Квадратный корень из 2 | это… Что такое Квадратный корень из 2?
Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.
Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение: Приведём значение корня из 2 с 65 знаками после запятой:
- 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 99…
Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).
Квадратный корень из 2.
Хорошим и часто используемым приближением к является дробь . Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.
Содержание
|
История
Вавилонская глиняная табличка с примечаниями.
Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт приближённое значение в четырёх шестидесятеричных цифрах, что составляет 8 десятичных цифр:
Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:
Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта.
Алгоритмы вычисления
Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение в виде обыкновенной или десятичной дроби. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:
Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Приведём несколько первых приближений:
- 3/2 = 1.5
- 17/12 = 1.416…
- 577/408 = 1.414215…
- 665857/470832 = 1.4142135623746…
В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение √2 до 137,438,953,444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Шигеру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор 3.
Свойства квадратного корня из двух
Половина √2 приблизительно равна 0.70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора,образующего угол 45° с координатными осями:
Одно из интересных свойств √2 состоит в следующем:
- .Потому что
Это является результатом свойства серебряного сечения.
Другое интересное свойство √2:
Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i используя только квадратные корни и арифметические операции:
- и
Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.
Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения π:
С точки зрения высшей алгебры, является корнем многочлена и поэтому является целым алгебраическим числом.
Множество чисел вида , где — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается и является подполем поля вещественных чисел.
Доказательство иррациональности
Применим доказательство от противного: допустим, рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где и — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
- .
Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пусть , где целое. Тогда
Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и — иррациональное число.
Непрерывная дробь
Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:
Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь , то последующая имеет вид .
Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:
Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.
Размер бумаги
Квадратный корень из двух является пропорцией формата бумаги ISO 216. Соотношение сторон таково, что при разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции.
См. также
- Иррациональность
- Теорема Виета
Каково значение 2 корня 2? – Обзоры Вики
Значение 2√2 равно 2.828.
Аналогично, существует ли квадратный корень из 2? Поскольку √2 не является целым числом (2 не является полным квадратом), √2, следовательно, должно быть иррациональным. Это доказательство можно обобщить, чтобы показать, что любой квадратный корень любого натурального числа, не являющийся полным квадратом, иррационален.
Как решить 2 квадратных корня 2? Квадратный корень из 2, округленный до 10 знаков после запятой, равен 1.
4142135624. Это положительное решение уравнения x 2 = 2.
…
Корень квадратный из 2 в радикальной форме: √2.
| 1. | Что такое квадратный корень из 2? |
|---|---|
| 6. | Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 2 |
Каков ответ 2 в корень 2? Значение корня 2 из 2 равно 2.828.
Во-вторых, чему равен квадрат 2? Список идеальных квадратов
| НОМЕР | ПЛОЩАДЬ | КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ |
|---|---|---|
| 2 | 4 | 1.414 |
| 3 | 9 | 1.732 |
| 4 | 16 | 2.000 |
| 5 | 25 | 2.236 |
• 17 ноября 2021 г.
Как умножить квадратный корень из 2?
тогда почему квадрат 2? Возведение числа n в степень 2 называется «возведением в квадрат», потому что полученное число n2 соответствует площади квадрата со сторонами длиной n.
Функция квадрата — чрезвычайно полезная функция в алгебре, тригонометрии и физике.
Почему √ 2 иррациональное число? В частности, греки обнаружили, что диагональ квадрата со стороной в 1 единицу имеет диагональ, длина которой не может быть рациональной. По теореме Пифагора длина диагонали равна квадратному корню из 2. Итак, квадратный корень из 2 иррационален!
Является ли 2 квадратный корень 2 рациональным числом?
Квадратный корень из 2. Квадратный корень из 2 равен иррациональный.
Как упростить 2 квадратных корня 3? хотя это может и не быть упрощением, 2√3 можно представить как √12 .
Как расширить Root 2?
√2 = 1.414
С помощью метода длинного деления вы найдете значения несовершенных квадратных значений, таких как корень 3, корень 5 и т. д.
Рационально ли умножить на 2 квадратный корень из 2? Квадратный корень из 2 не может быть выражен как частное двух целых чисел, и поэтому называется иррациональное число.
Как расширить корень 2?
√2 = 1.414
С помощью метода длинного деления вы найдете значения несовершенных квадратных значений, таких как корень 3, корень 5 и т. д.
Как добавить корень 2 и корень 2?
√2 + √2 = 2√2 = √(2² x 2) = √8. Какой ответ я должен получить при добавлении root 2 и root 2? √2 + √2 = 2√2.
Каково значение корня 2 в корне 3? Чтобы определить значение √2×√3, мы должны умножить значение квадратного корня из 2, равного 1.41, на квадратный корень из 3, равный 1.732. Таким образом, значение ✓2×✓3 равно 2.44.
Как найти квадратный корень?
Как набрать 2 в квадрате? Вставить квадратный символ на свой Android-смартфон относительно легко и просто.
2 равно целому числу: 4. Если вы возводите любое числовое значение в квадрат, вы умножаете число само на себя; это правило следует первым двум измерениям x и y (или высоте и ширине).
Является ли 2 идеальным квадратом? Например, произведение числа 2 само по себе равно 4. В этом случае 4 называется полным квадратом. Квадрат числа обозначается как n × n. Точно так же экспоненциальное представление квадрата числа равно n 2 , обычно произносится как «n» в квадрате.
…
Пример 1.
| Целое | Идеальный квадрат |
|---|---|
| 2 х 2 | 4 |
| 3 х 3 | 9 |
| 4 х 4 | 16 |
| 5 х 5 | 25 |
Заканчивается ли квадратный корень из 2?
если у вас есть квадрат со стороной один, то диагональ квадрата равна квадратному корню из 2. Теперь квадрат корень из двух никогда не должен заканчиваться. Но диагональ квадрата заканчивается, поэтому квадратный корень из 2 не заканчивается.
Что такое квадратный корень? Квадратный корень числа это значение, которое при умножении само на себя дает число. Пример: 4 × 4 = 16, поэтому квадратный корень из 16 равен 4. Обратите внимание, что (−4) × (−4) = 16, поэтому −4 также является квадратным корнем из 16. Символ √, что всегда означает положительный квадратный корень. Пример: √36 = 6 (потому что 6 x 6 = 36)
3-8Интересные числа — Квадратный корень из двух
Интересные числа — Квадратный корень из двухИнтересные цифры — нуль — один — сложный — корень 2 — Золотое сечение — е — Пи — гугол — бесконечность
- Доказательство нерациональности √2
- Визуализация √2
- Значение √2
- Где находятся корни
Возведение числа в степень — это многократное умножение этого числа само на себя.
Самый простой пример – квадрат. Три в квадрате или 3 2 равно 3×3=9 . Это называется возведением в квадрат, потому что площадь квадрата равна площади одной из его сторон. Возведение в степень три называется кубированием по той же причине. 5 3 =5x5x5=125 . Вы можете иметь высшие силы. Два к четвертому или 2 4 равно 2x2x2x2=16 .
Противоположностью возведению в квадрат является квадратный корень. Квадратный корень из 9 равен 3 . Вы можете записать это как 9 ½ =3 или √9=3
Доказательство нерациональности √2
Здесь используется алгебра, так как это самый простой способ объяснить.
Рациональное число — это число, которое можно записать как отношение двух чисел, как дробь. Всегда есть несколько способов записи одной и той же дроби. Например, 5/10 , 3/6 , 25/50 — все это способы записи 1/2 . Но любую дробь можно сократить в простейшем виде. Что вы делаете, так это смотрите, есть ли у верха и низа какие-либо общие факторы. Для 5/10 , оба 5 и 10 делятся на 5 . Для 25/50 и верх, и низ делятся на 25 и так далее. Но 1/2 не имеют общих множителей (кроме одного), так что это самая простая форма. С 8/12 общий множитель равен 4 , поэтому простейшая форма этой дроби — 2/3 . Для всех дробей можно записать простейшую форму, без общих множителей.
Если √2 — рациональное число, то вы можете написать √2 = a/b , где a и b — целые числа, и они не имеют множителей — это простейшая форма дроби.
| √2 | = a/b |
| so 2 | = a 2 /b 2 |
| so 2b 2 | = 2 |
Это означает, что a 2 четно, поэтому a должно быть четным. | |
| Таким образом, мы можем заменить a на 2c . | |
| so 2b 2 | = (2c) 2 |
| so 2b 2 | = 4c 2 |
| so b 2 | = 2c 2 |
| Но это означает, что b 2 четно, а значит, b также должно быть четным. | |
| Таким образом, a и b четны. | |
Но это невозможно. Сначала мы сказали, что a и b не имеют общих делителей, а теперь докажем, что они оба должны делиться на два. Таким образом, мы не можем выбрать пару чисел, отношение которых равно 9.1828 √2 . Эта форма доказательства называется (на латыни) reductio ad absurdum или «сведена к абсурду».
В начале мы заявили, что можем записать √2 как дробь, приведенную к простейшей форме, и теперь мы доказали, что не можем.
Древние греки не использовали алгебру, но один из них разработал эту идею. Остальным греческим математикам это совсем не понравилось. Они считали, что все числа можно записать целыми числами или как отношение двух целых чисел, что, по их мнению, было прекрасной и верной идеей. Теперь мы знаем, что существуют разные типы чисел, и иррациональные числа имеют свою красоту. В любом случае правда важнее красоты.
Визуализация √2
Как греки вообще придумали число √2 ? Существует ли он в реальном мире? Да, это так. Представьте себе пол с плиткой. Плитки представляют собой полуквадраты. Если внимательно присмотреться, то можно увидеть прямоугольный треугольник посередине с квадратом на каждой из его сторон. Нажмите на плитки, чтобы они появились. (Нажмите на него еще раз, чтобы он исчез.)
Греки знали теорему Пифагора — «квадрат гипотенузы (наибольшая сторона) равен сумме квадратов двух других сторон».
Они знали, что треугольник со сторонами 3 , 4 и 5 имели прямой угол ( 3 2 +4 2 =9+16=25=5 2 ) и треугольник со сторонами 8 518 918 . , 12 и 13 ( 5 2 +12 2 =25+144=169=13 2 ). Но у этого треугольника напольной плитки стороны 1 , 1 и √2 . Это должно быть верно из-за теоремы Пифагора, так как квадрат наибольшей стороны должен быть равен 1 2 +1 2 =2 . Но вы также можете считать квадраты. Квадраты на более коротких сторонах состоят из 2 тайлов каждый, и каждый квадрат равен половине квадрата, так что получается один квадрат. Мы ожидали этого, так как стороны имеют длину 1 . Но в большом желтом квадрате четыре половинки плитки, так что получается два квадрата. Таким образом, его стороны должны быть √2 . Напольная плитка определенно является частью реального мира, поэтому √2 — реальное число.
Но это не рациональное, это иррациональное число.
Значение √2
Дробное приближение √2 равно 99/70 . Для более точного значения
√2 = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799 (до 65 знаков после запятой)
Так как же кто-то может получить такое значение? Вот один из способов. Вы начинаете с предположения — скажем, 1,5 (поскольку 1,5 2 = 2,25 , что не так уж плохо). Это вводится в формулу. Представьте, что первоначальное предположение было п 0 . Нам нужно новое, лучшее значение, n 1 .
n 1 = 0,5 х (n 0 + 2 / n 0 )
Затем вы вводите новое значение в правую часть, чтобы получить еще лучшее значение, n 2 и так далее. Попробуйте сами. Нажмите на кнопку, чтобы получить лучшие значения √2 .
Вы можете видеть, что это должно быть, выше. После нескольких подходов вы обнаружите, что он успокаивается и не улучшается. Это потому, что вы достигли предела точности этого компьютера.
Где находятся корни
Этих иррациональных корней предостаточно. √3 иррационально, как и √5 . (но не √4 , конечно.) Используем ли мы когда-нибудь эти корни?
sin 45° = 1 / √2 тангенс 60° = √3 золотое сечение = (1 + √5) / 2
√2 имеет очень практическое применение. В Великобритании и Европе используется ряд форматов бумаги, который называется 9.1828 A0 , A1 , A2 и т. д. A4 — размер, используемый для больших листов писчей бумаги, файлов и т. д. A0 — квадратный метр площади. A1 — это A0 , сложенный пополам (и перевернутый вверх). A2 — это A1 , сложенный пополам, и так далее.