Сравнение конечных и бесконечных десятичных дробей: правила, примеры, решения
В данной теме будет рассмотрена как общая схема сравнения десятичных дробей, так и детальный разбор принципа сравнения конечных и бесконечных дробей. Теоретическую часть закрепим решением типичных задач. Также разберем на примерах сравнение десятичных дробей с натуральными или смешанными числами, и обыкновенными дробями.
Внесем уточнение: в теории ниже будет рассмотрено сравнение только положительных десятичных дробей.
Общий принцип сравнения десятичных дробей
Для каждой конечной десятичной и бесконечной периодической десятичной дробей существуют соответствующие им некоторые обыкновенные дроби. Следовательно, сравнение конечных и бесконечных периодических дробей возможно производить как сравнение соответствующих им обыкновенных дробей. Собственно, это утверждение и является общим принципом сравнения десятичных периодических дробей.
На основе общего принципа формулируются правила сравнения десятичных дробей, придерживаясь которых возможно не осуществлять перевод сравниваемых десятичных дробей в обыкновенные.
То же самое можно сказать и про случаи, когда происходит сравнение десятичной периодической дроби с натуральными числами или смешанными числами, обыкновенными дробями – заданные числа необходимо заменить соответствующими им обыкновенными дробями.
Если же речь идет о сравнении бесконечных непериодических дробей, то его обычно сводят к сравнению конечных десятичных дробей. Для рассмотрения берется такое количество знаков сравниваемых бесконечных непериодических десятичных дробей, которое даст возможность получить результат сравнения.
Равные и неравные десятичные дроби
Определение 1Равные десятичные дроби – это две конечные десятичные дроби, у которых равны соответствующие им обыкновенные дроби. В противном случае десятичные дроби являются неравными.
Опираясь на данное определение, просто обосновать такое утверждение: если в конце заданной десятичной дроби подписать или, наоборот, отбросить несколько цифр 0, то получится равная ей десятичная дробь.
К примеру: 0,5 = 0,50 = 0,500 = …. Или: 130,000 = 130,00 = 130,0 = 130. По сути, дописать или отбросить нуль в конце дроби справа — значит умножить или разделить на 10 числитель и знаменатель соответствующей обыкновенной дроби. Добавим к сказанному основное свойство дробей (умножая или деля числитель и знаменатель дроби на одно и то же натуральное число, получаем дробь, равную исходной) и имеем доказательство вышеуказанного утверждения.
К примеру, десятичной дроби 0,7 соответствует обыкновенная дробь 710. Дописав нуль справа, получим десятичную дробь 0,70, которой соответствует обыкновенная дробь 70100, 7·70100:10. Т.е.: 0,7 = 0,70. И наоборот: отбрасывая в десятичной дроби 0,70 нуль справа, получаем дробь 0,7 – таким образом, от десятичной дроби 70100 мы переходим к дроби 710, но 710=70:10100:10 Тогда: 0,70 = 0,7.
Теперь рассмотрим содержание понятия равных и неравных бесконечных периодических десятичных дробей.
Определение 2Равные бесконечные периодические дроби – это бесконечные периодические дроби, у которых равны отвечающие им обыкновенные дроби.
Если же соответствующие им обыкновенные дроби не равны, то заданные для сравнения периодические дроби также являются неравными.
Данное определение позволяет сделать следующие выводы:
— если записи заданных периодических десятичных дробей совпадают, то такие дроби являются равными. К примеру, периодические десятичные дроби 0,21(5423) и 0,21(5423) равны;
— если в заданных десятичных периодических дробях периоды начинаются с одной и той же позиции, первая дробь имеет период 0, а вторая – 9; значение разряда, предшествующего периоду 0, на единицу больше, чем значение разряда, предшествующего периоду 9, то такие бесконечные периодические десятичные дроби равны. К примеру, равными являются периодические дроби 91,3(0) и 91,2(9), а также дроби: 135,(0) и 134,(9);
— две любые другие периодические дроби не являются равными. Например: 8,0(3) и 6,(32); 0,(42) и 0,(131) и т.д.
Осталось рассмотреть равные и неравные бесконечные непериодические десятичные дроби. Такие дроби представляют из себя иррациональные числа, и их невозможно перевести в обыкновенные дроби.
Равные бесконечные непериодические десятичные дроби – это непериодические десятичные дроби, записи которых полностью совпадают.
Логичным будет вопрос: как сравнить записи, если увидеть «законченную» запись таких дробей невозможно? Сравнивая бесконечные непериодические десятичные дроби, нужно рассматривать только некоторое конечное число знаков заданных для сравнения дробей так, чтобы это позволило сделать вывод. Т.е. по сути сравнение бесконечных непериодических десятичных дробей заключается в сравнении конечных десятичных дробей.
Такой подход дает возможность утверждать о равенстве бесконечных непериодических дробей только с точностью до рассматриваемого разряда. Например, дроби 6,73451… и 6,73451… равны с точностью до стотысячных, т.к. равными являются конечные десятичные дроби 6,73451 и 6,7345. Дроби 20,47… и 20,47… равны с точностью до сотых, т.
Неравенство бесконечных непериодических дробей устанавливается вполне конкретно при явных различиях в записях. Например, неравными являются дроби 6,4135… и 6,4176… или 4,9824… и 7,1132… и так далее.
Правила сравнения десятичных дробей. Решение примеров
Если установлен факт неравенства двух десятичных дробей, обычно также необходимо определить, какая из них больше, а какая – меньше. Рассмотрим правила сравнения десятичных дробей, которые дают возможность решить вышеуказанную задачу.
Очень часто достаточно лишь сравнить целые части заданных к сравнению десятичных дробей.
Определение 4Та десятичная дробь, у которой целая часть больше, является бОльшей. Меньшей является та дробь, у которой целая часть меньше.
Указанное правило распространяется как на конечные десятичные дроби, так и на бесконечные.
Необходимо сравнить десятичные дроби: 7,54 и 3,97823… .
Решение
Совершенно очевидно, что заданные десятичные дроби равными не являются.
Целые их части равны соответственно: 7 и 3. Т.к. 7 > 3, то 7,54 > 3,97823… .
Ответ: 7,54 > 3,97823… .
В случае, когда целые части заданных к сравнению дробей равны, решение задачи сводится к сравнению дробных частей. Сравнение дробных частей производится поразрядно – от разряда десятых к более младшим.
Рассмотрим сначала случай, когда нужно сравнить конечные десятичные дроби.
Пример 2Необходимо выполнить сравнение конечных десятичных дробей 0,65 и 0,6411.
Решение
Очевидно, что целые части заданных дробей равны (0 = 0). Проведем сравнение дробных частей: в разряде десятых значения равны (6 = 6), а вот в разряде сотых значение дроби 0,65 больше, чем значение разряда сотых в дроби 0,6411 (5 > 4). Таким образом, 0,65 > 0,6411.
Ответ: 0,65 > 0,6411.
В некоторых задачах на сравнение конечных десятичных дробей с разным количеством знаков после запятой необходимо к дроби с меньшим количеством десятичных знаков приписывать нужное количество нулей справа.
Удобно уравнивать таким образом количество десятичных знаков в заданных дробях еще до начала сравнения.
Необходимо сравнить конечные десятичные дроби 67,0205 и 67,020542.
Решение
Данные дроби очевидно не являются равными, т.к. записи их различны. При этом их целые части равны: 67 = 67. Прежде чем приступить к поразрядному сравнению дробных частей заданных дробей, уравняем количество знаков после запятой, дописав нули справа в дроби с меньшим количеством знаков. Тогда получим для сравнения дроби: 67,020500 и 67,020542. Проводим поразрядное сравнение и видим, что в разряде стотысячных значение в дроби 67,020542 больше, чем соответствующее в дроби 67,020500 (4 > 0). Таким образом, 67,020500 < 67,020542, а значит 67,0205 < 67,020542.
Ответ: 67,0205 < 67,020542.
Если необходимо сравнить конечную десятичную дробь с бесконечной, то конечная дробь заменяется бесконечной, ей равной с периодом 0. Затем производится поразрядное сравнение.
Необходимо сравнить конечную десятичную дробь 6,24 с бесконечной непериодической десятичной дробью 6,240012…
Решение
Мы видим, что целые части заданных дробей равны (6 = 6). В разрядах десятых и сотых значения обеих дробей также являются равными. Чтобы иметь возможность сделать вывод, продолжаем сравнение, заменяя конечную десятичную дробь равной ей бесконечной с периодом 0 и получаем: 6,240000… . Дойдя до пятого знака после запятой, находим различие: 0 < 1, а значит: 6,240000… < 6,240012…. Тогда: 6,24 < 6,240012… .
Ответ: 6,24 < 6,240012… .
Сравнивая бесконечные десятичные дроби, также применяют поразрядное сравнение, которое окончится тогда, когда значения в каком-то разряде у заданных дробей окажутся различными.
Пример 5Необходимо сравнить бесконечные десятичные дроби 7,41(15) и 7,42172… .
Решение
В заданных дробях — равные целые части, значения десятых также равны, а вот в разряде сотых мы видим различие: 1 < 2.
Тогда: 7,41(15) < 7,42172… .
Ответ: 7,41(15) < 7,42172… .
Пример 6Необходимо сравнить бесконечные периодические дроби 4,(13) и 4,(131).
Понятными и верными являются равенства: 4,(13) = 4,131313… и 4,(133) = 4,131131… . Сравниваем целые части и поразрядно дробные, и на четвертом знаке после запятой фиксируем расхождение: 3 > 1. Тогда: 4,131313… > 4,131131…, а 4,(13) > 4,(131).
Ответ: 4,(13) > 4,(131).
Сравнение десятичных дробей с натуральными числами, обыкновенными дробями и смешанными числами
Чтобы получить результат сравнения десятичной дроби с натуральным числом, необходимо сравнить целую часть заданной дроби с заданным натуральным числом. При этом надо учесть, что периодические дроби с периодами 0 или 9 нужно предварительно представить в виде равных им конечных десятичных дробей.
Определение 5Если целая часть заданной десятичной дроби меньше заданного натурального числа, то и вся дробь является меньшей по отношению к заданному натуральному числу.
Если целая часть заданной дроби больше или равна заданному натуральному числу, то дробь больше заданного натурального числа.
Необходимо сравнить натуральное число 8 и десятичную дробь 9,3142… .
Решение:
Заданное натуральное число меньше, чем целая часть заданной десятичной дроби (8 < 9), а значит это число меньше заданной десятичной дроби.
Ответ: 8 < 9,3142… .
Пример 8Необходимо сравнить натуральное число 5 и десятичную дробь 5,6.
Решение
Целая часть заданной дроби равна заданному натуральному числу, тогда, согласно вышеуказанному правилу, 5 < 5,6.
Ответ: 5 < 5,6.
Пример 9Необходимо сравнить натуральное число 4 и периодическую десятичную дробь 3,(9).
Решение
Период заданной десятичной дроби равен 9, а значит перед сравнением необходимо заменить заданную десятичную дробь равной ей конечной или натуральным числом.
Ответ: 4 = 3,(9).
Чтобы произвести сравнение десятичной дроби с обыкновенной дробью или смешанным числом, необходимо:
— записать обыкновенную дробь или смешанное число в виде десятичной дроби, а затем выполнить сравнение десятичных дробей или
— записать десятичную дробь в виде обыкновенной дроби (за исключением бесконечной непериодической), а затем выполнить сравнение с заданной обыкновенной дробью или смешанным числом.
Необходимо сравнить десятичную дробь 0,34 и обыкновенную дробь 13.
Решение
Решим задачу двумя способами.
- Запишем заданную обыкновенную дробь 13 в виде равной ей периодической десятичной дроби: 0,33333… . Тогда становится необходимым произвести сравнение десятичных дробей 0,34 и 0,33333… . Получим: 0,34 > 0,33333…, а значит 0,34 > 13.
- Запишем заданную десятичную дробь 0,34 в виде равной ей обыкновенной.
Т.е.: 0,34 = 34100 = 1750. Сравним обыкновенные дроби с разными знаменателями и получим: 1750 > 13. Таким образом, 0,34 > 13.
Т.е.: 0,34 = 34100 = 1750. Сравним обыкновенные дроби с разными знаменателями и получим: 1750 > 13. Таким образом, 0,34 > 13.Ответ: 0,34 > 13.
Пример 11Необходимо сравнить бесконечную непериодическую десятичную дробь 4,5693… и смешанное число 438.
Решение
Бесконечную непериодическую десятичную дробь нельзя представить в виде смешанного числа, но возможно перевести смешанное число в неправильную дробь, а ее, в свою очередь, записать в виде равной ей десятичной дроби. Тогда: 438= 358 и
Т.е.: 438= 358= 4,375. Проведем сравнение десятичных дробей: 4,5693… и 4,375 (4,5693… > 4,375) и получим: 4,5693… > 438.
Ответ: 4,5693… > 438.
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
Калькулятор сравнения десятичных дробей — Как сравнивать десятичные дроби?
Введите десятичные значения, и наш инструмент покажет, какое из них больше или меньше.
РЕКЛАМА
1 st Номер:
2 nd Номер:
РЕКЛАМА
РЕКЛАМА
Содержание
| 1 | Что такое класс PriceEight? |
| 2 | Таблица класса priceeight: |
| 3 | Как рассчитать плотность priceeight (шаг за шагом): |
| 4 | Факторы, определяющие ценуВосьмая классификация: |
| 5 | Какова цель класса priceeight? |
| 6 | Упомянутая цена8 классов проверена официальными лицами? |
| 7 | Одинаковы ли классы цен для UPS и FedEx? |
Получите виджет!
Добавьте этот калькулятор на свой сайт, чтобы пользователи могли выполнять простые расчеты.
Получить код
Обратная связь
Насколько легко было пользоваться нашим калькулятором? Сталкивались ли вы с какой-либо проблемой, сообщите нам!
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Онлайн-калькулятор сравнения десятичных знаков позволяет сравнить пару десятичных значений.
Что такое десятичные числа?Определенные числа, содержащие как целые числа, так и десятичные части, называются десятичными числами.
Например;
- В десятичном числе 23,568 23 — целая часть числа, а .568 — десятичная часть числа.
Помните, что часть десятичного числа, за которой следует десятичная точка, всегда меньше единицы. Кроме того, вы также можете превратить десятичные дроби в дроби, а затем сравнить их соответствующим образом.
Как сравнивать десятичные дроби?Пример № 01:
Предположим, у нас есть пара десятичных чисел, как показано ниже:
23,548 и 41,848
Какое десятичное число больше? Позвольте нам сказать вам! Теперь мы сравним обе эти десятичные дроби, чтобы проанализировать, какая из них больше или меньше друг друга!
- Поскольку первые числа обеих цифр 23 и 41 . Число 41 уже больше 23 . Вот почему мы можем сказать, что десятичное число с 41 больше, чем с 23 .
Число 41 уже больше 23 . Вот почему мы можем сказать, что десятичное число с 41 больше, чем с 23 .Пример № 02:
Какая десятичная дробь здесь больше, чем меньше?
56,187 и 56,157
Поскольку цифры перед запятой одинаковы, мы будем сравнивать цифры после запятой (по одному)
- Первые цифры после запятой для обоих чисел равны 1 , значит перейдём к следующим
- Следующие цифры 8 и 5 соответственно. Поскольку мы видим, что 8>5 , значит число 56,187 больше числа 56,157
Сравнить пару десятичных значений довольно легко и быстро с помощью нашего калькулятора сравнения десятичных знаков. Что вам нужно сделать, так это следовать приведенному ниже руководству, чтобы получить желаемые результаты:
Ввод:
- Введите первый и второй десятичные знаки в соответствующие поля и нажмите кнопку расчета
Вывод:
- Больше меньше десятичных знаков
Из источника Википедии: Десятичное число, Происхождение, Десятичная запись, Десятичные дроби, Приближение действительных чисел, Бесконечное десятичное расширение, Десятичное вычисление
Из источника Академии Хана: Сравнение десятичных дробей (десятых и сотых)
Десятичные игры для детей онлайн
Знакомство с десятичными дробями
Десятичные дроби широко используются.
Деньги основаны на десятичной системе. Отличный практичный способ узнать о десятичных дробях — использовать деньги. Работа с десятичными числами неизбежна при работе с деньгами. Общие измерения, такие как рост учеников в классе, цена на бензин или количество белка в коробке с хлопьями, обычно выражаются с использованием десятичных дробей. Десятичные числа можно представить в виде точек на числовой прямой путем многократного деления интервалов на десятые доли. Десятичное число указывает местоположение точки на числовой прямой — цифры последовательно дают более точную информацию и вместе определяют местоположение точки. Это расширение концепции позиционного значения, поэтому понимание разрядного значения перед десятичными знаками является обязательным. Десятичные дроби часто используются, когда измерения проводятся и записываются с заданной точностью.
Десятичные дроби требуют глубокого концептуального понимания дробей. Десятичные числа вводятся в математике 4-го класса, где закладываются основы для выполнения операций с десятичными числами в математике 5-го класса.
В 4 классе дети связывают дроби со знаменателями 10 и 100 с таблицей десятичных разрядов. Эти таблицы десятичных разрядов можно использовать в качестве подготовки к расширению десятичной системы счисления на нецелые числа.
Дети учатся быстрее и дольше запоминают информацию с помощью визуальных методов, и именно здесь манипулятивные методы работают лучше всего. Ниже приведены манипуляторы, которые можно использовать для обучения десятичным числам с помощью рабочих листов и игр по десятичным числам.
1. Модели разрядных значений
Десятичные дроби могут быть сложными для понимания, если вы плохо понимаете разрядные значения. Детям даются инструменты для изучения идеи о том, что число может быть представлено как в виде дроби, так и в виде десятичной дроби. Модели разрядных значений, используемые в математике в 4 классе, помогают детям установить связь между дробями и таблицей десятичных разрядов. Сначала используются дроби со знаменателем 10 и 100.
Например 1: дробь 32/100 читается как тридцать две сотые и представляется в десятичном виде как 0,32.
Представление модели позиционной стоимости 0,32 показано ниже:
Например 2: аналогичным образом, представление десятичного числа 25,61 в модели разряда выглядит следующим образом:
2. Блоки с основанием 10
Учащиеся используют блоки с основанием 10, чтобы лучше визуализировать десятичные дроби. Для того, чтобы использовать базовые 10 кубиков сначала покажите детям это:
Рисунок 1. Называется квартира и стоит одно целое.
Рисунок 2. Называется стержень и стоит одну десятую или 0,1. Она называется одной десятой, потому что это одна из десяти составляющих одно целое.
Рисунок 3. Называется одна единица и стоит одну сотую или 0,01. Она называется сотой, потому что одна из ста, составляющих одно целое
Дети также понимают, как 32/100 можно разложить до:
32/100 = 30/100 + 2/100
32/ 100 = 3/10 + 2/100
Это то же самое, что:
ясно с помощью этих математических подсказок и манипуляций учащиеся могут заметить, что:
30/100 = 30 сотых.
Кроме того, 0,30 совпадает с 0,3, потому что
30/100 = 3/10 = 3 десятых = 0,3
После объяснения основ построения кубиков с основанием 10 попросите детей смоделировать 1.23 из кубиков. Пусть они попробуют немного, прежде чем предлагать какую-либо помощь. Именно здесь происходит все «обучение открытиями». Дети любят пытаться разобраться во всем, особенно когда у них есть манипуляторы, с которыми они могут работать. Модель для 1.23 должна иметь одну плоскую, две тяги и три узла. Попросите их сделать это еще с парой десятичных чисел, пока они не поймут хорошо.
3. Числовой ряд
Числовой ряд очень удобен для детей, так как они используют его с тех пор, как начали изучать числа. Поскольку дети уже столкнулись с десятичными дробями, спросить их, где на числовой оси они будут представлены, было бы интересным математическим занятием. Для представления таких значений, как 0,32 или 32/100, в числовой строке. 32/100 больше 30/100 (или 3/10) и меньше 40/100 (или 4/10).
Оно ближе к 30/100, поэтому оно будет помещено на числовой строке рядом с этим значением.
Детям важно понимать деление двух целых чисел. Для этого используйте десятичные листы, подобные этим:
Первая числовая строка разделена на 10 равных частей. Тогда как во второй числовой строке это 1 целое из предыдущей числовой строки далее делится на 10 равных частей. Поскольку 10 частей делятся на 1 целое, каждая часть называется одной десятой, выраженной в десятичной форме как 0,1. Далее одна десятая делится на 10 равных частей. Это означает, что исходная 1 часть делится на сто равных частей, которая становится одной сотой, выраженной в десятичной форме как 0,01. Сотая далее делится на 10 равных частей. Это означает, что исходная 1 часть делится на тысячу равных частей, которая становится одной тысячной, записанной в десятичной форме как 0,001
Связь между дробями, десятичными знаками и процентами
Дроби, десятичные знаки и проценты — самые сложные и запутанные темы для детей, так как они не видят связи между ними.
По сути, все три дроби, десятичные дроби и проценты — это разные способы отображения одних и тех же значений. Посмотрите на этот лист преобразования десятичных чисел, состоящий из часто используемых значений, представленных в форме дроби, десятичного числа и процентов:
Преобразование десятичного числа в проценты и дроби можно резюмировать следующим образом:
Преобразование десятичных чисел в проценты осуществляется путем умножения десятичного числа на 100 и добавления к нему символа процента. Например, чтобы преобразовать 0,5 в проценты, умножьте 0,5 на 100 = 50, а затем добавьте символ процента (%), чтобы ответ составил 50%. Точно так же, чтобы преобразовать проценты в десятичные, разделите на 100 и удалите знак процента. Например, чтобы преобразовать 50% в десятичную, просто разделите 50 на 100. Таким образом, ответ будет таким: 50/100 = 5/10 = 0,5
Чтобы преобразовать дроби в десятичные, разделите числитель (верхнее число) на знаменатель ( нижний номер).
Ребенок может быть сбит с толку, что такое одна треть в виде десятичной дроби? 1/3 — неконечная десятичная дробь. Это 0,333 с цифрой 3, повторяющейся каждый раз. Такие десятичные числа с повторяющимся рисунком цифр называются повторяющимися десятичными знаками или повторяющимися десятичными знаками. Повторяющиеся десятичные дроби обозначаются чертой в верхней части повторяющейся цифры после запятой. Следовательно, ответ на вопрос, что такое одна треть в десятичном виде, будет равен 0. Аналогично, 2/3 в десятичном виде будет 0,666666666… что можно выразить как 0,9.0003
Округление десятичных дробей — еще одна важная концепция, требующая надлежащего обоснования, чем простое применение алгоритма или процедуры округления. Дети с глубоким пониманием разрядности десятичных дробей и чувством чисел могут объяснить и обосновать ответы, которые они получают при округлении. Например, округлите 23,415 до десятых.
Дети понимают, что возможный ответ должен быть в десятых долях, таким образом, это либо 23,4, либо 23,5.
Затем они определяют, что 23,415 ближе к 23,4 (23,40), чем к 23,5 (23,50).
Сначала дети должны попрактиковаться в округлении с помощью рабочих листов округления чисел, а затем перейти к округлению десятичных дробей.
Rolling — это захватывающая игра с округлением десятичных дробей для детей пятого класса, которая научится округлять десятичные дроби до ближайших десятых, сотых и до ближайшего целого числа. Это игра для двух игроков, целью которой является стать первым игроком, который выстроит линию из четырех человек в ряд (по горизонтали, вертикали или диагонали) на игровом поле.
Чтобы решить, кто ходит первым, каждый игрок бросает один кубик. Игрок с наибольшим броском ходит первым. Каждый игрок бросает все кости (три) и использует все выброшенные кости, чтобы составить число. Вы можете размещать кубики в любом порядке, чтобы получить число. Например, если игрок выбросил 4, 1 и 6, то может быть создано 416, 461, 146, 164, 614 или 641.
Если вы играете с округлением чисел до сотых, создайте трехзначное десятичное число, поставив десятичную точку перед всеми тремя цифрами (т.