок в произведении, скажем , равен произведению слагаемых, взятых из каждой скобки слева по одному. Так, Эйлер увидел, что в нашем бесконечном произведении член, содержащий , будет равен

   

Однако, поскольку бесконечное произведение равно бесконечному ряду для , коэффициент при должен быть равен . Приравняем коэффициенты и умножим полученное равенство на , получим

   

Итак, через 90 лет был найден ответ. Он остается одним из самых странных, самых удивительных результатов в математике. Мы связываем постоянную с кругами, а Basel problem содержит обратные квадраты. И что здесь вдобавок делает синус из тригонометрии? Когда Иоганн Бернулли увидел решение Эйлера, он должен был сказать: “Был бы только мой брат жив, чтобы увидеть это’’. Возможно, Иоганн смягчился с годами.

Это не все, что установил Эйлер в своей исторической работе. Используя подобные методы, он показал, что

   

и

   

Оставался очевидный вопрос: а что с нечетными степенями натуральных чисел? Оказывается, что подобные методы не работают для нечетных степеней. В течение всей своей жизни Эйлер много раз пытался найти эти суммы, но ему этого сделать не удалось. В конце концов он просто сказал: “Задача представляется сложной’’. Когда Эйлер сказал о математической задаче, что она сложная, обычным математикам, вероятно, не стоит заботиться о ее решении. И конечно же, сегодня, спустя 200 с лишним лет, эти суммы не найдены.

Следствия

Практики могут задать вопрос, оправданы ли все эти усилия, принесшие результат, не имеющий никакой очевидной пользы. Простой ответ состоит в том, что эта задача из теории чисел, а в теории чисел подобные вопросы просто не возникают. Менее циничным ответом будет тот, что теория чисел иногда находит свой путь в реальный мир. Хорошим примером тому является теорема Ферма, открытая им в 1640 году, так называемая малая теорема Ферма. На этом абстрактном результате основан алгоритм криптографии, который применяется в Интернете для передачи секретной информации, такой как номера кредитных карт. Без него электронная коммерция была бы невозможна.

Что касается задачи о сумме ряда обратных квадратов, то позже оказалось, что она тесно связана с гипотезой Римана, которая сегодня считается одной из самых важных нерешенных проблем в математике. Эта гипотеза была предложена в 1859 году. Она считается верной, но до сих пор ее еще никто не доказал. Нам нужен новый Леонард Эйлер.

Приложение. Расходимость гармонического ряда

Как было написано выше, это ряд:

   

Якоб Бернулли доказал, что эта сумма бесконечна. Якоб заметил, что ряд может быть разделен на группы слагаемых:

   

Он предположил, что сумма слагаемых в каждой группе единица или больше. Если так, то сумма гармонического ряда бесконечна, поскольку она равна сумме бесконечного числа слагаемых, каждое из которых единица или больше (групп бесконечно много). Чтобы доказать предположение, рассмотрим одну группу без первого слагамого:

   

Число слагаемых в этой группе равно . Наименьшее слагаемое — последнее, так что

   

или

   

Добавляя к обеим частям равенства, получаем требуемый результат.

Перевод статьи The Basel Problem.

Mathway | Популярные задачи

1 Упростить квадратный корень s квадратный корень s^7
2 Упростить кубический корень 8x^7y^9z^3
3 Упростить arccos(( квадратный корень 3)/2)
4 Risolvere per ? sin(x)=1/2
5 Упростить квадратный корень s квадратный корень s^3
6 Risolvere per ? cos(x)=1/2
7 Risolvere per x sin(x)=-1/2
8 Преобразовать из градусов в радианы 225
9 Risolvere per ? cos(x)=( квадратный корень 2)/2
10 Risolvere per x cos(x)=( квадратный корень 3)/2
11 Risolvere per x sin(x)=( квадратный корень 3)/2
12 График g(x)=3/4* корень пятой степени x
13 Найти центр и радиус x^2+y^2=9
14 Преобразовать из градусов в радианы 120 град.2+n-72)=1/(n+9)

Вычислить сумму ряда онлайн

Для того, чтобы вычислить сумму ряда, нужно просто сложить элементы ряда заданное количество раз. Например:

В приведённом выше примере это удалось сделать очень просто, поскольку суммировать пришлось конечное число раз. Но что делать, если верхний предел суммирования бесконечность? Например, если нам нужно найти сумму вот такого ряда:

По аналогии с предыдущим примером, мы можем расписать эту сумму вот так:

Но что делать дальше?! На этом этапе необходимо ввести понятие частичной суммы ряда. Итак, частичной суммой ряда (обозначается Sn) называется сумма первых n слагаемых ряда. Т.е. в нашем случае:

Тогда сумму исходного ряда можно вычислить как предел частичной суммы:

S∞i013ilimn∞Snlimn∞130131132…13n

Таким образом, для вычисления суммы ряда, необходимо каким-либо способом найти выражение для частичной суммы ряда (Sn). В нашем конкретном случае ряд представляет собой убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем 1/3. Как известно сумма первых n элементов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Snb1qn1q1

здесь b1 — первый элемент геометрической прогрессии (в нашем случае это 1) и q — это знаменатель прогрессии (в нашем случае 1/3). Следовательно частичная сумма Sn для нашего ряда равна:

Sn111312332

Тогда сумма нашего ряда (S) согласно определению, данному выше, равна:

S∞i013ilimn∞Snlimn∞3232

Рассмотренные выше примеры являются достаточно простыми. Обычно вычислить сумму ряда гораздо сложнее и наибольшая трудность заключается именно в нахождении частичной суммы ряда. Представленный ниже онлайн калькулятор, созданный на основе системы Wolfram Alpha, позволяет вычислять сумму довольно сложных рядов. Более того, если калькулятор не смог найти сумму ряда, вероятно, что данный ряд является расходящимся (в этом случае калькулятор выводит сообщение типа «sum diverges»), т.е. данный калькулятор также косвенно помогает получить представление о сходимости рядов.

Для нахождения суммы Вашего ряда, необходимо указать переменную ряда, нижний и верхний пределы суммирования, а также выражение для n-ого слагаемого ряда (т.е. собственно выражение для самого ряда).

Как найти сумму ряда: примеры решений, определение

Общий член ряда представляе собой рациональную дробь. Выполним разложение дроби на простейшие с помощью метода неопределенных коэффициентов:

$$ \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{A}{2n+1} + \frac{B}{2n+3} = \frac{A(2n+3)+B(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)} $$

Приравниваем числитель последней дроби к числителю первой дроби:

$$ A(2n+3)+B(2n+1) = 1 $$

Раскрываем скобки:

$$ 2An + 3A + 2Bn + B = 1 $$

Теперь определяем находим неизвестные коэффициенты:

$$ \begin{cases} n^0: &2A+2B=0 \\ n^1: &3A+B=1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A=\frac{1}{2} \\ B=-\frac{1}{2} \end{cases} $$

После разложения общий член ряда записывается следующим образом:

$$ a_n =\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2} \frac{1}{2n+1} — \frac{1}{2} \frac{1}{2n+3} $$

Далее составим частичную сумму ряда: $$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + … + a_n $$

$$ a_1 = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\bigg ) $$

$$ a_2 = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\bigg ) $$

$$ a_3 = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\bigg ) $$

$$ …………………………………. $$

$$ a_{n-1}=\frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \bigg ) $$

$$ a_n = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) $$

Замечание

Достаточно часто читатели нам присылают просьбы найти суммы своих рядов по причине того, что они не понимают, откуда получается $ a_{n-1} $.

Обратите внимание, чтобы составить $ a_{n-1} $ необходимо подставить в $ a_n $ вместо буковки $ n $ выражение $ n-1 $. После выполнить раскрытие скобок.

Итого, получаем:

$$ S_n = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\bigg ) + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\bigg ) + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\bigg ) + … $$

$$ … + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \bigg ) + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) = $$

Выносим дробь одну вторую $ \frac{1}{2} $ за скобки:

$$ = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9} … + $$

$$ + … \frac{1}{2n-1} — \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+1} — \frac{1}{2n+3} \bigg) = $$

Замечаем, что в скобках есть подобные слагаемые, которые взаимно уничтожаются. Остаются только лишь два из них:

$$ S_n = \frac{1}{2}\bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) $$

Теперь осталось вычислить предел частичной суммы $ S_n $. Если он существует и конечен, то он является суммой ряда, а сам ряд сходится:

$$ S=\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2}\bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) = $$

$$ = \frac{1}{2} \lim_{n\to\infty} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} $$

Понятие числового ряда и его сходимости. Члены ряда. Сумма ряда. Метод неопределенных коэффициентов

Понятие числового ряда и его сходимости

Пусть дана бесконечная последовательность чисел

a1,a2,a3,…,an,…  .

     Числовым рядом называется выражение 

∞

a1 + a2 +…+ an +… = ∑an,

n=1

                           (1) где числа a1,a2,a3,…,an,… называются членами ряда,  а an = f (n) называется общим членом ряда.

Что есть сумма ряда     ???

Отличается от  суммы конечного числа слагаемых. Например, сочетательное свойство может нарушаться:

(1−1)+ (1−1)+ (1−1)+….. = 0+ 0+0+…. = 0

1−(1−1)−(1−1) −……….=1−0−0−…….. =1

Для корректного определения суммы бесконечного ряда  воспользуемся операцией предельного перехода.

Определение.

Частичной n― ой суммой ряда (1) сумма Sn его первых n  членов: 

Sn = a1 + a2 +…+ an.

называется

Образуем   теперь последовательность    

S1,S2,…Sn,…,    состоящую из частичных сумм ряда (1).

Определение.

Если существует конечный предел S  частичных сумм  S= lim Sn,  то n→∞

 сходящимся, а число S ― суммой

записывается этот факт как S  an .  

n=1

последовательности ряд (1) называется ряда и

Если lim Sn не существует или равен бесконечности, n→∞ то ряд (1) называется расходящимся.

Пример.

 1) Исследовать на сходимость ряд

+1`−1+…….. т.е общий член есть an = (−1)n

1−1

Решение.      Так как   последовательность частичных сумм  имеет вид

   S1 =1,S2 =1−1= 0,S3 =1−1+1=1,…..,Sn = (−1)n+1 то   lim Sn      не существует   ⇒ ряд расходится n→∞

Пример.

 2) Исследовать на сходимость (по

!) ряд

 

ряд сходится, то найти его сумму.

определению

и, если

Решение. Общий член ряда an =  

представим в виде двух слагаемых

                        1                    a            b

                                                      =          +      и найдем числа a и b

(3n −1)(3n + 2)   3n −1   3n + 2

методом неопределенных коэффициентов: 

                                                              1               n(3a + 3b) + 2a −b

                                                                                          =                             .

                                     (3n −1)(3n + 2)      (3n −1)(3n + 2)

⎧3a +3b = 0,             ⎧ b = −a,           ⎧b = −1 3,

⎨                      ⇔    ⎨                       ⎨    

⎩2a −b =1,               ⎩2a + a =1,        ⎩a =1 3.

Значит,         an ,    а  тогда 

 

()+…+ ().

В этой сумме все слагаемые, кроме первого и последнего, взаимно уничтожаются. 

Sn =

  .

Находим  теперь

                   1      1 3         1    1             1         1    1

lim (    −         ) =   −    lim             =   −   ⋅0 =

n→∞ 6    3n + 2      6   3n→∞ 3n + 2    6    3

Итак, данный ряд сходится и его сумма  равна  S

∞

Ряд    a + aq + aq2 +…+ aqn−1 +… = ∑aqn−1,a≠ 0,   (2)

n=1

составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем q, называется  геометрическим рядом. 

Если q <1,  то ряд (2) сходится и его сумма  равна  a

S =         ;          если q ≥1,  то ряд (2) расходится.

1− q

 Д-во:     

                                        n                             n

                  a − aq                a − aq                        a

Sn =   ⇒ lim  = (q <1) =

                       1− q          n→∞ 1− q                      1− q

Ряд                                                     ,      называемый 

                                     2    3           n           n=1 n

                                                                                                                                               ⎛1      1 1 1 ⎞

гармоническим рядом,  расходится.       ⎜                                                                   =   (   + )⎟

                                                                                                                                               ⎝c      2 a b ⎠

Док-во. От противного. Пусть            lim Sn =S. Тогда n→∞

lim (S2n −Sn) = lim S2n − lim Sn =S−S = 0. n→∞        n→∞        n→∞

Но с другой стороны 

(S2n − Sn) =       .         Тогда n  2     2n   2

равенство lim (S2n −Sn) = 0 невозможно.Противоречие n→∞

Обобщенный гармонический ряд   если p >1    и расходится, если     p ≤

n=1np

сходится,

1.

УПР* Доказать

Простейшие свойства сходящихся рядов.

Определение 1

.  Если в ряде (1) отбросить первые n   получится ряд rn,  называемый остатком n-го члена:

членов, то ряда  (1) после

       rn

        

(3)

. Если ряд (1) сходится, то сходится и любой  и, наоборот, если остаток (3) сходится, то   ряд (1).

его остаток сходится и

Определение 2.

 Произведением ряда (1) на постоянное

 ряд  ca1 +…+can can     (4)    

n=1

число c называют

 Если ряд (1) сходится  и его сумма равна S, сходится и его сумма  равна cS.

то и ряд (4)

Определение 3.

 Суммой   (разностью)  двух  рядов

                        ∞                                                        ∞

+…= ∑an и   b1 + b2 +…+ bn +…= ∑bn n=1       n=1

 

a1 + a2 +…+ an называется ряд

                                              ∞            ∞

. Если ряды ∑an и ∑bnсходятся и имеют

                                             n=1         n=1

и S2, соответственно, то их сумма и разность  имеют суммы  S1± S2.

суммы S1 сходятся и

Как вычислить сумму ряда???

Ряд сходиться или расходится??

Необходимый признак сходимости ряда и его следствие.

Ниже приведены несколько утверждений, позволяющих делать (в некоторых случаях) заключение о сходимости или  расходимости  рядов.

(необходимый признак сходимости). 

(1) сходится, то общий член этого ряда к нулю: lim an = 0.

n→∞

Если ряд стремится

n→∞

Д-во:  an = Sn − Sn−1 ⎯⎯⎯→0

Внимание!       Данный признак не является                                       достаточным! 

Пример:  Гармонический ряд   

                                                                                                                             2           n   n=1 n

1

расходится, но  an = → 0 n

Следствие (достаточный признак расходимости ряда). Если  lim an ≠ 0, то ряд (1) расходится. n→∞

Пример. Исследовать на сходимость ряд               .

n=13n + 2

                                                    2n −1     ⎡∞⎤            2−1 n     2

n→∞ n→∞ 3n + 2 ⎢⎣∞⎥⎦ = nlim→∞3+ 2 n = 3 ≠ 0. lim an = lim  =

 Значит,  ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами

Теорема 4 (первый признак сравнения). 

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами: 

                                                                                 (А)

n=1

и                                                                               (В)      

n=1

 Если для всех n,  или начиная с некоторого номера n= N , выполняется неравенство    an ≤ bn, то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А),  а из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда  (В).  Иначе говоря, если «больший» ряд сходится,  то и   «меньший» ряд сходится; если   «меньший» ряд расходится, то и «больший» ряд расходится.

                                                                                                         ∞       2n

   Пример.  Исследовать ряд ∑                   на сходимость.

2n

n=1 1+ 2  Сравним данный ряд с геометрическим рядом ,

n

n=12

который сходится  как геометрический ряд со

1  2n     2n     1

знаменателем q = <1. Имеем              <       =     для

2  1+ 22n   22n        2n

всех n,  значит,  на основании теоремы  ряд сходится.

        Решение. Сравним данный n=1 ln(n+1)

ряд с расходящимся гармоническим рядом .

                                                     1             1

Поскольку >      и гармонический ряд  ln(n +1)   n +1

расходится, то на основании теоремы   заключаем, что ряд  расходится.

n=1 n+1

Теорема 5. (второй признак сравнения). 

Если существует конечный, отличный от нуля, предел an = L, L ≠ 0, L ≠ ∞, то ряды (А) и (В) сходятся lim

n→∞ bn или расходятся одновременно.

  Пример. Исследовать  ряд                            .

                                                                                                       n=1 n   − 3n + 5

Сравним данный ряд с гармоническим рядом , который расходится. Имеем 

lim an = lim (2n −1)n        = lim                     2n2 − n =

n→∞ bn         n→∞ (n2 − 3n + 5) n→∞ n2 −3n + 5

2

lim= lim= 2 ≠ 0. n→∞      3     n→∞        3

                   n (1−    +     )            1−   +

                                         n     n2                       n    n2

Поскольку 2 ≠ 0, то на основании теоремы  заключаем, что исследуемый ряд расходится.

Теорема 6 (признак Даламбера)

. Если для ряда a

               lim n+1 = l, то

n→∞ an

1 ряд расходится,

  ― нужно

∞

∑ an,          an > 0, существует предел

n=1

при l <1 ряд сходится,   при l > при l =1 вопрос остается открытым применять  другие  признаки.

Признак Даламбера удобно применять в тех случаях, когда в  записи общего члена ряда участвуют факториалы (!) и степени.

∞ n!

             Исследовать  ряд           ∑  . n

                                                                                        n!                

Решение. Так как an = n ,  an+1 =        n+1 ,  то

                                                                                       5                     5

                  (n +1)!5n             n!(n +1) 5n                  n+1

l = lim  = lim  = lim  = ∞.  n→∞ 5n+1 n! n→∞ 5n ⋅5⋅n! n→∞ 5

Так как  ∞>1, то  исследуемый ряд расходится.

Теорема 7 (признак Коши).          Если для ряда ∞

∑an,       an > 0, существует предел l = lim n an , n=1        n→∞

 то при l <1 ряд сходится, при l >1 ряд расходится, а при l =1 вопрос

Решение задач на Питоне. Сумма ряда натуральных чисел


Попробуем на практике разобрать работу циклов, про которые рассказано в одном из наших уроков. Выполним предложенное задание, использовав несколько разных методик и видов циклов.


Задача


Программа выводит сумму первых членов натурального ряда чисел до введённого n-числа включительно.

Решение задачи с помощью цикла while

Произведём расчёт, используя цикл с предусловием while.

n=int(input(Введите последнее число из ряда натуральных чисел=))
i=1
s=0
while i	s=i+s
i=i+1
print (Сумма чисел от 1 до, n, =, s)

  1. Сперва задаем в переменную n самое большое натуральное число (в пределах разумного).
  2. Обнулим на входе сумму s.
  3. Цикл будет выполняться до тех пор, пока внутренняя переменная не достигнет значения n.

Результат выполнения программы



Решение задачи с помощью цикла for

Быстрее происходит расчёт при помощи цикла for.

n=int(input(Введите последнее число=))
s=0
for i in range(1,n+1):
s=i+s
print (Сумма чисел от 1 до, n, =, s)

Посмотрите, в цикле записано максимальное число не n, а n+1. Это связано с тем, что цикл должен выполняться на один шаг больше, чтобы последнее значение промежуточной суммы было учтено.

Результат выполнения программы



Решение задачи с помощью списка

Ту же самую задачку можно решить, используя список. По сути, это ничего не меняет, но, как видите, код при этом занимает всего две строки:


n=int(input(Введите последнее число=))
print (Сумма чисел от 1 до, n, =, sum([i for i in range(1,n+1)]))

Результат выполнения программы




Задача на последовательность Функция перевода целого двоичного числа в десятичное

1 + 2 + 3 + 4 +… / Хабр

Сумма всех натуральных чисел может быть записана с использованием следующего числового ряда

Чему равна сумма этого бесконечного ряда? Перед тем, как читать дальше, дайте себе минуту на размышления. Если вы до этого не встречались с подобным рядом, а тема численных рядов в целом не слишком вам близка, то ответ на этот вопрос будет для вас большим сюрпризом.

Этот, на первый взгляд, совершенно противоречащий интуиции результат, тем не менее может быть строго доказан. Но прежде, чем говорить о доказательстве, нужно сделать отступление и вспомнить основные понятия.

Начнём с того, что «классической» суммой ряда называется предел частичных сумм ряда, если он существует и конечен. Подробности можно найти в википедии и соответствующей литературе. Если конечный предел не существует, то ряд называется расходящимся.

Например, частичная сумма первых k членов числового ряда 1 + 2 + 3 + 4 +… записывается следующим образом

Нетрудно понять, что эта сумма неограниченно растёт при стремлении k к бесконечности. Следовательно, исходный ряд является расходящимся и, строго говоря, не имеет суммы. Существует, однако, множество способов присвоить конечное значение расходящимся рядам.

Ряд 1+2+3+4+… далеко не единственный из расходящихся рядов. Возьмём, например, ряд Гранди

который тоже расходится, но известно, что метод суммирования Чезаро позволяет присвоить этому ряду конечное значение 1/2. Суммирование по Чезаро заключается в оперировании не частичными суммами ряда, а их арифметическими средними. Позволив себе порассуждать в вольном стиле, можно сказать, что то частичные суммы ряда Гранди осцилируют между 0 и 1, в зависимости от того какой член ряда является последним в сумме (+1 или -1), отсюда и значение 1/2, как арифметическое среднее двух возможных значений частичных сумм.

Другим интересным примером расходящегося ряда является знакопеременный ряд 1 — 2 + 3 — 4 +…, частичные суммы которого также осцилируют. Суммирование методом Абеля позволяет присвоить данному ряду конечное значение 1/4. Отметим, что метод Абеля является, своего рода, развитием метода суммирования по Чезаро, поэтому результат 1/4 несложно осмыслить с точки зрения интуиции.

Здесь важно отметить, что методы суммирования не являются трюками, которые придумали математики, чтобы как-то совладать с расходящимися рядами. Если вы примените суммирование по Чезаро или метод Абеля к сходящемуся ряду, то ответ, который дают эти методы, равен классической сумме сходящегося ряда.

Ни суммирование по Чезаро, ни метод Абеля, однако, не позволяют работать с рядом 1 + 2 + 3 + 4 +…, т. к. средние арифметические частичных сумм, равно как и средние арифметические средних арифметических, расходятся. Кроме того, если значения 1/2 или 1/4 ещё как-то можно принять и соотнести с соответствующими рядами, то -1/12 сложно связать с рядом 1 + 2 + 3 + 4 +…, представляющим собой бесконечную последовательность положительных целых чисел.

Существует несколько способов прийти к результату -1/12. В этой заметке я лишь кратко остановлюсь на одном из них, а именно регуляризации дзета-функцией. Введём дзета-функцию

Подставляя s = -1, получим исходный числовой ряд 1+2+3+4+…. Проделаем над этой функцией ряд несложных математических действий

Где является эта-функцией Дирихле

При значении s = -1 эта-функция становится уже знакомым нам рядом 1 — 2 + 3 — 4 + 5 -… «сумма» которого равна 1/4. Теперь мы можем легко решить уравнение



Интересно, что этот результат находит своё применение в физике. Например, в теории струн. Обратимся к стр. 22 книги Joseph Polchinski «String Theory»:

Если для кого-то теория струн не является убедительным примером в силу отсутствия доказательств множества следствий этой теории, то можно также упомянуть, что похожие методы фигурируют в квантовой теории поля при попытке рассчитать эффект Казимира.

Чтобы два раза не ходить, ещё пара интересных примеров с дзета-функцией


Для тех, кто захочет получить больше информации по теме отмечу, что написать данную заметку я решил после перевода соответствующей статьи на википедии, где в разделе «Ссылки» вы сможете найти массу дополнительного материала, в основном на английском языке.

\ infty {{1 \ over {n \ left ({n + 1} \ right) \ left ({n + 2} \ right)}}} = {1 \ более 4} \ cr}

$ Расчет

— Найдите сумму ряда $ \ frac {1} {n (n-2)!} $ От $ n = 2 $ до бесконечности. Исчисление

— Найдите сумму ряда $ \ frac {1} {n (n-2)!} $ от $ n = 2 $ до бесконечности — форум по математике
Сеть обмена стеком

Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange
  2. 0
  3. +0
  6. Авторизоваться Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено 433 раза

$ \ begingroup $

Я пытаюсь найти сумму ряда от $ n = 2 $ до бесконечности $ \ frac {1} {n (n-2)!} $

Мне изначально дали: 1/2 + 1/3 + 1/8 + 1/30 + 1/144. \ infty \ frac {1} {n!} $$ и т.п.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *