Силы корней, Сила
246.
Было показано, каким образом любая степень или корень могут быть выражены посредством индекса. Индекс мощности — целое число. Корень — это дробь, числитель которой равен 1. Существует также другой класс величин, которые можно рассматривать либо как степени корней, либо как корни степеней.
Предположим, что 1/2 умножается само на себя, чтобы трижды повториться как множитель.
Произведение 1/2+1/2+1/2 или 3/2 (ст. 243) есть, очевидно, куб 1/2 , то есть куб квадратного корня а. Этот дробный индекс обозначает, таким образом, степень корня . Знаменатель выражает корень, а числитель степень. Знаменатель показывает, на сколько равных делителей или корней разлагается данная величина; а числитель показывает, сколько из этих корней нужно перемножить.
Таким образом, 4/3 — это четвертая степень кубического корня из a.
Знаменатель показывает, что a разлагается на три множителя или корня: 1/3 , 1/3 и 1/3 .
И числитель показывает, что четыре из них должны быть умножены вместе; что даст четвертую степень числа 1/3 ; то есть,
a 1/3 .a 1/3 .a 1/3 .a 1/3 = a 4/3 .
247. Как 3/2 — это степень корня, поэтому является корнем степени . Возведем в третью степень a 3 . Квадратный корень из этого равен 3/2 . Корень 3 — это количество, которое, умножив само на себя, даст 3 .
Но согласно ст. 243, а 3/2 = а 1/2 .а 1/2 .а 1/2 ; и это, умноженное само на себя (ст. 100), есть
1/2
Следовательно, 3/2 — это квадратный корень из куба a.
Таким же образом можно показать, что m/n — это m-я степень n-го корня из a; или n-й корень m-й степени: то есть корень степени равен той же степени того же корня .
Например, четвертая степень кубического корня из а равна кубическому корню из четвертой степени из а.
248. Корни, как и степени одной буквы, можно умножить на , прибавив их показатели степени . (Статья 243.) Легко видеть, что тот же принцип может быть распространен на степени корней, когда показатели имеют общий знаменатель.
Таким образом, 2/7 .a 3/7 = 2/7+3/7 = 5/7 .
Первый числитель показывает, как часто 1/7 берется в качестве множителя для получения 2/7 . (Статья 246.)
А второй числитель показывает, как часто 1/7 берется в качестве множителя для получения 3/7 .
Таким образом, сумма числителей показывает, как часто нужно брать корень для произведения . (Статья 100.)
Или, таким образом, 2/7 = 1/7 .a 1/7 .
И 3/7 = 1/7 .a 1/7 .
a 1/7 .
Следовательно, 2/7 .a 3/7 = 1/7 .a 1/7 .a 1/7 .a 1/7 .a 1/7 = a 5/7 .
249. Значение количества не меняется от применения к нему дробного показателя, числитель и знаменатель которого равны.
Таким образом, а = 2/2 = а 3/3 = а н/н . Ибо знаменатель показывает, что а разлагается на определенное число множителей; и числитель показывает, что все эти факторы включены в n/n .
Таким образом, a 3/3 = a 1/3 .a 1/3 .a 1/3 , что равно a.
А н/н = 1/н .а 1/н ….. n раз.
С другой стороны, когда числитель дробного индекса становится равным знаменателю, выражение можно сделать более простым, отбросив индекс.
Вместо n/n мы можем написать a.
250.
Индекс степени или корня может быть заменен на любой другой индекс того же значения.
Вместо 2/3 мы можем поставить 4/6 .
Ибо в последнем из этих выражений предполагается, что а разлагается на , вдвое больше множителей, чем в первом; а числитель показывает, что 90 919 умножить на 90 920 — столько этих множителей нужно перемножить. Так что вся стоимость не изменена.
Таким образом, х 2/3 = х 4/6 = х 6/9 . то есть квадрат кубического корня такой же, как четвертая степень шестого корня, шестая степень девятого корня.
Таким образом, 2 = 4/2 = 6/3 = 2н/н . Ибо значение каждого из этих индексов равно 2. (Статья 132.)
251. Из предыдущей статьи легко увидеть, что дробный индекс может быть выражен десятичными знаками .
1. Таким образом, 1/2 = 5/10 или 0,5 ; то есть квадратный корень равен 5-й степени десятого корня.
2. 1/4 = 25/100
3. а 2/5 = а 0,4 .
4. а 7/2 = а 3,5 .
5. 9/5 = 1,8
Однако во многих случаях десятичная дробь может быть только приближением к истинному индексу.
Таким образом, 1/3 = 0,3 почти. 1/3 = 0,333334 почти.
Таким образом, аппроксимация может быть доведена до любой требуемой степени точности.
Таким образом, 5/3 = 1,66666 . нбсп; а 7 11 = а 1,87142 .
Эти десятичные индексы образуют очень важный класс чисел, называемый логарифмами .
Часто удобно варьировать обозначение степеней корней, используя винкулум или радикальный знак √. При этом мы должны помнить, что сила корня такая же, как и корень силы; (ст.