Разложение по частям: Интегрирование по частям

Содержание

Интегрирование по частям

Интегральное исчисление — сложная методика определения первичного вида функций (первообразной), обратная дифференцированию. Но, в отличие от дифференциала, найти интеграл сложнее. Если перед вами табличные интегралы, то можно воспользоваться готовыми формулами и решениями. Но так бывает не всегда. Например, для интегрирования сложных функций таблица не подходит. Вернее подходит, но в том случае, когда сложную функцию можно разложить определенным образом на составные части. Это только один из методов, который называется интегрирование по частям.

Часто использование методе приводит к появлению одного, или даже двух табличных функций. Именно для этого и используют метод. Чтобы использовать формулу, необходимо выучить таблицу интегралов, она не слишком объемна и вполне доступна для запоминания. Зачем учить? На экзамене или контрольной не всегда найдется учебник под рукой, или шпаргалка, где можно подсмотреть. В этом случае разложение интеграла по частям может оказаться бесполезным, вы просто остановитесь на полдороге.

Иногда у учеников и студентов возникает вопрос, что обозначает символ dx? Это наиболее элементарное понятие, которое нужно усвоить. Символ под знаком d показывает, какая из величин в выражении считается переменной для интегрирования. В случае dv интегрирование ведется по переменной v, даже если это функция, если du – то по u.

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле используется в том случае, когда базовую подынтегральную функцию можно представить, как производную двух функций, u ∙v. Например, x sin x dx. Это произведение двух функций y=x и y= sin x. Именно на этом примере будем рассматривать, как происходит интегрирование по частям. Но сначала выведем формулу, которая используется для этого действия.

Для того чтобы понять суть выражения, необходимо вспомнить базовые правила интегрирования. Вспомним, что дифференциал произведения функций определяется по стандартной формуле:

1. d(uv) = udv + vdu.

Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен самой функции:

2. d ( ∫ f (x) dx ) = f (x) dx.

Также припомним табличные интегралы для функций нашего примера:

Допустим, что произведение uv — это дифференциал некой первообразной функции, которую нам предстоит найти. Воспользуемся выражениями 1 и 2 и проинтегрируем произведение наших функций:

uv = ∫ udv + ∫vdu, или, поменяв слагаемые местами, или:∫ udv = uv — ∫vdu.

3. ∫ udv = uv — ∫vdu.

Это и есть основная формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле, которой мы будем пользоваться в дальнейшем.

Интегрирование — процесс творческий и не всегда строго регламентированный. В каждом сложном случае нужно искать свои пути решения. Но базовая формула всегда одна и та же. Рассмотрим, как проинтегрировать нашу функцию, которая приведена выше. Попробуем найти интеграл ∫ x sin x dx.

Распишем выражение, согласно формуле 3:

∫ x sin x dx = — x cos x + ∫ cos x dx. Примем, что х, это u, а — cos x — это v.

Внимательно посмотрев на запись, увидим, что выражение 3 полностью соответствует нашей записи под номером 4.

Но это только половина дела. Дальше интегрируем каждую часть выражения отдельно. Получаем:

— x cos x = — x cos x;

∫ cos x dx = sin x +С.

Результат запишем так — ∫ x sin x dx = -x cos x + sin x + C.

Просто? Если понять суть метода, правильно расписать сложную функцию в виде произведения более простых и уметь пользоваться таблицей интегралов, то задания на неопределенный интеграл не покажутся особенно сложными.

Таблица неопределённых интегралов.

В каждом случае интегрирования по частям придется пользоваться данными этой таблицы. Лучше всего выучить ее и запомнить. Это сильно упростит работу по интегрированию.

Рассмотрим еще пример, более сложный, в котором интегрировать по частям нужно дважды:

Найти ∫x²cosxdx

Представим: u=x² , dv=cosxdx, v=sinx, du=2xdx. Правильность хода решения во многом зависит от правильного выбора u и v.

Воспользуемся нашим выбором и запишем:

∫x²cosxdx = x²sinx−∫sinx⋅²xdx = x²sinx−2∫xsinxdx

Как видим, выражение не сильно упростились, одно из слагаемых все еще является интегралом произведения функций. Изменим обозначения:

u=x, du=dx, v=−cosx, dv=sinxdx

после подстановок и преобразований получим:

x²sinx−2(x⋅(−cos)x−∫(−cosx)dx) = x²sinx+2xcosx−2∫cosxdx = x²sinx+2xcosx−2sinx+C = (x²−1)sinx+2xcosx+C. Это и есть решение нашей задачи, то есть, первообразная функции x²cosx.

Метод довольно сложный для использования, но много задач не получится решить по- другому. Чтобы освоить его необходимо много практиковаться. Для начала берите самые простые примеры, постепенно усложняя задания. Так получится и освоить интегрирование по частям, и выучить таблицу более простых неопределенных интегралов.

Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям применяется, в основном, когда подынтегральная функция состоит из произведения двух сомножителей определенного вида. Формула интегрирования по частям имеет вид:

Она дает возможность свести вычисление заданного интеграла к вычислению интеграла, который оказывается более простым, чем данный.

Большую часть интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям, можно разбить на три группы:

1. Интегралы вида ,,, где– многочлен,– число, не равное нулю

В этом случае через обозначают многочлен, а всю остальную часть подынтегрального выражения через.

2. Интегралы вида ,,,,, где– многочлен.

В этом случае через обозначают, а всю остальную часть подынтегрального выражения через:

3. Интегралы вида ,, где– числа.
В этом случае через обозначаюти применяют формулу интегрирования по частям дважды, возвращаясь в результате к исходному интегралу, после чего исходный интеграл выражается из равенства.
Замечание: В некоторых случаях для нахождения заданного интеграла формулу интегрирования по частям необходимо применять несколько раз. Также метод интегрирования по частям комбинируют с другими методами.
Пример 26.
Найти интегралы методом по частям: а) ; б).
Решение.
а)
.
б)
.
3.1.4. Интегрирование дробно-рациональных функций
Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов: , где– многочлен степени,– многочлен степени .

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, т.е. , в противном случае (если ) рациональная дробь называется неправильной.
Любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов:
,
где – целая часть от деления,– правильная рациональная дробь,– остаток от деления.
Правильные рациональные дроби вида:
I. ;
II. ;
III. ;
IV. ,
где ,,,,,, – действительные числа и (т.е. квадратный трехчлен в знаменателеIII и IV дробей не имеет корней – дискриминант отрицательный) называются простейшими рациональными дробями
I, II, III и IV типов.
Интегрирование простейших дробей
Интегралы от простейших дробей четырех типов вычисляются следующим образом.
I) .
II) ,.
III) Для интегрирования простейшей дроби III типа в знаменателе выделяют полный квадрат, производят замену . Интеграл после подстановки разбивают на два интеграла. Первый интеграл вычисляют выделением в числителе производной знаменателя, что дает табличный интеграл, а второй интеграл преобразовывают к виду, так как, что также дает табличный интеграл.
;
IV) Для интегрирования простейшей дроби IV типа в знаменателе выделяют полный квадрат, производят замену . Интеграл после подстановки разбивают на два интеграла. Первый интеграл вычисляют подстановкой, а второй с помощью рекуррентных соотношений.

Пример 27.
Найти интегралы от простейших дробей:
а); б); в).
Решение.
а) .
б) .
в)
.
Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой может быть разложен на множители, можно представить в виде суммы простейших дробей. Разложение на сумму простейших дробей осуществляют методом неопределенных коэффициентов. Он заключается в следующем:
– каждому множителю знаменателя соответствует одна дробь вида;
– каждому множителю знаменателя соответствует сумма дробей вида
;
– каждому квадратному множителю знаменателя соответствует дробь вида;

– каждому квадратному множителю знаменателя соответствует суммадробей вида
,
где – неопределенные коэффициенты.
Для нахождения неопределенных коэффициентов правую часть в виде суммы простейших дробей приводят к общему знаменателю и преобразовывают. В результате получается дробь с тем же знаменателем, что и в левой части равенства. Затем отбрасывают знаменатели и приравнивают числители. В результате получается тождественное равенство, в котором левая часть – многочлен с известными коэффициентами, а правая часть – многочлен с неопределенными коэффициентами.
Существует два способа определения неизвестных коэффициентов: метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений.
Метод неопределенных коэффициентов.

Т.к. многочлены тождественно равны, то равны коэффициенты при одинаковых степенях . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степеняхв многочленах левой и правой частей, получим систему линейных уравнений. Решая систему, определяем неопределенные коэффициенты.
Метод частных значений.
Т.к. многочлены тождественно равны, то, подставляя вместо в левую и правую части любое число, получим верное равенство, линейное относительно неизвестных коэффициентов. Подставляя столько значений, сколько неизвестных коэффициентов, получим систему линейных уравнений. Вместов левую и правую части можно подставлять любые числа, однако более удобно подставлять корни знаменателей дробей.
После нахождения значений неизвестных коэффициентов, исходная дробь записывается в виде суммы простейших дробей в подынтегральное выражение и осуществляется ранее рассмотренное интегрирование по каждой простейшей дроби.

Схема интегрирования рациональных дробей:
1. Если подынтегральная дробь неправильная, то необходимо представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (т.е. разделить многочлен числителя на многочлен знаменателя с остатком). Если подынтегральная дробь правильная сразу переходим ко второму пункту схемы.
2. Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, если это возможно.
3. Разложить правильную рациональную дробь на сумму простейших рациональных дробей, используя метод неопределенных коэффициентов.
4. Проинтегрировать полученную сумму многочлена и простейших дробей.

Пример 28.
Найти интегралы от рациональных дробей:
а) ; б); в).
Решение.
а) .
Т.к. подынтегральная функция неправильная рациональная дробь, то выделим целую часть, т.е. представим ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе уголком.
Исходный интеграл примет вид: .
Разложим правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей c помощью метода неопределенных коэффициентов:
.
Отбросим знаменатели и приравняем левую и правую части:
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем:

Решая систему линейных уравнений, получим значения неопределенных коэффициентов: А = 1; В = 3.
Тогда искомое разложение имеет вид: .
Найдем исходный интеграл, учитывая полученное разложение:
=.
б) .
Разложим подынтегральную функцию (правильную рациональную дробь) на сумму простейших дробей с помощью метода неопределенных коэффициентов. Разложение ищем в виде:
.
Приведя к общему знаменателю, получим:
Отбросим знаменатели и приравняем левую и правую части:
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему:

Решая систему из пяти линейных уравнений, находим неопределенные коэффициенты:
.
Тогда искомое разложение имеет вид:
.
Найдем исходный интеграл, учитывая полученное разложение:
.
в) .
Разложим подынтегральную функцию (правильную рациональную дробь) на сумму простейших дробей с помощью метода неопределенных коэффициентов. Разложение ищем в виде:
.
Приведя к общему знаменателю, получим:
.
Отбросим знаменатели и приравняем левую и правую части:
.
Для нахождения неопределенных коэффициентов применим метод частных значений. Придадим
частные значения , при которых множители обращаются в нуль, т. е. подставим эти значения в последнее выражение и получим три уравнения:
; ;
; ;
; .
Тогда искомое разложение имеет вид:
.
Найдем исходный интеграл, учитывая полученное разложение:
Разложение на неполные фракции: общие методы
Вернуться к Указатель уроков | Делайте уроки в заказе | Подходит для печати страница
Неполная дробь Разложение:
Общая техника (стр. 1 из 3)
Разделы: Общие методы, Как для обработки повторяющихся и неустранимых факторов, Примеры
Раньше вы добавили и упростили рациональные выражения, такие как:
Разложение на частичные дроби – это процесс начать с упрощенного ответа и разобрать его, «разложить» конечное выражение в его начальные полиномиальные дроби.
Чтобы разложить дробь, вы сначала знаменатель. Давайте работать в обратном направлении от примера выше. знаменатель составляет x ² + x , что составляет x ( x + 1).
Затем вы записываете дроби с одним из множители для каждого из знаменателей. Конечно, вы не знаете, что числители еще нет, поэтому вы назначаете переменные (обычно заглавные буквы) для этих неизвестных значений:
Затем вы устанавливаете эту сумму равной упрощенному результат:
Умножить на общий знаменатель х ( х + 1) избавляется от всех знаменателей:
Умножить и сгруппировать x терминов и постоянные члены:
Чтобы две стороны были равны, коэффициенты два многочлена должны быть равны. Так вы «приравниваете коэффициенты» получить:
3 = А + В
2 = А
Это создает систему уравнений, которая можно решить:
А = 2
В = 1
Тогда исходные дроби были (как мы уже знаю) следующее:

Есть еще один метод решения для значения A и Б . Поскольку уравнение «3 х + 2 = А ( х + 1) + В ( х )» предполагается верным для любого значения x , мы можем выбрать полезные значения x , plug-n-chug и найдите значения для А и Б . Глядя на уравнение «3 x + 2 = А ( х + 1) + В ( х )», вы можете видеть, что если x = 0, то мы быстро находим, что 2 = А :
А если х = 1, то мы легко получаем 3 + 2 = В , поэтому В = 1.
Я никогда не видел этого второго метода в учебниках, но это часто может сэкономить вам много времени по сравнению с «приравнять коэффициенты и решить методом системы уравнений, что они обычно учат.
Если знаменатель вашей дроби на уникальные линейные множители, то процесс разложения довольно прост, как показано в предыдущем примере. Но что, если факторы не уникальны или не линейны?
Топ | 1 | 2 | 3 | Вернуться к индексу Далее >>
Цитировать эту статью как:
Стапель, Элизабет. «Разложение на частичные дроби: общие методы».
Пурпурная математика . Доступно по адресу https://www.purplemath.com/modules/partfrac.htm .
Доступ [Дата] [Месяц] 2016

APEX Разложение частичной фракции
В этом разделе мы исследуем первообразные рациональных функций. Напомним, что рациональные функции — это функции вида \(f(x)= \frac{p(x)}{q(x)}\text{,}\), где \(p(x)\) и \(q (x)\) являются многочленами и \(q(x)\neq 0\text{. }\) Такие функции возникают во многих контекстах, одним из которых является решение некоторых фундаментальных дифференциальных уравнений. 92-1} \text{ в } \frac{1/2}{x-1}-\frac{1/2}{x+1}\text{.} \end{уравнение*}
Начнем с рациональной функции \(f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\text{,}\), где \(p\) и \(q\) не имеют любые общие множители и степень \(p\) меньше степени \(q\text{.}\). Можно показать, что любой полином, а значит, и \(q\text{,}\) может быть разложить на произведение линейных и неприводимых квадратичных членов. В следующей ключевой идее говорится, как разложить рациональную функцию на сумму рациональных функций, все знаменатели которых имеют более низкую степень, чем \(q\text{.}\) 92-1 = (x-1)(x+1)\text{:}\)
\begin{align*} 1 \amp = \frac{A(x-1)(x+1)}{x-1}+\frac{B(x-1)(x+1)}{x+1}\\ \амп = А(х+1) + В(х-1)\\ \усилитель = Ах+А + Вх-В\\ \амп = (А+В)х + (А-В)\текст{,} \end{align*}
, собрав похожие термины.
Следующий шаг является ключевым. Обратите внимание на равенство:
\begin{equation*} 1 = (А+В)х+(А-В)\текст{. } \end{equation*}
Для ясности перепишите левую часть как
\begin{equation*} 0x+1 = (А+В)х+(А-В)\текст{.} \end{уравнение*}
Слева коэффициент при члене \(x\) равен 0; справа это \((A+B)\text{.}\) Поскольку обе стороны равны, мы должны иметь это \(0=A+B\text{.}\)
Аналогично, на слева у нас есть постоянный член 1; справа постоянный член равен \((AB)\text{.}\) Следовательно, мы имеем \(1=AB\text{.}\)
У нас есть два линейных уравнения с двумя неизвестными. Это легко решить вручную, что приводит к
\begin{align*} А+В \ампер = 0\\ А-В \амп = 1 \end{выравнивание*}
92-1} \amp = \frac{A(x+1)}{(x-1)(x+1)}+\frac{B(x-1)}{(x+1)(x-1 )}\\ \amp = \frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)} \end{align*}
Теперь, поскольку знаменатели совпадают, мы будем рассматривать только уравнение числителя (по существу, если мы умножим обе части уравнения на \((x-1)(x+1)\text{,}\ ) очистим знаменатели):
\begin{equation*} 1=А(х+1)+В(х-1) \end{equation*}
Теперь подставляем в «удобные» значения \(x\text{. 3}{(x-5)(x+3)}\, dx\text{.}\) 93}{(x-5)(x+3)} = x+2+\frac{19x+30}{(x-5)(x+3)}\text{.} \end{equation*}
Используя ключевую идею 6.5.2, мы можем переписать новую рациональную функцию как:
\begin{equation*} \frac{19x+30}{(x-5)(x+3)} = \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x+3} \end{equation*}
для соответствующих значений \(A\) и \(B\text{.}\) Очищая знаменатели, мы имеем
Значения \(A\) и \(B\) могут можно быстро найти с помощью методики, описанной в примере 6.5.6, или их можно найти путем приравнивания коэффициентов, как мы это делаем в примере 6.5.8. 9{-1}\left(\frac{x+3}{\sqrt{2}}\right)+C\text{.} \end{align*}
Как и во многих других задачах по исчислению, важно помнить, что не ожидается, что вы «увидите» окончательный ответ сразу после того, как увидели задачу. Скорее, учитывая первоначальную проблему, мы разбиваем ее на более мелкие проблемы, которые легче решить. Окончательный ответ представляет собой комбинацию ответов меньших задач.
Разложение на частичные дроби — важный инструмент при работе с рациональными функциями.
No related posts.