Преобразование рациональных выражений, урок в 8 классе,
Дата публикации: .
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Скачать:Преобразование рациональных выражений (PPTX)
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 8 класса
Пособие к учебнику Муравина Г.К.
Пособие к учебнику Макарычева Ю.Н.
Понятие о рациональном выражении
Понятие «рациональное выражение» схоже с понятием «рациональная дробь». Выражение также представляется в виде дроби. Только в числители у нас – не числа, а различного рода выражения. Чаще всего этого многочлены. Алгебраическая дробь – дробное выражение, состоящее из чисел и переменных.При решении многих задач в младших классах после выполнения арифметических операций мы получали конкретные числовые значения, чаще всего дроби.
Порядок действий с рациональными выражениями
Порядок действий при выполнении операций с рациональными выражениями такой же, как и при арифметических операциях. Сначала выполняются действия в скобках, потом – умножение и деление, возведение в степень и наконец – сложение и вычитание.Доказать тождество – это значит показать, что при всех значениях переменных правая и левая части равны. Примеров с доказательством тождеств очень много.
К основным способам решения тождеств относятся.
- Преобразование левой части до равенства с правой.
2}$.8 класс. Алгебра. Алгебраические дроби. — Преобразование рациональных выражений.
Комментарии преподавателяУрок: Преобразование рациональных выражений
Вспомним сначала определение рационального выражения.
Определение. Рациональное выражение – алгебраическое выражение, не содержащее корней и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления (возведения в степень).
Под понятием «преобразовать рациональное выражение» мы имеем в виду, прежде всего, его упрощение. А это осуществляется в известном нам порядке действий: сначала действия в скобках, затем произведение чисел (возведение в степень), деление чисел, а затем действия сложения/вычитания.
Основной целью сегодняшнего урока будет приобретение опыта при решении более сложных задач на упрощение рациональных выражений.
Пример 1. Упростить рациональное выражение .
Решение. Сначала может показаться, что указанные дроби можно сократить, т. к. выражения в числителях дробей очень похожи на формулы полных квадратов соответствующих им знаменателей. В данном случае важно не спешить, а отдельно проверить, так ли это.
Проверим числитель первой дроби: . Теперь числитель второй: .
Как видно, наши ожидания не оправдались, и выражения в числителях не являются полными квадратами, т. к. у них отсутствует удвоение произведения. Такие выражения, если вспомнить курс 7 класса, называют неполными квадратами. Следует быть очень внимательными в таких случаях, т. к. перепутывание формулы полного квадрата с неполным – очень частая ошибка, а подобные примеры проверяют внимательность учащегося.
Поскольку сокращение невозможно, то выполним сложение дробей.
У знаменателей нет общих множителей, поэтому они просто перемножаются для получения наименьшего общего знаменателя, а дополнительным множителем для каждой из дробей является знаменатель другой дроби.Конечно же, далее можно раскрыть скобки и привести затем подобные слагаемые, однако, в данном случае можно обойтись меньшими затратами сил и заметить, что в числителе первое слагаемое является формулой суммы кубов, а второе – разности кубов. Для удобства вспомним эти формулы в общем виде:
и .
В нашем же случае выражения в числителе сворачиваются следующим образом:
, второе выражение аналогично. Имеем:
.
Ответ. .
Пример 2. Упростить рациональное выражение .
Решение. Данный пример похож на предыдущий, но здесь сразу видно, что в числителях дробей находятся неполные квадраты, поэтому сокращение на начальном этапе решения невозможно.
Аналогично предыдущему примеру складываем дроби:, здесь мы аналогично способу, указанному выше, заметили и свернули выражения по формулам суммы и разности кубов.
Ответ. .
Пример 3. Упростить рациональное выражение .
Решение. Можно заметить, что знаменатель второй дроби раскладывается на множители по формуле суммы кубов. Как мы уже знаем, разложение знаменателей на множители является полезным для дальнейшего поиска наименьшего общего знаменателя дробей.
.
Укажем наименьший общий знаменатель дробей, он равен: , т. к. делится на знаменатель третьей дроби, а первое выражение вообще является целым, и для него подойдет любой знаменатель. Указав очевидные дополнительные множители, запишем:
.
Ответ.
Рассмотрим более сложный пример с «многоэтажными» дробями.
Пример 4.
Доказать тождество при всех допустимых значениях переменной.Доказательство. Для доказательства указанного тождества постараемся упростить его левую часть (сложную) до того простого вида, который от нас требуется. Для этого выполним все действия с дробями в числителе и знаменателе, а затем разделим дроби и упростим результат.
. Доказано при всех допустимых значениях переменной.
Доказано.
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifmeticheskie-operacii-nad-algebraicheskimi-drobyami/preobrazovanie-ratsionalnyh-vyrazheniy?konspekt&chapter_id=13
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=Mtxotj-mhiQ
вопросов по алгебре с ответами и решениями для 8 класса
Представлены вопросы по алгебре для 8 класса с решениями.
Включены вопросы по решению уравнений, упрощению выражений, в том числе выражений с дробями.ПРИМЕЧАНИЕ. В дальнейшем смешанные числа записываются в форме a b/c. Например, 2 1/3 означает смешанное число 2 + 1/3.
- Упростите следующие алгебраические выражения.
А) -2х+5+10х-9
Б) 3(х + 7) + 2(-х + 4) + 5х - Упростите выражения.
А) (2x — 6) / 2
Б) (-х — 2) / (х + 2)
С) (5x — 5)/10 - Решите относительно x следующие уравнения.
А) -х = 6
Б) 2х — 8 = -х + 4
В) 2х + 1/2 = 2/3
Г) х/3 + 2 = 5
Д) -5/х = 2
- Вычислите для заданных значений x и y .
А) х 2 — у 2 , для х = 4 и у = 5
Б) |4х — 2у| , для х = -2 и у = 3
В) 3х 3 — 4y - Решите следующие неравенства.
А) х + 6 < 0
Б) х + 1 > 5
С) 2(х — 2) < 12 - Чему равно каждое из следующих чисел?
А)-1
Б) 0
С) 3/4
Г) 2 5/7
Е) 0,02 - Оцените следующие выражения со смешанными числами.
А) 3 3/4 + 6 1/7
В) (1 3/5) (3 1/3) — 2 1/2
С) (5 2/3) (4 1/5)
Г) (3 4/7 — 1 1/2) (2 3/8 + 2 1/4) - Оцените следующие экспоненциальные выражения.
A) -4 2
B) (-2) 3
C) (-2) 4
D) 1000 0
E) 566 1 - Преобразуйте в дроби и запишите в простейшей форме.
А) 0,02
Б) 12%
С) 0,5%
Г) 1.12 - Преобразовать в десятичные дроби.
А) 1/5
Б) 120%
С) 0,2%
Г) 4 8/5 - Преобразовать в проценты.
А) 3/10
Б) 1,4
С) 123,45
Г) 2 4/5 - Какое из этих чисел делится на 3?
А) 156312
Б) 176314 - Какое из этих чисел делится на 4?
А) 3432
Б) 1257 - Какое из этих чисел делится на 6?
А) 1233
Б) 3432 - Какое из этих чисел делится на 9?
А) 2538
Б) 1451 - Оцените 8x + 7, учитывая, что x — 3 = 10.
Решения и ответы на вышеуказанные вопросы -
А) -2х + 5 + 10х — 9 : данный
= (10x — 2x) + (5 — 9) : сложить одинаковые члены вместе
= 8x — 4 : группаБ) 3(х + 7) + 2(-х + 4) + 5х : дано
= 3x + 21 — 2x + 8 + 5x: расширить
= (3x — 2x + 5x) + (21 + 8) : сложить одинаковые члены вместе
= 6x + 29 : группа -
А) (2x — 6) / 2 : дано
= 2(x — 3) / 2 : коэффициент 2 в числителе
= x — 3 : для упрощения разделите числитель и знаменатель на 2Б) (-х — 2) / (х + 2) : дано
= -1 : разделить числитель и знаменатель на x + 2 для упрощения
= -1(x + 2) / (x + 2): множитель -1 в числителеC) (5x — 5)/10 : дано
= 5(x — 1) / 10 : коэффициент 5 в числителе
= (x — 1) / 2 : для упрощения разделите числитель и знаменатель на 5. -
А) -х = 6 : дано
x = -6 : умножьте обе части уравнения на -1Б) 2х — 8 = -х + 4 : дано
2x — 8 + 8 = -x + 4 + 8 : добавить +8 к обеим частям уравнения
2x = -x + 12 : сгруппировать подобные термины
2x + x = -x + 12 + x : добавить +x к обеим сторонам
3x = 12 : сгруппировать термины
x = 4 : умножить обе стороны на 1/3C) 2x + 1/2 = 2/3 : дано
2x + 1/2 — 1/2 = 2/3 — 1/2: вычесть 1/2 с обеих сторон
х = 1/12: умножьте обе части на 1/2.Г) х/3 + 2 = 5 : дано
x/3 + 2 — 2 = 5 — 2: вычесть 2 с обеих сторон
x/3 = 3 : групповые термины
x = 9 : умножьте обе части на 1/2.E) -5/x = 2 : дано
-5 = 2x : умножить обе части на x и упростить
-5/2 = x : : умножьте обе части на 1/2 -
А) х 2 — у 2 , х = 4 , у = 5 : дано
4 2 — 5 2 : заменить x и y на указанные значения
=16 — 25 = -9Б) |4х — 2у| , х = -2 , у = 3 : дано
|4(-2) — 2(3)| : заменить x и y заданными значениями
= |-14| = 14 : оценитьВ) 3x 3 — 4 года 4 , x = -1 , y = -2 : дано
3(-1) 3 — 4(-2) 4 : заменить x и y указанными значениями
= -3 — 64 = -67 : оценить -
А) х + 6 < 0 : дано
x + 6 — 6 < -6 : вычесть 6 с обеих сторон
x < -6 : групповые терминыБ) х + 1 > 5 : дано
x + 1 — 1 > 5 — 1 : вычесть 1 с обеих сторон
x > 4 : групповые терминыС) 2(х — 2) < 12 : дано
x — 2 < 6 : умножить обе стороны на 1/2
x — 2 + 2 < 6 + 2 : добавить 2 к обеим сторонам
x < 8 : групповые термины -
А) (-1) а = 1 : определение: а является обратной величиной -1
а = 1/-1 = -1 : найти а; -1 является обратной величиной -1B) (0) b = 1 : определение: b является обратной величиной 0
b = undefined : ни одно значение b не удовлетворяет приведенному выше уравнениюC) (3/4) c = 1 : определение: c является обратной величиной 3/4
с = 4/3 : найти с; c = 4/3 является обратной величиной 3/4D) (2 5/7) d = 1 : определение: d является обратной величиной 2 5/7.
(19/7) d = 1 : преобразовать смешанное число 2 5/7 в дробь.
d = 7/19 : : найти d; d = 7/19 является обратной величиной 2 (5/7)E) 0,02 d = 1 : определение: d является обратной величиной 0,02.
d = 1/0,02 : найти d; d = 50 является обратной величиной 0,02. -
А) 3 3/4 + 6 1/7 : дано
= (3 + 6) + (3/4 + 1/7): сложите вместе целые части и дробные части.
= 9 + (21/28 + 4/28) : доп.
= 9 25/28В) (1 3/5) (3 1/3) — 2 1/2 : дано
= (8/5) (10/3) — 2 1/2 : преобразование смешанных чисел в умножение на дроби.
= 80/15 — 2 1/2 = 5 1/3 — 2 1/2 = 4 4/3 — 2 1/2: умножить и записать как смешанное число, если это возможно
= (4 — 2) + (4/3 — 1/2): вычесть
= 2 5/6C) (5 2/3) (4 1/5) : дано
= (17/3) (21/5): преобразовать смешанные числа в дроби.
= 85/63 : разделить дроби
= 1 22/63 : записать как смешанное числоD) (3 4/7 — 1 1/2) (2 3/8 + 2 1/4) : дано
= [(3 — 1) + (4/7 — 1/2)] [(2 + 2) + (3/8 + 1/4)]: вычислить числитель и знаменатель как дроби.
= (2 1/14) (4 5/8)
= (29/14) (37/8)
= 116/259 -
А) — 4 2 = — (4 4) = -16 : развернуть и вычислитьB) (-2) 3 = (-2)(-2)(-2) = -8 : развернуть и вычислить
C) 1000 0 = 1 : определение: любое ненулевое число в нулевой степени дает 1
Г) 566 1 = 566
-
А) 0,02 = 1/50
Б) 12% = 3/25
С) 0,5% = 1/200
Д) 1,12 = 28/25 -
А) 1/5 = 0,2
Б) 120% = 1,2
С) 0,2% = 0,002
Г) 4 8/5 = 5,6 -
А) 3/10 = 30%
Б) 1,4 = 140%
С) 123,45 = 12345%
Г) 2 4/5 = 280% -
А) 156312 , делится на 3
Б) 176314 , не делится на 3 -
А) 3432 , делится на 4
Б) 1257 , не делится на 4 -
А) 1233 , не делится на 6
Б) 3432 , делится на 6 -
А) 2538 , делится на 9
Б) 1451 , не делится на 9 -
Вычислите 8x + 7, учитывая, что x — 3 = 10.
х — 3 = 10: данное уравнение
х = 10 + 3 = 13: решить данное уравнение.
8(13) + 7 = 111 замените x на 3 в данном выражении и оцените.
Математика в средней школе (6, 7, 8, 9 классы) — Бесплатные вопросы и задачи с ответами
Математика в средней школе (10, 11 и 12 классы) — Бесплатные вопросы и задачи с ответами
Начальная математика (4 и 5 классы) с ответами Бесплатные вопросы и задачи с ответамисообщите об этом объявлении
Math Simplified for 8-10 Class
Перейти к основному содержанию
МиллениумОдин
МиллениумОдин
Платформа онлайн-обучения после школы, чтобы подготовить вашего ребенка к будущему с навыками 21-го века
Опубликовано 24 декабря 2021 г.
+ Подписаться
По достижении 8-го класса, когда учащиеся начинают замечать буквы и символы в математических понятиях, это может немного обескураживать их. В отличие от арифметики, в которой используются только числа, алгебра использует уравнения, выражения и переменные для решения различных математических задач. Например, 3 + 5 = 8 — это арифметическое уравнение, тогда как 4x — 5 = 27 — это форма алгебраического уравнения. Если вы считаете, что алгебра не находит применения за пределами занятий в классе, то вы ошибаетесь! Эти уравнения полезны, поскольку, присваивая значения этим переменным, мы можем моделировать реальные проблемы для поиска решений. Изучая алгебраические уравнения, вы можете улучшить свои логический вывод и решать повседневные практические задачи.
Основополагающие понятия для овладения алгеброй
Перед тем, как начать заниматься алгебраическими уравнениями, необходимо усвоить основные понятия, имеющие решающее значение для алгебры.
Когда вы хорошо поймете терминологию, вы сможете решать алгебраические задачи в кратчайшие сроки. Ниже приведены некоторые ключевые понятия, которые вы должны изучить перед решением уравнений –1. Переменные
Переменные представляют числовое значение и используются в качестве замены для поиска решения. Они могут быть любой буквой от a до z и помогают ясно и лаконично упростить математические понятия. Например, y – 3 = 11 – это алгебраическое уравнение, где y – переменная, а 3, 11 – константы.
2. Выражения
Когда вы разберетесь в использовании переменных и констант, создание выражений станет намного проще. Алгебраические выражения состоят из переменных, констант и арифметических операторов. Формулирование математических выражений с использованием навыка apt создает прочную основу для изучения алгебры. 6х + 19y или 35a – 21b являются некоторыми формами алгебраических выражений.
3. Термы
Термины — это значения, в которых выполняются математические операции в выражении.
Они могут быть переменной, константой или и тем, и другим. Например, в 28x + 4 и 28x, и 4 являются терминами.4. Графики
Прекрасная форма графического представления, графики идеально подходят для демонстрации связи между двумя или более наборами чисел или измерений. Они визуально привлекательны и помогают объяснить различные типы алгебраических уравнений, таких как линейные, квадратичные и полиномиальные.
5. Законы
Ассоциативные, коммутативные и дистрибутивные свойства являются основными столпами для создания выражений и решения алгебраических уравнений. Эти законы помогают интерпретировать взаимосвязь между числовыми операциями и упрощением алгебраических уравнений. PEMDAS (круглые скобки, показатели степени, умножение, деление, сложение и вычитание) — полезный инструмент для запоминания набора операций при решении уравнений. Возьмите примеры из повседневных ситуаций, таких как разделение счета в ресторане с друзьями и составление уравнения, чтобы найти ответ.
Представление реальных сценариев создания и решения алгебраических уравнений позволит вам кратко понять его концепции. От недвижимости до компьютерного программирования, финансов или еды, алгебра может быть интегрирована со всеми этими принципами для решения ключевых проблем. Занятия алгеброй могут развить у детей пространственное мышление и способствовать целостному развитию . Запишитесь на наш интерактивный курс Math Crash и научитесь осваивать такие важные понятия, используя уникальные советы и приемы.
Улучшите английский язык с помощью стратегического обучения
27 декабря 2021 г.
Обязательное условие для учителей 21-го века, способствующее качественному обучению
9 декабря 2021 г.
Практические советы по внедрению экспериментального обучения в классе — вебинар (основные моменты)
3 декабря 2021 г.
Обучение кодированию — насколько это полезно?
29 нояб. 2021 г.
Упрощение математических концепций для легкого обучения
25 нояб. 2021 г. 903:50
Сила обучения на основе видео – что вам нужно знать
31 окт.
- Упростите следующие алгебраические выражения.
2}$.
У знаменателей нет общих множителей, поэтому они просто перемножаются для получения наименьшего общего знаменателя, а дополнительным множителем для каждой из дробей является знаменатель другой дроби.
Аналогично предыдущему примеру складываем дроби:
Доказать тождество при всех допустимых значениях переменной.
Включены вопросы по решению уравнений, упрощению выражений, в том числе выражений с дробями.
Когда вы хорошо поймете терминологию, вы сможете решать алгебраические задачи в кратчайшие сроки. Ниже приведены некоторые ключевые понятия, которые вы должны изучить перед решением уравнений –
Они могут быть переменной, константой или и тем, и другим. Например, в 28x + 4 и 28x, и 4 являются терминами.
