Матрица тема по высшей математике: Основы высшей математики — Матрицы — Высшая математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Содержание

Основы высшей математики - Матрицы - Высшая математика - Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Матрицы

К оглавлению...

Матрицей называют прямоугольную таблицу, заполненную числами. Важнейшие характеристики матрицы – число строк и число столбцов. Если у матрицы одинаковое число строк и столбцов, ее называют квадратной. Обозначают матрицы большими латинскими буквами.

Сами числа называют элементами матрицы и характеризуют их положением в матрице, задавая номер строки и номер столбца и записывая их в виде двойного индекса, причем вначале записывают номер строки, а затем столбца. Например, a14 есть элемент матрицы, стоящий в первой строке и четвертом столбце, a32 стоит в третьей строке и втором столбце.

Главной диагональю квадратной матрицы называют элементы, имеющие одинаковые индексы, то есть те элементы, у которых номер строки совпадает с номером столбца. Побочная диагональ идет «перпендикулярно» главной диагонали.

Особую важность представляют собой так называемые

единичные матрицы. Это квадратные матрицы, у которых на главной диагонали стоят 1, а все остальные числа равны 0. Обозначают единичные матрицы E. Матрицы называют равными, если у них равны число строк, число столбцов, и все элементы, имеющие одинаковые индексы, равны. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0. Обозначается нулевая матрица О.

Простейшие действия с матрицами

1. Умножение матрицы на число. Для этого необходимо умножить каждый элемент матрицы на данное число.

2. Сложение матриц. Складывать можно только матрицы одинакового размера, то есть имеющие одинаковое число строк и одинаковое число столбцов. При сложении матриц соответствующие их элементы складываются.

3. Транспонирование матрицы. При транспонировании у матрицы строки становятся столбцами и наоборот. Полученная матрица называется транспонированной и обозначается AT. Для транспонирования матриц справедливы следующие свойства:

4. Умножение матриц. Для произведения матриц существуют следующие свойства:

  • Умножать можно матрицы, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
  • В результате получится матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы.
  • Умножение матриц некоммутативно. Это значит, что от перестановки местами матриц в произведении результат меняется. Более того, если можно посчитать произведение A∙B, это совсем не означает, что можно посчитать произведение B∙A.
  • Пусть C = A∙B. Для определения элемента матрицы С, стоящего в i-той строке и k-том столбце необходимо взять i-тую строку первой умножаемой матрицы и k-тый столбец второй. Далее поочередно брать элементы этих строки и столбца и умножать их. Берем первый элемент из строки первой матрицы и умножаем на первый элемент столбца второй матрицы. Далее берем второй элемент строки первой матрицы и умножаем на второй элемент столбца второй матрицы и так далее. А потом все эти произведения надо сложить.

Свойства произведения матриц:

Определитель матрицы

Определителем (детерминантом)

квадратной матрицы А называется число, которое обозначается detA, реже |A| или просто Δ, и вычисляется определённым образом. Для матрицы размера 1х1 определителем является сам единственный элемент матрицы. Для матрицы размера 2х2 определитель находят по следующей формуле:

Миноры и алгебраические дополнения

Рассмотрим матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Составим квадратную матрицу из элементов, стоящих на пересечении полученных строк и столбцов. Минором матрицы А порядка s называют определитель полученной матрицы.

Рассмотрим квадратную матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Дополнительным минором к минору порядка s называют определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания данных строк и столбцов.

Алгебраическим дополнением к элементу aik квадратной матрицы А называют дополнительный минор к этому элементу, умноженный на (–1)i+k, где i+k есть сумма номеров строки и столбца элемента aik. Обозначают алгебраическое дополнение A

ik.

Вычисление определителя матрицы через алгебраические дополнения

Рассмотрим квадратную матрицу А. Для вычисления ее определителя необходимо выбрать любую ее строку или столбец и найти произведения каждого элемента этой строки или столбца на алгебраическое дополнение к нему. А дальше надо просуммировать все эти произведения.

Когда будете считать алгебраические дополнения, не забывайте про множитель (–1)i+k. Чтобы счет был более простым, выбирайте ту строку или столбец матрицы, который содержит наибольшее число нулей.

Расчет алгебраического дополнения может сводиться к расчету определителя размером более чем 2х2. В этом случае такой расчет также нужно проводить через алгебраические дополнения, и так далее до тех пор, пока алгебраические дополнения, которые нужно будет считать, не станут размером 2х2, после чего воспользоваться формулой выше.

 

Обратная матрица

К оглавлению...

Рассмотрим квадратную матрицу А. Матрица A–1 называется обратной к матрице А, если их произведения равны единичной матрице. Обратная матрица существует только для квадратных матриц. Обратная матрица существует, только если матрица А

невырождена, то есть ее определитель не равен нулю. В противном случае обратную матрицу посчитать невозможно. Для построения обратной матрицы необходимо:

  1. Найти определитель матрицы.
  2. Найти алгебраическое дополнение для каждого элемента матрицы.
  3. Построить матрицу из алгебраических дополнений и обязательно транспонировать ее. Часто про транспонирование забывают.
  4. Разделить полученную матрицу на определитель исходной матрицы.

Таким образом, в случае, если матрица А имеет размер 3х3, обратная к ней матрица имеет вид:

 

Матрицы. Вся теория и задачи с решениями или ответами

К оглавлению...

Матрицы, определители, системы линейных уравнений (Лекция №12)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером m×n записывают так

.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами aij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец,

матрицей – столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны aij = bij. Так если и , то A=B, если a11

= b11, a12 = b12, a21 = b21 и a22 = b22.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают AT.

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры

. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например,

или

Примеры. Найти сумму матриц:

  1. .
  2. - нельзя, т.к. размеры матриц различны.
  3. .

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

  1. .

Примеры.

  1. .
  2. Найти 2A-B, если , .

    .

  3. Найти C=–3A+4B.

    Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

.

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c13, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (aij) размера m×n на матрицу B = (bij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент cij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

.

Примеры.

  1. Пусть

    Найти элементы c12, c23 и c21 матрицы C.

  2. Найти произведение матриц.

    .

  3. .
  4. - нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 3-м.
  5. Пусть

    Найти АВ и ВА.

  6. Найти АВ и ВА.

    , B·A – не имеет смысла.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙BB∙A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC.

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например, если , то

.

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a11a22 – a12a21.

Определитель обозначается символом .

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

  1. .
  2. Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

.

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a11, a12, a13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

  1. .
  2. .
  3. Решите уравнение..

    .

    (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0.

    (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0.

    (x-4)(x-1)=0.

    x1 = 4, x2 = 1.

Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки "+" и "–" у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

Высшая математика. Матрица и модули

ВВЕДЕНИЕ

Одним из важных моментов учебного процесса является самостоятельная работа студентов. Ее цель состоит в том, чтобы выработать прочные навыки самостоятельной работы с книгой, cформировать умение рационально организовывать свой умственный труд.

Самостоятельная работа студентов по математике способствует усвоению теоретического материала и методов решения задач.

Предлагаемые методические указания содержат краткие теоретические сведения по разделу «Элементы линейной алгебры». Для того чтобы студенты могли оценить уровень своих знаний по данному разделу, в методические указания включены тридцать вариантов индивидуальных и тестовых заданий, а также типовой пример модульного задания. После проверки преподавателем индивидуального задания, выполненного студентом, предполагается его защита. При этом студент должен показать знание соответствующих теоретических вопросов раздела и приобретенные навыки при решении задач.

Данная методическая разработка является одной из составных частей организационно-методического обеспечения учебного процесса кафедры высшей математики для студентов инженерных и экономических специальностей по теме «Элементы линейной алгебры».

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Г ус а к , А. Н. Высшая математика: в 2 ч. / А. Н. Гусак. – Минск: ТетраСистемс,

2000. – Ч. 1.

2 . К р а с с , М. С. Основы математики и еe приложения в экономическом образовании / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. – М.: Дело, 2001.

3.М и л о в а н о в , М. В. Алгебра и аналитическая геометрия: в 2 ч. / М. В. Милованов, Р. И. Тышкевич, А. С. Феденко. – Минск: Вышэйш. шк., 1984. – Ч. 1.

4.П и с ь м е н н ы й , Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: в 3 ч./ Д. Т. Письменный. – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2004. – Ч. 1.

1.ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1.1. Матрицы и линейные операции над ними. Умножение матриц

Матрицей размерности m на n (m n) называется прямоугольная таблица чисел или буквенных обозначений, содержащая m строк

3

(горизонтальных рядов) и n столбцов (вертикальных рядов) одинаковой длины. Матрица записывается в виде

 

 

 

 

a

a

 

...

a

 

 

 

 

 

11

12

 

1n

 

 

 

 

А = a21

a22 ...

a2n .

 

 

 

 

...

... ...

...

 

 

 

 

 

 

am3 ...

 

 

 

 

 

 

am1

amn

Сокращенно матрицу Am n можно представить как

 

 

 

 

 

aij ,

 

 

 

 

 

 

 

где i 1, m (т. е. i 1,2,3,...,m) – номер строки;

 

 

 

j 1, n (т. е. j 1,2,3,...,n) – номер столбца;

aij – элементы матрицы.

 

 

 

 

 

Элементы матрицы aij , для

которых номера строк и столбцов

совпадают (i=j), образуют ее главную диагональ. Другая диагональ матрицы называется побочной.

Матрицы А и В называются равными, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е. aij bij , где i 1,m; j 1,n.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера n n называют матрицей n-

го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной и обозначается

 

 

 

 

a11

0

...

0

 

 

 

 

 

 

0

a

...

0

 

diag(a , a

,

..., a

 

)

 

22

 

 

.

nn

 

 

 

 

11

22

 

 

... ...

...

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

...

 

 

 

 

 

 

 

ann

 

 

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например, diag( 1, 4, 5)

 

0

4

0 .

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной и обозначается E:

4

 

1

0 ...

0

 

 

 

0

1 ...

0

 

 

E =

 

 

.

...

... ...

...

 

 

 

 

0

0 ...

1

 

 

 

 

 

 

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю:

 

 

 

a

 

a

a

...

a

...

a

 

 

 

 

 

 

 

 

11

12

13

 

1r

 

1n

 

 

 

 

 

 

 

0

 

a22

a23

...

a2r

...

a2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

a33

...

a3r

...

a3n

 

 

 

 

 

 

...

 

...

... ... ...

...

...

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

0

...

arr

...

arn

 

 

 

 

 

 

...

 

...

... ... ...

...

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

0

...

0

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ann

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например,

 

 

 

 

 

– верхняя треугольная матрица; 2

3

0 –

 

0

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

нижняя треугольная матрица.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается О.

Матрицы О и Е в линейной алгебре играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбцом, или вектор-строкой соответственно)

 

a

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

a2

 

,

b

b

... b .

 

 

 

 

1

2

n

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

 

 

 

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к дан-

ной, и обозначается T .

5

 

 

 

 

 

 

2

3

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

8

 

является матрица

 

Например, транспонированной к

 

 

 

 

 

 

 

 

5

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

5

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Α

 

 

3

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

5

8

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сложение и вычитание матриц. Операция сложения и вычитания

матриц вводится только для матриц одинаковой размерности.

Суммой двух матриц

m n aij и m n

bij называется матрица

Cm n cij такая, что cij

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aij bij ; i 1, m;

 

j 1, n.

Например,

2

3 0

 

3

3 1

 

 

5 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

4 5 6

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

 

2 0 10

Разностью

 

двух матриц

m n aij

и m n bij называется

матрица Dm n

dij такая, что dij aij bij ; i

 

; j

 

 

1,m

1,n.

Например,

2

3 0

 

3

3 1

 

 

1 6 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

4 5 6

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

 

6 10 4

Умножение матрицы на число. Данная операция определена для

матриц любой размерности.

 

m n aij

 

 

 

 

 

Произведением

матрицы

на число называется

матрица m n bij такая,

 

 

 

 

 

 

 

что

bij aij ;

i 1,m; j 1,n.

 

0

2

4

 

0

4 8

Например, 2

 

 

 

 

 

 

 

.

 

6

 

 

 

 

16

 

 

 

8 10

 

12

20

Матрица –A= –1 A называется противоположной матрице A.

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами (А, В, С – матрицы, и – числа):

1) ;

2) С С;

3) ;

4) ;

5) 1

6) a ;

7) ;

8) .

 

6

bik

 

1

2

3

1

3

4

 

 

Прим ер 1 . Даны матрицы А =

 

2

1

4

 

 

5

7

8

 

. Найти

 

 

; B =

 

 

 

3

2

3

 

 

1

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

2А + В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

6

 

 

3

7

10

 

 

4

2

8

 

;

 

9

9

16

 

Р еше н ие . 1) 2А=

 

2) 2А + В =

.

 

6

4

6

 

 

 

7

6

10

 

 

 

 

 

 

Произведение матриц. Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы m n aij на матрицу n p

называется матрица Cm p cik такая, что

 

 

 

 

cik ai1

b1k ai2 b2k ... ain bnk ,

 

 

 

 

 

 

 

 

где i 1, m; j 1, n; k 1, p,

т. е. элемент i-й строки и k-гo столбца

результирующей матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-гo столбца матрицы В.

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения А В и В А всегда существуют.

Легко показать, что , где А – квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера.

Например, для матриц

1

2

1

и

1

3

произведение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

не определено, так как число столбцов матрицы А равно трем.

Оно не совпадает с числом строк матрицы В, равным двум.

При этом определено обратное произведение , которое вычисляют следующим образом:

1

3

1 2

1

1 9

2 3 1 0

10 5 1

 

 

 

 

 

 

 

 

6

2 2 1 0

 

 

 

.

1

2

 

 

3 1

0

 

1

 

 

7

4 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрицы А и В называются перестановочными, если А В=В А. Если для заданных матриц операция умножения определена, то

справедливы следующие свойства:

7

1)

C C;

2) С С;

3) .

 

1

П ри м е р 2 . Являются ли матрицы А= 4 и В= 2 4 1

3

перестановочными?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1 2

1 4

1 1

 

2 4

1

Р еше н ие . А В =

 

4

 

2

4 1

=

 

4 2

4 4

4 1

 

 

8

16

4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3 2

3 4

 

 

 

6

12

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3 1

 

 

 

1

В А = 2 4 1 4 = 2 1 + 4 4 + 1 3 = 2 + 16 + 3 = 21. Так как

3

А В В А, то данные матрицы не являются перестановочными.

3

2

 

. Найти А3.

Прим ер 3 . Дана матрица А=

1

4

 

 

 

 

 

Р еше н ие . Найдем квадрат матрицы A, т. е. произведение А А:

 

 

 

А2

 

 

3

2 3

2

11 14

 

 

 

 

=А А=

 

 

 

=

.

 

 

 

 

 

 

1

4 1

4

7 18

 

 

Найдем куб матрицы A3, для этого перемножим A на A2, получим

3

3

2 11 14

 

47

78

 

 

 

A =

 

=

 

 

.

 

 

 

 

1

4 7 18

 

39

86

 

 

 

Л и т е р а т у р а: [1, гл. 4, § 4.3], [3, гл. 2, 2.1, 2.4], [4, гл. 1, § 1].

1.2. Понятие и способы вычисления определителей, их свойства

Квадратной матрице А порядка n можно поставить в соответствие

число

A

(det(A)), называемое ее

определителем, по

следующим

правилам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– если n=1, т. е. A (a11), то

 

A

 

a11;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– если n=2, т. е.

a

a

 

 

 

A

 

 

 

a

a

 

a

a

 

a

a

.

 

 

 

 

 

 

A 1 1

1 2

 

, то

 

 

 

11

12

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21

a22

 

11

 

12

 

21

 

 

 

a2 1

a2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П ри м е р

1 .

Найти определители матриц

 

cos

sin

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р еше н ие .

 

cos

sin

 

cos2 sin 2 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2 6 5 3 12 15 27;

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

5

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для того чтобы обобщить методику вычисления определителей квадратных матриц, введем понятие минора и алгебраического дополнения.

Минором Mij выбранного элемента aij матрицы n-го порядка

называется определитель п–1-го порядка, полученный из исходной матрицы путем вычеркивания в ней строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент.

Например, если исходной матрицей является матрица 3-го порядка

a

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

12

13

 

 

a2 2

a2 3

 

 

 

a1 1

a1 3

 

a21

a22

a23

, то M1 1

, а M3 2

.

 

 

 

 

 

 

a3 2

a3 3

 

 

 

a2 1

a2 3

 

a3 1

a3 2

a33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алгебраическим дополнением ij

элемента aij

квадратной матрицы

называется ее минор, взятый со знаком плюс, если сумма индексов выбранного элемента i j – четное число, и со знаком минус, если эта

сумма нечетная, т. е. ij 1 i j Mij .

Например, для матрицы 3-го порядка 11 M11, 32 M32 . Тогда если n>2, то определитель матрицы n-го порядка

вычисляется на основе разложения его по элементам некоторого ряда, т. е. равен сумме произведений элементов некоторого ряда заданной квадратной матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения. При этом схемы разложений определителя по выбранной строке или выбранному столбцу будут выглядеть соответственно:

9

 

a11

a1 2

...

a1n

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

по к-й строке –

a2 1

a22

...

a2n

akj Akj

;

 

... ... ... ...

 

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an1

an2

...

an n

 

 

 

a11

a1 2

...

a1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

по p-му столбцу–

a2 1

a2 2

...

a2n

 

aip Aip

.

 

... ... ... ...

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an1

an2

...

an n

 

 

 

где akj и aip – элементы выбранного ряда;

Akj и Aip – алгебраические дополнения соответствующим элементам выбранного ряда матрицы.

П ри м е р 2 . Вычислить определитель матрицы

 

2

1

 

3

4

 

5

 

5

 

 

Р еше н ие .

 

A

 

 

3

1

4

( 2)

1

 

 

 

 

 

 

 

6

0

3

 

6

3

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ( 9 24) 1 ( 15 6)

2 15 21 9 .

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

5

 

 

3

1

4

.

 

 

 

6

0

3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

Прим ер 3 . Вычислить определитель четвертого порядка наиболее удобным способом:

 

1

0

3

5

 

D

0

0

3

2

.

 

1

2

2

3

 

 

0

0

0

4

 

 

 

 

 

 

 

Р еше н ие . Разложим определитель по 4-й строке:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

3

5

 

1

0

3

 

1

0

3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

3

2

 

 

 

 

D

 

 

0 0 0 4 1 4 4

0

0

3

4

0

0

3

 

 

 

 

 

 

 

1

2

2

3

 

1

2

2

 

1

2

2

 

 

 

 

 

0

0

0

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

0 3 1 2 3

 

 

0

 

 

4 3

 

1

0

 

12

2

0 24 .

 

1

 

 

 

4

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определители матриц обладают приведенными ниже свойствами:

1)определитель не изменится, если строки определителя заменить столбцами, а столбцы – соответствующими строками;

2)общий множитель элементов любой строки (или столбца) может быть вынесен за знак определителя;

3)если элементы одной строки (столбца) определителя соответственно равны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю;

4)при перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный;

5)определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственно элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Л и т е р а т у р а: [2, гл. 13, § 13.1], [4, гл. 1, § 2.].

1.3. Обратная матрица и ее нахождение

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка

a

a

 

1 2

1n

a2 2

a2n

 

 

.

 

 

 

 

an2

 

 

an n

Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю 0 , иначе матрица А – вырожденная.

~

Матрица называется союзной к матрице А, если ее элементы получаются по следующей схеме:

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

2 1

 

 

n1

 

 

~

 

12

22

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1n

2n

 

 

 

 

 

 

 

Ann

 

где ij – алгебраическое дополнение элемента aij данной матрицы А.

11

a

a

a

 

 

1 1

1 2

1 3

 

Например, для матрицы 3-го порядка A a2 1

a22

a2 3

союзной

 

 

a32

 

 

a31

a3 3

матрицей будет матрица вида

~

A11

A

 

 

A A12

A

 

 

A

 

A13

 

 

 

 

 

a

22

a

23

 

 

 

a

a

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

13

 

 

12

13

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

a

 

 

a

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

33

 

 

 

 

32

 

33

 

 

 

22

23

 

 

 

 

 

21

31

 

a

 

a

 

 

 

a

 

a

 

 

 

a

a

 

22

A32

 

 

 

 

 

21

 

 

23

 

11

13

 

 

 

11

13

 

 

.

 

 

 

 

 

a31

a33

 

a31

a33

 

 

a21

a23

 

 

23

A33

 

 

a21

a22

 

 

 

a11

a12

 

 

a11

a12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a31

a32

 

 

 

a31

a32

 

 

a21

a22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица 1

называется обратной к матрице А, если выполняется

условие 1

1 , где Е

– единичная матрица того же

порядка, что и матрица А. Матрица 1

имеет ту же размерность,

 

что

и матрица А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Справедливо

утверждение:

всякая

невырожденная

матрица

A

имеет обратную 1 , причем 1

 

 

 

1

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A .

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратная матрица 1 к A обладает следующими свойствами:

 

 

1) 1 1 ;

2) 1 1 1;

3)

1

T

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П ри м ер 1 . Найти обратную матрицу к заданной

 

 

A

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

 

 

Р еше н ие . Обратная матрица к данной определяется формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

Определитель матрицы А равен

 

A

 

 

1

2 12 10.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

 

 

 

 

 

Союзная матрица для матриц второго порядка имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A11

 

 

 

 

 

A21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A12

 

 

 

 

 

A22

 

 

 

 

 

где Aij – алгебраическое дополнение элемента aij.

12

От действий над матрицами к пониманию их сути… / Хабр

Очень уважаю людей, которые имеют смелость заявить, что они что-то не понимают. Сам такой. То, что не понимаю, — обязательно должен изучить, осмыслить, понять. Статья "

Математика на пальцах

", и особенно матричная запись формул, заставили меня поделиться своим небольшим, но, кажется, немаловажным опытом работы с матрицами.

Лет эдак 20 назад довелось мне изучать высшую математику в вузе, и начинали мы с матриц (пожалуй, как и все студенты того времени). Почему-то считается, что матрицы — самая лёгкая тема в курсе высшей математики. Возможно — потому, что все действия с матрицами сводятся к знанию способов расчёта определителя и нескольких формул, построенных — опять же, на определителе. Казалось бы, всё просто. Но… Попробуйте ответить на элементарный вопрос — что такое определитель, что означает число, которое вы получаете при его расчёте? (подсказка: вариант типа «определитель — это число, которое находится по определённым правилам» не является правильным ответом, поскольку говорит о методе получения, а не о самой сути определителя). Сдаётесь? — тогда читаем дальше...

Сразу хочу сказать, что я не математик ни по образованию, ни по должности. Разве что мне интересна суть вещей, и я порой пытаюсь до них «докопаться». Так же было и с определителем: нужно было разобраться со множественной регрессией, а в этом разделе эконометрики практически всё делается через… матрицы, будь они неладны. Вот и пришлось мне самому провести небольшое исследование, поскольку ни один из знакомых математиков не дал внятного ответа на поставленный вопрос, изначально звучавший как «что такое определитель». Все утверждали, что определитель — это такое число, которое особым образом посчитано, и если оно равно нулю, то… В общем, как в любом учебнике по линейной алгебре. Спасибо, проходили.

Если какую-то идею придумал один человек, то другой человек должен быть в состоянии её понять (правда, для этого порой приходится вооружаться дополнительными знаниями). Обращение к «великому и могучему» поисковику показало, что "площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами — сторонами параллелограмма". Говоря простым языком, если матрица — это способ записи системы уравнений, то каждое уравнение в отдельности описывает вектор. Построив из точки начала координат векторы, заданные в матрице, мы таким образом зададим в пространстве некоторую фигуру. Если наше пространство одномерное, то фигура — это отрезок; если двумерное — то фигура — параллелограмм, и так далее.

Получается, что для одномерного пространства определитель — это длина отрезка, для плоскости — площадь фигуры, для трёхмерной фигуры — её объём… дальше идут n-мерные пространства, вообразить которые нам не дано. Если объём фигуры (то есть определитель для матрицы 3*3) равен нулю, то это означает, что сама фигура не является трёхмерной (она может быть при этом двухмерной, одномерной или вообще представлять собой точку). Ранг матрицы — это истинная (максимальная) размерность пространства, для которого определитель не равен нулю.

Так, с определителем почти всё понятно: он определяет «объёмность» фигуры, образованной описанными системой уравнений векторами (хотя непонятно, почему его значение не зависит от того, имеем мы дело с исходной матрицей, или с транспонированной — возможно, транспонирование — это вид аффинного преобразования?). Теперь нужно разобраться с действиями над матрицами…

Если матрица — это система уравнений (а иначе зачем нам таблица каких-то цифр, не имеющих к реальности никакого отношения?), то мы можем с ней делать разные вещи. Например, можем сложить две строки одной и той же матрицы, или умножить строку на число (то есть каждый коэффициент строки умножаем на одно и то же число). Если у нас есть две матрицы с одинаковыми размерностями, то мы их можем сложить (главное, чтобы при этом мы не сложили бульдога с носорогом — но разве математики, разрабатывая теорию матриц, думали о таком варианте развития событий?). Интуитивно понятно, тем более что в линейной алгебре иллюстрациями подобных операций являются системы уравнений.

Однако в чём смысл умножения матриц? Как я могу умножить одну систему уравнений на другую? Какой смысл будет иметь то, что я получу в этом случае? Почему для умножения матриц неприменимо переместительное правило (то есть произведение матриц В*А не то что не равно произведению А*В, но и не всегда осуществимо)? Почему, если мы перемножим матрицу на вектор-столбец, то получим вектор-столбец, а если перемножим вектор-строку на матрицу, то получим вектор-строку?

Ну, тут уж не то что Википедия, — тут даже современные учебники по линейной алгебре бессильны дать какое-либо внятное объяснение. Поскольку изучение чего-либо по принципу «вы сначала поверьте — а поймёте потом» — не для меня, копаю в глубь веков (точнее — читаю учебники первой половины XX века) и нахожу интересную фразу…

Если совокупность обычных векторов, т.е. направленных геометрических отрезков, является трёхмерным пространством, то часть этого пространства, состоящая из векторов, параллельных некоторой плоскости, является двумерным пространством, а все векторы, параллельные некоторой прямой, образуют одномерное векторное пространство.

В книгах об этом напрямую не говорится, но получается, что векторам, параллельным некоторой плоскости, необязательно лежать на этой плоскости. То есть они могут находиться в трёхмерном пространстве где угодно, но если они параллельны именно этой плоскости, то они образуют двумерное пространство… Из приходящих мне на ум аналогий — фотография: трёхмерный мир представлен на плоскости, при этом вектору, параллельному матрице (или плёнке) фотоаппарата, будет соответствовать такой же вектор на картинке (при условии соблюдении масштаба 1:1). Отображение трёхмерного мира на плоскости «убирает» одно измерение («глубину» картинки). Если я правильно понял сложные математические концепции, перемножение двух матриц как раз и представляет собой подобное отражение одного пространства в другом. Поэтому, если отражение пространства А в пространстве В возможно, то допустимость отражения пространства В в пространстве А — не гарантируется.

Любая статья заканчивается в тот момент, когда автору надоедает её писать. Поскольку я не ставил перед собой цели объять необъятное, а исключительно хотел понять суть описанных операций над матрицами и то, как именно матрицы связаны с решаемыми мной системами уравнений, я не полез в дальнейшие дебри линейной алгебры, а вернулся к эконометрике и множественной регрессии, но сделал это уже более осознанно. Понимая, что и зачем я делаю и почему только так, а не иначе. То, что у меня получилось в этом материале, можно озаглавить как «глава о сути основных операций линейной алгебры, которую почему-то забыли напечатать в учебниках». Но ведь мы же не читаем учебников, правда? Если честно, когда я учился в университете, мне очень не хватало именно понимания затронутых здесь вопросов, поэтому я надеюсь, что, изложив этот непростой материал по возможности простыми словами, я делаю доброе дело и помогаю кому-то вникнуть в саму суть матричной алгебры, переведя операции над матрицами из раздела «камлание с бубном» в раздел «практические инструменты, применяемые осознанно».

Высшая математика 1 курс

Замечание 1

Курс высшей математики в вузах различается как продолжительностью изучения, так и наполнением тем для изучения. Но существует определенный неизменяемый перечень тем, обязательных для изучения студентами. Дадим краткую характеристику основным темам, которые изучаются на $1$ курсе вуза.

Линейная алгебра

Матрицы и действия над ними

Рассматриваются матрицы, которые содержат m строк и n столбцов.

Изучаются равные матрицы, квадратные, диагональные, единичные, треугольные и трапецевидные матрицы.T|$.

  • Определитель равен нулю, если он содержит нулевой ряд или $2$ одинаковых параллельных ряда.
  • Для диагональной и треугольной матриц определитель равен произведению чисел главной диагонали.
  • Общий множитель любого ряда определителя можно вынести за его знак.
  • Рассматривается понятие минора и теорема Лапласа (о разложении определителя).

    Обратная матрица

    Алгоритм нахождения обратной матрицы при условии, что матрица $A$ – невырожденная и ее определитель не равен нулю:

    1. Каждый элемент матрицы заменяется его алгебраическим дополнением, получается союзная матрица.
    2. Союзная матрица транспонируется.
    3. Выполняется деление каждого элемента союзной матрицы на определитель матрицы.

    Ранг матрицы

    Ранг матрицы рассматривается как максимальное число линейно-зависимых строк матрицы и наибольшее из порядков отличных от нуля миноров данной матрицы.

    Свойства:

    1. Ранг матрицы не изменяется при транспонировании.
    2. При вычеркивании нулевого ряда ранг не изменяется.
    3. Ранг матрицы не изменяется при выполнении элементарных преобразований.
    4. Ранг треугольной матрицы равен числу ненулевых элементов, расположенных на главной диагонали.

    Метод Крамера решения невырожденных систем СЛАУ

    Уравнение $AX=B$, где $|A| \ne 0$ решается так:

    $a_k=\frac{|A_k |}{|A|}$ , где $A_k$ можно получить из $A$ заменой какого столбца на столбец свободного члена $B$.

    Метод Гаусса

    Вводится понятие расширенной матрицы, совместной и определенной системы уравнений, равносильных систем уравнений, однородной системы линейных уравнений.

    Правило решения системы уравнений:

    Найти ранг основной ($rA$) и расширенной ($r \bar{A}$):

    1. Если $rA \ne r \bar{A}$, то система несовместна;
    2. Если $rA=r \bar{A}=r$, то система совместна и находят базисный минор порядка $r$:
      • берутся $r$ уравнений, из коэффициентов которых составляется базисный минор, остальные отбрасываются. Неизвестные, коэффициенты которых составляют минор, называются главными. Их записывают слева, а остальные $(n-r)$ – справа;
      • выражают главные неизвестные через свободные и получают общее решение системы;
      • свободным неизвестным дают произвольное значение и получают частные решения.

    Элементы векторной алгебры

    Векторы

    Изучается понятие вектора, длина и направление вектора, противоположный вектор, нулевой вектор, коллинеарные и компланарные векторы.

    Операции над векторами

    Рассматриваются операции над векторами:

    • умножение вектора на число;
    • сумма векторов;
    • скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

    Аналитическая геометрия

    Прямая на плоскости

    Несколько видов уравнений описывают прямую на плоскости: уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой через точку и направление, уравнение через 2 точки, уравнение в отрезках, уравнение через данную точку перпендикулярно вектору, нормальное уравнение прямой.

    Традиционно рассматривается формула для нахождения угла между прямыми, условия перпендикулярности и параллельности прямых и расстояния от точки до прямой.

    Плоскость в пространстве

    Плоскость в пространстве задается с помощью различных видов уравнения: уравнение через точку перпендикулярно к вектору, уравнение через 3 точки, нормальное уравнение плоскости, уравнение в отрезках.

    Рассматривается угол между плоскостями и расстояние от точки до плоскости.

    Прямая в пространстве

    Канонические уравнения прямой или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, уравнения в параметрическом виде, общее и векторное уравнение прямой, уравнение прямой через 2 точки в пространстве. Формула угла между прямыми.

    Взаимное расположение плоскостей, прямых и прямой и плоскости

    Для каждого из вариантов расположения предлагается формула для нахождения угла между плоскостями, прямыми и прямой и плоскостью, а также условия параллельности и перпендикулярности плоскостей, прямых, прямой и плоскости.

    Отдельно изучается пересечение прямой с плоскостью и условие принадлежности прямой плоскости.

    Линии второго порядка

    Эллипс

    Кроме основного канонического уравнения эллипса изучаются понятия эксцентриситета и директрис.

    Гипербола

    Изучается каноническое уравнение гиперболы, уравнения асимптот, понятие эксцентриситета, директрисы и фокальных радиусов.

    Парабола

    Рассматривается понятие полуфокального диаметра параболы и каноническое уравнение параболы.

    Замечание 2

    Изучение высшей математики на первом курсе, как правило, заканчивается изучением раздела «Линии второго порядка», но может варьироваться в зависимости от учебных планов, программ и специальностей.

    ПРЕЗЕНТАЦИЯ по высшей математике на тему: "ОБРАТНАЯ МАТРИЦА"

    ПРЕЗЕНТАЦИЯ на тему: «Обратная матрица»

    Демьянова Светлана Васильевна

    преподаватель математики

    высшей квалификационной категории

    ГОУ СПО «Днестровский техникум энергетики

    и компьютерных технологий»

    Введение. Понятие матрицы

    Система линейных уравнений имеет вид

    Таблица, составленная из коэффициентов при неизвестных,

    называется матрицей . Для данной системы основная матрица:

    Матрица размера ( mxn)

    Любая прямоугольная таблица чисел, состоящая

    из m строк и n столбцов, называется матрицей размера ( m х n) .

    Числа, образующие матрицу, называются элементами матрицы.

    Например, система из трех уравнений с тремя неизвестными

    и ее основная матрица

    Квадратная матрица размера (3х3) или

    матрица 3-го порядка

    В этой же системе можно выписать в виде матрицы столбец

    свободных членов

    Матрица - столбец размера (3х1)

    , размер матрицы (1х4)

    Можно записать матрицу-строку

    В квадратных матрицах можно выделить главную и побочную диагонали

    побочная

    главная

    Для квадратных матриц можно вычислить определитель.

    Определитель квадратной матрицы есть некоторое число, которое вычисляется из элементов матрицы по определенному правилу, которое будет сформулировано после введения понятий миноров и алгебраических дополнений элементов определителя.

    Минором элемента определителя называется определитель,

    полученный после вычеркивания из исходного строки и столбца,

    на пересечении которых стоит этот элемент.

    Алгебраическое дополнение элемента – это минор этого элемента, взятый со знаком (+), если сумма номеров строки и столбца,

    на которых находится элемент – четная,

    и со знаком (-), если эта сумма – нечетная.

    Вычисление определителей

    1. Определитель 1-го порядка равен самому элементу

    Например:

    2. Определитель 2-го порядка находится по правилу

    Определитель 2-го порядка равен разности произведений

    элементов главной и побочной диагонали.

    Например:

    Определитель 3-го порядка находится путем разложения

    определителя по элементам строки или столбца.

    При этом используется

    Основное правило вычисления определителя :

    Определитель равен сумме произведений элементов

    какой-либо строки или столбца

    на соответствующие им алгебраические дополнения

    Например, разложение определителя по элементам 1-ой строки

    будет иметь вид

    Пример вычисления определителя путем разложения

    по элементам первой строки:

    Наиболее выгодным является разложение определителя по элементам

    того ряда, в котором все элементы, кроме одного, равны нулю

    Например, данный определитель наиболее выгодно

    разложить по элементам 2-й строки

    Если строк или столбцов с нулями нет, то их можно получить, используя элементарные преобразования, не меняющие величины определителя.

    Согласно свойству определителей: Величина определителя

    не изменится, если к элементам какого-либо ряда прибавить

    соответствующие элементы другого ряда, предварительно

    умноженные на число.

    Свойства определителей

    1. Постоянный множитель из элементов какого либо ряда

    можно выносить за знак определителя

    2. Определитель равен нулю, если все элементы какого-либо

    ряда равны нулю

    3. Определитель равен нулю, если есть два ряда,

    соответствующие элементы которых равны или пропорциональны

    Решение систем методом Крамера

    С вычислением определителей связан один из методов решения

    систем линейных уравнений – метод Крамера.

    Рассмотрим его на примере.

    Для решения системы необходимо

    вычислить 4 определителя 3-го порядка.

    1. Вычисляем главный определитель из коэффициентов

    при неизвестных

    2. Вычисляем побочные определители для каждого неизвестного,

    для этого поочередно в главном определители заменяем столбцы ,

    соответствующие одному из неизвестных, столбцом свободных

    членов

    Метод Крамера

    а) Находим определитель для первого неизвестного, заменяя

    в главном определителе первый столбец на столбец свободных членов

    б) Находим определитель для второго неизвестного, заменяя в главном определителе второй столбец на столбец свободных членов

    в) Находим определитель для третьего неизвестного, заменяя в главном

    определителе третий столбец на столбец свободных членов

    Метод Крамера

    Для нахождения значений неизвестных используем формулы Крамера

    Значения неизвестных

    находятся делением побочных

    определителей

    на главный определитель

    Это означает, что методом Крамера

    можно решать только такие системы,

    у которых главный определитель

    отличен от нуля

    Полученное решение запишем в виде матрицы-столбца

    Легко проверить подстановкой в каждое уравнение

    Системы, что полученное решение верно.

    Обратная матрица. Матричные уравнения

    Обратной матрицей для квадратной матрицы А называется матрица произведение которой на исходную матрицу равно единичной матрице

    Единичная матрица

    Обратная матрица существует только для квадратных

    невырожденных матриц, т.е. таких матриц, определитель

    которых отличен от нуля

    Служит для проверки правильности

    нахождения обратной матрицы

    Равенство

    Матричные уравнения

    Матричные уравнения – это уравнения, в которых участвуют

    как известные матрицы, так и неизвестная матрица, которую

    и нужно найти. Существуют два основных типа матричных уравнений.

    2 тип (правое умножение)

    1 тип (левое умножение)

    В виде матричного уравнения может быть

    записана система линейных уравнений, решение которой

    существует, если определитель основной

    матрицы отличен от нуля.

    Если в системе количество уравнений и неизвестных разное,

    то нельзя говорить об определителе основной матрицы и решать

    систему матричным методом нельзя.

    Для решения таких систем применяется метод Гаусса

    Схема нахождения обратной матрицы

    • 1) Находится определитель матрицы.

    Если он отличен от нуля , то обратная матрица существует.

    • 2) Составляется союзная матрица , элементами которой являются алгебраические дополнения элементов исходной матрицы.
    • 3) Полученную союзную матрицу транспонируем, т.е. меняем ролями строки и столбцы матрицы. Получаем матрицу .
    • 4) Матрицу делим на определитель матрицы и получаем обратную матрицу. (При делении матрицы на число все ее элементы нужно разделить на это число)

    Рассмотрим примеры.

    1. Найти матрицу, обратную данной

    1)

    2)

    4)

    3)

    Нахождение обратной матрицы

    2. Найти матрицу, обратную данной

    1) Находим определитель матрицы

    Т.о. обратная матрица существует.

    2) Составляем союзную матрицу

    3) Полученную матрицу транспонируем

    4) Обратная матрица

    Решение систем методом Гаусса

    Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных.

    При решении системы методом Гаусса все действия проводятся над

    строками расширенной матрицы.

    Понятие ранга матрицы.

    Понятие ранга помогает при анализе системы уравнений.

    Определение. Рангом матрицы называется максимальное число

    линейно независимых строк этой матрицы.

    и запишем ее основную матрицу и

    расширенную матрицу

    Рассмотрим систему уравнений

    Определение 1. Система линейных уравнений называется

    совместной, если она имеет решение. Это возможно только в том

    случае, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной .

    Определение 2. Система называется несовместной, если она

    не имеет решений.

    Определение 3. Система называется определенной, если она имеет

    единственное решение. Это возможно, если ранг системы равен

    количеству неизвестных:

    Определение 4. Система называется неопределенной, если она имеет

    бесчисленное множество решений. Это возможно в том случае,

    когда ранг системы меньше количества неизвестных:

    Таким образом, при решении системы необходимо установить

    ее совместность, а затем определить единственное или множество

    решений она будет иметь.

    Рассмотрим на примере системы

    • Рассмотрим на примере системы
    • Рассмотрим на примере системы
    • Рассмотрим на примере системы

    Расширенная матрица – это матрица коэффициентов

    при неизвестных с добавлением столбца свободных членов.

    Видно, что 3-я и 4-я строки получаются умножением первой на

    числа (-2) и 3, значит соответствующие уравнения системы

    являются лишними. И система будет иметь множество решений.

    Решаем ее методом Гаусса.

    Схема решения системы методом Гаусса.

    • Выписываем расширенную матрицу системы и приводим ее

    к ступенчатому или треугольному виду также, как это делалось при

    вычислении определителей (процедура получения нулей).

    2. В процессе всех этих действий могут проявиться линейно зависимые

    строки (т.е. строки, соответствующие элементы которых одинаковые или

    пропорциональные, нулевые строки и т.п.), которые можно вычеркнуть

    Т.о. осталось 2

    линейно независимых

    строки и ранг матрицы

    равен 2

    Например:

    3. В полученной матрице нужно выбрать базисный минор .

    Базисный минор – это отличный от нуля минор, порядок которого

    равен рангу матрицы. Соответственно определяются базисные

    и свободные неизвестные.

    В нашем примере базисный минор можно составить из элементов

    1-го и 3-го столбцов

    , тогда так как минор, составленный

    из элементов 1-го и 2-го столбцов, равен нулю

    и

    Для данной ситуации базисными будут неизвестные

    4. Записываем эквивалентную систему, при этом базисные

    неизвестные остаются в левой части уравнений, а свободные

    переносятся в правую.

    5. В итоге решается эта система и находится общее решение,

    в котором базисные неизвестные выражаются через свободные.

    Этим свободным неизвестным даются произвольные числовые

    значения, по ним вычисляются базисные и получается каждый раз

    новое частное решение. Таких решений можно составить

    бесчисленное множество.

    -частное решение

    (при

    - общее решение

    )

    Замечание. Если в матрице системы не вычеркивается ни одна строка, то есть все строки линейно независимы, то ранг будет равен числу неизвестных и решение получится единственным.

    Система линейных однородных уравнений имеет вид и решается также,

    как и неоднородная

    Содержние дисциплины «Линейная алгебра» : Кафедра МЭО : АлтГТУ

    Кафедра «Международные экономические отношения»

    Тема 1. Линейная алгебра

    Понятие матрицы, типы матриц. Операции над матрицами. Определители квадратных матриц. Минор и алгебраическое дополнение. Способы вычисления определителей, их основные свойства. Формулы Крамера. Обратная матрица. Теорема существования единственной обратной матрицы. Решение систем матричным способом. Ранг матрицы и его вычисление. Общая теория линейных систем. Теорема Кронекера-Капелли.  Метод Гаусса для решения определенных систем. Однородные системы и условия ненулевого решения.

    Тема 2. Векторная алгебра

    Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось, ее свойства. Линейная зависимость векторов. Базис. Декартова система координат. Направляющие косинусы вектора. Скалярное произведение векторов. Свойства. Скалярное произведение в координатной форме, приложения. Векторное и смешанное произведения векторов. Свойства. Векторное и смешанное произведения в координатной форме, приложения. Линейные и аффинные пространства. Размерность. Система координат аффинного пространства. Линейные преобразования (операторы). Собственные векторы и собственные значения о матрице линейного оператора в базисе из собственных векторов. Применение линейных операторов в экономико-математических моделях.

    Тема 3. Аналитическая геометрия

    Понятия уравнений линии и поверхности.  Основные задачи аналитической геометрии. Плоскость. Прямая в пространстве. Прямая на плоскости. Полярная система координат. Кривые второго порядка. Классификация уравнений второй степени. Пример приведения квадратичной формы  к каноническому виду. Плоскости в аффинном пространстве; параметрическое задание плоскости. Геометрическое истолкование множества решений неоднородной системы линейных уравнений. Выпуклые множества.

    Тема 4. Элементы линейного программирования

    Построение опорных планов задачи линейного программирования. Решение задачи линейного программирования графическим методом. Решение невырожденной задачи линейного программирования симплекс-методом.

    Литература и учебно-методические материалы

    Основная литература

    1. Высшая математика для экономистов: Учеб. Пос. для вузов/Н.Ш. Кремер и др. Под ред. Н.Ш. Кремера.-М.:Банки и биржи,БНИТИ,1997.
    2. Шипачев В.С. Высшая математика: учебник для студентов нематематических специальностей вузов/ Под ред. А.Н. Тихоноваю- М.Высшая школа, 1985.- 368 с.
    3. Красс М.С. Математика для экономических специальностей.- М.: ИНФРА-М 1999.-463 с.
    4. Карасев А.И., Аксютина З. М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч 1−2.- М.: Высшая школа, 1982 г.
    5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.- М.: Высшая школа, 1986.- Ч.1−2.- 319 с., 365 с.
    6. Рябушко А.П. и др. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике.- Минск: Высшая школа, 1989,- Ч.1−3.
    7. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. Академия народного хоз-ва при правительстве РФ. Издательство “Дело”, Москва.2000 г.

    Дополнительная литература

    Егорова Г.В. Линейная алгебра. Определители и матрицы. Метод. Указания и варианты заданий к типовым расчетам по курсу высшей математики для студентов всех специальностей/ Алт. политехн. Ин-т им. И.И. Ползунова.- Барнаул: Б.И.,19?

    Жданова Е.М., Поддубная М.Л., Ким Л.С. Элементы векторной алгебры: Методические указания и варианты заданий для студентов всех специальностей/ Алт. политехн. ин-т им. И.И. Ползунова.- Барнаул: Б.И.,1991.- 20 с.

    Егорова Г.В. Функции, пределы, непрерывность.: Варианты заданий для самостоятельной работы студентов по курсу высшей математики / Алт. политехн.ин-т им. И.И. Ползунова.- Барнаул: Б.И.,1989.- 34 с.

    Царегородцев А.И., Шапиро М.А. Линейная алгебра. Определители и матрицы. Метод. указания и варианты заданий к типовым расчетам по курсу высшей математики для студентов всех специальностей/ АПИ.- Барнаул,1988.- 32 с.

    Царегородцев А.И., Шапиро М.А. Линейная алгебра.Системы линейных уравнений. Метод. указания и варианты заданий к типовым расчетам по курсу высшей математики для студентов всех специальностей/ АПИ.- Барнаул:,1988.- 32 с.

    Жданова Е.М., Ким Л.С., Поддубная М.Л. Элементы векторной алгебры. Методические указания и варианты заданий для студентов всех специальностей.–АлтГТУ,Барнаул, 1994.–32 с.

    Жеронкина Н.Г., Котова А.В., Сыченко Э.И. Аналитическая геометрия. Варианты заданий для СР студентов по курсу ВМ.- Алт.ГТУ, Барнаул, 1994.- 32 с

    преп. каф. ВМиММ      Мурзина И.П.

    Матрица

    | математика | Britannica

    matrix , набор чисел, расположенных в строках и столбцах, чтобы сформировать прямоугольный массив. Числа называются элементами или элементами матрицы. Матрицы находят широкое применение в технике, физике, экономике и статистике, а также в различных областях математики. Исторически первым распознаванием была не матрица, а определенное число, связанное с квадратным массивом чисел, называемое определителем. Лишь постепенно возникла идея матрицы как алгебраической сущности.Термин матрица был введен английским математиком 19 века Джеймсом Сильвестром, но именно его друг, математик Артур Кейли, разработал алгебраический аспект матриц в двух статьях 1850-х годов. Кэли впервые применил их к изучению систем линейных уравнений, где они до сих пор очень полезны. Они также важны, потому что, как признал Кэли, определенные наборы матриц образуют алгебраические системы, в которых действуют многие обычные законы арифметики (например, ассоциативные и распределительные законы), но в которых другие законы (например,g., коммутативный закон) не действуют. Матрицы также нашли важное применение в компьютерной графике, где они использовались для представления поворотов и других преобразований изображений.

    Если имеется m строк и n столбцов, матрица называется матрицей « m на n » с записью « m × n ». Например,

    - это матрица 2 × 3. Матрица с n строками и n столбцами называется квадратной матрицей порядка n .Обычное число можно рассматривать как матрицу 1 × 1; таким образом, 3 можно рассматривать как матрицу [3].

    В общепринятых обозначениях заглавная буква обозначает матрицу, а соответствующая строчная буква с двойным нижним индексом описывает элемент матрицы. Таким образом, a ij - это элемент в i -й строке и j -м столбце матрицы A . Если A - это матрица 2 × 3, показанная выше, то a 11 = 1, a 12 = 3, a 13 = 8, a 21 = 2, a 22 = −4 и a 23 = 5.При определенных условиях матрицы можно складывать и умножать как отдельные объекты, в результате чего возникают важные математические системы, известные как матричные алгебры.

    Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

    Матрицы естественным образом встречаются в системах одновременных уравнений. В следующей системе для неизвестных x и y массив чисел представляет собой матрицу, элементы которой являются коэффициентами неизвестных. Решение уравнений полностью зависит от этих чисел и от их конкретного расположения.Если бы 3 и 4 поменяли местами, решение было бы другим.

    Две матрицы A и B равны друг другу, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов и если a ij = b ij для каждый i и каждый j . Если A и B - две матрицы размером m × n , их сумма S = A + B представляет собой матрицу m × n , элементы которой s ij = a ij + b ij .То есть каждый элемент S равен сумме элементов в соответствующих позициях A и B .

    Матрица может быть умножена на обычное число c , которое называется скаляром. Продукт обозначается cA или Ac и представляет собой матрицу, элементы которой равны ca ij .

    Умножение матрицы A на матрицу B для получения матрицы C определяется только тогда, когда количество столбцов первой матрицы A равно количеству строк второй матрицы B .Чтобы определить элемент c ij , который находится в строке i и столбце j продукта, первый элемент в строке i числа A умножается на первый элемент в j -м столбце B , второй элемент в строке - второй элемент в столбце и так далее, пока последний элемент в строке не умножится на последний элемент столбца; сумма всех этих произведений дает элемент c ij .В символах, для случая, когда A имеет m столбцов, а B имеет m строк, матрица C имеет столько же строк, сколько A и столько же столбцов, сколько B .

    В отличие от умножения обычных чисел a и b , в котором ab всегда равно ba , умножение матриц A и B не является коммутативным. Однако оно ассоциативно и распределительно по сравнению с сложением.То есть, когда операции возможны, всегда выполняются следующие уравнения: A ( BC ) = ( AB ) C , A ( B + C ) = AB + AC и ( B + C ) A = BA + CA . Если матрица 2 × 2 A со строками (2, 3) и (4, 5) умножается сама на себя, то произведение, обычно записываемое A 2 , имеет строки (16, 21) и ( 28, 37).

    Матрица O со всеми ее элементами 0 называется нулевой матрицей. Квадратная матрица с единицами на главной диагонали (вверху слева направо вниз) и нулями во всех остальных местах называется единичной матрицей. Он обозначается I или I n , чтобы показать, что его порядок равен n . Если B - любая квадратная матрица, а I и O - единичная и нулевая матрицы одного порядка, всегда верно, что B + O = O + B = B и BI = IB = B .Следовательно, O и I ведут себя как 0 и 1 в обычной арифметике. Фактически, обычная арифметика является частным случаем матричной арифметики, в которой все матрицы имеют размер 1 × 1.

    Связано с каждой квадратной матрицей A - это число, известное как определитель A , обозначаемое det A . Например, для матрицы 2 × 2det A = ad - bc . Квадратная матрица B называется невырожденной, если det B ≠ 0.Если B неособое, существует матрица, обратная B , обозначенная B -1 , так что BB -1 = B -1 B = Я . Уравнение AX = B , в котором A и B - известные матрицы, а X - неизвестная матрица, может быть решено однозначно, если A - невырожденная матрица, тогда A −1 существует, и обе части уравнения можно умножить слева на него: A −1 ( AX ) = A −1 B .Теперь A −1 ( AX ) = ( A −1 A ) X = IX = X ; следовательно, решение равно X = A -1 B . Систему м линейных уравнений в n неизвестных всегда можно выразить в виде матричного уравнения AX = B , в котором A - это матрица коэффициентов неизвестных м × n , X - это матрица неизвестных размером n × 1, а B - это матрица n × 1, содержащая числа в правой части уравнения.

    Задача, имеющая большое значение во многих областях науки, заключается в следующем: по квадратной матрице A порядка n, найти матрицу n × 1 X, , называемую n -мерным вектором, таким образом, что AX = cX . Здесь c - число, называемое собственным значением, а X - собственным вектором. Существование собственного вектора X с собственным значением c означает, что определенное преобразование пространства, связанное с матрицей A , растягивает пространство в направлении вектора X на коэффициент c .

    Матрицы

    - Высшая математика углубленного уровня

    Добро пожаловать на сайт advancedhighermaths.co.uk

    Хорошее понимание матриц необходимо для успешной сдачи экзамена.

    Обучение на уровне Advanced Higher Maths обеспечит отличную подготовку к учебе в университете. Некоторые университеты могут потребовать от вас сдать экзамен AH Maths для зачисления на выбранный вами курс. Курс AH Maths проходит быстро, поэтому, пожалуйста, сделайте все возможное, чтобы не отставать от учебы.

    Для студентов, которым нужна дополнительная помощь с курсом AH Maths, вы можете рассмотреть возможность подписки на фантастические ресурсы, посвященные дополнительным экзаменам, доступные в Online Study Pack.

    Чтобы получить доступ к большому количеству дополнительных бесплатных ресурсов по теме , воспользуйтесь указанной выше панелью поиска или нажмите ЗДЕСЬ, выбрав тему, которую вы хотите изучать.

    Мы надеемся, что этот веб-сайт окажется для вас полезным, и желаем вам всяческих успехов в прохождении курса AH Maths в 2021/22 году.Найдите ниже:

    1. О матрицах

    2. Матрицы - лист экзамена и руководства по теории

    3. Матрицы - рекомендуемые вопросы из учебников

    4. Рабочие листы прошедших экзаменов AH по математике по темам

    5. AH Maths Past Paper Вопросы по темам

    6. Прошедшие экзамены по математике и практические работы

    7. Образец экзаменационной работы AH Maths 2020

    8. Практические работы для отборочных и выпускных экзаменов AH по математике

    9. AH Maths Theory Guides

    10.План курса математики AH, таблицы формул и контрольный список

    11. Рекомендуемое время и ответы на вопросы в учебнике - Глава 1

    12. Рекомендуемое время и ответы на вопросы в учебнике - Глава 2

    13. Рекомендуемое время и ответы на вопросы в учебнике - Глава 3

    14. Тестирование математических подразделений AH - Решения включены

    15. Видеосвязь AH Maths

    16. Рекомендуемый учебник по математике

    17. Учебный пакет, ориентированный на экзамен - студенты, желающие "хорошо" пройти

    .

    Ресурсы по высшей математике для продвинутых

    .

    1. О матрицах

    Чтобы узнать о Матрицах, щелкните любую из ссылок Руководства по теории в Разделе 2 ниже. Для студентов, работающих с учебником «Математика в действии», в Разделе 3 приведены рекомендуемые вопросы по этой теме. Настоятельно рекомендуются рабочие листы, включающие актуальные вопросы экзамена SQA.

    Если вам нужна дополнительная помощь в понимании Matrices , есть полные, простые в использовании, пошаговые решения для десятков вопросов экзамена AH Maths Past & Practice по всем темам в пакете онлайн-обучения AH Maths.В учебный пакет также включены полностью проработанные решения рекомендуемых вопросов из учебников МВД. Пожалуйста, дайте себе все возможности для успеха, поговорите со своими родителями и подпишитесь на Online Study Pack, посвященный экзамену .

    Матрицы

    • Матрица - это таблица или массив чисел, называемых элементами или записями
    • Элементы или записи расположены в строках и столбцах
    • Порядок матрицы задается указанием ее размеров - количество строк x количество столбцов

    .

    В AH Maths тема Matrix охватывает:

    1. Основные свойства и операции с матрицами
    2. Умножение матриц
    3. Свойства умножения матриц
    4. Определитель матрицы 2 x 2 и 3 x 3
    5. Инверсия матрицы 2 x 2 и 3 x 3
    6. Решите системы уравнений с 2 ​​и 3 неизвестными, используя обратную матрицу
    7. Используйте матрицы для представления простых геометрических преобразований, таких как отражение, вращение и дилатация (растяжение)

    Экзаменационный вопрос

    Источник: SQA AH Maths Paper 2017 Вопрос 7

    .

    2. Матрицы - лист экзамена и руководства по теории

    Спасибо SQA и авторам за то, что они сделали отличную таблицу AH Maths Worksheet & Theory Guides в свободном доступе для всех. Это окажется фантастическим ресурсом, который поможет закрепить ваше понимание математики AH. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения для всех вопросов по математике SQA AH в таблице ниже доступны в пакете онлайн-обучения.

    .

    3. Матрицы - рекомендуемые вопросы по учебникам

    Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана показаны ниже.Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.

    Подтема
    __________________________________
    Номер страницы
    _____________
    Упражнение
    ______________
    Рекомендуемые вопросы
    ____________________________
    Основные свойства и операции с матрицами Страница 231 Упражнение 13.1 Q1,2,3a, 4a, c, e, i, p, t, 7a, f, 9,10
    Умножение матриц Стр. 235 Упражнение 13.3 Q1a, c, 2a, c, k, m, o, 3a, 4,5a, c
    Свойства матричного умножения Страница 236 Упражнение 13.4 Q6a, b, 7a, b, 8a
    Определитель матрицы 2 x 2 Страница 240 Упражнение 13.6 Q1a, b, d, h
    Определитель матрицы 3 x 3 Страница 247 Упражнение 13.9 Q4a, b, c, d, 5a, b
    Инверсия матрицы 2 x 2 Page 243 Упражнение 13.7 1 кв., 2, 4, 8, 9а, б, в
    Инверсия матрицы 3 x 3 Страница 275 Упражнение 14.10 Q1a, b, c, d
    Матрицы преобразования Страница 251 Упражнение 13.10 Q1,2,5



    4. Рабочие листы прошлых экзаменов AH по математике по темам

    Спасибо SQA за их доступность. Рабочие листы по темам, представленные ниже, являются отличным учебным ресурсом, поскольку они представляют собой фактические вопросы SQA прошлых бумажных экзаменов.Ясные, простые в использовании, пошаговые решения для всех приведенных ниже вопросов по математике SQA AH доступны в пакете онлайн-обучения.

    .

    5. Прошлая работа AH по математике Вопросы по темам

    Спасибо SQA за их доступность. Вопросы и ответы сгруппированы по темам для удобства пользования. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения для всех приведенных ниже вопросов SQA AH Maths доступны в Online Study Pack.

    9057 9057 Q8 Q8 905 Q8 9057 Q8 905 Q12 905 Q5 905 Q8 9057 Q8 905 Q8 905 9057 Q8 Q8 9080 Q8 9080 Q8 9080 Q8 905 9080 9080 смешанный смешанный
    .
    Бумага
    ___________
    .
    Маркировка
    ______
    Биномиальная
    Теорема
    ________
    Частичная
    Дроби
    ________
    .
    Дифференциация
    ___________
    Дальнейшая дифференциация
    ___________
    .
    Интеграция
    ___________
    Дальнейшая интеграция

    ____________
    Функции
    и графики
    ___________
    Системы уравнений

    ____________
    Комплексные номера

    __________
    Сложные номера

    __________
    Seq 905 ____________ .
    Матрицы
    _________
    .
    Векторы
    __________
    Методы
    подтверждения
    __________
    Дополнительные сведения №
    Теория
    ___________
    Дифференциальные уравнения

    ____________
    Дополнительные
    Дифференциальные уравнения
    _________________
    Образец P1 Маркировка Q2 Q4 Q6 Q8 Q3 Q5 Q3
    Образец P2 Маркировка Q3 Q1 Q2,4,8,10 Q7 Q11 Q5 0 Q5 0 9057 Q12
    2019 Маркировка Q9 Q4 Q1a, b, 6 Q1c, 5,10 Q16b Q16a Q3 9057 9057 Q18 Q15 Q11,14 Q12 Q13 Q8
    2018 Маркировка 3 квартал 2 квартал Q1b Q1a, c, 6,13 Q8 Q15a Q16a Q8 905 905 905 11 Q16 Q9,12 Q5 Q15b
    2017 Маркировка Q1 Q2 Q3 Q11,18 Q16 Q6 Q12 Q5 Q8 Q7 905 905 905 905 Q13 Q8 Q9 Q14
    2016 Маркировка Q3 Q13 Q1a, b Q1c, 11 Q13 Q9 Q12 Q5 Q5,10 Q16 Q15
    2015 Маркировка Q1,9 Q2 Q4,6,8 Q17 Q10 Q14 Q13 Q3 Q7 Q18 Q16
    2014 Маркировка Q2 14b Q1,13 Q1,4,6 Q10,12 Q15 Q11 Q3 Q8 905 905 905 9057 Q8 905 7 квартал 5 квартал квартал 7 8 квартал
    2013 Маркировка Q1 Q2 Q11 Q4,6 Q8 Q13 Q7,10 Q17 905 Q5 Q16 Q14
    2012 Маркировка Q4 15a Q1 Q12,13 Q8 Q11 Q7 Q14 16a Q10 Q15
    2011 Маркировка Q2 Q1 3b, 7 3a Q1,11a Q1,11,16 Q6 Q10 905 4 квартал квартал 15 квартал 12 квартал 9 квартал 14
    2010 Маркировка Q5 Q1 Q13 Q15 Q3,7 Q10 Q16 Q5 905 12 Q11
    2009 Маркировка Q8 Q14 Q1a Q1b, 11 Q5,7 Q9 Q13 16a 4 квартал 10 квартал 3 квартал 15 квартал
    2008 Маркировка Q8 Q4 Q10,15 Q2,5 Q4,9,10 Q7 Q3 Q16 Q16 Q5 Q14 Q11 Q13
    2007 Маркировка Q1 Q4 Q2 Q13 Q4,10 Q4 Q16 Q3,11 Q8 905 905 Q8 905 905 12 квартал квартал 7 квартал 14 8 квартал
    смешанный смешанный смешанный смешанный смешанный смешанный смешанный смешанный смешанный смешанный смешанный 9057 смешанный смешанный 9057 Смешанный Смешанный

    .

    6. Прошедшие экзамены по математике и практические работы

    Спасибо SQA за их доступность. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения для всех приведенных ниже вопросов SQA AH Maths доступны в Online Study Pack.

    .

    7. Образец экзаменационной работы AH Maths 2020

    Ниже представлены два образца документов, любезно предоставленных SQA. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения для образца статьи по математике SQA AH, доступной в пакете для онлайн-исследований.

    .
    Дата
    __________
    .
    Бумага
    ___________
    .
    Маркировка
    ______
    Биномиальная
    Теорема
    ________
    Частичная
    Дроби
    ________
    .
    Дифференциация
    ___________
    Дальнейшая дифференциация
    ___________
    .
    Интеграция
    ___________
    Дальнейшая интеграция

    ____________
    Функции
    и графики
    ___________
    Системы уравнений

    ____________
    Комплексные номера

    __________
    Сложные номера

    __________
    Seq 905 ____________ .
    Матрицы
    _________
    .
    Векторы
    __________
    Методы
    подтверждения
    __________
    Дополнительные сведения №
    Теория
    ___________
    Дифференциальные уравнения

    ____________
    Дополнительные
    Дифференциальные уравнения
    _________________
    июнь 2019 Образец P1 Маркировка Q2 Q4 Q6 Q8 Q3 Q5 9077
    июнь 2019 Образец P2 Маркировка Q3 Q1 Q2,4,8,10 Q7 Q11 0 Q5 9057 Q6 Q12

    .

    8. Практические работы для отборочных и выпускных экзаменов AH по математике

    Спасибо SQA и авторам за их свободный доступ. Пожалуйста, используйте его регулярно для пересмотра перед экзаменами, тестами и выпускным экзаменом. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения для первых пяти практических материалов, представленных ниже, доступны в пакете онлайн-обучения.

    .

    9. AH Maths Theory Guides

    Спасибо авторам за то, что они сделали отличные руководства по теории математики AH в свободном доступе для всех.Это окажется фантастическим ресурсом, который поможет закрепить ваше понимание математики AH.

    Первый блок

    Второй блок

    Блок Три

    .

    10. План курса математики AH, таблицы формул и контрольный список

    Спасибо SQA и авторам за то, что предоставили в свободный доступ превосходные ресурсы, указанные ниже. Это фантастические контрольные списки для оценки ваших знаний по математике. Пожалуйста, постарайтесь регулярно использовать их для пересмотра перед тестами, предварительными экзаменами и заключительным экзаменом.

    Название
    ____________________________________
    Ссылка
    ___________
    Предоставлено
    ___________________
    План и расписание курса математики AH ЗДЕСЬ
    Список формул экзамена по математике SQA AH ЗДЕСЬ Предоставлено SQA
    Список формул экзаменов SQA по высшей математике ЗДЕСЬ Предоставлено SQA
    SQA AH Maths Support Notes ЗДЕСЬ Предоставлено SQA
    Полный контрольный список по математике ЗДЕСЬ

    .

    11. Рекомендуемое время и ответы на вопросы в учебнике - Первый блок

    Расписание курсов, а также конкретные упражнения / вопросы из учебников для Первого модуля, любезно предоставленные издательством Teejay, можно найти ЗДЕСЬ.

    Частичные дроби

    Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.

    Подтема
    _______________________________
    Номер страницы
    _____________
    Упражнение
    _____________
    Рекомендуемые вопросы
    _______________________
    Комментарий
    ________________
    Первый тип - частичные дроби Страница 23 Упражнение 2.2 Q1, 5, 12, 18, 19, 22, 25
    Второй тип - частичные дроби Страница 24 Упражнение 2.3 1, 3, 5, 10, 14, 18
    Тип три - частичные дроби Страница 25 Упражнение 2.4 Q1, 5, 7, 9, 11
    Рабочий лист с алгебраическим долгим делением Рабочий лист Рабочие решения
    Частичная дробь - длинное деление Страница 26 Упражнение 2.5 Q1 a, b, e, j, l

    .

    Биномиальная теорема

    Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.

    Подтема
    ____________________________________
    Номер страницы
    _____________
    Упражнение
    ___________
    Рекомендуемые вопросы
    _______________________________
    Примечания к уроку
    __________________________________________________________________________________
    Комбинации nCr Страница 33 Упражнение 3.3 Q1a, b, c, 2a, b, c, 4a-d, 5a, b, 6a, 7a, b, d
    Расширение - Урок 1 Страница 36 Упражнение 3.4 Q1a, b, c, 2a, i, ii, iii, iv
    Расширение - Урок 2 Стр. 36 Упражнение 3.4 Q3a-d, 4a-f ТЕОРИЯ - Вопросы 3 и 4
    Поиск коэффициентов Страница 38 Упражнение 3.5 Q1a, b, c, 4a, 5a, 6
    Приближение, например, 1.5 =? Страница 40 Упражнение 3.6 Q1a, b, c, d
    Упрощение общего термина (вопросы SQA) Вопросы и ответы SQA Распространенные биномиальные вопросы SQA, которых нет в учебнике AH

    .

    Системы уравнений

    Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.

    Подтема
    ______________________________
    Номер страницы
    _____________
    Упражнение
    _______________
    Рекомендуемые вопросы
    _______________________
    Исключение по Гауссу Страница 265 Упражнение 14.4 Q1a, b, c, d, 2a, b, c
    Избыточность и несогласованность Стр. 268 Упражнение 14.6 Q1a, b, c, 2
    Вопрос о резервировании SQA 2016 Q4 (SQA)
    Несоответствие SQA Вопрос 2017 Q5 (SQA)
    ILL Кондиционирование Страница 274 Упражнение 14.9 Q2a, b, c, d
    ILL Conditioning SQA Question 2012 Q14c (SQA)

    .

    Функции и графики

    Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.

    Подтема
    ______________________________
    Номер страницы
    _____________
    Упражнение
    ___________
    Рекомендуемые вопросы
    _______________________
    Функция модуля построения эскиза y = | x | Page 66 Упражнение 5.2 1-9 квартал
    Обратные функции Страница 67 Упражнение 5.3 Q1a, c, e, g, i, 2a, c, e, 3
    Нечетные и четные функции Страница 74 Упражнение 5.8 Q3a-l
    Вертикальные асимптоты и поведение Страница 75 Упражнение 5.9 Q1a-f
    Горизонтальные и наклонные асимптоты Page 76 Упражнение 5.10 Q1a, b, f, g, k, l
    Создание эскизов графиков Страница 77 Упражнение 5.11 Q1a, c, e, i, k

    .

    Дифференциальное исчисление

    Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.

    Подтема
    ___________________________
    Номер страницы
    ____________
    Упражнение
    ___________
    Рекомендуемые вопросы
    _______________________
    Производная от Первых принципов Page 45 Упражнение 4.1 1,3,5,7 кв.
    Правило цепочки Страница 48 Упражнение 4.3 Q1a, d, 2a, c, 3b, 4a, 5a
    Правило продукта Стр. 51 Упражнение 4.5 Q1a-h, Q2b, Q3a-l
    Правило частного Страница 52 Упражнение 4.6 Q1,2,3,4
    Дифференциация - смесь! Страница 53 Упражнение 4.7 Q1,2,3,4,5
    Sec, Cosec & Cot Page 55 Упражнение 4.8 Q1a, b, 2a, c, d, 3a, c, e, g
    Экспоненциальные функции Страница 58 Упражнение 4.9 Q1a, c, e, 2a, 3e, 4a, b, 5a, e
    Логарифмические функции Страница 58 Упражнение 4.9 Q1k, m, o, q, s, 2f, g, 3a, b, c, 4d, e, 5d
    Природа и полиномы для рисования Страница 70 Упражнение 5.5 Q1a, b, c, 2a, b
    Вогнутость Страница 73 Упражнение 5.7 Q5a, b, c, Q1a, b
    Приложения Страница 187 Ex 11.1 Q1a, b, e, f, 2a, c, 3a, c

    .

    Интегральное исчисление

    Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.

    Подтема
    ______________________________________
    Стр. №
    __________
    Упражнение
    ___________
    Рекомендуемые вопросы
    _____________________
    Интеграция (высшая версия) Стр. 100 Упражнение 7.1 Q1a-i, 2a-i, 3a-l, 4a-f
    Интегрирование заменой Страница 103 Упражнение 7.2 Q1a, c, e, g, i, k, m, o, q, s, u, w
    Интеграция заменой - Дополнительная доработка! Page 103 Упражнение 7.2 Q1b, d, f, h, j, l, n, p, r, t, v, x
    Дальнейшее интегрирование путем замены Страница 105 Упражнение 7.3 Q2a, b, c, d, 4a, b, c, d
    Дальнейшее интегрирование путем замены Page 105 Упражнение 7.n (x) Страница 105 Упражнение 7.3 Q7a, b, c, d, e, f
    Дальнейшая интеграция путем замены - журналы Страница 105 Упражнение 7.3 Q11a, b, c, d
    Подстановка и определенные интегралы Стр.107 Упражнение 7.4 Q1a, c, e, g, i, k
    Площадь между кривой и осью x Страница 120 Упражнение 7.10 Q1,3
    Площадь между кривой и осью Y Page 120 Упражнение 7.10 6,7
    Объем - вращение вокруг оси x SQA Вопрос 2014 Q10 (SQA)
    Объем - вращение вокруг оси Y SQA Вопрос 2017 Q16 (SQA)
    Объем - вращение вокруг оси x Страница 120 Упражнение 7.10 Q11,12
    Приложения интегрального исчисления Страница 187 Упражнение 11.1 Q4,14

    .

    12. Рекомендуемое время в учебнике и вопросы - Второй блок

    Расписание курсов, а также конкретные упражнения / вопросы из учебников для Раздела 2, любезно предоставленные издательством Teejay, можно найти ЗДЕСЬ.

    Дальнейшая дифференциация

    Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.

    Подтема
    _______________________________________
    Номер страницы
    _____________
    Упражнение
    ______________
    Рекомендуемые вопросы
    _____________________
    Обратные триггерные функции и правило цепочки Страница 85 Упражнение 6.2 Q1a, b, c, Q2b, c, dQ3a, d
    Обратный триггер Fns и правила произведения / коэффициента Page 86 Упражнение 6.3 II, III квартал
    Неявные и явные функции - 1 Стр. 89 Упражнение 6.4 Q1, Q2
    Неявные и явные функции - 2 Стр. 89 Упражнение 6.4 Q5, Q9, Q4
    Вторые производные неявных функций Page 90 Упражнение 6.5 Q1a, d, f, k (i), 6
    Логарифмическое дифференцирование Page 92 Упражнение 6.6 I кв., II кв.
    Параметрические уравнения Страница 95 Упражнение 6.7 Q1a, b, c
    Параметрические уравнения - дифференциация Страница 96 Упражнение 6.8 Q1,2,3
    Параметрические уравнения - дифференциация (альтернатива) Страница 96 Упражнение 6.8 Q1 (i)
    Параметрические уравнения - дифференциация (альтернатива) Page 96 Упражнение 6.8 Q1 (ii), Q2, Q3
    Приложения дальнейшего дифференцирования Страница 193 Упражнение 11.2 Q1, Q2, Q3

    .

    Дальнейшая интеграция

    Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана, показанного ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.

    Подтема
    ______________________________________
    Стр. №
    __________
    Упражнение
    _________________
    Рекомендуемые вопросы
    __________________________
    Интегрирование с использованием обратных триггерных функций Page 111 Упражнение 7.6 Q1,2,3,4a, b
    Интегрирование с использованием частичных дробей Страница 113 Упражнение 7.7 Q1a, b, 2a, b, 3a, b, 4a, b, 5a, b, 6a, b
    Интеграция по частям - 1 Страница 116 Упражнение 7.8 Q1a-l
    Интеграция по частям - 2 Страница 116 Упражнение 7.8 Q2a, c, d, e, f, g, h
    Интеграция по частям - 3 Страница 116 Упражнение 7.8 Q5a, b, Q6a, b
    Интеграция по частям - особые случаи - 1 Страница 118 Упражнение 7.9 Q1a, b, c, d
    Интеграция по частям - особые случаи - 2 Страница 118 Упражнение 7.9 Q2a, b, c, d, e
    Дифференциальные уравнения первого порядка - Общие сведения Страница 128 Упражнение 8.1 Q1a-j
    Дифференциальные уравнения первого порядка - конкретное решение Page 128 Упражнение 8.1 Q2a-g
    Дифференциальные уравнения в контексте Страница 131 Упражнение 8.2 Q2,4,5,6

    .

    Комплексные числа

    Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.

    Подтема
    _________________________________
    Номер страницы
    _____________
    Упражнение
    ______________
    Рекомендуемые вопросы
    _________________________
    Арифметика с комплексными числами Page 207 Упражнение 12.1 1 квартал,2,3,6,7,8
    Деление и квадратные корни комплексных номеров Страница 209 Упражнение 12.2 Q1a, b, c, 2c, e, 3a, b, f, 5a, b
    Диаграммы Аргана Страница 211 Упражнение 12.3 Q3a, b, d, e, f, i, 6a, b, f, 7a, b, c
    Умножение / деление в полярной форме Страница 215 Упражнение 12.5 Q1a, b, f, g
    Теорема Де Муавра Страница 218 Упражнение 12.6 Q1,2,3a, 4g, h, i, j
    Многочлены и комплексные числа Страница 224 Упражнение 12.8 Q2a, d, 3a, b, 4,5,6a, b
    Локусы на сложной плоскости Page 213 Упражнение 12.4 Q1a, b, d, f, j, 3a, b, 4a, b, c
    Формула расширяющегося триггера Страница 219 Упражнение 12.6 Q5,6,7a
    Корни комплексного числа Page 222 Упражнение 12.7 Q2a, b, c, d, e, f, 1a (i)

    .

    Последовательности и серии, сигма-нотация

    Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.

    Подтема
    _______________________________
    Номер страницы
    _____________
    Упражнение
    ______________
    Рекомендуемые вопросы
    __________________________
    Арифметические последовательности Page 151 Упражнение 9.1 Q1a-f, 2a-f, Q3, Q4, Q6
    Нахождение суммы - арифметическая последовательность Страница 153 Упражнение 9.2 Q1a, b, c, Q3a-d, Q4a, b, Q5a
    Геометрическая последовательность Страница 156 Упражнение 9.3 Q1a-e, Q2, Q3, Q5
    Нахождение суммы - геометрическая последовательность Страница 159 Упражнение 9.4 Q1a-f, Q2a-d, Q3a-d, Q4
    Нахождение суммы до бесконечности Page 162 Упражнение 9.5 1,2,3,4,6 кв.
    Сигма-нотация Страница 168 Упражнение 10.1 Q1a-e, Q2a-e

    .

    Теория чисел и доказательства

    Тема
    _______________________________
    Уроки
    __________
    Вопросы
    _________
    Типизированные решения
    _______________
    Решения, написанные от руки
    ______________________
    Вопросы для изучения в Интернете __________________________________________
    Прямая проба Урок 1 Ex 1 и 2 Ex 1 и 2 Рукописные Solns 2018-Q9,2015-Q12, 2010-Q8a
    Доказательство контрпримером Урок 2 Пример 3 Пример 3 Типизированный Solns Пример 3 Рукописный Solns 2016-Q10, 2013-Q12, 2008-Q11
    Доказательство контрпримером Ex 4 Ex 4 Типизированный Solns Ex 4 Рукописный Solns 2016-Q10, 2013-Q12, 2008-Q11
    Доказательство противоречием Урок 3 Ex 5 Ex 5 Типизированный Solns Ex 5 Рукописный Solns 2010-Q12
    Доказательство контрапозитивом Урок 4 Ex 6 Ex 6 Типизированный Solns Ex 6 Рукописный Solns 2017-Q13
    Доказательство индукцией Урок 5 Ex 7 Ex 7 Типизированный Solns Ex 7 Рукописный Solns 2014-Q7,2013-Q9,2012-Q16a, 2011-Q12,2010-Q8b, 2009- 4 квартал 2007 года - 12 квартал
    Индукционная проба - сигма-нотация Урок 6 Ex 8 Ex 8 Типизированный Solns Ex 8 Рукописный Solns 2018-Q12,2016-Q5, 2013-Q9,2009-Q4

    .

    13. Рекомендуемое время в учебнике и вопросы - Часть 3

    Расписание курсов, а также конкретные упражнения / вопросы из учебников для Раздела 3, любезно предоставленные издательством Teejay, можно найти ЗДЕСЬ.

    Векторы

    Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.

    Подтема
    __________________________________
    Номер страницы
    _____________
    Упражнение
    ______________
    Рекомендуемые вопросы
    ________________________
    Урок / Примечания
    _________________
    Более высокая версия векторов Страница 282 Упражнение 15.1 Q6,7,8
    Векторный продукт - 1 Page 286 Упражнение 15.3 Q1,2a, b, 5,7,8a, b, 10 Урок 1
    Векторный продукт - 2 Страница 286 Упражнение 15,3 Q3,4,6,12 Урок 2
    Уравнения прямой Страница 298 Упражнение 15.8 Q1a, b, 2a, 3a, c, e, 5 Урок 3
    Векторное уравнение прямой Стр. 298 Упражнение 15.9 Q2 Урок 3
    Уравнение плоскости Page 291 Упражнение 15.5 Q1a, b, c, d, 2a, b, 3,4a, c, 9,10 Урок 4
    Угол между 2 плоскостями Страница 293 Упражнение 15.6 Q1,2,3 Урок 5
    Пересечение линии и плоскости Страница 300 Упражнение 15.10 Q1a, b, c, 2a, b, 3,4a Урок 6
    Пересечение двух линий Страница 302 Упражнение 15.11 Q1,2 Урок 7
    Пересечение двух плоскостей с использованием гауссианы Page 303 Упражнение 15.12 Q1,2 Урок 8
    Пересечение двух плоскостей - альтернатива Страница 303 Упражнение 15.12 Q1,2
    Пересечение трех плоскостей Страница 307 Упражнение 15.3 Q1a, c, 2a, c Урок 9

    .

    Матрицы

    Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже.Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.

    Подтема
    __________________________________
    Номер страницы
    _____________
    Упражнение
    ______________
    Рекомендуемые вопросы
    ____________________________
    Основные свойства и операции с матрицами Страница 231 Упражнение 13.1 Q1,2,3a, 4a, c, e, i, p, t, 7a, f, 9,10
    Умножение матриц Стр. 235 Упражнение 13.3 Q1a, c, 2a, c, k, m, o, 3a, 4,5a, c
    Свойства матричного умножения Страница 236 Упражнение 13.4 Q6a, b, 7a, b, 8a
    Определитель матрицы 2 x 2 Страница 240 Упражнение 13.6 Q1a, b, d, h
    Определитель матрицы 3 x 3 Страница 247 Упражнение 13.9 Q4a, b, c, d, 5a, b
    Инверсия матрицы 2 x 2 Page 243 Упражнение 13.7 1 кв., 2, 4, 8, 9а, б, в
    Инверсия матрицы 3 x 3 Страница 275 Упражнение 14.10 Q1a, b, c, d
    Матрицы преобразования Страница 251 Упражнение 13.10 Q1,2,5

    .

    Дальнейшие последовательности и серии (серия Маклорена)

    Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже.Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.

    Подтема
    ________________________________
    Номер страницы
    _____________
    Упражнение
    ______________
    Рекомендуемые вопросы
    _______________________
    Серия Маклорена для f (x) Страница 179 Упражнение 10.5 Q1a, b, c, d, 3a, b
    Серия Маклорена - Составные функции Страница 182 Упражнение 10.7 Q1a, f, 2a, 3a, 6a, 7a, 8a, b
    Серия Maclaurin - вопросы SQA Вопросы и ответы SQA

    .

    Дополнительные дифференциальные уравнения

    Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.

    Подтема
    __________________________________
    Номер страницы
    _____________
    Упражнение
    ______________
    Рекомендуемые вопросы
    ________________________
    Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка Page 136 Упражнение 8.3 Q1a, b, 2a, 3a, b
    Дифференциальные уравнения 2-го порядка
    (корни действительные и отчетливые)
    Страница 140 Упражнение 8.4 Q1a, b, c, 2a, b
    Дифференциальные уравнения 2-го порядка
    (действительные и совпадающие корни)
    Страница 141 Упражнение 8.5 Q1a, b, c, 2a, b
    Дифференциальные уравнения 2-го порядка
    (корни ненастоящие)
    Страница 142 Упражнение 8.6 Q1a, b, c, 2a, b
    Неоднородные дифференциальные уравнения
    (Нахождение общего решения)
    Page 146 Упражнение 8.9 Q1a, b, c
    Неоднородные дифференциальные уравнения
    (Поиск частного решения)
    Страница 146 Упражнение 8.9 Q2a, b, c

    .

    Дополнительная теория чисел и доказательства

    Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.

    Подтема
    _______________________________________
    Номер страницы
    _____________
    Упражнение
    _________
    Рекомендуемые вопросы
    ____________________________
    Нахождение наибольшего общего делителя (НОД) Страница 318 Пример 16.3 Q1a, c, e, g, i
    Выражение НОД в форме xa + yb = d Страница 320 Пример 16.4 Q1,2,3,4
    База номеров Страница 322 Пр. 16.5 Q1a-d, 2a-f
    Дополнительная теория чисел - вопросы SQA Вопросы и ответы SQA

    .

    14. Оценки подразделений AH по математике - решения включены

    Спасибо maths777 за то, что эти прекрасные ресурсы стали доступны для всех. Это окажется фантастическим ресурсом, который поможет вам подготовиться к экзаменам, тестам и выпускному экзамену.

    .

    15.AH Maths Прошлые ссылки на видео

    Щелкните DLB Maths, чтобы просмотреть видео-решения AH Maths Past Paper. На канале St Andrews StAnd Maths на YouTube также есть много видео, демонстрирующих рабочие примеры по темам. Обе ссылки на видео - отличные ресурсы, которые помогут вам подготовиться к экзаменам, тестам и выпускному экзамену.

    .

    16. Учебник по математике - Математика в действии (2-е издание) Эдварда Маллана

    Полностью переработанный курс для нового экзамена Curriculum for Excellence, разработанный для полной поддержки новой структуры курса и оценки отдельных модулей.Являясь частью высоко оцененной серии «Математика в действии», она предоставляет студентам знакомый, ясный и тщательно структурированный учебный опыт, который побуждает их укреплять уверенность и понимание.

    .

    .

    17. Пакет для онлайн-обучения продвинутой высшей математике

    Посредством пошаговых решений для экзаменационных вопросов и рекомендованных вопросов из учебников MIA, доступных в Online Study Pack, мы охватываем все, что вам нужно знать о Matrices , чтобы сдать последний экзамен.

    Для студентов, желающих «хорошо» сдать экзамен AH Maths, вы можете рассмотреть возможность подписки на фантастические ресурсы, посвященные дополнительным экзаменам, доступные в Online Study Pack. Подписка может стать одним из ваших лучших вложений.

    Пожалуйста, дайте себе все возможности для успеха, поговорите с родителями и подпишитесь на экзаменационный пакет Online Study Pack сегодня.

    Мы надеемся, что ресурсы на этом веб-сайте окажутся полезными, и желаем вам всяческих успехов в вашем курсе AH Maths в 2022 году.

    Получите учебный пакет - всего 9,99 фунтов стерлингов

    Учителя нажмите здесь>

    Матрицы

    и матричная алгебра - Статистика Как к

    Матрицы и содержание матричной алгебры (щелкните, чтобы перейти к этому разделу):

    1. Матричная алгебра: введение
    2. Добавление матрицы: другие примеры
    3. Умножение матриц
    4. Определение сингулярной матрицы
    5. Матрица идентичности
    6. Что такое обратная матрица?
    7. Собственные значения и собственные векторы
    8. Расширенные матрицы
    9. Определитель матрицы
    10. Диагональная матрица
    11. Что такое симметричная и кососимметричная матрица?
    12. Что такое матрица транспонирования?
    13. Что такое матрица дисперсии-ковариации?
    14. Корреляционные матрицы
    15. Идемпотентная матрица.

    Матрица - это прямоугольный массив чисел, упорядоченный по столбцам и строкам (как в электронной таблице). Матричная алгебра используется в статистике для выражения наборов данных. Например, ниже представлен рабочий лист Excel со списком оценок за экзамены:

    Преобразование в матричную алгебру в основном просто включает удаление идентификаторов столбцов и строк. Добавляется идентификатор функции (в данном случае «G» для оценок):

    Числа, которые появляются в матрице, называются элементами матрицы .

    Матрицы

    : обозначение

    Почему странная нотация?
    Мы используем другую нотацию (в отличие от хранения данных в формате электронной таблицы) по простой причине: соглашение. Соблюдение соглашений упрощает соблюдение правил матричной математики (таких как сложение и вычитание). Например, в элементарной алгебре, если у вас есть список вроде этого: 2 яблока, 3 банана, 5 виноградин, вы должны изменить его на 2a + 3b + 5g, чтобы соблюсти соглашение.

    Некоторые из наиболее распространенных терминов, с которыми вы встретитесь при работе с матрицами:

    • Размер (также называемый порядком): сколько строк и столбцов имеет матрица.Сначала перечислены строки, за ними следуют столбцы. Например, матрица 2 x 3 означает 2 строки и 3 столбца.
    • Элементы : числа, которые появляются внутри матрицы.
    • Матрица идентичности (I): Диагональная матрица с нулями в качестве элементов, за исключением диагонали, у которой есть единицы.
    • Скаляр : любое действительное число.
    • Матрица
    • Функция: скаляр, умноженный на матрицу, для получения другой матрицы.

    Матрицы идентичности. Изображение: Википедия.com.

    Матричная алгебра: сложение и вычитание

    Размер матрицы (т.е. 2 x 2) также называется размером матрицы или порядком матрицы. Если вы хотите сложить (или вычесть) две матрицы, их размерность должна быть точно так же, как . Другими словами, вы можете добавить матрицу 2 x 2 к другой матрице 2 x 2, но не матрицу 2 x 3. Добавление матриц очень похоже на обычное сложение: вы просто добавляете одинаковые числа в одно и то же место (например, складываете все числа в столбце 1, строке 1 и все числа в столбце 2, строке 2).

    Примечание к обозначениям: рабочий лист (например, в Excel) использует буквы столбцов (ABCD) и номера строк (123), чтобы указать местоположение ячейки, например A1 или D2. Для матриц типично использовать обозначение типа g ij , что означает i-ю строку и j-й столбец матрицы G.

    Матричное вычитание работает точно так же.
    В начало

    Матричное дополнение - это всего лишь серия дополнений. Для матрицы 2 × 2:

    • Сложите верхние левые числа вместе и запишите сумму в новую матрицу в верхнем левом положении.
    • Сложите верхние правые числа и запишите сумму в верхнем правом углу.
    • Сложите нижние левые числа вместе и запишите сумму в нижнем левом углу.
    • Сложите нижние правые числа вместе и запишите сумму в правом нижнем углу:

    Используйте ту же процедуру для матрицы 2 × 3:

    Фактически, вы можете использовать этот базовый метод для добавления любых матриц, если ваши матрицы имеют одинаковые размеры (одинаковое количество столбцов и строк).Другими словами, , если матрицы одинакового размера, вы можете их добавить. Если они разного размера, вы не можете их добавить.

    • Матрица с 4 строками и 2 столбцами может быть добавлена ​​ к матрице с 4 строками и 2 столбцами.
    • Матрица с 4 строками и 2 столбцами не может быть добавлена ​​ к матрице с 5 строками и 2 столбцами.

    Вышеупомянутый метод иногда называют «начальным суммированием», поскольку вы просто складываете элементы и фиксируете результат.

    Другой способ подумать об этом…

    Подумайте, что представляет собой матрица. Эта очень простая матрица [5 2 5] может представлять 5x + 2y + 5z. И эта матрица [2 1 6] могла бы равняться 2x + y + 6z. Если сложить их вместе с помощью алгебры, получится:
    5x + 2y + 5z + 2x + y + 6z = 7x + 3y + 11z.
    Это тот же результат, что и при сложении записей в матрицах.

    Дополнение матрицы для неравных размеров

    Если у вас неравные размеры, вы все равно можете сложить матрицы вместе, но вам придется использовать другой (гораздо более продвинутый) метод.Один из таких приемов - прямая сумма. Прямая сумма (⊕) любой пары матриц A размера m × n и B размера p × q представляет собой матрицу размера (m + p) × (n + q):

    Например:

    В начало

    Относительно легко умножить на одно число (так называемое «скалярное умножение»), например 2:

    Просто умножьте каждое число в матрице на 2, и вы получите новую матрицу. На изображении выше:
    2 * 9 = 18
    2 * 3 = 6
    2 * 5 = 10
    2 * 7 = 14

    Результат четырех умножений дает числа в новой матрице справа.

    Умножение матриц: две матрицы

    Когда вы хотите перемножить две матрицы, процесс становится немного сложнее. Вам нужно умножить строки первой матрицы на столбцы второй матрицы. Другими словами, умножьте по строкам первой матрицы и по столбцам второй матрицы. После того, как вы умножили, сложите продукты и запишите ответы в виде новой матрицы.

    Если все это звучит немного сложно, это (очень короткое) видео показывает, как это делается:


    Не можете посмотреть видео? Кликните сюда.

    Вы можете выполнить матричное умножение двух матриц, только если количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице. Например, вы можете умножить матрицу 2 x 3 (две строки и три столбца) на матрицу 3 x 4 (три строки и четыре столбца).

    Очевидно, что это может стать очень сложным (и утомительным) процессом. Тем не менее, вы можете найти множество достойных инструментов для умножения матриц в Интернете. Мне нравится этот от Матрицы Решиш. После расчета вы можете умножить результат на другую матрицу и другую, что означает, что вы можете перемножить несколько матриц вместе.

    Microsoft Excel также может выполнять матричное умножение с использованием функций «массива». Вы можете найти инструкции здесь, на сайте Стэнфорда. Прокрутите вниз до места, где написано Матричные операции в Excel.
    В начало

    Быстрый взгляд на матрицу может сказать вам, является ли она сингулярной матрицей. Если матрица квадратная и имеет одну строку или столбец с нулями или , два равных столбца или две равные строки, то это особая матрица. Например, следующие десять матриц являются единственными (изображение: Wolfram):

    Существуют и другие типы сингулярных матриц, некоторые из которых не так-то легко обнаружить.Следовательно, необходимо более формальное определение.

    Следующие три свойства определяют сингулярную матрицу:

    1. Матрица квадратная и
    2. Не имеет инверсии.
    3. Имеет определитель 0.

    1. Квадратная матрица

    Квадратная матрица имеет (как следует из названия) равное количество строк и столбцов. Говоря более формально, вы бы сказали, что матрица из m столбцов и n строк является квадратной, если m = n.Матрицы, которые не являются квадратными, являются прямоугольными.
    Сингулярная матрица - это квадратная матрица, но не все квадратные матрицы сингулярны.

    Необратимые матрицы

    Если квадратная матрица не имеет обратной, то это особая матрица.

    Обратная матрица - это то же самое, что и обратная величина числа. Если умножить матрицу на обратную, получится единичная матрица , матричный эквивалент 1. Идентификационная матрица в основном представляет собой последовательность единиц и нулей.Идентификационная матрица различается в зависимости от размера матрицы.

    Матрицы идентичности. Изображение: Wikipedia.com.

    Определитель нуля

    Определитель - это просто специальное число, которое используется для описания матриц и поиска решений систем линейных уравнений. Формула для вычисления определителя различается в зависимости от размера матрицы. Например, матрица 2 × 2, формула ad-bc.

    Эта простая матрица 2 × 2 сингулярна, потому что ее определитель равен нулю:

    К началу

    Единичная матрица - это квадратная матрица с единицами в качестве элементов на главной диагонали сверху слева направо снизу и нулями в остальных местах.Когда вы умножаете квадратную матрицу на единичную матрицу, исходная квадратная матрица остается неизменной. Например:

    По идее аналогичен айдентике. В базовой математике элемент идентичности оставляет число неизменным. Например, кроме того, тождественный элемент равен 0, потому что 1 + 0 = 1, 2 + 0 = 2 и т. Д., А при умножении тождественный элемент равен 1, потому что любое число, умноженное на 1, равно этому числу (т. Е. 10 * 1 = 10 ). Говоря более формально, если x - действительное число, то число 1 называется мультипликативным тождеством , потому что 1 * x = x и x * 1 = x.По той же логике единичная матрица I получила свое название, потому что для всех матриц A , I * A = A и A * I = A .

    В матричной алгебре единичный элемент различается в зависимости от размера матрицы, с которой вы работаете; в отличие от сингулярной единицы для мультипликативной идентичности и 0 для аддитивной идентичности, не существует единой единичной матрицы для всех матриц. Для любой матрицы n * n существует единичная матрица I n * n .На главной диагонали всегда будут единицы, а оставшиеся пробелы - нули. На следующем изображении показаны матрицы идентичности для матрицы 2 x 2 и матрицы 5 x 5:

    Матрица аддитивной идентичности

    Когда люди говорят о «матрице идентичности», они обычно имеют в виду мультипликативную матрицу идентичности. Однако есть и другой тип: аддитивная единичная матрица. Когда эта матрица добавляется к другой, вы получаете исходную матрицу. Неудивительно, что каждый элемент в этих матрицах - нули.Поэтому их иногда называют нулевой матрицей .

    Аддитивная единичная матрица для матрицы 3 * 3.


    Вернуться к началу

    Обзор поиска инверсий смотрите в этом коротком видео:


    Не можете посмотреть видео? Кликните сюда.

    Обратные матрицы - это то же самое, что и обратные. В элементарной алгебре (а может быть, и раньше) вы столкнулись с идеей обратного: одно число, умноженное на другое, может равняться 1.

    Изображение любезно предоставлено LTU


    Если вы умножите одну матрицу на ее обратную, вы получите матричный эквивалент 1: Identity Matrix , которая в основном представляет собой матрицу с единицами и нулями.

    Шаг 1: Найдите адъюгат матрицы. Сопряжение матрицы можно найти, переставив одну диагональ и взяв негативы другой:

    Чтобы найти сопряжение матрицы 2 × 2, поменяйте местами диагонали a и d, а затем поменяйте местами знаки c и d.

    Шаг 2: Найдите определитель матрицы. Для матрицы
    A B C D (см. Изображение выше) определитель равен (a * d) - (b * c).
    Шаг 3: Умножить 1 / определитель * адъюгат. .

    Проверка ответа

    Вы можете проверить свой ответ с помощью умножения матриц.Умножьте свою матрицу ответов на исходную матрицу, и вы получите единичную матрицу. Вы также можете воспользоваться онлайн-калькулятором здесь.
    В начало

    Собственное значение (λ) - это специальный скаляр, используемый при матричном умножении и имеющий особое значение в нескольких областях физики, включая анализ устойчивости и небольшие колебания колеблющихся систем. Когда вы умножаете матрицу на вектор и получаете тот же вектор в качестве ответа вместе с новым скаляром, скаляр называется собственным значением . Основное уравнение:
    A x = λ x ; мы говорим, что λ является собственным значением A.
    Все приведенное выше уравнение говорит о том, что , если вы возьмете матрицу A и умножите ее на вектор x , вы получите то же самое, как если бы вы взяли собственное значение и умножили его вектором x .

    Пример собственного значения

    В следующем примере 5 - собственное значение A, а (1,2) - собственный вектор:

    Давайте рассмотрим это по шагам, чтобы наглядно продемонстрировать, что такое собственное значение.В обычном умножении, если вы умножаете матрицу n x n на вектор n x 1, в результате вы получаете новый вектор n x 1. На следующем изображении показан этот принцип для матрицы 2 x 2, умноженной на (1,2):

    Что если бы вместо новой матрицы nx 1 можно было получить ответ с тем же вектором, который вы умножили на вместе с новым скаляром?

    Когда это возможно, вектор умножения (то есть тот, который также есть в ответе) называется собственным вектором, а соответствующий скаляр - собственным значением.Обратите внимание, что я сказал «, когда это возможно» , потому что иногда невозможно вычислить значение для λ. Разложение квадратной матрицы A на собственные значения и собственные векторы (их можно иметь несколько значений для одной и той же матрицы) известно в разложении на собственные значения . Разложение на собственные числа всегда возможно, если матрица, состоящая из собственных векторов матрицы A, является квадратной.

    Расчет

    Найдите собственные значения для следующей матрицы:

    Шаг 1: Умножьте единичную матрицу на λ.Единичная матрица для любой матрицы 2 × 2 равна [1 0; 0 1], поэтому:

    Шаг 2: Вычтите ответ из шага 1 из матрицы A, используя вычитание матрицы:

    Шаг 3: Найдите определитель матрицы, вычисленной на шаге 2:
    det = (5- λ) (- 1-λ) - (3) (3)
    Упрощая, получаем:
    -5 - 5λ + λ + λ 2 - 9
    = λ 2 - 4λ - 14

    Шаг 4: Установите уравнение, которое вы нашли на шаге 3, равным нулю и решите для λ:
    0 = λ 2 - 4λ - 14 = 2
    Мне нравится использовать свой TI-83 для поиска корней, но вы можете также воспользуйтесь алгеброй или этим онлайн-калькулятором.Находя корни (нули), получаем x = 2 + 3√2, 2 - 3√2

    Ответ : 2 + 3√2 и 2-3√2

    Математика для больших матриц такая же, но вычисления могут быть очень сложными. Для матриц 3 × 3 используйте калькулятор внизу этого раздела; для больших матриц попробуйте этот онлайн-калькулятор.


    В начало

    На изображении выше показана расширенная матрица (A | B) внизу. Расширенные матрицы обычно используются для решения систем линейных уравнений, и именно поэтому они были впервые разработаны.Три столбца слева от полосы представляют коэффициенты (по одному столбцу для каждой переменной). Эта область называется матрицей коэффициентов . Последний столбец справа от полосы представляет собой набор констант (т. Е. Значений справа от знака равенства в наборе уравнений). Она называется расширенной матрицей , потому что матрица коэффициентов была «дополнена» значениями после знака равенства.

    Например, следующая система линейных уравнений:

    x + 2y + 3z = 0
    3x + 4y + 7z = 2
    6x + 5y + 9z = 11

    Может быть помещен в следующую расширенную матрицу:

    После того, как вы поместили свою систему в расширенную матрицу, вы можете выполнять операции со строками для решения системы.

    У вас не , а для использования вертикальной полосы в расширенной матрице. Обычно матрицы вообще не содержат линий. Полоса просто упрощает отслеживание ваших коэффициентов и ваших констант справа от знака равенства. Если вы вообще используете вертикальную полосу, зависит от учебника, который вы используете, и от предпочтений вашего преподавателя.


    Написание системы уравнений

    Вы также можете работать в обратном направлении, чтобы написать систему линейных уравнений, заданную расширенной матрицей.
    Пример вопроса: Напишите систему линейных уравнений для следующей матрицы.

    Шаг 1: Запишите коэффициенты для первого столбца, за которым следует «x». Обязательно запишите положительные или отрицательные числа:
    -1x
    2x
    6x
    Шаг 2: Напишите коэффициенты для второго столбца, а затем укажите «y». Сложите, если это положительное число, вычтите, если оно отрицательное:
    -1x + 7y
    2x + 4y
    6x + 2y
    Шаг 3: Напишите коэффициенты для второго столбца, а затем укажите «z.«Сложите, если это положительное число, и вычтите, если оно отрицательное:
    -1x + 7y + 3
    2x + 4y - 7
    6x + 2y + 9
    Шаг 3. Запишите константы в третьем столбце со знаком равенства.
    -1x + 7y + 3 = 0
    2x + 4y - 7 = 2
    6x + 2y + 9 = 7
    Примечание : если на этом этапе у вас стоит отрицательный знак, просто сделайте константу отрицательным числом.
    В начало

    Определитель матрицы - это просто специальное число, которое используется для описания матриц для нахождения решений систем линейных уравнений, нахождения обратных матриц и для различных приложений в исчислении.Определить на простом английском языке невозможно; обычно его определяют в математических терминах или в терминах того, что он может вам помочь. Определитель матрицы имеет несколько свойств:

    • Это действительное число. Сюда входят отрицательные числа.
    • Определители существуют только для квадратных матриц.
    • Обратная матрица существует только для матриц с ненулевыми определителями.

    Символ для определителя матрицы A - это | A |, который также является тем же самым символом, который используется для абсолютного значения, хотя эти два символа не имеют ничего общего друг с другом.

    Формула для вычисления определителя матрицы различается в зависимости от размера матрицы.

    Определитель матрицы 2 × 2

    Формула определителя матрицы 2 × 2 - ad-bc. Другими словами, умножьте верхний левый элемент на нижний правый, затем вычтите произведение верхнего правого и нижнего левого.

    Определитель матрицы 3 × 3

    Определитель матрицы 3 × 3 находится по следующей формуле:
    | A | = a (ei - fh) - b (di - fg) + c (dh - eg)
    Это может показаться сложным, но если вы пометили элементы с помощью a, b, c в верхнем ряду, d, e, f во второй строке и g, h, i в последней, становится основной арифметикой.
    Пример :
    Найдите определитель следующей матрицы 3 × 3:

    = 3 (6 × 2-7 × 3) –5 (2 × 2-7 × 4) +4 (2 × 3-6 × 4)
    = -219
    По сути, здесь происходит умножение a, b и d на детерминанты меньших 2x2 в матрице 3x3. Этот шаблон продолжается для поиска определителей матриц более высокого порядка.

    Определитель матрицы 4 × 4

    Чтобы найти определитель матрицы 4 × 4, вам сначала нужно найти определители четырех матриц 3 × 3, которые находятся в матрице 4 × 4.В виде формулы:

    Вернуться к началу

    Диагональная матрица - это симметричная матрица со всеми нулями, кроме ведущей диагонали, которая проходит от верхнего левого угла до нижнего правого угла.

    Записи на самой диагонали также могут быть нулями; любую квадратную матрицу со всеми нулями еще можно назвать диагональной матрицей.

    Единичная матрица, которая содержит все 1 по диагонали, также является диагональной матрицей. Любая матрица с равными элементами по диагонали (т. Е.2,2,2 или 9,9,9), является скалярным кратным единичной матрицы и также может быть классифицировано как диагональное.

    Диагональная матрица имеет максимум n чисел, которые не равны нулю, где n - порядок матрицы. Например, матрица 3 x 3 (порядок 3) имеет диагональ, состоящую из 3 чисел, а матрица 5 x 5 (порядок 5) имеет диагональ из 5 чисел.

    Обозначение

    Обозначение, обычно используемое для описания диагональной матрицы, - diag (a, b, c) , где abc представляет числа в ведущей диагонали.Для приведенной выше матрицы это обозначение будет diag (3,2,4). .

    Верхняя и нижняя треугольные матрицы

    Диагональ матрицы всегда относится к ведущей диагонали. Ведущая диагональ в матрице помогает определить два других типа матриц: нижнетреугольные матрицы и верхние треугольные матрицы. В нижнетреугольной матрице числа под диагональю; верхнетреугольная матрица имеет числа над диагональю.

    Диагональная матрица - это матрица с нижней диагональю и матрица с нижней диагональю.

    Прямоугольные диагональные матрицы

    Для наиболее распространенного использования диагональная матрица представляет собой квадратную матрицу с порядком (размером) n . Существуют и другие формы, которые обычно не используются, например прямоугольная диагональная матрица . Матрица этого типа также имеет одну ведущую диагональ с числами, а остальные элементы нули. Ведущая диагональ берется из наибольшего квадрата неквадратной матрицы.

    В начало

    Транспонирование матрицы (или транспонирование матрицы) - это как раз то место, где вы переключаете все строки матрицы в столбцы.Матрицы транспонирования полезны при комплексном умножении.

    Альтернативный способ описания транспонированной матрицы состоит в том, что элемент в строке «r» и столбце «c» транспонируется в строку «c» и столбец «r». Например, элемент в строке 2, столбце 3 будет транспонирован в столбец 2, строку 3. Размер матрицы также изменится. Например, если у вас есть матрица 4 x 5, вы бы транспонировали ее в матрицу 5 x 4.

    Симметричная матрица - это частный случай транспонированной матрицы; он равен своей транспонированной матрице.

    Говоря более формально, A = A T .

    Символы для матрицы транспонирования

    Обычный символ для транспонированной матрицы - A T Однако Wolfram Mathworld утверждает, что также используются два других символа: A и.

    Свойства матриц транспонирования

    Свойства транспонированных матриц аналогичны основным числовым свойствам, с которыми вы столкнулись в базовой алгебре (например, ассоциативным и коммутативным). Основные свойства матриц:

    • (A T ) T = A: транспонированная матрица транспонирования является исходной матрицей.
    • (A + B) T = A T + B T : Транспонирование двух сложенных вместе матриц такое же, как транспонирование каждой отдельной матрицы, сложенной вместе.
    • (rA) T = rA T : когда матрица умножается на скалярный элемент, не имеет значения, в каком порядке вы транспонируете (примечание: скалярный элемент - это величина, которая может умножать матрицу).
    • (AB) T = B T A T : транспонирование двух матриц, умноженных вместе, совпадает с произведением их матриц транспонирования в обратном порядке.
    • (A -1 ) T = (A T ) -1 : транспонирование и инверсия матрицы могут выполняться в любом порядке.

    В начало

    Симметричная матрица - это квадратная матрица, имеющая симметрию относительно ведущей диагонали, сверху слева направо. Представьте себе складку в матрице по диагонали (не включайте числа по диагонали). Верхняя правая половина матрицы и нижняя левая половина являются зеркальными отображениями относительно диагонали:

    Если вы можете сопоставить числа друг с другом вдоль линии симметрии ( всегда - ведущая диагональ), как в примере справа , у вас симметричная матрица.

    Альтернативное определение

    Другой способ определить симметричную матрицу состоит в том, что симметричная матрица равна ее транспонированной. транспонирование матрицы - это когда первая строка становится первым столбцом, вторая строка становится вторым столбцом, третья строка становится третьим столбцом… и так далее. Вы просто превращаете строки в столбцы.

    Если вы возьмете симметричную матрицу и транспонируете ее, матрица будет выглядеть точно так же, отсюда и альтернативное определение, что симметричная матрица равна ее транспонированию.С математической точки зрения, M = M T , где M T - матрица транспонирования.


    Максимальное количество номеров

    Поскольку большинство чисел в симметричной матрице дублируются, существует ограничение на количество различных чисел, которые она может содержать. Уравнение для максимального количества чисел в матрице порядка n: n (n + 1) / 2. Например, в симметричной матрице 4-го порядка, подобной приведенной выше, имеется максимум 4 (4 + 1) / 2 = 10 различных чисел. Это имеет смысл, если подумать: диагональ - это четыре числа, и если вы сложите числа в нижней левой половине (исключая диагональ), вы получите 6.

    Диагональные матрицы

    Диагональная матрица - это частный случай симметричной матрицы. Диагональная матрица имеет все нули, кроме ведущей диагонали.

    Что такое асимметричная матрица?

    Кососимметричная матрица, иногда называемая антисимметричной матрицей , представляет собой квадратную матрицу, симметричную относительно обеих диагоналей. Например, следующая матрица является асимметричной:

    Математически асимметричная матрица удовлетворяет условию a ij = -a ji .Например, возьмите запись в строке 3, столбец 2, которая равна 4. Его симметричный аналог - -4 в строке 2, столбце 3. Это условие также можно записать в терминах его транспонированной матрицы: A T = - А. Другими словами, матрица является кососимметричной, только если A T = -A, где A T - это транспонированная матрица.

    Все старшие диагональные элементы в кососимметричной матрице должны быть нулевыми. Это потому, что из i, i = −a i, i следует i, i = 0.

    Еще одним интересным свойством этого типа матрицы является то, что если у вас есть две кососимметричные матрицы A и B одинакового размера, то вы также получите кососимметричную матрицу, если сложите их вместе:

    Добавление двух кососимметричных матриц все вместе.

    Этот факт может помочь вам доказать, что две матрицы кососимметричны. Первый шаг - убедиться, что все элементы на ведущей диагонали равны нулю (что невозможно «доказать» математически!).Второй шаг - сложение матриц. Если результатом является третья матрица, которая является кососимметричной, то вы доказали, что a ij = - a ji .

    Косоэрмитский

    Косоэрмитова матрица по сути такая же, как кососимметричная матрица, за исключением того, что косоэрмитова матрица может содержать комплексные числа.

    Косоэрмитова матрица, показывающая комплексные числа.

    Фактически, кососимметричный и кососимметричный эквивалентны для вещественных матриц (матрицы, которая почти полностью состоит из действительных чисел).
    Старшая диагональ косоэрмитовой матрицы должна содержать чисто мнимые числа; в мнимой сфере ноль считается мнимым числом.
    Вернуться к началу

    Матрица ковариации и дисперсии (также называемая матрицей ковариации или матрицей дисперсии) - это квадратная матрица, которая отображает дисперсию и ковариацию двух наборов двумерных данных вместе. Разница - это мера того, насколько разбросаны данные. Ковариация - это мера того, насколько две случайные величины перемещаются вместе в одном направлении.

    Дисперсии отображаются в диагональных элементах, а ковариации между парами переменных отображаются в недиагональных элементах. Дисперсии находятся в диагоналях ковариантной матрицы, потому что в основном эти дисперсии являются ковариатами каждой отдельной переменной с самой собой.

    Следующая матрица показывает дисперсию для A (2,00), B (3,20) и C (0,21) в диагональных элементах.

    Ковариации для каждой пары показаны в других ячейках.Например, ковариация для A и B равна -0,21, а ковариация для A и C равна -0,10. Вы можете посмотреть столбец и строку или строку и столбец (например, AC или CA), чтобы получить тот же результат, потому что ковариация для A и C такая же, как ковариация для C и A. Следовательно, ковариация дисперсии матрица также является симметричной матрицей.

    Создание матрицы дисперсии-ковариации

    Многие статистические пакеты, включая Microsoft Excel и SPSS, могут создавать ковариативно-вариативные матрицы. Обратите внимание, что Excel вычисляет ковариацию для генеральной совокупности (знаменатель n), а не для выборки (n-1).Это может привести к немного неправильным вычислениям для матрицы дисперсии-ковариации. Чтобы исправить это, вам нужно умножить каждую ячейку на n / n-1.

    Если вы хотите сделать один вручную:
    Шаг 1: Вставьте отклонения для ваших данных в диагонали матрицы.
    Шаг 2: Вычислите ковариацию для каждой пары и введите их в соответствующую ячейку. Например, ковариация для A / B в приведенном выше примере появляется в двух местах (A B и B A). На следующей диаграмме показано, где каждая ковариация и дисперсия появляются для каждого варианта.

    В начало

    См. Также:
    Что такое матрица неточностей?

    Следующий : Форма Row Echelon Form / Форма Row Echelon Form

    -------------------------------------------------- ----------------------------

    Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

    Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .


    Матрицы

    А матрица представляет собой прямоугольный массив чисел, заключенный в квадратные скобки. (Множественное число матрицы матрицы. )

    [ 1 2 3 4 7 - 1 ] [ 6 - 2 - 1 ] [ - 5 3 10 ] [ 1 - 1 3 - 9 ] все примеры матриц.

    Числа в матрице называются элементы (или записи) матрицы. Количество ряды (по горизонтали) и количество столбцы (по вертикали) определить размеры матрицы . Вы всегда сначала пишете количество строк, а потом количество столбцов. По порядку размеры вышеуказанных матриц равны 3 × 2 (читать 3 по 2 ), 1 × 4 , 3 × 1
    и 2 × 2 .

    Матрица только с одной строкой (вторая выше) называется матрица-строка. Если матрица имеет только один столбец (третий выше) - это матрица столбцов. Последняя матрица выше - это квадратная матрица потому что количество строк равно количеству столбцов.

    Если все элементы матрицы равны нулю, она называется нулевая матрица .

    [ 0 0 0 0 0 0 ] это 2 × 3 нулевая матрица, обозначенная 0 2 × 3 .

    Обычно матрицы используются для решение систем линейных уравнений . Для этого нужно знать о матричные операции со строками и единичная матрица .

    Вы также можете заниматься алгеброй с матрицами, то есть вы можете сложите их и вычтите их , умножать их (если их размеры совместимы), и даже сделать своего рода деление, найдя их обратное (это работает только для квадратных матриц). В высшей математике матрицы используются для описания линейные преобразования .

    Исчерпывающий список символов алгебры

    Алгебра - это подполе математики, относящееся к манипулированию символами и их определяющими правилами. Ниже приводится подборка из символов из различных разделов алгебры, которые включают базовую алгебру, теорию чисел, линейную алгебру и абстрактную алгебру.

    Для удобства чтения эти символы сгруппированы по функциям и тематике в диаграммах и таблицах . Другие исчерпывающие списки символов, сгруппированные по теме и типу, также можно найти на соответствующих страницах ниже (или на панели навигации).

    Предпочитаете версию в формате PDF?

    Получите общую сводку математических символов в форме электронной книги - вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX.

    Константы

    В алгебре константы - это символы, используемые для обозначения ключевых математических элементов и множеств. В следующих таблицах описаны наиболее распространенные из них, а также указаны названия, способы использования и примеры каждого символа.

    (Общие константы см. В общих математических константах.)

    Ключевые математические элементы

    Ключевые математические наборы

    В алгебре одни наборы чисел (или другие более сложные объекты), как правило, встречаются чаще, чем другие.Эти наборы часто обозначаются некоторыми вариантами букв алфавита , многие из которых имеют жирный шрифт на доске.

    $ 80 {P} $ \ mathbb {N} _0 $
    Название символа Пояснение Пример
    $ \ mathbb {P} $ Набор из простых чисел $ 127 $ \ in \ mathbb {P}
    Набор из натуральных чисел
    (начиная с $ 0 $)
    $ 0 \ in \ mathbb {N} _0 $
    $ \ mathbb {N} _1 $ Набор натуральных чисел
    (начиная с $ 1 $)
    $ 0 \ notin \ mathbb {N} _1 $
    $ \ mathbb {Z} $ Набор из целых чисел Для всех $ x, y \ в \ mathbb {N} $, $ xy \ in \ mathbb {Z} $.
    $ \ mathbb {Z} _ + $ Набор из натуральных чисел $ \ mathbb {Z} _ + = \ mathbb {N} _1 $
    $ \ mathbb {Q} $ Набор из рациональных чисел $ 3. \ Overline {73} \ in \ mathbb {Q} $
    $ \ mathbb {Q} _p $ Набор из p-адических чисел In $ \ mathbb {Q} _ {10} $, $ -1 =… 999 $ (как $ 1 +… 999 = 0 $).
    $ \ mathbb {A} $ Набор из алгебраических чисел $ \ sqrt {5} + 3 \ in \ mathbb {A} $
    $ \ mathbb {R} $ Набор из вещественных чисел $ i \ notin \ mathbb {R} $
    $ \ mathbb {R} _ + $ Набор из положительных вещественных чисел Для всех $ x, y \ in \ mathbb {R} _ + $, $ xy \ in \ mathbb {R} _ + $.
    $ \ mathbb {R} _- $ Набор из отрицательных действительных чисел Если $ a, b \ in \ mathbb {R} _- $, то $ a + b \ in \ mathbb { R} _- $. 2 + 2x + 3 = 0 $.2 + 2x + 1 $
    $ \ in \ mathbb {Z} [x] $

    Переменные

    Поскольку алгебра связана с манипуляциями с математическими символами, она часто использует широкий диапазон из переменных как заполнители для различных объектов и количества. В следующей таблице приведены наиболее распространенные из них - вместе с их соответствующим использованием и примерами.

    Имя символа Используется для Пример
    $ m, n, p, q $ Натуральные числа и целые числа $ m + n-2p =
    $ a, b, c $ Коэффициенты функций и уравнений Линейное уравнение имеет общий вид $ ax + by + c = 0 $.{(3,5)} \ frac {i + j} {2} $
    $ z $ Комплексные числа $ | z_1 z_2 | = | z_1 | | z_2 | $
    $ f (x) $, $ g (x, y) $, $ h (z) $ Функции $ g (f (x), 3) = h ( x) $
    $ \ mathbf {u}, \ mathbf {v}, \ mathbf {w} $
    (или $ \ vec {u}, \ vec {v}, \ vec {w} $)
    Векторы $ 2 \ mathbf {u} + 3 \ mathbf {v} = 5 \ mathbf {w} $
    $ U, V, W $ Векторные пространства $ U $ подпространство векторного пространства $ V $.
    $ A, B, C $ Матрицы $ AB \ ne BA $
    $ \ lambda $ Собственные значения Так как $ A \ mathbf {v_ mathbf {v_0} $, $ 3 $ - собственное значение $ A $.
    $ G, H $ Группы Существует элемент $ e \ in G $ такой, что для всех $ x \ in G $ $ x \ circ e = x $.
    $ \ mathbb {F} $ Поля Кольцо многочленов $ \ mathbb {F} [x] $ состоит из многочленов с коэффициентами из поля $ \ mathbb {F} $.2Y + 5Y \ in \\ \ mathbb {Z} [X, Y] $

    Разделители

    В математике разделители - это символы, используемые для обозначения разделения между независимыми математическими объектами. В следующей таблице представлены некоторые из наиболее распространенных разделителей в алгебре. Общие сведения об общих разделителях см. В разделе Общие разделители.

    Название символа Пояснение Пример
    $ () $, $ [] $, $ \ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix} $, $ \ begin {bmatrix} x & y \\ w & z \ end {bmatrix} $ Индикаторы векторов / матриц $ \ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \ end {pmatrix} + \ begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \ end {pmatrix} = \\ \ begin {pmatrix} 5 \\ 7 \\ 9 \ end {pmatrix} $
    $ \ {\} $ Установить строитель $ \ {-1, 3.\ overline {5}, \ pi \} \ in \ mathbb {R} $
    $ \ bigg \ {$ Кусочно-функциональный индикатор $ | x | = \ begin {cases} x & x \ ge 0 \\ -x & x <0 \ end {cases} $
    $: $, $ \ mid $ Маркер «Такой что» $ \ mathbb {Q} = $
    $ \ displaystyle \ left \ {\ frac {x} {y} \, \ middle | \, x \ in \ mathbb {Z}, y \ in \ mathbb {N} \ right \ } $

    Функциональные символы

    Как основополагающий компонент алгебры, функция играет ключевую роль в установлении правил, относящихся к манипулированию символами. {- 1} ( 5) = 3 $.{+} \ substeq T $.

    Операторы

    В алгебре операторы можно рассматривать как особый тип функции, отображающей один или несколько математических объектов на другой, и часто получают специальные имена или обозначения из-за их повторения.

    В частности, эти операторы часто связаны с числами , ключевыми функциями , линейной алгеброй и абстрактной алгеброй , подавляющее большинство которых представлено в таблицах ниже.Общие операторы см. В разделе Общие операторы.

    Операторы, связанные с числами

    $ $ и $ y $
    Имя символа Пояснение Пример
    $ \ gcd (x, y) Наибольший общий делитель из $ $ \ gcd (20, 15) = 5 $
    $ \ mathrm {lcm} (x, y) $ Наименьшее общее кратное для $ x $ и $ y $ $ \ mathrm {lcm } (x, y) = \ dfrac {xy} {\ gcd (x, y)} $
    $ x \ bmod y $ Остаток от $ x $ при делении на $ y $ $ 23 \ bmod 4 = 3 $
    $ | x | Абсолютное значение из $ x $ | -5 | = | 5 | = 5 $
    $ \ lfloor x \ rfloor $ Этаж из $ x $ \ lfloor 5.999 \ rfloor = 5 $
    $ \ lceil x \ rceil $ Потолок $ x $ Для всех $ x \ in \ mathbb {R} $, $ \ lceil x \ rceil-1 < x \ le \ lceil x \ rceil $.
    $ \ lfloor x \ rceil $, $ \ mathrm {round} (x) $ Ближайшее целое число из $ x $ $ \ mathrm {round} (3.5) = 4 $
    $ \ max (A) $ Максимум из набора $ A $ $ \ max \ left (\ {3, 11, 5 \} \ right) = 11 $
    $ \ min (A) $ Минимум набора $ A $ Для всех $ x \ in A $, $ \ min (A) \ le x $.y $
    $ \ ln x $ Натуральная логарифмическая функция $ \ ln 10 = \ ln 2 + \ ln 5 $
    $ \ log x $ Функция десятичного логарифма $ \ log 1000000 = 6 $
    $ \ log_b x $ Логарифмическая функция по основанию $ b $ $ \ log_ {11} 23 = \ dfrac {\ ln 23} {\ ln 11} $
    $ \ sin x $, $ \ cos x $, $ \ tan x $, $ \ sec x $, $ \ csc x $, $ \ cot x $ 6 тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, секанс, косеканс, котангенс) $ \ csc x = \ dfrac {1} {\ sin x} $
    $ \ arcsin (x) $, $ \ sin ^ {- 1} (x ) $, $ \ arccos (x) $, $ \ cos ^ {- 1} (x) $, $ \ arctan (x) $, $ \ tan ^ {- 1} (x) $ Обратные тригонометрические функции (обратный синус, обратный косинус, арктангенс) $ \ arcsin (-1) = - \ dfrac {\ pi} {2} $
    $ \ sinh x, \ cosh x $,
    $ \ tanh х, \ mathrm {sech} \, х $, $ \ mathrm {csc h} \, x, \ coth x $
    6 гиперболических функций $ \ sinh x = \ dfrac {e ^ xe ^ {- x}} {2} $
    $ \ mathrm {arcsinh} (x) $, $ \ sinh ^ {- 1} (x) $, $ \ mathrm {arccosh} \, (x) $, $ \ cosh ^ {- 1} (x) $, $ \ mathrm {arctanh} (x) $, $ \ tanh ^ {- 1} (x) $ Обратные гиперболические функции $ \ mathrm {arccosh} \, (1) = 0 $
    $ \ pi (x) $ Функция счета простых чисел $ \ pi (11) = 5 $
    $ \ phi (x) $ Тотентная функция Эйлера $ \ phi (15) = \ phi ( 5) \ cdot \ phi (3) $
    $ \ omega (x) $ Простая омега-функция Поскольку $ 60 = 2 ^ 2 \ cdot 3 \ cdot 5 $, $ \ omega (60) = 3 $.
    $ \ mathrm {id} _A (x) $ Функция идентификации для набора $ A $ Для всех наборов $ A $, $ \ mathrm {id} _A $ взаимно однозначны и дальше.
    $ \ mathbf {1} _A (x) $, $ \ chi_A (x) $ Индикаторная / характеристическая функция набора $ A $ $ \ mathbf {1} _ {\ mathbb {Q }} (x) = \\ \ begin {cases} 1 & x \ in \ mathbb {Q} \\ 0 & x \ notin \ mathbb {Q} \ end {cases} $
    $ \ delta_ {ij } $ Дельта-функция Кронекера Для каждой единичной матрицы $ I $, $ I_ {ij} = \ delta_ {ij} $.

    Операторы, относящиеся к комплексным числам

    $ $ из

    03 Сопряженное число

    $ \ overline {5 + 6i} = \\ 5-6i $

    Имя символа Объяснение Пример
    $ \ bar {z} $ Комплексное число $
    $ \ Re (z) $ Действительная часть комплексного числа $ z $ $ \ Re (z) \ in \ mathbb { R} $
    $ \ Im (z) $ Мнимая часть комплексного числа $ z $ $ \ Im (\ bar {z}) = - \ Im (z) $
    $ | z | $ Абсолютное значение комплексного числа $ z $ $ | z | ^ 2 = z \ bar {z} $
    $ \ arg (z) $ Аргументы из комплексное число $ z $ $ \ dfrac {\ pi} {4} \ in \ arg \ left (1 + 1i \ right) $
    $ \ mathrm {cis} (\ theta) $ Cis обозначение
    (Сокращение для $ \ cos \ theta + i \ sin \ theta $)
    По формуле Эйлера $ \ mathrm {cis} (\ pi) = e ^ {\ pi i} $

    Операторы в линейной алгебре

    Векторные операторы
    Символ Имя Пояснение Пример
    $ - \ mathbf {v} $ Аддитивная инверсия вектора $ \ mathbf {v} $ $ \ mathbf {v} + (- \ mathbb v}) = \ mathbf {0} $
    $ k \ mathbf {v} $ Скалярное произведение вектора $ \ mathbf {v} $ на скаляр $ k $ $ (- 1) \ mathbf {v} = - \ mathbf {v} $
    $ \ mathbf {u} + \ mathbf {v} $ Сумма векторов $ \ mathbf {u} $ и $ \ mathbf {v} $ $ \ mathbf {u} + \ mathbf {0} = \ mathbf {u} $
    $ \ mathbf {u} - \ mathbf {v} $ Разница векторов $ \ mathbf { u} $ и $ \ mathbf {v} $ $ (5, 7, 1) - (3, 2, 5) = $
    $ (2, 5, -4) $
    $ \ mat hbf {u} \ cdot \ mathbf {v} $ Точечное произведение векторов $ \ mathbf {u} $ и $ \ mathbf {v} $ $ (5 \ mathbf {u}) \ cdot (7 \ mathbf {v}) = 35 (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}) $
    $ \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} $ Перекрестное произведение векторов $ \ mathbf {u} $ и $ \ mathbf {v} $ $ \ mathbf {v} \ times \ mathbf {u} = \, - (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {v}) $
    $ \ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v} $ Произведение клина векторов $ \ mathbf {u} $ и $ \ mathbf {v} $ $ \ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v} = \, - (\ mathbf {v} \ wedge \ mathbf {u}) $
    $ \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle $ Внутренний продукт векторов $ \ mathbf {u} $ и $ \ mathbf {v} $ В евклидовом пространстве $ \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle = \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} $
    $ \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v} $ Внешний продукт vect ors $ \ mathbf {u} $ и $ \ mathbf {v} $ $ (1, 2) \ otimes (3, 4) = $
    $ \ begin {pmatrix} 1 \ cdot 3 & 1 \ cdot 4 \ \ 2 \ cdot 3 & 2 \ cdot 4 \ end {pmatrix} $
    $ \ | \ mathbf {v} \ | $ Норма вектора $ \ mathbf {v} $ $ \ | к \ mathbf {v} \ | = | k | \ | \ mathbf {v} \ | $
    $ \ | \ mathbf {v} \ | _p $ P-норма вектора $ \ mathbf {v} $ $ \ | \ mathbf {v} \ | _1 = $
    $ | v_1 | + \ cdots + | v_n | $
    $ \ hat {\ mathbf {v}} $ Единичный вектор в направлении вектора $ \ mathbf {v} $ $ \ hat {\ mathbf {v}} = \ dfrac {\ mathbf {v}} {\ | \ mathbf {v} \ |} $
    $ \ mathrm {proj} _ {\ mathbf {u}} \ mathbf {v} $ Проекция вектора $ \ mathbf {v} $ на вектор $ \ mathbf {u} $ $ \ mathrm {proj} _ {\ mathbf {u}} \ mathbf {v} = \ dfrac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}} {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u}} \, \ mathbf {u} $
    $ \ mathrm {oproj} _ {\ mathbf {u}} \ mathbf {v} $ Ортогональная проекция вектора $ \ mathbf {v} $ на вектор $ \ mathbf {u} $ $ \ mathrm {proj} _ {\ mathbf {u}} \ mathbf {v} + \ mathrm {oproj} _ {\ mathbf {u}} \ mathbf {v} = \ mathbf {v} $
    Матричные операторы
    Имя символа Пояснение Пример
    $ -Averse 9000 $ матрица $ A $ $ -A + A = O $
    $ kA $ Скалярное произведение матрицы $ A $ на скаляр $ k $ $ 5 (3B) = (5 \ cdot 3) 90 580 бразильских долларов 90 590
    $ A + B $ Сумма матриц $ A $ и $ B $ $ A + B = B + A $
    $ AB $ Разница матриц $ A $ и $ B $ $ \ begin {pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 1 \ end {pmatrix} - \ begin {pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 4 \ end {pmatrix} = $ $ \ begin { pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -3 \ end {pmatrix} $
    $ AB $ Произведение матриц $ A $ и $ B $ $ (AB) _ {ij} = ( i \ mathrm {th \ row \ of \} A) $ $ \ cdot \, (j \ mathrm {th \ column \ of \} B) $
    $ A \ circ B $, $ A \ odot B $ Начальное произведение Адамара матриц $ A $ и $ B $ В отличие от стандартных матричных произведений, $ A \ circ B = B \ circ A $. 2 $
    $ \ dim (V) $ Размер 900 04 векторного пространства $ V $ $ \ dim (W) \ le \ dim (V) $
    $ W_1 + W_2 $ Сумма подпространств $ W_1 $ и $ W_2 $ Для всех $ \ mathbf {w_1} \ in W_1 $ и $ \ mathbf {w_2} \ in W_2 $, $ \ mathbf {w} _1 + \ mathbf {w} _2 $
    $ \ in W_1 + W_2 $.
    $ W_1 \ oplus W_2 $ Прямая сумма подпространств $ W_1 $ и $ W_2 $ Если $ W_1 + W_2 = V $ и $ W_1 \ cap W_2 = \ {\ mathbf {0} \ } $, тогда $ W_1 \ oplus W_2 = V $.
    $ V_1 \ times V_2 $ Прямое произведение векторных пространств $ V_1 $ и $ V_2 $ Если $ \ mathbf {v_1} \ in V_1 $ и $ \ mathbf {v} _2 \ in V_2 $, затем $ (\ mathbf {v} _1, \ mathbf {v} _2) \ in V_1 \ times V_2 $.
    $ V_1 \ otimes V_2 $ Тензорное произведение векторных пространств $ V_1 $ и $ V_2 $ $ \ dim (V_1 \ otimes V_2) = $
    $ \ dim (V_1) \ times \\ \ dim (V_2) $
    $ V / W $ Факторное пространство векторного пространства $ V $ над подпространством $ W $ $ V / W $ содержит классы эквивалентности $ [\ mathbf {v} ] \ doteq \ {\ mathbf {v} + \ mathbf {w} \, \ mid $
    $ \ mathbf {w} \ in W \} $.{\! *}) = \ dim (V) $

    Операторы в абстрактной алгебре

    008 $ Эквивалентность $ 9057 $ [a] $ класс элемента $ a $
    Имя символа Пояснение Пример
    In $ \ mathbb {Z} _5 $, $ [2] = $
    $ \ {2 + 5m \ mid m \ in \ mathbb {Z} \} $.
    $ \ deg (p (x)) $ Степень полинома $ p (x) $ $ \ deg (p (x) q (x)) = $
    $ \ deg (p (x)) + \ deg (q (x)) $
    $ \ langle S \ rangle $ Подгруппа , порожденная элементами множества $ S $ Если $ G = \ langle S \ rangle $ , то $ S $ является генератором $ G $.
    $ H_1 \ oplus H_2 $ Прямая сумма подгрупп $ H_1 $ и $ H_2 $ $ G = H_1 \ oplus H_2 $
    $ G_1 \ times G_2 $ Прямой продукт групп $ G_1 $ и $ G_2 $ $ (e_ {G_1}, e_ {G_2}) \ in \\ G_1 \ times G_2 $
    $ ST $ Произведение подмножеств групп $ S $ и $ T $ Если $ S, T \ substeq G $, то $ ST $
    $ = \ {st \ mid s \ in S \ land t \ in T \}. $
    $ N \ rtimes H $ Полупрямое произведение подгрупп $ N $ и $ H $ $ G = N \ rtimes H $
    $ G_1 \ wr G_2 $ Сплетение групп $ G_1 $ и $ G_2 $ $ \ mathbb {Z} _2 \ wr \ mathbb {Z} $
    $ G / N $ Факторная группа группы $ G $ над подгруппой $ N $ $ \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z} = \\ \ {[0], [1], [2] \} $
    $ R / I $ 9058 0 Факторное кольцо кольца $ R $ над идеалом $ I $ Существует естественный гомоморфизм из $ R $ в $ R / I $.c) = \ {-1, 1 \} $
    $ \ overline {\ mathbb {F}} $ Алгебраическое замыкание поля $ \ mathbb {F} $ $ \ overline {\ mathbb {R}} = \ mathbb {C} $

    Реляционные символы

    В алгебре реляционных символа используются для выражения отношений между двумя математическими объектами и часто связаны с такими понятиями, как равенство, сравнение, делимость и другие отношения высшего порядка. 2 $

    Сравнительные символы отношений

    Название символа Пояснение Пример
    $ x $ x $ на меньше $ y $ $ 2 \ pi <6.4)} \ gg 1000000 $
    $ x \ prec y $ $ x $ предшествует $ y $ Если $ x \ prec y $ и $ y \ prec z $, то $ x \ prec z $.
    $ x \ prevq y $ $ x $ предшествует или равно $ y $ $ (u_1, u_2) \ prevq (v_1, v_2) $ тогда и только тогда, когда $ u_1 \ le v_1 $ и $ u_2 \ le v_2 $.
    $ x \ succ y $ $ x $ успешно $ y $ $ x \ succ y \ iff y \ prec x $
    $ x \ successq y $ $ x $ успешно или равно $ y $ $ f \ successq g $ тогда и только тогда, когда $ f (x) \ ge g (x) $ для всех $ x \ in \ mathbb {R} $.

    Числовые символы отношения

    Имя символа Пояснение Пример
    $ m \ mid n $ Целое число $ m $ делит 9057 $ n $ 11 \ mid 121 $
    $ m \ nmid n $ Целое число $ m $ не делит целое число $ n $ $ 34 \ nmid 90 $
    $ m \ perp n $ Целые числа $ m $ и $ n $ взаимно простые Если $ n \ mid pq $ и $ n \ perp p $, то $ n \ mid q $.4 $

    Главный список символов см. В разделе «Математические символы». Для получения списков символов, разделенных на категории тип и тему , см. Соответствующие страницы ниже.

    Предпочитаете версию в формате PDF?

    Получите общую сводку математических символов в форме электронной книги - вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX.

    Дополнительные ресурсы

    Математика для ИИ: все важные математические темы, которые вам нужны | Абхишек Парбхакар

    Взаимосвязь между ИИ и математикой можно резюмировать следующим образом:

    Человек, работающий в области ИИ, не знающий математики, похож на политика, не умеющего убеждать.У обоих есть неизбежная область для работы!

    Я не буду больше тратить время на важность изучения математики для ИИ и сразу перейду к основной цели этой статьи.

    Популярная рекомендация по изучению математики для ИИ звучит примерно так:

    • Изучите линейную алгебру, вероятность, многомерное исчисление, оптимизацию и несколько других тем
    • И затем есть список курсов и лекций, которым можно следовать, чтобы выполнить тот же

    Хотя вышеупомянутый подход совершенно хорош, я лично считаю, что есть другой подход, который лучше, особенно для людей: 1) у которых нет солидного количественного фона и 2) нет времени на выполнение всех предварительных требований. математические курсы.То есть:

    Вместо того, чтобы идти по темам, переходите по темам.

    Например, изучая многомерное исчисление, вы встретите знаменитую теорему Стокса, но окажется, что велика вероятность того, что она не принесет вам немедленной пользы на практике и даже при чтении научных статей. . Таким образом, изучение предметов (курсов) может занять много времени, и вы можете потеряться в бескрайнем море математики.

    Я рекомендую вам:

    • идти по темам , сначала изучить основные концепции, объединить их
    • И только потом переходить к другим концепциям, когда вы сталкиваетесь с ними во время практической реализации и чтения литературы

    Вот список основных тем по каждому предмету:

    Линейная алгебра

    • Векторы
      определение, скаляры, сложение, скалярное умножение, внутреннее произведение (скалярное произведение), векторная проекция, косинусное подобие, ортогональные векторы, нормальные и ортонормированные векторы, векторная норма , векторное пространство, линейная комбинация, линейная оболочка, линейная независимость, базисные векторы
    • Определение матриц
      , сложение, транспонирование, скалярное умножение, умножение матриц, свойства умножения матриц, произведение Хадамара, функции, линейное преобразование, определитель, единичная матрица, обратимая матрица и обратные, ранговые, следовые, популярные типы матриц - симметричные, диагональные, ортогональные или тонормальная, положительно определенная матрица
    • Собственные значения и собственные векторы
      концепция, интуиция, значимость, как найти
    • Анализ основных компонентов
      концепция, свойства, приложения
    • Разложение по сингулярным значениям
      концепция, свойства, приложения

    Исчисление

    • Функции
    • Скалярная производная
      определение, интуиция, общие правила дифференцирования, цепное правило, частные производные
    • Градиент
      концепция, интуиция, свойства, производная по направлению
    • Векторное и матричное исчисление
      как найти производную от {скалярных, векторных- оцененная} функция относительно {скаляр, вектор} -> четыре комбинации - Якобиан
    • Градиентные алгоритмы
      локальные / глобальные максимумы и минимумы, седловая точка, выпуклые функции, алгоритмы градиентного спуска - пакетный, мини-пакетный, стохастический, сравнение их производительности

    Вероятность

    • Основные правила и xioms
      события, пространство выборки, частотный подход, зависимые и независимые события, условная вероятность
    • Случайные переменные - непрерывные и дискретные, математическое ожидание, дисперсия, распределения - совместные и условные
    • Теорема Байеса, MAP, MLE
    • Популярные распределения - биномиальные , Бернулли, Пуассон, экспонента, гауссиан
    • Сопряженные априорные значения

    Разное

    • Теория информации - энтропия, кросс-энтропия, расхождение KL, взаимная информация
    • Цепь Маркова - определение, матрица переходов, стационарность
    • 26 9000 следовать?
      Любой источник, который вам подходит, будь то видео на YouTube или классический учебник.
      Если вы не уверены, выполните простой поиск в Google по каждой теме [<название темы> + «машинное обучение»] и прочтите основные ссылки, чтобы получить более широкое представление.

      Список может показаться длинным, но он может сэкономить вам много времени. Чтение приведенных выше тем придаст вам уверенности, чтобы погрузиться в глубокий мир ИИ и исследовать больше самостоятельно.

      Математика (MATH / MTH) - SUL ROSS

      MATH B100 BASE Math Review (0-0). Этот курс представляет собой шестичасовой обзор MATH 0200 BASE Math Skills.
      MATH 0100 MATH 0300 Обзор (0-0). Этот курс представляет собой шестичасовой обзор MATH 0300.
      MATH 0101 MATH 0301 Review (0-0). Этот курс представляет собой шестичасовой обзор MATH 0301.
      MATH 0114 MATH 0314 Обзор (0-0). Студенты изучат материалы курса MATH 0314. Затем они пройдут выпускной общий курс. Завершение общего курса MATH 0314 позволяет студентам получить степень бакалавра наук. степень, чтобы пройти MATH 1314 как отдельный курс.
      MATH 0132 MATH 0132 Обзор (0-0). Студенты ознакомятся с материалами курса MATH 0332. Затем они пройдут выпускной общий курс. Завершение общего курса MATH 0332 позволяет студентам получить степень бакалавра. степень, чтобы пройти MATH 1332 как отдельный курс. Кредит в этом курсе не может быть использован для удовлетворения требований для получения какой-либо степени.
      MATH 0142 MATH 0342 Обзор (0-0). Студенты изучат материалы курса MATH 0342. Затем они пройдут выпускной общий курс. Сдав выпускной общий курс MATH 0342, студенты могут получить B.Степень S. для прохождения MATH 1342 как отдельного курса перед тем, как перейти к MATH0314 / MATH 1314. Кредиты по этому курсу не могут быть использованы для удовлетворения требований к какой-либо степени.
      MATH 0200 Базовые математические навыки (2-0). Этот курс предназначен для студентов, чьи результаты по утвержденному инструменту оценивания не соответствуют минимальным требованиям развивающего образования. В ходе курса студенты будут развивать базовые математические навыки. В курс включены следующие темы: операции с целыми числами, целыми числами, дробями, десятичными знаками и процентами; одномерные линейные уравнения, включая многоступенчатые уравнения и пропорции, а также устное и письменное общение с использованием математического языка, символов и обозначений.Кредит в курсе не может быть использован для удовлетворения требований для получения какой-либо степени.
      MATH 0300 Вводная алгебра (3-0). Этот курс разработан для студентов, чьи результаты по утвержденному инструменту оценивания не соответствуют минимальным требованиям по математической части экзамена. В этот курс включены следующие темы: алгебраические операции над действительными числами, решение уравнений и неравенств, базовые операции с многочленами, простые методы построения графиков, навыки критического мышления и навыки подготовки к колледжу.Кредит в этом курсе не может быть использован для удовлетворения требований для получения какой-либо степени. Студенты должны получить оценку C или выше, чтобы перейти на курс математики следующего уровня.
      MATH 0314 Введение в алгебру колледжа (3-0). Этот курс разработан для студентов, чьи результаты по утвержденному инструменту оценивания не соответствуют минимальным требованиям по математической части экзамена. Студенты, желающие получить степень бакалавра наук диплом по МАТЕМАТИКЕ 1314. В курс включены операции с полиномиальными выражениями; методы решения квадратных уравнений и неравенств; приложения квадратных уравнений; прямоугольная система координат и графики квадратных уравнений.Кредит в этом курсе не может быть использован для удовлетворения требований для получения какой-либо степени. Предварительные требования: «C» или выше по MATH 0332 или MATH 0342 ИЛИ удовлетворительный балл по экзамену
      MATH 0332 Вводный курс современной математики (3-0). Этот курс разработан для студентов, чьи результаты по утвержденному инструменту оценивания не соответствуют минимальным требованиям по математической части экзамена. В курс включены такие темы, как решение задач, счет, система действительных чисел, множества, геометрия, решения линейных и квадратных уравнений, элементарная вероятность, финансовая математика, математика голосования и справедливое решение.Кредит в этом курсе не может быть использован для удовлетворения требований для получения какой-либо степени.
      MATH 0342 Вводные статистические методы (3-0). Этот курс предназначен для студентов, чьи результаты по утвержденному инструменту оценивания не соответствуют минимальным требованиям по математическим частям оценивания. Студенты, желающие получить степень бакалавра наук степень возьмите MATH 1342. Темы, включенные в курс, включают сбор, анализ, представление и интерпретацию данных, а также вероятность. Анализ включает описательную статистику, корреляцию и регрессию, доверительные интервалы и проверку гипотез.Кредит в этом курсе не может быть использован для удовлетворения требований для получения какой-либо степени.
      МАТЕМАТИКА 1314 (МАТЕМАТИКА 1314) Колледж по алгебре (3-0) . Углубленное изучение и применение полиномиальных, рациональных, радикальных, экспоненциальных и логарифмических функций и систем уравнений с использованием матриц. Могут быть включены дополнительные темы, такие как последовательности, серии, вероятность и коники.
      MATH 1316 (MATH 1316) Тригонометрия на плоскости (3-0). Углубленное изучение и применение тригонометрии, включая определения, тождества, обратные функции, решения уравнений, построение графиков и решение треугольников.Могут быть включены дополнительные темы, такие как векторы, полярные координаты и параметрические уравнения. Предпосылка: Math 1314 или согласие преподавателя.
      MATH 1332 (MATH 1332) Современная математика (3-0). Этот курс представляет собой введение в ряд математических тем на уровне колледжа. Этот курс обычно охватывает темы, выбранные из следующих: решение задач, счет, система действительных чисел, множества, геометрия, решения линейных и квадратных уравнений, элементарная вероятность, финансовая математика, математика голосования и справедливое деление.
      MATH 1342 (MATH 1342) Элементарные статистические методы (3-0). Сбор, анализ, представление и интерпретация данных и вероятности. Анализ включает описательную статистику, корреляцию и регрессию, доверительные интервалы и проверку гипотез. Рекомендуется использование соответствующей технологии.
      MATH 2303 Индивидуальные исследования (3-0). Самостоятельное изучение избранных тем по математике. Этот курс может повторяться в течение разных семестров. Условие: разрешение инструктора.
      MATH 2306 Специальные темы (3-0). Обсуждение выбранных тем по математике на уровне алгебры колледжа или выше, подходит для учащихся младших классов. Курс может быть повторен для разных тем. Предлагается при необходимости. Условие: разрешение инструктора.
      MATH 2310 Основы элементарной математики I (3-0). Первый курс обязательной последовательности содержания математики для учителей начальной и средней школы. Темы включают методы решения проблем, рассуждения, изучение множеств, систем счисления, натуральных чисел, целых чисел, теории чисел и рациональных чисел.Упор на решение проблем как педагогический инструмент с интеграцией основанных на манипуляциях исследований. Предлагается осень. Предпосылки: удовлетворительное завершение математики 1315 или 1342 с оценкой C или выше; или эквивалентное предварительное размещение кредита.
      MATH 2311 Основы элементарной математики II (3-0). Второй курс по математике для учителей начальных и средних школ. Темы включают: операции с дробями, десятичные дроби, действительные числа, соотношение и пропорции, процент, основные понятия геометрии, измерения, а также основную вероятность и статистику.Предлагается весна. Предпосылки: удовлетворительное завершение математики 2310 с оценкой C или выше.
      MATH 2318 Линейная алгебра (3-0). Системы линейных уравнений, матрицы, определители, векторные пространства, квадратичные формы, линейные преобразования, собственные значения и собственные векторы, а также приложения в науке и технике. Предварительные требования: MATH 1316 или MATH 2413.
      MATH 2403 Индивидуальные исследования (3-2). В этом курсе студенты выполняют индивидуальную работу по получению степени.Условие: согласие инструктора.
      MATH 2413 (MATH 2413) Исчисление I (3-2). Темы включают пределы и непрерывность, производную, методы дифференцирования алгебраических, логарифмических, экспоненциальных и тригонометрических функций, приложения производной и анти-дифференцирования. Предлагается осень. Предпосылки: Math 1314 и Math 1316 или согласие преподавателя.
      MATH 2414 (MATH 2414) Исчисление II (3-2). Темы включают определенный интеграл и его приложения, методы интегрирования, несобственные интегралы, формулу Тейлора и бесконечные ряды.Предлагается весна. Предварительные требования: Math 2413
      MATH 3301 Геометрия (3-0). Современное формальное развитие евклидовой геометрии с сопоставлениями и конструкциями. Знакомство с другими геометрическими формами, если позволит время. Предварительные требования: MATH 2311 / MTH 3309, MATH 2413 или разрешение инструктора.
      MATH 3303 Индивидуальные исследования (3-0). Самостоятельное изучение избранных тем по математике. Этот курс может повторяться в течение разных семестров. Условие: разрешение инструктора.
      MATH 3305 История математики (3-0). Биографии математиков, а также исследование хронологического развития важных математических идей. Предварительное условие: MATH 2413.
      MATH 3306 Специальные темы (3-0). Обсуждение избранных тем по математике. Курс может быть повторен, поскольку темы меняются. Условие: разрешение инструктора.
      MATH 3307 Дифференциальные уравнения (3-0). Дифференциальные уравнения первого порядка, линейные дифференциальные уравнения высшего порядка, системы линейных дифференциальных уравнений и приложения.Предварительное условие: MATH 2414.
      MATH 3330 Теория чисел и криптография (3-0) . Это вводный курс в основную теорию чисел через ее важные приложения в современной криптографии. Темы включают делимость и алгоритм Евклида, сравнения, конечные поля, квадратичные вычеты, матрицы шифрования, криптографию с открытым ключом, псевдопростые числа и методы факторизации. Предлагается осенью или весной, когда это необходимо. Пререквизиты: Math 2414.
      MATH 3340 Основы высшей математики (3-0). Организация и структура математической мысли. Написание и оценка доказательств. Темы включают логику высказываний, теорию множеств, функции, последовательности, отношения, теорию чисел и теорию графов. Предварительные требования: MATH 2311 / MTH 3309 или MATH 2414.
      MATH 3403 Индивидуальные исследования (3-2). В этом курсе студенты выполняют индивидуальную работу по получению степени. Условие: согласие инструктора.
      MATH 3415 Исчисление III (3-2). Исчисление функций нескольких переменных, включая частные производные, множественные интегралы и векторное исчисление.Предпосылка: MATH 2414 с C или выше.
      MATH 4301 Современная абстрактная алгебра I (3-0). Классы сравнения, теория групп и ее приложения к теории чисел и геометрии, введение в кольца, области целостности и поля. Предварительные условия: MATH 2318 и MATH 3301 / MTH 3301 или разрешение инструктора.
      MATH 4303 Индивидуальные исследования (3-0). Самостоятельное изучение избранных тем по математике. Этот курс может повторяться в течение разных семестров. Условие: разрешение инструктора.
      MATH 4320 Реальный анализ (3-0). Топология реальной линии, последовательности, серии, непрерывность и дифференциация. Предварительное условие: MATH 2414.
      MATH 4340 Математическая статистика (3-0). Классическая теория вероятностей, дискретные и непрерывные случайные величины, функции распределения, математическое ожидание, закон больших чисел, центральная предельная теорема, приложения. Предлагается при необходимости. Предварительное условие: Math 2414
      MATH 4360 Комплексные переменные I (3-0). Вводный курс, охватывающий функции одной комплексной переменной.Темы будут включать: алгебру комплексных чисел, геометрию в комплексной плоскости, полярное представление комплексных чисел, аналитические функции, отображения, непрерывность, дифференцируемость, уравнения Коши-Римана, элементарные функции комплексной переменной, контурные интегралы и интегральную формулу Коши. . Вращается с 4320 и 4330. Предпосылка: Math 2415
      MATH 4390 Senior Project (3-0). QEP MAPPED COURSE Руководил индивидуальными занятиями по математической теме, интересующей студента.Упор на письменное и устное общение. Предпосылка: Завершение любого курса 4000 уровней с C или выше или с разрешения инструктора.
      MATH 5301 Специальные разделы математики (3-0). Избранные темы теоретической и прикладной математики. Курс может быть повторен для разных тем. Предлагается при необходимости. Предпосылки: Разрешение инструктора.
      MATH 5302 Темы математического образования (3-0). Избранные темы математики и математического образования, относящиеся к преподаванию математики в K-12.Курс может быть повторен для разных тем. Предлагается при необходимости. Условие: разрешение инструктора.
      MATH 5303 Индивидуальные исследования (3-0). Самостоятельное изучение избранных тем по математике. Этот курс может повторяться в течение разных семестров. Условие: разрешение инструктора.
      MTH 3301 Геометрия (3-0). Современное формальное развитие евклидовой геометрии с сопоставлениями и конструкциями. Знакомство с другими геометрическими формами, если позволит время. Предварительные требования: MATH 2311 / MTH 3309, MATH 2413 или разрешение инструктора.
      MTH 3302 Вероятность и статистика I (3-0). Описательная статистика, вероятность, случайные величины и их распределения, оценка и проверка гипотез. Предпосылка: MATH 1314 или разрешение инструктора.
      MTH 3304 Линейная алгебра (3-0). Системы линейных уравнений, матрицы, определители, векторные пространства, линейные преобразования, собственные значения и собственные векторы, приложения и численные методы. Пререквизиты: MATH 2413
      MTH 3305 История математики (3-0). Биографии математиков, а также исследование хронологического развития важных математических идей. Предварительное условие: MATH 2413.
      MTH 3306 Специальные темы (3-0). Обсуждение избранных тем по математике. Курс может быть повторен, поскольку темы меняются. Условие: разрешение инструктора.
      MTH 3307 Дифференциальные уравнения (3-0). Дифференциальные уравнения первого порядка, линейные дифференциальные уравнения высшего порядка, системы линейных дифференциальных уравнений и приложения.Предварительные требования: MATH 2414.
      MTH 3308 Обзор базовой математической теории I (3-0). Системы счисления, основы арифметики, дроби и десятичные числа, концепции измерения и решение задач. Только по специальностям начального образования. Предварительные требования: MATH 1314
      MTH 3309 Обзор базовой математической теории II (3-0). Геометрические концепции, вероятность, статистика, оценка, решение проблем и другие связанные темы. Только по специальностям начального образования. Предварительные требования: MTH 3308
      MTH 3311 Обзор базовой математической теории III (3-0). Дальнейшее изучение математики, включая измерение вероятностей и геометрические фигуры, сети, преобразования, симметрию, конгруэнтность, подобие и построение. Только начальное образование. Требование: 3309
      MTH 3340 MTH Основы высшей математики (3-0). Организация и структура математической мысли. Написание и оценка доказательств. Темы включают логику высказываний, теорию множеств, функции, последовательности, отношения, теорию чисел и теорию графов. Предпосылка: MATH 2311 / MTH 3309 или MATH 2414.
      MTH 3415 Исчисление III (3-0). Исчисление функций нескольких переменных, включая частные производные, множественные интегралы и векторное исчисление. Предпосылка: MATH 2414 с C или выше.
      MTH 4301 Современная абстрактная алгебра (3-0). Классы сравнения, теория групп и ее приложения к теории чисел и геометрии, введение в кольца, области целостности и поля. Предварительные условия: MATH 2318 и MATH 3301 / MTH 3301 или разрешение инструктора.
      MTH 4304 Вероятность и статистика II (3-0). Линейная регрессия и корреляция, множественная регрессия, дисперсионный анализ, анализ переписных данных. Предварительное условие: MTH 3302
      Реальный анализ MTH 4320 (3-0). Топология реальной линии, последовательности, серии, непрерывность и дифференциация. Предпосылка: MATH 2414.
      MTH 4390 Senior Project (3-0). Руководил индивидуальными занятиями по математической теме, интересующей студента. Упор на письменное и устное общение. Предпосылка: Завершение любого курса 4000 уровней с C или выше или с разрешения инструктора.
      MTH 5301 Специальные темы по математике (3-0). Избранные темы теоретической и прикладной математики, представляющие особый интерес для учителей математики. Курс может быть повторен для разных тем. Обязательное условие: степень бакалавра и разрешение преподавателя.
      MTH 5303 Ряды Фурье и ортогональные функции (3-0). Функциональные пространства, ортогональные функции, ряды Фурье, полиномы Лежандра, сферические гармоники, тепло и температура, волны и колебания.Требование: MTH 3303 и MTH 3304 или разрешение инструктора.
      MTH 5305 Расширенная геометрия (3-0). Классическая геометрия с продвинутой точки зрения, включая евклидову геометрию, аксиоматические системы, конструктивность, правильные многогранники, проективную геометрию и неевклидову геометрию. Предварительное условие: MTH 4301 или MTH 4307 или разрешение инструктора.
      MTH 5307 История математики (3-0). Предоставляет обзор истории и развития математической мысли с древних времен до наших дней, включая биографические перспективы.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *