Алгебра 8 класс упрощение выражений: Упрощение рациональных выражений — урок. Алгебра, 8 класс.

Содержание

Преобразование рациональных выражений, урок в 8 классе,

Дата публикации: .


Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.


Скачать:Преобразование рациональных выражений (PPTX)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 8 класса
Пособие к учебнику Муравина Г.К.    Пособие к учебнику Макарычева Ю.Н.



Понятие о рациональном выражении

Понятие «рациональное выражение» схоже с понятием «рациональная дробь». Выражение также представляется в виде дроби. Только в числители у нас – не числа, а различного рода выражения. Чаще всего этого многочлены. Алгебраическая дробь – дробное выражение, состоящее из чисел и переменных.

При решении многих задач в младших классах после выполнения арифметических операций мы получали конкретные числовые значения, чаще всего дроби.

Теперь после выполнения операций мы будем получать алгебраические дроби. Ребята, помните: чтобы получить правильный ответ, необходимо максимально упростить выражение, с которым вы работаете. Надо получить самую маленькую степень, какую возможно; одинаковые выражения в числители и знаменатели стоит сократить; с выражениями, которые можно свернуть, надо так и поступить. То есть после выполнения ряда действий мы должны получить максимально простую алгебраическую дробь.

Порядок действий с рациональными выражениями

Порядок действий при выполнении операций с рациональными выражениями такой же, как и при арифметических операциях. Сначала выполняются действия в скобках, потом – умножение и деление, возведение в степень и наконец – сложение и вычитание.

Доказать тождество – это значит показать, что при всех значениях переменных правая и левая части равны. Примеров с доказательством тождеств очень много.

К основным способам решения тождеств относятся.

  • Преобразование левой части до равенства с правой. 2}$.

    8 класс. Алгебра. Алгебраические дроби. — Преобразование рациональных выражений.

    Комментарии преподавателя

    Урок: Пре­об­ра­зо­ва­ние ра­ци­о­наль­ных вы­ра­же­ний

    Вспом­ним сна­ча­ла опре­де­ле­ние ра­ци­о­наль­но­го вы­ра­же­ния.

    Опре­де­ле­ние. Ра­ци­о­наль­ное вы­ра­же­ние – ал­геб­ра­и­че­ское вы­ра­же­ние, не со­дер­жа­щее кор­ней и вклю­ча­ю­щее толь­ко дей­ствия сло­же­ния, вы­чи­та­ния, умно­же­ния и де­ле­ния (воз­ве­де­ния в сте­пень).

    Под по­ня­ти­ем «пре­об­ра­зо­вать ра­ци­о­наль­ное вы­ра­же­ние» мы имеем в виду, пре­жде всего, его упро­ще­ние. А это осу­ществ­ля­ет­ся в из­вест­ном нам по­ряд­ке дей­ствий: сна­ча­ла дей­ствия в скоб­ках, затем про­из­ве­де­ние чисел (воз­ве­де­ние в сте­пень), де­ле­ние чисел, а затем дей­ствия сло­же­ния/вы­чи­та­ния.

    Ос­нов­ной целью се­го­дняш­не­го урока будет при­об­ре­те­ние опыта при ре­ше­нии более слож­ных задач на упро­ще­ние ра­ци­о­наль­ных вы­ра­же­ний.

    При­мер 1. Упро­стить ра­ци­о­наль­ное вы­ра­же­ние .

    Ре­ше­ние. Сна­ча­ла может по­ка­зать­ся, что ука­зан­ные дроби можно со­кра­тить, т. к. вы­ра­же­ния в чис­ли­те­лях дро­бей очень по­хо­жи на фор­му­лы пол­ных квад­ра­тов со­от­вет­ству­ю­щих им зна­ме­на­те­лей. В дан­ном слу­чае важно не спе­шить, а от­дель­но про­ве­рить, так ли это.

    Про­ве­рим чис­ли­тель пер­вой дроби: . Те­перь чис­ли­тель вто­рой: .

    Как видно, наши ожи­да­ния не оправ­да­лись, и вы­ра­же­ния в чис­ли­те­лях не яв­ля­ют­ся пол­ны­ми квад­ра­та­ми, т. к. у них от­сут­ству­ет удво­е­ние про­из­ве­де­ния. Такие вы­ра­же­ния, если вспом­нить курс 7 клас­са, на­зы­ва­ют непол­ны­ми квад­ра­та­ми. Сле­ду­ет быть очень вни­ма­тель­ны­ми в таких слу­ча­ях, т. к. пе­ре­пу­ты­ва­ние фор­му­лы пол­но­го квад­ра­та с непол­ным – очень частая ошиб­ка, а по­доб­ные при­ме­ры про­ве­ря­ют вни­ма­тель­ность уча­ще­го­ся.

    По­сколь­ку со­кра­ще­ние невоз­мож­но, то вы­пол­ним сло­же­ние дро­бей. У зна­ме­на­те­лей нет общих мно­жи­те­лей, по­это­му они про­сто пе­ре­мно­жа­ют­ся для по­лу­че­ния наи­мень­ше­го об­ще­го зна­ме­на­те­ля, а до­пол­ни­тель­ным мно­жи­те­лем для каж­дой из дро­бей яв­ля­ет­ся зна­ме­на­тель дру­гой дроби.

     

    Ко­неч­но же, далее можно рас­крыть скоб­ки и при­ве­сти затем по­доб­ные сла­га­е­мые, од­на­ко, в дан­ном слу­чае можно обой­тись мень­ши­ми за­тра­та­ми сил и за­ме­тить, что в чис­ли­те­ле пер­вое сла­га­е­мое яв­ля­ет­ся фор­му­лой суммы кубов, а вто­рое – раз­но­сти кубов. Для удоб­ства вспом­ним эти фор­му­лы в общем виде:

     и .

    В нашем же слу­чае вы­ра­же­ния в чис­ли­те­ле сво­ра­чи­ва­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

    вто­рое вы­ра­же­ние ана­ло­гич­но. Имеем:

    .

    Ответ. .

    При­мер 2. Упро­стить ра­ци­о­наль­ное вы­ра­же­ние .

    Ре­ше­ние. Дан­ный при­мер похож на преды­ду­щий, но здесь сразу видно, что в чис­ли­те­лях дро­бей на­хо­дят­ся непол­ные квад­ра­ты, по­это­му со­кра­ще­ние на на­чаль­ном этапе ре­ше­ния невоз­мож­но. Ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му при­ме­ру скла­ды­ва­ем дроби:

    , здесь мы ана­ло­гич­но спо­со­бу, ука­зан­но­му выше, за­ме­ти­ли и свер­ну­ли вы­ра­же­ния по фор­му­лам суммы и раз­но­сти кубов.

    Ответ. .

    При­мер 3. Упро­стить ра­ци­о­наль­ное вы­ра­же­ние .

    Ре­ше­ние. Можно за­ме­тить, что зна­ме­на­тель вто­рой дроби рас­кла­ды­ва­ет­ся на мно­жи­те­ли по фор­му­ле суммы кубов. Как мы уже знаем, раз­ло­же­ние зна­ме­на­те­лей на мно­жи­те­ли яв­ля­ет­ся по­лез­ным для даль­ней­ше­го по­ис­ка наи­мень­ше­го об­ще­го зна­ме­на­те­ля дро­бей.

    .

    Ука­жем наи­мень­ший общий зна­ме­на­тель дро­бей, он равен: , т. к. де­лит­ся на зна­ме­на­тель тре­тьей дроби, а пер­вое вы­ра­же­ние во­об­ще яв­ля­ет­ся целым, и для него по­дой­дет любой зна­ме­на­тель. Ука­зав оче­вид­ные до­пол­ни­тель­ные мно­жи­те­ли, за­пи­шем:

    .

    Ответ.

    Рас­смот­рим более слож­ный при­мер с «мно­го­этаж­ны­ми» дро­бя­ми.

    При­мер 4.  До­ка­зать тож­де­ство  при всех до­пу­сти­мых зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной.

    До­ка­за­тель­ство. Для до­ка­за­тель­ства ука­зан­но­го тож­де­ства по­ста­ра­ем­ся упро­стить его левую часть (слож­ную) до того про­сто­го вида, ко­то­рый от нас тре­бу­ет­ся. Для этого вы­пол­ним все дей­ствия с дро­бя­ми в чис­ли­те­ле и зна­ме­на­те­ле, а затем раз­де­лим дроби и упро­стим ре­зуль­тат.

    . До­ка­за­но при всех до­пу­сти­мых зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной.

    До­ка­за­но.

    Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifmeticheskie-operacii-nad-algebraicheskimi-drobyami/preobrazovanie-ratsionalnyh-vyrazheniy?konspekt&chapter_id=13

     

    Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=Mtxotj-mhiQ

    вопросов по алгебре с ответами и решениями для 8 класса

    Представлены вопросы по алгебре для 8 класса с решениями. Включены вопросы по решению уравнений, упрощению выражений, в том числе выражений с дробями.

    ПРИМЕЧАНИЕ. В дальнейшем смешанные числа записываются в форме a b/c. Например, 2 1/3 означает смешанное число 2 + 1/3.

    1. Упростите следующие алгебраические выражения.
      А) -2х+5+10х-9
      Б) 3(х + 7) + 2(-х + 4) + 5х
    2. Упростите выражения.
      А) (2x — 6) / 2
      Б) (-х — 2) / (х + 2)
      С) (5x — 5)/10
    3. Решите относительно x следующие уравнения.
      А) -х = 6
      Б) 2х — 8 = -х + 4
      В) 2х + 1/2 = 2/3
      Г) х/3 + 2 = 5
      Д) -5/х = 2
    4. Вычислите для заданных значений x и y .
      А) х 2 — у 2 , для х = 4 и у = 5
      Б) |4х — 2у| , для х = -2 и у = 3
      В) 3х 3 — 4y
      4
      , для x = -1 и y = -2
    5. Решите следующие неравенства.
      А) х + 6 < 0
      Б) х + 1 > 5
      С) 2(х — 2) < 12
    6. Чему равно каждое из следующих чисел?
      А)-1
      Б) 0
      С) 3/4
      Г) 2 5/7
      Е) 0,02
    7. Оцените следующие выражения со смешанными числами.
      А) 3 3/4 + 6 1/7
      В) (1 3/5) (3 1/3) — 2 1/2
      С) (5 2/3) (4 1/5)
      Г) (3 4/7 — 1 1/2) (2 3/8 + 2 1/4)
    8. Оцените следующие экспоненциальные выражения.
      A) -4 2
      B) (-2) 3
      C) (-2) 4
      D) 1000 0
      E) 566 1
    9. Преобразуйте в дроби и запишите в простейшей форме.

      А) 0,02
      Б) 12%
      С) 0,5%
      Г) 1.12
    10. Преобразовать в десятичные дроби.
      А) 1/5
      Б) 120%
      С) 0,2%
      Г) 4 8/5
    11. Преобразовать в проценты.
      А) 3/10
      Б) 1,4
      С) 123,45
      Г) 2 4/5
    12. Какое из этих чисел делится на 3?
      А) 156312
      Б) 176314
    13. Какое из этих чисел делится на 4?
      А) 3432
      Б) 1257
    14. Какое из этих чисел делится на 6?
      А) 1233
      Б) 3432
    15. Какое из этих чисел делится на 9?
      А) 2538
      Б) 1451
    16. Оцените 8x + 7, учитывая, что x — 3 = 10.
    Решения и ответы на вышеуказанные вопросы

    1. А) -2х + 5 + 10х — 9 : данный
      = (10x — 2x) + (5 — 9) : сложить одинаковые члены вместе
      = 8x — 4 : группа

      Б) 3(х + 7) + 2(-х + 4) + 5х : дано
      = 3x + 21 — 2x + 8 + 5x: расширить
      = (3x — 2x + 5x) + (21 + 8) : сложить одинаковые члены вместе
      = 6x + 29 : группа


    2. А) (2x — 6) / 2 : дано
      = 2(x — 3) / 2 : коэффициент 2 в числителе
      = x — 3 : для упрощения разделите числитель и знаменатель на 2

      Б) (-х — 2) / (х + 2) : дано
      = -1(x + 2) / (x + 2): множитель -1 в числителе

      = -1 : разделить числитель и знаменатель на x + 2 для упрощения

      C) (5x — 5)/10 : дано
      = 5(x — 1) / 10 : коэффициент 5 в числителе
      = (x — 1) / 2 : для упрощения разделите числитель и знаменатель на 5.


    3. А) -х = 6 : дано
      x = -6 : умножьте обе части уравнения на -1

      Б) 2х — 8 = -х + 4 : дано
      2x — 8 + 8 = -x + 4 + 8 : добавить +8 к обеим частям уравнения
      2x = -x + 12 : сгруппировать подобные термины
      2x + x = -x + 12 + x : добавить +x к обеим сторонам
      3x = 12 : сгруппировать термины
      x = 4 : умножить обе стороны на 1/3

      C) 2x + 1/2 = 2/3 : дано
      2x + 1/2 — 1/2 = 2/3 — 1/2: вычесть 1/2 с обеих сторон

      2x = 1/6 : сгруппировать подобные термины
      х = 1/12: умножьте обе части на 1/2.

      Г) х/3 + 2 = 5 : дано
      x/3 + 2 — 2 = 5 — 2: вычесть 2 с обеих сторон
      x/3 = 3 : групповые термины
      x = 9 : умножьте обе части на 1/2.

      E) -5/x = 2 : дано
      -5 = 2x : умножить обе части на x и упростить
      -5/2 = x : : умножьте обе части на 1/2


    4. А) х 2 — у 2 , х = 4 , у = 5 : дано
      4 2 — 5 2 : заменить x и y на указанные значения
      =16 — 25 = -9

      Б) |4х — 2у| , х = -2 , у = 3 : дано
      |4(-2) — 2(3)| : заменить x и y заданными значениями
      = |-14| = 14 : оценить

      В) 3x 3 — 4 года 4 , x = -1 , y = -2 : дано
      3(-1) 3 — 4(-2) 4 : заменить x и y указанными значениями
      = -3 — 64 = -67 : оценить


    5. А) х + 6 < 0 : дано
      x + 6 — 6 < -6 : вычесть 6 с обеих сторон
      x < -6 : групповые термины

      Б) х + 1 > 5 : дано
      x + 1 — 1 > 5 — 1 : вычесть 1 с обеих сторон
      x > 4 : групповые термины

      С) 2(х — 2) < 12 : дано
      x — 2 < 6 : умножить обе стороны на 1/2
      x — 2 + 2 < 6 + 2 : добавить 2 к обеим сторонам
      x < 8 : групповые термины


    6. А) (-1) а = 1 : определение: а является обратной величиной -1
      а = 1/-1 = -1 : найти а; -1 является обратной величиной -1

      B) (0) b = 1 : определение: b является обратной величиной 0
      b = undefined : ни одно значение b не удовлетворяет приведенному выше уравнению

      C) (3/4) c = 1 : определение: c является обратной величиной 3/4
      с = 4/3 : найти с; c = 4/3 является обратной величиной 3/4

      D) (2 5/7) d = 1 : определение: d является обратной величиной 2 5/7.
      (19/7) d = 1 : преобразовать смешанное число 2 5/7 в дробь.
      d = 7/19 : : найти d; d = 7/19 является обратной величиной 2 (5/7)

      E) 0,02 d = 1 : определение: d является обратной величиной 0,02.
      d = 1/0,02 : найти d; d = 50 является обратной величиной 0,02.


    7. А) 3 3/4 + 6 1/7 : дано
      = (3 + 6) + (3/4 + 1/7): сложите вместе целые части и дробные части.
      = 9 + (21/28 + 4/28) : доп.
      = 9 25/28

      В) (1 3/5) (3 1/3) — 2 1/2 : дано
      = (8/5) (10/3) — 2 1/2 : преобразование смешанных чисел в умножение на дроби.
      = 80/15 — 2 1/2 = 5 1/3 — 2 1/2 = 4 4/3 — 2 1/2: умножить и записать как смешанное число, если это возможно
      = (4 — 2) + (4/3 — 1/2): вычесть
      = 2 5/6

      C) (5 2/3) (4 1/5) : дано
      = (17/3) (21/5): преобразовать смешанные числа в дроби.
      = 85/63 : разделить дроби
      = 1 22/63 : записать как смешанное число

      D) (3 4/7 — 1 1/2) (2 3/8 + 2 1/4) : дано
      = [(3 — 1) + (4/7 — 1/2)] [(2 + 2) + (3/8 + 1/4)]: вычислить числитель и знаменатель как дроби.
      = (2 1/14) (4 5/8)
      = (29/14) (37/8)
      = 116/259


    8. А) — 4 2 = — (4 4) = -16 : развернуть и вычислить

      B) (-2) 3 = (-2)(-2)(-2) = -8 : развернуть и вычислить

      C) 1000 0 = 1 : определение: любое ненулевое число в нулевой степени дает 1

      Г) 566 1 = 566


    9. А) 0,02 = 1/50
      Б) 12% = 3/25
      С) 0,5% = 1/200
      Д) 1,12 = 28/25

    10. А) 1/5 = 0,2
      Б) 120% = 1,2
      С) 0,2% = 0,002
      Г) 4 8/5 = 5,6

    11. А) 3/10 = 30%
      Б) 1,4 = 140%
      С) 123,45 = 12345%
      Г) 2 4/5 = 280%

    12. А) 156312 , делится на 3
      Б) 176314 , не делится на 3

    13. А) 3432 , делится на 4
      Б) 1257 , не делится на 4

    14. А) 1233 , не делится на 6
      Б) 3432 , делится на 6

    15. А) 2538 , делится на 9
      Б) 1451 , не делится на 9

    16. Вычислите 8x + 7, учитывая, что x — 3 = 10.
      х — 3 = 10: данное уравнение
      х = 10 + 3 = 13: решить данное уравнение.
      8(13) + 7 = 111 замените x на 3 в данном выражении и оцените.

    Математика в средней школе (6, 7, 8, 9 классы) — Бесплатные вопросы и задачи с ответами
    Математика в средней школе (10, 11 и 12 классы) — Бесплатные вопросы и задачи с ответами
    Начальная математика (4 и 5 классы) с ответами Бесплатные вопросы и задачи с ответами

    сообщите об этом объявлении

    Math Simplified for 8-10 Class

    Перейти к основному содержанию

    МиллениумОдин

    МиллениумОдин

    Платформа онлайн-обучения после школы, чтобы подготовить вашего ребенка к будущему с навыками 21-го века

    Опубликовано 24 декабря 2021 г.

    + Подписаться

    По достижении 8-го класса, когда учащиеся начинают замечать буквы и символы в математических понятиях, это может немного обескураживать их. В отличие от арифметики, в которой используются только числа, алгебра использует уравнения, выражения и переменные для решения различных математических задач. Например, 3 + 5 = 8 — это арифметическое уравнение, тогда как 4x — 5 = 27 — это форма алгебраического уравнения. Если вы считаете, что алгебра не находит применения за пределами занятий в классе, то вы ошибаетесь! Эти уравнения полезны, поскольку, присваивая значения этим переменным, мы можем моделировать реальные проблемы для поиска решений. Изучая алгебраические уравнения, вы можете улучшить свои логический вывод и решать повседневные практические задачи.

    Основополагающие понятия для овладения алгеброй

    Перед тем, как начать заниматься алгебраическими уравнениями, необходимо усвоить основные понятия, имеющие решающее значение для алгебры. Когда вы хорошо поймете терминологию, вы сможете решать алгебраические задачи в кратчайшие сроки. Ниже приведены некоторые ключевые понятия, которые вы должны изучить перед решением уравнений –

    1.     Переменные

    Переменные представляют числовое значение и используются в качестве замены для поиска решения. Они могут быть любой буквой от a до z и помогают ясно и лаконично упростить математические понятия. Например, y – 3 = 11 – это алгебраическое уравнение, где y – переменная, а 3, 11 – константы.

    2.     Выражения

    Когда вы разберетесь в использовании переменных и констант, создание выражений станет намного проще. Алгебраические выражения состоят из переменных, констант и арифметических операторов. Формулирование математических выражений с использованием навыка apt создает прочную основу для изучения алгебры. 6х + 19y или 35a – 21b являются некоторыми формами алгебраических выражений.

    3.     Термы

    Термины — это значения, в которых выполняются математические операции в выражении. Они могут быть переменной, константой или и тем, и другим. Например, в 28x + 4 и 28x, и 4 являются терминами.

    4.     Графики

    Прекрасная форма графического представления, графики идеально подходят для демонстрации связи между двумя или более наборами чисел или измерений. Они визуально привлекательны и помогают объяснить различные типы алгебраических уравнений, таких как линейные, квадратичные и полиномиальные.

    5.     Законы

    Ассоциативные, коммутативные и дистрибутивные свойства являются основными столпами для создания выражений и решения алгебраических уравнений. Эти законы помогают интерпретировать взаимосвязь между числовыми операциями и упрощением алгебраических уравнений. PEMDAS (круглые скобки, показатели степени, умножение, деление, сложение и вычитание) — полезный инструмент для запоминания набора операций при решении уравнений. Возьмите примеры из повседневных ситуаций, таких как разделение счета в ресторане с друзьями и составление уравнения, чтобы найти ответ.

    Представление реальных сценариев создания и решения алгебраических уравнений позволит вам кратко понять его концепции. От недвижимости до компьютерного программирования, финансов или еды, алгебра может быть интегрирована со всеми этими принципами для решения ключевых проблем. Занятия алгеброй могут развить у детей пространственное мышление и способствовать целостному развитию . Запишитесь на наш интерактивный курс Math Crash и научитесь осваивать такие важные понятия, используя уникальные советы и приемы.

    • Улучшите английский язык с помощью стратегического обучения

      27 декабря 2021 г.

    • Обязательное условие для учителей 21-го века, способствующее качественному обучению

      9 декабря 2021 г.

    • Практические советы по внедрению экспериментального обучения в классе — вебинар (основные моменты)

      3 декабря 2021 г.

    • Обучение кодированию — насколько это полезно?

      29 нояб. 2021 г.

    • Упрощение математических концепций для легкого обучения

      25 нояб. 2021 г. 903:50

    • Сила обучения на основе видео – что вам нужно знать

      31 окт.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *