16 х 2 6х: Решите уравнние х²-6х=16 — ответ на Uchi.ru

2

Программа по математике для одаренных детей по теме избранные вопросы математики “ Уравнения высших степеней” 9 класс

Авторская программа по математике для одаренных детей по теме избранные вопросы математики “ Уравнения высших степеней” 9 класс Выполнена: учителем математики МБОУ СОШ №3 п.Редкино Конаковского района Тверской области Алешиной М.В. 2014 год. Авторская программа по математике для одаренных детей по теме избранные вопросы математики “ Уравнения высших степеней” 9 класс Актуальность: Решение алгебраических уравнений высших степеней — одна из сложных тем в курсе математики. Знание способов решения различных уравнений высших степеней и умение применять их являются необходимым для успешной учебы в старших классах по профилю “Математика”. Цель: Расширение и углубление математических знаний Создание целостного представления о теме “Уравнения высших степеней и расширение спектра задач, посильных для учащихся. Осуществление единства уравнений и профильной дифференциации. Задачи: Познакомить учащихся с основными и нетрадиционными приемами и методами решения уравнений. Содержание программы способствует интеллектуальному, творческому, эмоциональному развитию детей; Формирование математического стиля мышления, развитие математической логики. Предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету; Подготовить обучаемых к выбору профиля. Повысить мотивацию обучения. Планируемые результаты: Развитие познавательной активности и творческой самостоятельности обучаемых. Получение знаний, дающих им возможность осознанного выбора профиля дальнейшего обучения. Программа курса для учащихся 9-ого класса. Уравнения высших степеней. Пояснительная записка. Данная программа для учащихся 9-ого класса посвящен одной из важнейших тем алгебры — решению уравнений высших степеней. В основной школе этой теме не уделяется достаточного внимания. Важные приемы, необходимые для решения уравнений, вообще отсутствуют, и в итоге все сводится к решению уравнений одного вида (биквадратные уравнения). Предполагаемая программа является развитием системы ранее приобретенных знаний. Задания данного курса часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся. Ознакомление с методами и приемами решения уравнений высших степеней необходимо для успешного обучения в старшей школе, а также для сдачи ОГЭ. Есть много уравнений, которые считаются для школьников задачами повышенной трудности. Для решения таких задач применяются нетрадиционные методы и приемы. При направляющей роли учителя школьники могут самостоятельно найти различные приемы решений уравнений, а также комбинируя данные. Содержание данной программы ориентировано на достижение следующих целей: — выработать навыки преобразования многочленов и решения различных алгебраических уравнений, — создать целостное представление о данной теме, значительно расширить спектр задач, посильных учащимся. Задачи: — познакомить школьников с различными методами решения, позволяющих расширить программу школьного курса. — привить школьникам навыки использования нестандартных методов рассуждения при решении задач, способствующих развитию познавательного интереса и творческих наклонностей учащихся. Освоение данного курса позволит развить интеллект, интерес к познавательной деятельности, будет способствовать приобретению опыта поиска информации, позволит осуществить сознательный выбор учащимися их будущего профиля. При изучении предполагается использование таких форм и методов работы, как семинарские занятия, самостоятельная работа, работа в парах и группах сменного состава, метод учебного проекта и озвучивание проектов решения уравнений. Применяемые формы и методы работы должны располагать к самостоятельному поиску решений. Тема Кол-во часов Формы контроля Многочлен. 4ч. Самостоятельная работа Проверочная работа Общие сведения об алгебраических уравнениях и многочленах. 2ч. Основные способы решения алгебраических уравнений 8ч. Проверка усвоенных знаний учащихся 2ч. Итого 16ч Планирование курса. Содержание курса 1. многочлен, деление многочлена на многочлен, теорема Безу, корни многочлена. 2. понятие алгебраического уравнения, равносильность уравнений, следствия уравнений, основная теорема высшей алгебры, из истории решения алгебраических уравнений, 3. способ разложения на множители (способ группировки и метод проб) способ введения новой переменной а) решение симметричных и обобщенных возвратных уравнений, б) решение однородных уравнений, в) решение уравнений вида (х + а)(х + b)(х + с)(х + d) = А, если а+d = с+b. 4. проверку усвоения знаний учащихся можно провести в форме контрольной работы с учетом возможностей учащихся. Содержание программы: Многочлен. Корни многочлена. Деление многочлена на многочлен. Многочлен. Корни многочлена. Рn(х) = •+ • + • + … +•x+ — многочлен с одной переменной, n N N (если ≠ 0 — степень многочлена (старшая степень Х). Замечание: а) любое действительное число, отличное от нуля — многочлен нулевой степени б) 0 — многочлен, степень которого не определена (нулевой многочлен) х0 — корень многочлена Р (х0) = 0. Контрольные задания: №1 Какова степень многочлена: а) Рn(х) = х б) Рn(х) = (х2— З)3 +1 в) Рn(х) = -2 n=1 n=6 n = 0 №2 1) Проверить, что х0 — корень многочлена Рn(х), если а) Р4 (х) = 2х4 + 7х3 — 2х2 -13х + 6, х0 = 1 Р4(х) = 2•1 + 7•1 -2•1 — 13•1 + 6 = 2 + 7- 2 — 13 + 6= 15-15 =0 Т. к. Р4(1) = 0, то х0 = 1 — корень данного многочлена. б) Р4(х)= (х2 + х)2 + 4(х2 + 1) — 12, х0 = -2 Р4(-2) = (4 — 2)2 + 4(4 + 1) -12 = 22 + 4-5 — 12 = 4 + 20 -12 = 24-12 = 12 Т.к. Р4 (-2) ≠ 0, то х0 = -2 — не является корнем данного многочлена. Деление многочлена на многочлен. Деление углом. Правило деления многочлена на многочлен аналогично правилу деления чисел углом. Разделить многочлен Рп(х) на Gm(х) — это значит найти многочлен Qk(х) и Rр(х) такие, что имеет место равенство: Рn(х) = Gm(х) • Qk(х) + Rр(х), где Рп(х) — делимое Gm(х) — делитель Qk(х) — частное Rр(х) — остаток n ≥ m > 0, k + m= n, р m, рN,mN,kN. Пример 1. Разделить многочлен Р4 (х) = + +1 на многочлен (х) = — + 1 + +1 — + 1 — + + + + 1 + — — + — + 1 — — + 1 0 Rр (х) = 0 + +1 = + + 1) ( — + 1) + 0 Замечание: В данном примере остаток от деления равен нулю. В этом случае говорят, что многочлен Рn(х) делится на многочлен Оm(х). Пример 2 Разделить многочлен (х) = Зх5 — 2х4 + х3 — 4х2 + 2х — 1 на многочлен (х) = х3 — х2 + 2х + 3. Зх5 — 2х4 + х3 — 4х2 + 2х – 1 х3 — х2 + 2х + 3 — Зх5 — Зх4 + 6х3 + 9х2 + — 4 х4— 5х3 — 13х2 + 2х -1 — х4— х3 + 2х2 + Зх — 4х3 — 15х2 — х — 1 — 4х3 + 4х2 — 8х — 12 _ 19х2 + 7х +11 Зх5 — 2х4 + х3 — 4х2 + 2х — 1 = (Зх2 + х — 4)( х3 — х2 + 2х + 3) — 19х2 + 7х2 + 11 (х) = Зх2 + х — 4 R2(х) = — 19х2 +7х2+ 11 Контрольное задание: Разделить многочлен (х) = х5 — 6х4 + 16х3 — 32х2 + 48х — 32 на (х) = х3 — 6х4 + 12х — 8 х5 — 6х4+ 16х3 — 32х2 + 48х – 32 х3 — 6х4 + 12х — 8 — х5— 6х4 + 12х3 — 8х2 х2 + 4 4х3 — 24х2 + 48х – 32 — 4х3 — 24х2 + 48х — 32 0 Rр(х) = 0 (х) = х2 + 4
	Программа элективного курса «Избранные вопросы математики» для обучающихся 9-ых классов . ..		Методическая разработка урока математики по теме «Линейные уравнения с одной переменной» Место выполнения работы: гоу спо «Мариинский аграрный техникум» г. Мариинска Кемеровской области
	Самостоятельная работа №2 Конкретизация целей обучения математике… Карта темы «Квадратные уравнения»		Программы естественно-научной направленности По математике «математика +» Ленинградском областном центре развития творчества одаренных детей и юношества «Интеллект»
	Учебный проект по математике по теме Формировать понимание межпредметных связей, значимости математики в общественной жизни		Учебной сессии в Мурманской областной очно-заочной школе для одарённых детей «а-элита» В период с 27 по 29 сентября 2016 года состоялась осенняя сессия в Мурманской областной очно-заочной школе дополнительного образования…
	Решение головоломок с одинаковыми цифрами издавна любимое развлечение. .. Избранные занимательные задания из книги И. Г. Сухина «Весёлая математика: 1500 головоломок для математических олимпиад, уроков,…		Рабочая программа по алгебре для 10 класса При изучении курса математики… «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики»,…
	Исследовательская работа по математике: «Решение приведенных квадратных уравнений» …		Урок по математике в 5 г классе по теме: «В царстве математических сказок» Цель: раскрыть волшебную роль математики в сказках, показать как в форме сказок, стихов можно запоминать разные математические понятия,…

1. Задачи элементарной математики.

Упростить алгебраическое выражение.

№	Алгебраическое выражение
1	х4 — х3 — 11х2 + 9x +18 x3 — 9x2 + 26x — 24
	x4 — 3x3 — 7x2 + 27x -18 x3 — 8x2 +19x -12
2	2 — x 3x4 — 24x3 — 3x2 + 204x — 252
	x +1 220x — 70x2 -168 — 15x3 + 10x4 — x5
3	x3 + 2x2 + 4x + 8 2x4 +10x3 -16x — 80
	x5 + 5x4 -16x — 80 x2 + 2x + 4
4	2 x4 +10 x3 — 2 x -10 x3 + x2 + x +1
	x2 + x +1 x5 + 5 x4 — x — 5
5	4x4 + x5 — 81x — 324 3x3 + 19x2 + 57x + 90
	3x4 +10x3 — 81x — 270 x4 + 7x3 + 21x2 + 63x +108
6	4x 5 + 40x4 +100x3 — 80x2 — 320x + 256 3x3 — 3x2
	x4 + x3 — 9x2 + 11x — 4 x2 + 8x +16
7	5x4 +10x3 -100x2 — 330x — 225 x2 — 2x -15
	x4 + x3 — 7x2 — x + 6 x2 — 3x + 2
8	x3 + 3x2 — 9x — 27 x4 — 8x3 — 27x + 216
	x3 — 5x2 — 15x — 72 49x4 — 882x2 + 3969
9	7x4 -126x2 + 567 (x3 — 5x2 -15x — 72)
	(x5 — 8x4 — 27x2 + 216x) (x3 + 3x2 — 9x — 27)
10	x3 + 6 x2 +12 x + 8 x 4 + x3 — 9 x2 + 11x — 4
	x2 + 3x — 4 9x5 + 36x4 + 9x3 — 90x2 — 36x + 72
11	(x3 — x2 — 4x + 4) 3x — 3 (x3 — 3x + 2) 2x — 4
12	(x4 + 2x3 — 72x2 — 416x — 640) ( x -10 J
	(9x 3 -144x2 +180x + 3600) tx2 + 8x +16J
13	(x4 + x3 — 3x2 — 5x — 2) tx2 — 40x + 400^
	(9x3351x2 + 3240x + 3600) [ x3 -3x-2 J
14	(2x4 + 4x3 — 4x — 2) f x4 — 7 ^
	(x3 + x2 — x -1) ^ 2 x + 2 J
15	(4x4 + 4x3 — 48x2 -112x — 64) f x + 4 ^
	(2x3 + 4x2 — 32x — 64) tx2 + 3x + 2 J
16	(4x4 — 45x2 + 35x3 — 315x + 81) f x + 9 ^
	8x4 +166x3 + 1038x2 +1674x — 486) t x2 — 6x + 9 J

17	х4 + х3 — 7 х2 — х + 6 х3 — 2 х2 -15 х
	(5х4 +10х3 -100х2 — 330х — 225) х2 — 3х + 2
18	(220х — 70х2 -168 — 15х3 +10х4 — х5) 3х2 — 6х2 +12
	(3х4 — 24х3 — 3х2 + 204х — 252) х — 2
19	(х2 + 3х + 2) (2х3 + 4х2 — 32х — 64)
	(х2 -16) (4х4 + 4х3 — 48х2 -112х — 64)
20	х2 — 9 (8х4 +166х3 +1038х2 +1674х- 486)
	х2 +12х + 27 (4х4 — 45х2 + 35х3 — 315х + 81)
21	х2 + 8х +16 (9х3 -144х2 +180х + 3600)
	х -10 (х4 + 2х3 — 72х2 — 416х — 640)
22	2(х +1) (х3 + х2 — х -1)
	х3 + 2х (2х4 + 4х3 — 4х — 2)
23	2х — 4 (х3 — 3х + 2)
	х -1 (х3 — х2 — 4 х + 4)
24	х3 — 3х — 2 (9х3 — 351х2 + 3240х + 3600)
	(х2 — 40х + 400) (х4 + х3 — 3х2 — 5х — 2)
25	х2 — 3х + 2 (5х4 +10х3 -100х2 — 330х — 225)
	х2 — 2 х -15 х4 + х3 — 7 х2 — х + 6
26	9х5 + 36х4 + 9х3 — 90х2 — 36х + 72 х3 + 3х2 — 4х
	х4 + х3 — 9 х2 + 11х — 4 х3 + 6 х2 +12 х + 8
27	х2 + 8 х +16 х4 + х3 — 9 х2 + 11х — 4
	х2 — х 4х5 + 40х4 +100х3 — 80х2 — 320х + 256
28	х3 + 2х2 + 4х х5 + 5х4 -16х — 80
	2х4 +10х3 -16х — 80 х3 + 2х2 + 4х + 8
29	х3 + 2х2 + 4х + 8 2х4 +10х3 -16х — 80
	х5 + 5х4 -16х — 80 х2 + 2х + 4
30	3х5 +10х4 — 81х2 — 270х х4 + 7х3 + 21х2 + 63х +108
	4х4 + х5 — 81х — 324 3х3 +19х2 + 57х + 90

Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.

№	Алгебраическое выражение
1	(х -1)4( х + 2)( х + 4)2(3х + 8)
2	(3х + 2)3(х2 + 2)4(х — 3)2(0.5 — х)
3	((х2 -1)(2х — 3))2(3х + 2)3
4	(х2 + 4х — 6)((х3 -1)(2 — 4х))2 (2х + 4)2
5	(7х3 + 4х)((х2 — 9)(3 + х)(2х + 4))2
6	х(х3 — 3х2 + 4)((х2 — 9)(3 + х)(2х + 4))2
7	((х3 -1)(2х2 + 2х — 3))3 (3х + 2)2
8	(6 х — 9)5 (2 — 7 х)( х4 + 4 х)2 (3х + 8)

9	(х -3х2 + 7)2(х2 + 3х -1)(9х4 -1)3
10	(7 х + 5х2 )((7 х — 4)( х 4 + 3)(8 х + 4))3
11	(х3 — 3х2 + 4)((х4 — 81)(3х4 + х)(2х + 4))3 х
12	((х3 — 3)(х6 -11))2 ((3х4 + 2х + 4)(2х + 4))3
13	(х — 54)4 (12 х + 4)(2 х + 4)2( х — 8 х6)
14	(5х2 — 2х3 + 5х)2 (3 — х2 + х)(7х4 — х)3
15	((9х2 — 3х +1)(х2 + х — 2))2 (1. 5 — 4х)4
16	(х3 — 3х2 + 4)((х4 — 81)(3х 4 + х)(2х + 4))3 х
17	((3х + х2)(х3 — 3))2((6х3 + 2х2 + 4)(4 — 2х))3
18	(2 х + 27)5(12 + 6 х)(2 х — 9)2( х2 + 6 х3)
19	(х2 + 3х3 — 2)((х2 -16)(2х2 + 5))3(2х + 4)2
20	(10 х — 2)4 (13х — 4)(5х + 3)3 (х — 8 х2)
21	((х3 — 1)(5х — 2))3 (7х + 3)3
22	(3х2 + 89х -16)((х4 -1)(7 + 9х))2(6х +1)2
23	(4х + 3)3(х2 + 2)2(х — 3)4(2. 5 — х)
24	((2х3 — 3)(5х2 +12х — 33))3 (2х + 0.5)2
25	(3х — 7)5 (1 — 5х)(2 х3 + 4 х)2 (3 + 8х)
26	((5х2 -125)(х — 3))6(3х + 2)2
27	х(2х3 — 3х2 + 2)((х2 -1)(4 + 3х)(х + 5))2
28	(4 х — 2х3 + 7)2 (х2 -1)(9 х 4 — х + 8)3
29	(3х — 5х2 )((2 х -1)( х3 + 5)(7 х + 6))3
30	(5х3 + 3х)((х2 — 4)(6 + х)(8х + 4))2

Разложите алгебраическое выражение на множители.

№	Алгебраическое выражение
1	х3 + 2 х2 + 4 х + 8
2	6 х3 + 55х2 +129 х + 90
3	х4 + 2х3 — 72х2 — 416х — 640
4	2 х 4 + 4 х3 — 4 х — 2
5	9х5 + 36х4 + 9х3 — 90х2 — 36х + 72
6	х4 + х3 — 9 х2 + 11х — 4
7	6 х3 + 62 х2 +184 х +168
8	х4 + 7 х3 + 21х2 + 63х +10
9	3х5 +10х4 — 81х2 — 270х
10	4х4 + х5 — 81х — 324
11	3х3 +19 х2 + 57 х + 90
12	2х4 +10х3 -16х — 80
13	х5 + 5х4 -16х — 80
14	х5 + х4 — 21х3 — 45х2
15	х4 + 6х3 + 4х2 — 30х — 45
16	4 х 4 +14 х3 + 22 х2 + 35х + 30

17	х4 + 2х3 — 143х2 -144х + 5164
18	х6 + 4х3 + х5 + 4х2 — 48х -12х4
19	2х5 + 8х2 + х4 + 4х — 6х3 — 24
20	4х4 — 31х3 + 33х2 — 93х + 63
21	2х3 — 25х2 + 93х — 90
22	14х4 — 82х2 — 46х3 + 138х +120
23	3х4 + х3 — 22х2 — 4х + 40
24	6х4 + 23х3 — 9х2 — 92х — 60
25	16х4 + 76х3 + 68х2 — 76х — 84
26	— х4 — 5х +12х3 + 60 — х5 — 5х2
27	— 6 х2 + 58х +120 — 4 х3
28	х4 + 7 х2 + 9 х3 + 63х
29	16х3 — 67х2 + 64х — х4 — 252
30	5 х3 + 56 х2 +112 х -128

Разложите рациональную дробь на простейшие дроби.

№	Алгебраическое выражение
1	5 х 4 + 7 х3 + 5 х — 4	16	х4 + х3 — 5 х — 7
	(х2 + 4)(х — 2)2(х2 -1)		(х2 + 4х +1)(х — 2)2(х2 -1)
2	3х5 + 6 х3 + 5х -1	17	х6 + 2 х -1
	(х2 — 4х + 3)(х — 2)2(х2 -16)		(х2 — х + 5)(х — 3)3(х2 -1)
3	х3 + 2 х2 + 3х + 4	18	х4 + х3 — 5 х — 7
	(х2 — х)(3 — х)3 (х2 — 81)		(х2 + 4х +1)(х — 2)2(х2 -1)
4	х5 — 7 х 4 + 2 х — 8	19	2х6 — 3х4 + 9
	(х3 — 4х2 + 5х)(х — 3)2(х2 -1)		(х2 — 2х -15)(4х +1)3 х
5	х5 + 2х3 + 9х2 — 7	20	х5 + 2 х3 + 9 х2 — 7
	(4х2 — 6х — 10)(5х + 3)2 х		(2х2 — 6х +1)(4х + 2)х3
6	6 х6 + 4 х2 + 9 х	21	3х5 + х2 + 4х
	(х2 — 4)(2 — 3х)3(х2 — 4)		(3х2 — 6х)(х + 2)4 х2
7	2 х7 + 4 х2 +1	22	5х6 + 9 х3 +10 х +15
	(25х2 — 30х — 5)(3х2 + х)2		(5х2 -125)(6х2 + 2х)2
8	х6 + 3х3 + 4 х +12	23	7х5 — 5х6 +1
	(х2 — 25)(3х2 + 9х)3		(х2 + 8х)х3(х2 — 9)2
9	х7 + 2 х5 + 15х +14	24	х7 + 2 х6 + 5х + 51
	(х2 + 5 х + 13)(3х — 6)4		(х2 + 3х +1)х2(х2 — 4)3
10	3х4 + 3х + 4	25	4 х4 + 5х3 + 2 х -1
	(х2 -1)(2 — х)3 (х2 — 9)		(х2 — 4х + 5)(х -1)2(х2 — 9)
11	3х5 + х2 + 4х	26	6 х5 + 3х3 + 4 х +1
	(5 х2 + 6 х -1)( х + 2)3( х — 3)		(5х2 + 6х -1)(х + 4)3(х2 — 4)

12	7x5 — 3x3 + 7x + 77	27	4 x7 + 9 x6 + x + 5
	(x2 +10x + 25)(x2 — 9)2		(x2 + 3x)x2(x2 — 25)3
13	8x5 -14x3 + 34	28	5x6 + x5 — 4x + 21
	x(x2 — x)(7 — x)3		(2 x2 + x +14)(3 — 6 x)4
14	x6 + 4x3 -14x2 + 35	29	x6 — 3x3 + 6x +11
	x(2 x2 + x)(5 — 2 x)4		(x2 -10x + 25)(3x2 + 9)3
15	4x2 — 3x3 — x	30	x5 — 2 x3 + 9 x2 + 4
	(x2 — 2x +1)(4x +1)2(x2 — 64)		(x2 — 6x +1)(x + 2)x4

Построить графики предложенных многочленов y = f_n (x) и найти все корни уравнения f_n (x) = 0 .

№	Уравнение для многочленов y = fn (x)
1	12x5 + 108x4 + 315x3 + 360x2 + 303x + 252
2	x5 — 15x4 + 85x3 — 225x2 + 274x -120
3	x5 — 87x3 + 82x2 +1032x -1728
4	x5 — 4x4 — 36x3 + 226x2 — 397x + 210
5	x5 — 2x4 — 45x3 + 230x2 — 376x +192
6	7x5 — 99x4 + 511x3 -1149x2 + 994x -120
7	2x5 — 9x4 — 34x3 + 231x2 — 346x +120
8	3x5 — 50x4 + 299x3 — 760x2 + 748x — 240
9	4x5 — 79x4 + 533x3 — 1481x2 + 1563x — 540
10	2x5 — 47x4 + 423x3 -1822x2 + 3736x — 2880
11	7x5 — 25x4 — 37x3 + 217x2 — 234x + 72
12	2x5 — 11x4 — 41x3 + 404x2 — 948x + 720
13	x5 + 5x4 + 7x3 — x2 — 8x — 4
14	6x5 — 65x4 + 195x3 + 5x2 — 561x +180
15	6x5 + 15x4 — 372x3 + 771x2 -120x — 300
16	3x5 + 7x4 — 115x3 — 63x2 + 412x +140
17	4x5 — 61x3 — 28x2 + 57x + 28
18	16x5 + 76x4 — 588x3 -1272x2 +1112x + 2240
19	4x5 + 39x4 — 44x3 — 687x2 — 320x +1008
20	6x5 — 5x4 — 73x3 + 40x2 + 200x
21	x5 — 15x4 + 85x3 — 225x2 + 274x -120
22	8x5 + 36x4 — 158x3 — 81x2 + 315x
23	24x5 +172x4 -186x3 -1507x2 + 297x + 2520
24	12x5 + 40x4 — 547x3 — 778x2 +136x +192
25	81x5 +675x4 — 846x3 — 3144x2 +1248x + 3456
26	64x5 + 64x4 — 564x3 -4x2 + 35x
27	2x5 + 8x2 + x4 + 4x — 6x3 — 24
28	x5 + 5x4 -16x — 80
29	3x5 +10x4 — 81x3 — 270x
30	9x5 + 36x4 + 9x3 — 90x2 — 36x + 72

Графически исследовать решение нелинейных уравнений и для каждого корня получить решение.

№	Уравнение	№	Уравнение
1	ln2( x -1) = 3cos2 x +1	16	л/25 — x2 = arctg2x
2	3П 01x 2 cos x = е • arcctg2x	17	sin x^ л/81 — x2 = 5 xarctgx
3	10e «x = V 2nx + sin x	18	arctg 2 x — 0. 9 — x2) = 10sin3x
10	X —4x = Vx3 + 4ecos3x x2 — 4 x + 8	25	2x —1 = Vx4 + 4esin2x x2 — 2x + 2
11	10 x — 2 „ „ 4/­ — = 2cos2 x + 4 x 3 + x2	26	x 2— 9 \ * =v X2 + 1ex cos x x2 + 4
12	V64 — x2 log2 x = sin 3x	27	x2— 4 л ^ 1 ^„X sin X 2 = V xe X2 + 1
13	10е ~азx2 = V 2nx + x2 + 3sin x	28	4xtg(0. 9 — X2) = 10sin3x
14	5 • 3—x2 +1 = V3X + sin 2x	29	arctg2x — (x — 0.1)4 + sin2 x = 0
15	5n _ _01x2 rs cos 2 x = 3 • arcctg 2 x	30	sin2 x • V81 — x2 = 5e—x2

Решить уравнение y 0.

Решение квадратных уравнений

2x 4 + 5x 3 — 11x 2 — 20x + 12 = 0

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 12 являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Начнем их подставлять по-очереди:

1: 2 + 5 — 11 — 20 + 12 = -12 ⇒ число 1

-1: 2 — 5 — 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 — 11 ∙ 4 — 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x — 2 . Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

	2	5	-11	-20	12
2

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

2 5 -11 -20 12 2 2	Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9	2 ∙ 2 + 5 = 9
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7	2 ∙ 9 — 11 = 7
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6	2 ∙ 7 — 20 = -6
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0	2 ∙ (-6) + 12 = 0

Последнее число — это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

2x 4 + 5x 3 — 11x 2 — 20x + 12 = (x — 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x — 6)

Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 2x 3 + 9x 2 + 7x — 6.

Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Делителями числа -6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 2 + 9 + 7 — 6 = 12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -2 + 9 — 7 — 6 = -6 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 — 6 = 60 ⇒ число 2 не является корнем многочлена

-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) — 6 = 0 ⇒ число -2 является корнем многочлена

Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2	Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5	-2 ∙ 2 + 9 = 5
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3	-2 ∙ 5 + 7 = -3
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0	-2 ∙ (-3) — 6 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x 4 + 5x 3 — 11x 2 — 20x + 12 = (x — 2)(x + 2)(2x 2 + 5x — 3)

Многочлен 2x 2 + 5x — 3 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант , а можно поискать корень среди делителей числа -3. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -3

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2	Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1	-3 ∙ 2 + 5 = -1
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1 0	-3 ∙ (-1) — 3 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители:

2x 4 + 5x 3 — 11x 2 — 20x + 12 = (x — 2)(x + 2)(x + 3)(2x — 1)

А корнями уравнения являются.

I. Линейные уравнения

II. Квадратные уравнения

ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0, иначе уравнение становится линейным

Корни квадратного уравнения можно вычислять различными способами, например:

Мы хорошо умеем решать квадратные уравнения. Многие уравнения более высоких степеней можно привести к квадратным.

III. Уравнения, приводимые к квадратным.

замена переменной: а) биквадратное уравнение ax 2n + bx n + c = 0, a ≠ 0, n ≥ 2

2) симметрическое уравнение 3 степени – уравнение вида

3) симметрическое уравнение 4 степени – уравнение вида

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c b a или

ax 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c (–b) a

Т.к. x = 0 не является корнем уравнения, то возможно деление обеих частей уравнения на x 2 , тогда получаем: .

Произведя замену решаем квадратное уравнение a (t 2 – 2) + bt + c = 0

Например, решим уравнение x 4 – 2x 3 – x 2 – 2x + 1 = 0, делим обе части на x 2 ,

, после замены получаем уравнение t 2 – 2t – 3 = 0

– уравнение не имеет корней.

4) Уравнение вида (x – a )(x – b )(x – c )(x – d ) = Ax 2 , коэффициенты ab = cd

Например, (x + 2 )(x +3 )(x + 8 )(x + 12 ) = 4x 2 . Перемножив 1–4 и 2–3 скобки, получим (x 2 + 14x + 24)(x 2 +11x + 24) = 4x 2 , разделим обе части уравнения на x 2 , получим:

Имеем (t + 14)(t + 11) = 4.

5) Однородное уравнение 2 степени – уравнение вида Р(х,у) = 0, где Р(х,у) – многочлен, каждое слагаемое которого имеет степень 2.

Ответ: -2; -0,5; 0

IV. Все приведенные уравнения узнаваемы и типичны, а как быть с уравнениями произвольного вида?

Пусть дан многочлен P n (x ) = a n x n + a n-1 x n-1 + . ..+a 1 x + a 0 , где a n ≠ 0

Рассмотрим метод понижения степени уравнения.

Известно, что, если коэффициенты a являются целыми числами и a n = 1 , то целые корни уравнения P n (x ) = 0 находятся среди делителей свободного члена a 0 . Например, x 4 + 2x 3 – 2x 2 – 6x + 5 = 0, делителями числа 5 являются числа 5; –5; 1; –1. Тогда P 4 (1) = 0, т.е. x = 1 является корнем уравнения. Понизим степень уравнения P 4 (x ) = 0 с помощью деления “уголком” многочлена на множитель х –1, получаем

P 4 (x ) = (x – 1)(x 3 + 3x 2 + x – 5).

Аналогично, P 3 (1) = 0, тогда P 4 (x ) = (x – 1)(x – 1)(x 2 + 4x +5), т.е. уравнение P 4 (x) = 0 имеет корни x 1 = x 2 = 1. Покажем более короткое решение этого уравнения (с помощью схемы Горнера).

	1	2	–2	–6	5
1	1	3	1	–5	0
1	1	4	5	0

значит, x 1 = 1 значит, x 2 = 1.

Итак, (x – 1) 2 (x 2 + 4x + 5) = 0

Что мы делали? Понижали степень уравнения.

V. Рассмотрим симметрические уравнения 3 и 5 степени.

а) ax 3 + bx 2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.

б) ax 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.

Например, покажем решение уравнения 2x 5 + 3x 4 – 5x 3 – 5x 2 + 3x + = 0

	2	3	–5	–5	3	2
–1	2	1	–6	1	2	0
1	2	3	–3	–2	0
1	2	5	2	0

x = –1

Получаем (x – 1) 2 (x + 1)(2x 2 + 5x + 2) = 0. Значит, корни уравнения: 1; 1; –1; –2; –0,5.

VI. Приведем список различных уравнений для решения в классе и дома.

Предлагаю читателю самому решить уравнения 1–7 и получить ответы…

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c /a )

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Цели:

1. Систематизировать и обобщить знания и умения по теме: Решения уравнений третьей и четвертой степени.
2. Углубить знания, выполнив ряд заданий, часть из которых не знакома или по своему типу, или способу решения.
3. Формирование интереса к математике через изучение новых глав математики, воспитание графической культуры через построение графиков уравнений.

Тип урока : комбинированный.

Оборудование: графопроектор.

Наглядность: таблица «Теорема Виета».

Ход урока

1. Устный счет

а) Чему равен остаток от деления многочлена р n (х) = а n х n + а n-1 х n-1 + … + а 1 х 1 + a 0 на двучлен х-а?

б) Сколько корней может иметь кубическое уравнение?

в) С помощью чего мы решаем уравнение третьей и четвертой степени?

г) Если b четное число в квадратном уравнение, то чему равен Д и х 1 ;х 2

2. Самостоятельная работа (в группах)

Составить уравнение, если известны корни (ответы к заданиям закодированы) Используется «Теорема Виета»

1 группа

Корни: х 1 = 1; х 2 = -2; х 3 = -3; х 4 = 6

Составить уравнение:

B=1 -2-3+6=2; b=-2

с=-2-3+6+6-12-18= -23; с= -23

d=6-12+36-18=12; d= -12

е=1(-2)(-3)6=36

х 4 — 2 х 3 — 23х 2 — 12 х + 36 = 0 (это уравнение решает потом 2 группа на доске)

Решение . Целые корни ищем среди делителей числа 36.

р = ±1;±2;±3;±4;±6…

р 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Число 1 удовлетворяет уравнению, следовательно, =1 корень уравнения. По схеме Горнера

р 3 (x) = х 3 -х 2 -24x -36

р 3 (-2) = -8 -4 +48 -36=0, х 2 =-2

р 2 (x) = х 2 -3х -18=0

х 3 =-3, х 4 =6

Ответ: 1;-2;-3;6 сумма корней 2 (П)

2 группа

Корни: х 1 = -1; х 2 = х 3 =2; х 4 =5

Составить уравнение:

B=-1+2+2+5-8; b= -8

с=2(-1)+4+10-2-5+10=15; с=15

D=-4-10+20-10= -4; d=4

е=2(-1)2*5=-20;е=-20

8+15+4х-20=0 (это уравнение решает на доске 3 группа)

р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.

р 4 (1)=1-8+15+4-20=-8

р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

р 3 (x) = х 3 -9х 2 +24x -20

р 3 (2) = 8 -36+48 -20=0

р 2 (x) = х 2 -7х +10=0 х 1 =2; х 2 =5

Ответ: -1;2;2;5 сумма корней 8(Р)

3 группа

Корни: х 1 = -1; х 2 =1; х 3 =-2; х 4 =3

Составить уравнение:

В=-1+1-2+3=1;в=-1

с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

е=-1*1*(-2)*3=6

х 4 — х 3 — 7х 2 + х + 6 = 0 (это уравнение решает потом на доске 4 группа)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа 6.

р = ±1;±2;±3;±6

р 4 (1)=1-1-7+1+6=0

р 3 (x) = х 3 — 7x -6

р 3 (-1) = -1+7-6=0

р 2 (x) = х 2 -х -6=0; х 1 =-2; х 2 =3

Ответ:-1;1;-2;3 Сумма корней 1(О)

4 группа

Корни: х 1 = -2; х 2 =-2; х 3 =-3; х 4 =-3

Составить уравнение:

B=-2-2-3+3=-4; b=4

с=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

е=-2*(-2)*(-3)*3=-36;е=-36

х 4 + 4х 3 – 5х 2 – 36х -36 = 0 (это уравнение решает потом 5 группа на доске)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа -36

р = ±1;±2;±3…

р(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

р 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

р 3 (х) = х 3 +2х 2 -9х-18 = 0

р 3 (-2)= -8 + 8 + 18-18 = 0

р 2 (х) = х 2 -9 = 0; x=±3

Ответ: -2; -2; -3; 3 Сумма корней-4 (Ф)

5 группа

Корни: х 1 = -1; х 2 =-2; х 3 =-3; х 4 =-4

Составить уравнение

х 4 + 10х 3 + 35х 2 + 50х + 24 = 0 (это уравнение решает потом 6группа на доске)

Решение . Целые корни ищем среди делителей числа 24.

р = ±1;±2;±3

р 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

р 3 (х) = x- 3 + 9х 2 + 26x+ 24 = 0

p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = О

р 2 (х) = x 2 + 7x+ 12 = 0

Ответ:-1;-2;-3;-4 сумма-10 (И)

6 группа

Корни: х 1 = 1; х 2 = 1; х 3 = -3; х 4 = 8

Составить уравнение

B=1+1-3+8=7;b=-7

с=1 -3+8-3+8-24= -13

D=-3-24+8-24= -43; d=43

х 4 — 7х 3 — 13х 2 + 43 x — 24 = 0 (это уравнение решает потом 1 группа на доске)

Решение . Целые корни ищем среди делителей числа -24.

р 4 (1)=1-7-13+43-24=0

р 3 (1)=1-6-19+24=0

р 2 (x)= х 2 -5x — 24 = 0

х 3 =-3, х 4 =8

Ответ: 1;1;-3;8 сумма 7 (Л)

3. Решение уравнений с параметром

1. Решить уравнение х 3 + 3х 2 + mх — 15 = 0; если один из корней равен (-1)

Ответ записать в порядке возрастания

R=Р 3 (-1)=-1+3-m-15=0

х 3 + 3х 2 -13х — 15 = 0; -1+3+13-15=0

По условию х 1 = — 1; Д=1+15=16

Р 2 (х) = х 2 +2х-15 = 0

х 2 =-1-4 = -5;

х 3 =-1 + 4 = 3;

Ответ:- 1;-5; 3

В порядке возрастания: -5;-1;3. (Ь Н Ы)

2. Найти все корни многочлена х 3 — 3х 2 + ах — 2а + 6, если остатки от его деления на двучлены х-1 и х +2 равны.

Решение: R=Р 3 (1) = Р 3 (-2)

Р 3 (1) = 1-3 + а- 2а + 6 = 4-а

Р 3 (-2) = -8-12-2а-2а + 6 = -14-4а

x 3 -Зх 2 -6х + 12 + 6 = х 3 -Зх 2 -6х + 18

x 2 (x-3)-6(x-3) = 0

(х-3)(х 2 -6) = 0

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

2 группа . Корни: -3; -2; 1; 2;

3 группа . Корни: -1; 2; 6; 10;

4 группа . Корни: -3; 2; 2; 5;

5 группа . Корни: -5; -2; 2; 4;

6 группа . Корни: -8; -2; 6; 7.

Презентация «Способы решения квадратных уравнений»

Слайд 1

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Макуловская средняя общеобразовательная школа» Верхнеуслонского муниципального района Республики Татарстан Исследовательская работа Выполнила ученица 9 класса Хабибулина Алия Руководитель : учитель математики Маханова Т.А. Россия, с.Макулово, 2013 год Способы решения квадратных уравнений

Слайд 2

Квадратные уравнения Когда уравнение решаешь, дружок, Ты должен найти у него корешок, Значение буквы проверить не сложно, Поставь в уравненье его осторожно. Коль верное равенство выйдет у вас, То корнем значенье зовите тот час. О.Севастьянова. Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они находят широкое применение при решении огромного количества задач. Каждый уважающий себя человек должен научиться их решать.

Слайд 3

В школьном курсе математики изучаются некоторые способы решения квадратных уравнений. Однако, существуют и другие, которые позволяют очень быстро и рационально найти корни уравнения и получить ответ. Напомним уже известные способы и разберём несколько новых.

Слайд 4

1. Разложение на множители левой части уравнения Решим уравнение х 2 + 10х – 24 = 0 . Разложим на множители левую часть: х 2 + 10х – 24 = х 2 + 12х – 2х – 24 = х(х + 12) – 2(х + 12) = (х + 12)(х – 2). Уравнение примет вид : (х + 12)(х – 2) = 0 ; х + 12 = 0 или х – 2 = 0 х = -12. х = 2. Ответ: -12 ; 2. Решите уравнения: х 2 — х = 0 ; х 2 + 2х = 0 ; х 2 — 81 = 0 ; х 2 + 4х + 3 = 0 ; х 2 + 2х – 3 = 0 .

Слайд 5

2. Метод выделения полного квадрата (1 случай) Решим уравнение х 2 – 1 0х + 25 = 0 . Заметим, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат двучлена. Запишем уравнение в виде : (х – 5) 2 = 0 ; х – 5 = 0 ; х = 5. Ответ: 5. Решите уравнения: x 2 + 4 x + 4 = 0; x 2 – 2 x + 1 = 0; 36 x 2 + 12 x + 1 = 0; x 2 – 6 x + 9 = 0 .

Слайд 6

3. Метод выделения полного квадрата (2 случай) Решим уравнение х 2 + 6х – 7 = 0. Выделим квадрат двучлена в левой части уравнения. х 2 + 6х – 7 = х 2 + 6х + 3 2 – 3 2 – 7 = (х + 3) 2 – 9 – 7 = (х + 3) 2 – 16. Уравнение примет вид : (х + 3) 2 – 16 = 0 ; (х + 3) 2 = 16 ; х + 3 = 4 или х + 3 = — 4 х = 1. х = -7. Ответ: 1 ; — 7. Решите уравнения: х 2 – 8х +15 = 0 ; х 2 +12х +20 = 0 ; х 2 + 4х + 3 = 0 ; х 2 + 2х – 2 = 0 ;

Слайд 7

4. Решение квадратных уравнений по формуле I D 0 Решите уравнения: 2х 2 — 5х + 2 = 0 ; 6х 2 + 5х + 1 = 0 ; 4х 2 — 5х + 2 = 0 ; 2х 2 + 3х + 1 =0.

Слайд 8

5 . Решение квадратных уравнений по формуле II b = 2k ( четное число) Решите уравнения: 2х 2 — 6х + 4=0 ; х 2 — 18х +17=0 ; 3х 2 – 14х + 16 = 0 ; х 2 + 2х – 80 = 0.

Слайд 9

6. Решение уравнений с помощью теоремы, обратной теореме Виета Решим уравнение х 2 +10х – 24 = 0. а = 1, это приведённое квадратное уравнение. Заметим, что D>0 и х 1 х 2 = — 24, х 1 + х 2 = -10, значит х 1 = — 12, х 2 = 2. Ответ: — 12 ; 2 . Решите уравнения: х 2 — 7х — 30 = 0 ; х 2 +2х — 15 = 0 ; х 2 — 7х + 6 = 0 .

Слайд 10

7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения (1 случай) Если a + b + c = 0, то х 1 = 1, х 2 = с /a . Решим уравнение х 2 + 6х – 7 = 0, где а = 1, b = 6, с = — 7. Заметим, что D>0 и 1 + 6 – 7 = 0, значит х 1 = 1, х 2 = — 7 /1 = — 7 . Ответ: — 7 ; 1. Решите уравнения: х 2 – 2013х + 2012 = 0 ; 345 х 2 -137х -208 = 0 ; 3 х 2 +5х – 8 = 0 ; 5 х 2 + 4х – 9 = 0 ; 5 х 2 — 7х +2 = 0 .

Слайд 11

8 . Свойства коэффициентов квадратного уравнения ( 2 случай) Если a – b + c = 0, то х 1 = — 1 , х 2 = -с / а . Решим уравнение 3 х 2 +5х +2 = 0, где а = 3, b = 5, с = 2. Заметим, что D>0 и 3 — 5 + 2 = 0, значит х 1 = — 1, х 2 = — 2 / 3. Ответ: — 1 ; — 2/ 3. Решите уравнения: х 2 + 2013х + 2012 = 0 ; 11 х 2 +25х +14=0 ; 5 х 2 + 4х — 1=0 ; х 2 + 4х +3=0 ; 5 х 2 — 7х -12 =0 .

Слайд 12

9. Графическое решение квадратного уравнения Решим уравнение х 2 + 2х – 3 = 0. Запишем уравнение в виде х 2 = 3-2х. В одной и той же системе координат построим графики функций у = х 2 и у = 3-2х. Найдём абсциссы точек пересечения графиков : х 1 = 1, х 2 = -3. Ответ: — 3; 1. Решите уравнение: х 2 -х — 6=0 ; х 2 — 4х + 4=0 ; х 2 +4х +6=0 ; х 2 -2х — 3=0 ; х 2 +2х — 3=0 .

Слайд 13

10. Решение уравнений способом переброски Дано уравнение а х 2 + b х + с = 0. Умножим обе части уравнения на а, получим а 2 х 2 + а b х + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = у/а. Тогда у 2 + b у + ас = 0. Его корни у 1 и у 2 . Окончательно х 1 = у 1 /а, х 1 = у 2 /а. Решим уравнение 2 х 2 — 11х + 15 = 0. Перебросим коэффициент 2 к свободному члену: у 2 — 11у + 30 = 0. Согласно теореме, обратной теореме Виета у 1 = 5 и у 2 = 6. Значит х 1 = 5/2 и х 2 = 6/2 или х 1 = 2,5 и х 2 = 3. Ответ: 2,5 ; 3. Решите уравнение: 2 х 2 — 9х + 9 = 0 ; 10 х 2 — 11х + 3 = 0 ; 3 х 2 + 11х + 6 = 0 ; 6 х 2 + 5х – 6 = 0 .

Слайд 14

11. Решение уравнений с помощью циркуля и линейки Решим уравнение a х 2 + b х + c = 0 : Отметим на координатной плоскости точку S (- b :2 a; ( a + c ):2 a ) — центр окружности и точку А(0 ; 1). Построим окружность радиуса SA . Абсциссы точек пересечения окружности с осью Ох и есть корни исходного уравнения.

Слайд 15

Рассмотрим примеры : 1. Решим уравнение х 2 — 2х + 1= 0. S(1; 1), А(0 ; 1). Ответ: 1. 2. Решим уравнение х 2 + 4х — 5 = 0. S(- 2; — 2), A(0;1). Ответ: -5; 1. 3. Решите уравнение х 2 — 4х + 5 = 0. S(2; 3), A(0;1). Ответ: нет корней.

Слайд 16

12. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы Номограмма для решения уравнения z 2 + px + q = 0 даёт значения положительных корней. Если уравнение имеет корни разных знаков или оба корня отрицательны, то необходимо воспользоваться специальной методикой их вычисления, также, как и в случае, когда коэффициенты p и q выходят за пределы шкал.

Слайд 17

13. Геометрический способ решения уравнения Решим уравнение у 2 — 6у – 16 = 0. Представим уравнение в виде у 2 — 6у = 16. На рисунке «изображено» выражение у 2 — 6у , т.е. из площади квадрата со стороной у дважды вычитается площадь квадрата со стороной 3. Значит у 2 – 6у + 9 есть площадь квадрата со стороной у-3. Выполнив замену у 2 — 6у = 16, получим (у-3) 2 = 16 + 9 ; у-3 = 5 или у-3 = — 5 у = 8 у = -2 Ответ: — 2; 8. Решить уравнение у 2 + 6у – 16 = 0.

Слайд 18

Заключение В ходе данной исследовательской работы мною были изучены способы решения полных квадратных уравнений ; Считаю, что работа помогла мне лучше подготовиться к ГИА по математике ; Данная презентация была предложена на школьной предметной конференции старшеклассников ; Я работала под девизом : «Научился сам – научи другого!».

Слайд 19

УЧИТЬСЯ НЕЛЕГКО, НО ИНТЕРЕСНО! Ян Амос Коменский (1592-1670), чешский педагог, писатель.

Слайд 20

Литература и источники Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К. И., Суворова С.Б. Алгебра 8. – М. : Просвещение, 2005. Приложение «Математика» к газете «Первое сентября», №40 – 2000г. 2/x-2=16/x-2 найдите корень уравнения (если он единственный)

Ответ

Ответ разместил: lizas7777

(2х² — х -7)² — (5х + 1)² = 0
Применим формулу разности квадратов 
(2х² — х — 7 + 5х + 1) * (2х² — х — 7 — 5х — 1) = 0
(2х² +4х — 6) * (2х² — 6х — 8) = 0
Приравняв каждую скобку к 0, получим два уравнения
 2х² +4х — 6 = 0    и    2х² — 6х — 8 = 0
Решим первое
2х² + 4х — 6 = 0
D = 4² — 4 * 2 * 6 = 16 — 48 = — 32 отрицательный, корней нет
Решим второе
2х² — 6х — 8 = 0
Сократив на 2, получим уравнение
х² — 3х — 4 = 0
D = 9 — 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25
√D = √25 = 5
х₁ = (3 + 5)/2 = 8/2 = 4 — наибольший корень
х₂ = (3 — 5)/2 = -2/2 = — 1 — наименьший корень
|x₁ — x₂| = |4 — (-1)| = |4+1| =5
ответ: 5

Ответ

Ответ разместил: nightlovell15

(3x²-7)/(x-3)=(6-2x²)/(x-3)
x≠3
3x²-7=6-2x²
5x²=13
x²=2,6
x1=-√2,6
x2=√2,6
x2-x1=2√2,6

Ответ

Ответ разместил: Андртян

1 пример: -10х²+9=0 Пусть х²=а, где а >=0, тогда а²-10а+9=0 а1=9, а2=9 (теорема виета) Если а1=9, то х²=9 х1=3 х2=-3 (посторонний корень, так как а больше или равен нуля) Если а2=1, то х²=1 х1=1 х2=-1 (посторонний корень) 2 пример: -5х²+2=0 Пусть х²=а, где а>=0, тогда 3а²-5а+2=0 D=b²-4ac, D=(-5)²-4*3*2=1. 2=4

x3=-2

x4=2

Разность наибольшего и наименьшего корней уравнения равна 3-(-3)=6

Ответ

Ответ разместил: denkarlay

Корни уравнения :-3, -1 , 1 , 3 

разность равна=3-(-3)=6

Другие вопросы по: Алгебра

Вкакой из фраз () слово походил употребленно неправильно? (а)щенок походил на медвежонка, и его назвали умкой. (б)коля походил по комнате и успокоился. (в)гроссмейстер походил пешк…

01.03.2019 04:30

Ответов: 3

Переведите текст на . «я люблю глянцевые журналы такие как glamour, cosmopolitan и другие. так же мне нравятся местные газеты «из рук в руки», «всякая всячина» и др. я расскажу про…

01.03.2019 14:00

Ответов: 3

Написать сочинение к стихотворению «неохотно и не смело» или «листья» автор фёдор иванович тючев. (по плану) план. 1. какую картину природы создаёт поэт? 2.какие изобразительные ср…

01.03.2019 18:40

Ответов: 1

Сарай имеющий форму прямугольного сеном. 2/x-2=16/x-2 найдите корень уравнения (если он единственный) или разность наибол…

Популярные вопросы

Чтобы переправить туристов на другой берег реки, надо их рассадить в каждую лодку по 3 человека или по 5 человек. в этом случае свободных мест в лодках не будет. какое наименьшее к…

01.03.2019 02:20

Ответов: 1

Определите кокое количество теплоты потребуется для плавления 200г олова имеющего температуру 232 градусов цельсия….

01.03.2019 22:00

Ответов: 2

Катеты прям. треуг. =40 и 42см. на сколько радиус описанной окружности больше радиуса вписанной?…

02.03.2019 23:40

Ответов: 1

Вмагазин 11 пакетов с орехами массой по 1,5 кг и массой по 1,8 кг. масса орехов в пакетах по 1,5 кг равна массе орехов в пакетах по 1,8 кг. сколько пакетов с орехами по 1,5 кг заве…

03.03.2019 00:30

Ответов: 1

6. в каких парах слов представлены антонимы? а) тихий – странный; б) кричать – смеяться; в) ругать – хвалить; г) найти – потерять; д) обрести – утратить; е) узнать – забыть; ж) утр. ..

03.03.2019 03:40

Ответов: 1

Как ты считаешь, в чем польза добрых дел?…

03.03.2019 15:40

Ответов: 1

Маленький заряженный шарик массой m, подвешенный на лёгкой нерастяжимой непроводящей нити, помещают в горизонтальное однородное электрическое поле. нить отклоняется от вертикали на…

04.03.2019 12:40

Ответов: 2

Решить дробное уравнение 2третих х + 4 девятых х =3,2…

06.03.2019 21:10

Ответов: 3

Диагонали выпуклого четырехугольника abcd взаимно перпендикулярны и длины их равны 12,4см и 15см. найдите его площадь….

07.03.2019 14:10

Ответов: 2

Fe(no3)3 = fe2o3+ no2+o2 agno3 = ag + no2 +o2 ag(no3)3 = ag + no2 +o2 уровняйте…

07.03.2019 14:30

Ответов: 1

Больше вопросов по предмету: Алгебра Случайные вопросы

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 9{2}+\влево(а+b\вправо)x+ab=\влево(x+a\вправо)\влево(x+b\вправо). Чтобы найти a и b, составим решаемую систему.

1,-16 2,-8 4,-4

Поскольку ab отрицательно, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку a+b отрицательно, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых чисел, которые дают произведение -16.

1-16=-15 2-8=-6 4-4=0

Подсчитайте сумму для каждой пары.

a=-8 b=2

Решением является пара, которая дает сумму -6. 9{2}-4ac}}{2a}.

x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-16\right)}}{2}

Square -6.

x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+64}}{2}

Умножьте -4 на -16.

x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{100}}{2}

Прибавь 36 к 64.

x=\frac{-\left(-6\right)± 10}{2}

Извлеките квадратный корень из 100.

x=\frac{6±10}{2}

Противоположность -6 равна 6.

x=\frac{16}{2}

Теперь решите уравнение x=\frac{6±10}{2}, если ± равно плюсу. Добавьте 6 к 10. 92+6x=16 Решите для X, заполнив квадрат. .. Показать работу шаг за шагом

Алгебра 2

Тэ М.

спросил 18.02.21

ТААААААААААААААААААА… У меня сейчас очень большие проблемы с математикой, и у меня нет денег, чтобы платить за репетитора, так что я ценю это невероятное.

Подписаться І 3

Подробнее

Отчет

3 ответа от опытных наставников

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: ЛучшиеНовыеСамыеСтарые

Эшли П. ответил 18.02.21

Репетитор

5,0 (33)

Успешный первокурсник колледжа с результатом 1500 баллов SAT

См. таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

Привет, Тэ!

Завершить квадрат может быть сложно, я помню, что мне тоже было нелегко его выучить.

Одна фраза, которая мне помогла, звучит так: «Половина, возведение в квадрат, добавление к обеим сторонам».

Что такое «Оно»?

Давайте сначала посмотрим на основную формулу вашего уравнения:

ax ² +bx+c

Эта фраза относится к коэффициенту «В».

Давайте посмотрим на ваше уравнение:

x ² +6x=16

B в этом уравнении будет 6, потому что это средний множитель.

Итак, вернемся к фразе: «Пополам, возведи в квадрат, прибавь к обеим сторонам»

6/2=3

3 ² =9

x ² +6x+9=16+9

Это важно: теперь левая часть может быть приведена к факторизованной форме!

(x+3) ² = 25

*Три — это число, которое получится, если вы разделите средний член пополам.

Теперь, чтобы решить, вы можете извлечь квадратный корень из обеих частей!

x+3=±√25

x+3=±5

Теперь изолируйте x

x=-3±5

-3+5=2

-3-5=-8

x=2 и -8

Надеюсь, это помогло!

Если у вас все еще есть проблемы, но вы не можете найти репетитора с финансовой точки зрения, я могу провести для вас бесплатный сеанс

Голосовать за 1 Понизить

Подробнее

Отчет

Джон Л. ответил 18.02.21

Репетитор

Новое в Византе

Выпускник Военно-морской академии с более чем 10-летним опытом преподавания

Об этом репетиторе ›

Об этом репетиторе ›

Сначала подумайте о примерах идеального квадрата и их механике. Например, если бы у вас было (x+1) ² и вы должны были расширить его, вы бы получили x ² + 2x +1. Точно так же, если бы у вас было (x+5) ² , расширение было бы x ² + 10х +25. Обратите внимание на возникающую здесь закономерность. Второй коэффициент – это удвоенный квадратный корень из последнего. Другими словами, в обоих случаях, если вы возьмете последнее число, извлечете из него квадратный корень и удвоите этот ответ, вы получите второй коэффициент. Это ключ к пониманию завершения квадрата.

Для этой задачи попросите посмотреть на первые два члена только x ² + 6x. Каким должно быть третье число с учетом только что описанного шаблона. Это должно быть 9разложить на (x+3) ² . Так что просто добавьте 9, но подождите — вы не можете просто добавить 9, если не сделаете это с обеими частями уравнения. Вот так:

x ² + 6x = 16 (исходное) — теперь добавьте 9 к обеим сторонам:

x ² + 6x + 9 = 16 +9 или

x ² + 6x +9 = 25 или

(x ² + 6x +9 — 25 = 0 или

(x+3) ² .- 25 = 0

Графически, путем преобразования, это сдвинутая кривая x ² влево на 3 и вверх на 25.

Голосовать за 0 Понизить

Подробнее

Отчет

Юрий О. ответил 18.02.21

Репетитор

Новое в Византе

16 лет онлайн, 464 бывших проблемы SAT подробно изучены

См. таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

Завершение квадрата:

x ² + 6x = 16

x ² + 6x — 16 = 0

x ² + 2 • 7 (90 = 906) • 906 х ² ) + 2 • (3) • (х) + (3 ² ) — 3 ² — 16 = 0

(х ² + 2 • 3 • х + 3 ² ) — 3 ² — 16 = 0

(х + 3) ² — 9 — 16 = 0

(х + 3) ² — 25 = 0

6 (113 913 9) (113 913 9)2 = 25

Голосовать за 0 Понизить

Подробнее

Отчет

Все еще ищете помощи? Получите правильный ответ, быстро.

Задайте вопрос бесплатно

Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.

ИЛИ

Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и встретьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.

Уравнения и неравенства

Принцип сложения

Изучив этот раздел, вы сможете:

1. Решать уравнения вида x + b = c, используя принцип сложения.

2. Использование принципа сложения

Когда мы используем знак равенства (=), мы указываем, что два выражения равны по значению. Это называется уравнением . Например, x + 5 = 23 — это уравнение. Выбирая определенные процедуры, можно шаг за шагом перейти от заданного уравнения к уравнению x = некоторому числу. Число является решением уравнения.

  Одна из первых процедур, используемых при решении уравнений, нашла применение в нашем повседневном мире. Предположим, мы поместили 10-килограммовый ящик с одной стороны качелей и 10-килограммовый камень с другой стороны. Если центр ящика находится на таком же расстоянии от точки баланса, как и центр камня, мы ожидаем, что качели будут балансировать. Коробка и камень не выглядят одинаково, но имеют одинаковую ценность по весу. Если мы добавим 2-килограммовый свинцовый груз к центру веса каждого объекта одновременно, качели все равно должны балансировать. Результаты равны.

  Похожий принцип есть и в математике. Мы можем выразить это такими словами.

Принцип сложения

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, результаты каждой стороны будут равны по значению.

Мы можем переформулировать это в символах таким образом.

Для действительных чисел a, b, c, если a=b thenat+tc=b+ec

Вот пример.

Если 3=6/2, то 3+5=6/2+5

Поскольку мы добавили одинаковое количество 5 к обеим сторонам, каждая сторона имеет одинаковую ценность.

3+5=6/2+5

8 =6/2+10/2

8 = 16/2

8=8

Мы можем использовать принцип сложения для решения уравнения.

ПРИМЕР 1 Найдите x. x + 16 = 20

x + 16 + (-16) = 20 + (-16)   Используйте принцип сложения, чтобы добавить -16 к обеим частям.

x+0=4   Упростить.

x=4   Значение x равно 4.

  Мы только что нашли решение уравнения. Решение — это значение переменной, которая делает уравнение верным. Затем мы говорим, что значение 4 в нашем примере удовлетворяет уравнению. Мы можем легко проверить, что 4 является решением, подставив это значение в исходное уравнение. Этот шаг называется проверка решения.

Чек . x + 16 = 20

4 + 16 ≟ 20

20 = 20 ✔

Когда одно и то же значение появляется с обеих сторон знака равных, мы называем уравнение Identity . Поскольку две части уравнения в нашей проверке имеют одинаковое значение, мы знаем, что исходное уравнение было решено правильно. Мы нашли решение.

  Когда вы пытаетесь решить эти типы уравнений, вы замечаете, что вы должны добавить определенное число к обеим частям уравнения. Какой номер выбрать? Посмотрите на число, которое находится на той же стороне уравнения, что и х, то есть на число, прибавленное к х. Затем подумайте о числе, которое равно напротив знака . Это называется добавкой , обратной числа. Аддитивное значение, обратное 16, равно -16. Аддитивное обратное значение -3 равно 3. Число, которое нужно добавить к обеим частям уравнения, и есть это аддитивное обратное.

  Неважно, в какой части уравнения стоит переменная. Термин x может быть справа или слева. В следующем примере член x будет справа.

ПРИМЕР 2 Решите для x. 14 =x- 3

14+3=x-3 +3   Добавьте 3 к обеим частям, так как 3 является аддитивной инверсией к -3. Это устранит -3 справа и изолирует x.

17 =x+0   Упростить.

17=x   Значение x равно 17.

Проверить . 14 = x-3

         14 ≟ 17-3  Замените x на 17.

         14 =14   ✔   Упрощение. Это проверяет. Решение x = 17.

  Прежде чем прибавлять число к обеим частям, всегда следует упростить уравнение. В следующем примере показано, как объединение чисел путем сложения по отдельности в обеих частях уравнения упрощает уравнение.

ПРИМЕР 3 Найдите х. 15 +2=3+x+2

17=x+5   Упростите, добавив.

17+ (-5) =x+5+(-5)   Добавьте значение -5 к обеим частям, так как -5 является аддитивной величиной, обратной 5.

12=x   Упростите. Значение x равно 12.

Чек . 15+2 = 3+x+2

         15+2 ≟ 3+12+2   Замените x на 12 в исходном уравнении.

         17=17   ✔    Проверено.

  В примере 3 мы добавили -5 к каждой стороне. Вы можете вычесть по 5 с каждой стороны и получить тот же результат. В предыдущем уроке мы обсуждали, что вычитание 5 равносильно прибавлению минус 5. Понимаете, почему?

  Мы можем определить, является ли значение решением уравнения, выполнив те же шаги, что и для проверки ответа. Подставьте проверяемое значение переменной в исходное уравнение. Мы получим тождество, если значение является решением.

ПРИМЕР 4 Является ли x = 10 решением уравнения -15 + 2 = x-3? Если это не так, найдите решение.

Подставим 10 вместо x в уравнение и посмотрим, получится ли тождество.

-15+2=х-3

-15+2=10-3

-13 ≠ 7   Это неправда. Это не личность.

Таким образом, x = 10 не является решением. Теперь возьмем исходное уравнение и решим, чтобы найти решение.

-15+2=x-3

-13=x-3   Упростите, добавив.

-13+3=x-3+3   Прибавьте 3 к обеим сторонам. 3 является аддитивной инверсией -3.

-10=x

Проверить, является ли решение x = -10. Значение x = 10 было неверным из-за ошибки знака. Мы должны быть особенно внимательны, чтобы писать правильный знак для каждого числа при решении уравнений.

ПРИМЕР 5 Найдите значение x, удовлетворяющее уравнению 1/5+x = -1/10+1/2

  Чтобы объединить дроби, дроби должны иметь общие знаменатели. Наименьший общий знаменатель (LCD) дробей равен 10.

(1*2)/(5*2)+x = −1/10+(1*5)/(2*5)  Замените каждую дробь на эквивалентная дробь со знаменателем 10.

2/10 + x = −1/10+5/10   Это эквивалентное уравнение.

2/10+x = 4/10  Упростите, добавив.

2/10+(-2/10)+x = 4/10+(-2/10)   Добавить добавку, обратную 2/10, к каждой стороне

x=2/10  Сложите дроби.

x= 1/5   Упростите ответ.

Чек . Подставим 1/5 вместо x в исходное уравнение и посмотрим, получим ли мы тождество.

1/5+x = −1/10+1/2

1/5+1/5 ≟ −1/10+1/2  Подставьте 1/5 вместо x

2/5 ≟ −1/10 +1/2

2/5 = 4/10

2/5 = 2/5  ✔   Проверено.

Принцип умножения

Изучив этот раздел, вы сможете:

1. Решать уравнения вида 1/ax=b.

2. Решить уравнения вида ax = b.

Решение уравнений вида 1/ax=b

Принцип сложения позволяет нам добавлять одно и то же число к обеим частям уравнения. Что произойдет, если мы умножим каждую часть уравнения на одно и то же число? Например, что произойдет, если мы умножим каждую часть уравнения на 3?

  Чтобы ответить на этот вопрос, вернемся к нашему простому примеру с коробкой и камнем на сбалансированных качелях. Если мы утроим количество грузов с каждой стороны (мы умножаем каждую сторону на 3), качели все равно должны балансировать. «Значение веса» каждой стороны остается равным.

На словах мы можем сформулировать этот принцип так.

Принцип умножения
Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, результаты каждой стороны
будут равны по значению.

В символах мы можем переформулировать принцип умножения таким образом.
|
Для действительных чисел a,b,c с #0 ifa@=b thenca=cb |

Давайте посмотрим на уравнение, в котором было бы полезно умножить каждую часть уравнения на 3.

ПРИМЕР 1 Найдите х. 1/3x=-15

Мы знаем, что (3)(1/3) = 1. Мы умножим каждую часть уравнения на 3, потому что мы хотим изолировать переменную x.

(3)(1/3x)=3(-15)  Умножьте каждую часть уравнения на 3, так как (3)(1/3) = 1.

(3/1)(1/3)(x )=-45

1x=-45  Упрощение.

x= -45

Проверить . 1/3(-45) ≟ -15   Замените x на -45 в исходном уравнении.

-15=-15   ✔   Проверяет.

  Обратите внимание, что 1/5x можно записать как x/5. Чтобы решить уравнение x/5=3, мы могли бы умножить каждую часть уравнения на 5. Попробуйте. Затем проверьте свое решение.

Решение уравнений вида  ax = b

Мы можем видеть, что использование принципа умножения для умножения каждой стороны уравнения на 1/2 равносильно делению каждой стороны уравнения на 2. Таким образом, было бы кажется, что принцип умножения позволил бы нам разделить каждую часть уравнения на любое ненулевое действительное число. Есть ли реальный пример этой идеи?

  Вернемся к нашему простому примеру с коробкой и камнем на сбалансированных качелях. Предположим, что мы должны были разрезать два объекта пополам (так, чтобы количество веса каждого было разделено на 2). Затем мы возвращаем предметы на те же места на качелях. Качели все равно будут балансировать. «Значение веса» каждой стороны остается равным.

На словах мы можем сформулировать этот принцип так:

Принцип деления
Если обе части уравнения разделить на одно и то же ненулевое число, результаты
с каждой стороны равны по значению.

Примечание : Мы накладываем ограничение на число, на которое мы делим. Мы не можем разделить на ноль. Мы говорим, что такие выражения, как 2/0, не определены. Таким образом, мы ограничиваем наш делитель ненулевыми числами. Мы можем переформулировать принцип деления таким образом.

a b
Для действительных чисел a, b, c, где c ~ 0, если a=b, то — = —
coc

ПРИМЕР 2   Найдите x. 5x = 125

(5x)/5=125/5  Поделите обе части на 5.

x = 25   Упростите. Решение 25.

Чек . 5x = 125

         5(25) ≟ 125   Замените x на 25.

         125 = 125   ✔   Это проверяет.

  Для уравнений вида ax = b (число, умноженное на x, равно другому числу), мы решаем уравнение, разделив обе части на определенное число. Какой номер выбрать? Смотрим на ту часть уравнения, которая содержит х. Мы замечаем число, которое умножается на х. Делим на это число. Принцип деления говорит нам, что у нас все еще может быть истинное уравнение, если мы разделим на это число 9.1612 с обеих сторон уравнения.

  Решением уравнения может быть правильная или неправильная дробь.

ПРИМЕР 3 Решите для x. 4x = 38

(4x)/4= 38/4  Поделите обе части на 4.

x=19/2  Упростите. Решение 19/2.

  Если оставить решение в виде дроби, будет легче проверить это решение в исходном уравнении.

Проверить :   4x = 38   Заменить x на 19/2.

         4(19/2) ≟ 38

       38 = 38  ✔   Проверяет.

  В примерах 2 и 3 мы делили на число, умноженное на х (коэффициент при х). Эта процедура выполняется независимо от того, положительный или отрицательный знак этого числа.

ПРИМЕР 4   Найдите x. -3x = 48

(-3x)/-3=48/-3  Поделите обе части на -3.

x=-16  Решение равно -16.

  Коэффициент x может быть 1 или -1. Возможно, вам придется переписать уравнение так, чтобы коэффициент 1 или -1 был очевиден. С практикой вы сможете «увидеть» коэффициент, фактически не переписывая уравнение.

ПРИМЕР 5   Найдите x. -x = -24

-1x = -24   Перепишите уравнение. -1x совпадает с -x. Теперь коэффициент -1 очевиден.

(-1x)/-1=-24/-1  Поделите обе части на -1

x= 24   Решение будет 24.

Используйте вместе принципы сложения и умножения

умеет:

1. Решать уравнения вида ax + b =c.

2. Решите уравнения, в которых переменная присутствует в обеих частях уравнения.

3. Решите уравнения со скобками.

Решение уравнений вида  ax +b=c

Для решения многих уравнений мы должны использовать как принцип сложения, так и принцип умножения.

ПРИМЕР 1 Найдите x и проверьте свое решение. 5x +3 = 18

5x + 3 + (-3)= 18+ (-3)   Добавьте -3 к обеим частям, используя принцип сложения.

5x = 15   Упростить.

(5x)/5=15/5  Поделите обе части на 5, используя принцип деления.

x=3   Решение 3.

Проверить . 5(3)+3 ≟ 18

Чек . 15+3 ≟ 18

Чек . 18=18  ✔  Проверил.

Переменная в обеих частях уравнения

В некоторых случаях переменная появляется в обеих частях уравнения. Мы хотели бы переписать уравнение так, чтобы все члены, содержащие переменную, оказались с одной стороны. Для этого применим принцип сложения к переменному члену.

ПРИМЕР 2 Решите для x. 9x = 6x + 15

9x + (-6x) = 6x + (-6x) + 15   Добавьте -6x к обеим сторонам. Обратите внимание, что 6x + (-6x) исключает переменную с правой стороны.

3x = 15   Соберите одинаковые члены.

(3x)/3=15/3  Поделите обе части на 3.

x=5   Решение равно 5.

  Многие задачи имеют переменные и постоянные члены в обеих частях уравнения. Вы захотите получить все переменные члены с одной стороны и все постоянные члены с другой стороны.

ПРИМЕР 3 Найдите x и проверьте свое решение. 9х + 3 = 7х -2.

9x + (-7x) + 3 = 7x + (-7x) — 2   Добавьте -7x к обеим частям уравнения.

2x+3=-2   Комбинируйте одинаковые термины.

2x + 3+ (-3) = -2 + (-3)   Добавьте -3 к обеим сторонам.

2x = -5   Упростить.

(2x)/2=-5/2  Поделите обе части на 2.

x = -5/2    Решение равно −5/2.

Чек . 9x + 3 = 7x -2

Чек . 9(-5/2)+3 ≟ 7(-5/2)-2  Замените x на −5/2.

Чек . −45/2+3 ≟ −35/2-2  Упростить.

Чек . −45/2+6/2 ≟ −35/2-4/2  Переведите в эквивалентные дроби с общим знаменателем.

Чек . −39/2 = −39/2  ✔   Это проверка. x = −5/2 является решением.

  В следующем примере мы изучим уравнения, которые необходимо упростить, прежде чем предпринимать какие-либо другие шаги. Там, где это возможно, вы должны сначала собрать одинаковые члены в одной или обеих частях уравнения. Переменные члены могут быть собраны на правой или левой стороне. В этом примере мы соберем все термины x с правой стороны.

ПРИМЕР 4 Решите для x. 5x + 26 -6 = 9x + 12x

5x + 20 = 21x   Соедините подобные термины.

5x + (-5x) + 20 = 21x + (-5x)   Добавьте -5x к обеим сторонам.

20 = 16x   Объедините одинаковые члены.

20/16 =(16x)/16   Разделите обе части на 16

5/4=x  (Не забудьте уменьшить полученную дробь.)

  Все уравнения, которые мы изучали до сих пор, называются первыми уравнения степени. 2, попытайтесь собрать их на одной стороне уравнения. Если квадратный член выпадает, вы можете решить его как уравнение первой степени, используя методы, обсуждаемые в этом разделе. 92 = 0.

6y+y-2=-y+y+12   Добавьте y к каждой стороне.

7y-2= 12   Упростить.

7y-2+2=12+2   Добавьте по 2 с каждой стороны.

7y=14   Упрощение.

(7y)/7 = 14/7   Разделите каждую сторону на 7.

y=2   Упростите. Решение 2.

Решение уравнений со скобками

Уравнения, которые вы только что решили, представляют собой более простые версии уравнений, которые мы сейчас обсудим. Эти уравнения содержат круглые скобки. Если скобки сначала удалить, проблемы становятся такими же, как те, с которыми мы сталкивались ранее. Мы используем распределительное свойство, чтобы удалить круглые скобки.

ПРИМЕР 6 Найдите x и проверьте свое решение. 4(x + 1)- 3(x-3) = 25

4(x + 1)- 3(x-3) = 25

4x +4-3x+9 = 25   Умножьте на 4 и -3, чтобы убрать скобки. Будьте осторожны со знаками. Помните, что (-3)(-3) = 9.

   После удаления скобок важно собрать одинаковые члены с каждой стороны уравнения. Сделайте это, прежде чем переходить к изоляции переменной.

x + 13 = 25   Соберите одинаковые термины.

x+ 13-13 = 25-13   Добавьте -13 к обеим сторонам, чтобы изолировать переменную.

x = 12   Решение 12.

Проверить . 4(12+1)-3(12-3) ≟ 25   Замените x на 12.

         4(13)-3(9) ≟ 25  Объедините числа в скобках.

         52-27 ≟ 25   Умножить.

         25=25  ✔  Упрощение. Это проверяет.

  В задачах с десятичными дробями следует проявлять большую осторожность. На некоторых шагах вы будете умножать десятичные числа, а на других шагах вы будете их складывать.

ПРИМЕР 7   Найдите x. 0,3(1,2x-3,6) = 4,2x-16,44

0,36x-1,08 = 4,2x -16,44   Удалите скобки.

0,36x-0,36x-1,08 = 4,2x-0,36x-16,44   Вычтите 0,36x с обеих сторон.

-1,08 = 3,84x -16,44   Соберите одинаковые термины.

-1,08 + 16,44 = 3,84x-16,44 + 16,44   Прибавьте 16,44 к обеим сторонам.

15,36 = 3,84x   Упростить.

15,36/3,84=(3,84x)/3,84  Поделите обе стороны на 3,84.

4=x   Решение: x = 4.

ПРИМЕР 8 Найдите z и проверьте. 2(3z-5) + 2 = 4z -3(2z + 8)

6z-10 + 2 = 4z-6z-24   Удалите скобки.

6z- 8 = -2z-24   Соберите одинаковые термины.

6z-8 + 2z = -2z + 2z-24   Добавьте по 2z с каждой стороны.

8z-8 = -24   Упростить.

8z-8 +8 = -24+ 8   Добавьте 8 с каждой стороны.

8z =-16   Упрощение.

(8z)/8=-16/8   Разделите каждую сторону на 8.

z=-2   Упростите. Решение -2.

Чек . 2[3(-2)-5] +2 ≟ 4(-2)-3[2(-2) + 8]    Замените z на -2.

         2[-6-5] +2 ≟ -8 -3[-4 + 8]   Умножить.

         2[-11] +2 ≟ -8 -3[4]   Упрощение.

         -22 +2 ≟ -8 -12

         -20 = -20  ✔   Проверяет.

Уравнения с дробями

Изучив этот раздел, вы сможете:

1. Решать уравнения с дробями.

Решение уравнений с дробями

Уравнения с дробями решить довольно сложно. Эта трудность просто из-за особой осторожности, которую мы обычно должны проявлять при вычислениях с дробями. Фактические процедуры решения уравнений одинаковы, с дробями или без них. Чтобы избежать лишней работы, преобразуем данное уравнение с дробями в эквивалентное уравнение, не содержащее дробей. как нам это сделать? Умножаем каждую часть уравнения на наименьший общий знаменатель всех дробей, содержащихся в уравнении. Затем мы используем распределительное свойство, так что LCD умножается на каждый член уравнения.

ПРИМЕР 1 Решите для x. 1/4x-2/3=5/12x

Сначала находим, что LCD = 12.

12(1/4x-2/3)=12(5/12x)  Умножаем каждую сторону на 12

(12 /1)(1/4)(x)-(12/1)(2/3)=(12/1)(5/12)(x)   Используйте распределительное свойство.

3x-8 = 5x   Упростить.

3x + (-3x)-8 = 5x + (-3x)   Добавьте -3x к каждой стороне.

-8 = 2x   Упростить.

-8/2=(2x)/2  Поделить каждую сторону на 2.

-4= x   Упростить.

Проверка . 1/4(-4)-2/3 ≟ 5/12(-4)

        -1-2/3 ≟ -5/3

        -3/3-2/3 ≟ -5/3

 −       5/3 = -5/3  ✔   Проверяет.

  В примере 1 мы умножили каждую часть уравнения на LCD. Обычной практикой является немедленно перейти ко второму шагу и умножить каждое слагаемое на LCD, а не

ПРИМЕР 2 Решить x. (x+5)/7=x/4+1/2

x/7+5/7=x/4+1/2  Сначала запишем отдельными дробями

(28)(x/7)+( 28)(5/7)=(28)(x/4)+(28)(1/2)  Мы видим, что LCD равно 28, поэтому мы умножаем каждое слагаемое на 28.

4x + 20 = 7x + 14   Упрощение.

4x-4x + 20 = 7x-4x + 14   Добавьте -4x к обеим сторонам.

20 = 3x + 14   Соберите одинаковые члены.

20-14=3x + 14- 14   Добавьте -14 к обеим сторонам.

6 = 3x   Соберите одинаковые термины.

6/3=(3x)/3   Разделите обе части на 3.

2=x   Решение: x = 2.

   Если в задаче есть и скобки, и дроби, лучше сначала убрать скобки. Многие студенты считают полезным иметь письменную процедуру решения этих более сложных уравнений.

Процедура решения линейных уравнений

1. Удалите все скобки.

2. Если существуют дроби, умножьте все члены с обеих сторон на наименьший общий знаменатель всех дробей.

3. Соберите одинаковые термины, если это возможно. Если возможно, упростите числовую работу.

4. Добавьте или вычтите члены с обеих сторон уравнения, чтобы получить все члены с переменной на одной стороне уравнения.

5. Добавьте или вычтите значение в обеих частях уравнения, чтобы получить все члены, не содержащие переменную в другой части уравнения.

6. Разделите обе части уравнения на коэффициент при переменной.

7. Упростите решение (если возможно).

8. Проверьте свое решение.

Давайте используем каждый шаг в решении этого примера.

ПРИМЕР 3 Найдите x и проверьте свое решение. 1/3(x-2)= 1/5(x+4)+2

Шаг 1   x/3-2/3=x/5+4/5+2  Удалите скобки.

Шаг 2    15(x/3)-15(2/3) = 15(x/5) +15(4/5) +15(2)   Умножить на ЖК-дисплей, 15.

Шаг 3   5x-10 = 3x + 12 + 30   Упростить.

       5x-10 = 3x + 42   Упростить.

Шаг 4   5x-3x-10 = 3x-3x + 42   Добавьте -3x к обеим сторонам.

       2x-10 = 42   Упростить.

Шаг 5   2x-10+ 10 = 42+ 10   Прибавьте 10 к обеим сторонам.

       2x = 52   Упростить.

Шаг 6    (2x)/2=52/2   Разделите обе части на 2.

Шаг 7   x = 26   Упростите решение.

Шаг 8 Проверка . 1/3(26-2) ≟ 1/5(26 +4)+2   Замените x на 26.

             1/3(24) ≟ 1/5(30)+2   Объедините значения в скобках.

             8 ≟ 6+2   Упростить.

             8 = 8   ✔  x=26 — это решение.

  Следует помнить, что не каждый шаг будет необходим в каждой задаче. Вы также можете комбинировать некоторые шаги, если вы постоянно получаете правильное решение. Тем не менее, вам рекомендуется записывать каждый шаг, чтобы избежать ошибок по невнимательности.

  Важно помнить, что когда мы пишем десятичные дроби, эти числа на самом деле представляют собой дроби, записанные особым образом. Таким образом, 0,3 = 7 и 0,07 = 745. Можно взять линейное уравнение, содержащее десятичные дроби, и умножить каждый член на соответствующее значение, чтобы получить целые коэффициенты.

Формулы

Изучив этот раздел, вы сможете:

1. Решать формулы для заданной переменной.

Решение указанной переменной в формуле

Формулы — это уравнения с одной или несколькими переменными, которые используются для описания реальных ситуаций. Формула описывает отношения, существующие между переменными. Например, в формуле d = rt расстояние (d) связано с показателем скорости (r) и временем (t). Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти расстояние, если мы знаем скорость и время. Иногда, однако, нам дают расстояние и скорость, и нас просят найти время.

ПРИМЕР 1 Джозеф проехал 156 миль со средней скоростью 52 мили в час. Сколько времени понадобилось Иосифу, чтобы совершить путешествие?

d= rt   Используйте формулу расстояния.

156 = 52t   Подставьте известные значения переменных.

156/52=52/52t  Поделите обе части уравнения на 52, чтобы найти t.

3=t   Мы нашли t.

Джозефу потребовалось 3 часа, чтобы проехать 156 миль со скоростью 52 мили в час.

  Если у нас есть много задач, требующих нахождения времени по расстоянию и скорости, может оказаться целесообразным переписать формулу с точки зрения времени.

ПРИМЕР 2 Решите для t. d=rt

d/r=(rt)/r  Мы хотим изолировать t. Поэтому мы делим обе части уравнения на коэффициент при t, который равен r.

d/r=t   Вы решили для указанной переменной.

  Простое уравнение первой степени с двумя переменными можно рассматривать как уравнение прямой. Часто полезно найти у, чтобы упростить построение графика.

ПРИМЕР 3   Решите для y. 3x-2y = 6

-2y = 6-3x   Мы хотим изолировать член, содержащий y, поэтому мы вычитаем 3x с обеих сторон.

(-2y)/(-2)= (6-3x)/(-2)  Поделите обе части на коэффициент y.

y=6/-2+(-3x)/-2  Перепишите дробь.

y= 3/2x-3   Упростите и перегруппируйте.

Это известно как форма уравнения прямой с пересечением наклона.

  Наша процедура решения уравнения первой степени может быть переписана так, чтобы получить процедуру решения формулы для заданной переменной.

Процедура решения формулы для указанной переменной

1. Удалите все скобки.

2. Если существуют дроби, умножьте все члены с обеих сторон на ЖКИ всех дробей.

3. Соберите одинаковые термины или упростите, если возможно.

4. Добавьте или вычтите члены с обеих сторон уравнения, чтобы получить все члены с нужной переменной на одной стороне уравнения.

5. Прибавьте или вычтите соответствующую величину, чтобы получить все члены, в которых нет нужной переменной на другой стороне уравнения.

6. Разделите обе части уравнения на коэффициент при нужной переменной.

7. Если возможно, упростите.

ПРИМЕР 4 Трапеция – четырехсторонняя фигура с двумя параллельными сторонами. Если параллельные стороны равны a и b, а высота равна h, площадь определяется как

        A=h/2(a+b)

Решите это уравнение для a.

A=h/2(a+b)

A=(ha)/2+(hb)/2  Удалите скобки.

2(A) = 2((га)/2)+2((hb)/2)   Умножьте все члены на 2.

2A = га + hb   Упростите.

2A-hb = ha   Мы хотим выделить термин, содержащий a. Поэтому мы вычитаем hb с обеих сторон.

(2A-hb)/h= (га)/h  Поделите обе части на h (коэффициент при а).

(2A-hb)/h=a  Решение получено.

Примечание : Хотя решение представлено в простой форме, его можно записать другим способом. Поскольку

      (2A-hb)/h=(2A)/h-(hb)/h=(2A)/h-b

, мы могли бы иметь (2A)/h-b = a в качестве альтернативного способа записи ответа.

Написание и графическое отображение неравенств

Изучив этот раздел, вы сможете:

1. Интерпретировать утверждение о неравенстве.

2. Нарисуйте неравенство на числовой прямой.

Заявления о неравенстве

Мы часто говорим, что одно значение больше или меньше другого значения. Мы говорим, что «5 меньше 7» или «9 больше 4». Эти соотношения называются неравенствами . Мы можем записать неравенства в математике, используя символы. Мы используем символ < для представления слов «меньше чем». Мы используем символ > для представления слов «больше чем».

Заявление в словах в алгебре

5 меньше 7. 5 <7

9 больше 4. 9> 4

Примечание . «5 меньше 7» и «7 больше 5» имеют одинаковый смысл. Точно так же 5 < 7 и 7 > 5 имеют одинаковый смысл. Они представляют собой два эквивалентных способа описания одной и той же связи между двумя числами 5 и 7.

  Мы можем проиллюстрировать концепцию неравенства графически, если рассмотрим числовую прямую.

+++ +—_ +++ +_+_+—_—_+_¢_ _ +>
-5 -4 -3 -—2 -] 0 I 2 3 4 5 6 7 8

Мы говорим, что одно число больше другого, если оно находится справа от другого на числовой прямой. Таким образом, 7 > 5, так как 7 правее 5.

   А как насчет отрицательных чисел? Мы можем сказать: «-1 больше, чем -3» и записать это символами -1 > -3, потому что мы знаем, что -1 лежит справа от -3 на числовой прямой.

ПРИМЕР 1 Замените вопросительный знак символом < или > в каждом утверждении.

(а) 3 ? -1   (б) -2 ? 1   (в) -3 ? -4   (г) 0 ? 3

(a) 3>-1   Используйте >, так как 3 находится справа от -1.

(b) -2< 1   Use <, поскольку -2 находится слева от 1. (Или, что то же самое, мы могли бы сказать, что 1 находится справа от -2.)

(c) -3 > -4 Так как -3 справа от -4.

(d) 0<3

Построение графика неравенства на числовой прямой

Иногда мы будем использовать неравенство, чтобы выразить связь между переменной и числом. x > 3 означает, что x может иметь значение любого числа больше 3. Это можно изобразить на числовой прямой на графике следующим образом:

-5 -4 -3 -2 -1 0 l 2 3 4 5

Обратите внимание, что незаштрихованный кружок на цифре 3 означает, что мы не включаем точку для числа 3.

-2 следующим образом:

$$ —} fj —_ + —_;_+_+_+_ + > x
-5 -4 -3 -2 -l 0 I 2 3 #4 = =# §

  Иногда переменная больше или равна определенному числу. В утверждении «x больше или равно 3» мы подразумеваем, что x может иметь значение 3 или любое число больше 3. Мы запишем это как x >= 3. Мы представим это графически следующим образом:

—+—. >! 4H_{_AH_ ee ee et
—2 -1 0 l 2 3 4 5 6 7

Обратите внимание, что замкнутый кружок у 3 означает, что мы делаем включаем точку для числа 3.

x <= -2 следующим образом:

—— t+. et Ht HH HH
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

ПРИМЕР 2  Назовите каждое математическое соотношение словами, а затем проиллюстрируйте его графически.

(а) x< -2   (б) -3

(a) Мы утверждаем, что «x меньше -2».

x<-20 ​​——+-+—O—_1+—_+—_+—_++—
-4 -3 -2 -!1 0 ] 2

(б) Мы можем утверждать, что -3 меньше x» или, эквивалентное утверждение, »x больше -3». Убедитесь, что вы видите, что -3 < x эквивалентно x > -3. Хотя оба способа верны, мы обычно записываем сначала переменную в простом линейном неравенстве, содержащем переменную и числовое значение.

(c) Мы утверждаем, что «x меньше или равно -6».

_-—od—_tH¥!_t—_t*—_+—_ +t +
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 л 2

значение и неравенство. Мы можем перевести эти ситуации в алгебраические утверждения. Это первый шаг в решении текстовых задач с использованием неравенств.

ПРИМЕР 3 Переведите каждое английское выражение в алгебраическое выражение.

(a) Прибывшая на место полиция сообщила, что автомобиль двигался со скоростью более 80 миль в час (используйте переменную s для скорости).

(b) Владелец автотранспортной компании сказал, что полезная нагрузка грузовика никогда не должна превышать 4500 фунтов (используйте переменную p для полезной нагрузки).

(a) Поскольку скорость должна быть больше 80, мы имеем s > 80.

(b) Если полезная нагрузка грузовика никогда не может превышать 4500 фунтов, то полезная нагрузка всегда должна быть меньше или равна 4500 фунтов. Таким образом, мы пишем p <= 4500.

Решать неравенства

Изучив этот раздел, вы сможете:

1. Решить неравенство.

Решение неравенств

Возможные значения, которые делают неравенство верным, называются его решениями . Таким образом, когда мы решим неравенство , мы найдем все значения, которые делают его верным. Чтобы решить неравенство, мы упрощаем его до такой степени, что можем ясно видеть возможные значения переменной. Мы решали уравнения путем сложения, вычитания, умножения и деления определенного значения в обеих частях уравнения. Здесь мы проделываем аналогичные операции с неравенствами, за одним важным исключением. Мы покажем несколько примеров, чтобы вы могли увидеть операции, которые мы можем выполнять с неравенствами так же, как и с уравнениями.

  Сначала мы рассмотрим закономерность, возникающую при выполнении данной операции с обеих сторон неравенства.

Пример 1

Оригинальное неравенство Новое неравенство

(a) 3 <5 → Умножение обеих сторон на 2 → 6 <10

(b) -2 -1 → ard-3 → 6 <10

(b) -1 ° °. стороны. →     -5<-4

(c)   0>-4       →   Поделить обе части на 2.       →     0>-2

(d)   8 >4      →   Вычтите 6 с обеих сторон. →     2>-2

Обратите внимание, что мы избегали умножения или деления на отрицательное число  !

  Теперь посмотрим, что произойдет, если мы умножим или разделим на отрицательное число. Начнем с исходного, истинного неравенства. Мы хотим получить новое, тоже истинное неравенство.

Оригинальное неравенство Новое неравенство

3 <5 → Умножение на -2. →     6 ? -10

Какой правильный знак неравенства? Поскольку -6 находится справа от -10, мы знаем, что новое неравенство должно быть -6 > -10, если мы хотим, чтобы утверждение оставалось верным. Обратите внимание, как мы меняем направление неравенства с < (меньше) на > (больше). Таким образом, мы получили бы новое неравенство -6 > -10. Таким образом,

     3<5    →   Умножить на -2. →  -6>-10

Знак <, с которого мы начали (3 < 5), меняется на > (-6 > -10). Аналогичное обращение имеет место в следующем примере.

Пример 2

Оригинальное неравенство Новое неравенство

(a) -2 <-1 → Умножение на -3. →     6>3

(b)   0>-4        →   Поделите обе части на -2. →     0<2

(c)   8 >4        →   Поделите обе части на -4. →     -2<-1

Обратите внимание, что мы выполняем арифметические действия с числами со знаком так же, как всегда. Но новое неравенство имеет обратный знак неравенства (по сравнению с исходным неравенством). Всякий раз, когда обе части неравенства умножаются или делятся на отрицательное число, направление неравенства меняется на противоположное.

Порядок решения неравенств
| Вы можете использовать те же процедуры для решения неравенств, что и для решения уравнений, за исключением того, что направление неравенства меняется на противоположное, если вы умножаете или делите
обе части на отрицательное число.

ПРИМЕР 3 Решите и нарисуйте 3x + 7 >= 13.

3x +7-7>=13-7   Вычтите 7 с обеих сторон.

3x>= 6   Упростить.

(3x)/3>=6/3   Обе части разделить на 3.

x>=2   Упростить. Обратите внимание, что направление неравенства не изменилось, так как мы разделили на положительное число.

Графическое представление en ee
—2 -Il 0 I 2 3 4

ПРИМЕР 4 Решите и начертите 5-3x > 7.

5-5-3x>7-5   Вычтите 5 с обеих сторон.

-3x>2   Упрощение.

(-3x)/-3<2/-3   Разделите на -3 и измените неравенство, так как обе части делятся на минус 3.

x< -2/3   Обратите внимание на направление неравенства.

Графическое представление Ht Ht
-1_2_1 0 l
3 3

Как и уравнения, некоторые неравенства содержат круглые скобки и дроби. Начальные шаги для решения этих неравенств будут такими же, как и для решения уравнений со скобками и дробями. Когда переменная появляется в обеих частях неравенства, целесообразно собрать члены x в левой части символа неравенства. 9ПРИМЕР 5 )(15/8)  Умножьте все члены на LCD = 8. Мы делаем , а не , меняем направление символа неравенства на противоположное, поскольку мы умножаем на положительное число, 8.

-52x <= 4x-5   Упростить.

-52x-4x <= 4x-15-4x   Добавьте -4x к обеим сторонам.

-56x <= -15   Объедините одинаковые термины.

(-56x)/56>= -15/-56  Поделите обе части на -56. мы изменить направление неравенства, если мы разделим обе части на отрицательное число.

x>=15/56

Графическое представление: 0 15 28 l
56 56
. ] 

Наиболее распространенная ошибка, которую учащиеся допускают при решении неравенств, — это забывание изменить направление символа неравенства на противоположное при умножении или делении на отрицательное число.

Факторизация квадратных выражений путем разделения средних членов

Пример 1. Факторизация квадратного выражения: x ²  -8x -9

Перепишем это выражение как: x ²  -8x -9
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -9x ² , а сумма остается -8x

x ² — 9x  + 1x -9

= x(x — 9) + 1 (x — 9)

= (x — 9) (x + 1)

Пример 2. Факторизация квадратного выражения: x

²  +13x -168

Перепишем это выражение как: x ²  +13x -168
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -168x ² а сумма остается +13x

 x ² + 21x  — 8x  -168

= x(x + 21) — 8 (x + 21)

= (x + 21) (x — 8)

Пример 3.

Факторизация квадратного выражения: x ²  +3x -40

Перепишем это выражение следующим образом: x ²  +3x -40
Средний член необходимо разделить на два члена, произведение которых равно — 40x ² а сумма остается +3x

x ² + 8x — 5x -40

= x(x + 8) — 5 (x + 8)

= (x + 8) (x — 5)

перепишите это выражение как: x

²  +5x -300
Средний член необходимо разделить на два члена, произведение которых равно -300x ² , а сумма остается +5x

 x ² — 15x  + 20x  -300

= x(x — 15) + 20 (x — 15)

= (x — 15) (x + 20)

Пример 5. Факторизация квадратного выражения: x

²  +32x +240

Перепишем это выражение как: x ²  +32x +240
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +240x ² , а сумма останется +32x

x ² + 20x  + 12x  +240

= x(x + 20) + 12 (x + 20)

= (x + 20) (x + 12)

Пример 6.

Факторизация квадратного выражения: x ²  -15x -216

Перепишем это выражение как: x ²  -15x -216
Средний член необходимо разделить на два слагаемых, произведение которых равно -216x ² , а сумма остается -15x

 x ² — 24x  + 9x -216

= x(x — 24) + 9 (x — 24)

= (x — 24) (x + 9)

Пример 7. Факторизация квадратного выражения: x

²  -39x +380

Перепишем это выражение как: x ^{2 +}  -39 380
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +380x ² , а сумма остается -39x

 x ² — 20x  — 19x  +380

= x(x — 20) — 19 (x — 20)

= (x — 20) (x — 19)

91:367 квадратное выражение: x ²  +22x +85

Перепишем это выражение как: x ²  +22x +85
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +85x ² , а сумма остается +22x

 x ² + 5x  + 17x  +85

= x(x + 5) + 17 (x + 5)

= (x + 5) (x + 17)

Пример 9.

Факторизация квадратного выражения: x ²  -13x -230

Перепишем это выражение как: x ²  -13x -4060 средний член необходимо разделить на два члена, произведение которых равно -230x ² , а сумма остается -13x

x ² — 23x + 10x -230

= x(x — 23) + 10 (x — 23 )

= (x — 23) (x + 10)

Пример 10: Факторизация квадратного выражения: x

²  -15x -76

Перепишем это выражение как: x ²  -15x -76
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -76x ² , а сумма остается -15x

x ² — 19x  + 4x -76

= x(x — 19) + 4 (x — 19)

= (x — 19) (x + 4)

Пример 11. Факторизация квадратного выражения: x

²  -17x +16

Перепишем это выражение как: x ²  -17x +16
Средний член необходимо разделить на два члена, произведение которых равно +16x ² , а сумма остается -17x

 x ² — 16x  — 1x  +16

= x(x — 16) — 1 (x — 16)

= (x — 16) (x — 1)

Пример 12.

Факторизация квадратного выражения: x ²  -21x +90

Перепишем это выражение как: x ^{2 +}  -21150 90
Средний член необходимо разделить на два члена, произведение которых равно +90x ² , а сумма остается -21x

 x ² — 15x  — 6x  +90

= x(x — 15) — 6 (x — 15)

= (x — 15) (x — 6)

Пример 13. Факторизация квадратичного уравнения выражение: x

²  -7x -170

Перепишем это выражение как: x ²  -7x -170
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -170x ² , а сумма остается — 7x

 x ² + 10x — 17x  -170

= x(x + 10) — 17 (x + 10)

= (x + 10) (x — 17)

Пример 14. Факторизация квадратного выражения: x

²  +7x -78

Перепишем это выражение как: x ²  +7x -78
Середина член должен быть разделен на два члена, произведение которых равно -78x ² , а сумма остается +7x

 x ² + 13x — 6x -78

= x(x + 13) — 6 (x + 13)

= (x + 13) (x — 6)

Пример 15: Факторизация квадратного выражения: x

²  -44x +483

Перепишем это выражение как: x ²  -44x +483
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +483x ² , а сумма остается -44x

x ² — 21x  — 23x  +483

= x(x — 21) — 23 (x — 21)

= (x — 21) (x — 23)

Пример 16.

Факторизация квадратного выражения: x ²  -6x -247

Перепишем это выражение как: x ²  -6x -247
Средний член необходимо разделить на два члена, произведение которых равно -247x ² , а сумма остается -6x

 x ² — 19x  + 13x -247

= x(x — 19) + 13 (x — 19)

= (x — 19) (x + 13)

Пример 17. Факторизация квадратного выражения: x

²  -14x -32

Перепишем это выражение как: x ^{2 9114x —  -1 32
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -32x 2 , а сумма остается -14x}

x ² + 2x — 16x -32

= x(x + 2) — 16 (x + 2)

= (x + 2) (x — 16)

Пример 18. Факторизация квадратичного уравнения выражение: x

²  -8x -384

Перепишем это выражение как: x ²  -8x -384
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -384x ² , а сумма остается — 8x

 x ² + 16x — 24x -384

= x(x + 16) — 24 (x + 16)

= (x + 16) (x — 24)

Пример 19.

Факторизация квадратного выражения: x ²  -10x -119

Перепишем это выражение как: x ²  -10x -116 Середина ^{6 необходимо разделить на два слагаемых, произведение которых равно -119x 2 , а сумма остается -10x}

x ² + 7x — 17x -119

= x(x + 7) — 17 (x + 7)

= (x + 7) (x — 17)

Пример 20: Факторизация квадратного выражения: x

²  -9x -10

Перепишем это выражение как: x ²  -9x -10
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -10x ² , а сумма останется -9x

x ² + 1x  — 10x  -10

= x(x + 1) — 10 (x + 1)

= (x + 1) (x — 10)

Пример 21. Факторизация квадратного выражения: x

²  -25x +66

Перепишем это выражение как: x ²  -25x +66
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +66x ² пока остается сумма -25x

 x ² — 22x  — 3x  +66

= x(x — 22) — 3 (x — 22)

= (x — 22) (x — 3)

Пример 22.

Факторизация квадратного выражения: x ²  +27x +140

Перепишем это выражение следующим образом: x ²  +27x +140
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно + 140x ² а сумма остается +27x

 x ² + 7x  + 20x  +140

= x(x + 7) + 20 (x + 7)

= (x + 7) (x + 20)

Перепишем это выражение как: x

²  -6x -72
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -72x ² , а сумма останется -6x

 x ² + 6x  — 12x  — 72

= x(x + 6) — 12 (x + 6)

= (x + 6) (x — 12)

Пример 24. Факторизация квадратного выражения: x

²  -7x -30

Перепишем это выражение как: x ²  -7x -30
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -30x ² , а сумма останется -7x

x ² — 10x  + 3x -30

= x(x — 10) + 3 (x — 10)

= (x — 10) (x + 3)

Пример 25.

Факторизация квадратного выражения: x ²  +13x -198

Перепишем это выражение как: x ²  +13x -198
Средний член необходимо разделить на два слагаемых, произведение которых равно -198x ² , а сумма остается +13x

 x ² + 22x — 9x -198

= x(x + 22) — 9 (x + 22)

= (x + 22) (x — 9)

Пример 26. Факторизация квадратного выражения: x

²  +32x +252

Перепишем это выражение в виде: 252
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +252x ² , а сумма остается +32x

 x ² + 18x  + 14x  +252

= x(x + 18) + 14 (x + 18)

= (x + 18) (x + 14)

выражение: x

²  +17x -38

Перепишем это выражение как: x ²  +17x -38
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -38x ² , а сумма остается + 17x

 x ² + 19x — 2x -38

= x(x + 19) — 2 (x + 19)

= (x + 19) (x — 2)

Пример 28.

Факторизация квадратного выражения: x ²  +2x -48

Перепишем это выражение как: x ²  +2x -48
Середина член необходимо разделить на два члена, произведение которых равно -48x ² , а сумма остается +2x

x ² — 6x + 8x  -48

= x(x — 6) + 8 (x — 6)

= (x — 6) (x + 8)

Пример 29. Факторизация квадратного выражения: x

²  -20x -21

Перепишем это выражение как: x ²  -20x -21
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -21x ² , а сумма остается -20x

 x ² — 21x + 1x -21

= x(x — 21) + 1 (x — 21)

= (x — 21) (x + 1)

Пример 30. Факторизация квадратного выражения: x

²  +28x +195

Перепишем это выражение как: x ²  +28x +195
Средний член необходимо разделить на два члена, произведение которых равно +195x ² , а сумма остается +28x

 x ² + 13x  + 15x  +195

= x(x + 13) + 15 (x + 13)

= (x + 13) (x + 15)

Пример 31.

Факторизация квадратного выражения: x ²  -21x -22

Перепишем это выражение как: x ^{2 911x —  -2 22
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -22x 2 , а сумма остается -21x}

x ² — 22x + 1x -22

= x(x — 22) + 1 (x — 22)

= (x — 22) (x + 1)

выражение: x

²  +24x +63

Перепишем это выражение как: x ²  +24x +63
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +63x ² , а сумма остается + 24x

 x ² + 3x  + 21x  +63

= x(x + 3) + 21 (x + 3)

= (x + 3) (x + 21)

Пример 33. Факторизация квадратного выражения: x

²  -10x -11

Перепишем это выражение как: x ²  -10x -11
Середина необходимо разделить на два слагаемых, произведение которых равно -11x ² , а сумма остается -10x

x ² + 1x — 11x -11

= x(x + 1) — 11 (x + 1)

= (x + 1) (x — 11)

Пример 34.

Факторизация квадратного выражения: x ²  -29x +204

Перепишем это выражение как: x ²  -29x +204
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +204x ² , а сумма остается -29x

x ² — 12x  — 17x  +204

= x(x — 12) — 17 (x — 12)

= (x — 12) (x — 17)

Пример 35. Факторизация квадратного выражения: x

²  -6x -391

Перепишем это выражение как: x ²  -6x -391
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -391x ² , а сумма остается -6x

 x ² + 17x — 23x -391

= x(x + 17) — 23 ( x + 17)

= (x + 17) (x — 23)

Пример 36. Факторизация квадратного выражения: x

²  -28x +96

Перепишем это выражение как: x ² — +96
Средний член необходимо разделить на два члена, произведение которых равно +96x ² , а сумма остается -28x

 x ² — 24x  — 4x  +96

= x(x — 24) — 4 (x — 24)

= (x — 24) (x — 4)

выражение: x

²  +20x +19

Перепишем это выражение как: x ²  +20x +19
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +19x ² , а сумма останется + 20x

 x ² + 19x  + 1x  +19

= x(x + 19) + 1 (x + 19)

= (x + 19) (x + 1)

Пример 38.

Факторизация квадратного выражения: x ²  -32x +240

Перепишем это выражение как: x ²  -32x +240
Середина член должен быть разделен на два члена, произведение которых равно +240x ² , а сумма остается -32x

 x ² — 20x  — 12x  +240

= x(x — 20) — 12 (x — 20)

= (x — 20) (x — 12)

Пример 39. Факторизация квадратного выражения: x

²  +13x -30

Перепишем это выражение как: x ²  +13x -30
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -30x ² , а сумма останется +13x

x ² + 15x  — 2x  -30

= x(x + 15) — 2 (x + 15)

= (x + 15) (x — 2)

Пример 40. Факторизация квадратного выражения: x

²  +3x -504

Перепишем это выражение как: x ²  +3x -504
Средний член необходимо разделить на два члена, произведение которых равно -504x ² , а сумма остается +3x

 x ² — 21x  + 24x -504

= x(x — 21) + 24 (x — 21)

= (x — 21) (x + 24)

Пример 41.

Факторизация квадратного выражения: x ²  -11x -276

Перепишем это выражение как: x ²

0 — —  276
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -276x ² , а сумма остается -11x

x ² + 12x — 23x -276

= x(x + 12) — 23 (x + 12)

= (x + 12) (x — 23)

выражение: x

²  +7x -18

Перепишем это выражение как: x ²  +7x -18
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -18x ² , а сумма остается + 7x

 x ² + 9x — 2x -18

= x(x + 9) — 2 (x + 9)

= (x + 9) (x — 2)

Пример 43. Факторизация квадратного выражения: x

²  -29x +168

Перепишем это выражение как: x ²  -29x +168
Середина необходимо разделить на два слагаемых, произведение которых равно +168x ² , а сумма остается -29x

x ² — 21x  — 8x  +168

= x(x — 21) — 8 (x — 21)

= (x — 21) (x — 8)

Пример 44.

Факторизация квадратного выражения: x ²  -22x +72

Перепишем это выражение как: x ²  -22x +72
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +72x ² , а сумма остается -22x

x ² — 4x  — 18x  +72

= x(x — 4) — 18 (x — 4)

= (x — 4) (x — 18)

Пример 45. Факторизация квадратного выражения: x

²  -9x +8

Перепишем это выражение в следующем виде: x ²  -9x +8
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +8x ² пока остается сумма -9x

 x ² — 8x  — 1x  +8

= x(x — 8) — 1 (x — 8)

= (x — 8) (x — 1)

Пример 46. Факторизация квадратного выражения: x

²  +4x +4

Перепишем это выражение следующим образом: x ²  +4x +4
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно + 4x ² , пока сумма остается +4x

 x ² + 2x  + 2x  +4

= x(x + 2) + 2 (x + 2)

= (x + 2) (x + 2)

Пример 47.

Факторизация квадратного выражения: x ²  -15x -216

Перепишем это выражение как: x ²  -15x -4016 средний член необходимо разделить на два слагаемых, произведение которых равно -216x ² , а сумма остается -15x

x ² — 24x + 9x -216

= x(x — 24) + 9 (x — 24 )

= (x — 24) (x + 9)

Пример 48. Факторизация квадратного выражения: x

²  +32x +240

Перепишем это выражение как: x ²  +32x +240
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +240x ² , а сумма останется +32x

x ² + 20x  + 12x  +240

= x(x + 20) + 12 (x + 20)

= (x + 20) (x + 12)

Пример 49. Факторизация квадратного выражения: x

²  -20x +64

Перепишем это выражение как: x ²  -20x +64
Средний член необходимо разделить на два члена, произведение которых равно +64x ² , а сумма остается -20x

 x ² — 4x  — 16x  +64

= x(x — 4) — 16 (x — 4)

= (x — 4) (x — 16)

Пример 50.

Факторизация квадратного выражения: x ²  -49x +600

Перепишем это выражение как: x ^{2 +}  -49x 600
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +600x ² , а сумма остается -49x

 x ² — 24x  — 25x  +600

= x(x — 24) — 25 (x — 24)

= (x — 24) (x — 25)

91:367 квадратное выражение: x ²  -12x -13

Перепишем это выражение как: x ²  -12x -13
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -13x ² , а сумма остается -12x

 x ² — 13x + 1x  -13

= x(x — 13) + 1 (x — 13)

= (x — 13) (x + 1)

Пример 52. Факторизация квадратного выражения: x

²  +23x +42

Перепишем это выражение как: x ²  +22×4062 средний член необходимо разделить на два слагаемых, произведение которых равно +42x ² , а сумма остается +23x

x ² + 2x + 21x +42

= x(x + 2) + 21 (x + 2 )

= (x + 2) (x + 21)

Пример 53: Факторизация квадратного выражения: x

²  +11x -42

Перепишем это выражение как: x ²  +11x -42
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -42x ² , а сумма остается +11x

x ² + 14x  — 3x  -42

= x(x + 14) — 3 (x + 14)

= (x + 14) (x — 3)

Пример 54.

Факторизация квадратного выражения: x ²  -23x +120

Перепишем это выражение как: x ²  -23x +120
Средний член необходимо разделить на два члена, произведение которых равно +120x ² , а сумма остается -23x

 x ² — 15x  — 8x  +120

= x(x — 15) — 8 (x — 15)

= (x — 15) (x — 8)

Пример 55. Факторизация квадратного выражения: x

²  +16x +63

Перепишем это выражение как: x ^{2 +}  +16x 63
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +63x ² , а сумма остается +16x

 x ² + 9x  + 7x  +63

= x(x + 9) + 7 (x + 9)

= (x + 9) (x + 7)

выражение: x

²  +17x +60

Перепишем это выражение как: x ²  +17x +60
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +60x ² , а сумма остается + 17x

 x ² + 5x  + 12x  +60

= x(x + 5) + 12 (x + 5)

= (x + 5) (x + 12)

Пример 57.

Факторизация квадратного выражения: x ²  -27x +180

Перепишем это выражение следующим образом: x ²  -27x +180
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно + 180x ² а сумма остается -27x

 x ² — 12x  — 15x  +180

= x(x — 12) — 15 (x — 12)

= (x — 12) )

Пример 58. Факторизация квадратного выражения: x

²  +17x +66

Перепишем это выражение как: x ²  +17x +66
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +66x ² , а сумма останется +17x

 x ² + 6x  + 11x  +66

= x(x + 6) + 11 (x + 6)

= (x + 6) (x + 11)

Пример 59. Факторизация квадратного выражения: x

²  -2x — 3

Перепишем это выражение как: x ²  -2x -3
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -3x ² пока остается сумма -2x

 x ² + 1x  — 3x  -3

= x(x + 1) — 3 (x + 1)

= (x + 1) (x — 3)

Пример 60.

Факторизация квадратного выражения: x ²  +10x -336

Перепишем это выражение следующим образом: x ²  +10x -336
Средний член необходимо разделить на два члена, произведение которых равно — 336x ² а сумма остается +10x

 x ² + 24x — 14x -336

= x(x + 24) — 14 (x + 24)

= (x + 24) (x — 14)

перепишите это выражение как: x

²  -25x +114
Средний член необходимо разделить на два члена, произведение которых равно +114x ² , а сумма останется -25x

 x ² — 19x  — 6x  +114

= x(x — 19) — 6 (x — 19)

= (x — 19) (x — 6)

Пример 62. Факторизация квадратного выражения: x

²  +12x -189

Перепишем это выражение как: x ²  +12x -189
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -189x ² , а сумма остается +12x

x ² + 21x  — 9x  -189

= x(x + 21) — 9 (x + 21)

= (x + 21) (x — 9)

Пример 63.

Факторизация квадратного выражения: x ²  -8x -128

Перепишем это выражение как: x ²  -8x -128
Средний член необходимо разделить на два члена, произведение которых равно -128x ² , а сумма остается -8x

 x ² + 8x — 16x -128

= x(x + 8) — 16 (x + 8)

= (x + 8) (x — 16)

Пример 64. Факторизация квадратного выражения: x

²  -12x -325

Перепишем это выражение как: x ² —  -12 325
Средний член необходимо разделить на два члена, произведение которых равно -325x ² , а сумма остается -12x

 x ² — 25x  + 13x  -325

= x(x — 25) + 13 (x — 25)

= (x — 25) (x + 13)

выражение: x

²  +10x +9

Перепишем это выражение как: x ²  +10x +9
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +9x ² , а сумма остается + 10x

 x ² + 9x  + 1x  +9

= x(x + 9) + 1 (x + 9)

= (x + 9)) (x + 1)

Пример 66.

Факторизация квадратного выражения: x ²  -3x -40

Перепишем это выражение следующим образом: x ²  -3x -40
Средний член необходимо разбить на два слагаемых, произведение которых равно -40x ² , а сумма остается -3x

 x ² — 8x  + 5x  -40

= x(x — 8) + 5 (x — 8)

= (x — 8) (x + 5)

Пример 67. Факторизация квадратного выражения: x

²  +40x +391

Перепишем это выражение как: x ²  +40x +391
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +391x ² , а сумма останется +40x

 x ^{2 91×150 + 23x + 17x  +391}

= x(x + 23) + 17 (x + 23)

= (x + 23) (x + 17)

Пример 68. Факторизация квадратного выражения: x

²  -18x +45

Перепишем это выражение как: x ²  -18x +45
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +45x ² пока остается сумма -18x

 x ² — 3x  — 15x  +45

= x(x — 3) — 15 (x — 3)

= (x — 3) (x — 15)

Пример 69.

Факторизация квадратного выражения: x ²  +3x -238

Перепишем это выражение следующим образом: x ²  +3x -238
Средний член необходимо разделить на два члена, произведение которых равно — 238x ² , а сумма остается +3x

 x ² + 17x — 14x -238

= x(x + 17) — 14 (x + 17)

= (x + 17) (x — 14)

Пример 70. Факторизация квадратного выражения: x

²  +6x -315

перепишите это выражение как: x ²  +6x -315
Средний член необходимо разделить на два члена, произведение которых равно -315x ² , а сумма остается +6x

 x ² — 15x  + 21x  -315

= x(x — 15) + 21 (x — 15)

= (x — 15) (x + 21)

Пример 71. Факторизация квадратного выражения: x

²  -8x -308

Перепишем это выражение как: x ²  -8x -308
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -308x ² , а сумма остается -8x

x ² — 22x  + 14x -308

= x(x — 22) + 14 (x — 22)

= (x — 22) (x + 14)

Пример 72.

Факторизация квадратного выражения: x ²  +9x -190

Перепишем это выражение как: x ²  +9x -190
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -190x ² , а сумма остается +9x

 x ² — 10x  + 19x  -190

= x(x — 10) + 19 ( x — 10)

= (x — 10) (x + 19)

Пример 73. Факторизация квадратного выражения: x

²  -11x -60

Перепишем это выражение в виде: -60
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -60x ² , а сумма остается -11x

x ² + 4x — 15x -60

= x(x + 4) — 15 (x + 4)

= (x + 4) (x — 15)

выражение: x

²  +0x -25

Перепишем это выражение как: x ²  +0x -25
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -25x ² , а сумма остается + 0x

 x ² + 5x — 5x -25

= x(x + 5) — 5 (x + 5)

= (x + 5) (x — 5)

Пример 75.

Факторизация квадратного выражения: x ²  +45x +504

Перепишем это выражение следующим образом: x ²  +45x +504
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно + 504x ² а сумма остается +45x

 x ² + 24x  + 21x  +504

= x(x + 24) + 21 (x + 24)

= (x + 24) )

Пример 76. Факторизация квадратного выражения: x

²  +0x -289

Перепишем это выражение как: x ²  +0x -289
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -289x ² , а сумма останется +0x

 x ² — 17x  + 17x -289

= x(x — 17) + 17 (x — 17)

= (x — 17) (x + 17)

Пример 77. Факторизация квадратного выражения: x

²  -28x + 196

Перепишем это выражение как: x ²  -28x +196
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +19.6x ² а сумма остается -28x

 x ² — 14x  — 14x +196

= x(x — 14) — 14 (x — 14)

= (x — 14) (x — 14) (x — 14) )

Пример 78.

Факторизация квадратного выражения: x ²  -17x -18

Перепишем это выражение следующим образом: x ²  -17x -18
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых -18x ² , а сумма остается -17x

 x ² — 18x  + 1x -18

= x(x — 18) + 1 (x — 18)

= (x — 18) (x + 1)

Перепишем это выражение как: x

²  -20x -96
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -96x ² , а сумма останется -20x

 x ² — 24x  + 4x  — 96

= x(x — 24) + 4 (x — 24)

= (x — 24) (x + 4)

Пример 80. Факторизация квадратного выражения: x

²  +22x +117

Перепишем это выражение как: x ²  +22x +117
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +117x ² , а сумма останется +22x

x ² + 9x  + 13x  +117

= x(x + 9) + 13 (x + 9)

= (x + 9) (x + 13)

Пример 81.

Факторизация квадратного выражения: x ²  -11x -42

Перепишем это выражение как: x ²  -11x -42
Средний член необходимо разделить на два слагаемых, произведение которых равно -42x ² , а сумма остается -11x

 x ² + 3x — 14x -42

= x(x + 3) — 14 (x + 3)

= (x + 3) (x — 14)

Пример 82. Факторизация квадратного выражения: x

²  -19x +18

Перепишем это выражение как: x ^{2 +}  -19x 18
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +18x ² , а сумма остается -19x

 x ² — 18x  — 1x  +18

= x(x — 18) — 1 (x — 18)

= (x — 18) (x — 1)

Пример 83. Факторизация квадратное выражение: x

²  -8x -384

Перепишем это выражение как: x ²  -8x -384
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -384x ² , а сумма остается -8x

 x ² — 24x + 16x -384

= x(x — 24) + 16 (x — 24)

= (x — 24) (x + 16)

Пример 84.

Факторизация квадратного выражения: x ²  +18x -63

Перепишем это выражение как: x ²  +18x -63 92x средний член необходимо разделить на два слагаемых, произведение которых равно -63x ² , а сумма остается +18x

x ² — 3x + 21x -63

= x(x — 3) + 21 (x — 3 )

= (x — 3) (x + 21)

Пример 85: Факторизация квадратного выражения: x

²  -30x +221

Перепишем это выражение как: x ²  -30x +221
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +221x ² , а сумма остается -30x

x ² — 13x  — 17x  +221

= x(x — 13) — 17 (x — 13)

= (x — 13) (x — 17)

Пример 86. Факторизация квадратного выражения: x

²  +5x -456

Перепишем это выражение как: x ²  +5x -456
Средний член необходимо разделить на два члена, произведение которых равно -456x ² , а сумма остается +5x

 x ² — 19x  + 24x -456

= x(x — 19) + 24 (x — 19)

= (x — 19) (x + 24)

Пример 87.

Факторизация квадратного выражения: x ²  -21x +80

Перепишем это выражение как: x ^{2 911x +  -2 80
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +80x 2 , а сумма остается -21x}

 x ² — 16x  — 5x  +80

= x(x — 16) — 5 (x — 16)

= (x — 16) (x — 5)

выражение: x

²  -32x +207

Перепишем это выражение как: x ²  -32x +207
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +207x ² , а сумма остается — 32x

 x ² — 9x  — 23x  +207

= x(x — 9) — 23 (x — 9)

= (x — 9) (x — 23)

Пример 89. Факторизация квадратного выражения: x

²  +32x +240

Перепишем это выражение как: x ²  +32x +240
Середина нужно разделить на два слагаемых, произведение которых равно +240x ² , а сумма остается +32x

x ² + 20x + 12x +240

= x(x + 20) + 12 (x + 20)

= (x + 20) (x + 12)

Пример 90: Факторизация квадратного выражения: x

²  -2x -15

Перепишем это выражение как: x ²  -2x -15
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -15x ² , а сумма остается -2x

x ² — 5x  + 3x -15

= x(x — 5) + 3 (x — 5)

= (x — 5) (x + 3)

Пример 91.

Факторизация квадратного выражения: x ²  -37x +300

Перепишем это выражение как: x ²  -37x +300
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +300x ² пока остается сумма -37x

 x ² — 25x  — 12x  +300

= x(x — 25) — 12 (x — 25)

= (x — 25) (x — 12)

Пример 92. Факторизация квадратного выражения: x

²  -21x +54

Перепишем это выражение следующим образом: x ²  -21x +54
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно + 54x ² а сумма остается -21x

 x ² — 18x  — 3x  +54

= x(x — 18) — 3 (x — 18)

= (x — 18) (x — 3)

Пример 93. Факторизация квадратного выражения: x

² +26x +88

Перепишем это выражение как: x ²  +26x +88
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +88x ² , а сумма останется +26x

 x ² + 4x  + 22x  + 88

= х(х + 4) + 22 (х + 4)

= (х + 4) (х + 22)

Пример 94.

Разложите на множители квадратное выражение: x ²  -27x +72

. Перепишем это выражение следующим образом: x ²  -27x +72
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +72x ² а сумма остается -27x

 x ² — 3x  — 24x  +72

= x(x — 3) — 24 (x — 3)

= (x — 3) (x — 24)

Пример 95. Факторизация квадратного выражения: x

²  -5x -6

Перепишем это выражение как: x ²  -5x -6
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно -6x ² , а сумма остается -5x

 x ² + 1x — 6x -6

= x(x + 1) — 6 (x + 1)

= (x + 1) (x — 6)

Пример 96. Факторизация квадратного выражения: x

²  +10x -56

Перепишем это выражение как: x ²  +10x -56
Средний член необходимо разделить на два члена, произведение которых равно -56x ² пока сумма остается +10x

 x ² — 4x  + 14x  -56

= x(x — 4) + 14 (x — 4)

= (x — 4) (x + 14)

Пример 97.

Факторизация квадратного выражения: x ²  +12x +20

Перепишем это выражение следующим образом: x ²  +12x +20
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +20x ² пока остается сумма +12x

 x ² + 10x  + 2x  +20

= x(x + 10) + 2 (x + 10)

= (x + 10) (x + 2)

перепишите это выражение как: x

²  -36x +323
Средний член необходимо разделить на два члена, произведение которых равно +323x ² , а сумма останется -36x

 x ² — 17x  — 19x  +323

= х(х — 17) — 19 (х — 17)

= (х — 17) (х — 19)

Пример 99. Разложите на множители квадратное выражение: x

²  +3x +2

. Перепишем это выражение следующим образом: x ²  +3x +2
Средний член нужно разделить на два члена, произведение которых равно +2x ² а сумма остается +3x

 x ² + 2x  + 1x  +2

= x(x + 2) + 1 (x + 2)

= (x + 2) (x + 1)

Пример 100.

{\msquare} \log_ {\msquare} \sqrt {\square} \nthroot [\msquare] {\square} \le. X2+6x+8, то это (x+4)(x+2) при факторизации. 4, 5, 1 и 5. Найдите пару целых чисел, произведение которых равно c c, а сумма равна b b. 9{\msquare} \log_ {\msquare} \sqrt {\square} \nthroot [\msquare] {\square} \le. Система оценивания присваивает баллы качества буквенным оценкам следующим образом: Установите первый множитель равным и решите.

Показать изображение

= (х + 6) (х + 2) Коэффициент. 1. х 2 +8х + 12 2. х 2 +16х + 48

Но моя книга говорит, что это не так. Я сделал это, используя метод переменного тока. Чтобы решить уравнение, размножьте x 2 − 6 x − 1 6, используя формулу x 2. 92 + bx + c учиться с помощью карточек, игр и многого другого — бесплатно. Система завершите предложения, чтобы объяснить, какие шаги были предприняты для получения системы уравнений ниже.

Показать изображение

= (х + 6) (х + 2) Коэффициент.

1. х 2 +8х + 12 2. х 2 +16х + 48

Я рассчитал это так: Возврат до 2,56 долларов США, что является факторизованной формой x2 6x 16. У этих курсов было соответствующее количество кредитных часов: 925x+6 с коэффициентом

Возврат до 2,56 долларов США, что является факторизованной формой x2 6x 16. A = 4, b = 3, c = 2, d = 1 и f = 0. Система оценивания присваивает баллы качества буквенным оценкам следующим образом:

Показать изображение

Ответил A. Направления Сопоставьте следующее… bartleby

Вычислите средний балл успеваемости (gpa) и округлите результат до двух знаков после запятой. Запишите факторизованную форму, используя эти целые числа. 4, 5, 1 и 5. 9{\msquare} \log_ {\msquare} \sqrt {\square} \nthroot [\msquare] {\square} \le. Что из следующего является факторизованной формой (формой пересечения) функции f(x)?

Показать изображение

👍 правильный ответ на вопрос вопрос 2 из 9 введите правильный ответ в поле.

No related posts.