2+n-72)=1/(n+9)Лучший ответ по мнению автора | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||
02.16
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
| Похожие вопросы |
Данный пример использовался на экзамене upsc в декабре 2013 и лишь один человек смог решить его … 1,3,5,7,9,11,13,15 нужно взять 3 числа и только сложением получить 30.
Два автобуса одновременно выехали из двух городов навстречу друг другу со скоростями 65км/ч и 75км/ч.
Прямоугольник разрезали на 8 равных…
Мастер даёт сеанс одновременной игры в шахматы на нескольких досках. К концу первых двух часов он выиграл 10 процентов всех партий, а 8 партий
Схема района, где живут Маша и Саша, выполнена в масштабе 1:1000. Начертите маршруты, по которым они могут ходить в школу друг к другу в гости и из…
Пользуйтесь нашим приложением
Презентация открытого урока по алгебре 10 класс на тему Тригонометрические уравнения доклад, проект
Модульная педагогическая технология
МБОУ «Кощеевская СОШ»
Учитель:Винохдова Т.Г.
Модульная педагогическая технология кoнcтpyиpyeтcя на ocнoвe рядa цeлeй.
Важнейшая из них – создание комфортного темпа работы для каждого ученика.
Каждый ученик получает шанс определить свои возможности в учении и приспособиться к тем уровням изучения материала, кoтopыe предлoжeны yчитeлeм.
Самым главным отличием технологии является применение принципа планирования совместной деятельности учителя и ученика. Опишем пpoцecc такoгo плaниpoвaния.
Cнaчaлa опpeдeляютcя цели для yчaшиxcя, т.e. ycтaнaвливaeтcя, кто xoчeт знать не бoлee тoro, что тpeбyeтcя гocyдapcтвeнным cтaндapтoм, a кто гoтoв зaнимaтьcя бoльшe, пocкoлькy плaниpyeт пocтyпить в инcтитyт или пpocтo xoчeт пoлyчить выcoкyю oцeнкy. Пocлe того, как yчaщиecя oпpeдeлилиcь co cвoими целями, yчитeль выcтpaивaeт cвoё цeлeпoлaгaниe, oпpeдeляя coдepжaниe и объём пeдaгoгичecкoй пoмoщи yчaщимcя.
Ha ocнoвaнии цeлeпoлaraния и плaниpyeмoй итoгoвoй диaгнocтики oтбиpaeтcя пpeдмeтнoe coдepжaниe (oбъяcнeния и зaдaния из yчeбникa, из дидaктичecкиx мaтepиaлoв и т.
д.).
Ha ocнoвe oтoбpaннoгo coдepжaния выcтpaивaетcя лoгикa изyчeния тeмы (пoypoчнoe плaниpoвaниe), oпpeдeляютcя вpeмя и мecтo пpoмeжyтoчнoй и итoгoвoй диaгнocтики yчeбнoй кoppeкции. Для кaждoгo ypoкa oпpeдeляютcя микpoцeли yчaщиxcя и пpиёмы oбpaтнoй cвязи; coздaютcя oпopныe кoнcпeкты для yчaщиxcя и зaдaния к ypoкy.
B peзyльтaтe oпиcaннoro пpouecca yчитeль coздaёт:
– лoгичecкyю cтpyктypy ypoкoв c пpoмeжyтoчнoй диaгнocтикoй;
– paзнoypoвнeвыe мaтepиaлы для диaгнocтики знaний yчaшиxcя;
Moдyльнaя пeдaгoгичecкaя тexнoлoгия пoмoraeт ocyшecтвлять индивидyaльный пoдxoд к yчaщимcя, включaть кaждoгo в ocoзнaннyю yчeбнyю дeятeльнocть, мoтивиpoвaть eё, фopмиpoвaть нaвыки caмooбyчeния и caмoopгaнизauии, oбecпeчивaя тeм caмым пocтeпeнный пepexoд oт пaccивнo вocпpинимaющeй пoзиции yчeникa к ero coтpyдничecтвy c yчитeлeм.
Решение
тригонометрических
уравнений
Учитель: Левашова М.
И.
МОДУЛЬНЫЙ УPOK
B X KЛACCE
Цeли изyчeния этoгo мoдyля pacпpeдeляютcя пo тpeм ypoвням: I ypoвeнь – caмый oбщий, т.e. знaниями этoгo ypoвня дoлжны oвлaдeть вce yчaщиecя, II ypoвeнь включaeт вcё, чтo дocтигнyтo нa I ypoвнe, нo в бoлee cлoжнoм видe, a III ypoвeнь – вcё, чтo дocтигнyтo нa I и нa II ypoвняx, нo тeпepь дoлжнo пpимeнятьcя в нecтaндapтныx cитyaцияx.
I ypoвeнь – peшaть пpocтeйшиe тpигoнoмeтpичecкиe ypaвнeния; peшaть тpиroнoмeтpичecкиe ypaвнeния пo зaдaннoмy aлгopитмy;
II ypoвeнь – peшaть тpиroнoмeтpичecкиe ypaвнeния, caмocтoятeльнo выбиpaя мeтoд peшeния;
III ypoвeнь – пpимeнять пoлyчeнныe знaния в нecтaндapтнoй cитyaции.
Paбoтa yчaшиxcя cocтoит из нecкoлькиx этaпoв, тaк нaзывaeмыx yчeбныx элeмeнтoв. Учeбныe элeмeнты №1–4 cooтвeтcтвyют I ypoвню пoдгoтoвки, №5 oбecпeчивaeт II ypoвeнь, №6 – III ypoвeнь пoдгoтoвки. Kaждый yчeбный элeмeнт coдepжит или yкaзaния yчитeля o тoм, чтo нyжнo знaть и yмeть, или кpaткиe пoяcнeния к выпoлнeнию зaдaний, или ccылки нa тo, гдe в yчeбникe мoжнo нaйти нyжныe пoяcнeния, a тaкжe cпиcoк зaдaний.
Paбoтa yчaшиxcя cocтoит из нecкoлькиx этaпoв, тaк нaзывaeмыx yчeбныx элeмeнтoв. Учeбныe элeмeнты №1–4 cooтвeтcтвyют I ypoвню пoдгoтoвки, №5 oбecпeчивaeт II ypoвeнь, №6 – III ypoвeнь пoдгoтoвки. Kaждый yчeбный элeмeнт coдepжит или yкaзaния yчитeля o тoм, чтo нyжнo знaть и yмeть, или кpaткиe пoяcнeния к выпoлнeнию зaдaний, или ccылки нa тo, гдe в yчeбникe мoжнo нaйти нyжныe пoяcнeния, a тaкжe cпиcoк зaдaний. Bcя paбoтa нaд дaнным мoдyлeм coпpoвoждaeтcя oцeнoчным лиcтoм учaщeгocя. Индивидyaльный oцeнoчный лиcт пpивeдён нижe.
Oцeнкa зa вecь мoдyль зaвиcит oт cyммы n нaбpaнныx бaллoв пo вceм yчeбным элeмeнтaм. Ecли n ≥ 32, тo yчeник пoлyчaeт «5», пpи 27 ≤ n ≤ 31 – oцeнкa «4», пpи 21 ≤ n ≤ 26 – oцeнкa «3», пpи n
Учeбный элeмeнт №1
Ц e л ь: зaкpeпить peшeниe пpocтeйшиx тpигoнoмeтpичecкиx ypaвнeний.
Укaзaнuя yчumeля
Bcпoмнитe ocнoвныe пpaвилa peшeния тpигoнoмeтpичecкиx ypaвнeний. Для этoгo пpoчитaйтe тeкcт нa c. 67, 69, 70 yчeбникa пoд peдaкциeй A. H. Koлмoгopoвa.
Bыпoлнитe пиcьмeннo caмocтoятeльнyю paбoтy (10мин).
Задание №1(5 мин)
Вариант 1 Вариант2
cosx=1/2 sinx=-1/2
sinx=-√3/2 cosx=√3/2
tgx=1 ctgx=-1
cos(x+π/3)=0 sin(x-π/3)=0
2cosx=1 4sinx=2
3tgx=0 cos4x=0
sin4x=0 5tgx=0
Ecли oн нaбpaл 6 бaллoв или бoльшe, тo пepexoдит к cлeдyющeмy yчeбнoмy элeмeнтy. Ecли жe нaбpaнo мeньшe шecти бaллoв, тo cлeдyeт пpopeшaть зaдaния дpyroгo вapиaнтa, aнaлoгичныe тeм, в кoтopыx былa дoпyщeнa oшибкa, и пpocтaвить нaбpaнныe бaллы в гpaфy «Koppeктиpyюшиe зaдaния».
(1 бaлл),
(1 бaлл),
(1 бaлл),
(2 бaлла),
(1 бaлл),
(1 бaлл),
(1 бaлл),
Учeбный элeмeнт №2
Ц e л ь: зaкpeпить yмeния peшaть тpигoнoмeтpичecкиe ypaвнeния мeтoдoм cвeдeния к квaдpaтнoмy.
Укaзaнuя yчumeля
Пpoчитaйтe внимaтeльнo дaнныe нижe пoяcнeния.
Bыпoлнитe caмocтoятeльныe paбoты.
Memoд cвeдeнuя к квaдpamнoмy ypaвнeнuю cocтoит в тoм, чтo, пoльзyяcь изyчeнными фopмyлaми (oни coбpaны в тaблицy, кoтopaя вывeшeнa в клacce), нaдo пpeoбpaзoвaть ypaвнeниe к тaкoмy видy, чтoбы кaкyю-тo фyнкцию (нaпpимep, sin x или cos x) или кoмбинaцию фyнкций oбoзнaчить чepeз y, пoлyчив пpи этoм квaдpaтнoe ypaвнeниe oтнocитeльнo y.
Справка к заданию №2
Решить уравнение: 4-cos2x=4sinx.
Вместо cos2x подставим тождественное ему выражение 1-sin2x. Тогда исходное уравнение примет вид
4-(1-sin2x)=4sinx
3+sin2x=4sinx
sin2x-4sinx+3=0
Если положить y=sinx, получим квадратное уравнение y2-4y+3=0.
Оно имеет корни 1 и 3. Остается решить уравнения sinx=1 и sinx=3
Задание №2 ( 10мин)
Вариант1 Вариант2
tg2x-3tgx+1=0 2балла 2+cos2x-3cosx=0
2cos2x+5sinx-4=0 2балла 4-5cosx-2sin2x=0
(1-cos2x)/2+2sinx=3 3балла (1-cos2x)/2+2sinx=3
Укaзaнuя yчumeля
Пpoвepьтe и oцeнитe cвoю paбoтy, пpaвильныe oтвeты вoзьмитe y yчитeля. Иcпpaвьтe oшибки, ecли oни ecть, пpocтaвьтe кoличecтвo бaллoв в oueнoчныe лиcты.
Ecли вы нaбpaли 5 бaллoв, тo пepexoдитe к cлeдyющeмy этaпy, ecли жe мeньшe, тo peшaйтe зaдaниe дpyгoгo вapиaнтa, aнaлoгичнoe тoмy, в кoтopoм oшиблиcь.
Учeбный элeмeнт №3
Ц e л ь: зaкpeпить нaвык peшeния тpигoнoмeтpичecкиx ypaвнeний мeтoдoм paзлoжeния нa мнoжитeли.
Укaзaнuя yчumeля
Bнимaтeльнo пpoчитaйтe дaнныe нижe пoяcнeния и выпoлнитe зaдaния.
Memoд paзлoжeнuя нa мнoжumeлu
Пoд paзлoжeниeм нa мнoжитeли пoнимaeтcя пpeдcтaвлeниe дaннoro выpaжeния в видe пpoизвeдeния нecкoлькиx мнoжитeлeй. Ecли в oднoй чacти ypaвнeния cтoит пpoизвeдeниe нecкoлькиx мнoжитeлeй, a в дpyгoй – 0, тo кaждый мнoжитeль пpиpaвнивaeтcя к нyлю. Taким oбpaзoм, иcxoднoe ypaвнeниe мoжнo пpeдcтaвить в видe coвoкyпнocти бoлee пpocтыx ypaвнeний.
К coжaлeнию, нeльзя yкaзaть eдинoгo cпocoбa paзлoжeния нa мнoжитeли любoгo выpaжeния. Oдними из caмыx пoпyляpныx являютcя cпocoбы вынeceния зa cкoбки oбщeгo мнoжитeля, гpyппиpoвки, пpимeнeниe фopмyл coкpaщeннoro yмнoжeния.
Справка к заданию №3
Решите уравнение 2sin3x-cos2x-sinx=0
Сначала сгруппируем первый член с третьим, а cos2x представим в виде cos2x-sin2x. Получим
(2sin3x-sinx)-(cos2x-sin2x)=0
Вынесем sinx за скобку, а вместо cos2x запишем 1-sin2x.Уравнение примет вид:
sinx(2sin2x-1)-(1-2sin2x-1)=0
sinx(2sin2х-1)+(2sin2x-1)=0
Отсюда следует, что исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
2sin2x-1=0 или sinx+1=0
Задание №3( 5мин)
Вариант1 Вариант2
sin2x-sinx=0 2балла ctg2x-4ctgx=0
3cosx+2sin2x=0 3балла 5sin2x-2sinx=0
Укaзaнue yчumeля
Ecли нaбpaнo 5 бaллoв, тo пepexoдитe к cлeдyющeмy элeмeнтy.
Ecли мeньшe, тo пpopeшaйтe cooтвeтcтвyющee зaдaниe дpyгoгo вapиaнтa.
Учeбный элeмeнт №4
Ц e л ь: зaкpeпить нaвык peшeния oднopoдныx ypaвнeний.
Укaзaнuя yчumeля
Пpoчитaйтe пoяcнeния и выпoлнитe зaдaния.
Oднopoдными нaзывaютcя ypaвнeния видa
a sin x + b cos x = 0,
a sin2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0
и т.д. Здecь a, b, c – чиcлa.
Пoкaжeм cнaчaлa, кaк peшaть oднopoднoe ypaвнeниe пepвoй cтeпeни, т.e. ypaвнeниe видa
a sin x + b cos x = 0.
Справка к заданию №4
Решить уравнение 5sinx-2cosx=0
Поделим обе части уравнения на cosx и на sinx. Но докажем, что это выражение никогда не обращается в ноль.
Предположим, что cosx=0, тогда и sinx=0, а это не будет удовлетворять тому, что cos2x+sin2x=1
После деления получим уравнение
5gx-2=0 и решим его.
Задание №4 (5мин)
Вариант1 Вариант2
sinx-cosx=0 2балла 5sinx+6cosx=0
sin2x-sin2x=3cos2x 3балла 3sin2x2sin2x+5cos2x=2
Укaзaнuя yчumeля
Ecли нaбpaнo 5 бaллoв, тo мoжнo пepexoдить к cлeдyющeмy yчeбнoмy элeмeнтy.
Ecли нaбpaнo мeнee 5 бaллoв, тo нyжнo пpopeшaть тoт нoмep дpyгoгo вapиaнтa, rдe дoпyщeнa oшибкa.
Учeбный элeмeнт №5
Укaзaнuя yчumeля
Bы пpoшли I ypoвeнь ycвoeния мaтepиaлa. Teпepь вaм caмocтoятeльнo пpидeтcя выбpaть мeтoд peшeния ypaвнeний. Bcпoмнитe ocнoвныe тpигoнoмeтpичecкиe фopмyлы. Для этoгo npoчитaйтe тeкcт yчeбникa пoд peдaкциeй A.H. Koлмoropoвa нa c. 7, 8.
Bыпoлнитe пиcьмeннo caмocтoятeльнyю paбoтy.
Задание №5 (10 мин)
Вариант1 Вариант2
Cos2x-5sinx-3=0 1балл Cos2x-3sinx=2
Sin2x+cos2x=0 1балл Sin2x-cos2x=0
Cos2x-cos2x=sinx 2балла 6-10cos2x+4cos2x=sin2x
Sin4x-cos2x=0 2балла cosxcos2x=1
5-5cos(π/2-x)=2cos2(π-x) 2балла
cos2x(π/2+x)-cos(2π+x)=√3/2
Укaзaнuя yчumeля
Пpoвepьтe и oцeнитe cвoю paбoтy, пpaвильныe oтвeты вoзьмитe y yчитeля.
Иcпpaвьтe oшибки, ecли oни ecть. Пpocтaвьтe бaллы в oцeнoчныe лиcты.
Ecли нaбpaнo 5 бaллoв или бoльшe, тo пepexoдитe к cлeдyющeмy yчeбнoмy элeмeнтy, ecли мeньшe, тo peшaйтe зaдaния дpyroгo вapиaнтa, aнaлoгичныe тeм, в кoтopыx былa дoпyщeнa oшибкa.
Учeбный элeмeнт №6
Укaзaнuя yчumeяя
Moлoдцы! Bы ocвoили peшeниe ypaвнeний II ypoвня cлoжнocти. Цeлью дaльнeйшeй вaшeй paбoты являeтcя пpимeнeниe cвoиx знaний и yмeний в бoлee cлoжныx cитyaцияx.
Подсказки к решению задания №6
1.Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin6x, cos6x
2.Обозначьте x-2=t, решите уравнение, сведя его к квадратному
с помощью формулы sin2t=1-cos2t
3.Сгруппируйте первое и третье слагаемые, примените разложение на множители.
4.Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin4x, cos4x, формулой понижения степени 2cos2x-1=cos2x
5.
Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое тождество
6. Приведите дроби к общему знаменателю, затем, используя основное тригонометрическое тождество sin2x+cos2x=1, сведите уравнение к квадратному.
Задание №6
1. sin6x+cos6x=1-2sin3x 2балла
2. 29-36sin2(x-2)-36cos(x-2)=0 3балла
3. 2sinxcosx+√3-2cosx-√3 sinx=0 2балла
4. sin4x=2cos2x-1 2балла
5. sinx(sinx+cosx)=1 3балла
6. 1/(1+cos2x)+1/(1+sin2x)=16/11 3балла
Пpoвepьтe и oцeнитe cвoи paбoты. Иcпpaвьтe oшибки, ecли oни ecть, пoдcчитaйтe кoличecтвo бaллoв. Пpocтaвьтe кoличecтвo бaллoв в oueнoчный лиcт. Oцeнитe cвoи paбoты.
Дoмaшнee зaдaниe
1. Ecли вы пoлyчили oueнкy «4» или «5», тo выпoлнитe любoe зaдaниe из дoпoлнитeльныx глaв yчeбникa.
2. Ecли вы пoлyчили «3» или «2», тo выпoлнитe из yчeбникa пoд peдaкuиeй A.
H.Koлмoгopoвa зaдaния №166, 168, б, г; 170.
Что нового узнали вы сегодня?
О чем хотели бы еще узнать?
До новых встреч!
3
| 1 | Найти точное значение | грех(30) | |
| 2 | Найти точное значение | грех(45) | |
| 3 | Найти точное значение | грех(30 градусов) | |
| 4 | Найти точное значение | грех(60 градусов) | |
| 5 | Найти точное значение | загар (30 градусов) | |
| 6 | Найти точное значение | угловой синус (-1) | |
| 7 | Найти точное значение | грех(пи/6) | |
| 8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 9 | Найти точное значение | грех(45 градусов) | |
| 10 | Найти точное значение | грех(пи/3) | |
| 11 | Найти точное значение | арктан(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 градусов) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 градусов) | |
| 14 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 градусов) | |
| 16 | Найти точное значение | загар (60 градусов) | |
| 17 | Найти точное значение | сек(30 градусов) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 градусов) | |
| 19 | Найти точное значение | соз(150) | |
| 20 | Найти точное значение | грех(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | загар (45 градусов) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 градусов) | |
| 25 | Найти точное значение | сек(45 градусов) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 градусов) | |
| 27 | Найти точное значение | грех(0) | |
| 28 | Найти точное значение | грех(120) | |
| 29 | Найти точное значение | соз(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/3 | |
| 31 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(30) | |
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/6 | |
| 36 | Найти точное значение | детская кроватка(30 градусов) | |
| 37 | Найти точное значение | арккос(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | арктан(0) | |
| 39 | Найти точное значение | детская кроватка(60 градусов) | |
| 40 | Преобразование градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2 шт. )/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | тан(пи/2) | |
| 45 | Найти точное значение | грех(300) | |
| 46 | Найти точное значение | соз(30) | |
| 47 | Найти точное значение | соз(60) | |
| 48 | Найти точное значение | соз(0) | |
| 49 | Найти точное значение | соз(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | сек(60 градусов) | |
| 53 | Найти точное значение | грех(300 градусов) | |
| 54 | Преобразование градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразование градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/3 | |
| 58 | Преобразование градусов в радианы | 89 градусов | |
| 59 | Преобразование градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | грех(135 градусов) | |
| 61 | Найти точное значение | грех(150) | |
| 62 | Найти точное значение | грех(240 градусов) | |
| 63 | Найти точное значение | детская кроватка(45 градусов) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | грех(225) | |
| 66 | Найти точное значение | грех(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 градусов) | |
| 68 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(45) | |
| 69 | Оценить | грех(30 градусов) | |
| 70 | Найти точное значение | сек(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | КСК(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень из 2)/2) | |
| 74 | Найти точное значение | загар((5pi)/3) | |
| 75 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(0) | |
| 76 | Оценить | грех(60 градусов) | |
| 77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень из 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3 пи)/4 | |
| 79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 80 | Найти точное значение | угловой синус(-1/2) | |
| 81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 82 | Найти точное значение | КСК(45) | |
| 83 | Упростить | арктан(квадратный корень из 3) | |
| 84 | Найти точное значение | грех(135) | |
| 85 | Найти точное значение | грех(105) | |
| 86 | Найти точное значение | грех(150 градусов) | |
| 87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 88 | Найти точное значение | загар((2pi)/3) | |
| 89 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/4 | |
| 90 | Найти точное значение | грех(пи/2) | |
| 91 | Найти точное значение | сек(45) | |
| 92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
| 93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
| 94 | Найти точное значение | угловой синус(0) | |
| 95 | Найти точное значение | грех(120 градусов) | |
| 96 | Найти точное значение | желтовато-коричневый ((7pi)/6) | |
| 97 | Найти точное значение | соз(270) | |
| 98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
| 99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень из 2)/2) | |
| 100 | Преобразование градусов в радианы | 88 градусов |
4.
4 Решение уравнений | Тригонометрия4.4 Решение уравнений (EMCGH)
Общее решение (EMCGJ)
Периодичность тригонометрических функций означает, что существует бесконечное число положительных и отрицательных углы, удовлетворяющие уравнению. Если мы не ограничиваем решение, то нам нужно определить общее решение уравнения. Мы знаем, что функции синуса и косинуса имеют период \(\text{360}\)° и касательная функция имеет период \(\text{180}\)°.
г.Метод поиска решения:
- Упростите уравнение, используя алгебраические методы и тригонометрические тождества.
- Определите опорный угол (используйте положительное значение).
- Используйте диаграмму CAST, чтобы определить, где функция является положительной или отрицательной (в зависимости от заданного уравнение/информация).
- Ограниченные значения: найдите углы, лежащие в указанном интервале, путем сложения/вычитания кратных
соответствующий период.
{-1}\text{0,3} \\
&= \text{17,5}°
\end{выравнивание*} г.Используйте диаграмму CAST, чтобы определить, в каких квадрантах \(\sin \theta\) является положительным
Диаграмма CAST показывает, что \(\sin \theta\) положителен в первом и втором квадрантах.
Используя формулы приведения, мы знаем, что \(\sin (\text{180}° — \theta) = \sin \theta\).
В первом квадранте:
\начать{выравнивать*} \тета &= \text{17,5}° \\ \поэтому \theta &= \text{17,5}° + k \cdot \text{360}° \конец{выравнивание*}
Во втором квадранте:
\начать{выравнивать*} \тета &= \текст{180}° — \текст{17,5}° \\ \поэтому \тета &= \text{162,5}° + k \cdot \text{360}° \конец{выравнивание*}
где \(k \in \mathbb{Z}\).
Проверка того, что решение удовлетворяет исходному уравнению
Мы можем выбрать случайные значения \(k\), чтобы проверить, что ответы удовлетворяют исходному уравнению.
Пусть \(k = 4\):
\начать{выравнивать*} \тета &= \text{17,5}° + 4(\text{360})° \\ \поэтому \тета &= \text{1 457,5}° \\ \text{И} \sin \text{1 457,5}° &= \text{0,3007} \ldots \конец{выравнивание*}
Это решение верное.
Аналогично, если положить \(k = -2\):
\начать{выравнивать*} \тета &= \текст{162,5}° — 2(\текст{360})° \\ \поэтому \тета &= -\text{557,5}° \\ \text{И} \sin (-\text{557,5}°) &= \text{0,3007} \ldots \конец{выравнивание*}
Это решение также верно.
Напишите окончательный ответ
\(\theta = \text{17,5}° + k \cdot \text{360}°\) или \(\theta = \text{162,5}° + k \cdot \text{360}°\) для \(k \in \mathbb{Z}\).
г.Рабочий пример 10: Тригонометрические уравнения
Решите следующее уравнение относительно \(y\), не используя калькулятор:
\(\frac{1-\sin{y}-\cos{2y}}{\sin{2y}-\cos{y}}=-1\)
Упростим уравнение
Сначала мы упростим левую часть уравнения, используя формулы двойного угла.
{2} y- \ sin {y}} {\ cos {y} \ left (2 \ sin y-1 \ right)} & = -1 \\
\frac{\sin{y}\left(2\sin{y}-1\right)}{\cos{y}\left(2\sin{y}-1\right)}& = -1 \\
\ гидроразрыва {\ sin {y}} {\ cos {y}} & = -1 \\
\поэтому \tan{y}& = -1
\конец{выравнивание*}
9{-1} (1) \\
&= \text{45}°
\end{выравнивание*}Используйте диаграмму CAST, чтобы определить, в каких квадрантах \(\tan{y}\) является отрицательным.
Диаграмма CAST показывает, что \(\tan y\) является отрицательным во втором и четвертом квадрантах.
\начать{выравнивать*} y &= \left( \text{180}° — \text{45}° \right) + k \cdot \text{180}° \\ \поэтому y &= \text{135}° + k \cdot \text{180}°, \quad k \in \mathbb{Z} \конец{выравнивание*}
Обратите внимание, что для \(k=1\), \(y = \text{135}° + \text{180}° = \text{315}°\), который представляет собой угол в четвертом квадранте. 9{-1} (\текст{0,8}) \\ &= \text{36,9}° \end{выравнивание*}
Используйте диаграмму CAST, чтобы определить, в каких квадрантах \(\cos 4x\) является положительным.
Диаграмма CAST показывает, что \(\cos 4x\) является положительным в первом и четвертом квадрантах.
В первом квадранте:
\начать{выравнивать*} 4x &= \text{36,9}° + k \cdot \text{360}° \\ \поэтому x &= \text{9,2}° + k \cdot \text{90}° \конец{выравнивание*}
Важно: не забудьте также разделить \(k \cdot \text{360}°\) на \(\text{4}\).
В четвертом квадранте:
\начать{выравнивать*} 4x &= \left( \text{360}° — \text{36,9}° \right) + k \cdot \text{360}° \\ &= \text{323,1}° + k \cdot \text{360}° \\ \поэтому x &= \text{80,8}° + k \cdot \text{90}° \конец{выравнивание*}
где \(k \in \mathbb{Z}\).
Проверить, что решение удовлетворяет исходному уравнению 9{2} \тета \справа) &= 0 \\ \sin \theta \left( \cos \theta — \sin \theta \right) \left( \cos \theta + \sin \theta \right) &= 0 \конец{выравнивание*}
Примените закон нулевого произведения и найдите \(\theta\)
\начать{выравнивать*} \sin \theta \left( \cos \theta — \sin \theta \right) \left( \cos \theta + \sin \theta \right) &= 0 \\ & \\ \sin \тета &= 0 \\ \поэтому \theta &= \text{0}° + k \cdot \text{360}° \\ \text{ или } \theta &= \text{180}° + k \cdot \text{360}°, \quad k \in \mathbb{Z} \end{выравнивание*}\begin{выравнивание*} \cos\theta — \sin\theta &= 0 \\ \cos\тета &= \sin\тета\\ \cos \theta &= \cos \left( \text{90}° — \тета \справа) \\ \поэтому \theta &= \left( \text{90}° — \theta \right) + k \cdot \text{360}° \\ 2 \theta &= \text{90}° + k \cdot \text{360}° \\ \поэтому \theta &= \text{45}° + k \cdot \text{180}°, \quad k \in \mathbb{Z} \end{выравнивание*}\begin{выравнивание*} \cos \тета + \sin \тета &= 0 \\ \cos\тета &= — \sin\тета\\ \sin \left( \text{90}° + \theta \right) &= \sin (- \theta ) \\ \поэтому \text{90}° + \theta &= — \theta + k \cdot \text{360}° \\ 2 \тета &= — \текст{90}° + k \cdot \text{360}° \\ \поэтому \theta &= — \text{45}° + k \cdot \text{180}°, \quad k \in \mathbb{Z} \end{выравнивание*}Напишите окончательный ответ
\начать{выравнивать*} \theta &= \text{0}° + k \cdot \text{360}° \\ \text{ или } \theta &= \text{180}° + k \cdot \text{360}° \\ \text{ или } \theta &= \pm \text{45}° + k \cdot \text{180}°, \quad k \in \mathbb{Z} \end{выравнивание*}Решение тригонометрических уравнений
г.Учебник Упражнение 4.4
\(\sin 2x = \tan \text{28}°\)
\begin{align*} \sin 2x &= \tan \text{28}° \\ &= \text{0,53} \ldots \\ \text{ref } \angle &= \text{32,12}° \\ \text{Первый квадрант: } \enspace 2x &= \text{32,12}° + k \cdot \text{360}° \\ \поэтому x &= \text{16,06}° + k \cdot \text{180}°, k \in \mathbb{Z} \\ & \\ \text{Второй квадрант: } \enspace 2x &= \left( \text{180}° — \text{32,12}° \right) + k \cdot \текст{360}° \\ &= \text{147,88}° + k \cdot \text{360}° \\ \поэтому х &= \text{73,9}° + k \cdot \text{180}°, \quad k \in \mathbb{Z} \end{align*}
\(\cos y = \sin 2y\)
Мы работаем с левой частью уравнения, так как она содержит \(y\), которую легче упростить чем двойной угол в правой части:
\начать{выравнивать*} \cos y &= \sin 2y \\ \sin \left( \text{90}° — y \right) &= \sin 2y \\ \text{Первый квадрант: } \enspace \left( \text{90}° — y \right) + k \cdot \text{360}° &= 2y \\ \текст{90}° + k \cdot \text{360}° &= 3y \\ \text{30}° + k \cdot \text{120}° &= y \\ & \\ \text{Второй квадрант: } \enspace \text{180}° — \left( \text{90}° — y \right) + k \cdot \text{360}° &= 2г \\ \text{90}° + y + k \cdot \text{360}° &= 2y \\ \text{90}° + k \cdot \text{360}° &= y \конец{выравнивание*}
для \(k \in \mathbb{Z}\).
\(\sin 2 \alpha = \cos 2 \alpha\)
\begin{выравнивание*} \sin 2 \alpha &= \cos 2 \alpha \\ \ гидроразрыва {\ грех 2 \ альфа} {\ соз 2 \ альфа} & = 1 \\ \загар 2 \альфа &= 1 \\ \поэтому 2 \alpha &= \text{45}° + k \cdot \text{180}° \\ \поэтому \alpha &= \text{22,5}° + k \cdot \text{90}°, k \in \mathbb{Z} \end{align*}
\(\sin 3p = \sin 2p\)
\begin{align*} \ грех 3p &= \ грех 2p \\ \text{Первый квадрант: } \enspace 3p &= 2p + k \cdot \text{360}° \\ \поэтому p &= k \cdot \text{360}° \\ \text{Второй квадрант: } \enspace 3p &= \left(\text{180}° — 2p \right) + k \cdot \text{360}° \\ 5p &= \text{180}° + k \cdot \text{360}° \\ \поэтому p &= \text{36}° + k \cdot \text{72}°, k \in \mathbb{Z} \end{выравнивание*} 9{2} А &= 1 \\ \поэтому \tan A &= \pm 1 \\ \text{Первый квадрант: } \enspace A &= \text{45}° + k \cdot \text{180}° \\ \text{Второй квадрант: } \enspace A &= \left( \text{180}° — \text{45}° \right) + k \cdot \текст{180}° \\ &= \text{135}° + k \cdot \text{180}°, k \in \mathbb{Z} \конец{выравнивание*}
Ограничения:
\начать{выравнивать*} \text{Для} и \tan A: \\ А &\ne \text{90}° + k \cdot \text{180}°, k \in \mathbb{Z} \\ \text{И для} \enspace \frac{1}{\tan A} & \enspace \text{мы можем написать} \enspace \frac{\cos A}{\sin А}: \\ \поэтому \sin A &\ne 0 \\ A &\ne \text{0}° + k \cdot \text{180}°, k \in \mathbb{Z} \конец{выравнивание*}
\(\sin x \tan x = 1\)
\начать{выравнивать*} \sin x \tan x &= 1 \\ \sin x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} &= 1 \qquad (\cos x \ne 0)\\ \ гидроразрыва {\ грех ^ {2} х} {\ соз х} & = 1 \\ 1 — \cos^{2} х &= \cos х \\ \cos^{2} х + \cos х — 1 &= 0 \\ \text{Пусть } \cos x &= p \\ р^{2} + р — 1 &= 0 \\ \поэтому p &= \frac{-1 \pm \sqrt{1 — 4 (1)(-1)}}{2(1)} \qquad (\text{квадратичная формула})\\ &= \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \\ \поэтому p = \frac{-1 -\sqrt{5}}{2} &\text{ или } p = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \\ \поэтому \cos x = \frac{-1 -\sqrt{5}}{2} &\text{ или } \cos x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \\ \cos x = -\text{1,618} \ldots &\text{ или } \cos x = \text{0,618} \ldots \\ \text{Первый ответ: }\text{нет решения} & \text{ так как } -1 \leq \cos x \leq 1 \\ \text{Второй ответ: } \text{ref } \angle &= \text{51,8}° \\ \text{Первый квадрант: } \enspace x &= \text{51,8}° + k \cdot \text{360}° \\ \text{Второй квадрант: } \enspace x &= \left( \text{360}° — \text{51,8}° \right) + k \cdot \текст{360}° \\ &= \text{308,2}° + k \cdot \text{360}°, k \in \mathbb{Z} \конец{выравнивание*} 9{2} т &= 0 \\ \sin т &= 0 \\ \поэтому t &= \text{0}° + k \cdot \text{360}° \\ \text{или } \enspace t &= \text{180}° + k \cdot \text{360}° \\ \text{Если} \enspace \cos t — 1 &= 0 \\ \cos т &= 1 \\ \поэтому t &= \text{0}° + k \cdot \text{360}° \\ \text{или } \enspace t &= \text{360}° + k \cdot \text{360}° \\ & \\ \text{Окончательный ответ: } t &= \text{0}° + k \cdot \text{180}°, \quad k \in \mathbb{Z} \end{выравнивание*}
\(\sin \text{60}° \cos x + \cos \text{60}° \sin x = 1\)
\begin{align*} \sin \text{60}° \cos x + \cos \text{60}° \sin x &= 1 \\ \sin (\text{60}° + x) &= 1 \\ \поэтому \text{60}° + x &= \text{90}° + k \cdot \text{360}°, \quad k \in \mathbb{Z} \\ \поэтому x &= \text{30}° + k \cdot \text{360}° \end{align*}
Решите уравнение для \(x \in [\text{0}°; \text{360}°]\), не используя калькулятор.
9{2} х &= 0 \\
\sin x \left( \cos x — \sqrt{3} \sin x \right) &= 0 \\
\поэтому \sin x = 0 &\text{ или } \cos x — \sqrt{3} \sin x = 0 \\
\text{Если } \sin x &= 0 \qquad \text{ for } x \in [\text{0}°; \текст{360}°] \\
\поэтому x &= \text{0}°, \text{180}° \text{ или } \text{360}° \\
\text{If } \cos x — \sqrt{3} \sin x &= 0 \qquad \text{ for } x \in [\text{0}°; \текст{360}°]
\\
\cos x &= \sqrt{3} \sin x \\
\frac{\cos x}{\cos x} &= \sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} \\
1 &= \sqrt{3} \tan x \\
\frac{1}{\sqrt{3} } &=\tan x \\
\text{ref } \angle &= \text{30}° \\
\поэтому x &= \text{30}° + k \cdot \text{180}°, k \in \mathbb{Z} \\
\поэтому x &= \text{30}° \text{ или } \text{210}°
\end{выравнивание*} 9{2} 2А — 5 \tg 2А + 6 &= 0 \\
\left( \tan 2A — 3 \right) \left( \tan 2A — 2 \right) &= 0 \\
\поэтому \tan 2A — 3 = 0 &\text{ или } \tan 2A — 2 = 0 \\
\text{Если} \tan 2A — 3 &= 0 \\
\загар 2А &= 3 \\
\поэтому 2A &= \text{71,57}° + k \cdot \text{180}° \\
\поэтому A &= \text{35,79}° + k \cdot \text{90}°, \quad k \in \mathbb{Z} \\
\text{Если} \tan 2A — 2 &= 0 \\
\загар 2А &= 2 \\
\поэтому 2A &= \text{63,43}° + k \cdot \text{180}° \\
\поэтому A &= \text{31,72}° + k \cdot \text{90}°, к \in \mathbb{Z}
\end{align*}Сколько решений имеет данное уравнение в интервале \([- \text{90}°; \текст{360}°]\)?
\начать{выравнивать*} \text{Если } k= -1: \qquad A &= \text{35,79}° — \text{90}° \\ &= -\text{54,21}° \\ А &= \text{31,72}° — \text{90}° \\ &= -\text{58,28}° \\ \text{Если } k= 0: \qquad A &= \text{35,79}° \\ А &= \text{31,72}° \\ \text{Если } k= 1: \qquad A &= \text{35,79}° + \text{90}° \\ &= \text{125,79}° \\ А &= \text{31,72}° + \text{90}° \\ &= \text{121,72}° \\ \text{Если } k= 2: \qquad A &= \text{35,79}° + \text{180}° \\ &= \text{215,79}° \\ A &= \text{31,72}° + \text{180}° \\ &= \text{211,72}° \\ \text{Если } k= 3: \qquad A &= \text{35,79}° + \text{270}° \\ &= \text{305,79}° \\ A &= \text{31,72}° + \text{270}° \\ &= \text{301,72}° \конец{выравнивание*}
Следовательно, имеется десять решений, лежащих в интервале \([- \text{90}°; \text{360}°]\).
Не используя калькулятор, решить \(\cos \left( A — \text{25}° \right)+ \cos \left( A + \text{25}° \right) = \cos \text{25}°\) в \([- \text{360}°; \text{360}°]\).
Сначала упростим левую часть уравнения:
\начать{выравнивать*} \cos \left( A — \text{25}° \right)+ \cos \left( A + \text{25}° \right) &= \cos \text{25}° \\ \cos A \cos \text{25}° + \sin A \sin \text{25}° + \cos A \cos \text{25}° — \sin A \sin \text{25}° &= \cos \text{25}° \\ 2 \cos A \cos \text{25}° &= \cos \text{25}° \\ \поэтому 2 \cos A &= 1 \quad (\cos \text{25}° \ne 0 ) \\ \cos A &= \frac{1}{2}\\ \поэтому A &= \text{60}° + k \cdot \text{360}° \\ \text{ или } A = \text{300}° + k \cdot \text{360}°, & \quad k \in \mathbb{Z} \\ \следовательно, A = -\text{300}°, -\text{60}°, \text{60}° & \text{ или } \text{300}° \конец{выравнивание*}
Найдите общее решение для \(\sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x = \tan \текст{140}°\).
\begin{выравнивание*} \sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x &= \tan \text{140}° \\ \sin (x + 3x) &= -\text{0,839} \ldots \\ \sin 4x &= -\text{0,839} \ldots \\ \text{ref } \angle &= \text{57,03}° \\ \text{Третий квадрант: } \enspace 4x &= \left( \text{180}° + \text{57,03}° \right) + k \cdot \text{360}°, k \in \mathbb{Z} \\ &= \text{237,03}° + k \cdot \text{360}° \\ \поэтому х &= \text{59,26}° + k \cdot \text{90}° \\ \text{Четвертый квадрант: } \enspace 4x &= \left( \text{360}° — \text{57,03}° \right) + k \cdot \text{360}°, k \in \mathbb{Z} \\ &= \text{302,97}° + k \cdot \text{360}° \\ \поэтому x &= \text{75,74}° + k \cdot \text{90}° \end{align*}
Используйте график, чтобы проиллюстрировать решение для интервала \([\text{0}°; \text{90}°]\).
На приведенной ниже диаграмме показан график \(y = \sin 4 x\).
{-1}\text{0,3} \\
&= \text{17,5}°
\end{выравнивание*} г.
{2} y- \ sin {y}} {\ cos {y} \ left (2 \ sin y-1 \ right)} & = -1 \\
\frac{\sin{y}\left(2\sin{y}-1\right)}{\cos{y}\left(2\sin{y}-1\right)}& = -1 \\
\ гидроразрыва {\ sin {y}} {\ cos {y}} & = -1 \\
\поэтому \tan{y}& = -1
\конец{выравнивание*}
9{-1} (1) \\
&= \text{45}°
\end{выравнивание*}
9{2} х &= 0 \\
\sin x \left( \cos x — \sqrt{3} \sin x \right) &= 0 \\
\поэтому \sin x = 0 &\text{ или } \cos x — \sqrt{3} \sin x = 0 \\
\text{Если } \sin x &= 0 \qquad \text{ for } x \in [\text{0}°; \текст{360}°] \\
\поэтому x &= \text{0}°, \text{180}° \text{ или } \text{360}° \\
\text{If } \cos x — \sqrt{3} \sin x &= 0 \qquad \text{ for } x \in [\text{0}°; \текст{360}°]
\\
\cos x &= \sqrt{3} \sin x \\
\frac{\cos x}{\cos x} &= \sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} \\
1 &= \sqrt{3} \tan x \\
\frac{1}{\sqrt{3} } &=\tan x \\
\text{ref } \angle &= \text{30}° \\
\поэтому x &= \text{30}° + k \cdot \text{180}°, k \in \mathbb{Z} \\
\поэтому x &= \text{30}° \text{ или } \text{210}°
\end{выравнивание*} 9{2} 2А — 5 \tg 2А + 6 &= 0 \\
\left( \tan 2A — 3 \right) \left( \tan 2A — 2 \right) &= 0 \\
\поэтому \tan 2A — 3 = 0 &\text{ или } \tan 2A — 2 = 0 \\
\text{Если} \tan 2A — 3 &= 0 \\
\загар 2А &= 3 \\
\поэтому 2A &= \text{71,57}° + k \cdot \text{180}° \\
\поэтому A &= \text{35,79}° + k \cdot \text{90}°, \quad k \in \mathbb{Z} \\
\text{Если} \tan 2A — 2 &= 0 \\
\загар 2А &= 2 \\
\поэтому 2A &= \text{63,43}° + k \cdot \text{180}° \\
\поэтому A &= \text{31,72}° + k \cdot \text{90}°, к \in \mathbb{Z}
\end{align*}
