Интегралы от рациональных функций: Интегрирование рациональных функций

Содержание

Интегрирование рациональных функций

Алгоритм интегрирования рациональных функций
Шаг 1: разложение исходной дроби
Шаг 2: нахождение неопределённых коэффициентов
Шаг 3: нахождение интеграла исходной функции (дроби)

Рациональная функция — это дробь вида , числитель и знаменатель которой — многочлены или произведения многочленов.

Из урока «Интегрирование некоторых рациональных дробей и иррациональностей» известно, что рациональные дроби бывают неправильные, если степень многочлена в её числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, и правильные, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. В том же уроке говорилось о том, как представить неправильную дробь в виде суммы её целой части и некоторой правильной дроби.

На этом уроке будем учиться интегрировать такие рациональные функции, которые представлены в виде правильных дробей.

Для этого существует метод неопределённых коэффициентов, основанный на теореме, которая гласит, что всякая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простых дробей.

Приведённый ниже алгоритм интегирования рациональных функций будет пошагово проиллюстрирован в примерах.

Алгоритм интегрирования рациональных функций

Шаг 1. Определить вид многочлена в знаменателе дроби (он может иметь действительные, кратные действительные, комплексные и кратные комплексные корни) и в зависимости от вида разложить дробь на простые дроби, в числителях которых — неопределённые коэффициенты, число которых равно степени знаменателя.
Шаг 2. Определить значения неопределённых коэффициентов. Для этого потребуется решить систему уравнений, сводящуюся к системе линейных уравнений.
Шаг 3. Найти интеграл исходной рациональной функции (дроби) как сумму интегралов полученных простых дробей, к которым применяются табличные интегралы.

Переходим к первому шагу алгоритма

Многочлен в знаменателе имеет действительные корни. То есть, в знаменателе имеет место цепочка сомножителей вида , в которой каждый из сомножителей находится в первой степени. В этом случае разложение дроби с использованием метода неопределённых коэффициентов будет следующим:

Пример 1. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции .

От нас требуется разложить подынтегральное выражение — правильную дробь на простые дроби.

Решение. Дискриминант уравнения положительный, поэтому многочлен в знаменателе имеет действительные корни. Получаем следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей:

Пример 2. Шаг 1.Дан интеграл от рациональной функции

Решение. Разложим знаменатель подынтегрального выражения на множители. Сначала можно вынести за скобки x. (На сайте есть урок о вынесении общего множителя за скобки.) Получаем следующую дробь:

Для разложения квадратного трёхчлена в скобках решаем квадратное уравнение:

Получаем разложение знаменателя на множители в подынтегральном выражении:

Дискриминант решённого выше квадратного уравнения положительный, то есть имеем дело со случаем, когда многочлен в знаменателе имеет действительные корни. Разложение исходной дроби подынтегрального выражения будет следующим:

Как и в первом примере, числа, обозначенные большими буквами, пока неизвестны. Отсюда и название — метод неопределённых коэффициентов.

Многочлен в знаменателе имеет кратные действительные корни. Этот случай имеет место, когда в цепочке сомножителей в знаменателе присутствует выражение вида , то есть один из многочленов в степени 2 и больше. В этом случае разложение дроби с использованием метода неопределённых коэффициентов будет следующим:

Пример 3. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции .

Решение. Представляем разность квадратов в виде произведения суммы и разности .

Тогда подынтегральное выражение запишется в виде

все уравнения с многочленами которого имеют действительные корни. Это случай кратных действительных корней, так как последний сомножитель находится во второй степени. Получаем следующее разложение исходной дроби на простые дроби:

Как видим, в этом случае нужно понижать степень кратного многочлена с исходной до первой и записывать простую дробь с каждой из этих степеней в знаменатель.

Пример 4. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции .

Решение. Уравнения с многочленами в знаменателе имеют действительные корни, а сами многочлены присутствуют в степенях больше первой. Поэтому получаем следующее разложение исходной дроби на простые дроби:

Многочлен в знаменателе имеет комплексные корни: дискриминант квадратного уравнения , присутствующего в цепочке сомножителей в знаменателе, меньше нуля.

В этом случае при разложении дроби в простой дроби, соответствующей описанному выше сомножителю, в числителе нужно записывать линейное выражение с переменной x (это выражение — последнее в следующей записи):

Пример 5. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции .

Решение. Уравнение в скобках имеет комплексные корни, а оба сомножителя присутствуют в знаменателе в первой степени. Поэтому получаем следующее разложение исходной дроби на простые дроби:

Пример 6. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции .

Решение. Представим знаменатель дроби в подынтегральном выражении в виде следующего произведения сомножителей:

Решение. Уравнение с последним сомножителем имеет комплексные корни, а все сомножители присутствуют в знаменателе в первой степени. Поэтому получаем следующее разложение исходной дроби на простые дроби:

Многочлен в знаменателе имеет кратные комплексные корни: дискриминант квадратного уравнения , присутствующего в цепочке сомножителей в знаменателе, меньше нуля и этот сомножитель присутствует в степени 2 или больше. В этом случае разложение дроби с использованием метода неопределённых коэффициентов будет следующим:

То есть в сумме простых дробей число простых дробей с линейным выражением в числителе должно быть равно степени сомножителя, имеющего комплексные корни.

Пример 7.

Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции .

Решение. Квадратный трёхчлен имеет комплексные корни и присутствует в знаменателе подынтегральной дроби во второй степени. Поэтому получаем следующее разложение дробного выражения:

Пример 8. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции .

Решение. Квадратный трёхчлен в знаменателе имеет комплексные корни и присутствует в подынтегральной дроби во второй степени. Поэтому получаем следующее разложение дробного выражения:

На первом шаге мы представили подынтегральные дроби в виде суммы дробей с неопределёнными коэффициентами. В начале этого шага потребуется привести полученную сумму дробей к общему знаменателю. После этого в их числителях будут произведения неопределённых коэффициентов на многочлены, которых нет в данной отдельной дроби, но которые есть в других полученных дробях.

Полученное таким образом выражение приравнивается к числителю исходной дроби. Затем составляется система из уравнений, в которых степени икса одинаковы. Путём решения системы и находятся неопределённые коэффициенты. Для решения достаточно знать, как системы уравнений решаются методом подстановки и методом сложения.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пример 1. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

Умножаем неопределённые коэффициенты на многочлены, которых нет в данной отдельной дроби, но которые есть в других полученных дробях:

Раскрываем скобки и приравниваем полученое к полученному выражению числитель исходной подынтегральной дроби:

В обеих частях равенства отыскиваем слагаемые с одинаковыми степенями икса и составляем из них систему уравнений:

Сокращаем все иксы и получаем эквивалентную систему уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Таким образом, окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Пример 2. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

Теперь начинаем искать неопределённые коэффициенты. Для этого числитель исходной дроби в выражении функции приравниваем к числителю выражения, полученного после приведения суммы дробей к общему знаменателю:

Теперь требуется составить и решить систему уравнений. Для этого приравниваем коэффициенты при переменной в соответствующей степени в числителе исходного выражения функции и аналогичные коэффициенты в полученном на предыдущем шаге выражения:

Решаем полученную систему:

Итак, , отсюда получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Пример 3. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

Начинаем искать неопределённые коэффициенты. Для этого числитель исходной дроби в выражении функции приравниваем к числителю выражения, полученного после приведения суммы дробей к общему знаменателю:

Как и в предыдущих примерах составляем систему уравнений:

Сокращаем иксы и получаем эквивалентную систему уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Пример 4. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

Как приравнивать числитель исходной дроби к выражению в числителе, полученному после разложения дроби на сумму простых дробей и приведения этой суммы к общему знаменателю, мы уже знаем из предыдуших примеров. Поэтому лишь для контроля приведём получившуюся систему уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Пример 5. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

Самостоятельно приводим к общему знаменателю эту сумму, приравнивать числитель этого выражения к числителю исходной дроби. В результате должна получиться следующая система уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Пример 6. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

Производим с этой суммой те же действия, что и в предыдущих примерах. В результате должна получиться следующая система уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Пример 7. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

После известных действий с полученной суммой должна получиться следующая система уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Пример 8. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

Внесём некоторые изменения в уже доведённые до автоматизма действия для получения системы уравнений. Есть искусственный приём, который в некоторых случаях помогает избежать лишних вычислений. Приводя сумму дробей к общему знаменателю получаем и приравнивая числитель этого выражения к числителю исходной дроби, получаем:

Можно заметить, что если принять за значение икса единицу, то второе и третье слагаемые в правой части равенства обратятся в нули и нет необходимости их вычислять. Тогда получаем, что . Далее по уже отработанной схеме получаем систему уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Полученные простые дроби и интегировать проще. К исходной сумме дробей применяется правило интеграла суммы (интеграл суммы равен сумме интегралов) и табличные интегралы. Чаще всего требуется применять табличные интегралы, приводящие к натуральному логарифму и арктангенсу.

Пример 1. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Интегрируем изначальную рациональную функцию как сумму дробей и используем табличный интеграл 10, приводящий к натуральному логарифму:

Последнее действие с натуральным логарифмом — приведение к единому выражению под логарифмом — может требоваться при выполнении работ, но требуется не всегда.

Пример 2. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Вновь применяем табличный интеграл, приводящий к натуральному логарифму:

Пример 3. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

В результате интегрирования получаем сумму натуральных логарифмов и одной простой дроби, на случай, если требуется преобразование к единому логарифму, делаем и это:

Пример 4. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

В результате интегрирования получаем сумму натуральных логарифмов и одной дроби, на случай, если требуется преобразование к единому логарифму, делаем и это:

Пример 5. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Интегрируем и получаем сумму натурального логарифма и арктангенса:

Пример 6. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Опять получаем сумму натурального логарифма и арктангенса:

Пример 7. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Интегрируя, получаем натуральные логарифмы и дробь:

Приведение к единому логарифму попробуйте выполнить самостоятельно.

Пример 8. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Интегрируя, получаем сумму натурального логарифма, арктангенса и дроби:

Назад

Листать

Вперёд>>>

К началу страницы

Пройти тест по теме Интеграл

Начало темы «Интеграл»

Неопределённый интеграл: основные понятия, свойства, таблица неопределённых интегралов

Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений

Метод замены переменной в неопределённом интеграле

Интегрирование подведением под знак дифференциала

Метод интегрирования по частям

Интегрирование дробей

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Продолжение темы «Интеграл»

Интегрирование тригонометрических функций

Определённый интеграл

Несобственные интегралы

Площадь плоской фигуры с помощью интеграла

Объём тела вращения с помощью интеграла

Вычисление двойных интегралов

Длина дуги кривой с помощью интеграла

Площадь поверхности вращения с помощью интеграла

Определение работы силы с помощью интеграла

Интегрирование рациональных дробей

Данный онлайн калькулятор служит для вычисления интегралов рациональных дробей вида .

Решение онлайн
Видеоинструкция

Инструкция. Введите числитель и знаменатель дроби. Нажмите кнопку Решить.

Пусть подынтегральное выражение есть рациональная дробь , где и — полиномы (многочлены) степеней k и n соответственно. Не умаляя общности, можем считать, что k < n, так как в противном случае всегда можно представить числитель в виде P(x) = Q(x)R(x) + S(x), где R(x) и S(x) — полиномы, называемые обычно, как и в случае действительных чисел, частным и остатком, причем степень полинома S(x) меньше n. Тогда
, (1.1)
а интеграл от полинома R(x) мы вычислять умеем. Покажем на примере, как можно получить разложение (1.1). Пусть P(x)=x⁷+3x⁶+3x⁵–3x₃+4x₂+x-2, Q(x)=x³+3x²+x-2. Разделим полином P(x) на полином Q(x) так же, как мы делим вещественные числа (решение получаем через калькулятор деления столбиком). Имеем

Таким образом, мы получили целую часть дроби (частное от деления полинома P на полином Q) R(x) = x⁴+2x²–4x+7 и остаток S(x) = 9x²–14x+12 от этого деления.
По основной теореме алгебры любой полином может быть разложен на простейшие множители, то есть представлен в виде , где x_l – корни полинома Q(x) повторенные столько раз, какова их кратность.
Пусть полином Q(x) имеет n различных корней x₁, x₂,…, x_n. Тогда правильная рациональная дробь может быть представлена в виде , где A₁, A₂,…,A_n — числа подлежащие определению. Если x_i — корень кратности α, то ему в разложении на простейшие дроби соответствует α слагаемых .

Если x_j — комплексный корень кратности α полинома с действительными коэффициентами, то комплексно сопряженное число x_j — тоже корень кратности α этого полинома. Чтобы не иметь дело с комплексными числами при интегрировании рациональных дробей, слагаемые в разложении правильной рациональной дроби, соответствующие парам комплексно сопряженных корней, объединяют и записывают одним слагаемым вида , если x_j, x_j – корни кратности один. Если x_j, x_j – корни кратности α, то им соответствует α слагаемых и соответствующее разложение имеет вид
Таким образом, интегрирование правильных рациональных дробей свелось к интегрированию простейших дробей, из которых , , являются табличными, может быть найден по рекуррентной формуле, которая получается интегрированием по частям. Интегралы , в случае, когда знаменатель имеет комплексные корни (дискриминант D=p²-4q<0), сводятся, с помощью выделения полного квадрата, к интегралам , заменой .

Одним из способов нахождения коэффициентов A_j, M_j, N_j в разложении правильной рациональной дроби является следующий. Правую часть полученного разложения с неопределенными коэффициентами A_j, M_j, N_j приводят к общему знаменателю. Так как знаменатели правой и левой частей равны, то должны быть равны и числители, которые являются полиномами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x (так как полиномы равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x), получаем систему линейных уравнений для определения этих коэффициентов.

Примеры
1. Найти .
Корни знаменателя – x₁ = -2 кратности 1 и x₂=1 кратности 2. Поэтому x³ – 3x + 2 = (x+2)(x-1)² и подынтегральная функция может быть представлена в виде
Приводя к общему знаменателю, получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего соотношения, получаем

Решая эту систему, находим A₁=7/9, A₂=2/9, A₃=1/3.

Таким образом,

2. Найти .
Корни знаменателя – x₁=2 кратности 1 и два комплексных корня x_2,3, = -1±i. Поэтому x³ – 2x – 4 = (x-2)(x² + 2x+2) и подынтегральная функция может быть представлена в виде
Приводя к общему знаменателю, получаем Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего соотношения, получаем

Решая эту систему, находим A=1, M=1, N=2.
Таким образом, =ln|x-2|+¹/₂ln(x²+2x+2)+arctg(x+1)+C

Также рекомендуется ознакомиться с возможностью решения интегралов онлайн.

Пример. Найти .
Решение. Используем метод разложения на простейшие. Знаменатель имеет действительные корни, причем корень —1 имеет кратность два. Разложим подынтегральную функцию на простейшие слагаемые

Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях х, стоящие слева и справа должны совпадать
2x+1 = A(x-1)²+Bx(x-1) + Dx = (A+B)x²+(-2A-B+D)x+A
→ A=1, B=-1, D=3

Следовательно

Примеры интегрирования рациональных функций (дробей)

Здесь мы приводим подробные решения трех примеров интегрирования следующих рациональных дробей:
, , .

Пример 1

Вычислить интеграл:
.

Решение

Здесь под знаком интеграла стоит рациональная функция, поскольку подынтегральное выражение является дробью из многочленов. Степень многочлена знаменателя (3) меньше степени многочлена числителя (4). Поэтому, вначале необходимо выделить целую часть дроби.

1. Выделим целую часть дроби. Делим x⁴ на x³ – 6x² + 11x – 6:

Отсюда
.

2. Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить кубическое уравнение:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 6 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, 3, 6, –1, –2, –3, –6.
Подставим x = 1:
.

Итак, мы нашли один корень x = 1. Делим на x – 1:

Отсюда
.
Решаем квадратное уравнение .
.
Корни уравнения: , .
Тогда
.

3. Разложим дробь на простейшие.

Итак, мы нашли:
.
Интегрируем.

Ответ

Пример 2

Вычислить интеграл:
.

Решение

Здесь в числителе дроби – многочлен нулевой степени (1 = x⁰). В знаменателе – многочлен третьей степени. Поскольку 0 < 3, то дробь правильная. Разложим ее на простейшие дроби.

1. Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение третьей степени:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 3 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 3, –1, –3.
Подставим x = 1:
.

Итак, мы нашли один корень x = 1. Делим x³ + 2x – 3 на x – 1:

Итак,
.

Решаем квадратное уравнение:
x² + x + 3 = 0.
Находим дискриминант: D = 1² – 4·3 = –11. Поскольку D < 0, то уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, мы получили разложение знаменателя на множители:
.

2. Разложим дробь на простейшие. Ищем разложение в виде:
.
Освобождаемся от знаменателя дроби, умножаем на (x – 1)(x² + x + 3):
(2.1) .
Подставим x = 1. Тогда x – 1 = 0,
.

Подставим в (2.1) x = 0:
1 = 3A – C;
.

Приравняем в (2.1) коэффициенты при x²:
;
0 = A + B;
.

Итак, мы нашли разложение на простейшие дроби:
.

3. Интегрируем.
(2.2) .
Для вычисления второго интеграла, выделим в числителе производную знаменателя и приведем знаменатель к сумме квадратов.

;
;
.

Вычисляем I₂.

.
Поскольку уравнение x² + x + 3 = 0 не имеет действительных корней, то x² + x + 3 > 0. Поэтому знак модуля можно опустить.

Поставляем в (2.2):
.

Ответ

Пример 3

Вычислить интеграл:
.

Решение

Здесь под знаком интеграла стоит дробь из многочленов. Поэтому подынтегральное выражение является рациональной функцией. Степень многочлена в числителе равна 3. Степень многочлена знаменателя дроби равна 4. Поскольку 3 < 4, то дробь правильная. Поэтому ее можно раскладывать на простейшие дроби. Но для этого нужно разложить знаменатель на множители.

1. Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение четвертой степени:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, –1, –2.
Подставим x = –1:
.

Итак, мы нашли один корень x = –1. Делим на x – (–1) = x + 1:

Итак,
.

Теперь нужно решить уравнение третьей степени:
.
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, –1, –2.
Подставим x = –1:
.

Итак, мы нашли еще один корень x = –1. Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен на , но мы сгруппируем члены:
.

Поскольку уравнение x² + 2 = 0 не имеет действительных корней, то мы получили разложение знаменателя на множители:
.

2. Разложим дробь на простейшие. Ищем разложение в виде:
.
Освобождаемся от знаменателя дроби, умножаем на (x + 1)²(x² + 2):
(3.1) .
Подставим x = –1. Тогда x + 1 = 0,
.

Продифференцируем (3.1):

;

.
Подставим x = –1 и учтем, что x + 1 = 0:
;
; .

Подставим в (3.1) x = 0:
0 = 2A + 2B + D;
.

Приравняем в (3.1) коэффициенты при x³:
;
1 = B + C;
.

Итак, мы нашли разложение на простейшие дроби:
.

3. Интегрируем.

Ответ

Интегрирование рациональных дробей с примерами решения

Содержание:

Интегрирование дробно-рациональных функций

Интегрирование дробно-рациональных функций

Согласно (2. 2), любую дробно-рациональную функцию — многочлены с действительными коэффициентами степени и соответственно, в общем случае можно представить суммой некоторого

многочлена и правильной рациональной дроби. В свою очередь, в силу (2.25) эту дробь можно разложить на простейшие. Многочлен определен на всей числовой прямой и его интегрирование не представляет трудностей.

Неопределенные интегралы от простейших рациональных дробей, рассмотренные в 2.2, могут быть выражены через дробно-рациональные функции, логарифмическую и обратную тригонометрическую, а именно через арктангенс, т.е. неопределенный интеграл от любой рациональной дроби представим элементарными функциями.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Итак, интегрирование любой дробно-рациональной функции состоит из следующих этапов:

выделение из нее целой рациональной функции — многочлена (он может быть нулевым) и правильной рациональной дроби;
разложение правильной рациональной дроби на простейшие;
нахождение неопределенных интегралов от многочлена и полученных простейших дробей.

Рассмотрим эти этапы подробнее на нескольких характерных примерах.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Комбинаторика

Формулы комбинаторики

Метод Лагранжа

Метод вариации постоянных

Пример с решением 1:

Найдем интеграл от неправильной рациональной дроби Преобразуем ее числитель так, чтобы в нем можно было выделить слагаемое, кратное знаменателю и включающее старшую степень аргумента

Многочлен в знаменателе выделенной правильной рациональной дроби можно представить как разность кубов: Он имеет простой действительный нуль и пару комплексно сопряженных нулей-Поэтому разложение правильной рациональной дроби в (2.31)

простейшие, согласно (2.25), примет вид

После приведения правой части данного равенства к общему знаменателю получим

Это равенство верно при любых значениях Полагая в нем находим т. е. При имеем откуда Наконец, приравнивая коэффициенты при получаем или Итак, вместо (2.31) запишем

Таким образом,

Первые два интеграла в правой части нетрудно найти при помощи табличных интегралов 1 и 2 в знаменателе подынтегральной функции в третьем интеграле выделим полный квадрат: и обозначим Тогда, используя линейность неопределенного интеграла и применяя интегрирование подведением под знак дифференциала, получаем с учетом табличных интегралов 2 и 13

Возвращаясь к исходному переменному находим

или окончательно

Пример с решением 2:

Функция является правильной рациональной дробью. Разложим ее знаменатель на множители:

т.е. знаменатель имеет двукратные действительные нули и и простой действительный нуль Следовательно, согласно (2.25), разложение функции на простейшие рациональные дроби имеет вид

Из этого равенства после приведения его правой части к общему знаменателю следует равенство многочленов

Последовательно полагая в (2. 32) получаем откуда

Продифференцировав (2.32) по выпишем справа лишь те слагаемые, которые не обращаются в нуль при

Отсюда соответственно имеем или с учетом значений получим Таким образом, заданная функция принимает вид

Неопределенный интеграл от этой функции находим при помощи табличных интегралов 1 и 2:

Пример с решением 3:

Функция является неправильной рациональной дробью. Выделив из нее многочлен и правильную рациональную дробь, запишем

Нули многочлена в знаменателе являются корнями биквадратно уравнения Обозначив получим квадратное уравнение имеющее простые корни Следовательно, знаменатель можно представить в виде

Тогда для правильной рациональной дроби, согласно (2.25), имеем разложение

Приводя правую часть этого равенства к общему знаменателю, приходим к равенству многочленов

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему линейных алгебраических уравнений Из первого и третьего уравнений находим а из второго и четвертого — В итоге заданную функцию запишем в виде

Тогда с учетом табличного интеграла 13 получим

Пример с решением 4:

Найдем неопределенный интеграл от функции представив его суммой интегралов

Первый интеграл в правой части (2. 33) подстановкой к табличному интегралу 13, а второй подстановкой — к интегралу

разложим правильную рациональную дробь на простейшие:

Затем, приводя правую часть к общему знаменателю, получаем

Отсюда, полагая, что находим т.е. При запишем откуда а из равенства нулю коэффициента при следует, что Таким образом,

Подынтегральная функция во втором интеграле справа является простейшей рациональной дробью третьего типа (см. 2.2). Поэтому

Следовательно,

Возвращаясь к аргументу вместо (2.33) в итоге получаем

Замечание 2.5. При интегрировании дробно-рациональной функции этап ее разложения на простейшие рациональные дроби не всегда является обязательным. В некоторых случаях удается найти интеграл более простым путем.

Пример с решением 5:

Ясно, что разложение правильной рациональной дроби на простейшие будет весьма громоздким. В данном случае проще обозначить и вычислить

Возвратившись к переменному получим

Интегрирование рациональных функций

Дробной — рациональной функцией называется функция, равная частному от деления двух многочленов:

R(x) = .

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае — неправильной. Отметим, что всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

где r(x) — многочлен, степени меньше степени знаменателя Q(x). Таким образом, интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию правильной рациональной дроби. А интегрирование правильной рациональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей типа:

1. ; 2. ;

3. ; 4. .

(x² +рх + q — не имеет действительных корней.)

Интегрирование простейших рациональных дробей:

1. .

2. .

3. Основной способ нахождения интеграла состоит в предварительном выделении полного квадратного трехчлена:

Рассмотрим этот способ на примере.

Пример 53. Вычислить интеграл

Решение. Выделим полный квадрат в знаменателе и преобразуем дробь:

х²+2х -1 = х²+2х +1-1-1 = (х+1)² -2.

Тогда = = — =

= — +С.

4. Если введем новую переменную t, положив t = х + и

х² + рх + q = t² + a², где a² = q — , то интеграл =I_n можно вычислить с помощью реккурентной формулы

I_n = .

9.5. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби

Случай 1.Знаменатель имеет только действительные различные корни, т.е. разлагается на неповторяющиеся множители первой степени.

Пример 54. Найти интеграл

Решение. Так как каждый из двухчленов входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде

Освобождаясь от знаменателей, получим

При х = 1 6 = 3А, А = 2;

при х = 2 11 = -2В, В= — ;

при х = 4 27 = 6С, С = .

Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид

Таким образом,

Случай 2. Знаменатель имеет лишь действительные корни, причем некоторые из них кратные, т.е. знаменатель разлагается на множители первой степени и некоторые из них повторяются.

Пример 55. Найти интеграл

Решение. Множителю соответствует сумма трех простейших дробей , а множителю — простейшая дробь Итак,

Освободимся от знаменателя:

х = 1	2 = 4А; A =
x = -3	10 = -64D; D = —
x = 0	1= -3B + 3C +
x = -1	2 = 1- 4B + 8C +

Откуда В = , С = .

Окончательное разложение данной дроби на простейшие имеет вид

Таким образом, получим

Случай 3. Среди корней знаменателя имеются простые комплексные корни, т.е. разложение знаменателя содержит квадратичные неповторяющиеся множители.

Пример 56. Найти интеграл

Решение. Разлагаем дробь на простейшие дроби

Освобождаемся от знаменателя:

. Выпишем коэффициенты при одинаковых степенях:

при х²:	0 = А+В
x:	0 = A+C
x⁰:	1 = A

Откуда найдем А = 1, В = -1, С = -1.

Итак,

Следовательно,

= ln|x|-

— — = ln|x| — —

— +C.

Случай 4. Среди корней знаменателя имеются кратные комплексные корни, т.е. разложение знаменателя содержит повторяющиеся квадратичные множители.

Пример 57. Найти интеграл

Решение. Так как есть двукратный множитель, то

Освобождаясь от знаменателей, получим

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :

Следовательно,

9.5. Интегрирование иррациональных функций

Неопределенный интеграл вида интегрируется

путем введения новой переменной .

Интегралы вида интегрируются путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена.

Пример 58. Вычислить интеграл .

Решение:

= , где

Пример 59. Вычислить интеграл .

Решение:

Интеграл вида , где n Î Z, интегрируются путем введения новой переменной t ⁿ = ax + b.

Пример 60. Вычислить интеграл .

Решение:

= -2t-2 = -2 +С.

Интегралы вида , где P_n (x) — многочлен степени n, вычисляются с помощью реккурентной формулы

= , (21)

где Q _n_—₁(x) — многочлен степени (n — 1) с неопределенными коэффициентами и l — число. Коэффициенты многочлена и число l находятся при помощи дифференцирования тождества (21).

Пример 61. Вычислить интеграл .

Решение. Применяем формулу (21):

= (Ах+В) . Дифференцируем это тождество: . Откуда

х² = А(х² + 4) + х(Ах+В) + l.

Выпишем коэффициенты при одинаковых степенях:

х²: 1 = А +А

х: 0 = Вх

х⁰: 0 = 4A + l.

Итак, А = , В = 0, l = -2. Следовательно,

= = +С.

Интеграл от дифференциального бинома , где m, n, p — рациональные числа:

1) если р — целое число, то делаем замену х = t ^s, где s — общий знаменатель дробей m и n;

2) если — целое число, то делаем замену а+bх ⁿ = t ^s, где s — знаменатель дроби р;

3) если +р — целое число, то делаем замену ах ^–ⁿ+b = t ^s, где s — знаменатель дроби р.

Пример 62. Вычислить интеграл

Решение:

= =

9.7. Интегрирование тригонометрических функций

1.Интегралы вида где R — рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки В результате этой подстановки имеем:

;

Пример 63. Найти интеграл

Решение. Введем новую переменную tg . Тогда = =

= = = arctg +

+C = +C.

Универсальная подстановка во многих случаях приводит к сложным вычислениям, так как при ее применении и выражаются через в виде рациональных дробей, содержащих .

В некоторых частных случаях нахождение интеграла вида может быть упрощено:

1. Если — нечетная функция относительно , т.е., если , то интеграл рационализируется подстановкой

2. Если — нечетная функция относительно , т.е., если , то интеграл рационализируется с помощью подстановки

3. Если — четная функция и относительно и относительно , т.е., если , то к цели приводит подстановка

Пример 64. Найти интеграл

Решение. Так как подынтегральная функция нечетна относительно синуса, то полагаем

2. Интегралы вида

Выделим здесь два случая, имеющие особенно важное значение.

Случай 1. По крайней мере один из показателей m или n – нечетное положительное число.

Если n – нечетное положительное число, то применяется подстановка Если же m — нечетное положительное число, подстановка

Пример 65. Найти интеграл

Решение. Полагая получим

Случай 2. Оба показателя степени m и n — четные положительные числа. Здесь следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью следующих формул:

(22)

(23)

(24)

Пример 66. Найти интеграл

Решение. Из формулы (22) следует, что

Применив теперь формулу (23), получаем

Итак,

3. Интегралы вида

Тригонометрические формулы

дают возможность произведение тригонометрических функций представить в виде суммы.

Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 261; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Интегрирование рациональных функций — Интегралы и дифференциальные уравнения (Математика)

Лекция 3. Интегрирование рациональных функций.

Рациональная функция – это отношение двух целых функций – многочленов (полиномов).

Если порядок полинома – числителя ниже порядка полинома – знаменателя, то такая рациональная функция называется рациональной дробью.

Лемма 1. Если рациональная функция не является рациональной дробью, то ее можно привести к сумме целой части – полинома и рациональной дроби.

Доказательство основано на правиле деления многочленов с остатком, например, на алгоритме деления многочленов «уголком » .

Пример. .

Отсюда следует, что .

Поэтому интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и интегрированию рациональной дроби.

Интеграл от многочлена равен по свойствам линейности интеграла сумме произведений интегралов от степенных функций на постоянные коэффициенты. Интеграл от степенной функции легко вычислить по таблице интегралов.

Разложение рациональной дроби на элементарные.

Полином – знаменатель рациональной дроби может иметь действительный корень некоторой — ой кратности. Тогда , где многочлен уже не имеет корня . В этом случае из рациональной дроби можно выделить элементарную рациональную дробь вида .

Лемма 2. Пусть — действительный корень — ой кратности полинома – знаменателя рациональной дроби. Тогда

= , где многочлен уже не имеет корня .

Доказательство. Приведем дроби к общему знаменателю и приравняем числители полученных дробей.

. Тогда выражение должно делиться на , т.е. . Этого можно добиться, выбрав .

Следствие 1. В условиях леммы 2 рациональную дробь можно представить в виде

где не имеет корня .

Доказательство. Применим лемму 2 раз и получим указанное разложение.

Полином – знаменатель рациональной дроби может иметь пару комплексно сопряженных корней — ой кратности. Тогда Причем уже не являются корнями полинома . В этом случае из рациональной дроби тоже можно выделить некоторую элементарную рациональную дробь вида .

Лемма 3. Пусть – знаменатель рациональной дроби имеет пару комплексно сопряженных корней — ой кратности. Тогда рациональную дробь можно представить в виде

= , где уже не являются корнями полинома .

Доказательство. Приведем дроби к общему знаменателю и приравняем числители полученных дробей.

=. должно делиться как на , так и на . Поэтому

, где =, =

Отсюда имеем систему уравнений для определения констант

Определитель этой системы равен , так как корни комплексные и . Поэтому система имеет единственное решение.

Следствие 2. В условиях леммы 2 рациональную дробь можно представить в виде

= ++ …++ ,

где уже не являются корнями полинома .

Доказательство. Применяем лемму 3 нужное число раз и получаем искомое разложение.

Теорема. Рациональная функция может быть представлена в виде

=++…+ +…+++ …++ …+,

где — простой действительный корень , — действительный корень кратности , — пара комплексно сопряженных корней кратности (комплексно сопряженные корни ), — простая пара комплексно сопряженных корней (корни ).

Доказательство. Применяем к рациональной функции лемму 1, выделяем полином – целую часть , затем по лемме 2, выделяем члены разложения, соответствующие простым и кратным действительным корням. Затем по лемме 3 выделяем члены разложения, соответствующие простым и кратным парам комплексно сопряженных корней. Так как многочлен может иметь корни лишь перечисленных типов, то разложение этим и исчерпывается.

Следствие 3. Задача интегрирования рациональной функции сводится к задачам интегрирования элементарных рациональных дробей четырех типов

1) , 2) , 3) , 4).

Способы вычисления коэффициентов при разложении рациональной дроби на элементарные.

Пример.

Теперь надо приравнивать многочлены в числителях дробей и определять неизвестные коэффициенты A, B, M, N, P, Q.

Это можно сделать двумя способами.

1 способ – приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях переменной, составлять и решать систему уравнений.

X⁵| 3=A+B+M

X⁴| 1=A-B+N

X³| 7=2A+2B+P

X²| 2=2A-2B+Q Решение системы A=2, B=1, M=N=Q=0, P=1.

X |2=A+B-N-P

1 |1=A-B-N-Q

2 способ – задавать значения неизвестной, вычислять значения числителей и составлять систему уравнений.

X=1 | 16=8A

X= -1| -8=-8B

X=0 | 1=A-B-N-P

X=2 | 181=75A-25B+30M+15N+6P+3Q

X=-2 | -96= -25A-75B-30M+15N-6P+3Q

X=-3 | -824= -200A –400B-240M –80N –24P+8Q

Решая эту систему уравнений, получим то же решение A=2, B=1, M=N=Q=0, P=1.

Какой способ применять – зависит от того, где получается более простая и удобная для решения система уравнений.

В данном примере вторая система сложнее первой.

Интегрирование элементарных рациональных дробей четырех типов.

1) ,

3) =

(пример рассмотрен во второй лекции). Для того, чтобы вычислить интеграл от дроби в п.3, достаточно в соответствующем примере второй лекции обозначить коэффициенты другими буквами.

4) ==

, где .

Вычислим интеграл .

По этой рекуррентной формуле можно последовательно вычислять интегралы при различных , предварительно вычислив

Таким образом, показано, что все четыре типа элементарных рациональных дробей интегрируемы. Следовательно, класс рациональных функций представляет собой класс интегрируемых функций.

При интегрировании конкретных рациональных функций выделяют целую часть и раскладывают рациональную дробь на элементарные. Затем интегрируют элементарные рациональные дроби.

Пример.

Составляем и решаем систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов (первый способ определения коэффициентов)

Получим

Можно воспользоваться и вторым способом определения коэффициентов.

X=0 | -1 = B-A-C

X=1 | 4 = A+B+2B+C+B-A-C= 4B

X=-1| -2 = A+B-2B-C+B-A-C= -2C. Отсюда C=1, B=1, A=1.

Ещё посмотрите лекцию «Критерии качества интерфейса (продолжение)» по этой теме.

Вторая система проще, чем первая.

Теперь интегрируем сумму элементарных дробей.

Метод Остроградского.

Если знаменатель рациональной дроби содержит пары комплексно сопряженных корней большой кратности, то удобно применять метод Остроградского. Он состоит в следующем: вычисляют . Затем интеграл представляют в виде

, где степень на единицу меньше степени , а степень на единицу меньше степени . Коэффициенты полиномов , определяются при дифференцировании левой и правой частей и приравнивания коэффициентов при равных степенях x.

Интеграция рациональных функций

Напомним, что рациональная функция представляет собой отношение двух многочленов P ( x )/ Q ( x ).

Будем считать, что у нас есть правильная рациональная функция, в которой степень числителя меньше степени знаменателя.

Чтобы преобразовать неправильную рациональную функцию в правильную, мы можем использовать длинное деление:

\[\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} = F\left( x \right) + \frac{{R\left( x \right) )}}{{Q\влево( x \вправо)}},\]

, где F ( x ) — многочлен, P ( x )/ Q ( x ) — правильная рациональная функция.

Чтобы проинтегрировать правильную рациональную функцию, мы можем применить метод частичных дробей.

Этот метод позволяет превратить интеграл сложной рациональной функции в сумму интегралов более простых функций.

Знаменатели неполных дробей могут содержать неповторяющиеся линейные множители, повторяющиеся линейные множители, неповторяющиеся неприводимые квадратичные множители и повторяющиеся неприводимые квадратичные множители. 92} + 2x + 1}}}.\]

Пример 1.

Найдите интеграл \[\int {\frac{{x + 2}}{{x — 1}} dx}.\]

Раствор.

Поскольку рациональная дробь в подынтегральном выражении неправильная, мы выполняем деление в большую сторону, чтобы получить

\[\frac{{x + 2}}{{x — 1}} = 1 + \frac{3}{{x — 1}}. \]

Теперь мы можем легко вычислить интеграл:

\[\int {\frac{{x + 2}}{{x — 1}}dx} = \int {\left( {1 + \frac{3}{{x — 1}}} \right) dx} = \ int {dx} + 3 \ int {\ frac {{dx}} {{x — 1}}} = x + 3 \ ln \ left | {х — 1} \право| + С.\] 92} — 9}} = \frac{{2x + 3}}{{\left( {x — 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{A}{{ х — 3}} + \frac{B}{{х + 3}}.\]

Приравнять коэффициенты:

\[А\влево( {х + 3} \вправо) + В\влево( {х — 3} \вправо) = 2х + 3,\;\; \Стрелка вправо Ax + 3A + Bx — 3B = 2x + 3,\;\; \стрелка вправо \влево( {A + B} \вправо)x + 3A — 3B = 2x + 3.\]

Следовательно,

\[ \left\{ \begin{массив}{l} А + В = 2\\ 3А — 3В = 3 \end{массив} \right.,\;\; \Правая стрелка \left\{ \begin{массив}{l} А = \ гидроразрыва {3} {2} \\ B = \ гидроразрыва {1} {2} \end{массив} \right..\] 92}}}{2} — x — \ln \left| {х + 1} \право| + С.\]

Пример 5.

Найдите интеграл \[\int {\frac{{dx}}{{\left( {2x — 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}}.\ ]

Раствор.

Сначала разложим подынтегральную функцию:

\[\frac{1}{{\left( {2x — 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{A}{{2x — 1}} + \frac {В}{{х + 3}}.\]

Определить коэффициенты $A$ и $B:$

\[1 = A\влево( {x + 3} \вправо) + B\влево( {2x — 1} \вправо),\]

\[1 = Ах + 3А + 2Вх — В,\]

\[1 = \влево( {A + 2B} \вправо)x + \влево( {3A — B} \вправо).\]

Получаем следующую систему:

\[\left\{ \begin{массив}{l} А + 2В = 0\\ 3А — В = 1 \end{массив} \right.,\;\; \стрелка вправо \влево\{ \begin{массив}{l} А + 2\влево({3А — 1}\вправо) = 0\\ В = 3А — 1 \end{массив} \right.,\;\; \стрелка вправо \влево\{ \begin{массив}{l} 7А — 2 = 0\\ В = 3А — 1 \end{массив} \right.,\;\; \стрелка вправо \влево\{ \begin{массив}{l} А = \ гидроразрыва {2} {7} \\ В = — \фракция{1}{7} \end{массив} \right..\]

Таким образом, разложение на неполные дроби имеет вид

\[\frac{1}{{\left( {2x — 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{2}{{7\left( {2x — 1 } \right)}} — \frac{1}{{7\left( {x + 3} \right)}}. \]

Исходный интеграл записывается в виде суммы двух более простых интегралов:

\[I = \int {\frac{{dx}}{{\left({2x — 1} \right)\left({x + 3} \right)}}} = \frac{2}{7 }\int {\frac{{dx}}{{2x — 1}}} — \frac{1}{7}\int {\frac{{dx}}{{x + 3}}} .\]

Интеграция выходов: 92} — 9}} = \ frac {x} {{\ left ( {x — 3} \ right) \ left ( {x + 3} \ right)}} = \ frac {A} {{x — 3} } + \frac{B}{{x + 3}}.\]

Рассчитать неизвестные коэффициенты:

\[x = A\left( {x + 3} \right) + B\left( {x — 3} \right),\]

\[х = Ах + 3А + Вх — 3В,\]

\[x = \left( {A + B} \right)x + \left( {3A — 3B} \right).\]

Отсюда

\[\left\{ \begin{массив}{l} А + В = 1\\ 3А — 3В = 0 \end{массив} \right.,\;\; \стрелка вправо \влево\{ \begin{массив}{l} А + В = 1\\ А — В = 0 \end{массив} \right.,\;\; \стрелка вправо \влево\{ \begin{массив}{l} А = \ гидроразрыва {1} {2} \\ B = \ гидроразрыва {1} {2} \end{массив} \right..\] 92}}}} = \ln \left| {х + 1} \право| + \frac{1}{{x + 1}} + C. \]

Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

7.4: Интегрирование рациональных функций с помощью дробей

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 4486

Цели обучения

Интегрировать рациональную функцию, используя метод частных дробей.
Распознавать простые линейные множители рациональной функции.
Распознать повторяющиеся линейные множители в рациональной функции.
Распознавать квадратичные множители рациональной функции.

Мы рассмотрели несколько методов, позволяющих интегрировать определенные рациональные функции. Например, мы знаем, что 92−x−2}\nonumber \]

в виде выражения, такого как

\[ \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x−2}. \nonumber \]

Ключом к методу разложения на неполные дроби является возможность предвидеть форму, которую примет разложение рациональной функции. Как мы увидим, эта форма предсказуема и сильно зависит от факторизации знаменателя рациональной функции. Также чрезвычайно важно иметь в виду, что разложение на неполные дроби может быть применено к рациональной функции $ \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ только в том случае, если $ deg(P(x))< град(Q(x))$. В случае, когда $ deg(P(x))≥deg(Q(x))$, мы должны сначала выполнить деление в длину, чтобы переписать частное $ \dfrac{P(x)}{Q(x)} $ в виде $ A(x)+\dfrac{R(x)}{Q(x)}$, где \( deg(R(x))

Посетите этот веб-сайт для ознакомления с делением многочленов в длину.

Упражнение $\PageIndex{1}$

Оценка

\[ \int \dfrac{x−3}{x+2}\,dx. \номер\]

Подсказка: Используйте длинное деление, чтобы получить $ \dfrac{x−3}{x+2}=1−\dfrac{5}{x+2}. \nonumber $

Ответить: \[ x−5\ln |x+2|+C \не число \]

Для интегрирования $\displaystyle \int \dfrac{P(x)}{Q(x)}\,dx$, где \( deg(P(x))

Неповторяющиеся линейные множители

Если $ Q(x)$ можно разложить на множители как $ (a_1x+b_1)(a_2x+b_2)…(a_nx+b_n)$, где каждый линейный множитель различен, то можно найти константы $ A_1,A_2,…A_n$, удовлетворяющие

\[ \dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{a_1x+b_1}+\dfrac{A_2 }{a_2x+b_2}+⋯+\dfrac{A_n}{a_nx+b_n}. \label{eq:7.4.1} \] 92−2x=x(x−2)(x+1)\). Таким образом, существуют константы $A$, $B$ и $C$, удовлетворяющие уравнению \ref{eq:7. 4.1} такие, что

\[ \dfrac{3x+2}{x( x−2)(x+1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-2}+\dfrac{C}{x+1}. \nonumber \]

Теперь мы должны найти эти константы. Для этого начнем с получения общего знаменателя справа. Таким образом,

\[ \dfrac{3x+2}{x(x−2)(x+1)}=\dfrac{A(x−2)(x+1)+Bx(x+1)+Cx (х-2)}{х(х-2)(х+1)}. \nonumber \]

Теперь приравняем числители друг к другу, получив 92+(-А+В-2С)х+(-2А). \nonumber \]

Приравнивание коэффициентов дает систему уравнений

\[\begin{align*} A+B+C &=0 \\[4pt] −A+B−2C &= 3 \\[4pt] −2А &=2. \end{align*}\]

Чтобы решить эту систему, мы сначала заметим, что $ −2A=2⇒A=−1.$ Подстановка этого значения в первые два уравнения дает нам систему

$ B +C=1$

$B−2C=2$.

Умножение второго уравнения на $ −1$ и добавление полученного уравнения к первому дает

$−3C=1,$

, что, в свою очередь, означает, что $C=−\dfrac{1}{3}$. Подстановка этого значения в уравнение $B+C=1$ дает $B=\dfrac{4}{3}$. Таким образом, решение этих уравнений дает $A=-1, B=\dfrac{4}{3}$ и $C=-\dfrac{1}{3}$.

Важно отметить, что система, полученная этим методом, непротиворечива тогда и только тогда, когда мы правильно установили декомпозицию. Если система противоречива, в нашей декомпозиции есть ошибка.

Вторая стратегия: метод стратегического замещения

Метод стратегической замены основан на предположении, что мы правильно настроили декомпозицию. Если разложение настроено правильно, то должны быть значения $A, B,$ и $C$, которые удовлетворяют уравнению $\ref{Ex2Numerator}$ для всех значений $x$. То есть это уравнение должно быть истинным для любого значения $х$, которое мы хотим подставить в него. Следовательно, тщательно выбирая значения $x$ и подставляя их в уравнение, мы можем легко найти $A, B$ и $C$. Например, если мы подставим $x=0$, уравнение сведется к $2=A(−2)(1)$. Решение для $A$ дает $A=−1$. Затем, подставив $x=2$, уравнение сводится к $8=B(2)(3)$ или, что то же самое, $B=4/3$. 2−2x}\,dx=\int \left(−\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{3}⋅\dfrac{1}{x−2}−\dfrac{1}{3 }⋅\dfrac{1}{x+1}\right)\,dx. \номер\] 92x−\sin x}\,dx=−\ln |u|+\ln |u−1|+C=−\ln |\sin x|+\ln |\sin x−1|+C. \nonumber \]

Упражнение $\PageIndex{2}$

Вычислить $\displaystyle \int \dfrac{x+1}{(x+3)(x−2)}\,dx.$

Подсказка: \[ \dfrac{x+1}{(x+3)(x−2)}=\dfrac{A}{x+3}+\dfrac{B}{x−2} \nonumber \]

Ответить: \[ \dfrac{2}{5}\ln |x+3|+\dfrac{3}{5}\ln |x−2|+C \nonumber \]

Общий метод

Теперь, когда мы начинаем понимать, как работает метод разложения на неполные дроби, давайте наметим основной метод в следующей стратегии решения задач.

Стратегия решения задач: разложение дробей

Чтобы разложить рациональную функцию $ P(x)/Q(x)$, выполните следующие действия:

Убедитесь, что \( deg(P(x) )
Разложить $Q(x)$ на произведение линейных и неприводимых квадратичных множителей. Неприводимый квадратик — это квадратик, не имеющий действительных нулей.
Предполагая, что \( deg(P(x))

Если $Q(x)$ можно разложить на множители как $ (a_1x+b_1)(a_2x+b_2)…(a_nx+b_n)$, где каждый линейный множитель различен, то можно найти константы $ A_1,A_2,…A_n$, удовлетворяющих \[ \dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{a_1x+b_1}+\dfrac{A_2}{a_2x+b_2 }+⋯+\dfrac{A_n}{a_nx+b_n}.

\номер\] 92}\) и оси x на интервале $[0,1]$ относительно оси y .

Решение

Начнем с наброска области вращения (см. рисунок $\PageIndex{1}$). Из скетча мы видим, что метод оболочки — хороший выбор для решения этой задачи.

Рисунок $\PageIndex{1}$: Мы можем использовать метод оболочки, чтобы найти объем вращения, полученный путем вращения показанной области вокруг оси $y$.

Объем дается 92} \номер \]

Ключевые понятия

Разложение на неполные дроби — это метод, используемый для разложения рациональной функции на сумму простых рациональных функций, которые можно интегрировать с помощью ранее изученных методов.
Применяя разложение на неполные дроби, мы должны следить за тем, чтобы степень числителя была меньше степени знаменателя. Если нет, нам нужно выполнить длинное деление, прежде чем пытаться разложить частичную дробь.
Форма разложения зависит от типа множителей в знаменателе. Типы факторов включают неповторяющиеся линейные факторы, повторяющиеся линейные факторы, неповторяющиеся неприводимые квадратичные факторы и повторяющиеся неприводимые квадратичные факторы.

Глоссарий

разложение на неполные дроби: метод, используемый для разложения рациональной функции на сумму простых рациональных функций

Наверх

Была ли эта статья полезной?

Тип изделия
Раздел или страница
Показать страницу Содержание
нет
Включено
да
Теги

Интеграция рациональных функций | Brilliant Math & Science Wiki

Содержание

Метод частичной дроби
Основные примеры
Промежуточные примеры
uuu-подстановочный подход

Этот подход предполагает, что вы можете разложить знаменатель на линейные и квадратичные члены с действительными коэффициентами. Следовательно, он не будет работать в случаях, когда факторизация неизвестна. Обратитесь к разделу «Частичные дроби», если вы не знакомы с этим процессом.

Сначала мы выполняем частичные дроби над f(x)g(x) \frac{f(x)} {g(x)} g(x)f(x), чтобы преобразовать его в многочлен остатка, а также линейный и квадратичный знаменатели. У нас есть 9{n_j} } \right). g(x)f(x)=r(x)+∑((x−ai)niki)+∑(((x−bj)2+cj2)njljx+ мж).

Тип 1: полином остатка r(x) r(x) r(x)

Поскольку это полином, мы знаем, как его интегрировать.

Тип 2a: 1x−a \frac{1}{ x -a } x−a1, линейный член в первой степени

Из производных логарифмических функций мы знаем, что −a\frac{d}{dx} \ln |x — a| = \frac{1}{ x — a }dxdln∣x−a∣=x−a1. Имеем ∫1x−a dx=ln⁡∣x−a∣+C \int \frac{1}{ x-a } \, dx = \ln |x-a| + C ∫x−a1dx=ln∣x−a∣+C. 9{n-1}} \, дх + С. \end{массив} ∫(x2+bx+c)n1dx∫(x2+bx+c)nxdx=(n−1)(4c−b2)(x2+bx+c)n−12x+ b+(n−1)(4c−b2)(2n−3)2∫(x2+bx+c)n−11dx+C=−(n−1)(4c−b2)(x2+ bx+c)n−1bx+2c−(n−1)(4c−b2)b(2n−3)∫(x2+bx+c)n−11dx+C.

Наилучший способ чтобы понять, как это работает, нужно проработать несколько примеров, чтобы увидеть, как работать с каждым из этих типов.

Мы начнем с нескольких основных примеров, в которых используется только один тип дробей. Их относительно легко решить.

92 -1 = (x-1)(x+1) x2-1=(x-1)(x+1) и частичные дроби дают
2x(x−1)(x+1)=1x+1+1x−1. \frac{2x}{ (x-1)(x+1) } = \frac{ 1}{x+1} + \frac{1}{x-1} . (x−1)(x+1)2x=x+11+x−11.
Мы интегрируем каждый термин отдельно как тип 2а, чтобы получить
∫2x(x−1)(x+1) dx=∫1x+1 dx+∫1x−1 dx=ln⁡∣x+1∣+ln⁡∣x−1∣+C. □ \begin{выровнено} \int \frac{2x}{ (x-1)(x+1) } \, \mathrm dx & = \int \frac{ 1}{x+1} \, \mathrm dx + \int \frac{1}{x-1} \, \mathrm dx \\ & = \ln \влево|x+1\вправо| + \ln \влево|x-1\вправо| + С.\ _\квадрат \end{выровнено} ∫(x−1)(x+1)2xdx=∫x+11dx+∫x-11dx=ln∣x+1∣+ln∣x-1∣+C. □ 93 + 1}x3+11 непрерывно от 000 до ∞\infty∞, поэтому мы можем использовать основную теорему исчисления. Чтобы вычислить определенный интеграл, мы вычислим неопределенный интеграл при x=0x = 0x=0 и ∞\infty∞.
При x=0x = 0 x=0 первые два члена становятся ln⁡1,\ln 1,ln1, что равно нулю. Третий член равен 13arctan⁡−13=13⋅−π6=−π63\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\frac{-1}{\sqrt{3}} =\frac{1}{ \sqrt{3}} \cdot \frac{ — \pi} {6} = — \frac{\pi}{6 \sqrt{3}}31arctan3−1=31⋅6 −π=−63π.
93 + 1 } \, dx = \frac{ \pi } { 2\sqrt{3} } — \frac{ -\pi } { 6 \sqrt{3} } = \frac{ 2 \pi } {3 \sqrt {3} } = \frac{ 2 \sqrt{3} \pi } { 9 }.\ _\square ∫0∞x3+11dx=23π−63−π=332π =923π. □

(А), (В) и (С) (А), (В), (С) и (D) (А), (В) и (Г) (А) и (С) (А), (С) и (D) (А) и (Г) (Б) и (С) (Б), (С) и (Г) 9{ 2 }+2x+2) } } dx Y=∫01(x+1)(x2+2x+2)2×2+3x+3dx

Какие из следующих вариантов равны Y?Y?Y ?

(A) π4+2log⁡2−arctan⁡2\ \frac { \pi }{ 4 } +2\log2-\arctan { 2 } 4π+2log2−arctan2

(B) π4+2log⁡2 −arctan⁡13\ \frac { \pi }{4} +2\log2-\arctan {\frac{1}{3}} 4π+2log2−arctan31

(D) −π4+log⁡4+arccot 2\ -\frac{\pi}{4}+\log4+\text{arccot 2} − 4π+log4+arccot 2

Метод частичной дроби сильно зависит от предположения, что мы можем разложить знаменатель на линейные и квадратичные члены. Иногда это нехорошо или не дает хорошего результата. В таких случаях мы должны попробовать uuu-подстановку.

Напомним, что мы используем uuu-подстановку, когда интеграл имеет следующий вид:

∫g(f(x))⋅f′(x) dx,\int g\big(f(x)\big) \ cdot f'(x) \, dx,∫g(f(x))⋅f'(x)dx,

, где ggg легко интегрируется. Подставим u=f(x)u = f(x)u=f(x) и получим du=f′(x) dx du = f'(x) \, dxdu=f′(x)dx. Интегрирование упрощается до ∫g(u) du\int g(u) \, du∫g(u)du, что легко вычислить. Давайте рассмотрим несколько примеров, которые сложно решить с помощью метода неполных дробей, но которые очень легко решить с помощью uuu-подстановки. 9c}∫(x7+x2+1)37×13+5×15dx=a1⋅(x7+x2+1)cxb

Учитывая, что приведенный выше неопределенный интеграл верен, каково значение a+b+c, a +b+c, a+b+c, где a,b, и ca,b,\text{ и }ca,b, и c – положительные целые числа?

Процитировать как: Интеграция рациональных функций. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant. org/wiki/integration-of-rational-functions-easy/

Интегрирование рациональной функции с квадратичным знаменателем

Шаблон:Стратегия интеграции конкретного функционального класса

Содержимое

1 Сокращение
- 1.1 Сведение к случаю, когда числитель имеет меньшую степень, чем знаменатель
- 1.2 Приведение к унитарному знаменателю
2 Неопределенная интеграция для правильной дроби с единым знаменателем
- 2.1 Краткое изложение дел
- 2.2 Случай, когда знаменатель имеет различные линейные множители
- 2.3 Случай, когда знаменатель повторяет линейные множители
- 2.4 Случай, когда знаменатель имеет отрицательный дискриминант
3 Определенная интеграция
- 3.1 Случай, когда знаменатель имеет различные линейные множители
- 3.2 Случай, когда знаменатель повторяет линейные множители
- 3.3 Случай, когда знаменатель имеет отрицательный дискриминант
4 примера
- 4. 1 Примеры уменьшенного корпуса
5 Частные дроби и интерпретация линейной алгебры
- 5.1 Чемодан уменьшенной формы
- 5.2 Общий случай
6 Повторная антидифференцировка
7 Вариационный анализ

Приведение

Приведение к случаю, когда числитель имеет меньшую степень, чем знаменатель

Для получения дополнительной информации см. Преобразование рациональной функции из неправильной дроби в форму смешанной дроби

Чтобы получить ситуацию, когда числитель имеет меньшую степень, чем знаменатель, мы выполняем евклидово деление и, следовательно, переписываем рациональную функцию как сумму многочлена и рациональной функции, которая находится в правильная дробь формы, т. е. числитель имеет меньшую степень, чем знаменатель. Полиномиальное слагаемое интегрируется почленно с использованием правила интегрирования степенных функций. Таким образом, мы вынуждены обращаться с правильной дробью. Но не забудьте добавить первообразную для многочлена к вашему окончательному ответу!

Приведение к случаю унитарного знаменателя

Если старший коэффициент (т. е. коэффициент при высшей степени) в знаменателе не равен 1, старший коэффициент может быть вынесен как постоянный множитель из знаменателя и, следовательно, из интеграция. Таким образом, мы можем выполнить интегрирование со старшим коэффициентом 1 для многочлена знаменателя (такой многочлен называется моническим многочленом). Но не забудьте сохранить эту константу снаружи и умножить ее, чтобы получить окончательный ответ!

Неопределенная интеграция для правильной дроби с единым знаменателем

Резюме случаев

Мы предполагаем, что мы выполнили описанные выше сокращения. Таким образом, рассмотрим интегрирование вида:

Обратите внимание, что это произвольные константы. Они могут быть нулевыми или ненулевыми.

Знаменатель Знаменатель

Знак дискриминанта	Качественное описание случая	Первообразная (мы опускаем +C для экономии места)	Функции, линейная комбинация которых дает первообразную (зависит от только в знаменателе)	Описание новых констант в терминах
положительный	имеет различные корни множителей как
ноль	повторяет корень множителей как
отрицательный	знаменатель имеет вид с

Случай, когда знаменатель имеет различные линейные множители

UPSHOT : Первообразная в этом случае выражается как линейная комбинация с постоянными коэффициентами натуральных логарифмов абсолютных значений линейных множителей.

Это относится к общему случаю интегрирования рациональной функции, знаменатель которой имеет различные линейные множители

Формула интегрирования:

Обратите внимание, что и можно определить из квадратичной формулы для корней квадратного многочлена. В частности, если многочлен в знаменателе равен , мы имеем:

Вот подробности получения формулы:

[ПОКАЗАТЬ БОЛЬШЕ]

Случай, когда знаменатель повторяет линейные множители

UPSHOT : Первообразная в этом случае представляет собой константу, деленную на линейный множитель плюс константу, умноженную на натуральный логарифм линейного множителя.

Формула интегрирования:

Если знаменатель имеет вид , то этот случай возникает тогда и только тогда, когда мы имеем .

Вот как получается формула: [ПОКАЗАТЬ БОЛЬШЕ]

Случай, когда знаменатель имеет отрицательный дискриминант

UPSHOT : Первообразная в этом случае представляет собой константу, умноженную на функцию арктангенса, плюс константу, умноженную на натуральный логарифм абсолютного значения. квадратичного.

У нас есть:

Учитывая знаменатель в форме , его можно переписать как где:

Вот как получается формула: [ПОКАЗАТЬ БОЛЬШЕ]

Определенное интегрирование

Здесь мы обсуждаем только редуцированный случай неопределенного интегрирования.

Случай, когда знаменатель имеет различные линейные множители

Используя те же обозначения, что и для неопределенного интегрирования, мы имеем интегрирование в форме:

Первообразная:

где, если квадратное число в знаменателе изначально равно:

Подынтегральная функция не определена в точках . Фактически область определения функции представляет собой объединение трех отдельных открытых интервалов: , , и .

Общая первообразная для функции на всех интервалах может иметь разные значения константы на каждом интервале.

Кроме того, мы можем опустить знаки абсолютного значения и уточнить входные данные для s в каждом интервале:

Интервал	Первообразная на интервале

Интеграл может быть вычислен, чтобы дать конечное числовое значение на любом интервале правильно содержал полностью внутри одного из этих интервалов. Обратимся теперь к вопросу, можем ли мы вычислить несобственных интегралов, т. е. интегралов, у которых одним из пределов является одно из значений .

Ответ следующий:

Несобственный интеграл, продолжающийся до, будет конечным только , если . Обратите внимание, что если бы это было так, рациональная функция не была бы приведенной, т. Е. Между числителем и знаменателем был бы общий множитель. На самом деле, в этом случае исходная рациональная функция имела бы устранимых разрывов в точке .
Несобственный интеграл, продолжающийся до, будет конечным только , если . Обратите внимание, что если бы это было так, рациональная функция не была бы приведенной, т. Е. Между числителем и знаменателем был бы общий множитель. На самом деле, в этом случае исходная рациональная функция имела бы съемный разрыв в .
Несобственный интеграл, продолжающийся до, будет конечным только , если , поэтому числитель постоянный. Это согласуется с тестом разницы градусов. Для приведенной выше первообразной предельное значение at равно 0,
Несобственный интеграл, продолжающийся до, будет конечным только , если , поэтому числитель постоянный. Это согласуется с тестом разницы градусов. Для приведенной выше первообразной предельное значение at равно 0,

Случай, когда знаменатель повторяет линейные множители

Используя те же обозначения, что и для неопределенного интегрирования, мы пытаемся выполнить интегрирование:

Первообразная:

где — произвольная константа. Далее, если знаменатель изначально был , то и .

Областью определения подынтегральной функции являются все действительные числа, кроме . Таким образом, это объединение открытых интервалов и . На каждом из интервалов можно однозначно определить знак , поэтому первообразную можно записать более однозначно:

Интервал	Первообразная на интервале

Таким образом, для любого интервала, полностью содержащегося в одной из двух частей, мы можем вычислить определенный интеграл, используя приведенное выше. Рассмотрим теперь вопрос о несобственных интегралах, т. е. интегралах, у которых один из концов интегрирования входит в число:

нельзя использовать в качестве конечной точки ни при каких обстоятельствах, т. е. любой несобственный интеграл, оканчивающийся на, будет бесконечным.
в качестве конечной точки дает конечный интеграл тогда и только тогда, когда . Это согласуется с тестом разницы градусов. Предел первообразной выше at равен 0,
в качестве конечной точки дает конечный интеграл тогда и только тогда, когда . Это согласуется с тестом разницы градусов. Предел первообразной выше в равен 0.

Случай, когда знаменатель имеет отрицательный дискриминант

Мы пытаемся выполнить интегрирование:

Первообразная:

Учитывая знаменатель в форме, его можно переписать как где:

Подынтегральная функция, а также ее первообразная определены для всех действительных чисел. В частности, имеет смысл взять определенный интеграл по любому конечному интервалу и получить конечный ответ. Теперь рассмотрим несобственные интегралы:

допустимо в качестве конечной точки для интегрирования тогда и только тогда. Это согласуется с тестом разницы градусов. В этом случае предел первообразной выше .
допустимо в качестве конечной точки для интеграции, если и только если. Это согласуется с тестом разницы градусов. В этом случае предел первообразной выше .

В частности, если , мы можем проинтегрировать функцию по всей прямой и получить конечный ответ. Это ответ.

Примеры

Примеры сокращенного случая

Рассмотрим задачу интегрирования:

Вот как мы могли бы сделать это непосредственно с точки зрения формулы: [ПОКАЗАТЬ БОЛЬШЕ]

В качестве альтернативы, вместо непосредственного использования формулы, мы можем проследить этапы ее вывода, чтобы получить первообразную: [ПОКАЗАТЬ БОЛЬШЕ]

Частные дроби и интерпретация линейной алгебры

Случай сокращенной формы

Заполните это позже — что-то Здесь речь идет о выборе базисных функций для частичных функций, соответствующих первообразных, имеющих дело с двумерным векторным пространством во всех трех случаях, но выбор базисных функций, которые мы используем, различается в разных случаях.

Общий случай

Заполните это позже — что-то о том, что ответ является многочленом + что-то для случая сокращенной формы.

Повторное антидифференцирование

Приведенные выше стратегии можно применять для вычисления старших первообразных рациональных функций с квадратичным знаменателем. Ключевая идея, используемая для доказательства более общего наблюдения о том, что рациональные функции могут многократно интегрироваться внутри элементарно выразимых функций, состоит в следующем следствии интегрирования по частям, полученном путем взятия 1 в качестве части для интегрирования в левостороннем внешнем интегрировании:

Здесь важно отметить, что поскольку имеет квадратичный знаменатель, то и . Особенно:

Двойное интегрирование Интегрирование обоих и , которые являются рациональными функциями с квадратичным знаменателем.

Аналогично,

Время интегрирования Интегрирование рациональных функций

В частности, это означает, что общее выражение для первообразной представляет собой полином плюс линейную комбинацию двух базисных функций первообразной, которые зависят от только в знаменателе. 2+bx+c$. 93\over (x-2)(x+3)}\,dx=\int x-1\,dx +\int {7x-6\over (х-2)(х+3)}\,дх. $$ Первый интеграл прост, поэтому только второй требует некоторой работы. $\квадрат$

Теперь рассмотрим следующую простую алгебру дробей: $$ {A\над xr}+{B\над xs}={A(xs)+B(xr)\over (xr)(xs)}= {(A+B)x-As-Br\over (x-r)(x-s)}. $$ То есть сложение двух дробей с постоянными числителем и знаменателем $(x-r)$ и $(x-s)$ дают дробь со знаменателем $(x-r)(x-s)$ и многочлен степени меньше 2 для числителя. Мы хотим обратить этот процесс вспять: начиная с одной дроби, мы хотим запишите его в виде суммы двух простых дробей. Пример должен сделать это понятно как поступить. 93\over (x-2)(x+3)}\,dx$. Мы начинаем с записав $\ds{7x-6\over (x-2)(x+3)}$ как сумму двух дробей. Мы хочу закончить с $${7x-6\over (x-2)(x+3)}={A\over x-2}+{B\over x+3}.$$ Если мы продолжим и добавим дроби в правой части, мы получим $${7x-6\over (x-2)(x+3)}={(A+B)x+3A-2B\over (x-2)(x+3)}.$$ Итак, все, что нам нужно сделать, это найти $A$ и $B$ так, чтобы $7x-6=(A+B)x+3A-2B$, то есть нам нужно $7=A+B$ и $-6=3A-2B$. 2\over 2}-x+{8\over5}\ln |x-2|+{27\over5}\ln|x+3|+C.\cr }$$ $\квадрат$ 92+3x}\,dx$ (отвечать)

Исчисление II. Частичные дроби

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-4: Частичные дроби 92} — x — 6}}\,dx}} & = \int{{\frac{4}{{x — 3}}\, — \frac{1}{{x + 2}}dx}}\ \ & = 4\ln \влево| {х — 3} \право| — \лн\влево| {х + 2} \право| + с\конец{выравнивание*}\]

Этот процесс взятия рационального выражения и разложения его на более простые рациональные выражения, которые мы можем складывать или вычитать, чтобы получить исходное рациональное выражение, называется разложением на частичные дроби . Многие интегралы, включающие рациональные выражения, могут быть получены, если мы сначала возьмем частичные дроби под интегралом.

Итак, давайте проведем краткий обзор частичных дробей. Мы начнем с рационального выражения в форме

. \[f\left( x \right) = \frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}\]

, где оба $P\left( x \right)$ и $Q\left( x \right)$ являются полиномами, а степень $P\left( x \right)$ меньше, чем степень $Q\left( x \right)$. Напомним, что степень многочлена — это наибольший показатель степени многочлена. Частичные дроби можно делать только в том случае, если степень числителя строго меньше степени знаменателя. Это важно помнить.

Итак, как только мы определили, что частичные дроби можно делать, мы максимально полно разложим знаменатель. Затем для каждого фактора в знаменателе мы можем использовать следующую таблицу, чтобы определить члены, которые мы выбираем при разложении частичной дроби. 2} — x — 6}}\,dx}}\]

Показать решение

Первый шаг — максимально разложить знаменатель на множители и получить форму разложения на неполные дроби. Выполнение этого дает,

\[\ frac{{3x + 11}}{{\left( {x — 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\, = \ frac{A}{{x — 3 }} + \frac{B}{{x + 2}}\]

Следующим шагом будет добавление правой стороны.

\[\ frac{{3x + 11}}{{\left( {x — 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\, = \ frac{{A\left( {x + 2} \right) + B\left( {x — 3} \right)}}{{\left( {x — 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]

Теперь нам нужно выбрать $A$ и $B$ так, чтобы числители этих двух были равны для каждого $x$. Для этого нам нужно установить равные числители.

\[3x + 11 = A\влево( {x + 2} \вправо) + B\влево({x — 3} \вправо)\]

Обратите внимание, что в большинстве задач мы сразу переходим от общей формы декомпозиции к этому шагу и не утруждаем себя фактическим добавлением членов обратно. Единственный смысл сложения членов состоит в том, чтобы получить числитель, и мы можем получить его, фактически не записывая результаты сложения.

На данный момент у нас есть один из двух способов продолжить. Один способ всегда будет работать, но часто больше работы. Другой, хотя и не всегда будет работать, часто работает быстрее, когда работает. В этом случае оба будут работать, поэтому мы будем использовать более быстрый способ для этого примера. Мы рассмотрим другой метод в следующем примере.

Здесь мы собираемся заметить, что числители должны быть равны для любого x , которое мы решили использовать. В частности, числители должны быть равны для $x = — 2$ и $x = 3$. Итак, давайте подключим их и посмотрим, что мы получим.

\[\begin{align*}x & = — 2 : & \hspace{0.5in}5 & = A\left( 0 \right) + B\left( { — 5} \right) & \hspace{0.25in } & \Rightarrow & \hspace{0.25in}B & = — 1\\ x & = 3 \,\,\,\,: & \hspace{0. 5in}20 & = A\left( 5 \right) + B\left( 0 \right) & \hspace{0.25in} & \Rightarrow & \hspace{0.25in}A & = 4\end{align*}\]

Таким образом, тщательно подобрав $x$, мы получили быстрое выпадение неизвестных констант. Обратите внимание, что это значения, которые, как мы утверждали, будут выше. 92} — x — 6}}\,dx}} & = \int{{\frac{4}{{x — 3}}\, — \frac{1}{{x + 2}}dx}}\ \ & = \int{{\frac{4}{{x — 3}}\,dx}} — \int{{\frac{1}{{x + 2}}dx}}\\ & = 4\ пер \ влево | {х — 3} \право| — \лн\влево| {х + 2} \право| + с\конец{выравнивание*}\]

Напомним, что для составления этого интеграла мы сначала разбили его на два интеграла, а затем использовали подстановки

\[u = x — 3\hspace{0.5in}v = x + 2\]

по интегралам, чтобы получить окончательный ответ. 92} + 4 = A\left( {x + 2} \right)\left( {3x — 2} \ right) + Bx\left( {3x — 2} \ right) + Cx\left( {x + 2 } \Правильно)\]

Как и в предыдущем примере, похоже, что мы можем просто выбрать несколько значений $x$ и найти константы, так что давайте сделаем это.

\[\begin{align*}x & = 0 \,\,\,\,\, : & \hspace{0.5in}4 & = A\left( 2 \right)\left( { — 2} \right ) & \hspace{0.5in} & \Rightarrow & \hspace{0.25in}A & = — 1\\ x & = — 2 : & \hspace{0.5in}8 & = B\left( { — 2} \ вправо)\влево( { — 8} \вправо) & \hspace{0.25in}&\Rightarrow & \hspace{0.25in}B & = \frac{1}{2}\\ x & = \frac{2} {3}\,\, : & \hspace{0,5 дюйма}\frac{{40}}{92} — 4x}}\,dx}} & = \int{{ — \frac{1}{x} + \frac{{\frac{1}{2}}}{{x + 2}} + \ frac{{\frac{5}{2}}}{{3x — 2}}\,dx}}\\ & = — \ln \left| х \ справа | + \frac{1}{2}\ln \left| {х + 2} \право| + \frac{5}{6}\ln \left| {3x — 2} \право| + с\конец{выравнивание*}\]

Опять же, как отмечалось выше, интегралы, которые генерируют натуральные логарифмы, очень распространены в этих задачах, поэтому убедитесь, что вы можете их решить. Кроме того, вы смогли правильно сделать последний интеграл, верно? Коэффициент при $\frac{5}{6}$ правильный. Убедитесь, что вы делаете замену, необходимую для термина правильно. 92}\]

Теперь есть вариант метода, который мы использовали в первых двух примерах, который будет работать здесь. Есть пара значений $x$, которые позволят нам быстро получить две из трех констант, но нет значения $x$, которое просто даст нам третью.

В этом примере мы выберем $x$, чтобы получить две константы, которые мы можем легко получить, а затем мы просто выберем другое значение $x$, с которым будет легко работать с ( т.е. он нигде не даст больших/запутанных чисел), а затем мы воспользуемся тем, что мы также знаем две другие константы, чтобы найти третью.

\[\begin{align*}x & = 0 : & \hspace{0.25in} 18 & = B\left( { — 3} \right) & \hspace{0.15in}\Rightarrow \hspace{0.25in}B & = — 6\\ x & = 3 : & \hspace{0.25in} 18 & = C\left( 9 \right) & \hspace{0.15in} \Rightarrow \hspace{0.25in}C & = 2\\ x & = 1 : & 18 & = A\left( { — 2} \right) + B\left( { — 2} \right) + C = — 2A + 14 & \hspace{0.

Интегрирование рациональных функций

Алгоритм интегрирования рациональных функций

Интегрирование рациональных дробей

Примеры интегрирования рациональных функций (дробей)

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Интегрирование рациональных дробей с примерами решения

Пример с решением 1:

Пример с решением 2:

Пример с решением 3:

Пример с решением 4:

Пример с решением 5:

Интегрирование рациональных функций

Интегрирование рациональных функций — Интегралы и дифференциальные уравнения (Математика)

Интеграция рациональных функций

Пример 1.

Пример 5.

7.4: Интегрирование рациональных функций с помощью дробей

Цели обучения

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Неповторяющиеся линейные множители

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Общий метод

Стратегия решения задач: разложение дробей

Ключевые понятия

Глоссарий

Интеграция рациональных функций | Brilliant Math & Science Wiki

Содержание

Интегрирование рациональной функции с квадратичным знаменателем

Содержимое

Приведение

Приведение к случаю, когда числитель имеет меньшую степень, чем знаменатель

Приведение к случаю унитарного знаменателя

Неопределенная интеграция для правильной дроби с единым знаменателем

Резюме случаев

Случай, когда знаменатель имеет различные линейные множители

Случай, когда знаменатель повторяет линейные множители

Случай, когда знаменатель имеет отрицательный дискриминант

Определенное интегрирование

Случай, когда знаменатель имеет различные линейные множители

Случай, когда знаменатель повторяет линейные множители

Случай, когда знаменатель имеет отрицательный дискриминант

Примеры

Примеры сокращенного случая

Частные дроби и интерпретация линейной алгебры

Случай сокращенной формы

Общий случай

Повторное антидифференцирование

Исчисление II. Частичные дроби

Раздел 1-4: Частичные дроби 92} — x — 6}}\,dx}} & = \int{{\frac{4}{{x — 3}}\, — \frac{1}{{x + 2}}dx}}\ \ & = 4\ln \влево| {х — 3} \право| — \лн\влево| {х + 2} \право| + с\конец{выравнивание*}\]

Добавить комментарий Отменить ответ