41 простое или составное число: примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена

примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена

В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.

Простые и составные числа – определения и примеры

Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.

Определение 1

Простыми числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют два положительных делителя, то есть себя и 1.

Определение 2

Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.

Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.

Определение 3

Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.

Определение 4

Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.

Любое число, которое больше 1 является либо простым, либо составным. Из свойства делимости имеем, что 1 и число а всегда будут делителями для любого числа а, то есть оно будет делиться само на себя и на 1. Дадим определение целых чисел.

Определение 5

Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.

Простые числа: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Они делятся только сами на себя  и на 1. Составные числа: 6, 63, 121, 6697. То есть число 6 можно разложить на 2 и 3, а 63 на 1, 3, 7,9, 21, 63, а 121 на 11, 11, то есть его делители будут 1, 11, 121. Число 6697 разложится на 37 и 181. Заметим, что понятия простых чисел и взаимно простых чисел – разные понятия.

Таблица простых чисел

Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:

Таблица для всех существующих натуральных чисел нереальна, так как их существует бесконечное множество. Когда числа достигают размеров 10000 или 1000000000, тогда следует задуматься об использовании решета Эратосфена.

Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.

Теорема 1

Наименьший положительный и  отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Доказательство 1

Возьмем, что а является натуральным числом, которое больше 1, b является наименьшим отличным от единицы делителем для числа а. Следует доказать, что b является простым числом при помощи метода противного.

Допустим, что b – составное число. Отсюда имеем, что есть делитель для b, который отличен от 1 как и от b. Такой делитель обозначается как b1. Необходимо, чтобы условие 1<b1<b

было выполнено.

Из условия видно, что а делится на b, b делится на b1, значит, понятие делимости  выражается таким образом: a=b·q и b=b1·q1, откуда a= b1·(q1·q), где q и q1являются целыми числами. По правилу умножения целых чисел имеем, что произведение целых чисел – целое число с равенством вида a=b1·(q1·q). Видно, что b1– это делитель для числа а. Неравенство 1<b1<b не соответствует, потому как получим, что b является наименьшим положительным и отличным от 1 делителем а.

Теорема 2

Простых чисел бесконечно много.

Доказательство 2

Предположительно возьмем конечное количество натуральных чисел n и обозначим как p1, p2, …, pn. Рассмотрим вариант нахождения простого числа, отличного от указанных.

Примем на рассмотрение число р, которое равняется p1, p2, …, pn+1. Оно не равняется каждому из чисел, соответствующих простым числам вида p1, p2, …, pn.

Число р является простым. Тогда считается, что теорема доказана. Если оно составное, тогда нужно принять обозначение pn+1и показать несовпадение делителя ни с одним из p1, p2, …, pn.

Если это было бы не так, тогда, исходя из свойства делимости произведения p1, p2, …, pn_, получим, что оно делилось бы на pn+1. Заметим, что на выражение pn+1делится число р равняется сумме p1, p2, …, pn+1. Получим, что  на выражение pn+1должно делиться второе слагаемое этой суммы, которое равняется 1, но это невозможно.

Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.

Так как простых чисел очень много, то таблицы ограничивают числами 100, 1000, 10000 и так далее.

Решето Эратосфена

При составлении таблицы простых чисел следует учитывать то, что для такой задачи необходима последовательная проверка чисел, начиная с 2 до 100.

При отсутствии делителя оно фиксируется в таблицу, если оно составное, то в таблицу не заносится.

Рассмотрим пошагово.

Если начать с числа 2, то оно имеет только 2 делителя: 2 и 1, значит, его можно занести в таблицу. Также и с числом 3. Число 4 является составным, следует разложить его еще на 2 и 2. Число 5 является простым, значит, можно зафиксировать в таблице. Так выполнять вплоть до числа 100.

Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.

Способ при помощи решета Эратосфена считают самым удобным. Рассмотрим на примере таблиц, приведенных ниже. Для начала записываются числа 2, 3, 4, …, 50.

Теперь необходимо зачеркнуть все числа, которые кратны 2. Произвести последовательное зачеркивание. Получим таблицу вида:

Далее вычеркиваем все числа, кратные 3. Получаем таблицу вида:

Переходим к вычеркиванию чисел, кратных 5. Получим:

Вычеркиваем числа, кратные 7, 11. В конечном итоге таблица получает вид

Перейдем к формулировке теоремы.

Теорема 3

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель основного числа а не превосходит a, где a является арифметическим корнем заданного числа.

Доказательство 3

Необходимо обозначить b наименьший делитель составного числа а. Существует такое целое число q, где a=b·q, причем имеем, что b≤q. Недопустимо неравенство вида b>q, так как происходит нарушение условия. Обе части неравенства b≤q следует умножить на любое положительное число b, не равное 1. Получаем, что b·b≤b·q, где b2≤a и b≤a.

Из доказанной теоремы видно, что вычеркивание чисел в таблице приводит к тому, что необходимо начинать с числа , которое равняется b2 и удовлетворяет неравенству b2≤a. То есть, если вычеркнуть числа, кратные 2, то процесс начинается с 4, а кратных 3 – с 9 и так далее до 100.

Составление такой таблицы при помощи теоремы Эратосфена говорит о том, что при вычеркивании всех составных чисел, останутся простые, которые не превосходят n. В примере, где n=50,  у нас имеется, что n=50. Отсюда и получаем, что решето Эратосфена отсеивает все составные числа, которые по значению не больше значения корня из 50. Поиск чисел производится при помощи вычеркивания.

Данное число простое или составное?

Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.

Пример 1

Доказать что число 898989898989898989 является составным.

Решение

Сумма цифр заданного числа равняется 9·8+9·9=9·17. Значит, число 9·17 делится на 9, исходя из признака делимости на 9. Отсюда следует, что оно составное.

Такие признаки не способны доказать простоту числа.  Если нужна проверка, следует производить другие действия. Самый подходящий способ – это перебор чисел. В течение процесса можно найти простые и составные числа. То есть числа по значению не должны превосходить a.  То есть число а необходимо разложить на простые множители. если это будет выполнено, тогда число а можно считать простым.

Пример 2

Определить составное или простое число 11723.

Решение

Теперь необходимо найти все делители для числа 11723. Необходимо оценить 11723.

Отсюда видим, что 11723<200, то 2002=40 000, а 11 723<40 000. Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200.

Для более точной оценки числа 11723 необходимо записать выражение 1082=11 664, а

1092=11 881, то 1082<11 723<1092. Отсюда следует, что 11723<109. Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

При разложении получим, что 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107 – это все простые числа.  Весь данный процесс можно изобразить как деление столбиком. То есть разделить 11723 на 19. Число 19 является одним из его множителей, так как получим деление без остатка. Изобразим деление столбиком:

Отсюда следует, что 11723 является составным числом, потому как кроме себя и 1 имеет делитель 19.

Ответ: 11723 является составным числом.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Таблица простых чисел от 1 до 10000. Таблица простых чисел от 1 до 1000

Таблица простых чисел от 1 до 10000. Таблица простых чисел от 1 до 1000

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Математический справочник / / Таблицы численных значений. (Таблица квадратов, кубов, синусов ….) + Таблицы Брадиса / / Таблица простых чисел от 1 до 10000. Таблица простых чисел от 1 до 1000. Простые числа список. Поделиться:

Вы сейчас находитесь в каталоге:    Таблица простых чисел от 1 до 10000. Таблица простых чисел от 1 до 1000. Простые числа список.

Ниже приведена таблица простых чисел от 2 до 10000 (1229 штук). Единица не включена, извините. Некоторые считают, что единица не включена поскольку… она и не может там быть. «Простым числом называются числа имеющие два делителя: единицу и само число.» А число 1 имеет только один делитель, оно не относится ни к простым, ни к составным числам. (толковое замечание от Ольги 21.09.12)  Мы, тем не менее помним, что простые числа вводятся иногда и так: «Простым числом называются числа которые делятся нацело на единицу и само себя.» В этом случае единица, очевидно, является простым числом. Таблица простых чисел от 2 до 1000. Таблица простых чисел от 2 до 1000 выделена серым.

Таблица простых чисел от 2 до 1000. Таблица простых чисел от 2 до 1000 выделена серым. 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 «> Таблица простых чисел от 1000 до 10,000. 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511 1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657 1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811 1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889 1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987 1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053 2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2129 2131 2137 2141 2143 2153 2161 2179 2203 2207 2213 2221 2237 2239 2243 2251 2267 2269 2273 2281 2287 2293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347 2351 2357 2371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423 2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531 2539 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 2617 2621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2677 2683 2687 2689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741 2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801 2803 2819 2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903 2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999 3001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079 3083 3089 3109 3119 3121 3137 3163 3167 3169 3181 3187 3191 3203 3209 3217 3221 3229 3251 3253 3257 3259 3271 3299 3301 3307 3313 3319 3323 3329 3331 3343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391 3407 3413 3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511 3517 3527 3529 3533 3539 3541 3547 3557 3559 3571 3581 3583 3593 3607 3613 3617 3623 3631 3637 3643 3659 3671 3673 3677 3691 3697 3701 3709 3719 3727 3733 3739 3761 3767 3769 3779 3793 3797 3803 3821 3823 3833 3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889 3907 3911 3917 3919 3923 3929 3931 3943 3947 3967 3989 4001 4003 4007 4013 4019 4021 4027 4049 4051 4057 4073 4079 4091 4093 4099 4111 4127 4129 4133 4139 4153 4157 4159 4177 4201 4211 4217 4219 4229 4231 4241 4243 4253 4259 4261 4271 4273 4283 4289 4297 4327 4337 4339 4349 4357 4363 4373 4391 4397 4409 4421 4423 4441 4447 4451 4457 4463 4481 4483 4493 4507 4513 4517 4519 4523 4547 4549 4561 4567 4583 4591 4597 4603 4621 4637 4639 4643 4649 4651 4657 4663 4673 4679 4691 4703 4721 4723 4729 4733 4751 4759 4783 4787 4789 4793 4799 4801 4813 4817 4831 4861 4871 4877 4889 4903 4909 4919 4931 4933 4937 4943 4951 4957 4967 4969 4973 4987 4993 4999 5003 5009 5011 5021 5023 5039 5051 5059 5077 5081 5087 5099 5101 5107 5113 5119 5147 5153 5167 5171 5179 5189 5197 5209 5227 5231 5233 5237 5261 5273 5279 5281 5297 5303 5309 5323 5333 5347 5351 5381 5387 5393 5399 5407 5413 5417 5419 5431 5437 5441 5443 5449 5471 5477 5479 5483 5501 5503 5507 5519 5521 5527 5531 5557 5563 5569 5573 5581 5591 5623 5639 5641 5647 5651 5653 5657 5659 5669 5683 5689 5693 5701 5711 5717 5737 5741 5743 5749 5779 5783 5791 5801 5807 5813 5821 5827 5839 5843 5849 5851 5857 5861 5867 5869 5879 5881 5897 5903 5923 5927 5939 5953 5981 5987 6007 6011 6029 6037 6043 6047 6053 6067 6073 6079 6089 6091 6101 6113 6121 6131 6133 6143 6151 6163 6173 6197 6199 6203 6211 6217 6221 6229 6247 6257 6263 6269 6271 6277 6287 6299 6301 6311 6317 6323 6329 6337 6343 6353 6359 6361 6367 6373 6379 6389 6397 6421 6427 6449 6451 6469 6473 6481 6491 6521 6529 6547 6551 6553 6563 6569 6571 6577 6581 6599 6607 6619 6637 6653 6659 6661 6673 6679 6689 6691 6701 6703 6709 6719 6733 6737 6761 6763 6779 6781 6791 6793 6803 6823 6827 6829 6833 6841 6857 6863 6869 6871 6883 6899 6907 6911 6917 6947 6949 6959 6961 6967 6971 6977 6983 6991 6997 7001 7013 7019 7027 7039 7043 7057 7069 7079 7103 7109 7121 7127 7129 7151 7159 7177 7187 7193 7207 7211 7213 7219 7229 7237 7243 7247 7253 7283 7297 7307 7309 7321 7331 7333 7349 7351 7369 7393 7411 7417 7433 7451 7457 7459 7477 7481 7487 7489 7499 7507 7517 7523 7529 7537 7541 7547 7549 7559 7561 7573 7577 7583 7589 7591 7603 7607 7621 7639 7643 7649 7669 7673 7681 7687 7691 7699 7703 7717 7723 7727 7741 7753 7757 7759 7789 7793 7817 7823 7829 7841 7853 7867 7873 7877 7879 7883 7901 7907 7919 7927 7933 7937 7949 7951 7963 7993 8009 8011 8017 8039 8053 8059 8069 8081 8087 8089 8093 8101 8111 8117 8123 8147 8161 8167 8171 8179 8191 8209 8219 8221 8231 8233 8237 8243 8263 8269 8273 8287 8291 8293 8297 8311 8317 8329 8353 8363 8369 8377 8387 8389 8419 8423 8429 8431 8443 8447 8461 8467 8501 8513 8521 8527 8537 8539 8543 8563 8573 8581 8597 8599 8609 8623 8627 8629 8641 8647 8663 8669 8677 8681 8689 8693 8699 8707 8713 8719 8731 8737 8741 8747 8753 8761 8779 8783 8803 8807 8819 8821 8831 8837 8839 8849 8861 8863 8867 8887 8893 8923 8929 8933 8941 8951 8963 8969 8971 8999 9001 9007 9011 9013 9029 9041 9043 9049 9059 9067 9091 9103 9109 9127 9133 9137 9151 9157 9161 9173 9181 9187 9199 9203 9209 9221 9227 9239 9241 9257 9277 9281 9283 9293 9311 9319 9323 9337 9341 9343 9349 9371 9377 9391 9397 9403 9413 9419 9421 9431 9433 9437 9439 9461 9463 9467 9473 9479 9491 9497 9511 9521 9533 9539 9547 9551 9587 9601 9613 9619 9623 9629 9631 9643 9649 9661 9677 9679 9689 9697 9719 9721 9733 9739 9743 9749 9767 9769 9781 9787 9791 9803 9811 9817 9829 9833 9839 9851 9857 9859 9871 9883 9887 9901 9907 9923 9929 9931 9941 9949 9967 9973 конец таблички 🙂 !

Справка проекта:

Mathway | Популярные задачи

1	Найти объем	сфера (5)	
2	Найти площадь	окружность (5)	
3	Найти площадь поверхности	сфера (5)	
4	Найти площадь	окружность (7)	
5	Найти площадь	окружность (2)	
6	Найти площадь	окружность (4)	
7	Найти площадь	окружность (6)	
8	Найти объем	сфера (4)	
9	Найти площадь	окружность (3)	
10	Вычислить	(5/4(424333-10220^2))^(1/2)
11	Разложить на простые множители	741
12	Найти объем	сфера (3)	
13	Вычислить	3 квадратный корень из 8*3 квадратный корень из 10
14	Найти площадь	окружность (10)	
15	Найти площадь	окружность (8)	
16	Найти площадь поверхности	сфера (6)	
17	Разложить на простые множители	1162
18	Найти площадь	окружность (1)	
19	Найти длину окружности	окружность (5)	
20	Найти объем	сфера (2)	
21	Найти объем	сфера (6)	
22	Найти площадь поверхности	сфера (4)	
23	Найти объем	сфера (7)	
24	Вычислить	квадратный корень из -121
25	Разложить на простые множители	513
26	Вычислить	квадратный корень из 3/16* квадратный корень из 3/9
27	Найти объем	прямоугольный параллелепипед (2)(2)(2)	
28	Найти длину окружности	окружность (6)	
29	Найти длину окружности	окружность (3)	
30	Найти площадь поверхности	сфера (2)	
31	Вычислить	2 1/2÷22000000
32	Найти объем	прямоугольный параллелепипед (5)(5)(5)	
33	Найти объем	прямоугольный параллелепипед (10)(10)(10)	
34	Найти длину окружности	окружность (4)	
35	Перевести в процентное соотношение	1. 2-4*-1+2
45	Разложить на простые множители	228
46	Вычислить	0+0
47	Найти площадь	окружность (9)	
48	Найти длину окружности	окружность (8)	
49	Найти длину окружности	окружность (7)	
50	Найти объем	сфера (10)	
51	Найти площадь поверхности	сфера (10)	
52	Найти площадь поверхности	сфера (7)	
53	Определить, простое число или составное	5
54	Перевести в процентное соотношение	3/9
55	Найти возможные множители	8
56	Вычислить	(-2)^3*(-2)^9
57	Вычислить	35÷0. 2
60	Преобразовать в упрощенную дробь	2 1/4
61	Найти площадь поверхности	сфера (12)	
62	Найти объем	сфера (1)	
63	Найти длину окружности	окружность (2)	
64	Найти объем	прямоугольный параллелепипед (12)(12)(12)	
65	Сложение	2+2=
66	Найти площадь поверхности	прямоугольный параллелепипед (3)(3)(3)	
67	Вычислить	корень пятой степени из 6* корень шестой степени из 7
68	Вычислить	7/40+17/50
69	Разложить на простые множители	1617
70	Вычислить	27-( квадратный корень из 89)/32
71	Вычислить	9÷4
72	Вычислить	2+ квадратный корень из 21
73	Вычислить	-2^2-9^2
74	Вычислить	1-(1-15/16)
75	Преобразовать в упрощенную дробь	8
76	Оценка	656-521
77	Вычислить	3 1/2
78	Вычислить	-5^-2
79	Вычислить	4-(6)/-5
80	Вычислить	3-3*6+2
81	Найти площадь поверхности	прямоугольный параллелепипед (5)(5)(5)	
82	Найти площадь поверхности	сфера (8)	
83	Найти площадь	окружность (14)	
84	Преобразовать в десятичную форму	11/5
85	Вычислить	3 квадратный корень из 12*3 квадратный корень из 6
86	Вычислить	(11/-7)^4
87	Вычислить	(4/3)^-2
88	Вычислить	1/2*3*9
89	Вычислить	12/4-17/-4
90	Вычислить	2/11+17/19
91	Вычислить	3/5+3/10
92	Вычислить	4/5*3/8
93	Вычислить	6/(2(2+1))
94	Упростить	квадратный корень из 144
95	Преобразовать в упрощенную дробь	725%
96	Преобразовать в упрощенную дробь	6 1/4
97	Вычислить	7/10-2/5
98	Вычислить	6÷3
99	Вычислить	5+4
100	Вычислить	квадратный корень из 12- квадратный корень из 192

Что такое простое число? Объяснение для учителей, родителей и детей

Простое число — это число, которое можно разделить только само на себя и на 1 без остатка. Здесь мы подробно объясним, что это значит, дадим вам список простых чисел, которые дети должны знать в начальной и средней школе, и предоставим вам несколько практических вопросов и примеров.

Что такое простое число?

Простое число — это целое число больше 1, имеющее только два делителя — само себя и 1.

Простое число нельзя разделить ни на какие другие положительные целые числа без остатка, десятичной дроби или дроби.

Примером простого числа является 13. Его делителями являются только 1 и 13. При делении простого числа на другое натуральное число остаются числа. Например, 13 ÷ 6 = 2, остаток 1.

15 не является примером простого числа, потому что оно делится на 5 и 3, а также само по себе, а 1.

15 является примером составного числа. число, потому что оно имеет более двух делителей.

Простые числа часто рассматриваются математиками в качестве «кирпичиков» в теории чисел. Основная теорема арифметики гласит, что составное число можно представить в виде произведения простых чисел.

См. также: Правила делимости

Примеры простых чисел

Как определить, является ли заданное число простым или составным, на основе свойств простых чисел.

Какие простые числа?

• Меньше 20 есть 8 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19.
• Первые 10 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
• Существует 25 простых чисел от 1 до 100.
• Простые числа включают большие числа и могут продолжаться далеко за пределы 100.
• Например, 21 577 — простое число.

Список простых чисел до 100

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67 , 71, 73, 79, 83, 89, 97

Обратите внимание, что этот список простых чисел содержит только нечетные числа, за исключением числа 2.

Наименьшее простое число

2 — наименьшее простое число. Кроме того, это единственное четное простое число — все остальные четные числа могут делиться как минимум сами на себя, на 1 и 2, то есть у них будет как минимум 3 делителя.

Наибольшее простое число

Греческий математик Евклид (один из самых известных математиков классической эпохи) записал доказательство того, что среди множества простых чисел нет наибольшего простого числа. Тем не менее, многие ученые и математики все еще пытаются найти его в рамках Великого Интернет-поиска простых чисел Мерсенна.

наибольшее известное простое число (по состоянию на ноябрь 2020 г.) равно 2 ^{82 589 933} − 1, число, состоящее из 24 862 048 цифр при записи по основанию 10. , имеющий 23 249 425 цифр.

К тому времени, как вы это прочтете, он может стать еще больше, но вы можете следить за его развитием в Википедии.

Часто задаваемые вопросы о простых числах

Что такое простое число в математике?

Простое число — это число, которое можно разделить только на себя и на 1 без остатка.

Какие простые числа от 1 до 100?

Простые числа от 1 до 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Почему 1 не простое число?

1 не является простым числом, потому что оно имеет только один делитель, а именно 1. Простые числа должны иметь ровно два делителя.

Почему 2 простое число?

2 — простое число, потому что его единственными делителями являются 1 и оно само.

Является ли 51 простым числом?

51 не является простым числом, потому что оно имеет 3 и 17 в качестве делителей, а также само себя и 1. Другими словами, 51 имеет четыре делителя.

БЕСПЛАТНЫЙ набор математических игр и заданий для 5-го класса

17 занимательных математических игр и заданий для учащихся 5-го класса, которые можно выполнять самостоятельно или с партнером.

Как простые числа используются в реальном мире?

Одним из наиболее важных применений простых чисел является кибербезопасность — обеспечение большей безопасности информации, передаваемой через Интернет.

Чтобы зашифровать (защитить) такие вещи, как данные кредитной карты, медицинские записи и даже некоторые службы обмена сообщениями, такие как WhatsApp, инженеры-программисты создают алгоритмы, используя простые числа.

Перемножая два очень больших простых числа (некоторые компании используют простые числа, состоящие из сотен цифр!), мы получаем еще большее число, исходные делители которого (два очень больших простых числа) известны только нам. Затем мы используем это еще большее число для шифрования нашей информации.

Если кто-то еще хочет узнать, какую информацию мы посылаем, он должен выяснить, каковы были наши первоначальные факторы. С такими длинными простыми числами, как те, которые мы использовали, им могут потребоваться годы или даже десятилетия постоянных проб и ошибок, прежде чем они найдут хотя бы одно. Такая криптография с открытым ключом обеспечивает безопасность нашей информации.

Хотите знать, как объяснить своим детям другие ключевые слова по математике? Ознакомьтесь с нашим словарем Primary Math Dictionary или попробуйте эти основные математические термины:

• Что такое кубическое число: объяснение для основных родителей и детей
• Что такое наименьшее общее кратное: объяснение для основных родителей и детей
• Что такое наивысший общий делитель: объяснение для основных родителей и детей

Вопросы о простых числах

1) Квадратное число и простое число имеют в сумме 22. Какие это два числа?

A: 9 и 13

2) Эмма думает о двух простых числах. Она складывает два числа вместе. Ее ответ — 36. Напишите все возможные пары простых чисел, которые могла придумать Эмма.

А: 3 и 33; 5 и 31; 7 и 29; 13 и 23; 17 и 19

3) Обведите два простых числа – 29, 59, 39, 69, 29

A: 29 и 59

4) Запишите три простых числа, при умножении которых получается 231.

27 A: 3 x 7 x 11

ЗАДАЧА: Чен выбирает простое число. Он умножает его на 10, а затем округляет до ближайшей сотни. Его ответ — 400. Напишите все возможные простые числа, которые мог выбрать Чен.

A: 37, 41 или 43.

Онлайн-центр Third Space Learning Maths Hub содержит сотни математических ресурсов для учителей начальной школы и родителей, которые можно использовать в школе и дома. Регистрация на бесплатных математических ресурсах выполняется быстро, легко и доступна для всех сотрудников вашей школы. Чтобы получить доступ к премиум-ресурсам, вашей школе потребуется премиум-подписка Maths Hub. Кроме того, доступ ко всем ресурсам премиум-класса включен бесплатно для школ, подписавшихся на наше онлайн-обучение по математике.

Рабочие листы с простыми числами

• Готовые уроки 5-го класса Умножение и деление (осенний блок 4) Слайды и рабочие листы
• Готовые уроки 6-го класса 4 Операции (осенний блок 2) Слайды и рабочие листы
• Год Рабочий лист 5 рабочих примеров: умножение и деление 1
• Рабочий лист 6 рабочих примеров: четыре операции

Видео с простыми числами

• Как учить простые и составные числа

Есть ли у вас ученики, которым нужна дополнительная помощь по математике?
Предоставьте учащимся четвертого и пятого классов больше возможностей для закрепления навыков обучения и практики с помощью персонализированного обучения элементарной математике с их собственным онлайн-репетитором по математике.

Каждый учащийся получает дифференцированное обучение, предназначенное для устранения индивидуальных пробелов в обучении, а организованное обучение гарантирует, что каждый учащийся учится в нужном темпе. Уроки соответствуют стандартам и оценкам вашего штата, плюс вы будете получать регулярные отчеты о каждом шаге.

Программы доступны для четвертого и пятого классов, и вы можете попробовать 6 уроков абсолютно бесплатно.

Содержание этой статьи изначально было написано учителем начальных классов Софи Бартлетт, а затем было отредактировано и адаптировано для школ США учителем математики начальных классов Кэти Китон.

Объяснение простых и составных чисел

Очень важно понимать разницу между простыми и составными числами в математике. В то время как составных числа — это числа с более чем двумя делителями. Они просто противоположны простым числам. Простые числа — это те, которые имеют только два делителя, то есть 1 и само число. Простое число всегда натуральное число. Все натуральные числа, не являющиеся простыми, попадают в категорию составных чисел. Итак, составные числа делятся более чем на два числа. В этой статье мы узнаем следующее:

• Что такое простые и составные числа?
• Разница между простыми и составными числами
• Свойства простых и составных чисел
• Как определить простые и составные числа
• Факты о простых и составных числах
• Список составных чисел
• Таблица простых и составных чисел

Что такое простые числа?

Простое число — это положительное целое число. У него ровно два делителя: 1 и само число. Итак, если n — простое число, его делители будут равны 1 и самому n. Мы также можем определить простое число как число, которое является целым положительным числом и не является произведением любых двух других положительных целых чисел, кроме самого числа и 1.  9(82 589 933) — 1 — самое большое простое число за последнее время. Математики все еще находят больше. Простые числа-близнецы
Простые числа, разность которых равна двум, являются простыми числами-близнецами. Например, 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13 — это наборы простых чисел-близнецов. Другими словами, это два последовательных простых числа, между которыми находится только одно число. Взаимно простые числа
Взаимно простые числа — это два числа, у которых есть только 1 в качестве общего делителя. Например, 2 и 3, 4 и 5, 3 и 7, 4 и 9.являются взаимно простыми числами.

Свойства простых чисел

Ниже приведены некоторые свойства простых чисел:

• Каждое простое число больше 1 делится хотя бы на одно простое число.
• Каждое положительное целое число, четное и превышающее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел.
• 2 — единственное четное простое число.
• Все простые числа нечетные, кроме 2.
• Два простых числа взаимно просты друг с другом.
• Каждое составное число можно разложить на простые множители.

Список простых чисел

Ниже приведен список простых чисел от 1 до 100. Учащиеся могут понять концепцию простых чисел из этого списка и создать список, превышающий 100, для практики.

Список простых чисел

2, 3, 5, 7, 1, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Что такое составные числа?

В отличие от простого числа, составное число — это число, имеющее более двух делителей.

Мы можем определить составные числа как числа, которые могут быть получены путем умножения двух наименьших положительных целых чисел и содержат по крайней мере еще один делитель в дополнение к числу «1» и самому себе. Все четные числа больше 2 входят в число многих примеров составных чисел.

Итак, все ли четные числа составные?

Нет, 2 — четное простое число. На самом деле, это единственное четное число, которое является простым. Следовательно, мы не можем сказать, что все четные числа являются составными числами.

Типы составных чисел

Композитные номера составляют два типа:

• Нечетные составные номера
• Даже составные номера

нечетные составные номера

Все нечетные числа больше 1, которые не являются первичными, являются нечетными композитными числами

. .

Примерами нечетных составных чисел являются 9, 15, 21 и другие.

Четные составные числа

Четные составные числа включают все четные целые числа, не являющиеся простыми числами.
Примерами четных составных чисел являются 4, 6, 8, 10 и другие.

Свойства составных чисел

Составные числа имеют следующие свойства:

• Каждое составное число имеет более двух делителей
• Делители составных чисел без остатка
• Составные числа тоже являются своими факторами.
• 4 — наименьшее составное число
• Каждое составное число имеет как минимум два простых числа в качестве сомножителей.
• Составное число также делится на другие составные числа.

Список составных чисел

Вот список всех составных чисел от 1 до 100. Учащиеся могут понять концепцию составных чисел из этого списка и создать список, превышающий 100, для практики.

Список составных номеров

4. 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100

Как найти составные числа?

Вы должны найти делители числа, чтобы определить, является ли оно составным. Если множителей больше двух, то число составное. Мы можем выполнить тест на делимость, чтобы определить, является ли число простым или составным.

В тесте на делимость мы делим число на общие множители, такие как 2, 3, 5, 7, 11 и 13. Если эти множители не могут полностью разделить число, то это число является простым числом. Например, 22 делится на 2, что означает, что оно имеет делитель 2, отличный от 1 и 22. Следовательно, 22 — составное число.

Как найти простые числа?

Существует два метода, помогающих определить, являются ли данные числа простыми или составными.

Метод 1:

Любое простое число, кроме 2 и 3, можно записать в виде 6n + 1 или 6n – 1, где n — натуральное число.

Например:

6(1) – 1 = 5

6(1) + 1 = 7

Метод 2:

Для определения числа больше 40 как простого числа мы можем использовать по следующей формуле:

n2 + n + 41, где n= 0, 1, 2, ….и выше.

Например:

(0)2 + 0 + 41 = 41

(1)2 + 1 + 41 = 43

(2)2 + 2 + 41 = 47

Разница между простыми и составными числами

Существует множество различий между простыми и составными числами. В следующих таблицах перечислены некоторые ключевые различия между ними.

Простые числа	Составные числа
У них есть 2 множителя. Единица и само число.	У них более двух факторов.
Можно записать в виде произведения двух чисел.	Их можно записать как произведение двух или более чисел
Пример: Делители 7 равны 1 и 7.	Пример: Делители 6 равны 1, 2, 3 и 6

Таблица простых и составных чисел

Ранее математики использовали числовые таблицы для записи всех простых чисел или простых факторизаций. Решето Эратосфена представляло собой список простых чисел. Этот метод обеспечивает карту-карту Эратосфена. На следующей диаграмме простые числа до 100 показаны в цветных прямоугольниках. Все числа, кроме цветных прямоугольников, являются составными числами.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

Что такое простые числа? Определение, схема, примеры и факты

Что такое простые числа?

Простые числа — это числа больше 1. Они имеют только два делителя: 1 и само число. Это означает, что эти числа нельзя разделить ни на какое другое число, кроме 1 и самого числа, не оставляя остатка.

Числа, имеющие более двух делителей, называются 9.0003 составные числа .

Примеры и не примеры простых чисел

Разница между простым и составным числом

Решето Эратосфена

числа.

Выполните указанные шаги, чтобы определить простые числа от 1 до 100.

Шаг 1: Создайте сто графиков.

Шаг 2: Оставьте 1, так как это не простое и не составное число.

Шаг 3: Обведите число 2 и зачеркните все числа, кратные ему, поскольку они не являются простыми.

Шаг 4: Обведите следующее незачеркнутое число, равное 3, и вычеркните все его кратные числа. Не обращайте внимания на ранее зачеркнутые числа, такие как 6, 12, 18 и так далее.

Шаг 5: Продолжайте процесс обведения следующего незачеркнутого числа и вычеркивания его кратных до тех пор, пока все числа в таблице не будут либо обведены, либо зачеркнуты, кроме 1.

Итак, из таблицы видно, что 2, 3 , 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 — простые числа.

Существует 25 простых чисел от 1 до 100.

Термины, относящиеся к простым числам

Взаимопростые числа: Два числа называются взаимно простыми, если они имеют только один общий делитель, то есть 1 , Эти числа не обязательно должны быть простыми числами. Например, 9 и 10 взаимно просты. Давайте проверим.

Обратите внимание, что пары любых двух простых чисел всегда взаимно просты. Это потому, что из их двух множителей общий множитель может быть только 1. Итак, (3, 5), (11, 19) являются некоторыми примерами взаимно простых чисел.

Простые числа-близнецы: Пара простых чисел называется простыми числами-близнецами, если между ними есть только одно составное число. Например, (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19) и т. д.

Список простых чисел от 1 до 100

2, 3, 5, 7, 11 , 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Есть 25 простых чисел от 1 до 100.

Список простых чисел от 1 до 200

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199

Всего 46 простых чисел. от 1 до 200.

Список простых чисел от 1 до 1000

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59 , 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317 , 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467 , 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641 , 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811 , 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997. Факты о простых числах

• 2 — наименьшее простое число.
• 2 — единственное четное простое число.
• 2 и 3 — единственные последовательные простые числа.
• За исключением 0 и 1, целое число является либо простым, либо составным числом.
• Все нечетные числа не являются простыми числами. Например, 21, 39 и т. д.
• Ни одно простое число больше 5 не оканчивается на 5.
• Решето Эратосфена — один из первых методов нахождения простых чисел.
• Простые числа встречаются реже по мере увеличения числа.
• Не существует самого большого простого числа. Самое большое известное простое число (по состоянию на сентябрь 2021 г.) — 282 589 933 − 1, число, состоящее из 24 862 048 цифр при записи по основанию 10. К тому времени, когда вы будете это читать, оно может быть еще больше.

Решенные примеры

Пример 1. Классифицируйте данные числа как простые или составные.

13, 48, 49, 23, 74, 80, 71, 59, 45, 47

Solution:

Prime Numbers	Composite Numbers
13 , 23, 71, 59, 47	48, 49, 74, 80, 45

Пример 2: Представьте 21 в виде суммы двух нечетных простых чисел.

Решение:

21 = 19 + 2

Пример 3. Какие простые числа находятся между 20 и 30?

Решение:

Простые числа от 20 до 30 — это 23 и 29.

Пример 4. Какое самое большое простое число от 80 до 90?

Решение:

Основные числа от 80 до 90 составляют 83 и 89.

Таким образом, 89 — наибольшее основное число от 80 до 90,

---

Практические задачи на основных числах

83

61 61

71

81

Правильный ответ: 81
Делители числа 81 — это 1, 3, 9, 27 и 81. Остальные числа имеют только 2 делителя — 1 и самих себя.

23

29

31

37

Правильный ответ: 29
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23 — первые 9 простых чисел, а 1 0 2 9 .

1

2

3

4

Правильный ответ: 3
Простые числа между 40 и 50: 41, 43 и 47.