Математический анализ (ОТиПЛ) — Кафедра математической логики и теории алгоритмов механико-математического факультета Московского государственного университета
Функции
Функция. Композиция функций. Обратная функция.
Действительные числа
Аксиоматика множества действительных чисел (аксиомы поля, линейного порядка, аксиома полноты, аксиомы, связывающие сложение и порядок, умножение и порядок). Алгебраические свойства действительных чисел.
Теорема о существовании и единственности точной грани непустого ограниченного числового множества.
Числовая прямая. Определение действительного числа по Коши, Дедекинду. Теорема Коши-Кантора о последовательности вложенных сегментов. Сегментное определение действительных чисел.
Покрытие множества. Теорема Бореля-Лебега о возможности выбора конечного подпокрытия всякого покрытия отрезка интервалами.
Предельная точка числового множества. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки ограниченного числового множества.
Пределы
Последовательность, подпоследовательность. Предел числовой последовательности, сходящаяся последовательность. Свойства пределов последовательностей.
Критерий Коши сходимости последовательности. Теорема Вейерштрасса о существовании предела монотонной ограниченной последовательности.
Числовые ряды
Числовой ряд, частичная сумма, сходимость ряда, сумма ряда. Необходимое условие сходимости числового ряда. Критерий Коши сходимости ряда.
Ряды с неотрицательными членами, критерий сходимости таких рядов, теорема сравнения.
Абсолютная и условная сходимости рядов. Признак Вейерштрасса абсолютной сходимости ряда, признаки Коши и Даламбера. Сочетательное и переместительное свойства абсолютно сходящихся рядов.
Пределы функций
Предел функции, свойства пределов. Вопросы существования предела функции, теорема о пределе композиции функций. Замечательные пределы.
Непрерывные функции
Непрерывность функции в точке. Точки разрыва.
Локальные свойства непрерывных функций. Свойства функции, непрерывной на отрезке принимать промежуточные значения, быть ограниченной, достигать своих точных граней. Равномерная непрерывность функции.
Производные, дифференциалы
Производные и дифференциалы, их геометрический смысл. Основные правила дифференцирования: дифференцирование и арифметические операции, дифференцирование композиции функций, дифференцирование обратной функции, таблица производных элементарных функций. Теорема Лагранжа о конечном приращении и ее следствия. Формула Тейлора, правило Лопиталя. Применение к приближенным вычислениям. Исследование функций методами дифференциального исчисления и построение графиков.
Неопределённые интегралы
Неопределённый интеграл. Условия интегрируемости функции. Интегрирование некоторых элементарных функций. Основные правила интегрирования, интегрирование путём замены переменных, по частям.
Определённые интегралы
Интегральная сумма, определённый интеграл.
Классы интегрируемых функций. Свойства определённых интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Приложения определённого интеграла. Понятие о несобственных интегралах. Интегральный признак сходимости числовых рядов.
Функциональные ряды
Функциональный ряд и его область сходимости. Равномерная сходимость ряда. Критерий Коши равномерной сходимости, признак Вейерштрасса. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов.
Степенные ряды. Радиус и область сходимости степенного ряда. Степенной ряд как ряд Тейлора. Разложение в ряд Тейлора показательной и основных тригонометрических функций, логарифмический ряд, биномиальный ряд.
Ряды Фурье
Тригонометрические ряды. Ряды Фурье. Преобразование Фурье.
Основная литература
[1] Дорофеева А. В. Учебник по высшей математике для философских факультетов университетов. М.: Изд-во МГУ, 1971.
[2] Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Под ред.
Б. Н. Демидовича. М.: Наука, 1978. [Гл. I, II, IV, V, VII.]
[3] Зорич В. А. Математический анализ. Т. 1-2. М.: Наука, 1981-1984. [Т. 1, с. 33-258, 283-393; т. 2, с. 587-697.]
[4] Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1-2. СПб.: Лань, 1997. [Т. 1, с. 11-324; т. 2, с. 11-36, 108-116, 169-224, 257-329, 364-374, 419-447.]
Дополнительная литература
[5] Демидович Б. Н. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1990. [С. 7-167, 172-197, 204-239, 246-300, 404-405.] [6] Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. М.: Наука, 1979. [7]
Т. 1, 2. М.: Наука, 1990. [С. 15-204, 361-367, 453-459, 476-499.]Программу составили А. Л. Гомолко, Е. Ю. Ногина, В. Е. Плиско.
195 лет неевклидовой геометрии Лобачевского
Фото: https://eponym.ru
«Он бросил вызов аксиоме»
Эйнштейн об открытии Н.И.Лобачевского.
195 лет назад (11 (23) февраля 1826 г.) на заседании физико-математического факультета Императорского Казанского университета Николай Иванович Лобачевский впервые представил общественности неевклидову геометрию
. Текст доклада «Сжатое изложение начал геометрии
со строгим доказательством теоремы
о параллельных» не сохранился, но известно, что в
этот день ученый изложил основы новой геометрии, в которой
нарушались общепринятые представления, в частности пятый постулат
Евклида, гласящий, что две прямые, пересекающие друг друга, не
могут быть одновременно параллельны третьей прямой (прим.
:
постулат изложен в формулировке Джона Плейфэра). До
Лобачевского евклидова геометрия считалась единственной и
незыблемой.
Николай Лобачевский заменил пятый постулат Евклида на противоположное утверждение: если из точки, не лежащей на прямой, выпустить все лучи, пересекающие эту прямую, то слева и справа эти лучи будут ограничены двумя предельным лучами, которые прямую уже не пересекут, но будут становиться к ней все ближе и ближе, а угол между этими предельными лучами будет строго меньше 180 градусов; то есть через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну прямую, параллельную данной (как у Евклида), а сколько угодно, причем эти прямые будут вести себя иначе, чем в трактовке Евклида.
Справка. Обычно в современных изложениях геометрии 5-й
постулат Евклида заменяется на эквивалентную ему аксиому параллельных прямых (встречается уже у
Прокла в V в. н. э.): через точку, не лежащую на
данной прямой, можно провести только одну прямую, не
пересекающуюся с данной.
(Слово «прямая» здесь, как обычно в
современной математике, обозначает бесконечную прямую).
Высказанная ученым идея о сходимости параллельных прямых (две параллельные прямые могут сначала сближаться, а потом удаляться) не произвела на присутствующих должного впечатления. Революционную неевклидову геометрию в России не поняли, Академия наук дала отрицательную оценку, а в журнале «Сын отечества» язвительно написали, что в ней отсутствует не только ученость, но и элементарный здравый смысл.
«Николай Иванович Лобачевский был гениальным ученым. Он был необычайно упорен. Будучи уже ректором университета, Лобачевский слыл среди коллег сумасшедшим из-за того, что придумал свою неевклидову геометрию. Позднее он ее издал, но параллельно, когда до нее уже додумались и другие люди», — рассказывал в беседе с «Научной Россией» академик РАН Владимир Захаров.
Геометрия Лобачевского стала толчком к переосмыслению природы
пространства.
Можно сказать, что работа ученого подготовила
условия для создания общей теории относительности, ведь раньше у
нас была только одна геометрия и одно понимание пространства, но
это в корне изменилось благодаря нашему соотечественнику.
Спустя три года после выступления в Казанском университете Лобачевский опубликовал статью о своей геометрии в университетском журнале. Как уже отмечалось выше, поначалу многие отнеслись к работе ученого критически; потребовались годы, чтобы неевклидова геометрия отвоевала себе место под Солнцем.
Неевклидова геометрия в каком-то смысле разделила науку на до и
после, но эта работа отнюдь не единственный вклад Николая
Лобачевского в развитие научной мысли. Независимо от бельгийского
математика Жерминаля Данделена Лобачевский разработал метод
приближенного решения уравнений, уточнил понятие непрерывной
функции, написал работы о тригонометрических рядах, предложил
признак сходимости числовых рядов и опубликовал немало
других важных трудов.
Подготовлено по материалам:
● Неевклидова геометрия Лобачевского — Валентина Кириченко
● Н. И. Лобачевский, Геометрические исследования по теории параллельных линий. Перевод, комментарии, вступительные статьи и примечания профессора В. Ф. Кагана. М.-Л., изд-во Академии Наук СССР, 1945.
● Николай Лобачевский – интересные факты об ученом на портале «Научная Россия».
● Евклид. Начала.
Аксиомы Тернера · Сборник Тернера · Цифровые экспонаты УрГУ
Четыре аксиомы Тернера о прямоугольных треугольниках.
Преподобный Тернер формулирует четыре аксиомы или принципа, которые можно использовать для решения прямоугольных треугольников. Комбинация этих теорем может быть применена для решения любого прямоугольного треугольника, в котором три или более частей треугольника уже известны.
Четыре аксиомы таковы:
- Число, известное как естественный радиус (NR), может быть использовано для нахождения катета треугольника (A) по соответствующему углу (a), дополнению к углу ( б) и гипотенузе (С).
Сначала найдите естественный радиус. Затем найдите длину катета (А) треугольника. - Известная сегодня как теорема Пифагора, ее можно использовать для нахождения гипотенузы (C) по двум катетам, (A) и (B). На словах это означает, что сумма квадратов меньших катетов прямоугольного треугольника равна квадрату большей стороны.
- Обратная теорема Пифагора для нахождения катета (A) по катету (B) и гипотенузе (C).
- Тернер использует эту формулу для нахождения угла (a) по соответствующим катету (A), катету (B) и гипотенузе (C).
Эти четыре аксиомы лежат в основе всей системы решения треугольников Тернера. В следующих разделах Тернер излагает ряд примеров, показывающих читателю, как они используются.
* Тернер упоминает, что по крайней мере одна из трех известных составляющих должна быть длиной стороны треугольника.
Когда известны все три угла прямоугольного треугольника и неизвестна ни одна из длин сторон, длины сторон нельзя определить, поскольку они могут изменяться.Шесть частей треугольника: три угла и три стороны.
Определение прямого угла и дополнения к углу.
180 градусов треугольника и разница между прямоугольным и косоугольным треугольником.
Правило подобных треугольников и отношение угла к его стороне.
Процитировано:
Ричард Тернер,
Простая тригонометрия , 5, найденная в Вид на небо: краткая, но всеобъемлющая система современной астрономии… , (Лондон: напечатано для С. Краудера, в Патер-ностер-Роу; и С. Гамидж, книготорговец, Вустер, 1765 г.), в Университет штата Юта, Библиотека Меррилла-Казье, отдел специальных коллекций и архивов, COLL V OV 74 pt. С.
Источник изображения:
Ричард Тернер,
Вид на небо: краткая, но всеобъемлющая система современной астрономии… , (Лондон: напечатано для С.
Краудера, в Патер-ностер-Роу; и С. Гамиджа, книготорговца, в Вустере, 1765 г. ), в Государственный университет штата Юта, отдел специальных коллекций и архивов библиотеки Меррилл-Казье, COLL V OV 74 pt. C.← История тригонометрии
Решение треугольников →
Геометрия с тригонометрией | Математическая ассоциация Америки
Учащиеся старших классов в штате Нью-Йорк уже более ста лет проходят обряд посвящения, известный как экзамены Риджентс. Это общегосударственные экзамены, предназначенные для оценки академической успеваемости. Архивные копии доступны онлайн здесь; особенно по предмету геометрии, было бы поучительно сравнить текущую серию экзаменов с теми, которые были даны, скажем, когда я изучал этот предмет, в середине 19 века.60-е годы. Текущие экзамены не фокусируются на доказательстве, и на самом деле несколько недавних экзаменов не требуют от студента доказать ни одной теоремы; все экзамены 1960-х годов требуют нескольких доказательств каждый.
Опыт Нью-Йорка, кажется, аналогичен опыту Айовы: мои ученики, которые стремятся преподавать математику в средней школе, говорят мне, что школьные курсы геометрии здесь часто тратят мало времени на доказательства или даже совсем не тратят на них времени.
Преподавание геометрии в колледжах также сократилось за этот период времени. Когда я был студентом, в школе, которую я посещал, предлагались курсы по углубленной евклидовой геометрии, основам геометрии, проективной геометрии, геометрическим преобразованиям и углубленной аналитической геометрии. В настоящее время большинство университетов редко предлагают более одного курса геометрии верхнего уровня. Патрик Бэрри, автор рецензируемой книги, сетует на этот спад «как с точки зрения количества, так и с точки зрения качества» преподавания геометрии, который, как он указывает, привел к тому, что учащиеся вынуждены полагаться «главным образом на прежний интуитивный подход» в Средняя школа.
Эта книга — его ответ. Эта книга, предназначенная для студентов колледжей, которые уже прошли менее строгий курс геометрии в средней школе, рассматривает предмет с нескольких разных точек зрения.
Это второе издание текста, впервые опубликованного более 15 лет назад. Новое издание, по словам автора, отличается главным образом главой, посвященной векторным методам и методам комплексных чисел, «в которой существенно изменены детали».
Еще до начала текста есть интересная и ценная особенность: автор дает двухстраничный отчет о греческом и латинском происхождении многих общеупотребительных математических терминов. Затем, после вводной главы, посвященной истории, возникновению логического мышления и Элементам , следуют четыре главы (2–5), представляющие аксиоматическое развитие знакомых тем геометрии треугольников и параллелограммов. Материал, изложенный в этих главах, похоже, не выходит за рамки того, чему учат старшеклассника, но преподается строго и честно.
Координаты представлены в главе 6, а затем используются в качестве инструмента для изучения кругов в главе 7. Опять же, большинство понятий, рассмотренных в этой последней главе, вероятно, знакомы старшеклассникам (за исключением, возможно, таких тем, как сила точка и радикальная ось), но подход, принятый здесь, гораздо более формальный и строгий, чем тот, которому обучают в средней школе.
Глава 8 начинает изучение изометрий, концентрируясь в этой главе на переносах и отражениях, хотя Барри называет последние «аксиальными симметриями».
Одна приятная особенность здесь — авторское доказательство того, что изометрия обязательно биективна; многие авторы вводят биективность в определение изометрии, хотя это излишне. Конечно, тот факт, что функция сохранения расстояния является взаимно однозначной, очевиден, но сюръективность требует немного больше работы. Однако эта глава не заходит слишком далеко; на самом деле повороты даже не будут определены до главы 10.
Перед этим, однако, есть глава 9, в которой определяются тригонометрические функции. Это не так просто, как кажется. Поскольку понятие «угол» настолько неуловимо и трудно поддается определению, требуется значительное количество технических возни, чтобы сделать что-то точно. Определив тригонометрические функции, автор находит им полезное применение, приводя тригонометрическое доказательство знаменитой теоремы Штейнера-Лемуса (если в треугольнике биссектрисы двух внутренних углов имеют одинаковую длину, то эти углы равны равны, а треугольник равнобедренный). У этой теоремы интересная история: она выглядит как простое упражнение, особенно потому, что соответствующие результаты для высот и медиан довольно просты, но результат для биссектрисы угла оказывается действительно довольно трудным.
(На самом деле, в статье, появившейся в Лучшее сочинение по математике 2015 г. , Джон Конвей и Алекс Рыба обсуждают, возможно ли вообще дать прямое геометрическое доказательство этой теоремы.)
Глава 10 начинается с обсуждения комплексных чисел, а затем обсуждаются комплексные координаты. Отсюда мы переходим к другим темам, таким как повороты и обнаруженные углы. Здесь также вводится тонкое понятие ориентации.
После этого идет глава, посвященная использованию комплексных чисел и векторов в геометрии. Эти методы используются для доказательства некоторых теорем евклидовой геометрии, которые обычно не обсуждаются на вторичном уровне, в том числе теорем Чевы, Менелая, Паппа и Микеля. Другие более сложные темы, затронутые в этой главе, включают центры треугольников и окружность с девятью точками.
Книга заканчивается главой, знакомящей с методами исчисления при изучении тригонометрии. Приложения включают вывод формулы площади круга.
Библиография есть, но довольно короткая (13 статей).
Кроме того, ни одна из статей не датирована более поздним периодом, чем 1989 г., что заставило меня задуматься, обновил ли автор библиографию для нового издания.
Книга тщательно написана и имеет довольно высокий уровень сложности — возможно, слишком высокий уровень для большинства курсов геометрии бакалавриата. Внимание автора к деталям и формальностям достойно восхищения, но оно несет в себе определенный педагогический риск. Обозначения становятся довольно громоздкими, например, особенно при обсуждении скользких понятий, таких как «угол». Для иллюстрации: автор определяет угол-опору двух лучей с общим концом (мы не можем сказать угол, потому что эти два луча определяют два угла) и обозначает его, используя довольно неуклюжую нотацию \(\mid BAC\). Затем он дает следующее, довольно ужасно выглядящее, определение объединения множеств внешней области непрямоугольной опоры: \(\{\Pi\, \backslash\, \mathcal{IR}|\underline{BAC }\}\,\чашка\,|А,В\, \чашка\, |А,С\).
Такого рода вещи (которые, по крайней мере, могут отпугнуть случайных или «зашедших» читателей книги) могут быть неизбежны при любой действительно тщательной и строгой обработке этих идей, но следует отметить, что действительно осторожное, строгое лечение может быть не обязательным или даже желательным на этом уровне.
Существует золотая середина между полностью интуитивным описанием предмета, с одной стороны, и полностью строгим описанием, с другой. Можно построить курс, основанный на доказательствах, но не исходящий из полностью аксиоматической точки зрения; текст в этих строках, например, Исаака Геометрия для студентов колледжей , который дает студенту широкие возможности для чтения и моделирования корректур, но сохраняет идею о том, что геометрия по-прежнему является по существу визуальным предметом.
Это все, конечно, дело вкуса. Преподаватели, которые хотят представить совершенно строгое развитие предмета и поэтому готовы принять на себя связанные с этим педагогические риски, безусловно, захотят ознакомиться с этим текстом. На мой взгляд, однако, эта книга, вероятно, является лучшим справочником, чем текст. Всегда приятно иметь источник для такого рода вещей, но я не могу не чувствовать, что формализм, во всяком случае, для многих студентов, ошеломит их до такой степени, что они упустят из виду некоторые из наиболее красивых аспектов геометрии.